椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题

微专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN →为定值；(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R.图34-1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T的方程为x 22＋y 2＝1.设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM→＝cos θOA →＋sin θOB →.(1)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；(2)求OA 2＋OB 2的值．(江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，设过点T (9，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.图34-2求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1,0)，且与椭圆C 相交于E，F两点．图34－3(1)求椭圆C的方程；(2)若△AEF的面积为10，求直线l的方程；(3)已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′，求证：k·k′为定值．(本小题满分16分)(2019·南京一模) 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆C相交于P，Q两点．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2.①若m＝0，求k1k2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值． (1)x 24＋y 23＝1；(2)①－34；②m ＝1.因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2c ＝8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. …………………………3分(求出椭圆方程)①设P (x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q (－x 0，－y 0)，由x 204＋y 203＝1，得y 20＝3－3x 204…………………………5分(设出点P (x 0，y 0)求出关系式y 20＝3－34x 20)所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.…………………………8分(利用上面关系式，推证k 1k 2＝定值．) ②由(1)得A (－2,0)．设P (x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，…………………………10分(联立方程组，写出韦达定理)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)得y 1＝12k 13＋4k 21， 所以P (6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21).…………………………12分(求出点P 的坐标) 由k 1k 2＝－14，得k 2＝－14k 1，所以Q (24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k 21).…………………………13分(由点P 坐标求得Q 坐标) 设M (m ,0)，由P ，Q ，M 三点共线，得PM →＝λQM →，即12k 13＋4k 21×(24k 21－21＋12k 21－m )＝－12k 11＋12k 21×(6－8k 213＋4k 21－m )， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，所以m ＝1. …………………………16分(由三点共线构建方程，并求出m 的值)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k (x －m )，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4m 2k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8mk 23＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2k 2－123＋4k 2…………………………10分 而k 1k 2＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝k (x 1－m )x 1＋2·k (x 2－m )x 2＋2＝k 2[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2]x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－14，13分 化简得k 2(3m 2－12)4m 2k 2＋16mk 2＋16k2＝－14，即m 2k 2＋mk 2－2k 2＝0. 因为k 2≠0，所以m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)． 当m ＝1时，Δ＞0，所以，m ＝1. …………………………16分答题模板 第一步：求出椭圆方程；第二步：设点P 坐标，推出点P 坐标满足的等式，y 20＝3－34x 20；第三步：利用第二步中的等式推出k 1k 2＝－34；第四步：联立方程组，写出韦达定理；第五步：写出点P 的坐标；第六步：由条件求出Q 点坐标；第七步：由P ，M ，Q 共线，列出关于m 的方程，并求得解.作业评价已知椭圆x 216＋y 24＝1的左顶点为A ，过A 作两条弦AM ，AN 分别交椭圆于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率记为k 1，k 2，满足k 1·k 2＝－2，则直线MN 经过的定点为________．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .则直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为____________．如图34-4所示，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N .当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是______．图34-4已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .(i )设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；(ii )设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ()－4，0，过点R ()3，0作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(22，12)，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2＝2，求证：直线DE恒过定点．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点(均异于椭圆的左、右顶点)．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6.⑴求椭圆的标准方程；(2)设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2.①若k2＝3k1，求证：直线l过定点；②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断k1k2是否为定值，并说明理由．。

椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题定点问题是圆锥曲线中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了例题：过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．变式1若将上述试题中“椭圆C 的上顶点”改为椭圆上另一个定点(如右顶点)，直线MN 是否仍然过定点？若对于更一般的椭圆呢？变式2过椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点A 作两条直线分别交椭圆于M ，N 两点，且两条直线的斜率之积为λ.求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．串讲1(2010·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ，设过点T(t ，m)的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0，设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．串讲2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(2018·九章密卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A(0，－1)，右准线l ：x＝2，设O 为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q(均异于点A)，直线AP 交l 于M(点M 在x 轴下方)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过右焦点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆H 交于C ，D 两点，若CD ＝6，求圆H 的方程；(3)若直线AP 与AQ 的斜率之和为2，证明：直线PQ 过定点，并求出该定点．如图，已知椭圆E1方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，圆E2方程为x2＋y2＝a2，过椭圆的左顶点A 作斜率为k1的直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B ，C.设D 为圆E2上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为k2，当k1k2＝b2a2时，试问直线BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．答案：直线BD 过定点(a ，0)．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋a ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2－a 2a 2＋k 12（x ＋a ）2b 2＝0，所以x ＝－a ，或x ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，4分因为x B ≠－a ，所以x B ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，则y B ＝k 1(x B ＋a)＝2ab 2k 1b 2＋a 2k 12.6分由⎩⎨⎧y ＝k 2（x ＋a ），x 2＋y 2＝a 2，得x 2－a 2＋k 22(x ＋a)2＝0，得x ＝－a ，或x ＝a （1－k 22）1＋k 22，8分同理，得x D ＝a （1－k 22）1＋k 22，y D＝2ak 21＋k 22，10分 当k 1k 2＝b 2a2时，x B ＝a （b 2－b 4a 2k 22）b 2＋b 4a2k 22＝a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22，y B ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22，k BD ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22－2ak 21＋k 22a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22－a （1－k 22）1＋k 22＝－1k 2，13分所以BD ⊥AD ，因为E 2为圆，所以∠ADB 所对圆E 2的弦为直径，从而直线BD 过定点(a ，0).14分例题答案：⎝⎛⎭⎫0，－35. 解法1设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，联立椭圆方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x M ＝－8k4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.直线MN 的斜率为k 2－15k ，直线MN 的方程为y －1－4k 21＋4k 2＝k 2－15k ⎝⎛⎭⎫x ＋8k 1＋4k 2，即y ＝k 2－15k x －35，直线MN 过定点⎝⎛⎭⎫0，－35. 解法2同解法1，求出直线方程，利用特值法求出定点．解法3先由对称思想可知，直线MN 过的定点位于y 轴上，特值化易得直线MN 过的定点为P ⎝⎛⎭⎫0，－35. 再证明如下：设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，联立椭圆方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x M ＝－8k4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.所以k MP ＝y M ＋35x M ＝k 2－15k ，k NP ＝y N ＋35x N ＝k 2－15k .所以k MP ＝k NP .故直线MN 过的定点为P ⎝⎛⎭⎫0，－35. 解法4设直线MN 的方程为l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)， 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝2m4k 2＋1. y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 24k 2＋1.由题设AM ⊥AN ，即AM →·AN →＝0.AM →·AN →＝(x 1，y 1－1)(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝4m 2－44k 2＋1＋m 2－4k 24k 2＋1－2m 4k 2＋1＋1＝0， 化简得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝1(舍)，m ＝－35.所以直线MN 的方程为y ＝kx －35，过定点⎝⎛⎭⎫0，－35. 变式联想变式1 答案：⎝⎛⎭⎫65，0.解析：方法同上．通过变式1引导同学们发现第一个结论；结论1：过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P(x 0，y 0)作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．则直线MN 过定点⎝⎛⎭⎪⎫a 2－b 2a 2＋b 2x 0，－a 2－b 2a 2＋b 2y 0. 变式2答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋14λ－1S A ，4λ＋14λ－1y A ，其中x A ，y A分别为点A 的横、纵坐标． 解析：本题可以参照例题的做法，也可以设直线MN 的方程为y ＝kx ＋n ，由韦达定理找出n ，k 的关系．比较两种做法，寻找每一种方法的合理性．通过变式2引导同学们发现第二个结论与第三个结论，结论2过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P(x 0，y 0)的两条直线分别交椭圆于M ，N两点．当k PM ·k PN ＝λ，则直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫λa 2＋b 2λa 2－b 2x 0，－λa 2＋b 2λa 2－b 2y 0. 发现并强调注意，此时λ≠b 2a2.结论3当λ＝b 2a 2且x 0y 0≠0时，直线MN 的斜率为定值－y 0x 0.串讲激活串讲1答案：定点(1，0)． 证法1设T(9，m)，直线TA 方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，即y ＝m12(x ＋3)，直线TB 方程为y －0m －0＝x －39－3，即y ＝m6(x －3)．分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，同时考虑到x 1≠－3m ，x 2≠3，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3（80－m 2）80＋m 2，40m 80＋m 2， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3（m 2－20）20＋m 2，－20m 20＋m 2. 当x 1≠x 2时，直线MN 方程为y ＋20m20＋m 240m 80＋m 2＋20m20＋m 2＝x －3（m 2－20）20＋m 23（80－m 2）80＋m 2－3（m 2－20）20＋m 2令y ＝0，解得x ＝1.此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1，0)．证法2前与证法1同，若x 1＝x 2，则由240－3m 280＋m 2＝3m 2－6020＋m 2及m ＞0，得m ＝210，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m ≠210，直线MD 的斜率k MD ＝40m80＋m 2240－3m 280＋m 2－1＝10m40－m 2，直线ND 的斜率k ND ＝－20m 20＋m 23m 2－6020＋m 2－1＝10m40－m 2，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．证法3注意到k AM ·k BN ＝－b 2a 2＝－59，k BN k AM ＝k TN k TM ＝|m|9－3|m|9＋3＝2，则k BM ·k BN ＝－109，即椭圆中过右顶点B(3，0)的直线BM ，BN 斜率之积为定值－109，因此，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．x ＝（ta 2＋b 2）·x 0ta 2－b 2＝⎝⎛⎭⎫－109×9＋5×3－109×9－5＝1，y ＝（－b 2－ta 2）·y 0ta 2－b2＝0. 串讲2答案：(1)C 的方程为x 24＋y 2＝1；(2)定点(2，－1)．解析：(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t|＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝－1，得t ＝2，不符合题意．从而可设l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)－8km 4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12，当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，欲使l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)．所以l 过定点(2，－1)．新题在线答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2； (3)直线PQ 过定点， 定点为(1，1)．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M(2，m)，由CD ⊥OM 得k CD ＝－1k OM ＝－2m ，则CD 方程为y ＝－2m (x －1)，即2x ＋my －2＝0.因为圆心H ⎝⎛⎭⎫1，m2，则圆心H 到直线CD 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2＋m 22－24＋m 2＝m 224＋m 2. 圆半径为r ＝OM 2＝4＋m 22，且CD 2＝62，由d 2＋⎝⎛⎭⎫CD 22＝r 2，代入得m ＝±2.因为点M 在x 轴下方，所以m ＝－2，此时圆H 方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. (3)设PQ 方程为：y ＝kx ＋b(b ≠－1)，A(0，－1)，令P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 由直线AP 与AQ 的斜率之和为2得y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝2， 由y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 得2k ＋（b ＋1）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2，①联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4kb1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2代入①得，(b ＋1)(b ＋k －1)＝0， 由b ≠－1得b ＋k －1＝0，即b ＝1－k ， 所以PQ 方程为y ＝kx ＋1－k ＝k(x －1)＋1， 所以直线PQ 过定点， 定点为(1，1)．。

4220215与椭圆有关的斜率之积为定值的几个命题*山东省泰安市宁阳县第一中学(271400)刘才华摘要本文从点的坐标间的关系、线段长度间的关系和直线斜率间的关系三个角度出发,给出了与椭圆有关的两直线斜率之积为定值的6个命题.关键词椭圆;斜率;坐标;长度;定值在与椭圆相关的综合型问题中,有这样一类问题,题目中含有条件“对于椭圆上两点P,Q ,O 为坐标原点,满足k OP ·k OQ =b 2a2”,此类问题一般的解题思路需要将直线方程和椭圆方程联立方程组,通过消元化归为一元二次方程,再利用韦达定理进行较为复杂的运算给出解答.我们在解答这些题目的时候,通过观察探究和整体运算求解发现,具有上述条件的椭圆有着一些特殊的结论,并且结论之间有着相互的内在联系.本文从点的坐标间的关系、线段长度间的关系和直线斜率间的关系三个角度出发,得到如下几个优美的命题.命题1如图1,椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上有两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),O 是坐标原点,若直线OP,OQ 的斜率满足k OP ·k OQ =b 2a 2,则图1x 21+x 22=a 2,y 21+y 22=b 2.证明由x 21a 2+y 21b 2=1得y 21=b 2(1−x 21a 2),同理有y 22=b 2(1−x 22a 2).由k OP ·k OQ =b 2a 2得y 1y 2x 1x 2=b 2a2,则y 21y 22=b 4a4x 21x 22.由y 21y 22=b 4(1−x 21a 2)(1−x 22a 2)=b 4(1−x 21+x 22a 2+x 21x 22a 4)=b 4(1−x 21+x 22a 2)+b 4x 21x 22a 4=b 4(1−x 21+x 22a 2)+y 21y 22得x 21+x 22=a 2.由x 21x 22=a 4(1−y 21b 2)(1−y 22b 2)=a 4(1−y 21+y 22b 2+y 21y 22b4)=a 4(1−y 21+y 22b 2)+a 4y 21y 22b 4=a 4(1−y 21+y 22b2)+x 21x 22得y 21+y 22=b 2.命题1给出了一条坐标间的定值性质:满足条件的两点间横坐标的平方和与纵坐标的平方和均为定值.命题2如图1,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)有两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),O 是坐标原点,若直线OP,OQ 的斜率满足k OP ·k OQ =b 2a2,则x 1y 1=x 2y 2.证明由命题1得x 21+x 22=a 2.由x 21a 2+y 21b 2=1得y 21=b 2a 2(a 2−x 21),同理有y 22=b 2a 2(a 2−x 22).由k OP ·k OQ =b 2a 2得y 1y 2x 1x 2=b 2a 2,则y 1y 2=b 2a2x 1x 2.于是(x 2y 2−x 1y 1)2=x 22y 22−2(x 1x 2)(y 1y 2)+x 21y 21=b 2a 2x 22(a 2−x 22)−2b 2a 2(x 21x 22)+b 2a 2x 21(a 2−x 21)=b 2(x 21+x 22)−b 2a 2(x 21+x 22)2=b 2×a 2−b 2a 2×a 4=0,故x 1y 1=x 2y 2.命题2给出了满足条件的两点间对应坐标乘积间的关系.通过探究条件中与点P,Q 相关的线段长度间的关系,我们得到命题3如图1,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上有两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),O 是坐标原点,若直线OP,OQ 的斜率满足k OP ·k OQ =b 2a2,则|OP |2+|OQ |2=a 2+b 2(定值).证明设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),由命题1得x 21+x 22=a 2,y 21+y 22=b 2.则|OP |2+|OQ |2=(x 21+y 21)+(x 22+y 22)=(x 21+x 22)+(y 21+y 22)=a 2+b 2,故|OP |2+|OQ |2=a 2+b 2(定值).命题3给出了一条定值性质:满足条件的两条线段长度的平方和为定值.命题4如图2,四边形ABCD 内接于椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),且AC,BD 相交于坐标原点O ,若直线OA,OD 的斜率满足k OA ·k OD =b 2a 2,则|AB |2+|BC |2+|CD |2+|DA |2=4(a 2+b 2)(定值).证明由命题3得|OA |2+|OD |2=a 2+b 2.*本文是山东省教育科学“十三五”规划2020年度重点课题:“多元”思维模型教学的理论建构与实践探索的部分成果,课题批准号:2020ZD049.2021543成也“消和”,败也“消和”—–例谈由数列的前n 项和求解通项公式南京市第九中学(210018)宗园摘要已知数列的前n 项和求通项公式是高中数列学习中的必备技能,教学过程中发现始终有学生忽略解题要点、混淆题目类型、错用解题方法,故作本文梳理典型例题,总结此类题型的求解方法.关键词数列;前n 项和;通项公式解题背景在数列的起始课时,学生便已经知道数列{a n }前n 项和S n 的概念,可用数学符号语言描述为:S n =a 1+a 2+a 3+···+a n ,这个简单的定义式衍生出了由数列的前n 项和求解通项公式的通式:a n =S 1,n =1S n −S n −1,n 2(∗)在实际应用中,一方面,我们可以利用(∗)式将题目条件中的前n 项和S n 消去,得到通项a n ,下文称此法为“消和”法;另一方面，我们也可以反其道行之,将题目条件中的a n 换成S n −S n −1,将条件中的通项与和的关系转换成和的递推关系,下文称此法为“消项”法.题型剖析类型一:已知S n =f (n ),求a n .典例1已知数列{a n }的前n 项和S n =2n −3,求数列{a n }的通项公式.解题思路直接使用(∗)式求解得a n =−1,n =1,2n −1,n 2.由椭圆的对称性知四边形ABCD 为平行四边形.由平行四边形的四条边长的平方和等于对角线长的平方和得|AB |2+|BC |2+|CD |2+|DA |2=|AC |2+|BD |2=图24(|OA |2+|OD |2)=4(a 2+b 2),故|AB |2+|BC |2+|CD |2+|DA |2=4(a 2+b 2)(定值).命题4给出了一条定值性质:由满足条件的两条线段生成的平行四边形中四条边长的平方和为定值.通过探究条件中与点P,Q 相关的直线斜率间的关系,我们得到命题5如图1,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上有两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),O 是坐标原点,若直线OQ,OP 的斜率满足k OP ·k OQ =b 2a 2,则k 2P Q =b 2a2.证明由命题1得x 21+x 22=a 2,y 21+y 22=b 2.由k OP ·k OQ =b 2a 2得y 1y 2x 1x 2=b 2a 2,则y 1y 2=b 2a2x 1x 2.由斜率公式得k P Q =y 2−y 1x 2−x 1,则k 2P Q =y 22−2y 1y 2+y 21x 22−2x 1x 2+x 21=b 2−2b 2a 2x 1x 2a 2−2x 1x 2=b 2a 2,故k 2P Q =b 2a2.命题5给出了一条斜率性质:k P Q 为k OP 和k OQ 的等比中项.命题6如图2,四边形ABCD 内接于椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),且AC,BD 相交于坐标原点O ,若直线OA,OD 的斜率满足k OA ·k OD =b 2a2,则k AB +k AD =0.证法1设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由题意得D (−x 2,−y 2),则k AB +k AD =y 2−y 1x 2−x 1+y 2+y 1x 2+x 1=2(x 2y 2−x 1y 1)x 22−x 21.由命题2得x 1y 1=x 2y 2,故k AB +k AD =0.证法2由题意得k OA ·k OB =k OA ·k OD =b 2a2.由命题5得k 2AB =k 2AD =b 2a2.由于k AB 与k AD 一正一负,故k AB +k AD =0.命题6给出了一条斜率性质:由满足条件的两条线段生成的平行四边形中,两条邻边所在直线的斜率为互为相反数.。

点P为椭圆：C：x2a2+y2b2=1的左顶点左顶点，过点P的两条直线分别与C交于两点、A、B , 两点；直线、PA、PB的斜率之积为t(t≠b2a2)，则直线AB过定点(−a⋅a2t+b2a2t−b2,0) ;图一证明：证明：法一：法一：设直线AB为x=my+n .则{x=my+nx2a2+y2b2=1⇒(b2m2+a2)⋅y2+2mnb2y+b2n2−a2b2=0 .则由题得：Δ=(2mnb2)2−4⋅(b2m2+a2)⋅(b2n2−a2b2)=4a2b2⋅(a2+b2m2−n2)>0 ; 由根与系数的关系得：{y1+y2=−2mnb2b2m2+a2y1⋅y2=b2n2−a2b2b2m2+a2;设A(my1+n,y1) , B(my2+n,y2) , 又P(−a,0), kPA⋅kPB=t ,所以kPA⋅kPB=y1−0my1+n+a⋅y2−0my2+n+a=t⇔(tm2−1)⋅y1y2+tm(n+a)⋅(y1+y2)+t(n+a)2=0 ;代入{y1+y2=−2mnb2b2m2+a2y1⋅y2=b2n2−a2b2b2m2+a2得：(tm2−1)⋅b2n2−a2b2b2m2+a2+tm(n+a)⋅(−2mnb2b2m2+a2)+t(n+a)2=0 ,化简得：(a2t−b2)n2+2ta3n+ta4+a2b2=0 ,因式分解得：[(a2t−b2)n+a(a2t+b2)]⋅(n+a)=0 ,(t≠b2a2)解得：n=a⋅b2+a2tb2−a2t ,或者n=−a（此时直线过点，不符合题意，舍去）（此时直线AB过点P，不符合题意，舍去）因此直线AB过定点(−a⋅a2t+b2a2t−b2,0) ;法二：法二：椭圆：C：x2a2+y2b2=1向右平移a个单位长度，即将椭圆C的左顶点P平移到原点O，如图二；图二则此时椭圆方程为(x−a)2a2+y2b2=1 ,化简为x2a2−2xa+y2b2=0；设平移后直线AB为mx+ny=1 .联立{mx+ny=1x2a2−2xa+y2b2=0得：x2a2−2xa⋅(mx+ny)+y2b2=0；化简得：(1a2−2ma)⋅x2−2na⋅xy + +1b2⋅y2=0 ,等式两边同时除以x2齐次化得：1b2⋅(yx)2−2na⋅(yx)+1a2−2ma=0 ;设平移后A(x1,y1) , B(x2,y2) ,又平移后的直线、PA、PB的斜率之积依然为t(t≠b2a2)，则kPA⋅kPB=t=y1x1⋅y2x2 .由根与系数的关系得：y1x1⋅y2x2=1a2−2ma1b2=t，解得：m=b2−a2t2ab2 ,所以平移后直线AB为b2−a2t2ab2⋅x+ny=1，过定点(2ab2b2−a2t,0) ,再平移回去即可得原直线过定点(2ab2b2−a2t−a,0) ,化简即可得直线AB过定点(−a⋅a2t+b2a2t−b2,0) ;注：如果点P为椭圆C右顶点右顶点，则直线AB过定点(a⋅a2t+b2a2t−b2,0) ;对于法一法一，因式分解是一个难点，想必到这里会劝退了一波人，不过这里有巧可钻；从图一可知，当点A或点B在无限靠近点P时，直线AB也无限接近点P，所以在解关于n的方程时，必有一增根n=−a；因此在因式分解(a2t−b2)n2+2ta3n+ta4+a2b2=0时，可以借助这一点，利用多项式除法化简即可得[(a2t−b2)n+a(a2t+b2)]⋅(n+a)=0；对于法二法二，则是利用齐次化的方法，对于解决斜率之和与斜率之积问题，齐次化的方法不失为一种简单而又巧妙的方法；。

第27讲（椭圆中两直线斜率之和为定值的问题）【目标导航】圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 【例题导读】例1、已知直线l 不过坐标原点O ，且与椭圆22:143x y C +=相交于不同的两点,,A B OAB ∆则22OA OB+的值是（ ）A ．4B ．7C ．3D ．不能确定【答案】B【解析】由题直线斜率k 不存在时，设直线x=t>0，则=,解则227OA OB +=k 存在时，设()()1122,,,A x y B x y ，y kx m,=+ 与椭圆22:143x y C +=联立得()()()()222222121222438348430,4843,,3434m km k x kmx m k m x x x x k k--+++-==+-+==++n ,AB =，点O 到直线l 的距离12AOBS n ∴===得22342k m +=，即22234m k -=① 又222211221,1,4343x y x y +=+=()()()222222222121212221186182462664434k m m k OA OB x x x x x x k -++⎡⎤+=++=+-+=+⎣⎦+=2222486182464mk m m k -+++ 将①代入得227OA OB +=故选B例2、已知A ，B 分别是双曲线C ：22y x 12-=的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限．记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1+k 2取得最小值时，△PAB 的重心坐标为（ ） A ．()1,1 B ．41,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．4,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．44,33⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】设A （1-，0），B （1，0），P （x ，y ） 由题意，11y k x =+，21yk x =-，∴21221y k k x ==-2，21k +2k =4，当且仅当2k 1＝2k 时取等号，此时1k ＝1，P A 的方程为y ＝x +1，22k =，PB 的方程为y ＝2()1x -联立方程：()121y x y x =+⎧⎨-⎩＝，解得P ()3,4∴重心坐标为11300441,333-++++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选B例3、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A 为椭圆C 的左顶点，直线l过点D(1，0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若△AEF 的面积为10，求直线l 的方程；(3) 已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为k(k ≠0)，k ′，求证：k·k′为定值．【解析】(1)由长轴长2a ＝4，两准线间距离2a 2c＝42，解得a ＝2，c ＝2，(2分)则b 2＝a 2－c 2＝2，即椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(4分) (2) 当直线l 的斜率不存在时，此时EF ＝6，△AEF 的面积S ＝12AD ·EF ＝326，不合题意；(5分)故直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝k(x －1)，代入椭圆方程得， (1＋2k 2)x －4k 2x ＋2k 2－4＝0.因为D(1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立．设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.(6分)故EF ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2223k 2＋21＋2k 2.(7分)又点A 到直线l 的距离d ＝3|k|1＋k 2，(8分) 则△AEF 的面积S ＝12d ·EF ＝12·3|k|1＋k 2·1＋k 2·223k 2＋21＋2k 2＝323k 4＋2k 21＋2k 2＝10，则k ＝±1.(9分)综上，直线l 的方程为x －y －1＝0和x ＋y －1＝0.(10分) (3) 证法1 设点E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则直线AE ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎫3，5y 1x 1＋2，同理可得N ⎝⎛⎭⎫3，5y 2x 2＋2，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，52y 1x 1＋2＋52y 2x 2＋2.(12分)直线QD 的斜率为k′＝5y 12（x 1＋2）＋5y 22（x 2＋2）3－1＝54⎝⎛⎭⎫y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2，(13分)而y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k （x 1－1）x 1＋2＋k （x 2－1）x 2＋2＝k·2x 1x 2＋x 1＋x 2－4x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4.(14分) 由(2)知x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，代入上式得，(15分)y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k·4k 2－8＋4k 2－4（1＋2k 2）2k 2－4＋8k 2＋4＋8k 2＝－12k 18k 2＝－23k . 则有k′＝－56k ，所以k·k′＝－56，为定值．(16分)(3) 证法2 设点M(3，m)，N(3，n)，且m ≠n ，则Q ⎝⎛⎭⎫3，m ＋n 2，从而k′＝m ＋n23－1＝m ＋n 4.直线AM 的方程为y ＝m 5(x ＋2)，与椭圆方程联立得(x ＋2)(x －2)＋2m 225(x ＋2)2＝0，可知x ＝－2或x ＝50－4m 225＋2m 2，即点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫50－4m 225＋2m 2，20m 25＋2m 2.故k DE ＝20m25＋2m 250－4m 225＋2m 2－1＝20m 25－6m 2. 同理可得k DF ＝20n 25－6n 2.又D ，E ，F 三点共线，则有k ＝k DE ＝k DF＝20m 25－6m 2＝20n25－6n 2＝20m －20n 6n 2－6m 2＝20（m －n ）－6（m ＋n ）（m －n ）＝－103（m ＋n ）.从而有k·k′＝－56.例4、已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 已知P(t ，0)为椭圆E 外一动点，过点P 分别作直线l 1和l 2，直线l 1和l 2分别交椭圆E 于点A ，B 和点C ，D ，且l 1和l 2的斜率分别为定值k 1和k 2，求证：PA ·PBPC ·PD为定值．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ，由已知得，c a ＝32，则a 2c －c ＝33，c 2＝a 2－b 2，(3分) 解得a ＝2，b ＝1，c ＝3，(5分) 所以椭圆E 的标准方程是x 24＋y 2＝1.(6分)(2) 解法1 由题意，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，代入椭圆E 的方程中，并化简得(1＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－4＝0，(8分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，因为PA ＝1＋k 21|x 1－t|，PB ＝1＋k 21|x 2－t|，(10分) 所以PA·PB ＝(1＋k 21)|x 1－t||x 2－t|＝(1＋k 21)|t 2－(x 1＋x 2)t ＋x 1x 2| ＝(1＋k 21)|t 2－8k 21t21＋4k 21＋4k 21t 2－41＋4k 21|＝（1＋k 21）|t 2－4|1＋4k 21，(12分) 同理，PC ·PD ＝（1＋k 22）|t 2－4|1＋4k 22，(14分)所以PA·PB PC·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21）为定值．(16分) 解法2 由题意，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，直线l 2的方程为y ＝k 2(x －t)， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，代入椭圆E 的方程中，并化简得(1＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－4＝0，(8分) 则x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，同理则x 3＋x 4＝8k 22t1＋4k 22，x 3x 4＝4k 22t 2－41＋4k 22，PA →·PB →＝(x 1－t ，y 1)(x 2－t ，y 2)＝(x 1－t)(x 2－t)＋k 21(x 1－t)(x 2－t)＝(x 1－t)(x 2－t)(1＋k 21)， PC →·PD →＝(x 3－t ，y 3)(x 4－t ，y 4)＝(x 3－t)(x 4－t)＋k 22(x 3－t)(x 4－t)＝(x 3－t)(x 4－t)(1＋k 22)．(12分) 因为P ，A ，B 三点共线，所以PA →·PB →＝PA·PB ，同理，PC →·PD →＝PC ·PD.PA ·PB PC ·PD ＝PA →·PB →PC →·PD→＝（x 1－t ）（x 2－t ）（1＋k 21）（x 3－t ）（x 4－t ）（1＋k 22）＝（1＋k 21）（1＋k 22）·（x 1－t ）（x 2－t ）（x 3－t ）（x 4－t ）＝（1＋k 21）（1＋k 22）·x 1x 2－t （x 1＋x 2）＋t 2x 3x 4－t （x 3＋x 4）＋t2. 代入x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，x 3＋x 4＝8k 22t 1＋4k 22，x 3x 4＝4k 22t 2－41＋4k 22，化简得PA ·PB PC ·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21），(14分) 因为是定值，所以PA ·PB PC ·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21）为定值．(16分)例5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上的一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证k 1·k 2为定值．【解析】 (1) 设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，a ＝22，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，因此椭圆C 2的标准方程为x 28＋y 22＝1.(3分)(2)①1°当直线OP 斜率不存在时，PA ＝2－1，PB ＝2＋1，则PAPB ＝2－12＋1＝3－2 2.(4分)2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4，所以x 2A ＝44k 2＋1，同理x 2P＝84k 2＋1.(6分) 所以x 2P ＝2x 2A ，由题意，x P 与x A 同号，所以x P ＝2x A ，从而PA PB ＝|x P －x A ||x P －x B |＝|x P －x A ||x P ＋x A |＝2－12＋1＝3－2 2.所以PAPB＝3－22为定值．(8分)②设P(x 0，y 0)，所以直线l 1的方程为y －y 0＝k 1(x －x 0)，即y ＝k 1x －k 1x 0＋y 0， 记t ＝－k 1x 0＋y 0，则l 1的方程为y ＝k 1x ＋t ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 21＋1)x 2＋8k 1tx ＋4t 2－4＝0，因为直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k 1t)2－4(4k 21＋1)(4t 2－4)＝0，即4k 21－t 2＋1＝0，将t ＝－k 1x 0＋y 0代入上式，整理得，(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－1＝0，(12分) 同理可得，(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－1＝0， 所以k 1，k 2为关于k 的方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－1＝0的两根，从而k 1·k 2＝y 20－1x 20－4.(14分)又点在P(x 0，y 0)椭圆C 2：x 28＋y 22＝1上，所以y 20＝2－14x 20，所以k 1·k 2＝2－14x 20－1x 20－4＝－14为定值．(16分)例6、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，左焦点F(－2，0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若M(－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程； (3) 设直线MA ，MB 与y 轴分别相交于点C ，D ，证明：OC·OD 为定值．【解析】 (1) 因为e ＝c a ＝22，且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2.(2分)所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(4分)(2)设A(s ，t)，则B(－s ，t)，且s 2＋2t 2＝8 ①.因为以AB 为直径的圆P 过点M ，所以MA ⊥MB ，所以MA →·MB →＝0，(5分) 又MA →＝(s ＋6，t ＋1)，MB →＝(－s ＋6，t ＋1)，所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0 ②.(6分) 由①②解得t ＝13，或t ＝－1(舍，因为M(－6，－1)，所以t>0)，所以s 2＝709.(7分)又圆P 的圆心为AB 的中点(0，t)，半径为AB2＝|s|，(8分)所以圆P 的标准方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －132＝709.(9分) (3)设M(x 0，y 0)，则l MA 的方程为y －y 0＝t －y 0s －x 0(x －x 0)，若k 不存在，显然不符合条件． 令x ＝0得y C ＝－tx 0＋sy 0s －x 0；同理y D ＝－tx 0－sy 0－s －x 0，(11分)所以OC·OD ＝|y C ·y D |＝|－tx 0＋sy 0s －x 0·－tx 0－sy 0－s －x 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2.(13分)因为s 2＋2t 2＝8，x 20＋2y 20＝8，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（8－2y 20）－（8－2t 2）y 208－2y 20－（8－2t 2）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8t 2－8y 202t 2－2y 20＝4为定值．(16分)例7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点Q 满足QB 1⊥PB 1，QB 2⊥PB 2.求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．【解析】 设P(x 0，y 0)，Q(x 1，y 1)．(1) 在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.(2分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋（x ＋3）29＝1.所以x 0＝－6a 29＋a 2.(4分)因为PB 1＝x 20＋（y 0－3）2＝2|x 0|，所以42＝2·6a 29＋a2，解得a 2＝18. 所以椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(6分)(2) 证法1(设点法) 直线PB 1的斜率为kPB 1＝y 0－3x 0，由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为kQB 1＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3.同理，QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3.(8分) 联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.(10分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202.所以x 1＝－x 02.(12分)所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.(14分)证法2(设线法) 设直线PB 1，PB 2的斜率分别为k ，k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3. 由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1k x ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 29＝1，得(2k 2＋1)x 2＋12kx ＝0.因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以x 0≠0， 从而x 0＝－12k2k 2＋1.(8分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202.所以k·k′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k′＝－12k.(10分)由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y ＝2kx －3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3，则x ＝6k 2k 2＋1，即x 1＝6k2k 2＋1.(12分)所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k2k 2＋16k 2k 2＋1＝2.(14分) 例8、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP 2＋1OQ2的值．【解析】(1) 由题意得，c a ＝22，a 2c－c ＝1, (2分)解得a ＝2，c ＝1，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2，所以1OP 2＋1OQ 2＝1.(6分)当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ，得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2＝22k 2＋1，所以y 2＝2k 22k 2＋1，所以OP 2＝2k 2＋22k 2＋1.(9分)因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－1k x得x ＝－2k ，所以OQ 2＝2k 2＋2.(12分) 所以1OP 2＋1OQ 2＝2k 2＋12k 2＋2＋12k 2＋2＝1.综上，可知1OP 2＋1OQ2＝1.(14分)例9、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P(2，－1)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．．【解析】(1) 由e ＝c a ＝32，得a ∶b ∶c ＝2∶1∶3，椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.(2分)把P (2，－1)的坐标代入，得b 2＝2，所以椭圆C 的方程是x 28＋y 22＝1.(5分)(2) 由已知得P A ，PB 的斜率存在，且互为相反数．(6分) 设直线P A 的方程为y ＋1＝k (x －2)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝8，消去y ，得x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8， 即(1＋4k 2)x 2－8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0.(8分)因为该方程的两根为2，x A ，所以2x A ＝4(2k ＋1)2－81＋4k 2，即x A ＝8k 2＋8k －21＋4k 2.从而y A ＝4k 2－4k －14k 2＋1.(10分)把k 换成－k ，得x B ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y B ＝4k 2＋4k －14k 2＋1.(12分)计算，得k AB ＝y B －y A x B －x A ＝8k －16k＝－12，是定值．(14分)解后反思 利用直线P A 与椭圆C 已经有一个交点P (2，－1)，可使得解答更简单．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋1＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，4(y 2－1)＝4－x 2， 当(x ，y )≠(2，－1)时，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，4k (y －1)＝－x －2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝8k 2＋8k －24k 2＋1，y A＝4k 2－4k －14k 2＋1.以下同解答．下面介绍一个更优雅的解法．由A ，B 在椭圆C ：x 2＋4y 2＝8上，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－14·x 1＋x 2y 1＋y 2. 同理k P A ＝y 1＋1x 1－2＝－14·x 1＋2y 1－1，k PB ＝y 2＋1x 2－2＝－14·x 2＋2y 2－1.由已知，得k P A ＝－k PB ，所以y 1＋1x 1－2＝－y 2＋1x 2－2，且x 1＋2y 1－1＝－x 2＋2y 2－1，即x 1y 2＋x 2y 1＝2(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＋4，且x 1y 2＋x 2y 1＝(x 1＋x 2)－2(y 1＋y 2)＋4.从而可得x 1＋x 2＝2(y 1＋y 2)．所以k AB ＝－14·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，是定值．【反馈练习】1、如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定【答案】A【解析】据题意，得点F 的坐标为()2,0.设直线l 的方程为20x my --=，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y .讨论：当0m =时，122x x ==；当0m ≠时，据282y x my x ⎧=⎨=-⎩，得()228440x m x -++=，所以124x x =，所以()()22AC BD AF BF ⋅=-⋅-()()121222224x x x x =+-⋅+-==.2、已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与C 交于A ，B 两点，交l 于D ，过A ，B 分别作x 轴的平行线，分别交l 于M ，N 两点.若4AB FB =u u u v u u u v，AND ∆的面积等于323，则C 的方程为（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】D【解析】结合抛物线的性质可知,3FB BN AF BF ==，所以2AG BF =结合11323223AND S BN ND BG NB =⋅⋅+⋅⋅=V 12839NB GB ⋅=对于三角形AGB ，该三角形为直角三角形，所以23GB BN =，代入，得到83NB = 故030GBA ∠=，所以直线AB 3，设直线AB 方程为32p y x ⎫=-⎪⎭，代入抛物线方程，得到2233504x px p -+=，而B 点横坐标为832p -，A 点横坐标为82p- 故8583223p p p -+-=，计算4p =，所以抛物线方程为28y x =，故选D ．3、在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为22143x y +=，左右焦点分别为1F ，2F ，设Q 为椭圆C 上位于x轴上方的一点，且1QF x ⊥轴，M 、N 为椭圆C 上不同于Q 的两点，且11MQF NQF ∠=∠，设直线MN 与y 轴交于点(0,)D d ，则d 的取值范围为____．【答案】(2,1)-【解析】设直线QM 的斜率为k ，因为11MQF NQF ∠=∠，所以QM ，QN 关于直线1QF 对称， 所以直线QN 的斜率为k -，因为Q 为椭圆C 上位于x 轴上方的一点，且1QF x ⊥轴，所以易得()11,0F -，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以直线QM 的方程是()312y k x -=+， 设()33,M x y ，()44,N x y由()2231,2143y k x x y ⎧-=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得，()()()2223412841230k x k kx k k +++++-=， 所以2324123134k k x k +--⋅=+，所以232412334k k x k --+=+ 将上式中的k 换成k -得，242412334k k x k-++=+， 所以()343434342MNk x x y y k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦==-- 22286234124234k k k k k⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭==--+ 所以直线MN 的方程是12y x d =-+， 代入椭圆方程22143x y +=得，2230x dx d -+-=，所以()()22430d d ∆=--->，所以22d -<<，又因为MN 在Q 点下方，所以()31122d >-⨯-+，所以d 的取值范围为()2,1-. 故答案为()2,1-4、已知P 为双曲线221x y -=右支上任意一点，Q 与P 关于x 轴对称，12,F F 为双曲线的左、右焦点，则12F P F Q ⋅=u u u v u u u u v__________．【答案】1-【解析】由题双曲线的焦点12F ,F 为（0），0）设P (00,x y ),则Q (00,x y -)， 12F P F Q ⋅=u u u v u u u u v（00x y ）⋅（00x y -）=22002x y --=-1故答案为-15、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=u u u u v u u u v u u u v，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意可得22222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，22b =，因此，椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =.若直线l 的方程为1x =，联立221142x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时，MN =OMDN的面积为122= 同理，当直线l 的方程为1x =-时，可求得四边形OMDN； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，代人到22142x y +=，得()222124240k x kmx m +++-=，122412km x x k -∴+=+，21222412m x x k -=+，()228420k m ∆=+->， ()12122221my y k x x m k∴+=++=+，12212MN x x k=-==+，点O 到直线MN的距离d =，由OM OC OD +=u u u u r u u u r u u u r，得122421D km x x x k =+=-+，122212D my y y k =+=+， Q 点D 在椭圆C 上，所以有222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=，由题意知，四边形OMDN 为平行四边形，∴平行四边形OMDN的面积为2122212OMDN OMNS S MN d k ∆==⨯⨯=+()222121k k +====+故四边形OMDN .6、设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2221(15)x y a a+=<<上，该椭圆的左顶点A 到直线50x y-+=． ()1求椭圆C 的标准方程；()2若线段MN 平行于y 轴，满足()20ON OM MN -⋅=u u u r u u u u r u uu u r ，动点P 在直线x = 2.ON NP ⋅=u u u r u u u r证明：过点N 且垂直于OP 的直线过椭圆C 的右焦点F ．【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析【解析】(1)由题意： ()A a,0-2︱︱-=， 1a 5<<Q a 2∴= ∴椭圆C 的标准方程为： 22x y 14+=(2)设()M m,n ， ()P t ，则22m 4n 4+=， (ON 2OM)MN 0-⋅=u u u u v u u u u v u u u u vQ ，即()()110y 2n 0,y n 0--=n ，,解1y 2n =∴ ()N m,2n ， ON NP 2u u u v u Q u u v⋅=，()ON OP ON 2∴⋅-=u u u v u u u v u u u v ，即：()()m,2n m,t 2n -，得222nt (m 4n )2+-+= ,nt 30+-=Q 直线OP 的方程为： tx 0-=， 设过点N 且垂直于OP 直线为l ，∴直线l 的方程：ty 2tn 0+-+= ，即ty 60+-=∴直线l 过定点)，即直线l 恒过椭圆的右焦点F7、已知抛物线21:2(0)C y px p =>与椭圆222:143x y C +=有一个相同的焦点，过点(2,0)A 且与x 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于P ，Q 两点，P 关于x 轴的对称点为M . （1）求抛物线1C 的方程；（2）试问直线MQ 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）24y x =；（2）(2,0)-【解析】（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为()1,0，所以2p =，所以抛物线的方程为24y x =；（2）【解法一】因为点P 与点M 关于x 轴对称 所以设()11,P x y ，()22,Q x y ，()11,M x y -， 设直线PQ 的方程为()2y k x =-，代入24y x =得：()22224140k x k x k -++=，所以124x x =，设直线MQ 的方程为y mx n =+，代入24y x =得：()222240m x mn x n +-+=，所以21224n x x m==，因为10x >，20x >，所以2nm=，即2n m =， 所以直线MQ 的方程为()2y m x =+，必过定点()2,0-. 【解法二】设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ， 因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以31y y =-， 设直线PQ 的方程为2x ty =+，代入24y x =得：2480y ty --=，所以128y y =-，设直线MQ 的方程为x my n =+，代入24y x =得：2440y my n --=，所以234y y n =-，因为31y y =-，所以()211248y y y y n -=-=-=，即2n =-， 所以直线MQ 的方程为2x my =-，必过定点()2,0-.8、已知O 为坐标原点，点1(F ，2F ，S ，动点N 满足1NF NS +=P为线段1NF 的中点，抛物线C ：22(0)x my m =>上点A ，OA OS ⋅=u u u v u u u v. （1）求动点P 的轨迹曲线W 的标准方程及抛物线C 的标准方程； （2）若抛物线C 的准线上一点Q 满足OP OQ ⊥，试判断2211||||OP OQ +是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）曲线W 的标准方程为2213x y +=.抛物线C 的标准方程为2x =.（2）见解析【解析】（1）由题知22NS PF =，112NF PF =，所以12122NF NF PF PF ++=12F F =>，因此动点P 的轨迹W 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，又知2a =，2c =，所以曲线W 的标准方程为2213x y +=.又由题知(A A x ，所以(()A OA OS x ⋅=⋅u u u v u u u vA ==，所以A x =又因为点(A 在抛物线C上，所以m =所以抛物线C的标准方程为2x =.（2）设(),P P P x y，,Q Q x ⎛ ⎝⎭， 由题知OP OQ ⊥，所以02Pp Q x x -=，即)0Q P P x x =≠， 所以222222111133||||22P P P P y OP OQ x y x +=+++ ()222323P P P x x y +=+， 又因为2213P P x y +=，2213P P x y =-，所以()222222323213313P PP P PP x x x x y x ++==⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 所以2211||||OP OQ +为定值，且定值为1.。

第27讲（椭圆中两直线斜率之和为定值的问题）【目标导航】圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 【例题导读】例1、已知直线l 不过坐标原点O ，且与椭圆22:143x y C +=相交于不同的两点,,A B OAB ∆则22OA OB+的值是（ ）A ．4B ．7C ．3D ．不能确定例2、已知A ，B 分别是双曲线C ：22y x 12-=的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限．记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1+k 2取得最小值时，△PAB 的重心坐标为（ ） A ．()1,1 B ．41,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．4,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．44,33⎛⎫⎪⎝⎭例3、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A 为椭圆C 的左顶点，直线l过点D(1，0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若△AEF 的面积为10，求直线l 的方程；(3) 已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为k(k ≠0)，k ′，求证：k·k′为定值．例4、已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 已知P(t ，0)为椭圆E 外一动点，过点P 分别作直线l 1和l 2，直线l 1和l 2分别交椭圆E 于点A ，B 和点C ，D ，且l 1和l 2的斜率分别为定值k 1和k 2，求证：PA ·PBPC ·PD为定值．例5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程；(2) 设点P 为椭圆C 2上的一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证k 1·k 2为定值．例6、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，左焦点F(－2，0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若M(－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程； (3) 设直线MA ，MB 与y 轴分别相交于点C ，D ，证明：OC·OD 为定值．例7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点Q 满足QB 1⊥PB 1，QB 2⊥PB 2.求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．例8、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP 2＋1OQ2的值．例9、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P(2，－1)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．． 【反馈练习】1、如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定2、已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与C 交于A ，B 两点，交l 于D ，过A ，B 分别作x 轴的平行线，分别交l 于M ，N 两点.若4AB FB =u u u v u u u v，AND ∆的面积等于323，则C 的方程为（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =3、在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为22143x y +=，左右焦点分别为1F ，2F ，设Q 为椭圆C 上位于x轴上方的一点，且1QF x ⊥轴，M 、N 为椭圆C 上不同于Q 的两点，且11MQF NQF ∠=∠，设直线MN 与y 轴交于点(0,)D d ，则d 的取值范围为____．4、已知P 为双曲线221x y -=右支上任意一点，Q 与P 关于x 轴对称，12,F F 为双曲线的左、右焦点，则12F P F Q ⋅=u u u v u u u u v__________．5、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =)2,1（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=u u u u v u u u v u u u v，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.6、设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2221(15)x y a a+=<<上，该椭圆的左顶点A 到直线50x y -+=． ()1求椭圆C 的标准方程；()2若线段MN 平行于y 轴，满足()20ON OM MN -⋅=u u u r u u u u r u u u u r ，动点P 在直线x = 2.ON NP ⋅=u u u r u u u r证明：过点N 且垂直于OP 的直线过椭圆C 的右焦点F ．7、已知抛物线21:2(0)C y px p =>与椭圆222:143x y C +=有一个相同的焦点，过点(2,0)A 且与x 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于P ，Q 两点，P 关于x 轴的对称点为M . （1）求抛物线1C 的方程；（2）试问直线MQ 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.8、已知O 为坐标原点，点1(F ，2F ，S ，动点N 满足1NF NS +=P为线段1NF 的中点，抛物线C ：22(0)x my m =>上点A ，OA OS ⋅=u u u v u u u v .（1）求动点P 的轨迹曲线W 的标准方程及抛物线C 的标准方程； （2）若抛物线C 的准线上一点Q 满足OP OQ ⊥，试判断2211||||OP OQ +是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.。

微专题35 椭圆中两直线斜率之和为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，本专题在上节课的基础上，让学生继续体会其中蕴含着动、静依存的辩证关系，并以椭圆中的斜率之和为条件，从具体问题入手，继续通过对解决方法进行总结辨析，希望能使学生根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并进一步引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.如图35-1所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0过点A ()0，1，且离心率为32.图35-1(1)求椭圆C 的方程；(2)过A 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线，分别交椭圆于点M ，N ，且k 1＋k 2＝2，证明：直线MN 过定点．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中存在两斜率和为定值的两直线，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线方程可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，任意不经过短轴端点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点P (0，b )，若直线P A 与直线PB的斜率的和为s (s ≠0)，证明：l 过定点Q (－2b s ，－b )．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，任意不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点P (4,0)，若直线P A 与直线PB 的斜率的和为0 ，则l 过定点坐标为_________．已知左焦点为F (－1,0)的椭圆过点E (1，233)．过点P (1,1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为线段AB 的中点，求k 1；(3)若k 1＋k 2＝1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．如图35-2所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2,0)，且右焦点为F (1,0)，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．设点P (4,3)，记P A 、PB 的斜率分别为k 1和k 2.图35-2(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线l 的斜率等于－1，求出k 1·k 2的值；(3)探讨k 1＋k 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k 1＋k 2的取值范围．(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .(本小题满分14分)(新课标Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)x 24＋y 2＝1；(2)略．(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.…………………………………………………………………………………………2分(判断点P 1不在C 上)因此⎩⎪⎨⎪⎧ 1b 2＝11a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.…………………………………………………………………………………………4分(求出椭圆方程)(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B的坐标分别为(t ，4－t 22)，(t ，－4－t 22)．则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题意．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0………………………………………………………………………………………………………………6分(考察l ⊥x 轴时情形)由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. ………………………………………………………………8分(设出直线方程，联立方程组，写出韦达定理)而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2. ………………………………10分(用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2) 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.……………………12分(由k 1＋k 2＝－1求得k ＝－m ＋12) 当且仅当m >－1时，Δ>0，欲使l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1). ………………14分(将k ＝－m ＋12代入l 方程化成点斜式并得出结论)答题模板 第一步：根据a >b >0判断点P 1不在椭圆上；第二步：将另外三点代入椭圆方程求出a ，b ；第三步：考察l ⊥x 轴时，不合题；第四步：当l 与x 轴不垂直，设出直线方程与椭圆方程联立并消元得x 的一元二次方程．并写出韦达定理；第五步：将斜率公式代入k 1＋k 2并用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2；第六步：将韦达定理代入，并整理得k ＝－m ＋12； 第七步：将k ＝－m ＋12代入直线方程并化为点斜式，从而得出结论. 作业评价已知椭圆x 236＋y 24＝1上一点M (32，2)，过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A ，B ，∠AMB 的平分线与y 轴平行，则直线AB 的斜率为定值________．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐标为________．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，F 2()1，0，设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线F 2P 、F 2Q 的倾斜角分别为α，β且α＋β＝π，则直线l 恒过定点坐标为________．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设M 是椭圆C 的左顶点，过点M分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐标为____．已知椭圆a 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 已知椭圆C 过点A (1，32)，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，点P (2，－1)满足P A 1→·P A 2→＝1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值，若不存在，请说明理由．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3(1)求椭圆的方程；(2)已知P 为直角坐标平面内一定点，动直线l ：y ＝12x ＋t 与椭圆交于A 、B 两点，当直线P A 与直线PB 的斜率均存在时，若直线P A 与PB 的斜率之和为与t 无关的常数，求出所有满足条件的定点P 的坐标．。

微专题：解析几何中斜率之积为定值（2221ab k k -=•）的问题探究【教学重点】掌握椭圆中2221ab k k -=•的形成的路径探寻及成果运用理性判断【教学难点】运算的设计和化简活动一：2221ab k k -=•形成的路径探寻1. 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB的斜率都存在，求PO ABK K •．【解析】 ：设点()0,y x P，()11,y x A ，()22,y x B ，则有；；)2(1)1(1222222221221=+=+bya xb y a x （代点作差）将①式减②式得，，，所以所以，即22ab K K POAB-=•．【结论形成总结】【结论1】 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，则1222-=-=•e ab K K POAB ．2.已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，若直线PA,PB 的斜率都存在，记直线PA,PB 的斜率分别为21k k ，．求21k k •的值。

【解法1】：设()0,y x P，()11,y x A 又因为A,B 是关于原点对称，所以点B 的坐标为()11-,-y x B ，所以212021201010101021x x y y x x y y x x y y k k --=++•--=•．又因为点()00,y x P ，()11,y x A 在椭圆上，所以有；；)2(1)1(1221221220220=+=+b y a x b y a x两式相减得，2221202120-ab x x y y =--，所以2221ab k k -=•．【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。

专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标． 本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN →为定值；(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R .图34-1在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆T的方程为x22＋y2＝1.设A，B，M是椭圆T上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM→＝cosθOA→＋sinθOB→.(1)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；(2)求OA2＋OB2的值．(江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x29＋y25＝1的左、右顶点为A，B，设过点T(9，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0.图34-2求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过点D (1,0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．图34－3(1)求椭圆C 的方程；(2)若△AEF 的面积为10，求直线l 的方程；(3)已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为k (k ≠0)，k ′，求证：k ·k ′为定值．(本小题满分16分)(2019·南京一模) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l ：y ＝k (x －m )(m ∈R )与椭圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的左顶点为A ，记直线AP 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2. ①若m ＝0，求k 1k 2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值．(1)x 24＋y 23＝1；(2)①－34；②m ＝1.因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2c ＝8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. …………………………3分(求出椭圆方程)①设P (x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q (－x 0，－y 0)，由x 204＋y 203＝1，得y 20＝3－3x 204…………………………5分(设出点P (x 0，y 0)求出关系式y 20＝3－34x 20)所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.…………………………8分(利用上面关系式，推证k 1k 2＝定值．) ②由(1)得A (－2,0)．设P (x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，…………………………10分(联立方程组，写出韦达定理)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)得y 1＝12k 13＋4k 21，所以P (6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21).…………………………12分(求出点P 的坐标) 由k 1k 2＝－14，得k 2＝－14k 1，所以Q (24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k 21).…………………………13分(由点P 坐标求得Q 坐标) 设M (m ,0)，由P ，Q ，M 三点共线，得PM →＝λQM →，即12k 13＋4k 21×(24k 21－21＋12k 21－m )＝－12k 11＋12k 21×(6－8k 213＋4k 21－m )， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，所以m ＝1. …………………………16分(由三点共线构建方程，并求出m 的值)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k (x －m )，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4m 2k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8mk 23＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2k 2－123＋4k 2…………………………10分 而k 1k 2＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝k (x 1－m )x 1＋2·k (x 2－m )x 2＋2＝k 2[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2]x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－14，13分 化简得k 2(3m 2－12)4m 2k 2＋16mk 2＋16k 2＝－14，即m 2k 2＋mk 2－2k 2＝0. 因为k 2≠0，所以m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)． 当m ＝1时，Δ＞0，所以，m ＝1. …………………………16分答题模板 第一步：求出椭圆方程；第二步：设点P 坐标，推出点P 坐标满足的等式，y 20＝3－34x 20；第三步：利用第二步中的等式推出k 1k 2＝－34；第四步：联立方程组，写出韦达定理；第五步：写出点P 的坐标；第六步：由条件求出Q 点坐标；第七步：由P ，M ，Q 共线，列出关于m 的方程，并求得解.作业评价已知椭圆x 216＋y 24＝1的左顶点为A ，过A 作两条弦AM ，AN 分别交椭圆于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率记为k 1，k 2，满足k 1·k 2＝－2，则直线MN 经过的定点为________．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .则直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为____________．如图34-4所示，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N .当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是______．图34-4已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .(i )设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；(ii )设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ()－4，0，过点R ()3，0作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(22，12)，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2＝2，求证：直线DE恒过定点．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点(均异于椭圆的左、右顶点)．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6.⑴求椭圆的标准方程；(2)设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2.①若k2＝3k1，求证：直线l过定点；②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断k1k2是否为定值，并说明理由．。

椭圆两直线斜率之积结论一、结论的定义与性质椭圆两直线斜率之积结论是指在椭圆上任意取两点，连接这两点的直线的斜率之积等于定值。

这个定值与椭圆的参数有关，但与点的位置无关。

这一结论具有普遍性和可预测性，适用于所有椭圆和直线。

二、结论的证明方法证明椭圆两直线斜率之积结论的方法有多种，其中一种比较常见的方法是通过参数方程进行证明。

参数方程是描述椭圆形状和大小的一种数学表示方法，通过引入参数方程，我们可以将椭圆的几何性质转化为代数表达式，从而利用代数方法进行证明。

具体证明步骤如下：首先，设椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ(θ为参数)在椭圆上任取两点，分别设为P1(x1,y1)和P2(x2,y2)计算连接这两点的直线的斜率k1和k2，即k1=dy1/dx1，k2=dy2/dx2利用椭圆参数方程的导数公式，可以计算出k1*k2的表达式，最终证明它是一个定值。

三、结论的推广与应用椭圆两直线斜率之积结论不仅适用于普通椭圆，也适用于其他形状的曲线，如抛物线、双曲线等。

此外，该结论还可以扩展到高维空间中的超球等类似形状。

在应用方面，这个结论可以用于解决一些与曲线相切、与曲线长度相关的问题。

四、结论的拓展与引申椭圆两直线斜率之积结论可以拓展到其他数学领域，如解析几何、微分几何、线性代数等。

例如，在解析几何中，这个结论可以用于研究曲线的性质和构造新的曲线方程；在微分几何中，这个结论可以用于研究曲面的性质和构造新的曲面方程；在线性代数中，这个结论可以用于研究矩阵的性质和构造新的矩阵方程。

五、结论在数学问题中的应用椭圆两直线斜率之积结论可以应用于以下数学问题：求解与椭圆相关的曲线方程；研究椭圆上的线段长度之比；求解与椭圆相关的最值问题；利用这一结论构造新的数学命题和定理。

六、结论在其他领域的应用除了在数学领域的应用外，椭圆两直线斜率之积结论还可以应用于其他领域：天文学：在天文学中，这个结论可以用于研究行星和卫星的运动轨迹；物理学：在物理学中，这个结论可以用于研究物体的运动轨迹和受力分析；工程学：在工程学中，这个结论可以用于研究机械部件的运动轨迹和优化设计。

专题35 椭圆中两直线斜率之和为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，本专题在上节课的基础上，让学生继续体会其中蕴含着动、静依存的辩证关系，并以椭圆中的斜率之和为条件，从具体问题入手，继续通过对解决方法进行总结辨析，希望能使学生根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并进一步引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.如图35-1所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0过点A ()0，1，且离心率为32.图35-1(1)求椭圆C 的方程；(2)过A 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线，分别交椭圆于点M ，N ，且k 1＋k 2＝2，证明：直线MN 过定点．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中存在两斜率和为定值的两直线，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线方程可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，任意不经过短轴端点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点P (0，b )，若直线P A 与直线PB的斜率的和为s (s ≠0)，证明：l 过定点Q (－2b s ，－b )．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，任意不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点P (4,0)，若直线P A 与直线PB 的斜率的和为0 ，则l 过定点坐标为_________．已知左焦点为F (－1,0)的椭圆过点E (1，233)．过点P (1,1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为线段AB 的中点，求k 1；(3)若k 1＋k 2＝1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．如图35-2所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2,0)，且右焦点为F (1,0)，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．设点P (4,3)，记P A 、PB 的斜率分别为k 1和k 2.图35-2(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线l 的斜率等于－1，求出k 1·k 2的值；(3)探讨k 1＋k 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k 1＋k 2的取值范围．(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .(本小题满分14分)(新课标Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)x 24＋y 2＝1；(2)略．(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.…………………………………………………………………………………………2分(判断点P 1不在C 上)因此⎩⎪⎨⎪⎧ 1b 2＝11a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.…………………………………………………………………………………………4分(求出椭圆方程)(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B的坐标分别为(t ，4－t 22)，(t ，－4－t 22)．则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题意．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0………………………………………………………………………………………………………………6分(考察l ⊥x 轴时情形)由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. ………………………………………………………………8分(设出直线方程，联立方程组，写出韦达定理)而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2. ………………………………10分(用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2) 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.……………………12分(由k 1＋k 2＝－1求得k ＝－m ＋12) 当且仅当m >－1时，Δ>0，欲使l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1). ………………14分(将k ＝－m ＋12代入l 方程化成点斜式并得出结论)答题模板 第一步：根据a >b >0判断点P 1不在椭圆上；第二步：将另外三点代入椭圆方程求出a ，b ；第三步：考察l ⊥x 轴时，不合题；第四步：当l 与x 轴不垂直，设出直线方程与椭圆方程联立并消元得x 的一元二次方程．并写出韦达定理；第五步：将斜率公式代入k 1＋k 2并用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2；第六步：将韦达定理代入，并整理得k ＝－m ＋12； 第七步：将k ＝－m ＋12代入直线方程并化为点斜式，从而得出结论. 作业评价已知椭圆x 236＋y 24＝1上一点M (32，2)，过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A ，B ，∠AMB 的平分线与y 轴平行，则直线AB 的斜率为定值________．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设M 是椭圆C 的上顶点，过点M分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐标为________．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，F 2()1，0，设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线F 2P 、F 2Q 的倾斜角分别为α，β且α＋β＝π，则直线l 恒过定点坐标为________．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设M 是椭圆C 的左顶点，过点M分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐标为____．已知椭圆a 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 已知椭圆C 过点A (1，32)，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，点P (2，－1)满足P A 1→·P A 2→＝1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值，若不存在，请说明理由．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3(1)求椭圆的方程；(2)已知P 为直角坐标平面内一定点，动直线l ：y ＝12x ＋t 与椭圆交于A 、B 两点，当直线P A 与直线PB 的斜率均存在时，若直线P A 与PB 的斜率之和为与t 无关的常数，求出所有满足条件的定点P 的坐标．。

微专题34例题导引例题答案：⎝⎛⎭⎫0，－35. 变式联想变式1解析： (1) 设点P (x 0，y 0)，则点Q (－x 0，－y 0)，点A (－2，0)，所以直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0＋2， 所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2y 0x 0＋2. 同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2y 0x 0－2，所以AM →·AN →＝4＋4y 20x 20－4. 又点P 在椭圆C 上，故x 204＋y 203＝1， 即x 20－4＝－43y 20， 所以AM →·AN →＝4＋4y 20x 20－4＝1(定值)． (2)设点P (x 1，y 1)，点Q (x 2，y 2)．设直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋2），x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以－2＋x 1＝－16k 213＋4k 21，x 1＝6－8k 213＋4k 21，y 1＝12k 13＋4k 21， 所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21. 因为k 1·k 2＝－1，所以点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21－83k 21＋4，－12k 13k 21＋4.当k 21＝1时，6－8k 213＋4k 21＝－27＝6k 21－83k 21＋4， 点P 和点Q 的横坐标相同，直线PQ 的方程为x ＝－27， 由此可见，如果直线PQ 经过定点R ，则点R 的横坐标一定为－27； 当k 21≠1时，k PQ ＝12k 13＋4k 21－－12k 13k 21＋46－8k 213＋4k 21－6k 21－83k 21＋4＝7k 14（1－k 21）， 直线PQ 的方程为y －12k 13＋4k 21＝7k 14（1－k 21）(x －6－8k 213＋4k 21)， 令x ＝－27，得y ＝7k 14（1－k 21）⎝ ⎛⎭⎪⎫－27－6－8k 213＋4k 21＋12k 13＋4k 21＝0， 所以直线PQ 过定点R ⎝⎛⎭⎫－27，0 变式2答案： (1) 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②. 因为OM →＝cos θOA →＋sin θOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cos θ＋x 2sin θ，y ＝y 1cos θ＋y 2sin θ.又因为点M 在椭圆上，故 （x 1cos θ＋x 2sin θ）22＋(y 1cos θ＋y 2sin θ)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2(x 1x 22＋y 1y 2)cos θsin θ＝1. 将①②代入上式，得⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2cos θsin θ＝0， 因为cos θsin θ≠0，所以x 1x 22＋y 1y 2＝0， 所以k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值． (2)3.串讲激活串讲答案：定点(1，0)．新题在线例题答案：(1)x 24＋y 22＝1；(2)x ±y －1＝0； (3)证明：设直线l ：y ＝k (x －1)， 代入椭圆整理得(2k 2＋1)k 2－4k 2x ＋2k 2x ＋2k 2－4＝0，设E (x 1，k (x 1－1))，F (x 2，k (x 2－1))，∴x 1，2＝4k 2±16k 4－4（2k 2＋1）（2k 2－4）2（2k 2＋1）， ∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1， 直线AE 的方程为y ＝k （x 1－1）x 1＋2(x ＋2)， 令x ＝3，解得 M (3，5k （x 1－1）x 1＋2)，同理，得 N (3，5k （x 2－1）x 2＋2) ∵Q 为M ，N 的中点，∴y Q ＝5k 2(x 1－1x 1＋2＋x 2－1x 2＋2)＝5k －15k 2·x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2x 1＋2x 2＋4， 将 x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1， 代入上式整理得y Q ＝－53k， ∴k ′＝－53k 3－1＝－56k， ∴k ·k ′＝－56为定值．。

微专题221．答案：⎝⎛⎭⎫0，－35. 解析：由直线AM ，AN 分别和椭圆方程联立，即可求得M 坐标为⎝⎛⎭⎫－85，－35和N 坐标为⎝⎛⎭⎫85，－35，进而可求得MN 直线方程y ＝－35，然后求得MN 与y 轴交点的坐标⎝⎛⎭⎫0，－35. 2．答案：－9.解析：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，易得y M＝9bk 2＋9，从而k OM ·k ＝－9. 3．答案：()0，－2±23. 解析：设点P (x 0，y 0)，直线AP ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，易得k 1k 2＝y 0－1x 0·y 0＋1x 0＝y 02－1x 02＝－14.所以AP 的方程为y ＝k 1x ＋1，BP 的方程为y ＝k 2x －1＝－14k 1x －1，所以 M ⎝⎛⎭⎫－3k 1，－2，N (4k 1，－2)，则以MN 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋3k 1(x －4k 1)＋(y ＋2)2＝0.即x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫3k 1－4k 1x ＋4y －8＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0x 2＋y 2＋4y －8＝0.所以MN 为直径的圆过定点 (0，－2±23)． 4．答案：x 225＋y 216＝1.解析：设动点M (x ，y )，由题意（x －3）2＋y 2⎪⎪⎪⎪253－x ＝35，化简得x 225＋y 216＝1，所以动点M 的轨迹方程是x 225＋y 216＝1. 5．答案：13.解析：设直线MA 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题直线MA 与MB 的斜率互为相反数，直线MB 的斜率为－k ，联立直线MA 与椭圆方程：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－32k x 236＋y 24＝1，整理得(9k 2＋1)x 2＋182k (1－3k )x ＋162k 2－108k －18＝0，得x 1＝182（3k 2－k ）9k 2＋1－32，所以x 2＝182（3k 2＋k ）9k 2＋1－32，整理得x 2－x 1＝362k 9k 2＋1，x 2＋x 1＝1082k 29k 2＋1－6 2.又y 2－y 1＝－kx 2＋2＋32k －(kx 2＋2－32k )＝－k (x 2＋x 1)＋62k . ＝－108k 39k 2＋1＋122k ＝122k 9k 2＋1，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝122k9k 2＋1362k 9k 2＋1＝13为定值． 6．答案：直线BD 过定点(a ，0)．解法1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋a ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2－a 2a 2＋k 12（x ＋a ）2b2＝0，所以x ＝－a ，或x ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，因为x B ≠－a ，所以x B ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，则y B ＝k 1(x B ＋a )＝2ab 2k 1b 2＋a 2k 12.由⎩⎨⎧y ＝k 2（x ＋a ），x 2＋y 2＝a 2，得x 2－a 2＋k 22(x ＋a )2＝0，得x ＝－a ，或x ＝a （1－k 22）1＋k 22，同理，得x D ＝a （1－k 22）1＋k 22，y D ＝2ak 21＋k 22，当k 1k 2＝b 2a 2时，x B ＝a ⎝⎛⎭⎫b 2－b4a 2k 22b 2＋b 4a 2k 22＝a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22，y B ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22，k BD ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22－2ak 21＋k 22a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22－a （1－k 22）1＋k 22＝－1k 2，所以BD ⊥AD ，因为E 2为圆，所以∠ADB 所对圆E 2的弦为直径，从而直线BD 过定点(a ，0)．解法2直线BD 过定点(a ，0)，证明如下：设P (a ，0)，B (x B ，y B )，则x B 2a 2＋y B 2b 2＝1(a ＞b＞0)，k AD k PB ＝a 2b 2k 1k PB ＝a 2b 2·y B x B ＋a ·y B x B －a ＝a 2b 2·y B 2x B 2－a 2＝a 2b 2⎝⎛⎭⎫－b 2a 2＝－1，所以PB ⊥AD ，又PD ⊥AD .所以三点P ，B ，D 共线，即直线BD 过定点P (a ，0)．7．答案：直线MN 恒过定点，且坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23. 解析：依题设，k 1≠k 2.设M (x M ，y M )，直线AB 的方程为y －1＝k 1(x －1)，即y ＝k 1x ＋(1－k 1)，亦即y ＝k 1x ＋k 2，代入椭圆方程并化简得(2＋3k 12)x 2＋6k 1k 2x ＋3k 22－6＝0.于是，x M ＝－3k 1k 22＋3k 12，y M ＝2k 22＋3k 12.同理，x N ＝－3k 1k 22＋3k 22，y N ＝2k 12＋3k 22.当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k ＝y M －y N x M －x N ＝4＋6（k 22＋k 2k 1＋k 12）－9k 2k 1（k 2＋k 1）＝10－6k 2k 1－9k 2k 1.直线MN 的方程为y －2k 22＋3k 12＝10－6k 2k 1－9k 2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －－3k 1k 22＋3k 12，即y ＝10－6k 2k 1－9k 2k 1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10－6k 2k 1－9k 2k 1·3k 1k 22＋3k 12＋2k 22＋3k 12， 亦即y ＝10－6k 2k 1－9k 2k 1x －23.此时直线过定点⎝⎛⎭⎫0，－23.当k 1k 2＝0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点⎝⎛⎭⎫0，－23.综上，直线MN 恒过定点，且坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23. 8．答案：(1)椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)在x 轴上存在定点E ⎝⎛⎭⎫73，0使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59. 解析：(1)由e ＝63，得c a ＝63，即c ＝63a ，①.又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且该圆与直线2x －2y ＋6＝0相切，所以a ＝|6|22＋（－2）2＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k （x －2），得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1x 2＝12k 2－61＋3k 2.根据题意，假设x 轴上存在定点E (m ，0)，使得EA →2＋EA →·AB →＝(EA →＋AB →)·EA →＝EA →·EB →为定值，则EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2)＝（3m 2－12m ＋10）k 2＋（m 2－6）1＋3k 2，要使上式为定值，即与k 无关，只需3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，解得m ＝73，此时，EA →2＋EA →·AB →＝m 2－6＝－59，所以在x 轴上存在定点E ⎝⎛⎭⎫73，0使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59.。