专题3 填空压轴题之几何求值-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类之压轴题汇编(深圳专用解析版)

专题02 填空压轴题1．（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，30B Ð=°，1AC =．第一步，在AB 边上找一点D ，将纸片沿CD 折叠，点A 落在A ¢处，如图2；第二步，将纸片沿CA ¢折叠，点D 落在D ¢处，如图3．当点D ¢恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A D ¢¢的长为 ．【答案】12或2-【详解】①点D ¢恰好落在直角三角形纸片的AB 边上时，设A C ¢交AB 边于点E ，如图，由题意：ADC D @△A DC ¢@△A D C ¢¢，A C ¢垂直平分线段DD ¢．则60D A C DA C A Т¢=Т=Ð=°，1A C AC ¢==．90ACB Ð=°Q ，30B Ð=°，1AC =，tan 1tan 60BC AC A \=×=´°=22AB AC ==，Q 1122ABC S AC BC AB CE D =×=×，CE \=．1A E A C CE \¢=¢-=-．在Rt △A D E ¢¢中，cos A E D A E A D ¢Ð¢¢=¢¢Q ，\12A E A D ¢=¢¢，22A D A E \¢¢=¢=-．②点D ¢恰好落在直角三角形纸片的BC 边上时，如图，由题意：ADC D @△A DC ¢@△A D C ¢¢，1303ACD A CD A CD ACB Ð=Т=Т¢=Ð=°；则60D A C DA C A Т¢=Т=Ð=°，1A C AC ¢==．60D A C Т¢=°Q ，30A CD Т¢=°，90A D C \Т¢=°，1111222A D A C \¢¢=¢=´=．综上，线段A D ¢¢的长为：12 或22．（2020•河南）如图，在扇形BOC 中，60BOC Ð=°，OD 平分BOC Ð交 BC于点D ，点E 为半径OB 上一动点．若2OB =，则阴影部分周长的最小值为 ．【详解】如图，作点D 关于OB 的对称点D ¢，连接D C ¢交OB 于点E ¢，连接E D ¢、OD ¢，此时E C E D ¢+¢最小，即：E C E D CD ¢+¢=¢，由题意得，30COD DOB BOD Ð=Ð=Т=°，90COD \Т=°，CD \¢===，CD 的长3021803l p p ´==，\阴影部分周长的最小值为3p+=3．（2019•河南）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE a =．连接AE ，将ABE D 沿AE 折叠，若点B 的对应点B ¢落在矩形ABCD 的边上，则a 的值为 ．【答案】53【详解】分两种情况：①当点B ¢落在AD 边上时，如图1．Q 四边形ABCD 是矩形，90BAD B \Ð=Ð=°，Q 将ABE D 沿AE 折叠，点B 的对应点B ¢落在AD 边上，1452BAE B AE BAD \Ð=Т=Ð=°，AB BE \=，\315a =，53a \=；②当点B ¢落在CD 边上时，如图2．Q 四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D \Ð=Ð=Ð=Ð=°，AD BC a ==．Q 将ABE D 沿AE 折叠，点B 的对应点B ¢落在CD 边上，90B AB E \Ð=Т=°，1AB AB =¢=，35EB EB a =¢=，DB \¢==，3255EC BC BE a a a =-=-=．在ADB D ¢与△B CE ¢中，9090B AD EB C AB D D C Т=Т=°-ТìíÐ=Ð=°î，ADB \D ¢∽△B¢\DB AB CE B E ¢¢=¢135a =，解得1a =2a ．综上，所求a 的值为53．4．（2018•河南）如图，90MAN Ð=°，点C 在边AM 上，4AC =，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A BC ¢与ABC D 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A B ¢所在直线于点F ，连接A E ¢．当△A EF ¢为直角三角形时，AB 的长为 ．【答案】或4【详解】当△A EF ¢为直角三角形时，存在两种情况：①当90A EF ¢Ð=°时，如图1，Q △A BC ¢与ABC D 关于BC 所在直线对称，4A C AC ¢\==，ACB A CB ¢Ð=Ð，Q 点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，D \、E 是ABC D 的中位线，//DE AB \，90CDE MAN \Ð=Ð=°，CDE A EF ¢\Ð=Ð，//AC A E ¢\，ACB A EC ¢\Ð=Ð，A CB A EC ¢¢\Ð=Ð，4A C A E ¢¢\==，Rt △A CB ¢中，E Q 是斜边BC 的中点，28BC A E ¢\==，由勾股定理得：222AB BC AC =-，AB \==②当90A FE ¢Ð=°时，如图2，90ADF A DFB Ð=Ð=Ð=°Q ，90ABF \Ð=°，Q △A BC ¢与ABC D 关于BC 所在直线对称，45ABC CBA ¢\Ð=Ð=°，ABC \D 是等腰直角三角形，4AB AC \==；综上所述，AB 的长为或4；5．（2021•长葛市一模）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以点D 为圆心、AD 的长为半径画弧，再以BC 为直径画半圆．若阴影部分①的面积为1S ，阴影部分②的面积为2S ，则21S S -的值为 ．【答案】342p -【详解】由图形可知，扇形ADC 的面积+半圆BC 的面积+阴影部分①的面积-正方形ABCD 的面积=阴影部分②的面积，21S S \-=扇形ADC 的面积+半圆BC 的面积-正方形ABCD 的面积2229021123602p p ´=+´-342p =-6．（2021•中原区校级模拟）如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，AB =，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边BPQ D ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是 ．【详解】如图，取AB 的中点E ，连接CE ，PE ．90ACB Ð=°Q ，30A Ð=°，60CBE \Ð=°，BE AE =Q ，CE BE AE \==，BCE \D 是等边三角形，BC BE \=，60PBQ CBE Ð=Ð=°Q ，QBC PBE \Ð=Ð，QB PB =Q ，CB EB =，()QBC PBE SAS \D @D ，QC PE \=，\当EP AC ^时，QC 的值最小，在Rt AEP D 中，AE =Q ，30A Ð=°，12PE AE \==，CQ \．7．（2021•郑州模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是AB 边上一动点（不与点A ，B 重合），连接PD ，过点B 作BM PD ^交DP 的延长线于点M ，连接AM ，过点A 作AN AM ^交PD 于点N ，连接BN ，CN ，则BNC D 面积的最小值为 ．【答案】12-【详解】Q 四边形ABCD 为正方形，AD AB \=，90BAD BAN NAD Ð=Ð+Ð=°，90MAB BAN Ð+Ð=°Q ，MAB NAD \Ð=Ð，180BMP BPM MBP PAD PDA APD Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=°Q ，MPB APD Ð=Ð，90BMP DAP Ð=Ð=°，MBP ADP \Ð=Ð，在AMB D 和AND D 中，MAB NAD AB ADMBA NDA Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()AMB AND ASA \D @D ．AMB AND S S D D \=，1144822AND BNC ABCD S S S D D +==´´=Q 正方形，\当AMB S D 面积最大时，BNC S D 面积最小，90BMD Ð=°Q ，\点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，当ABM D 面积最大时，OM AB ^，如图，Q 点O 为BD 中点，//OM AD ，122OK AD \==，BD ==Q12OM BD \==2MK OM OK \=-=-，142AMB S AB MK D \=×=-，884)12BNC AMB S S D D \=-=-=-．8．（2021•河南模拟）如图，正方形ABCD 中，点M ，N 分别为边CD ，AB 上一个动点，且CM AN =，连接MN ，过点D 作DP MN ^于点P ，连接CP ，若4AB =，则CP 的最小值为 ．【详解】连接AC 交MN 于O ．Q 四边形ABCD 是正方形，//AB CD \，OCM OAN \Ð=Ð，CM AN =Q ，COM AON Ð=Ð，()COM AON AAS \D @D ，OA OC \=，连接BD ，则BD 经过点O ，取OD 的中点T ，连接CT ，PT ．4AB =Q ，OD OC AD \===，DP MN ^Q ，90DPO \Ð=°，DT TO =Q ，12PT OD \==，90COT Ð=°Q ，CT \===，PC CT PT \-…，PC \…，PC \-9．（2021•郑州二模）在矩形ABCD 中，2AB =，AD =，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，点P 为线段MN 上一动点，以线段BP 为边，在BP 左侧作等边三角形BPQ ，连接QM ，则QM 的最小值为 ．【答案】12【详解】由题意可知，当点P 与点M 重合时，以BP 为边在左侧所做的等边三角形1BMQ ，当BP 等于BA 时所做的等边三角形BPA ，此时Q 和A 重合，当P 运动到点N 时，以BP 为边所做的等边三角形2BNQ ，\点P 在线段MN 上运动时，以BP 为边的等边三角形BPQ 的顶点Q 的轨迹是线段12Q Q 所在的直线，当12MQ Q Q ^时值最小，如图所示：ABCD Q 是矩形，2AB =，AD =M 是AB 边的中点，1AM BM \==，1BMQ Q 是等边三角形，11MQ AM BM \===，160BMQ Ð=°，1120Q MA \Ð=°，130MQ Q \Ð=°，又12MQ Q Q ^Q ，12MQ =．10．（2021•禹州市模拟）如图，在等边三角形ABC 中，6AB =，D ，E 分别为边AB 和AC 上的点，连接DE ，将ADE D 沿DE 折叠得到FDE D ．若点F 始终落在边BC 上，则线段DE 的取值范围为 ．【答案】3DE……【详解】如图1中，当AF BC^时，DE是ABCD的中位线，此时DE的值最小，最小值132DE BC==，如图2中，当点F与B重合时，DE的值最大，最大值是ABCD的高，此时DE=，综上所述，3DE……11．（2021•河南模拟）如图，在周长为16，面积为6的矩形纸片ABCD中，E是AD的中点．F是AB上一动点，将AEFD沿直线EF折叠，点A落在点A¢处．在EF上任取一点G，连接GA¢，GC，则A G GC¢+的最小值为 ．【答案】【详解】连接AC交EF于H，连接A H¢，当点G与点H重合时，此时A G GC¢+的值最小，设AB x =，BC y =，Q 矩形ABCD 的周长为16，面积为6，\86x y xy +=ìí=î，2252x y \+=，AC \==．A G GC ¢\+的最小值为．12．（2021•濮阳一模）如图，正方形ABCD 的边长为8，点E 在AB 上，2BE =．F 为对角线AC 上一动点，则BFE D 周长的最小值为 ．【答案】12【详解】如图，连接ED 交AC 于一点F ，连接BF ，Q 四边形ABCD 是正方形，\点B 与点D 关于AC 对称，BF DF \=，BFE \D 的周长BF EF BE DE BE =++=+，此时BEF D 的周长最小，Q 正方形ABCD 的边长为4，8AD AB \==，90DAB Ð=°，Q 点E 在AB 上且2BE =，6AE \=，10DE \==，BFE \D 的周长10212=+=13．（2021•河南模拟）如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，BC =E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF D 沿EF 所在直线翻折，得到△A EF ¢，连接A C ¢，A D ¢，则当△A DC ¢是以A D ¢为腰的等腰三角形时，FD 的长是 ．【答案】2-或【详解】①当A D DC ¢=时，如图1，连接ED ，Q 点E 是AB 的中点，4AB =，BC =ABCD 是矩形，AD BC \==90A Ð=°，6DE \==，Q 将AEF D 沿EF 所在直线翻折，得到△A EF ¢，2A E AE \¢==，4A D DC AB ¢===Q ，6DE A E A D \=¢+¢=，\点E ，A ¢，D 三点共线，90A Ð=°Q ，90FA E FA D \Т=Т=°，设AF x =，则A F x ¢=，FD x =-，在Rt △FA D ¢中，2224)x x +=，解得：x =，FD \=；②当A D A C ¢=¢时，如图2，A D A C ¢=¢Q ，\点A ¢在线段CD 的垂直平分线上，\点A ¢在线段AB 的垂直平分线上，Q 点E 是AB 的中点，EA\¢是AB的垂直平分线，\Т=°，90AEAD沿EF所在直线翻折，得到△A EF¢，Q将AEF=¢，\Ð=Т=°，AF FAA EA F90\四边形AEA F¢是正方形，\==，AF AE2\=-2DF¢¢，14．（2021•禹州市一模）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点B逆时针旋转60°，得到扇形O A B 其中点A的运动路径为 AA¢，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】2p-【详解】如图，连接BA，BA¢，OO¢，OO¢，Q 将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点B 逆时针旋转60°，得到扇形O A B ¢¢，BA BA \=¢，BO BO =¢，60ABA OBO Т=Т=°，OBO \D ¢是等边三角形，1602BOO AOB \Т=°=Ð，\当O ¢是AB 的中点，AO BO S S ¢¢\=弓形弓形，120AOB Ð=°Q ，2OA OB ==，AB \=，OA OB AO BO ==¢=¢Q ，\四边形AOBO ¢是菱形，AOB AO B S S D ¢\=V ，在△AO B ¢和△A O B ¢¢中，AB A B BO BO AO A O =¢ìï¢=¢íï¢=¢¢î，\△AO B ¢@△()A O B SSS ¢¢，AO B A O B S S ¢¢¢\=V V ，\图中阴影部分的面积AO B A O BBAA S S S ¢¢¢¢=--V V 扇形2AO BBAA S S ¢¢=-V 扇形_BAA AOBO S S ¢¢=-扇形菱形122=-´´2p =-．15．（2021•河南模拟）如图，在矩形ABCD 中，12AB =，9BC =，点E ，F 分别为边AB ，CD 上的动点，且2BE FD =．连接BD 、EF 交于点H ．连接AH ，过点A 作AG EF ^于点G ，连接BG ，则BG 的最小值为 ．【详解】//BE DF Q ，\2BH BE DH DF==，2BH DH \=，AG EF ^Q ，\点G 在以AH 为直径的圆上，设AH 中点为O ，连接GO ，如图所示．则BG BO OG -…．\当B ，G ，O 三点共线时，BG 最小，此时BG BO OG =-，过点O 作//MN AB 分别交BC 于点M ，交AD 于点N ，交BD 于点P ，OA OH =Q ，OP \为ABH D 的中位线，162OP AB \==，BP PH HD ==．13BP BD \=．////MN AB CD Q ，133BM AN BC \===，143MP CD ==．10MO \=，2ON =．在R AON D 中，AO ==．在Rt BOM D 中，BO ==，BG BO OG BO AO \=-=-=-16．（2021•河南模拟）如图，在正方形ABCD 中，8AB =，点E ，F 分别为边AB ，AD 上的动点，且6EF =，点G ，M 分别为边BC ，CD 的中点，连接BM ，DG 交于点O ．将EFA D 沿EF 折叠得到EFA ¢D ，点H 是边EF 上一动点，连接A H ¢，HO ，OA ¢．当A H HO ¢+的值最小时，OA ¢的长为 ．6【详解】连接AH 、AO ，如图1，由折叠的性质，点A 与点A ¢关于直线EF 对称，AH A H ¢\=，A H HO AH HO AO ¢\+=+…，\当A 、H 、O 三点共线时，A H HO ¢+的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO BC ^于点N ，如图2，\四边形AFA E ¢是正方形，6AA EF ¢\==，A 、O 、C 三点共线，45ACB \Ð=°，M Q 是DC 的中点，4MC \=，设CN x =，则ON CN x ==，8BN x =-，BNO BCM Ð=ÐQ ，BON BMC \D D ∽，\ON MC BN BC =，即488x x =-，83x \=，83CN \=，CO \==在Rt ABC D 中，由勾股定理得，AC ==616A O AC AA OC ¢¢\=--=--=-，16-．17．（2021•河南模拟）如图所示，ABC D 中，105BAC Ð=°，45ACB Ð=°，将ABC D 绕点C 顺时针旋转45°得对应DEC D ，若2BC =，则线段AB 扫过的阴影面积为 ．【详解】作AM BC^于M，105BACÐ=°Q，45ACBÐ=°，45CAM\Ð=°，60BAM\Ð=°，MC AM \=，BM=，(12AM BC\+==，1AM\=-，AC\==-，\扇形BCE的面积是245213602pp×==，121)12CDE ABCS SD D==´´-=-，CADS p==扇形．故12CAD ABCBCE CAD BCE CADS S S S S S S pD D=+--=-=-=阴影部分扇形扇形扇形扇形．18．（2021•涧西区一模）在矩形ABCD中，2AB=，4BC=，点E在边BC上，连接DE，将CDED沿DE 折叠，若点C的对称点C¢到AD的距离为1，则CE的长为　　．【详解】如图1，当点C¢落在矩形ABCD的内部，过点C¢作C M AD¢^于点M，Q 将CDE D 沿DE 折叠，2AB DC C D ¢\===，CDE C DE ¢Ð=Ð，1C M ¢=Q ，\12C M CD ¢¢=，30C DM ¢\Ð=°，60C DC ¢\Ð=°，1302CDE C DC ¢\Ð=Ð=°，tan 302CE CD \=´°==；如图2，当点C ¢落在矩形ABCD 的外部，过点C ¢作C G AD ¢^于点G ，C E ¢与AD 交于点H ,则1C G ¢=，同理2CD C D ¢==，30C DG ¢\Ð=°，60C HD ¢\Ð=°，Q 矩形ABCD 中，//AD BC ，60C HD HEC ¢\Ð=Ð=°，1302DEC HEC \Ð=Ð=°，CE \=．综上可得，CE 或．19．（2021•河南模拟）如图，点P 为矩形ABCD 对角线AC 上异于A 、C 的一个动点，过点P 作PE AD ^于点E ，点F 为点A 关于PE 的对称点，连接PF 、FC ，若6AB =，8BC =，当CPF D 为直角三角形时，AE 的长为 ．【答案】74【详解】PCF D Q 为直角三角形，90CFP \Ð=°，90CFD PFA \Ð+Ð=°，Q 四边形ABCD 为矩形，90CAB PAF \Ð+Ð=°，PE AD ^Q ，点A 与点F 关于PE 对称，PE PA \=，EF EA =，PFA PAF \Ð=Ð，CAB CFD \Ð=Ð，在CBA D 和CDF D 中B DCAB CFDÐ=ÐìíÐ=ÐîCBA CDF \D D ∽，\BC ABCD DF =，6AB CD ==Q ，8BC =，\866DF =，即92DF =，1()2AE AD DF \=-19(8)22=-74=．20．（2021•河南模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，O e 的半径为2，动弦2AB =，C 是AB 的中点，直线3:34ED y x=--与x轴交于E，与y轴交于D，连接EC和DC，则ECDD的面积的最大值为 ．6+【详解】334y x=--Q与x轴交于E，与y轴交于D，(0,3)D\-，(4,0)E-，3OD\=，4OE=，5DE==，连接OA，OC．AC BC=Q，OC AB\^，OC\==，\点C的运动轨迹是以O为半径的圆，过点O作OF DE^于F，交小圆于C¢，则125OE ODOFDE×==，观察图像可知，当点C与C¢重合时，CEDD的面积最大，最大值1125(625=´+=+．21．（2021•许昌一模）如图，在矩形ABCD中，4AB=，3BC=，将BCDD沿射线BD平移长度(0)a a>得到△B C D¢¢¢，连接AB¢，AD¢，则当△AB D¢¢是直角三角形时，a的长为 ．【答案】75或165【详解】分两种情况：①如图1，90D AB ¢¢Ð=°，延长C B ¢¢交AB 于G ，过点D ¢作D H AB ¢^，交BA 的延长线于H ，90H AGB BGB ¢¢\Ð=Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是矩形，90BAD C \Ð=Ð=°，3AD BC ==，tan AD B G ABD AB BG ¢Ð==Q ，即34B G BG ¢=，设3B G x ¢=，4BG x =，5BB a x ¢\==，由平移得：5DD BB x ¢¢==，33D H x ¢\=+，4AH BG x ==，44AG AB BG x \===-，90D AB HAD BAB ¢¢¢¢Ð=Ð+Ð=°Q ，90AD H HAD ¢¢Ð+Ð=°，AD H GAB ¢¢\Ð=Ð，90H AGB ¢Ð=Ð=°Q ，\△D HA AGB ¢¢D ∽，\D H AH AG B G ¢=¢，即334443x x x x+=-，725x \=，775255a \=´=；②如图2，90AB D ¢¢Ð=°，延长C B ¢¢交AB 于M ，则C M AB ¢^，90AMB ¢\Ð=°，由平移得：3B C BC ¢¢==，同理设3B M m ¢=，4BM m =，则5BB a m ¢==，44AM m \=-，90AB M D B C ¢¢¢¢Ð+Ð=°Q ，90MAB AB M ¢¢Ð+Ð=°，D B C MAB ¢¢¢¢\Ð=Ð，90C AMB ¢¢Ð=Ð=°Q ，\△D C B ¢¢¢∽△B MA ¢，\C D B C MB AM ¢¢¢¢=¢，即43344m m=-，1625m \=，161655255a m \==´=；综上，a 的值是75或165．22．（2021•平顶山模拟）如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，30B Ð=°，点P 是斜边AB 上一动点，连接CP ，将ACP D 沿CP 折叠，点A 的对应点是A ¢，当点A ¢落在边BC 的垂直平分线上时，ACP Ð的度数为 ．【答案】30°或60°【详解】如图：（1）当A ¢落在线段BC 的上方时，如图①：l Q 是BC 的垂直平分线，A C AB \¢=¢，30A CB B Т=Ð=°，903060ACA \Т=°-°=°，1302ACP ACA \Ð=Т=°．（2）当A ¢落在线段BC 的下方时，如图②：l Q 是BC 的垂直平分线，PC PB \=，30PCB B \Ð=Ð=°，903060ACP \Ð=°-°=°．综上，ACP Ð的度数是30°或60°．23．（2021•汝南县模拟）如图在等边ABC D 中，2AB =+，点D 在边AB 上，且2AD =，点E 是BC 边上一动点将B Ð沿DE 折叠，当点B 的对应点B ¢落在ABC D 的边上时，BE 的长为 ．6-【详解】①当点B ¢落在BC 边上时，如图1所示：ABC D Q 是等边三角形，60B \Ð=°，由折叠的性质得：22DB DB AB AD ¢==-=-=，B E BE ¢=，BDB ¢\D 是等边三角形，BB BD ¢\==，12BE BB ¢\=；②当点B ¢落在AC 边上时，如图2所示：由折叠的性质得：60DB E B ¢Ð=Ð=°，在ADB ¢D 中，2AD =，DB DB ¢==过点D 作DM AB ^交AC 于点M ，则tan 2DM AD A ===\点M 与点B ¢重合，90ADB ¢\D =°，30AB D ¢Ð=°，24AB AD ¢\==，2B C AC AB ¢¢\=-=-，180180306090EB C AB D DB E ¢¢¢Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°Q ，tan 2)6B E B C C ¢¢\===-，6BE \=-综上所述，BE 6-；24．（2021•市中区一模）如图，菱形ABCD边长为4厘米，60Ð=°，点M为AB的中点，点N是边ADAÐ沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当AN= 厘米时，BCE上任一点，把AD是直角三角形．【答案】1或2【详解】Q菱形ABCD边长为4厘米，点M为AB的中点，AM BM\==厘米，2由翻折可知：==，EM AM BM\Ð=Ð，MBE MEB①当90EBCÐ=°时，Q，Ð=°A60\Ð=°，120ABC\Ð=Ð=°，MBE MEB30\Ð=°，BME120\Ð=Ð=°，30AMN EMN\Ð=°，90MNA112AN AM \==厘米；②当90BEC Ð=°时，点E 落在菱形对角线AC 上，Q 点M 为AB 的中点，MN 为折痕，此时BD AC ^于点E ，\点N 为AD 的中点，122AN AD \==厘米．所以当1AN =或2厘米时，BCE D 是直角三角形．25．（2020•郑州模拟）如图，正方形ABCD 中，2AD =+，已知点E 是边AB 上的一动点（不与A 、B 重合）将ADE D 沿DE 对折，点A 的对应点为P ，当APB D 是等腰三角形时，AE = ．【答案】1【详解】若AP BA =，Q 四边形ABCD 是正方形AD AB \=，90DAB Ð=°，Q 折叠AD DP AP \==，ADE PDEÐ=ÐADP \D 是等边三角形60ADP \Ð=°30ADE \Ð=°AE AD \==若AP PB =，如图，过点P 作PF AD ^于点F ，作MED MDE Ð=Ð，AP PB =Q ，\点P 在AB 的垂直平分线上，且PF AD ^，12PF AB \=，Q 折叠AD DP AB \==，ADE PDEÐ=Ð12PF PD \=30PDF \Ð=°15ADE \Ð=°MED MDE Ð=ÐQ ，30AME \Ð=°，ME MD=AM \=，2ME AE=22AD AE \=+=+1AE \=当AB PB =时，AB AD BP \==，由折叠知，AD DP =，BP DP \=，在ADP D 和ABP D 中，AD AB DP BP AP AP =ìï=íï=î，()ADP ABP SSS \D @D ，45DAP BAP \Ð=Ð=°，\点E 和点B 重合，不符合题意，即：AB PB =此种情况不存在26．（2020•河东区一模）如图，正方形ABCD 的边长是9，点E 是AB 边上的一个动点，点F 是CD 边上一点，4CF =，连接EF ，把正方形ABCD 沿EF 折叠，使点A ，D 分别落在点A ¢，D ¢处，当点D ¢落在直线BC 上时，线段AE 的长为 ．【答案】2或8【详解】分两种情况：①当D ¢落在线段BC 上时，连接ED 、ED ¢、DD ¢，如图1所示：由折叠可得，D ，D ¢关于EF 对称，即EF 垂直平分DD ¢，DE D E \=¢，Q 正方形ABCD 的边长是9，9AB BC CD AD \====，4CF =Q ，945DF D F CD CF \=¢=-=-=，3CD \¢==，6BD BC CD ¢¢\=-=，设AE x =，则9BE x =-，在Rt AED D 和Rt BED ¢D 中，由勾股定理得：222229DE AD AE x =+=+，22222(9)6D E BE BD x ¢¢=+=-+，22229(9)6x x \+=-+，解得：2x =，即2AE =；②当D ¢落在线段BC 延长线上时，连接ED 、ED ¢、DD ¢，如图2所示：由折叠可得，D ，D ¢关于EF 对称，即EF 垂直平分DD ¢，Q 正方形ABCD 的边长是9，9AB BC CD AD \====，4CF =Q ，945DF D F CD CF \=¢=-=-=，3CD ¢==，12BD BC CD ¢¢\=+=，设AE x =，则9BE x =-，在Rt AED D 和Rt BED ¢D 中，由勾股定理得：222229DE AD AE x =+=+，22222(9)12D E BE BD x ¢¢=+=-+，22229(9)12x x \+=-+，解得：8x =，即8AE =；综上所述，线段AE 的长为2或8；27．（2020•河南一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点E 是边AD 上的一个动点，把BAE D 沿BE 折叠，点A 落在A ¢处，如果A ¢恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为 ．【答案】1【详解】分两种情况：①如图1，过A ¢作//MN CD 交AD 于M ，交BC 于N ，则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，112AM BN AD \===，ABE D Q 沿BE 折叠得到△A BE ¢，A E AE \¢=，1AB AB ¢==，0A N \¢==，即A ¢与N 重合，1A M \¢=，222A E EM A M \¢=+¢，222(1)1A E A E \¢=-¢+，解得：1A E ¢=，1AE \=；②如图2，过A ¢作//PQ AD 交AB 于P ，交CD 于Q ，则直线PQ 是矩形ABCD 的对称轴，PQ AB \^，AP PB =，，，，，，综上所述：的长为1；////AD PQ BC 2A B PB \¢=30PA B \Т=°30A BC \Т=°30EBA \Т=°tan 301AE A E A B \=¢=¢´°==AE28．（2020•河南模拟）在矩形中，，，点，分别为，上的两个动点，将沿折叠，点的对应点为，若点落在射线上，且恰为直角三角形，则线段的长为.【答案】或【详解】如图①，当为直角时，设在中，，，由折叠的性质知．的长为如图②，当为直角时，设，ABCD 3AB =4BC =E F BC AC CEF D EF C G G AB AGF D CF 207209AGF ÐCF x=Rt ABC D 3AB =4BC =5AC \=GF FC =90AGF ABC Ð=Ð=°Q //GF EC\AGF ABC\D D ∽\AF GF AC BC =\554x x -=209x \=CF \209AFG ÐCF y=BAC BAC Ð=ÐQ 90AFG ABC Ð=Ð=°AFG ABC\D D ∽的长为29．（2020•郑州二模）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，将沿折叠，得到△连接，，若为等腰三角形，则的长为 ．【答案】或【详解】如图，过点作于，交于，四边形是矩形，，，，\AF FG AB BC =\534y y -=207y \=CF \207ABCD 13AD =24AB =E AB CBE D CE CB E ¢AB ¢DB ¢ADB D ¢BE 263392B ¢MN CD ^M AB N Q ABCD 13AD BC \==24CD AB ==90ABC BCD CDA DAB Ð=Ð=Ð=Ð=°又，四边形是矩形，四边形是矩形，，，，①若，将沿折叠，得到△连接，，，，又，，，，，，；的最小值，②，不存在的情况．③当时，，，，，，④如图当点在直线的上方，时，同法可知，，MN CD ^Q \ANMD BCMN 13AD MN \==AN DM =MC BN =13AD DB ¢==Q CBE D CE CB E ¢AB ¢13BC B C ¢\==BE B E ¢=B C B D ¢¢\=MN CD ^Q 12CM DM \==5B M ¢\===8B N ¢\=222B E NE B N ¢¢=+Q 2264(12)BE BE \=+-263BE \=AB ¢Q 1313AC CB =-¢=>AB AD ¢>AB AD ¢=B A B D ¢=¢B M B N ¢=¢Q 2CB B M \¢=¢30B CM \Т=°30ECB ECB \Ð=Т=°tan 30BE CB \=°=g B ¢CD AD DB =¢12DM CM ==5MB ¢=在中，则有，解得，综上所述，满足条件的的值为．30．（2020•梁园区一模）如图，矩形中，点为上一个动点，以 为对称轴将折叠得到，点的对称点为点，射线交矩形的边于点，若，，当点为矩形边的中点时，的长为 ．【答案】【详解】如图1中，当点是的中点时，四边形是矩形，，，，，由翻折可知：，设，则，，在中，，，，如图2中，当点是的中点时，延长交的延长线于．Rt ENB D ¢222(12)18BE BE =-+392BE =BE 263392ABCD P AD PB APB D EPB D A E BE ABCD F 4AB =6AD =F ABCD AP 43F AD Q ABCD 90A \Ð=°4AB =3AF =5BF \===4AB BE ==PA PE x ==3PF x =-541EF =-=Rt PEF D 222PE EF PF +=Q 2221(3)x x \+=-43x \=43PA \=F CD AD BF H，，，，，，，，，，，，，设，则，，在中，，，，，综上所述，的长为31．（2020•巩义市一模）如图，矩形中，，，是边的中点，点是线段上的动点，过作于，当以点、、为顶点的三角形与相似时，的长为 ．90C Ð=°Q 6BC =2CF DF ==BF \==//DH BC Q H FBC \Ð=ÐDFH BFC Ð=ÐQ DF FC =()DHF CBF AAS \D @D 6DH BC \==FH BF ==4AB BE ==Q 4EF \=-44EH =+=-PA PE y ==6PD y =-6612PH y y =-+=-Rt PEH D 222PE EH PH +=Q 2224)(12)y y \+-=-y \=PA \=PA 43ABCD 4AB =6BC =E BC P AD P PF AE ^F P F E ABE D AP【答案】3或【详解】分两种情况：①若，如图1，则，，四边形为矩形，，②若，如图2中，则，，．，点为的中点，中，，，，256EFP ABE D D ∽PEF EAB Ð=Ð//PE AB \\ABEP 3PA EB \==PFE ABE D D ∽PEF AEB Ð=Ð//AD BCQ PAF AEB \Ð=ÐPEF PAF\Ð=ÐPE PA \=PF AE ^Q \F AE Rt ABE D 4AB =3BE =5AE \=，，，，．满足条件的的值为3或．32．（2020•洛阳一模）如图，在中，，，平分，点是边上一动点（不与、重合），沿所在的直线折叠，点的对应点为，当是直角三角形且为直角边时，则的长为 ．【详解】，，，，平分，，，，如图1，当时，点落在的延长线上，1522EF AE \==PFE ABE D DQ ∽\PE EF AE BE=256PE \=256PA =\PA 256Rt ABC D 90C Ð=°30A Ð=°AB =BD ABC ÐE AB A B DE A ÐA F BFC D BC AE 90C Ð=°Q 30A Ð=°AB =12BC AB \==3AC \=BD Q ABC Ð30CBD \Ð=°tan 301CD BC \=°==g 2BD AD \==90BCF Ð=°F AC，如图2，当，，，，，，，，过点作于点，，，．33．（2020•郑州二模）如图，矩形中，，，对角线，相交于点，点是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，线段，相交于点．若是直角三角形，则线段的长为 ．【答案】0.5或1.25【详解】①是直角，如图1，90ADE \Ð=°2sin 60AE \===°90CBF Ð=°DF DA DB ==90ACB CBF Ð=Ð=°Q //BF AC \60DFB DBF ADF BDC \Ð=Ð=Ð=Ð=°ADEEDF Ð=ÐQ 30ADE A \Ð=Ð=°AE DE \=E EM AD ^M 2AD =Q 1AM \=AE \=ABCD 3AB =4BC =AC BD O E AD AEO D EO A F EF OD G DEG D DE DEG Ð过点作于，四边形是矩形，，，，，，，由折叠的性质可得，，；②是直角，如图2，由折叠的性质可得，，，，，即，解得，，，，，，即，解得．综上所述，线段的长为0.5或1.25．O OH AD ^H Q ABCD 3AB =4BC =2AH \=5AC =2.5AO \=1.5OH \=45OEH Ð=°1.5EH OH \==42 1.50.5DE \=--=EGD Ð 2.5OF OA ==CAD F Ð=Ð90ADC FGO Ð=Ð=°Q OFG CAD \D D ∽::OG OF CD CA \=:2.53:5OG =1.5OG =2.5 1.51DG \=-=ADB GDE Ð=ÐQ 90DGE DAB Ð=Ð=°ADB GDE \D D ∽::DE DG DB DA \=:15:4DE =1.25DE =DE34．（2020•郑州模拟）如图，在矩形中，，点是的中点，分别连接，，且，点为的中点，点为边上一个动点，连接，点关于直线的对称点为点，分别连接，．当时，的长为 ．【详解】四边形是矩形，，，，，，，，，，①如图1中，当时，，，ABMN 1AN =C MN AC BC 2BC =D AC E AB DE A DE F DF EF EF AC ^AE Q ABMN 1AN BM \==90M NÐ=Ð=°CM CN =Q ()BMC ANC SAS \D @D 2BC AC \==2AC AN \=30ACN \Ð=°//AB MN Q 30CAB CBA \Ð=Ð=°DF AB ^60ADF Ð=°DA DF =Q是等边三角形，，，平分，，此时．②如图2中，当是等边三角形时，，此时．综上所述，满足条件的35．（2020•许昌二模）如图，在中，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，点落在处，当点在内部（不含边界）时，长度的取值范围是 ．【详解】，，，，当点落在上时，如图，ADF \D 60AFD \Ð=°30DFE DAE Ð=Ð=°Q EF \AFD ÐEFAD \^AE =AEF D EF AC ^EF =EF Rt ABC D 90ABC Ð=°2AB =4BC =D AC BD ABD D BD A A ¢A ¢ABC D AD AD <<90ABC Ð=°Q 2AB =4BC =AC \===A ¢AC将沿折叠，点落在处，，，，当点落在上时，如图，过点作于，将沿折叠，点落在处，，，，，，，，，，，当点在内部（不含边界）时，Q ABD D BD A A ¢90ADB A DB ¢\Ð=Ð=°cos AD AB A AB AC==Q AD \==A ¢BC D DH AB ^H Q ABD D BD A A ¢45ABD DBC \Ð=Ð=°DH AB ^Q 45HDB HBD \Ð=Ð=°BH DH \=tan 2HD BC A AH AB===Q 2HD AH BH \==22AB AH BH AH AH =+=+=Q 23AH \=43BH DH ==AD \===\A ¢ABC D AD AD <<。

专题02 填空压轴题1．（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt ABCD中，90ACBÐ=°，30BÐ=°，1AC=．第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A¢处，如图2；第二步，将纸片沿CA¢折叠，点D落在D¢处，如图3．当点D¢恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A D¢¢的长为 ．2．（2020•河南）如图，在扇形BOC中，60BOCÐ=°，OD平分BOCÐ交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若2OB=，则阴影部分周长的最小值为 ．3．（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，1AB=，BC a=，点E在边BC上，且35BE a=．连接AE，将ABED沿AE折叠，若点B的对应点B¢落在矩形ABCD的边上，则a的值为 ．4．（2018•河南）如图，90MANÐ=°，点C在边AM上，4AC=，点B为边AN上一动点，连接BC，△A BC¢与ABCD关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A B¢所在直线于点F，连接A E¢．当△A EF¢为直角三角形时，AB的长为 ．5．（2021•长葛市一模）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以点D 为圆心、AD 的长为半径画弧，再以BC 为直径画半圆．若阴影部分①的面积为1S ，阴影部分②的面积为2S ，则21S S -的值为 ．6．（2021•中原区校级模拟）如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，AB =P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边BPQ D ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是 ．7．（2021•郑州模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是AB 边上一动点（不与点A ，B 重合），连接PD ，过点B 作BM PD ^交DP 的延长线于点M ，连接AM ，过点A 作AN AM ^交PD 于点N ，连接BN ，CN ，则BNC D 面积的最小值为 ．8．（2021•河南模拟）如图，正方形ABCD 中，点M ，N 分别为边CD ，AB 上一个动点，且CM AN =，连接MN ，过点D 作DP MN ^于点P ，连接CP ，若4AB =，则CP 的最小值为 ．9．（2021•郑州二模）在矩形ABCD 中，2AB =，AD =，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，点P 为线段MN上一动点，以线段BP为边，在BP左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为 ．10．（2021•禹州市模拟）如图，在等边三角形ABC中，6AB=，D，E分别为边AB和AC上的点，连接DE，将ADED．若点F始终落在边BC上，则线段DE的取值范围D沿DE折叠得到FDE为 ．11．（2021•河南模拟）如图，在周长为16，面积为6的矩形纸片ABCD中，E是AD的中点．F是AB上¢+ D沿直线EF折叠，点A落在点A¢处．在EF上任取一点G，连接GA¢，GC，则A G GC 一动点，将AEF的最小值为 ．12．（2021•濮阳一模）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，2BE=．F为对角线AC上一动点，D周长的最小值为 ．则BFE13．（2021•河南模拟）如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，BC =E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF D 沿EF 所在直线翻折，得到△A EF ¢，连接A C ¢，A D ¢，则当△A DC ¢是以A D ¢为腰的等腰三角形时，FD 的长是 ．14．（2021•禹州市一模）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点B 逆时针旋转60°，得到扇形O A B ¢¢，其中点A 的运动路径为 AA ¢，则图中阴影部分的面积为 ．15．（2021•河南模拟）如图，在矩形ABCD 中，12AB =，9BC =，点E ，F 分别为边AB ，CD 上的动点，且2BE FD =．连接BD 、EF 交于点H ．连接AH ，过点A 作AG EF ^于点G ，连接BG ，则BG 的最小值为 ．16．（2021•河南模拟）如图，在正方形ABCD 中，8AB =，点E ，F 分别为边AB ，AD 上的动点，且6EF =，点G ，M 分别为边BC ，CD 的中点，连接BM ，DG 交于点O ．将EFA D 沿EF 折叠得到EFA ¢D ，点H 是边EF 上一动点，连接A H ¢，HO ，OA ¢．当A H HO ¢+的值最小时，OA ¢的长为 ．17．（2021•河南模拟）如图所示，ABCD中，105BACÐ=°，45ACBÐ=°，将ABCD绕点C顺时针旋转45°得对应DECD，若2BC=，则线段AB扫过的阴影面积为 ．18．（2021•涧西区一模）在矩形ABCD中，2AB=，4BC=，点E在边BC上，连接DE，将CDED沿DE折叠，若点C的对称点C¢到AD的距离为1，则CE的长为 ．19．（2021•河南模拟）如图，点P为矩形ABCD对角线AC上异于A、C的一个动点，过点P作PE AD^于点E，点F为点A关于PE的对称点，连接PF、FC，若6AB=，8BC=，当CPFD为直角三角形时，AE的长为 ．20．（2021•河南模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，Oe的半径为2，动弦2AB=，C是AB的中点，直线3:34ED y x=--与x轴交于E，与y轴交于D，连接EC和DC，则ECDD的面积的最大值为 ．21．（2021•许昌一模）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，将BCD D 沿射线BD 平移长度(0)a a >得到△B C D ¢¢¢，连接AB ¢，AD ¢，则当△AB D ¢¢是直角三角形时，a 的长为 ．22．（2021•平顶山模拟）如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，30B Ð=°，点P 是斜边AB 上一动点，连接CP ，将ACP D 沿CP 折叠，点A 的对应点是A ¢，当点A ¢落在边BC 的垂直平分线上时，ACP Ð的度数为 ．23．（2021•汝南县模拟）如图在等边ABC D 中，2AB =+，点D 在边AB 上，且2AD =，点E 是BC 边上一动点将B Ð沿DE 折叠，当点B 的对应点B ¢落在ABC D 的边上时，BE 的长为 ．24．（2021•市中区一模）如图，菱形ABCD 边长为4厘米，60A Ð=°，点M 为AB 的中点，点N 是边AD 上任一点，把A Ð沿直线MN 折叠，点A 落在图中的点E 处，当AN = 厘米时，BCE D 是直角三角形．25．（2020•郑州模拟）如图，正方形ABCD中，2AD =+，已知点E 是边AB 上的一动点（不与A 、B 重合）将ADE D 沿DE 对折，点A 的对应点为P ，当APB D 是等腰三角形时，AE = ．26．（2020•河东区一模）如图，正方形ABCD 的边长是9，点E 是AB 边上的一个动点，点F 是CD 边上一点，4CF =，连接EF ，把正方形ABCD 沿EF 折叠，使点A ，D 分别落在点A ¢，D ¢处，当点D ¢落在直线BC 上时，线段AE 的长为 ．27．（2020•河南一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点E 是边AD 上的一个动点，把BAE D 沿BE 折叠，点A 落在A ¢处，如果A ¢恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为 ．28．（2020•河南模拟）在矩形中，，，点，分别为，上的两个动点，将沿折叠，点的对应点为，若点落在射线上，且恰为直角三角形，则线段的ABCD 3AB =4BC =E F BC AC CEF D EF C G G AB AGF D CF长为.29．（2020•郑州二模）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，将沿折叠，得到△连接，，若为等腰三角形，则的长为 ．30．（2020•梁园区一模）如图，矩形中，点为上一个动点，以 为对称轴将折叠得到，点的对称点为点，射线交矩形的边于点，若，，当点为矩形边的中点时，的长为 ．31．（2020•巩义市一模）如图，矩形中，，，是边的中点，点是线段上的动点，过作于，当以点、、为顶点的三角形与相似时，的长为 ．32．（2020•洛阳一模）如图，在中，，，平分，点是边上一动点（不与、重合），沿所在的直线折叠，点的对应点为，当是直角三角形且为直角边时，则的长为 ．ABCD 13AD =24AB =E AB CBE D CE CB E ¢AB ¢DB ¢ADB D ¢BE ABCD P AD PB APB D EPB D A E BE ABCD F 4AB =6AD =F ABCD AP ABCD 4AB =6BC =E BC P AD P PF AE ^F P F E ABE D AP Rt ABC D 90C Ð=°30A Ð=°AB =BD ABC ÐE AB A B DE A ÐA F BFC D BC AE33．（2020•郑州二模）如图，矩形中，，，对角线，相交于点，点是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，线段，相交于点．若是直角三角形，则线段的长为 ．34．（2020•郑州模拟）如图，在矩形中，，点是的中点，分别连接，，且，点为的中点，点为边上一个动点，连接，点关于直线的对称点为点，分别连接，．当时，的长为 ．35．（2020•许昌二模）如图，在中，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，点落在处，当点在内部（不含边界）时，长度的取值范围是　　．ABCD 3AB =4BC =AC BD O E AD AEO D EO A F EF OD G DEG DDE ABMN 1AN =C MN AC BC 2BC =D AC E AB DE A DE F DF EF EF AC ^AE Rt ABC D 90ABC Ð=°2AB =4BC =D AC BD ABD D BD A A ¢A ¢ABC DAD。

2022年中考数学专题训练---填空题压轴题1.如图，在平面直角坐标系中，直线(0)y kx k =≠经过点(,3)a a (0)a >，线段BC 的两个端点分别在x 轴与直线y kx =上(点B 、C 均与原点O 不重合)滑动，且BC =2，分别作BP x ⊥轴,CP ⊥直线y kx =，交点为P .经探究，在整个滑动过程中，P 、O 两点间的距离为定值 .2.如图，反比例函数的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ，假设四边形ODBE 的面积为12，那么k 的值为 ．3.如图，一段抛物线y=﹣x 〔x ﹣3〕〔0≤x≤3〕，记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；…如此进行下去，得到一条“波浪线〞．假设点P 〔37，m 〕在此“波浪线〞上，那么m 的值为 ．4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx 〔k≠0〕经过点〔a ， a 〕〔a ＞0〕，线段BC 的两个端点分别在x 轴与直线y=kx 上〔点B 、C 均与原点O 不重合〕滑动，且BC=2，分别作BP ⊥x 轴，CP ⊥直线y=kx ，交点为P ．经探究，在整个滑动过程中，P 、O 两点间的距离为定值______．5.如图，矩形ABOC 的顶点O 在坐标原点，顶点B 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点A 在反比例函数ky x=(k 为常数，0,0k x >>)的图像上，将矩形ABOC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到矩形'''AB OC ，假设点O 的对应点'O 恰好落在此反比例函数的图像上，那么OBOC的值是 .6.如图，四边形ABCD 与四边形1111A B C D 是以O 为位似中心的位似图形，满足11=OA A A ，E F ，，1E ，1F 分别是AD BC ，，11A D ，11B C 的中点，那么11=E F EF．F EA 1A DB7.在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A m -绕坐标原点O 顺时针旋转90︒后，恰好落在右图中阴影区域〔包括边界〕内，那么m 的取值范围是 .8.如图9所示，在平面直角坐标系中，△PQR 是△ABC 经过某种变换后得到的图形，观察点A 与点P ，点B 与点Q ，点C 与点R 的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC 中任意一点M 的坐标为(x ，y )，那么它的对应点N 的坐标是________．9.如图10所示，小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图10a ，AD>CD)沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F 处，折痕为AE 〔如图10b 〕；再沿过D 点的直线折叠，使得C 点落在DA 边上的点N 处，E 点落在AE 边上的点M 处，折痕为DG(如图10c)．如果第二次折叠后，M 点正好在∠NDG 的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为________．1O yx10.如图为一个半径为4m的圆形广场，其中放有六个宽为1m的矩形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，那么每个矩形摊位的长为m．11.如图，把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，假设BP=4cm，那么EC= cm．12.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=4，P是BC边上的动点〔不与B，C重合〕，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，那么线段MN长的取值范围是．13.如图，AB 是⊙O 的一条弦，C 是⊙O 上一动点且∠ACB ＝45°，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于点G 、H ．假设⊙O 的半径为2，那么GE ＋FH 的最大值为 .14.如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，点P 、Q 在DC 边上，且PQ ＝14DC ．假设AB ＝16，BC ＝20，那么图中阴影局部的面积是 ．O CBFEGA。

专题02 填空压轴题1．（2021•扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，¼，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为 ．【答案】1275【详解】第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：(12)232+´=，第③个图形中的黑色圆点的个数为：(13)362+´=，第④个图形中的黑色圆点的个数为：(14)4102+´=，¼第n个图形中的黑色圆点的个数为(1)2n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，¼，其中每3个数中，都有2个能被3整除，332161¸=¼，163250´+=，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50511275 2´=2．（2020•扬州）如图，在ABCDY中，60BÐ=°，10AB=，8BC=，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得14DF DE=，以EC、EF为邻边构造EFGCY，连接EG，则EG的最小值为 ．【答案】【详解】作CH AB ^于点H ，Q 在ABCD Y 中，60B Ð=°，8BC =，CH \=，Q 四边形ECGF 是平行四边形，//EF CG \，EOD GOC \D D ∽，\EO DO ED GO OC GC==，14DF DE =Q ，\45DE EF =，\45ED GC =，\45EO GO =，\当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值，当EO CD ^时，EO 取得最小值，CH EO \=，EO \=，GO \=，EG \的最小值是3．（2019•扬州）如图，在ABC D 中，5AB =，4AC =，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点1D 、2D 、3D 、4D 、¼；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点1E 、1F ；过点2D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点2E 、2F ；过点3D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点3E 、3F ¼，则1122201920191122201920194()5()D E D E D E D F D F D F ++¼++++¼+= ．【答案】40380【详解】11//D F AC Q ，11//D E AB ，\111D F BF AC AB =，即1111D F AB D E AC AB-=，5AB =Q ，4BC =，11114520D E D F \+=，同理22224520D E D F +=，¼，20192019201920194520D E D F +=，1122201920191122201920194()5()20201940380D E D E D E D F D F D F \++¼++++¼+=´=．4．（2018•扬州）如图，在等腰Rt ABO D ，90A Ð=°，点B 的坐标为(0,2)，若直线:(0)l y mx m m =+¹把ABO D 分成面积相等的两部分，则m 的值为 ．【详解】(1)y mx m m x =+=+Q ，\函数y mx m =+一定过点(1,0)-，当0x =时，y m =，\点C 的坐标为(0,)m ，由题意可得，直线AB 的解析式为2y x =-+，2y x y mx m =-+ìí=+î，得2131m x m m y m -ì=ïï+íï=ï+î，Q 直线:(0)l y mx m m =+¹把ABO D 分成面积相等的两部分，\12，2=5．（2017•扬州）若关于x的方程240200x -+=存在整数解，则正整数m的所有取值的和为　　．【答案】15【详解】由题意m =，令y =，则22017x y =-，22(2017)4020142y m y y y--\==-，m Q 是正整数，0y …，1y \=时，12m =，2y =时，3m =，\正整数m 的所有取值的和为156．（2021•广陵区校级一模）如图，已知二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，P 点为该图象在第一象限内的一点，过点P 作直线BC 的平行线，交x 轴于点M ．若点P 从点C 出发，沿着抛物线运动到点B ，则点M 经过的路程为 ．【答案】92【详解】Q 二次函数223(3)(1)y x x x x =-++=--+，\当0y =时，11x =-，23x =，当0x =时，3y =，\点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,0)，点C 的坐标为(0,3)，设直线BC 的函数解析式为y kx b =+，330b k b =ìí+=î，解得13k b =-ìí=î，即直线BC 的函数解析式为3y x =-+，//PM BC Q ，点P 在抛物线上且在第一象限，\设点P 的坐标为2(,23)m m m -++，设直线PM 的解析式为y x c =-+，223m m m c -++=-+，解得233c m m =-++，\直线PM 的解析式为233y x m m =--++，令223323x m m x x --++=-++且△0=，解得32m =，此时直线PM 的解析式为214y x =-+，当0y =时214x =，\点M 横坐标为最大值是214，\点M 经过的路程为：219(3)242-´=7．（2021•广陵区校级二模）如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为 ．【详解】如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，设1a =，根据题意，得2()()a b b b a b +=++，1a =Q ，210b b \--=，解得b =（负值舍去），b \=，\正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：():2(1:(2a b b +=+=．8．（2021•扬州模拟）在ABC D 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AB 上一动点，连接CD ，以AD ，CD为邻边作平行四边形ADCE ，连接DE ，则DE 的最小值为 ．【答案】4.8【详解】Q 四边形ADCE 是平行四边形，OA OC \=，2DE OD =，\当OD AB ^时，DO 的值最小，即DE 的值最小，过C 作CF AB ^于点F ，则90CFD EDF Ð=Ð=°，Q 平行四边形ADCF 中//AD CE ，即//AB CE ，90ECF \Ð=°，\四边形DFCE 是矩形，DE CF \=，5AB AC ==Q ，6BC =，设BF x =，则5AF x =-，22222BC BF CF AC AF -==-Q ，即222265(5)x x -=--，解得， 3.6x =，3.6BF \=，4.8CF \===，DE \的最小值为4.89．（2021•宝应县一模）如图，ABC D 中，90ABC Ð=°，以AC 为斜边在ABC D 的外部作等腰Rt ADC D ，若43AB =，BD =BC = ．【答案】2 3【详解】如图，将ABDD绕点D逆时针旋转90°得到DCED，所以DCE BADÐ=Ð，43 AB CE==，因为180ABC ADEÐ+Ð=°，所以180BAD BCDÐ+Ð=°，所以180BCD DCEÐ+Ð=°，所以B、C、E三点共线，所以BDED是等腰直角三角形，所以2BE==，所以42233 BC=-=10．（2021•江都区模拟）如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，B点坐标为(10,7)，点D为BC上一点，且2DC=，连接AD，将ABDD沿AD折叠，压平，使B点的对应点E落在坐标平面内．若抛物线2810(0y ax ax a=-+¹，a为常数）的顶点落在ADED的内部（不含边界），则a的取值范围为 ．【答案】525 1648a<<【详解】如图，过点E作EM y^轴于M，交BC延长线于N，90AME DNEÐ=Ð=°Q，AEM EDNÐ=Ð，AEM EDN\D∽，\AM EM EN DN=①，设AM BN m ==，ME n =，10EN MN ME n \=-=-，(72)5DN BN BD m m =-=--=-，代入①得，105m n n m =--②，根据勾股定理得，22210m n +=③，由②③得110n =，10m =（舍)，26n =，28m =，8AM \=，6ME =，Q 点B 的坐标为(10,7)，2DC =，(10,2)D \，5DE BD ==，53DN m =-=Q ，321CN \=-=，(6,1)E \-．设直线AD 的解析式为17y k x =+，代入(10,2)D 得，12107k =+，解得112k =-，\直线AD 为172y x =-+，设直线AE 的解析式为27y k x =+，代入(6,1)E -得，2167k -=+，解得243k =-，\直线AE 为473y =-+，22810(4)(1016)y ax ax a x a =-+=-+-Q ，把4x =分别代入直线AD 和直线AE 的解析式得，14752y =-´+=，454733y =-´+=，(4,5)G \，5(4,)3H ，又Q 抛物线的顶点落在ADE D 的内部，\此抛物线的顶点必在GH 上．\5101653a <-<，\5251648a <<．11．（2021•江都区模拟）如图，抛物线2128333y x x =--的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ，顶点为E ，以AB 为直径画半圆交y 正半轴交于点C ，圆心为M ，P 是半圆上的一动点，连接EP ，N 是PE 的中点．当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是 ．【答案】32p 【详解】连接ME 、MP ，2128333y x x =--Q ，(2,0)A \-，(4,0)B ，(1,3)E -，3MA MB ME \===，E \在M e 上，N Q 为PE 的中点，ME MP =，MN PE \^，N \在以ME 为直径的半圆上运动，\点N 的运动路径为：1332222p p ´´=．12．（2021•江都区一模）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点称为整点．若反比例函数(0)k y k x=>与二次函数241612y x x =-+-的图象在第一象限围成的封闭图形（不包括边界）内有且仅有2个整点，则实数k 的取值范围为 ．【答案】24k <…【详解】22416124(2)4y x x x =-+-=--+Q ，\顶点为(2,4)，2416124(1)(3)y x x x x =-+-=---Q ，\抛物线与x 轴的交点为(1,0)，(3,0)，\第一象限在22416124(2)4y x x x =-+-=--+内部的整点为(2,1)，(2,2)，(2,3)，Q 反比例函数(0)k y k x=>与二次函数241612y x x =-+-的图象在第一象限围成的封闭图形（不包括边界）内有且仅有2个整点，即(2,2)，(2,3)，(2,1)\在外面或者刚好在(0)k y k x=>上，24k \<…13．（2021•邗江区二模）定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为(,)x y ，当0x <时，点P 的变换点P ¢的坐标为(,)x y -；当0x …时，点P 的变换点P ¢的坐标为(,)y x -．抛物线2(2)y x n =-+与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P ¢在抛物线的对称轴上，且四边形ECP D ¢是菱形，则满足该条件所有n 值的和为 ．【答案】13-【详解】Q 四边形ECP D ¢是菱形，\点E 与点P ¢关于x 轴对称．Q 点E 的坐标为(2,)n ，\点P ¢的坐标为(2,)n -．当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为(2,)n --．代入2(2)y x n =-+，得2(22)n n -=--+．8n =-．当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为(,2)n --．代入2(2)y x n =-+，得22(2)n n -=--+．12n =-，23n =-．综上所述，n 的值是8n =-，2n =-，3n =-．82313---=-14．（2021•德城区二模）如图，等边ABC D 中，6BC =，O 、H 分别为边AB 、AC 的三等分点，13AH AC =，13AO AB =，将ABC D 绕点B 顺时针旋转100°到△11A BC 的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积为 ．【答案】103p 【详解】连接BH ，BH ¢，作BD AC ^于D ,Q 等边ABC D 中，6BC =，60C \Ð=°，6AC AB BC ===,BD \==132CD BC ==,13AH AC =Q ，13AO AB =，2AH OA \==,624CH OB \==-=,321DH \=-=,由勾股定理得：BH ===Q 将ABC D 绕点B 顺时针旋转100°到△11A BC 的位置，100HBH OBO \Т=Т=°，\整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积为21004103603HBH OBO S S p p ¢¢×-==扇形扇形15．（2021•仪征市二模）如图，Rt ABC Rt FDE D @D ，90ABC FDE Ð=Ð=°，30BAC Ð=°，4AC =，将Rt FDE D 沿直线l 向右平移，连接BD 、BE ，则BD BE +的最小值为 ．【答案】【详解】建立如图坐标系，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，4AC =，30BAC Ð=°，122BC AC \==，AB ==\斜边AC 上的高==，ABC FDE D @D Q ，4EF AC \==，斜边EF\可以假设(E m ，则(1D m +，，BD BE \+=，欲求BD BE +的最小值，相当于在x 轴上找一点(,0)R m ，使得R 到(1M -，，N 的距离和的最小值，如图1中，作点N 关于x 轴的对称点N ¢，连接MN ¢交x 轴题意R ，连接RN ，此时RM RN +的值最小，最小值MN =¢==，BD BE \+的最小值为16．（2020•广陵区校级一模）如图，Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，4AC =，6BC =，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，过点C 作CH BD ^于H ，连接AH ，则AH 的最小值为 ．【答案】2【详解】90CHBÐ=°Q，BC是定值，H\点是在以BC为直径的半圆上运动（不包括B点和C点），连接HO，则132HO BC==．90ACBÐ=°Q，4AC=，6BC=，5AO\===，当A、H、O三点共线时，AH最短，此时532AH AO HO=-=-=．17．（2020•锡山区一模）如图，已知点A AC x^轴于点M，交直线y x=-于点N．若点P是线段ON上的一个动点，30APBÐ=°，BA PA^，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．【详解】如图1所示，当点P 运动至ON 上的任一点时，设其对应的点B 为i B ，连接AP ，i AB ，i BB ，1AO AB ^Q ，i AP AB ^，1i OAP B AB \Ð=Ð，又1tan 30AB AO =×°Q ，tan 30i AB AP =×°，1::i AB AO AB AP \=，\△1i AB B AOP D ∽，1i AB B AOP \Ð=Ð．同理得△12AB B AON D ∽，12AB B AOP \Ð=Ð，112i AB B AB B \Ð=Ð，\点i B 在线段12B B 上，即线段12B B 就是点B 运动的路径（或轨迹）．由图形2可知：1Rt APB D 中，130APB Ð=°，\1AB AP =，Rt △2AB N 中，230ANB Ð=°，\2AB AN =，\12AB AB AP AN ==1290PAB NAB Ð=Ð=°Q ，12PAN B AB \Ð=Ð，APN \D ∽△12AB B ，\121B B AB PN AP ==，ON Q 的解析式为：y x =-，OMN \D 是等腰直角三角形，OM MN \==，PN \=，12B B \=，综上所述，点B 运动的路径（或轨迹）是线段12B B ．18．（2020•邗江区校级一模）如图，A、B两点的坐标分别为(4,0)-，(0,4)，C、F分别是直线6x=和x轴上的动点，12CF=，D是CF的中点，连接AD交y轴于点E，ABED面积的最小值为　2cm．【答案】2【详解】如图，设直线6x=交x轴于K．由题意162KD CF==，\点D 的运动轨迹是以K 为圆心，6为半径的圆，\当直线AD 与K e 相切时，ABE D 的面积最小，AD Q 是切线，点D 是切点，AD KD \^，10AK =Q ，6DK =，8AD \=，tan OE DK EAO OA ADÐ==Q ，648OE =，3OE \=，431BE \=-=，1114222ABE S BE OA D \=´=´´=g ．19．（2021•武进区模拟）如图，矩形ABCD 中，6AB =，9BC =，以D 为圆心，3为半径作D e ，E 为De 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt AEF D ，使90EAF Ð=°，1tan 3AEF Ð=，则点F 与点C 的最小距离为 ．【答案】1【详解】如图取AB 的中点G ，连接FG ．FC ．GC ．90EAF Ð=°Q ，1tan 3AEF Ð=，\13AF AE =，6AB =Q ，AG GB =，3AG GB \==，9AD =Q ，\3193AG AD ==，\AF AG AE AD=，Q 四边形ABCD 是矩形，90BAD B EAF \Ð=Ð==Ð=°，FAG EAD \Ð=Ð，FAG EAD \D D ∽，::1:3FG DE AF AE \==，3DE =Q ，1FG \=，\点F 的运动轨迹是以G 为圆心1为半径的圆，GC ==Q ，FC GC FG \-…，1FC \-…，CF \的最小值为1．20．（2020•高邮市一模）如图，已知O e 的半径为6，点A 、B 在O e 上，60AOB Ð=°，动点C 在O e 上（与A 、B 两点不重合），连接BC ，点D 是BC 中点，连接AD ，则线段AD 的最大值为 ．【答案】3+【详解】如图1，连接OC ，取OB 的中点E ，连接DE ．则132OE EB OB ===．在OBC D 中，DE 是OBC D 的中位线，132DE OC \==，EO ED EB \==，即点D 是在以E 为圆心，3为半径的圆上，\求AD 的最大值就是求点A 与E e 上的点的距离的最大值，如图2，当D 在线段AE 延长线上时，AD 取最大值，6OA OB ==Q ，60AOB Ð=°，OE EB =，AE \=3DE =，AD \取最大值为3．21．（2020•高邮市二模）如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10BC =．现将纸片折叠，折痕与矩形AB 、BC 边的交点分别为E 、F ，折叠后点B 的对应点B ¢始终在AD 边上，若折痕EF 始终与边AB ，BC 有交点，则点B ¢运动的最大距离是 ．【答案】4【详解】当F 与C 重合时，如图1，由折叠得：10B C BC ¢==，Q 四边形ABCD 是矩形，90D \Ð=°，6AB DC ==Q ，在Rt △B DC ¢中，8B D ¢==，1082AB \¢=-=；当E 与A 重合时，如图2，由折叠得：6AB AB ¢==，综上所述，AB ¢的取值范围是：26AB ¢……，\点B ¢运动的最大距离为624-=．22．（2020•江都区二模）如图，在正方形ABCD 中，4AB =，以B 为圆心，BA 长为半径画弧，点M 为弧上一点，MN CD ^于N ，连接CM ，则CM MN -的最大值为 ．【答案】2【详解】过点ME 作BC ^于点E ，连接BM ，连接AC ，则4BM =，MN CE =，设CM x =，MN y =，则4BE y =-，22222BM BE ME CM CE -==-Q ，22224(4)y x y \--=-，218y x \=，2211(4)288CM MN x y x x x \-=-=-+=--+，0x AC Q ……，AC ==，0x \……\当4x =时，CM MN -的值最大为2．23．（2020•邗江区校级一模）如图，菱形ABCD 的边长为4，120B Ð=°，E 是BC 的中点，F 是对角线AC 上的动点，连接EF ，将线段EF 绕点F 按逆时针旋转30°，G 为点E 对应点，连接CG ，则CG 的最小值为 ．【详解】如图取CD 的中点K ，连接FK ，KG ，EK ，延长KG 交BC 于J ，作CH JK ^于H ．Q 四边形ABCD 是菱形，FCE FCK \Ð=Ð，CB CD =，//AB CD ，180DCB B \Ð+Ð=°，120B Ð=°Q ，60DCB \Ð=°，BE EC =Q ，CK KD =，CK CE \=，ECK \D 是等边三角形，CF CF =Q ，FCK FCE Ð=Ð，CK CE =，()FCK FCE SAS \D @D ，FK FE \=，FG FE =Q ，FE FG FK \==，1152EKG EFG \Ð=Ð=°，60CKE Ð=°Q ，45CKJ \Ð=°，\点G 在直线KJ 上运动，根据垂线段最短可知，当点G 与H 重合时，CG 的值最小，在Rt CKH D 中，45CKH Ð=°Q ，90CHK Ð=°，122CK CD ==，CH KH \==，CG \24．（2020•邗江区二模）如图，平面直角坐标系中，点(3,3)A --，(1,1)B -，若抛物线221y ax x =+-(0)a ¹与线段AB （包含A 、B 两点）有两个不同交点，则a 的取值范围是 ．【答案】4998a <…或2a -…【详解】①0a <时，1x =时，1y -…，3x =-时，3y -…，即2a -…；②0a >时，3x =-时，3y -…，1x =时，1y -…，即49a …，点A 、B 的坐标得，直线AB 的解析式为1322y x =-，抛物线与直线联立：2132122ax x x +-=-，231022ax x \++=，△9204a =->，98a \<，a \的取值范围为4998a <…或2a -…；25．（2020•江都区三模）如图，点(3,0)A -、点(0,B -，直线y =+与x 轴、y 轴分别交于点D 、C ，M 是平面内一动点，且60AMB Ð=°，则MCD D 面积的最小值是 ．【答案】【详解】Q 点(3,0)A -、点(0,B -，3OA \=，OB =，tan OB OAB OAÐ==Q ，60OAB \Ð=°，Q 直线y =+与x 轴、y 轴分别交于点D 、C ，(4,0)D \，(0C ，，4OD \=，OC =tan OC ODC OD\Ð==60ODC \Ð=°，28CD OD \==，//AB CD \，AB \和CD 间的距离定值，在OD 上取点F ，使3OF OA ==，AB BF \=，ABF \D 是等边三角形，60AFB \Ð=°，作ABF D 的外接圆P ，过P 点作PG AB ^于G ，交CD 于E ，则PG 经过点F ，GF Q 经过圆心P ，F \是圆P 上到AB 的距离最大的点，F \是圆P 上到CD 的距离最小的点，\当M 处于F 点时，CDM D 的面积最小，4OD =Q ，3OF =，431FD \=-=，90FED COD Ð=Ð=°Q ，FDE CDO Ð=Ð，EFD OCD \D D ∽，\EF FD OC CD =18=，EF \=11822DCF S CD EF D \==´=g ，MCD \D 面积的最小值是26．（2020•仪征市一模）已知实数a 、b 、c ，满足2102a a b -+=，221444c a a b =-+-，则实数c 的取值范围是 ．【答案】1c -…【详解】2102a ab -+=Q ，212a ab \-=-．221111()2244b a a a -=-=---Q …，12b \…，2222221115444()2(1)4444c a a b a a b b b b \=-+-=-+-=-+-=--\当12b =时，1c =-最小值，即1c -…．27．（2020•宝应县二模）如图，AC 、BD 在AB 的同侧，2AC =，8BD =，AB =，点M 为AB 的中点，若135CMD Ð=°，则CD 的最大值是 ．【答案】16【详解】如图，作点A 关于CM 的对称点A ¢，点B 关于DM 的对称点B ¢．135CMD Ð=°Q ，45AMC DMB \Ð+Ð=°，45CMA DMB \Т+Т=°，90A MB \Т¢=°，MA MB ¢=¢Q ，\△A MB ¢¢为等腰直角三角形，26816CD CA A B B D CA BD ¢+¢¢+¢=++=++=Q …，CD \的最大值为1628．（2020•江都区三模）如图，点D 是等边ABC D 的边BC 上的一个动点，连接AD ，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60°交AC 于点E ，若4AB =，则CE 的最大值是 ．【答案】1【详解】ABC D Q 为等边三角形，60B C \Ð=Ð=°，4AB BC AC ===，B BAD ADC ADE EDC Ð+Ð=Ð=Ð+ÐQ ，60ADE Ð=°，BAD EDC \Ð=Ð，ABD DCE \D D ∽，\AB BD CD CE=，设BD x =，则4CD x =-，\44x x CE=-，222111(4)(2)1444CE x x x x x \=-+=--=--+，104-<Q ，由二次函数的性质可知，当x 的值为2时，CE 有最大值，最大值为129．（2020•江都区三模）两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，13AB =，7CD =．保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转(090)a a <<°，如图2所示．当BD 与CD 在同一直线上（如图3)时，则ABC D 的面积为 ．【答案】30【详解】90AOB COD Ð=Ð=°Q ，OC OD =，AOC DOB \Ð=Ð，45OCD ODC Ð=Ð=°，135ODB \Ð=°，在AOC D 和BOD D 中，OA OB AOC BOD OC OD =ìïÐ=Ðíï=î，()AOC BOD SAS \D @D ，AC BD \=，135ACO BDO Ð=Ð=°，90ACB \Ð=°，222AC BC AB +=Q ，22(7)169AC AC \++=，5AC \=，7512BC \=+=，ABC \D 的面积1512302=´´=30．（2020•邗江区校级二模）已知点A 、B 是半径为2的O e 上两点，且120BOA Ð=°，点M 是O e 上一个动点，点P 是AM 的中点，连接BP ，则BP 的最小值是　　．1-【详解】连接OP ，Q 点P 是AM 的中点，OP AM \^，\点P 在以OA 为直径的圆上，设为Q e ，1OQ AQ QP \===，连接BQ ，与Q e 的交点即为P 点，此时BP 有最小值，最小值为BQ QP -，作ON AB ^于N ，QH AB ^与H ，OA OB =Q ，N \是AB 的中点，120BOA Ð=°Q ，30OAB OBA \Ð=Ð=°，AN \==AH AQ ==，1122QH AQ ==，AB \=BH \=BQ \==BP \1-31．（2020•宝应县三模）如图，ABC D 是等边三角形，2AB =，点E 是ABC D 内一动点（不重复运动），且满足222AE BE CE =+，则动点E 经过的路径长度是 ．【答案】23p【详解】如图，将BCE D 绕点B 逆时针旋转60°得△BE A ¢，连接EE ¢，BE BE EE ¢¢\==，EC AE ¢=，222AE BE CE =+Q ，222AE EE AE ¢¢\=+，90AE E ¢\Ð=°，150AE B BEC ¢\Ð=Ð=°，\点E 在BC 为弦，半径为2的圆上运动，圆心角为60°，\动点E 经过的路径长度为60221803p p ××=。

2023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8B.45C.10D.45-22(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB +PD 的最小值为()A.334B.32C.3D.5433(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()A.213-2B.45-2C.43-2D.215-24(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为()A.154B.245C.5D.2035(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为 边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E为正方形ABCD边AD上一点，AE=1，DE=3，P为对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值为()A.5B.42C.210D.107(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为()A.4B.42C.25D.58(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+3的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点C(3,0)，若P是x轴上一动点，点D的坐标为(0,-1)，连接PD，则2PD+ PC的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+2329(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4．点P是线段BC上一动点，点M 为线段AP上一点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为()A.52B.125C.13-32D.13-210(2022·河南·校联考三模)如图1，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP =x，PB+PE=y，当点P从A向点C运动时，y与x的函数关系如图2所示，其中点M是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,422二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足∠APB=12∠AGB，则DP的最小值．12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图，在边长为8的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，则四边形BEFG周长的最小值为．13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图，菱形草地ABCD中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC<BD，M、N分别是草地边BC、CD的中点，在线段BD上有一个流动饮水点P，若要使PM+PN的距离最短，则最短距离是米．14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则2PC-PD的最大值是．15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠DAB=60°，AD=CD= 4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则△MBC面积的最小值为．16(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3cm．点P,Q分别为AB,AD 上的两个定点且BP=AQ=1cm，点M为线段BD上一动点，连接PM,QM，则PM+QM的最小值为cm．17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图，在周长为12的菱形ABCD中，DE=1，DF=2，若P为对角线AC上一动点，则EP+FP的最小值为．18(2023春·上海·八年级专题练习)如图，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为．19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图，抛物线y=x2-4x+3与x轴分别交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA,MC,AC，则△MAC周长的最小值是．20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示，∠ACB=60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为．3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A-1,0两点，交y轴于点C．，B4,0(1)求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是；(3)点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出△BCQ面积的最大值．22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1，直线AB:y=-x+6分别与x,y轴交于A,B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C-3,0．(1)请直接写出直线BC的关系式：(2)在直线BC上是否存在点D，使得S△ABD=S△AOD若存在，求出点D坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，D11,0，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA,QD．请直接写出QB-QD的最大值：．23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中，∠B =60°．(1)如图1，若AC >BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，且AD =3BD ．证明：∠A =30°；(2)如图2，若AC <BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，连接BF 并延长至G ，使BF =FG ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC =BC ，P 为平面内一点，将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ，当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时，直接写出BP CQ的值．24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt△ABC中，∠A= 90°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DE、DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，且连接PM、PN．(1)观察猜想线段PM与PN填(“是”或“不是”)“等垂线段”．(2)△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD，CE，试判断PM与PN是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE=2，BC=4，请直接写出PM与PN的积的最大值．25(2022秋·江西上饶·八年级校考阶段练习)在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中A-1，1，，B4，3C4，-1处各有一颗棋子．(1)如图1，依次连接A，B，C，A，得到一个等腰三角形(BC为底边)，请在图中画出该图形的对称轴．(2)如图2，现x轴上有两颗棋子P，Q，且PQ=1(P在Q的左边)，依次连接A，P，Q，B，使得AP+PQ+QB的长度最短，请在图2中标出棋子P，Q的位置，并写出P，Q的坐标．1126(2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末)已知△CDE 与△ABC 有公共顶点C ，△CDE 为等边三角形，在△ABC 中，∠BAC =120°．(1)如图1，当点E 与点B 重合时，连接AD ，已知四边形ABDC 的面积为23，求AB +AC 的值；(2)如图2，AB =AC ，A 、E 、D 三点共线，连接AE 、BE ，取BE 中点M ，连接AM ，求证：AD =2AM ；(3)如图3，AB =AC =4，CE =2，将△CDE 以C 为旋转中心旋转，取DE 中点F ，当BF +34AF 的值最小时，求tan ∠ABF 的值．。

12023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8 B.45 C.10 D.45-2【答案】A【分析】根据∠BEC =90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化即可求解．【详解】解：如图，设点O 为BC 的中点，由题意可知，点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆O 关于AB 的对称图形(半圆O ')，点E 的对称点为E 1，连接O 'E 1,则PE =PE 1，∴当点D 、P 、E 1、O '共线时，PD +PE 的值最小，最小值为DE 1的长，如图所示，在Rt △DCO '中，CD =8，CO '=6，∴DO '=82+62=10，又∵O 'E 1=2，∴DE 1=DO '-O 'E 1=8，即PD +PE 的最小值为8，故选：A ．【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化时解题的关键．2(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB +PD 的最小值为()2A.334B.32C.3D.543【答案】A【分析】作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，可求得∠ABO =30°，从而得出PE =12PB ，进而得出PD +12PB =PD +EP ，进一步得出结果．【详解】解：如图，作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，抛物线的对称轴为直线x =--322×32=12，∴OD =12，当x =0时，y =-3，∴OB =3，当y =0时，32x 2-32x -3=0，∴x 1=-1，x 2=2，∴A (-1,0)，∴OA =1，∵tan ∠ABO =OA OB =13=33，∴∠ABO =30°，∴PE =12PB ，∴12PB +PD =PD +PE ≥DF ，当点P 在P 时，PD +PE 最小，最大值等于DF ，在Rt △ADF 中，∠DAF =90°-∠ABO =60°，AD =OD +PA =12+1=32，∴DF =AD ⋅sin ∠DAE =32×32-334，∴12PB +PD 最小=DF =334，故选：A ．【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造12PB ．3(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()3A.213-2B.45-2C.43-2D.215-2【答案】A【分析】先证明∠AEB =90°，即可得点E 在以AB 为直径的半圆上移动，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，问题随之得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，∴∠ABE +∠EBC =90°，∵∠EAB =∠EBC ，∴∠EAB +∠EBA =90°，∴∠AEB =90°，∴点E 在以AB 为直径的半圆上移动，如图，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，E∵∠G =90°，FG =BG =AB =4，∴OG =6，OA =OB =OE =2，∴OF =FG 2+OG 2=213，∴EF =OF -OE =213-2，故PE +PD 的长度最小值为213-2，故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E 的运动路线是解题的关键．4(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则PB +PD 的最小值为()4 A.154 B.245 C.5 D.203【答案】B【分析】作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，连接AB ，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，△ABC ≅△AB C ，根据S △ABB =S △ABC +S △AB C =2S △ABC ，即可求出PB +PD 的最小值．【详解】解：如下图，作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，连接AB ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =4,BC =3，∴AB =AC 2+BC 2=5，根据对称性的性质，可知：△ABC ≅△AB C ，∴S △ABB =S △ABC +S △ABC =2S △ABC ，即12×AB ⋅B D =2×12BC ⋅AC ，∴5B D =24，∴B D =245，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．5(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC 中，∠ABC =68°，BD 平分∠ABC ，P 为线段BD 上一动点，Q 为 边AB 上一动点，当AP +PQ 的值最小时，∠APB 的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°【答案】D【分析】先在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，证明△PBQ ≌△PBE SAS ，得出PE =PQ ，说明AP +PQ =AP +PE ，找出当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ 最小，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，根据三角形外角的性质可得答案．【详解】解：在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，如图：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =68°，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =34°，∵BP =BP ，∴△PBQ ≌△PBE SAS ，∴PE =PQ ，∴AP +PQ =AP +PE ，∴当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ最小，过点A作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，如图：∵∠AEB =90°，∠CBD =34°，∴∠APB =∠AEB +∠CBD =124°．故选：D ．5【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使AP +PQ 最小时点P 的位置．6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E 为正方形ABCD 边AD 上一点，AE =1，DE =3，P 为对角线BD 上一个动点，则PA +PE 的最小值为()A.5B.42C.210D.10【答案】A【分析】连接EC 交BD 于P 点，根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长，求出EC 的长即可.【详解】连接EC ，交BD 于P 点∵四边形ABCD 为正方形∴A 点和C 点关于BD 对称∴PA =PC∴PA +PE =PC +PE =EC根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长.∵AE =1，DE =3∴AD =4∴DC =4∴CE =DE 2+CD 2=32+42=5∴PA +PE 的最小值为5故选：A【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.7(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为()A.4B.42C.25D.5【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N ′，N ′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，6连接BD ，BM 交AC 于N ′，连接DN ′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =CM 2+BC 2=32+42=5故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．8(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于A 、C 两点，与x 轴交于点C (3,0)，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,-1)，连接PD ，则2PD +PC 的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+232【答案】A【分析】过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，根据2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，求出DP +PJ 的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC ，过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于点C (3,0)，∴b =2，∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3，令y =0，-x 2+2x +3=0，解得x =-1或3，∴A (-1，0)，令x =0，y =3，∴B (0，3)，∴OB =OC =3，∵∠BOC =90°，∴∠OBC =∠OCB =45°，∵D(0，-1)，∴OD =1，BD =4，∵DH ⊥BC ，∴∠DHB =90°，设DH =x ，则BH =x ,∵DH 2+BH 2=BD 2，7∴x =22，∴DH =22，∵PJ ⊥CB ，∴∠PJC =90°，∴PJ =22PC ，∴2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，∵DP +PJ ≥DH ，∴DP +PJ ≥22，∴DP +PJ 的最小值为22，∴2PD +PC 的最小值为4．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC =∠OCB =45°，PJ =22PC 是解题的关键．9(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为矩形，AB =3，BC =4．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．∠ADM =∠BAP ，则BM 的最小值为()A.52 B.125 C.13-32 D.13-2【答案】D【分析】证明∠AMD =90°，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上，从而计算出答案．【详解】设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAP +∠MAD =90°∵∠ADM =∠BAP∴∠MAD +∠ADM =90°∴∠AMD =90°∴点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时，BM 最短∵BO 2=AB 2+AO 2，AO =12AD =2∴BO 2=9+4=13∴BO =13∵BN =BO -AO =13-2故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．810(2022·河南·校联考三模)如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，设AP =x ，PB +PE =y ，当点P 从A 向点C 运动时，y 与x 的函数关系如图2所示，其中点M 是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,42【答案】A【分析】根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，利用相似三角形，计算AG 的长即为横坐标．【详解】如图，根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，∵点E 是BC 的中点，∴BC =6，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，∵四边形ABCD 是正方形，AB =6，∴CE ∥AD ，AC =62+62=62，DE =62+32=35，∴△CGE ∽△AGD ，∴CG AG =CE AD =12，∴AC AG=32，∴AG =42，故点M 的坐标为(42，35)，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键．2二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图，矩形ABCD ，AB =4，BC =8，E 为AB 中点，F 为直线BC 上动点，B 、G 关于EF 对称，连接AG ，点P 为平面上的动点，满足∠APB =12∠AGB ，则DP 的最小值．【答案】210-22【分析】由题意可知，∠AGB =90°，可得∠APB =12∠AGB =45°，可知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的9圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)，设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，可知△AOB 为等腰直角三角形，求得OA =22AB =22=OP ，AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，OD =OQ 2+QD 2=210，再由三角形三边关系可得：DP ≥OD -OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，即可求得DP 的最小值．【详解】解：∵B 、G 关于EF 对称，∴BH =GH ，且EF ⊥BG∵E 为AB 中点，则EH 为△ABG 的中位线，∴EH ∥AG ，∴∠AGB =90°，∵∠APB =12∠AGB ，即∠APB =12∠AGB =45°，∴点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，则OA =OB =OP ，∵∠APB =45°，∴∠AOB =90°，则△AOB 为等腰直角三角形，∴OA =22AB =22=OP ，又∵E 为AB 中点，∴OE ⊥AB ，OE =12AB =AE =BE ，又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，AD =BC =8，∴四边形AEOQ 是正方形，∴AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，∴OD =OQ 2+QD 2=210，由三角形三边关系可得：DP ≥OD-OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，∴DP 的最小值为210-22，故答案为：210-22．【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB =12∠AGB =45°得知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上是解决问题的关键．12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点G 是BC 边的中点，E 、F 分别是AD 和CD 边上的点，则四边形BEFG 周长的最小值为．【答案】2410【分析】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G ，根据两点之间线段最短即可解决问题．【详解】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G∵EB =EB ,FG =FG ，∴BE +EF +FG +BG =B E +EF +FG +BG ，∵EB +EF +FG ≥B G ，∴四边形BEFG 的周长的最小值=BG +B G ，∵正方形ABCD 的边长为8∴BG =4，BB =16，BG =12，∴B G =162+122=20，∴四边形BEFG 的周长的最小值为=4+20=24．故答案为：24．【点睛】本题考查轴对称求线段和的最短问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图，菱形草地ABCD 中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC <BD ，M 、N 分别是草地边BC 、CD 的中点，在线段BD 上有一个流动饮水点P ，若要使PM +PN 的距离最短，则最短距离是米．【答案】50【分析】作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出BC 长，即可得出答案．【详解】解：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠QBP =∠MBP ，即Q 在AB 上，∵MQ ⊥BD ，∴AC ∥MQ ，∴M 为BC 中点，∴Q 为AB 中点，∵N 为CD 中点，四边形ABCD 是菱形，∴BQ ∥CD ，BQ =CN ，∴四边形BQNC 是平行四边形，∴NQ =BC ，设AC 与BD 的交点为点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD，OC =12AC =30米，OB =12BD =40米，∴BC =OB 2+OC 2=50米，∴PM +PN 的最小值是50米．故答案为：50．11【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P 的位置．14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则2PC -PD 的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得2PC -PD=2PC -22PD =2PC -PM ，因为PC -PM ≤MC ，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP =24，连接MP ，证明△BMP ∼△BPD ，在BC 上做点N ，使BN BP=12，连接NP ，证明△BNP ∼△BPC ，接着推导出2PC -PD =22MN ，最后证明△BMN ∼△BCD ，即可求解．【详解】解法1如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，∴∠PDM =45，DM =PM =22PD ，∵四边形ABCD 正方形∴∠BDC =45°，DB DC=2又∵∠PDM =∠PDB +MDB ，∠BDC =∠MDB +MDC∴∠PDB =∠MDC在△BPD 与△MPC 中∠PDB =∠MDC ，DB DC=DP DM =2∴△BPD ∼△MPC∴PB MC=2∵BP =2∴MC =2∵2PC -PD =2PC-22PD =2PC -PM ∵PC -PM ≤MC ∴2PC -PD =2PC -PM ≤2MC =2故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2∴BP =2，BD =BC 2+CD 2=42+42=42∵BP BD =242=2412在BD 上做点M ，使BM BP=24，则BM =22，连接MP 在△BMP 与△BPD 中∠MBP =∠PBD ，BP BD =BM BP∴△BMP ∼△BPD∴PM PD =24，则PD =22PM ∵BP BC =24=12在BC 上做点N ，使BN BP=12，则BN =1，连接NP 在△BNP 与△BPC 中∠NBP =∠PBC ，BN BP =BP PC∴△BNP ∼△BPC∴PN PC=12，则PC =2PN ∴如图所示连接NM ∴2PC -PD =2×2PN -22PM =22PN -PM ∵PN -PM ≤NM ∴2PC -PD =22PN -PM ≤22NM在△BMN 与△BCD 中∠NBM=∠DBC ，BM BC =224=28，BN BD =142=28∴BM BC=BN BD ∴△BMN ∼△BCD∴MN CD=28∵CD =4∴MN =22∴22MN =22×22=2∴2PC -PD ≤22NM =2故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，∠DAB =60°，AD =CD =4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD =90°，则△MBC 面积的最小值为．【答案】63-4【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM +ME ≥OF ，通过计算得出当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则13OM +ME ≥OF ，∵AB ∥CD ，∠DAB =60°，AD =CD =4，∴∠ADC =120°，∵AD =CD ，∴∠DAC =30°，∴∠CAB =30°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB =90°∴∠B =90°-30°=60°，∴∠B =∠DAB ，∴四边形ABCD 为等腰梯形，∴BC =AD =4，∵∠AMD =90°，AD =4，OA =OD ，∴OM =12AD =2，∴点M 在以点O 为圆心，2为半径的圆上，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =60°，∴∠DGO =∠CGF =30°，∵OF ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠DOG =∠DAC =30°=∠DGO ，∴DG =DO =2，∴OG =2OD ⋅cos30°=23，GF =3，OF =33，∴ME ≥OF -OM =33-2，∴当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值33-2，∴△MBC 面积的最小值为=12×4×33-2 =63-4．【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M 位置的确定是解题关键．16(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在等边△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，AD =3cm ．点P ,Q 分别为AB,AD 上的两个定点且BP =AQ =1cm ，点M 为线段BD 上一动点，连接PM ,QM ，则PM +QM 的最小值为cm ．【答案】5【分析】如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，且点P 在BC 上，则PM +QM =P M+QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，证明四边形PP QA 是平行四边形，P Q =AP =AB -BP ，由此即可求解．【详解】解：如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，∵△ABC 是等边三角形，BD ⊥AC ，∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =12×60°=30°，14∴点P 在BC 上，∴P M =PM ，则PM +QM =P M +QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，∵点P 关于BD 的对称点P ，∠ABD =∠DBC =30°，∴PP ⊥BM ，BP =BP =1cm ，∴∠BP P =60°，∴△BPP 是等边三角形，即∠BP P =∠C =60°，∴PP ∥AC ，且PP =AQ =1cm ，∴四边形PP QA 是平行四边形，∴P Q =AP =AB -BP ，在Rt △ABD 中，∠ABD =30°，AD =3，∴AB =2AD =2×3=6，∴AP =P Q =P M +QM =PM +QM =AB -BP =6-1=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称-最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称-最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图，在周长为12的菱形ABCD 中，DE =1，DF =2，若P 为对角线AC 上一动点，则EP +FP 的最小值为．【答案】3【分析】作F 点关于BD 的对称点F ，连接EF 交BD 于点P ，则PF =PF ，由两点之间线段最短可知当E 、P 、F 在一条直线上时，EP +FP 有最小值，然后求得EF 的长度即可．【详解】解：作F 点关于BD 的对称点F ，则PF =PF ，连接EF '交BD 于点P ．∴EP +FP =EP +F P ．由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F '在一条直线上时，EP +FP 的值最小，此时EP +FP =EP +F P =EF ．∵四边形ABCD 为菱形，周长为12，∴AB =BC =CD =DA =3，AB ∥CD ，∵AF =2，AE =1，∴DF =AE =1，∴四边形AEF D 是平行四边形，∴EF =AD =3．∴EP +FP 的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题，明确当E 、P 、F 在一条直线上时EP +FP 有最小值是解题的关键．18(2023春·上海·八年级专题练习)如图，直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A和B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，P 为OA 上一动点，当PC +PD 的值最小时，点P 的坐标为．15【答案】(-1,0)【分析】直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，可求出点A ，B 的坐标，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，可求出点C 、D 的坐标，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接C D 与x 轴的交点就是所求点P 的坐标．【详解】解：直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，∴当y =0，x =-4，即A (-4,0)；当x =0，y =4，即B (0,4)，∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴C (-2,2)，D (0,2)，如图所示，过点C 关于x 轴的对称点C，∴C (-2,-2)，∴直线C D 的解析式为：y =2x +2，当y =0，x =-1，即P (-1,0)，故答案为：(-1,0)．【点睛】本题主要考查一次函数与最短线段的综合，掌握对称中最短线段的解题方法是解题的关键．19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图，抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA ,MC ,AC ，则△MAC 周长的最小值是．【答案】32+10【分析】根据“将军饮马”模型，先求出A 1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，从而C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，AC =OA 2+OC 2=10，则△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，从而得到CB =OC 2+OB 2=32，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，16∴当y =0时，0=x 2-4x +3解得x =1或x =3，即A 1,0 ,B 3,0 ；当x =0时，y =3，即C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，即MA =MB ，∴C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，∵AC =OA 2+OC 2=10，∴△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，∵CB =OC 2+OB 2=32，∴△MAC 周长的最小值为CA +CB =32+10，故答案为：32+10．【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示，∠ACB =60°，半径为2的圆O 内切于∠ACB．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于∠ACB 的两边，垂足为M 、N ，则PM +2PN 的取值范围为．【答案】6-23≤PM +2PN ≤6+23【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示，通过代换，将PM +2PN 转化为PN +12PM =PN +HP =NH ，得到当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．【详解】解：作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示：∵PM ⊥AC ，PN ⊥CB ，∴∠PMC =∠PNC =90°，∴∠MPN =360°-∠PMC -∠PNC -∠C =120°，∴∠MPH =180°-∠MPN =60°，∴HP =PM ⋅cos ∠MPH =PM ⋅cos60°=12PM ，∴PN +12PM =PN +HP =NH ，∵MF =NH ，∴当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大和最小，①连接OP ，OG ，OC ，如图1所示：可得：四边形OPMG 是正方形，∴MG =OP =2，在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG +GM =2+23，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3+3，∴HN =MF =3+3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6+23；②连接OP ，OG ，OC ，如图2所示：可得：四边形OPMG 是正方形，17∴MG =OP =2，由上同理可知：在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG -GM =23-2，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3-3，∴HN =MF =3-3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6-23，∴6-23≤PM +2PN ≤6+23．故答案为：6-23≤PM +2PN ≤6+23．【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图，已知抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP +PC 的值最小，此时点P 的坐标是；(3)点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出△BCQ 面积的最大值．【答案】(1)y =-x 2+3x +4；y =-x +4(2)32,52(3)8【分析】(1)将A -1,0 ，B 4,0 两点，代入抛物线解析式，可得到抛物线解析式，从而得到C 0,4 ，再设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入，即可求解；(2)连接BC ，PB ，根据题意可得A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，从而得到当P 在直线AB 上三点共线时，AP +CP 的值最小，把x =32代入直线BC 的解析式，即可求解；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，可得QD =-d 2+4d ，从而得到S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d -2 2+8，即可求解；【详解】(1)解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，∴a -b +4=016a +4b +4=0，解得：a =-1b =3 ，18∴抛物线的解析式为y =-x 2+3x +4；∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴C 0,4 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入得：4k +b =0b =4 ，解得：k =-1b =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4；(2)如图，连接BC ，PB ，∵y =-x 2+3x +4=-x -32 2+74，∴抛物线的对称轴为直线x =32，根据题意得：A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，∴AP =BP ，∴AP +CP =BP +CP ≥BC ，即当P 在直线AB 上时，AP +CP 的值最小，∴当x =32时，y =-32+4=52，∴P 32,52 ，故答案是：32,52 ；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，∴QD =-d 2+3d +4 --d +4 =-d 2+4d ，∵B 4,0 ，∴OB =4，∴S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d 2+8d =-2d -2 2+8，当d =2时，S ΔBCQ 取最大值，最大值为8，∴△BCQ 的最大面积为8；【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1，直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于点C -3,0 ．(1)请直接写出直线BC 的关系式：(2)在直线BC 上是否存在点D，使得S △ABD =S △AOD 若存在，求出点D 坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，D 11,0 ，P 为x 轴正半轴上的一动点，以P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA ,QD ．请直接写出QB -QD 的最大值：．19【答案】(1)y =2x +6(2)当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD (3)37【分析】(1)根据直线AB 与y 轴的交点，可求出点B 的坐标，再用待定系数法即可求解；(2)设D (a ,2a +6)，分别用含a 的式子表示出出S △AOD ,S △ABD ，由此即可求解；(3)△BPQ 是等腰直角三角形，设P (m ,0)(m >0)，可表示出QB ，再证Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值，可求得点R 的坐标，根据勾股定理即可求解．【详解】(1)解：∵直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，令x =0，则y =6，∴B (0,6)，且C -3,0 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴b =6-3k +b =0，解得，k =2b =6 ，∴直线BC 的解析式为y =2x +6，故答案为：y =2x +6．(2)解：由(1)可知直线BC 的解析式为y =2x +6，直线AB 的解析式为y =-x +6，∴A (6,0),B (0,6),C (-3,0)，∴OA =6,BO =6,OC =3，如图所示，点D 在直线BC 上，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，∴设D (a ,2a +6)，E (a ,0)，∴S △ABC =12AC ·OB =12×(6+3)×6=27，S △ADC =12AC ·DE =12×(6+3)×a =92a ，S △AOD =12OA ·DE =12×6×a =3a ，∴S △ABD =S △ABC -S △ADC =27-92a ，若S △ABD =S △AOD ，则27-92a =3a ，当a >0时，27-92a =3a ，解得，a =185，即D 185,665 ；当a <0时，27+92a =-3a ，解得，a =-185，即D -185,-65 ；综上所述，当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD ．(3)解：已知A (6,0),B (0,6),D (11,0)，设P (m ,0)(m >0)，∴在Rt △BOP 中，OB =6,OP =m ，∵△BPQ 是等腰直角三角形，∠BPQ =90°，∴BP =QP ；如图所示，过点Q 作QT ⊥x 轴于T ，20在Rt △BOP ,Rt △PTQ 中，∠BOP =∠PTQ =90°，∠BPO +∠QPA =∠QPA +∠PQT =90°，∴∠BPO =∠PQT ，∴∠BPO =∠PQT∠BOP =∠PTQ BP =QP，∴Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，∴OP =TQ =m ，OB =PT =6，∴AT =OP +PT -OA =m +6-6=m ，∴AT =QT ，且QT ⊥x 轴，∴△ATQ 是等腰直角三角形，∠QAT =45°，则点Q 的轨迹在射线AQ 上，如图所示，作点D 关于直线AQ 的对称点R，连接QR ,BR ,AR ，A (6,0)，B (0,6)，D (11,0)，∵△ATQ 是等腰直角三角形，即∠QAT =45°，根据对称性质，∴∠QAR =45°，∴RA ⊥x 轴，且△DQA ≌△RQA ，∴AR =AD =11-6=5，则R (6,5)，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值；∴由勾股定理得：BR =62+(6-5)2=37，故答案为：37．【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中，∠B =60°．(1)如图1，若AC >BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，且AD =3BD ．证明：∠A =30°；(2)如图2，若AC <BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，连接BF 并延长至G ，使BF =FG ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC =BC ，P 为平面内一点，将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ，当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时，直接写出BPCQ的值．【答案】(1)见解析(2)BC =AB +CG ，理由见解析(3)213+33913【分析】(1)过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，易得DE =DF ，由∠B =60°，可得DE =DF =32BD ，由AD =3BD ，求得sin A =DE AD=12，可证得∠A =30°；(2)延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，易证△BCH 为等边三角形，进而可证△BCF ≌△HCE SAS ，可得BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，可知∠AEH =∠CFG ，易证得△AEH ≌△CFG SAS ，可得AH =CG ，由BC =BH =AB +AH =AB +CG 可得结论；(3)由题意可知△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，可得CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，可知△ACQ ∽△MCN ，可得MN =32AQ ，由3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM 可知点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ+13CQ 有最小值，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，可得CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，可证△CBR ∽△MBT ，得BR CR =BT MT ，设BC =a 由等边三角形的性质，可得CM =32a ，进而可得CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，结合BR CR=BTMT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a 34a ，可得BQ CQ =213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，可求得BP CQ的值．【详解】(1)证明：过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，又∵∠B =60°，∴DE =BD ⋅sin60°=32BD ，则DE =DF =32BD ，又∵AD =3BD ，∴sin A =DE AD =32BD3BD=12，∴∠A =30°；(2)BC =AB +CG ，理由如下：延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，∵∠ABC =60°，BH =BC ，∴△BCH 为等边三角形，∴CB =CH ，∠BCH =60°，∵CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，∴CE =CF ，∠ECF =60°，则∠BCH -∠ACB =∠ECF -∠ACB ，∴∠ECH =∠FCB ，∴△BCF ≌△HCE SAS ，∴BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，则∠AEH =∠CFG ，∵BF =FG ，∴BF =HE =FG ，又∵E 为AC 中点，∴AE =CE =CF ，∴△AEH ≌△CFG SAS ，∴AH =CG ，∴BC =BH =AB +AH =AB +CG ；(3)∵∠ABC =60°，AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，则CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，∴sin ∠CQN =CN QN =313，cos ∠CQN =CQ QN =213，则∠ACM =∠QCN =90°，∴∠ACM -∠ACN =∠QCN -∠ACN ，则∠ACQ =∠MCN∴△ACQ ∽△MCN ，∴MN AQ =CM CA=32，即：MN =32AQ ，∴3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM即：点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ +13CQ 有最小值，如下图，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，则∠BRC =∠BTM =90°，CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，又∵∠CBR =∠MBT ，∴△CBR ∽△MBT ，∴BR CR=BT MT ，∵△ABC 是等边三角形，设BC =a ∴∠ACB =60°，AC =BC =a ，则CM =32a ，∵∠ACM =90°，∴∠MCT =30°，则CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，则由BR CR=BT MT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a34a ，整理得：133BQ CQ +23=4+333，得BQ CQ=213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，∴BP CQ =BQ CQ=213+33913．【点睛】本题属于几何综合，考查了解直角三角形，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，旋转的性质以及费马点问题，掌握费马点问题的解决方法，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD =AE ，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN 填(“是”或“不是”)“等垂线段”．(2)△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若DE =2，BC =4，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．。

2022年中考专题复习：几何探究压轴题1．如图1矩形ABCD 中，点E 是CD 边上的动点(点E 不与点C ，D 重合)，连接AE ，过点A 作AF AE ⊥交CB 延长线于点F ，连接EF ，点G 为EF 的中点，连接BG ．(1)求证：ADE ∽ABF ；(2)若20AB =，10AD =设DE x =点G 到直线BC 的距离为y ． ①求y 与x 的函数关系式； ②当2413EC BG =时，x 的值为______； (3)如图2，若AB BC =，设四边形ABCD 的面积为S ，四边形BCEG 的面积为1S 当114S S =时，DE ：DC 的值为______．2．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB AC ==点D 为AB 边上－点，AD =点P 为BC 边上一点，连接DP ，将DP 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DQ ，连接PQ ．(1)BD ＝______，DP 的最小值是______； (2)当∠BPQ ＝15°时，求BP 的长；(3)连接BQ ，若△BDQ 的面积为3，求tan ∠BDQ 的值．3．ABC 中，BD AC ⊥于点D ，点P 为射线BD 上任一点（点B 除外）连接AP ，将线段PA 绕点P 顺时针方向旋转α，ABC α=∠，得到PE ，连接CE ．(1)观察发现：如图1，当BA BC =，且60ABC ∠=︒时，BP 与CE 的数量关系是__________；BC 与CE 的位置关系是__________； (2)猜想证明：如图2，当BA BC =，且90ABC ∠=︒时，请写出BP 与CE 的数量关系及BC 与CE 的位置关系，并说明理由． (3)拓展探究：在（2）的条件下，若8AB =，AP =CE 的长4．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，点P 是直线DE 上一点，连接AP ，将线段P A 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，连接AM ，CM ．(1)问题发现如图（1），当点P 与点D 重合时，线段CM 与PE 的数量关系是 ，∠ACM ＝ °． (2)探究证明当点P 在射线ED 上运动时（不与点E 重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明． (3)问题解决连接PC ，当△PCM 是等边三角形时，请直接写出ACPE的值．5．已知：在正方形ABCD 中，点E 是边AB 上点，点G 在边AD 上，连接EG ，EG ＝DG ，作EF ⊥EG ，交边BC 于点F （图1）．(1)求证：AE+CF＝EF；(2)连接正方形ABCD的对角线AC，连接DF，线段AC与线段DF相交于点K（图2），探究线段AE、AD、AK之间的数量关系，直接写出你的结论；(3)在（2）的条件下，连接线段DE与线段AC相交于点P，（图3）若AK＝△BEF的周长为24，求PK的长．6．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：(1)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将BCE∆绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点E在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长．②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求∆MNC周长的最小值．7．已知，BD是菱形ABCD的对角线，△DEF是直角三角形，∠EDF＝90°，∠DEF＝1∠A，连接BE，点G是BE2的中点，连接CG、BF．(1)当∠A＝90°时，①如图1，若△DEF的顶点E落在线段CD上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系：②如图2，当△DEF的顶点E落在线段BD上时，①中线段CG与线段BF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．同学们经过讨论，探究出以下解决问题的思路：思路一：连接AC，记A与BD相交于点O，AC与BF相交于点M，再利用三角形全等或相似的有关知识来解决问题．思路二：记AD与EF交于点H，易知H是EF的中点，连接CH，将△CDH绕点C顺时针旋转90°，再利用旋转的性质、三角形全等或相似的有关知识来解决问题．请参考上述思路，完成该问题的解答过程（一种方法即可）(2)当∠A＝120°时，如图3，若△DEF的顶点E落在线段CD上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系．8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点F在线段AC上，连接BF，延长CA至点D，连接BD，满足∠ABF ＝∠ABD，H是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DH交BF于点E，交AB于点G．(1)如图①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的长；(2)如图②，若∠CDH+∠BFD12∠DEF，猜想AD与CH的数量关系，并证明你猜想的结论：(3)如图③，在（1）的条件下，P是△BCD内一点，连接BP，DP，满足∠BPD＝150°，是否存在点P、H，使得2PH+CH 最小？若存在，请直接写出2PH+CH的最小值．9．正方形ABCD ，点E 在边BC 上，连AE ．(1)如图1，若1tan 3EAC ∠=，4AB =，求EC 长；(2)如图2，点F 在对角线AC 上，满足AF AB =，过点F 作FG AC 交CD 于G ，点H 在线段FG 上（不与端点重合），连接AH ．若45EAH ∠=︒，求证：EC HG =；(3)如图3，在（1）的条件下，G 是AD 中点，点H 是直线CD 上的一动点，连GH ，将DGH 沿着GH 翻折得到PGH △，连PB 交AE 于Q ，连P A 、PD ，当BP 最小值时，请直接写出PAD △的面积．10．如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，∠AEB ＝90°，将Rt △ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90°，得到△CBE '（点A 的对应点为点C ）．延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．猜想证明：(1)四边形BE 'FE 的形状是______；(2)如图②，若DA ＝DE ，请猜想线段CF 与FE 的数量关系并加以证明； (3)如图①，若AB ＝15，CF ＝3，求DE 的长．11．在等边ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上运动，以DE 为边向右作等边DEF ，设AD kBE =．(1)如图1，求证：CEF BDE ∠=∠；(2)如图1，连接CF ，请你从下列三个选项中，任选一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明；①2k =；②CF 平分ACB ∠；③AD ，BE ，CF 三条线段构成以AD 为斜边的直角三角形． (3)如图2，12k =，连接AF ，BF 当AF BF +取得最小值时，求AD AB 的值．12．如图①，在正方形ABCD 中，B 为边BC 上一点，连接AE ，过点D 作DN ⊥AE 交AE 、AB 分别于点F 、N ．(1)求证：△ABE ≌△DAN ； (2)若E 为BC 中点，①如图②，连接AC 交DP 于点M ，求CM ：AM 的值； ②如图③，连接CF ，求tan ∠CFE 的值．13．如图，在等腰直角三角形ABC 和ADE 中，AC ＝AB ，AD ＝AE ，连接BD ，点M 、N 分别是BD ，BC 的中点，连接MN．(1)如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是，位置关系是．(2)当ADE∆绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立请就图2情况给出证明：若不成立，请说明理由．(3)当AC＝5时，在ADE∆绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长．14．矩形纸片ABCD中，AB=4．实践思考：(1)连接BD，将纸片折叠，使点B落在边AD上，对应点为E，折痕为GH，点G，H分别在AB，BD上．若AD AB，如图①．①BD=______，tan∠ADB=______；②若折叠后的△AGE为等腰三角形，则△DHE为______三角形；③隐去点E，G，H，线段GE，EH，折痕GH，如图②，过点D作DF⊥BD交BC的延长线于点F，连接AF，AC，则S△ACF=______；(2)若AD=1）AB，如图③，点M在AD边上，且AM=AB，连接BM，求∠DBM的度数；拓展探究：(3)若AD=，如图④，N为边AD的中点，P为矩形ABCD内一点，连接BP，CP，满足∠BPC=90°，Q是边AB上一动点，则PQ＋QN的最小值为______．15．△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，连接AD ，在线段AD 上有一点M ，连接CM ，以AM 为直角边，点A 为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN ．(1)如图1，若sin ∠MCD ＝13，CD ＝4，求线段MN 的长；(2)如图2，将等腰直角三角形AMN 绕点A 顺时针旋转α°（0°＜α°＜45°），连接CM 、DM 、CN ，若DM ∥CN ，求证：4DM 2+CN 2＝CM 2；(3)如图3，线段MN 交线段AC 于点E ，点P 、点Q 分别为线段BC 、线段AC 上的点，连接PM 、QN ，将△DPM 沿PM 翻折得到ΔD 'PM ，将△EQN 沿QN 翻折得到ΔE 'QN ，若AM ＝3DM ，BC ＝8，在线段BC 上找一点F ，连接FD '、FE '，请直接写出FD '+FE '的最小值．16．如图，在菱形ABCD 中，120BAD ︒∠=，将边AB 绕点A 逆时针旋转至AB '，记旋转角为α．过点D 作DF BC ⊥于点F ，过点B 作BE ⊥直线B D '于点E ，连接EF ．【探索发现】(1)填空：当60α︒=时，EBB ∠'= °；EFDB '的值是 ； 【验证猜想】(2)当0360α︒︒<<时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】(3)在（2）的条件下，若AB =BDE 是等腰直角三角形时，请直接写出线段EF 的长．17．四边形ABCD 、点E 在直线BC 上，将ABE △翻折得到AFE △，点B 的对应点为点F 恰好落在直线DE 上，直线AF 交直线CD 于点G ．图1 图2(1)如图1、当四边形ABCD 是矩形时，求证：DA DE =；(2)如图2，当四边形ABCD 是平行四边形时，求证：ADG ∽DFG ；(3)若四边形ABCD 是平行四边形，且B 为锐角，:3:2BE CE =，请直接写出:AF GF 的值．18．在△ABC 中，AB = BC ，∠ABC =90°．(1)如图1，已知DE ⊥BC ，垂足为D ，若∠DBE =60°，AC =BD AE 的长； (2)如图2，若点D 在△ABC 内部，点F 是CD 的中点，且∠BAD =∠CBF ，求证：∠DBF =45°；(3)如图3，点A 与点'A 关于直线BC 对称，点D 是△'A AC 内部一动点，∠ADC =90°．若AC =4，则线段'A D 的长是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．19．在△ABC 和△AEF 中，∠AFE ＝∠ABC ＝90°，∠AEF ＝∠ACB ＝30°，12AE AC =，连接EC ．点G 是EC 中点，将△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图1，若E 恰好在线段AC 上，AB ＝2，连接FG ，求FG 的长度；(2)如图2，若点F 恰好落在射线CE 上，连接BG ，证明：GB AB GC =+； (3)如图3，若AB ＝3，在△AEF 旋转过程中，当12GB GC -最大时，直接写出直线AB ，AC ，BG 所围成三角形的面积．20．如图，在正方形ABCD 中，点P 为CB 延长线上一点，连接AP ．(1)如图1，连接PD ，若60PDC ∠=︒，4=AD ，求tan APB ∠的值；(2)如图2，点F 在DC 上，连接AF ．作APB ∠的平分线PE 交AF 于点E ，连接DE 、CE ，若60APB ∠=︒，PA PC +=．求证：DE 平分ADF ∠；(3)如图3，在（2）的条件下，点Q 为AP 的中点，点M 为平面内一动点，且AQ MQ =，连接PM ，以PM 为边长作等边PMM '△，若2BP =，直接写出BM '的最小值．21．在边长为ABCD 中，点N 为BA 延长线上一点，连接DN ．(1)如图1，以BC为边向内作正△BCM，连接MN，当C，M，N三点共线时，求：△ADN的面积；(2)如图2，以BC为边向外作正△BCM，连接DM，CP平分∠BCD交DM于点P，连接PB，当∠AND＝60°时，连接NP．证明：DN BN+=；(3)如图3，当∠AND＝45°，点P为正方形内一任意点，连接BP，CP，DP，NP，当BP+CP+DP取最小值时，直接写出2PN的值．参考答案：1．(1)证明：AE AF ⊥，90EAF ∴∠=︒，四边形ABC 都是矩形，90BAD ABC ABF D ∴∠=∠=∠=∠=︒，EAF BAD ∴∠=∠，FAB DAE ∴∠=∠，90ABF D ∠=∠=︒，ADE ∴∽ ABF ．(2)①如图，作GH BF ⊥于H ．90GHF C ∠=∠=︒，//GH EC ∴，FG GE =，FH HC ∴=，22EC GH y ∴==，20DE EC CD AB +===，220x y ∴+=，110(020)2y x x ∴=-+<<． ②∵2413EC BG =， ∴可以设24EC k =，13BG k =，∵2EC GH =，∴12GH k =，∴BH =∴Ⅰ.510FH CH k ==+，∴1010FB k =+， ∵1102y x =-+， ∴2024x k =-，∵△ADE ∽△ABF ， ∴AD AB DE BF=， 即：102020241010k k =-+， 解得：1529k =， ∴22029x =； Ⅱ. ()()1111242EBG ECB BFE ECB S S S S S a b a b b a =+=+=-+-△△△△，1010FB k =-， 可得：102020241010k k=--， 解得：1519k =， ∴2019x =． 综上所述，220202919x =或． (3)如图，连接BE ，设DE =a ，CD=BC =b ，易证ADE ABF ≌，可得：==BF DE a ，∴)2222220a a b b a ab b b b DE DC ⎛⎫=-+-=+= ⎪⎝⎭=舍，∵2S b =，14S S =，∴2222b b a ab =--，∴220a ab b +-=， ∴210a a b b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得：)a b =舍，∴DE DC ． 2．(1)解：由题意可知：=-==BD AB AD当DP ⊥BP 时，由垂线段最短知DP 的长最小，如下图所示：∵∠B =45°，∠DPB =90°，∴△BPD 为等腰直角三角形，∴3==DP ， 故DP 的最小值是3．(2)解：过点D 作DM ⊥BC 于点M ，则DM ＝MB ＝3，分两种情况讨论： 情况一：当Q 点在BC 左侧时，如下图所示：由旋转得，DQ=DP ，∠PDQ =90°，∴∠QPD =45°，∵∠BPQ =15°，∴∠BPD =30°，∴==PM∴3=+=BP PM MB ；情况二：当Q 点在BC 右侧时，如下图所示：∵∠QPD =45°，∠BPQ =15°，∴∠BPD =60°，∴==PM∴3=+=BP PM MB ，综上所述，BP 的值为33．(3)解：分别过点Q 、P 作AB 的垂线，垂足分别为点G 、H ，则BH=PH ，∠QGD =∠PHD =90°，∴∠QDG +∠DQG =90°，∠PDH +∠QDG =90°，∴∠DQG =∠PDH ，∵PD=QD ，∴△DGQ ≌△PHD （AAS ），∴QG=DH ，DG=PH ，∵△BDQ 的面积为3，∴132⋅=BD QG 且BD =∴DH QG ==分两种情况讨论：情况一：当点Q 在BC 左侧时，如上图所示：DG=PH=BH=BD+DH =∴1tan 4QG BDQ DG ∠===； 情况二：当点Q 在BC 右侧时，如下图所示：DG=PH=BH=BD-DH =∴1tan2QG BDQ DG ∠===； 综上所述：1tan 2BDQ ∠=或14． 3．（1）如图，连接AE ，∵BA=BC，且∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，∵PE=P A，且∠APE=α=60°，∴△APE为等边三角形，∴∠P AE=60°，AP=AE，∴∠BAC−∠P AC=∠P AE−∠P AC，∴∠BAP=∠CAE；在△BAP和△CAE中，AB ACBAP CAE AP AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔABP≌ΔACE，∴BP=CE，∠ABP=∠ACE，∵BD⊥AC，BA=BC，∠ABC=60°，∴∠ABP=30°，∴∠ABP=∠ACE=30°，∴∠ACE+∠ACB=90°，∴BC⊥CE．故答案为：BP=CE，BC⊥CE；(2)（2）CEBP，BC⊥CE；理由：连接AE，由题意可知：ΔABC、ΔAPE均为等腰直角三角形，∴∠BAC=∠P AE=45°，AC AE AB AP==∴∠BAP+∠P AD=∠CAE+∠P AD，即∠BAP=∠CAE；又∵AC AE AB AP=， ∴ΔBAP ∽ΔCAE ，∴CE CA BP BA==∠ACE =∠ABP ， ∵AB =BC ，BD ⊥AC ，∴∠ABD =∠CBD =∠ACB =45°=∠ACE ，∴∠BCE =∠BCA +∠ACE =45°+45°=90°，∴BC ⊥CE ，∴BC ⊥CE ，CE BP ；(3)（3）CE =2或14．如图，当点P 在BD 上时，连接AE ，∵AB =8，∴AD =BD ，∵AP∴在Rt ΔAPD 中，PD ，∴BP由（2）知：CE BP ，∴CE ；如图，当点P 不在BD 上时，连接AE ，同理可得DP∴BP∴CE ．综上：CE 的长为2或14．4． (1)CM =，45解法提示：∵点D ，E 分别是AC ，BC 的中点， ∴12DE AB ∥． 由旋转知，90APM ∠=︒，即AC PM ⊥．易知DM AD CD ==，∴45ACM CMD ∠=∠=︒，∴DCM △为等腰直角三角形，∴CM ． ∵1122PE AB AC CD ===，∴CM =．(2)一定成立.证明：在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点E 是BC 的中点，连接AE ，如图，则45EAC EAB ∠=∠=︒． ∵点D ，E 分别是AC ，BC 的中点， ∴12DE AB ∥． ∴45AEP PAE ∠=∠=︒.∵PA PM =，90APM ∠=︒，∴APM △是等腰直角三角形，∴45PAM ∠=︒，∴EAC PAM ∠=∠，∴EAP CAM ∠=∠，∵2AE AC =，2AP AM =， ∴AE AP AC AM =， ∴~AEP ACM △△，∴45ACM AEP ∠=∠=︒，CM AC PE AE=∴CM =． (3)AC PE11． 解法提示：当PCM △是等边三角形时，分两种情况讨论．①当点P 在BC 上方时，如图，过点P 作PH CM ⊥于点H ，延长CM 交直线ED 于点F ．由（2）知45ACM ∠=︒，易得CDF 和PFH △均为等腰直角三角形． 设PH a =，则FH a =，CH =，∴CM =， 又由（2）知CM PE =∴PE ==，∵CF FH CH a =+=+，22AC CD ===，∴AC a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，∴1AC PE ==． ②当点P 在BC 下方时，如图，连接AE ，同（2）易得~AEP ACM△△，∴PE APCM AM==ACM AEP∠=∠，∴PE=，45ACQ AED∠=∠=︒．过点P作PH CM⊥于点H，延长MC交直线ED于点Q．易得CDQ和PQH均为等腰直角三角形．设PH b=，则QH b=，CH=，∴CM，∴PE==．∵CQ QH CH b=-=，222AC CD==⨯=，∴AC b⎛⎫=⎪⎪⎝⎭，∴AC1PE==．综上可知，ACPE11．5．(1)证明：如图4，连接DF，作DM⊥EF，垂足M．∵DM ⊥EF ，GE ⊥EF ，∴∠GEF ＝∠DMF ＝90°，∴DM ∥GE ，∴∠MDE ＝∠DEG ，∵DG ＝GE ，∴△GDE 是等腰三角形，∴∠GED ＝∠GDE ，∴∠GDE ＝∠EDM ，∵在△DAE 和△DME 中，90ADE MDE A DME DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△DAE ≌△DME （AAS ），∴DM ＝AD ，AE ＝ME ，∵AD ＝CD ，∴DC ＝DM ，在Rt △DCF 和Rt △DMF 中，DF DF DM DC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DCF ≌Rt △DMF （HL ），∴CF ＝MF ，∴AE +CF ＝EM +MF ，∵EM +MF ＝EF ，∴AE +CF ＝EF ；(2)解：如图5，连接EK、ED．由（1）知，△DAE≌△DME，Rt△DCF≌Rt△DMF，∴∠ADE＝∠MDE＝12∠ADM，∠CDF＝∠MDF＝12∠CDM，∴∠EDF＝∠EDM+∠MDF＝12∠ADM+12∠CDM＝12∠ADC＝45°，∵∠EAK＝45°，∴∠EAK＝∠EDK，∴A、E、K、D四点共圆，∴∠EAD+∠EKD＝180°，∴∠EKD＝180°﹣∠EAD＝90°，∴∠EDK＝45°，∴△EDK是等腰直角三角形，DE2＝2DK2，∵S四边形AEKD＝S△ADE+S△KDE＝S△AEK+S△KDA，∴12AD•AE+12DK•EK＝12AK•AE•sin∠EAK+12AK•AD•sin∠DAK，∴AD•AE+DK2＝AK•AE+AK•AD∵DK2＝12DE2＝12（AD2+AE2），∴AD•AE+12（AD2+AE2AK•AE AK•AD，∴2AD•AE+AD2+AE2•AE•AD，∴（AD+AE）2AK（AD+AE），∵AD+AE≠0，∴AE+AD；(3)解：∵△BEF的周长为24，∴BE+EF+BF＝24，由（1）知AE +CF ＝EF ，∴BE +AE +CF +BF ＝24，∴AB +BC ＝24，∴AB ＝BC ＝12，即正方形ABCD 的边长为12，∴AC ＝由（2）知AE +AD ，∵AK ＝，∴AE +AD 16，CK ＝AC ﹣AK ＝＝∴AE ＝16﹣AD ＝4．∵AE ∥CD ，∴△AEP ∽△CDP ， ∴41123AP AE CP CD ===，∴CP ＝34AC ＝34×∴PK ＝CP ﹣CK ＝＝6．(1)证明：∵△BCE 绕B 点旋转，使BC 与BA 重合，90ABC ∠=︒，∴旋转角为90°，即：∠FBE =90°，根据旋转的性质可得：BF =BE ，∠F =∠BEC ，∴∠F +∠BED =∠BEC +∠BED =180°，∴四边形BEDF 满足“直等补”四边形的定义，∴四边形BEDF 为“直等补”四边形；(2)①证明：如图1，过C 作CF ⊥BF 于点F ，四边形ABCD 为“直等补”四边形，AB =BC =5，CD =1，∴90,180ABC ABC D ∠=︒∠+∠=︒，90D ∴∠=︒，BE AD ⊥，CF BF ⊥，90DEF ∴∠=︒，90CFE ∠=︒，∴四边形CDEF 是矩形，DE CF ∴=，1EF CD ==，90ABE A ∠+∠=︒，90ABE CBE +=︒∠∠，A CBF ∴∠=∠，90AEB BFC ∠=∠=︒，AB BC =，()ABE BCF AAS ∴∆≅∆，BE CF ∴=，AE BF =，DE CF =，BE DE ∴=，四边形CDEF 是矩形，1EF CD ∴==，ABE BCF ∆≅∆，AE BF ∴=，1AE BE ∴=-，设BE x =，则1AE x =-，Rt ABE △中，222(1)5x x +-=，解得4x =或3x =-（舍去），4BE ∴=；②如图2，延长CB 到点F ，使得BF =BC ，延长CD 到点G ，使得CD =DG ，连接FG ，分别与AB 、AD 交于点M 、N ，过G 作GH ⊥BC 交BC 的延长线于点H ，则5BC CF ==，1CD DG ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，FM CM ∴=，GN CN =，∴∆MNC 的周长CM MN CN FM MN GN FG =++=++=时取最小值，四边形ABCD 为“直等补”四边形，180A BCD ∴∠+∠=︒，180BCD HCG ∠+∠=︒，A HCG ∴∠=∠，又90AEB CHG ∠=∠=︒，ABECHG ∴∆∆， BE AE AB GH CH CG∴==， 5AB =，4BE =，3AE ∴=，4352GH CH ∴==， 解得85GH =，65CH =， 56+5FH FC CH ∴==，FG ∴=∴∆MNC 周长的最小值为7．(1)①∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形，AB ＝CD ＝CB ，∠BCE ＝∠A ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∠DEF ＝12∠A ，∴∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝DE，∴AD﹣DF＝CD﹣DE，即AF＝CE，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴BF＝BE，在Rt△CBE中，点G是BE的中点，∴CG＝1BE，2BF，∴CG＝12BF；故答案为：CG＝12②①中线段CG与线段BF的数量关系仍然成立，证明：思路一：连接AC，记AC与BD相交于点O，AC与BF相交于点M，连接GM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，DO＝BO，AC⊥BD，∴CO⊥BD，CO＝DO＝BO，由①得：DE＝DF，设DE＝DF＝y，OG＝x，OE＝a，∵点G是BE的中点，∴EG＝BG＝a+x，OB＝OG+BG＝a+2x，∵OD＝OB，∴y+a＝a+2x，∴y＝2x，即DE＝DF＝2OG，∵AC⊥BD，∠EDF＝90°，∴OA∥DF，∵DO＝BO，∴FM ＝BM ＝12BF ，DF ＝2OM ，∴OM ＝x ＝OG ，∵AC ⊥BD ，∴∠MOB ＝∠GOC ＝90°，∵OB ＝OC ，∴△MOB ≌△GOC （SAS ），∴CG ＝BM ＝12BF ，∴①中线段CG 与线段BF 的数量关系仍然成立；(2)过点C 作CN ⊥DB 于N ，连接GN ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝120°，∴DC ＝BC ，∠ADC ＝60°，∠A ＝∠BCD ＝120°，∠BDC ＝∠CBD ＝30°， ∴∠DCN ＝60°，∴DN ＝BN ＝12BD ， ∴CN BD = ∵点G 是BE 的中点， ∴12NG DE =，NG ∥DE ， ∴∠BNG ＝∠BDE ，∵∠BDE +∠BDF ＝90°，∠BNG +∠CNG ＝90°，∴∠BDF ＝∠CNG ，∵∠DEF ＝12∠A ，∴∠DEF ＝60°，∴DF，∴1DE NG DF == ∴NG CN DF BD=， ∵∠BDF ＝∠CNG ，∴△BDF ∽∠CNG ，∴CG CN BF BD = ∴BF ＝．故答案为：BF ＝．8．(1)如图1，作DM ⊥BC 于M ，∴∠BMD ＝90°，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝∠C ＝30°，∴∠ABF ＝∠FBC ＝15°，∴∠ABD ＝∠ABF ＝15°，∴∠DBM ＝45°，∴DM ＝BD •sin ∠DBM ＝2•sin45°=∴CD ＝2DM ＝；(2)CH =，理由如下：如图2，作HN //AB 交AC 于N ，作NM ⊥BC 于M ，∴∠DNH＝∠BAD＝180°﹣∠BAC＝60°，∴∠NHC＝∠DNH﹣∠C＝60°﹣30°＝30°，∴∠C＝∠NHC＝30°，∴CH＝2HM＝2•（HN•cos∠NHC）＝2•（HN•cos30°）=，∵∠CDH+∠BFD12=∠DEF，∠CDH+∠BFD+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝120°，∴∠BED＝∠BAD＝60°，∵∠AGD＝∠BGE，∴∠ADG＝∠ABF＝∠ABD，∵∠DBH＝∠ABC+∠ABD＝30°+∠ABD，∠BHD＝∠C+∠ADG＝30°+∠ABD，∴∠DBH＝∠DHB，∴DH＝BD，∴△ABD≌△NDH（AAS），∴HN＝AD，∴CH=；(3)如图3，作等边三角形BDO，以O为圆心，OB＝BD＝2为半径作圆O，∴点P在⊙O上运动，作∠BCR ＝30°，作HN ⊥CR 于N∴HN 12CH = ∴PH +HN 最小时，P 、H 、N 共线，且PHN 过点O ，故作OQ ⊥CR 于Q 交AB 于T ，作BT ⊥OQ 于T ，∵∠ABC ＝∠BCR ＝30°，∴AB //CR ，∴OQ ⊥BT ，作OB 的垂直平分线交OT 于M ，∴OM ＝BM ，设BT ＝x ，∴OM ＝BM ＝2BT ＝2x ，MT =，∴2x +）2+x 2＝22，∴x =∴BT 2）x =∵TQ ＝BR 12=BC 12=⋅，∴OQ =∴P ′Q ＝OQ ﹣OP ′2，∵2PH +CH ＝2（PH 12+CH ）∴2PH +CH 的最小值是：4．9．(1)解：过E 点作EH ⊥AC 于H 点，如下图所示：∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，∴∠HCE=45°，△HCE为等腰直角三角形，设HE=CH=x，∵1tan3∠==EHEACAH，∴AH=3x，∴AC=AH+CH=4x，∵∠B=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC²=AB²+BC²，∴16x²=16+16，解得x(负值舍去)，∴EH=HC∴2==EC．(2)证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：∵FG AC，∠CFG=90°，且AC为对角线，∴∠FCG=∠FCM=45°，∴△CGM和△CFG是等腰直角三角形，∴CM=CG，2CG CF，∴BM=BC-CM=CD-CG=DG，∵AF=AB，∴AF=AD，在Rt△AFG和Rt△ADG中，AG AG AF AD，∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），∴FG=DG，∴BM=FG，∵∠BAC=∠EAH=45°，∴∠BAE=∠F AH，∵FG⊥AC，∴∠AFH=90°，∴△ABE≌△AFH（ASA），∴BE=FH，∵BM=BE+EM，FG=FH+HG，∴EM=HG，∵EC=EM+CM，CM=CG，∴．(3)解：如下图3所示，∵G为AD中点，∴GA=GD，∵将△GDH沿GH翻折得到△GPH，∴GD=GP，∴GA=GD=GP，∴动点P在以G点为圆心，GD为半径的劣弧PD上运动，如下图4虚线所示，当B、P、G三点不共线时，由三角形两边之差小于第三边可知：BP＞BG-GP，当且仅当B、P、G三点共线时有：BP=BG-GP，此时BP取得最小值，∵在(1)的条件下，正方形边长AD=4，∴AG=GD=GP=2，∴2216425BG AB AG，过P点作PM⊥AD于M点，则PM∥AB，∴△GMP∽△GAB，∴MP GPAB BG，代入数据：∴2 425 MP，∴455 MP，∴11458542255PADS AD PM．10．四边形BE ′FE 是正方形．理由如下：由旋转得，∠E ′＝∠AEB ＝90°，∠EBE ′＝90°，∵∠BEF ＝180°﹣∠AEB ＝90°，∴四边形BE ′FE 是矩形，由旋转得，BE ′＝BE ，∴四边形BE ′FE 是正方形．(2)CF ＝FE '，证明：如图2，过点D 作DG ⊥AE 于点G ，则∠DGA ＝∠AEB ＝90°，∵DA ＝DE ，∴AG ＝12AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝AB ，∠DAB ＝90°，∴∠BAE +∠DAG ＝90°，∵∠ADG +∠DAG ＝90°，∴∠ADG ＝∠BAE ，在△ADG 和△BAE 中 ADG BAE AGD AEB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△BAE （AA S ），∴AG ＝BE ；∵四边形BE ′FE 是正方形，∴BE ＝FE ′，∴AG ＝FE ′，由旋转得，AE ＝CE ′， ∴12AE ＝12CE ′，∴FE ′＝12AE ＝12CE ′，∴CF ＝FE '．(3)如图3，过点D 作DG ⊥AE 于点G ，∵BE ＝FE ′，CF ＝3，∴AE ＝CE ′＝FE ′+CF ＝FE ′+3＝BE +3，∵AE 2+BE 2＝AB 2，且AB ＝15，∴(BE +3)2+BE 2＝(15)2，解得，BE ＝9或BE ＝﹣12（不符合题意，舍去），∴AE ＝9+3＝12，由（2）得，△ADG ≌△BAE ，∴DG ＝AE ＝12，AG ＝BE ＝9，∴GE ＝AE ﹣AG ＝12﹣9＝3，∵∠DGE ＝90°，∴DE ＝11．(1)解：∵ABC 和DEF 都是等边三角形，∴60B DEF ∠=∠=︒，∵DEC B BDE ∠=∠+∠∴DEF CEF B BDE ∠+∠=∠+∠，∴CEF BDE ∠=∠；(2)解：命题：①⇒②．证明：如图，在BC 上取一点G ，使得BG BD =，连接DG ，FG ，取CG 中点H ，连接FH ，∵60B ∠=︒，BD BG =，∴BDG 为等边三角形，∴BD DG =，60BDG DGB ∠=∠=︒，又∵60EDF BDG ∠=∠=︒，∴BDE GDF ∠=∠，∵DE DF =，∴BDE GDF △△≌，∴60DGF B ∠=∠=︒，GF BE =，∴60FGC ∠=︒，又∵AB BC =，BD BG =，∴CG AD =，当2k =时，2AD BE =，∴2CG GF =，∵H 为CG 中点，∴HG HC FG ==，∴FGH 为等边三角形，∴FH GH HC ==，60FHG ∠=︒，∴30HCF HFC ∠=∠=︒，∴CF 平分ACB ∠，（结论②得证）(3)解：如图，过点E 作EM BD ⊥于点M ，连接CF ，∵12k =， ∴2BE AD =，又∵60ABC ∠=︒，∴12BM BE =， ∴BM AD =，∴2BE BM =，∴2DM AB BM AD AB BM BC BE CE =--=-=-=， ∵CEF BDE ∠=∠，DE EF =，∴DEM EFC △△≌，∴90FCE EMD ∠=∠=︒，即CF BC ⊥，作点A 关于直线CF 的对称点A '， ∴当A '，F ，B 三点共线时，AF BF +取得最小值．如图3，由轴对称可知：30A CF ACF '∠=∠=︒，AC A C '=，∴A C BC '=，120BCA '∠=︒，∴30CBF ∠=︒，∴30ABF CBF ∠=∠=︒，∴ABF CBF △△≌，∴90FAB FCB ∠=∠=︒，FA FC =，∴Rt FAD Rt FCE ≌，∴AD CE =，∴2BE BD AD ==， ∴123AD AD AB AD AD ==+． 12．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝DA ，∠B ＝∠DAN ＝90°， ∵DN ⊥AE ，∴∠AFN ＝90°，∴∠F AN +∠ANF ＝90°．∵∠ADN +∠ANF ＝90°，∴∠F AN ＝∠AND ，即∠BEA ＝∠AND ，∴在△ABE 和△DAN 中，BEA AND B DAN AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DAN （AAS ）；(2)解：①∵四边形ABCD 是正方形， ∴//AB CD ，AB ＝BC ＝CD ．∵E 为BC 中点，∴BE ＝CE ＝12BC ，同（1）得：△ABE ≌△DAN （AAS ）， ∴BE ＝AN ＝12BC ，∴AN ＝12AD ＝12CD ，∵//AB CD ，∴△CDM ∽△ANM ， ∴2CM CD AM AN==； ②过点C 作CM ⊥DN 于M ，如图所示：设AB＝AD＝CD＝2a，则BE＝a，在Rt ABE△中，由勾股定理得：AE=，同（1）得：△ABE≌△DAN（AAS），∴BE＝AN＝a，AE＝DN．∵∠DAN＝90°，DN⊥AE，∴AN ADAFDN⋅==，∴NF=．∵CM⊥DN，∴∠CMD＝90°＝∠DAN，∴∠DCM+∠CDM＝90°．∵∠CDM+∠NDA＝90°，∴∠DCM＝∠NDA，∴△CDM∽△DNA，∴CM DM CDDA NA DN==，即2CM DMa a==解得：CM=，DM=，∴MF DN NF DM=--==，∴1tan2MFMCFCM∠===．∵DN⊥AE，CM⊥DN，∴//AE CM，∴∠CFE ＝∠MCF ，∴tan ∠CFE ＝tan ∠MCF ＝12．13．(1)解：如图1，延长MN 交AB 于点G ，∵M 、N 分别是BD 、BC 的中点，MN CD ∴∥，且12MN CD ＝，AC AB AD AE ＝，＝， CD BE ∴＝，12MN BE ∴=， 90NGB A ∠∠︒＝＝，MN BE ∴⊥． 故答案为：12MN BE MN BE ⊥＝，． (2)成立，理由如下：∴如图2，连接并延长CD 交BE 于点H ，延长NM 交BE 于点G ，90CAB DAE ∠∠︒＝＝，90CAD BAE DAB ∴∠∠︒-∠＝＝，AC AB AD AE ＝，＝，CAD BAE SAS ∴∆∆≌（），CD BE ACD ABE ∴∠∠＝，＝，∵点M 、N 分别是BD 、BC 的中点，12MN CD MN CD ∴∥，＝， 12MN BE ∴＝； 90BCH CBH BCH ABE ABC BCH ACD ABC ACB ABC ∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠︒＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝， 90CHB ∴∠︒＝，CD BE ∴⊥，90NGB CHB ∠∠︒＝＝；MN BE ∴⊥．(3)如图3，AD 在ABC ∆内部，AE 在ABC ∆的外部，且四边形DEMN 是平行四边形，由（2）得，1122CD BE MN CD MN CD BE ⊥，∥，＝＝， DE MN ∥，180EDN DNM ∴∠∠︒＋＝，DNM CDN ∠∠＝，180EDN CDN ∴∠∠︒＋＝，∴C、D、E三点在同一条直线上，＝，∴∠︒BEC90222＝，DE AD∴，DE＝，DE MN∴＝＝＝＝，CD BE MN DE22AC＝，5222∴＝＋＝，BC5550由222CE BE BC＋＝得，2250＋）＋（）＝，解得AD；如图4，AD、AE都在△ABC的外部，且四边形DENM是平行四边形，设BE交AC于点O，90∠∠︒∠＝＝＋，＝，＝，CAD BAE CAE AC AB AD AE≌（），∴∆∆CAD BAE SAS∴＝，CD CE∵M、N分别为BD、BC的中点，∴∥，MN CD∵四边形DENM是平行四边形，∴∥，DE MN∴点E在CD上，ACD ABE COE AOB＝，＝，∠∠∠∠＋＝＋＝，∴∠∠∠∠︒90ACE COE ABE AOB90BEC ∴∠︒＝，∵M 、N 分别是BD 、BC 的中点，1122MN CD BE ∴＝＝， 22BE CD MN DE ∴＝＝＝， 2DE ＝，BE CD ∴＝＝，由222CE BE BC ＋＝得，2250（）＋（）＝，解得AD综上所述，AD 14．(1)解：①∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°，∵AB =4，AD =，∴AD∴8BD =，tan AB ADB AD ∠==故答案为：8②由①得：tan ∠ADB =， ∴∠ADB =30°，∴∠ABD =90°﹣∠ADB =60°，∵∠A =90°，△AGE 为等腰三角形，∴∠AEG =45°，由折叠的性质得：∠GEH =∠ABD =60°，∴∠DEH =180°﹣∠AEG ﹣∠GEH =180°﹣45°﹣60°=75°，∴∠DHE =180°﹣∠DEH ﹣∠ADB =180°﹣75°﹣30°=75°，∴∠DEH =∠DHE ，∴DE =DH ，∴△DHE 是等腰三角形，故答案为：等腰；③∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =∠BCD =∠ADC =90°，CD =AB =4，∴∠DCF =90°，由②得：∠ADB =30°，∴∠BDC =90°﹣∠ADB =60°，∵DF ⊥BD ，∴∠BDF =90°，∴∠CDF =90°﹣∠BDC =30°，∴CF =∴S △ACF 12=CF ×AB =，； (2) 解：∵∠A =90°，AM =AB ，∴△ABM 是等腰直角三角形，∴∠AMB =45°，AM =AB =4，BM =∵AD =1）AB 4，∴DM =AD ﹣AM ，∴BM =DM ，∴∠DBM =∠BDM 12=∠AMB =22.5°； (3)解：∵AD =N 为边AD 的中点，∴AN 12=AD 作点N 关于AB 的对称点N '，则AN '=AN ，∵∠BPC =90°，∴点P 在以BC 为直径的半圆O 上，连接ON '交AB 于Q ，交半圆O 于P ，则OP =OB 12=BC ，QN =QN '，此时PQ ＋QN 的值最小=PQ ＋QN '=PN '，∵∠N 'AQ =90°=∠OBQ ，∠AQN '=∠BQO ，AN '=BO∴△AQN '≌△BQO （AAS ），∴QN '=QO ，AQ =BQ 12=AB =2，∴QN QO '=∴PQ ＋QN =PN '=2QO ﹣OP即PQ ＋QN 的最小值为故答案为：．15．(1)解：∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，AB ＝AC ，∴AD ＝CD ＝12BC ＝4，AD ⊥BC ，∵sin ∠MCD ＝13，∴tan ∠MCD∴DM ＝CD •tan ∠MCD ＝4∴AM ＝AD ﹣DM ＝4在Rt △AMN 中，MN ＝sin sin 45AMAMANM ︒=∠(4＝2；(2)证明：如图1，连接BM 并延长交CN 于E ，∵∠BAC ＝∠MAN ＝90°，∴∠BAC ﹣∠MAC ＝∠MAN ﹣∠MAC ，即：∠BAM ＝∠CAN ，在△BAM 和△CAN 中，AB ACBAM CAN AM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAM ≌△CAM （SAS ），∴∠MBA ＝∠ACN ，BM ＝CN ，∴点A 、B 、C 、E 共圆，∴∠BEC ＝∠BAC ＝90°，∴EM 2+CE 2＝CM 2，∵DM ∥CN ，∴△BDM ∽△BCE ， ∴12BMDMBD BE CE BC ===，∴CE ＝2DM ，EM ＝BM ，∴EM ＝CN ，∴4DM 2+CN 2＝CM 2；(3)如图2，∵AD ＝CD ＝12BC ＝4，AM ＝3DM ，∴DM ＝1，AM ＝3，MN ＝NE ＝12MN∵MD ′＝DM ＝1，NE ′＝NE∴点D ′在以M 为圆心，1为半径的圆上，点E ′在以N 作点M 关于BC 的对称点G ，连接GN 交BC 于F ，交⊙N 于E ′，则FD '+FE '的最小，在Rt △AGN 中，AG ＝DG +AD ＝1+4＝5，AN ＝3，∴GN∵DF ∥AN ，∴△GFD ∽△GNA ，∴GF GD GN AG=， 15=，∴GF∴MF ＝GF ∴FD '+FE '＝MF ﹣MD ′+FN ﹣NE ′＝GF +FN ﹣NE ′﹣MD ′＝GN ﹣NE ′﹣MD ′，即：min ()1FD FE ''+=-． 16．(1)解：当60α︒=时，点B '与点C 重合，∵四边形ABCD 为菱形，120BAD ∠=︒，∴//AD BC ，60CBA ︒∠=，∵BE CD ⊥，∴BE AB ⊥，即90ABE ︒∠=，∴9030EBB CBA ︒︒'=-∠=∠，在t R DFC △和Rt BEC △中，DC BC DCF BCE DFC BEC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴()DFC BEC AAS △≌△，∵FC EC =，∵60ECB ︒∠=，∴30CFE CEF ︒∠=∠=，∴B CFE E B '∠∠=，∴EF BE =，假设=CE m，则BE ，=2BC m ，∴EF BE DB BC ==' 故答案为：30(2) 解：当0360α︒︒<<时，（1）中的结论仍然成立． 证明：如图，连接BD ，∵AB AD AB '==， ∴1(180)9022a a AB B ︒︒'-=-∠=，1180(120)3022a AB a D ︒︒︒⎡⎤=--=+⎣⎦'∠， ∴180180(90)(30)6022E a a B AB D AB B B ︒︒︒︒︒''=-∠-∠=---+='∠， ∴30EBB ︒'∠=， ∵11(180)3022CB ABC BAD D ︒︒==-=∠∠∠，∴C EB D B B =∠'∠，∴FB E B CBD FB B B B ''+∠=∠+∠'∠，即=B EBF B D '∠∠，∴cos BF DBF BD ∠==cos BE EBB BB '∠==' ∴BF BE BD BB ='， 又∵=B EBF B D '∠∠， ∴FBE DBB '△△∽，∴EF BE DB BB =='' (3)解：连接AC ，BD 交于点O ，∵AC BD ⊥，1602BAO BAD ︒=∠=∠，∴sin OB AB BAO =⋅∠∴BD =∴sin DE BE BD DBE ==⋅∠= 由（2）可知30EBB ︒'∠= ∴tan 2EB BE EBB ''=⋅∠=， 分两种情况：①如图，当点E 在线段DB '上时，。

专题02 填空压轴题1．（2021•上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，2OP=，当正方形绕着点O旋转时，则点P 到正方形的最短距离d的取值范围为 ．d…【答案】21【详解】如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d PE=最大，OP过顶点A时，点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时d PA=最小，如图①：Q正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，\=，45AE1^，Ð=°，OE ABOAEOE\=，1Q，OP=2\==；d PE1如图②：Q正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，\=，451AE^，OAEÐ=°，OE AB\=OAQ，OP=2\==-；2d PAd \的取值范围为21d …．2．（2020•上海）在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 ．【答案】102033AO <<【详解】在矩形ABCD 中，90D Ð=°Q ，6AB =，8BC =，10AC \=，如图1，设O e 与AD 边相切于E ，连接OE ，则OE AD ^，//OE CD \，AOE ACD \D D ∽，\OE AO CD AC =，\2106AO =，103AO \=，如图2，设O e 与BC 边相切于F ，连接OF ，则OF BC ^，//OF AB \，COF CAB \D D ∽，\OC OF AC AB =，\2106OC =，103OC \=，203AO \=，\如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是102033AO <<3．（2019•上海）在ABC D 和△111A B C 中，已知190C C Ð=Ð=°，113AC A C ==，4BC =，112B C =，点D 、1D 分别在边AB 、11A B 上，且ACD D @△111C A D ，那么AD 的长是 ．【答案】53【详解】ACD D @Q △111C A D ，可以将△111C A D 与ACD D 重合，如图，11190ACB A C B Ð=Ð=°Q ，11//BC B C \，\11B C AD BD BC=，3AC =Q ，4BC =，5AB \==，\254AD AD =-，解得53AD =，AD \的长为534．（2018•上海）已知任一平面封闭图形，现在其外部存在一水平放置的矩形，使得矩形每条边都与该图形有至少一个交点，且构成该图形的所有点都在矩形内部或矩形边上，那么就称这个矩形为“该图形的矩形”，且这个矩形的水平长成为该图形的宽，铅直高称为该图形的高．如图，边长为1的菱形的一条边水平放置，已知“该菱形的矩形”的“高”是“宽”的23，则该“菱形的矩形”的“宽”为 ．【答案】1813【详解】在菱形上建立如图所示的矩形EAFC ，设AF x =，则23CF x =，在Rt CBF D 中，1CB =，1BF x =-，由勾股定理得：222BC BF CF =+，22221(1)()3x x =-+，解得：1813x =或0（舍)，则该“菱形的矩形”的“宽”是18135．（2021•普陀区二模）如图，正方形ABCD 中，4AB =，E 为边BC 的中点，点F 在AE 上，过点F 作MN AE ^，分别交边AB 、DC 于点M 、N ，联结FC ，如果FNC D 是以CN 为底边的等腰三角形，那么FC = ．【详解】延长AE ，DC 交于点A ¢，过点F 作FH CD ^于H ，ABCD Q 是正方形，4AB BC \==，//AB CD ，1A \Ð=Т．在ABE D 和△A CE ¢中，1A AEB A EC BE EC Ð=ТìïÐ=Тíï=î．ABE \D @△()A CE AAS ¢．4AB A C \=¢=．E Q 为边BC 的中点，122BE EC BC \===．AE \==sin 1BE AE \Ð==．sin A \Т=．AE MN ^Q ，90A FN \Т=°．290A\Т+Ð=°．cos 2sin A \Ð=Т=FN FC =Q ，FH CN ^，12NH CH CN \==．设NH x =，则2NC x =．42A N A C NC x \¢=¢+=+．在Rt FHN D 中，cos 2NH FN Ð==，FN \=．在Rt △A FN ¢中，cos 2FN A N Ð==¢\=43x \=．FC FN \===．6．（2021•嘉定区二模）在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =（如图），点E 是边AB 的中点，联结DE ．将DAE D 沿直线DE 翻折，点A 的对应点为A ¢，那么点A ¢到直线BC 的距离为 ．【答案】5425【详解】过A ¢作//FG BC 交AB 于F ，交CD 于G ，过A ¢作A H BC ¢^于H ，如图：Q 矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，E 是边AB 的中点90A \Ð=°，4AD BC ==，6CD AB ==，3AE =，DAE D Q 沿直线DE 翻折，点A 的对应点为A ¢，90DA E A \Т=Ð=°，4A D AD ¢==，3A E AE ¢==，又//FG BC ，90A DG DA G EA F \Т=°-Т=Т，而90EFA A GD Т=Т=°，EFA \D ¢∽△A GD ¢，\34EF FA EA A G DG A D ¢¢===¢¢，设3EF m =，3FA n ¢=，则4A G m ¢=，4DG n =，4FA A G BC ¢+¢==Q ，AE EF DG +=，\344334n m m n +=ìí+=î，解得2425n =，96425DG n \==，5425CG CD DG \=-=，5425A H \¢=7．（2021•闵行区二模）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在ABC D 中，AB AC =，4BC =，且ABC D 的面积为m ，如果ABC D 存在“最优覆盖菱形”为菱形BCMN ，那么m 的取值范围是 ．【答案】8m …【详解】ABC D Q 的面积为m ，ABC \D 的BC 边上的为高2m ，如图：当高取最小值时，ABC D 为等边三角形，点A 与M 或N 重合，如图：过A 作AD BC ^，垂足为DQ 等边三角形ABC ，4BC =，60ABC \Ð=°，4BC =，30BAD Ð=°．2BD \=，AD \==，\2m =，即m =如图：当高取取最大值时，菱形为正方形．\点A 在MN 的中点，\4,82m m ==即，8m \…8．（2021•青浦区二模）在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，4AB cm =，8AD cm =．Q 为直线BC 上一动点，如果以5cm 为半径的Q e 与矩形ABCD 的各边有4个公共点，那么线段OQ 长的取值范围是 ．【答案】2OQ <…【详解】临界情况，如图所示，1Q e 与CD 切于点C ，2Q e 与AB 切于点B ，当Q 在12Q Q 上移动时Q e 与AB 有一个交点，与AD 有2个交点，与CD 有1个交点，15CQ \=，113BQ BC CQ =-=，4AB =，15AQ \==，即A 在1Q e 上，同理，D 在2Q 上，临界条件下，圆与矩形存在三个交点，当OQ BC ^时，OQ 取最小值，2OQ =，当Q 在1Q 或Q 时，OQ 取最大值，12OQ OQ ===2OQ \<…．9．（2021•松江区二模）如图，已知Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，6AC =，8BC =．将ABC D 翻折，使点C 落在AB 边上的点D 处，折痕EF 交边AC 于点E ，交边BC 于点F ，如果//DE BC ，则线段EF 的长为 ．【详解】如图，由折叠可知，EC ED =，FC FD =，CEF DEF Ð=Ð，EF 是CD 的垂直平分线，//DE BC Q ，90ACB Ð=°，90AED ACB \Ð=Ð=°，45CEF DEF \Ð=Ð=°，90CED ECF EDF \Ð=Ð=Ð=°\四边形CEDF 是正方形，设CF x=，则6AE x=-，8BF x=-，由AED DFBD D∽得，AE EDDF FB=，即，68x xx x-=-，解得，247x=，在Rt CEFD中，EF=10．（2021•虹口区二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将BCMD沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C¢处，联结DC¢并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN DM=时，CM 的长为 ．【答案】2或8-【详解】如图1中，当BN DM=时，连接CC¢交BM于J．BN DM=Q，//BN DM，\四边形BNDM 是平行四边形，//BM DN \，BMC NDM \Ð=Ð，BMC DC M Т=Т，由折叠知，MC MC ¢=，BMC BMC Ð=Т，NDM DC M \Ð=Т，MC MD \¢=，122CM DM CD \===．如图2中，当BN DM =时，过点C ¢作C T CD ¢^于T ．CB CD =Q ，BN DM =，CN CM MC \==¢，在BCM D 和DCN D 中，CB CD BCM DCN CM CN =ìïÐ=Ðíï=î，()BCM DCN SAS \D @D ，CDN CBM \Ð=Ð，90CBM BCC Ð+Т=°Q ，90BCC C CD Т+Т=°，CBM C CD \Ð=Т，C CD DCN \Т=Ð，C D C C \¢=¢，C T CD ¢^Q ，2DT TC \==，//C T CN ¢Q，DC C N \¢=¢，12C T CN \¢=，设C T x ¢=，则2CN CM MC x ==¢=，TM =，22x \=，4x \=-，8CM \=-综上所述，CM 的值为2或8-．11．（2021•长宁区二模）如图，已知ABC D 中，90C Ð=°，6AB =，CD 是斜边AB 的中线．将ABC D 绕点A 旋转，点B 、点C 分别落在点B ¢、点C ¢处，且点B ¢在射线CD 上，边AC ¢与射线CD 交于点E ．如果3AE EC =¢，那么线段CE 的长是 ．【答案】72【详解】根据已知，作出的图形，如图所示：ABC D Q 中，90C Ð=°，6AB =，CD 是斜边AB 的中线．132AD CD DB AB \====，DAC ACD \Ð=Ð，根据旋转性质：B AE B CA Т=Т，\△B AE ¢∽△B CA ¢，\B A AE B E BC AC B A ¢¢==¢¢，\3AE E C =¢，\34AE AE AC AC ==¢，\6346B E BC ¢==¢，8B C \¢=，92B E ¢=，97822EC B C B E \=¢-¢=-=12．（2021•黄浦区二模）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ．将ABD D 沿对角线BD 翻折，点A 的对应点E 恰好位于边BC 上，且:3:2BE EC =，则C Ð的余切值是 ．【详解】如图，过点A 作AF BC ^于F ，DH BC ^于H ，//AF DH \，又//AD BC Q ，\四边形ADHF 是平行四边形，又AF BC ^Q ，\四边形ADHF 是矩形，AF DH \=，AD FH =，在Rt ABF D 和Rt DCH D 中，AB DC AF DH =ìí=î，Rt ABF Rt DCH(HL)\D @D ，BF CH \=，Q 将ABD D 沿对角线BD 翻折，AB BE \=，ABD DBC Ð=Ð，//AD BC Q ，ADB DBC ABD \Ð=Ð=Ð，AB AD \=，:3:2BE EC =Q ，\设3BE x =，2EC x =，3AB CD x AD FH \====，BF CH x \==，DH \==，C \Ð的余切值==13．（2021•杨浦区二模）如图，已知在ABCD 中，90C Ð=°，30B Ð=°，2AC =，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上一点，将BDE D 沿直线DE 翻折，点B 落在B ¢处，联结AB ¢，如果90AB D ¢Ð=°，那么线段AE 的长为 ．【答案】145或2【详解】在ABC D 中，90C Ð=°，30B Ð=°，2AC =，4AB \=，BC ==Q 点D 是边BC 的中点，BD CD \==，Q 将BDE D 沿直线DE 翻折，B D BD ¢\==，\点B ¢在以点D 为圆心，BD 为半径的圆上，如图，当点B ¢与点C 不重合时，过点E 作EH BC ^于H ，连接AD ，在Rt ACD D 和Rt △AB D ¢中，AD AD CD DB =ìí¢=î，Rt ACD Rt \D @△()AB D HL ¢，DAC DAB ¢\Ð=Ð，180BDB B DC B AC B DC ¢¢¢¢Ð+Ð=°=Ð+ÐQ ，B AC BDB ¢¢\Ð=Ð，Q 折叠，BDE EDB ¢\Ð=Ð，BDE DAC \Ð=Ð，tan tan DC HE DAC BDE AC DH \Ð=Ð===\设EH =，2DH x =，30B Ð=°Q ，3BH x \==，BE =BD ==Q ，x \=35EH \=，65BE =，145AE \=，当点B ¢与点C 重合时，90AB D ¢Ð=°，DE \是BC 的垂直平分线，//DE AC \，\1AE CD BE BD==，122AE BE AB \===，综上所述：145AE =或2．14．（2021•静安区二模）在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n 倍(n 为整数），那么我们称这个三角形为n 倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为 ．【答案】30°或20°或18°或36011°【详解】①设最小内角度数为n °，2倍角为2n °，3倍角为3n °，23180n n n \++=，30n \=；②设最小内角度数为n °，2倍角为2n °，3倍角为6n °，26180n n n \++=，20n \=．③设最小内角度数为n °，3倍角为3n °，2倍角为6n °，36180n n n \++=，18n \=．④设最小内角度数为2n °，其余两个角为3n °和6n °，236180n n n \++=，18011n \=，360211n \=．15．（2021•都江堰市模拟）如图，在ABC D 中，AD 是BC 边上的中线，60ADC Ð=°，3BC AD =．将ABD D 沿直线AD 翻折，点B 落在平面上的B ¢处，联结AB ¢交BC 于点E ，那么CE BE的值为 ．【答案】37【详解】过A 作AF BC ^于F ，过B ¢作B G BC ¢^于G ，如图：60ADC Ð=°Q ，120ADB \Ð=°，ABD D Q 沿直线AD 翻折，点B 落在平面上的B ¢处，120ADB \Т=°，60CDB Т=°，B D BD ¢=，3BC AD =Q ，AD 是BC 边上的中线，\设AD m =，则3BC m =，32BD B D m =¢=，Rt ADF D 中，1cos602DF AD m =×°=，sin 60AF AD =×°=，2BF BD DF m \=+=，CF BC BF m=-=Rt △B DG ¢中，3cos604DG B D m =¢×°=，sin 60B G B D ¢=¢×°=，14FG DG DF m \=-=，AF BC ^Q ，B G BC ¢^，//AF B G \¢，\23FE AF GE B G ===¢，14FE GE FG m +==Q ，110FE m \=，2110BE BF EF m \=+=，910CE CF EF m =-=，\931021710m CE BE m ==方法二：如图：AD Q 是BC 边上的中线，CD BD \=，Q 将ABD D 沿直线AD 翻折，点B 落在平面上的B ¢处，B D BD CD ¢\==，60ADC Ð=°Q ，120ADB ADB ¢\Ð=Ð=°，60CDB ¢\Ð=°，CDB ¢\D 是等边三角形，B C CD BD ¢\==，60B CD ¢Ð=°，60B CD ADC ¢\Ð=Ð=°，//AD B C ¢，\AD DE B C CE=¢，由3BC AD =，设2AD m =，则6BC m =，3B C CD BD m ¢===，\23DE AD CE B C ==¢，3955CE CD m \==，2655DE CD m ==，215BE BD DE m \=+=，\9352175m CE BE m ==16．（2021•金山区二模）如图，在矩形ABCD中，3AB=，4BC=，点E在对角线BD上，联结AE，作EF AE^交边BC于F，若3916BF=，那么BE= ．【答案】15 4【详解】方法一、如图，连接AF，过点E作EH BC^于H，3AB CD==Q，4AD BC==，5BD\===，3 AB= Q，3916 BF=，AF\===，90ABC AEFÐ=Ð=°Q，\点A，点B，点F，点E四点共圆，DBC EAF\Ð=Ð，sin sinDC EFDBC EAFBD AF\Ð=Ð==，\35=，EF\=，tanDC EHDBCBC BHÐ==Q，\34EHBH=，设3EH x =，4BH x =，222EF FH EH =+Q ，\228117399(425616x x ´=+-，34x \=或3100x =（不合题意舍去），94EH \=，3BH =，154BE \===，方法二、如图，过点E 作MN BC ^于N ，交AD 于M ，则四边形ABNM 是矩形，3AB MN \==，AM BN =，设BE x =，则35EN x =，45BN x =，439516FN x \=-，335ME x =-，易证AEM EFN D D ∽，\AM ME EN FN=，\4335534395516x x x x -=-，154x \=，154BE \=17．（2021•宝山区二模）如图，矩形ABCD 中，2AB =．5AD =，点E 是BC 边上一点，联结AE ，将AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 的对应点记为点F ，如果点F 在对角线BD 上，那么BF DF =　　．【答案】2【详解】根据题意画出图形，过点F 作FG BC ^于点G ，由旋转可知：EA EF =，90AEF Ð=°，90AEB FEG \Ð+Ð=°，Q 四边形ABCD 是矩形，90ABE \Ð=°，2AB CD ==，5BC AD ==，90BAE AEB \Ð+Ð=°，BAE FEG \Ð=Ð，在ABE D 和EGF D 中，90BAE GEF ABE EGF AE FE Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，()ABE EGF AAS \D @D ，BE FG \=，2AB EG ==，设CG x =，则523BE BC CG EG x x =--=--=-，3FG BE x \==-，//FG DC Q ，BFG BDC \D D ∽，\BG FG BC DC =，\5352x x --=，解得53x =，53CG \=，510533BG BC CG \=-=-=，543333FG x =-==-=，//FG DC Q ，\103253BF BG DF CG ===．18．（2021•浦东新区二模）如图，矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 边上，2DE AE =、2BF CF =，将四边形ABFE 沿BF 所在直线翻折，点A 落在点A ¢处，点E 落在点E ¢处，如果EF CE ¢^，那么AB AD 的值为 ．【详解】如右图，作EF CE ^¢交于点H ，连接EE ¢，交BC 于点Q ，由题可知，90EQC FHC Ð=Ð=°，EFQ CFH Ð=ÐQ ，EFQ CFH \D D ∽，设AB 长为y ，AD 长为x，2DE AE =Q 、2BF CF =，\23DE x =，13QF FC x ==，\13x FH FQ HC EQ y==，90FHC QEC Ð=Ð=°Q ，C C Ð=Ð，FHC \D ∽△E QC ¢，\23FH QE y HC QC x ¢==，\1323x y y x =，\y x =\AB AD =．19．（2021•奉贤区三模）如图，已知在等边ABC D 中，4AB =，点P 在边BC 上，如果以线段PB 为半径的P e 与以边AC 为直径的O e 外切，那么P e 的半径长是 ．【答案】45【详解】如图，连接OP ，过点O 作OH BC ^于P，在等边ABC D 中，4AB =，4AC BC AB \===，60ACB Ð=°，Q 点O 是AC 的中点，2AO OC \==，Q 以线段PB 为半径的P e 与以边AC 为直径的O e 外切，2PO BP \=+，OH BC ^Q ，30COH \Ð=°，1HC \=，OH ，222OP OH PH =+Q ，22(2)3(41)BP BP \+=+--，45BP \=20．（2021•宝山区三模）在Rt ABC D 中，90C Ð=°，3AC =，以点A 为圆心，1为半径作A e ，将A e 绕着点C 顺时针旋转，设旋转角为(090)a a <<°，若A e 与直线BC 相切，则a Ð的余弦值为 ．【答案】13【详解】设将A e 绕着点C 顺时针旋转，点A 至点A ¢时，A ¢e 与直线BC 相切相切于点D ，连接A D ¢，则90A DC Т=°，1A D ¢=，由旋转的性质可知，3CA CA ¢==，1cos 3A D CA D A C ¢\Т==¢，//AC A D ¢Q ，CA D a \=Т，a \Ð的余弦值为1321．（2021•上海模拟）在ABC D 中，36BAC Ð=°，AB AC =，BF 平分ABC Ð交AC 于F ，取AB 中点E ，连接EF 交BC 延长线于D ，连接AD ，则AB BD = ．【详解】36BAC Ð=°Q ，AB AC =，180BAC ABC ACB Ð+Ð+Ð=°，1(180)722ABC ACB BAC \Ð=Ð=°-Ð=°，BF Q 平分ABC Ð交AC 于F ，36ABF \Ð=°，ABF BAC \Ð=Ð，FA FB \=，Q 点E 为AB 的中点，EF \垂直平分AB ，DA DB \=，72DAB ABD \Ð=Ð=°，(180)36ADB DAB ABD \Ð=°-Ð-Ð=а，BAC ADB \Ð=Ð，ABC ABD Ð=Ð，ABC DAB \D D ∽，\AB BC BD AB=，2AB BC BD \=×，36CAD DAB BAC Ð=Ð-Ð=°Q ，ADB CAD \Ð=Ð，CD AC AB \==，22()AB BC BC CD BC AB BC \=+=×+，220AB BC AB BC \-×-=，AB \==，\BC AB =，\AB BD =22．（2021•浦东新区模拟）已知，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，9AC =，12BC =，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且:3:4CD CE =．将CDE D 绕点D 顺时针旋转，当点C 落在线段DE 上的点F 处时，BF 恰好是ABC Ð的平分线，此时线段CD 的长是　　．【答案】6【详解】如图所示，设3CD x =，则4CE x =，124BE x =-，Q 34CD CA CE CB ==，90DCE ACB Ð=Ð=°，ACB DCE \D D ∽，DEC ABC \Ð=Ð，//AB DE \，ABF BFE \Ð=Ð，又BF Q 平分ABC Ð，ABF CBF \Ð=Ð，EBF EFB \Ð=Ð，124EF BE x \==-，由旋转可得3DF CD x ==，Rt DCE D Q 中，222CD CE DE +=，222(3)(4)(3124)x x x x \+=+-，解得12x =，23x =-（舍去），236CD \=´=23．（2021•浦东新区模拟）如图，已知在ABC D 中，AB AC =，BM 是腰AC 上的中线，且BM BC =，将BCM D 沿直线BM 翻折，点C 落在ABC D 所在平面内的点D 处，如果7BC =，那么AD = ．【答案】72【详解】BCM D Q 沿直线BM 翻折得到BMD D ，BCM BMC BMD BDM \Ð=Ð=Ð=Ð，7BD BM BC ===，又AB AC =Q ，BCM ABC BMC BMD BDM \Ð=Ð=Ð=Ð=Ð，BM Q 是腰AC 上的中线，CM AM \=，又DM CM =Q ，AM DM \=，ADM DAM \Ð=Ð，又Q 三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和，2DMC ADM DAM ADM \Ð=Ð+Ð=Ð，12ADM DMC DMB BCA Ð=Ð=Ð=ÐQ ，ADM BCA Ð=Ð，DAM ABC Ð=Ð，MAD ABC \D D ∽，又12MA AC =Q ，1722AD BC \==24．（2021•上海模拟）如图，已知等腰ABC D ，AD 是底边BC 上的高，:1:3AD DC =，将ADC D 绕着点D 旋转，得DEF D ，点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合，设AC 与DF 相交于点O ，则:AOF DOC S S D D = ．【答案】3245【详解】作DG AB ^于G ，AB AC =Q ，AD BC ^，90ADB ADC \Ð=Ð=°，BAD CAD Ð=Ð，B C Ð=Ð．设AD x =，则3BD x =，由勾股定理，得AB =，AC \=．\22AD BD AB GD =g g ，\32x x =g GD \=Q 1tan 3AD C DC ==Ð．1tan 3B \Ð=．90ADG GAD Ð+Ð=°Q ，90B GAD Ð+Ð=°，ADG B \Ð=Ð．1tan 3AG ADG GD \Ð==，\\．FDE D Q 是由CDA D 旋转得来的，FDE CDA \D @D ，DE DA \=．F C Ð=Ð．DG AB ^Q ，AG EG \=．2AE AG \=，AE \=．AF \=-=．AOF DOC Ð=ÐQ ，F C Ð=Ð，AFO DCO \D D ∽，22:()AOF DOCAF S S DC D D \==．3245=．25．（2021•合肥三模）如图，已知在中，，，点是边的中点，，将沿直线翻折，点落在点处，连接，那么线段的长为 ．【详解】如图所示：，点是边的中点，，ABC D 90C Ð=°2BC =D BC ABC CAD Ð=ÐACD AD C E BE BE 2BC =Q D BC 1BD CD \==，，，，，，，由折叠的性质得：，，，作于，则，，，，，又，，，即，；26．（2020•虹口区二模）如图，在Rt ABCD 中，90C Ð=°，6AC=，8BC =，点D 、E 分别是边BC 、AB 上一点，//DE AC ，BD =，把BDE D 绕着点B 旋转得到△BD E ¢¢（点D 、E 分别与点D ¢，E ¢对应），如果点A ，D ¢、E ¢在同一直线上，那么AE ¢的长为 ．ABC CAD Ð=ÐQ C C Ð=ÐABC DAC \D D ∽::AC CD BC AC \=2212AC BC CD \=´=´=AC \=AD \===1ED CD ==ADE ADC Ð=ÐBD ED \=DF BE ^F BF EF =BDF EDF Ð=Ð1180902BDF ADC \Ð+Ð=´°=°90ADC DAC Ð+Ð=°Q BDF DAC \Ð=Ð90DFB C Ð=Ð=°Q BDF DAC \D D ∽\BF BD CD AD =1BF =BF \=2BE BF \==【详解】如图1中，当点D ¢在线段AE ¢上时，在Rt ACB D 中，90ACB Ð=°Q ，6AC =，8BC =，10AB \===，//DE AC Q ，BDE BCA \D D ∽，\DE BD AC BC =，\6DE =，DE \=，90AD B Т=°Q ，AD \¢===，AE AD D E \¢=¢+¢¢==，如图2中，当E ¢在线段AD ¢上时，同法可得AE AD D E ¢=¢-¢¢==综上所述，满足条件的AE ¢．27．（2020•宝山区二模）如图，在ABC D 中，5AB AC ==，3tan 4B =，将ABC D 绕点B 逆时针旋转，得到△11A BC ，当点1C 在线段CA 延长线上时1ABC D 的面积为 ．【答案】46825【详解】如图，过点B 作BE CC ¢^于点E ，过点A 作AF BC ^于F ，3tan 4AF ABC BFÐ==Q ，\设3AF x =，4BF x =，22225AF BF AB +==Q ，1x \=，3AF \=，4BF =，5AB AC ==Q ，AF BC ^，28BC BF \==，1122ABC S BC AF AC BE D =´´=´´Q ，832455BE ´\==，325CE \===，Q 将ABC D 绕点B 逆时针旋转，8BC BC ¢\==，且BE CC ¢^，6425CC EC ¢\==，1ABC \D 的面积116424468(5)225525AC BE ¢=´´=´-´=28．（2020•徐汇区二模）如图，在平行四边形ABCD 中，3AD =，5AB =，4sin 5A =，将平行四边形ABCD 绕着点B 顺时针旋转(090)q q °<<°后，点A 的对应是点A ¢，联结A C ¢，如果A C BC ¢^，那么cos q 的值是 ．【答案】725【详解】如图，连接BD ，连接A D ¢，过点B 作BH AD ^于H ，过点A ¢作A E AB ¢^于E ，4sin 5BH A AB==Q ，4BH \=，3AH \===，3AD AH \==，\点D 与点H 重合，90ADB \Ð=°，Q 四边形ABCD 是平行四边形，3AD BC \==，//AD BC ，90ADB DBC \Ð=Ð=°，又A C BC ¢^Q ，//BD A C ¢\，Q 将平行四边形ABCD 绕着点B 顺时针旋转(090)q q °<<°，5A B AB ¢\==，A C BC ¢^Q ，4A C ¢\===，A C BD ¢\=，\四边形A CBD ¢是平行四边形，90DBC Ð=°Q ，3BC A D ¢==，\四边形A CBD ¢是矩形，90A DB ¢\Ð=°，180A DB ADB ¢\Ð+Ð=°，\点A ，点D ，点A ¢共线，1122A BA S AB A E AA BD ¢¢¢=´´=´´V Q ，245A E ¢\=，75BE \===，775cos 525BE A B q \===¢29．（2020•静安区二模）如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90A Ð=°，DC AD =，B Ð是锐角，5cot 12B =，17AB =．如果点E 在梯形的边上，CE 是梯形ABCD 的“等分周长线”，那么BCE D 的周长为 ．【答案】42【详解】作CH AB ^于H ，设5BH a =，5cot 12B =Q ，\512BH CH =，12CH a \=，//AB CD Q ，90D A \Ð=Ð=°，又CH AB ^，\四边形ADCH 为矩形，12AD CH a \==，CD AH =，DC AD =Q ，12AH CD a \==，由题意得，12517a a +=，解得，，，，在中，，四边形的周长，是梯形的“等分周长线”，点在上，，，由勾股定理得，，的周长30．（2020•杨浦区二模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，10AB =，15BC =，4tan 3A Ð=，点P 是边AD 上一点，联结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是 ．1a =12AD CD AH \===5BH =Rt CHBD 13BC ==\ABCD 1212171354=+++=CE Q ABCD \E AB 1713273AE \=+-=1239EH \=-=15EC ==BCE \D 14131542=++=【答案】6或10【详解】如图1中，当点Q落在CD上时，作BE AD^于E，QF AD^交AD的延长线于F．设PE x=．在Rt AEBD中，4tan3BEAAE==Q，10AB=，8BE\=，6AE=，Q将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，90BPQ\Ð=°，90EBP BPE BPE FPQ\Ð+Ð=Ð+Ð=°，EBP FPQ\Ð=Ð，PB PQ=Q，90PEB PFQÐ=Ð=°，()PBE QPF AAS\D@D，PE QF x\==，8EB PF==，1DF AE PE PF AD x\=++-=-，//CD ABQ，FDQ A\Ð=Ð，4 tan tan3FQFDQ ADF\Ð===，\413xx=-，4x\=，4PE\=，6410AP\=+=；如图2，当点Q落在AD上时，Q将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，90BPQ\Ð=°，90APB BPQ\Ð=Ð=°，在Rt APBD中，4tan3APABP==Q，10AB=，6AP\=；如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE AD^于E，PF BC^于F．则四边形BEPF是矩形．在Rt AEB D 中，4tan 3BE A AE ==Q ，10AB =，8BE \=，6AE =，8PF BE \==，BPQ D Q 是等腰直角三角形，PF BQ ^，8PF BF FQ \===，PB PQ \==，1615BQ ==>（不合题意舍去），综上所述，AP 的值是6或1031．（2020•金山区二模）如图，在中，，，，把绕点旋转得到△，其中点在线段上，那么的正切值等于 ．【答案】【详解】把绕点旋转得到△，点在线段上，ABC D 90C Ð=°3AC =4BC =ABC D C A B C ¢¢A ¢AB A B B ¢¢Ð724ABC D C A B C ¢¢A ¢AB，，，，，，，，，，，，，，，设，则，，解得，舍去），，，．32．（2020•嘉定区二模）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么，我们将这样的三ACA BCB ¢¢\Ð=ÐCA CA ¢=CB CB ¢=A CA A ¢\Ð=ÐCBB CB B ¢¢Ð=ÐA CBB ¢\Ð=ÐCAA CBB ¢¢\D D ∽\CA AA CB BB ¢=¢90C Ð=°Q 3AC =4BC =5AB \===90A CBA Ð+Ð=°90CBB CBA ¢\Ð+Ð=°90A BB ¢¢\Ð=°A B a ¢=5AA a ¢=-BB ¢=\34=7(55a a ==75A B ¢\=245BB ¢\==775tan 24245A B A B B BB ¢¢¢\Ð===¢a Ðb Ð2a b Ð=Ð角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为 ．【详解】若等腰三角形的三个内角、，，，，，解得，此“倍角三角形”为等腰直角三角形，；若等腰三角形的三个内角、，，，，，解得，如图，，，作的平分线，则，，，，，即，，，，，即，整理得，解得，即，a Ðb Ðb Ð2180a b Ð+Ð=°Q 2a b Ð=Ð4180b \Ð=°45b =°\\a Ða Ðb Ð2180a b Ð+Ð=°Q 2a b Ð=Ð5180b \Ð=°36b =°72B C Ð=Ð=°36A Ð=°ABC ÐBD 36ABD CBD Ð=Ð=°DA DB \=72BDC A ABD Ð=Ð+Ð=°Q BDC C \Ð=ÐBD BC \=DA DB CB ==CBD A Ð=ÐQ BCD ACB Ð=ÐBDC ACB \D D ∽::BC AC CD BC \=:():BC AC AC BC BC =-220AC AC BC BC --=g AC =AC BC =33．（2020•浦东新区二模）在中，，，，是边上一点，沿直线翻折，点落在点处，如果，那么的长为 ．【答案】【详解】如图所示，过作于，中，，，，，，由折叠可得，，，，，，，，设，则，，，，解得，，Rt ABC D 90ACB Ð=°60BAC Ð=°BC =D BC AD ABD D B E 45ABE Ð=°BD 2-D DF AB ^F Rt ABC D Q 90ACB Ð=°60BAC Ð=°BC =2AB \=30ABC Ð=°AB AE =BAD EAD Ð=Ð45ABE AEB \Ð=Ð=°90BAE \Ð=°1452BAD BAE \Ð=Ð=°45ADF DAF \Ð=Ð=°AF DF \=DF AF x ==BF =2BD x =AB AF BF =+Q 2x \=+1x =22BD x \==-故答案为：．34．（2020•奉贤区二模）如图，在中，，，是斜边上的中线，如果将沿所在直线翻折，点落在点处，联结，那么的度数是 度．【答案】125【详解】如图所示，是斜边上的中线，，，，由折叠可得，，，，，又中，，35．（2020•青浦区二模）小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三2-Rt ABC D 90ACB Ð=°35B Ð=°CD AB BCD D CD B E AE CAEÐCD Q AB CD BD AD \==35BCD B \Ð=Ð=°110BDC \Ð=°110CDE CDB Ð=Ð=°DE DB AD ==3601102140BDE \Ð=°-°´=°1702DAE BDE \Ð=Ð=°Rt ABC D Q 903555BAC Ð=°-°=°5570125CAE \Ð=°+°=°角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线、分别是两个不相似的和的相似分割线，、分别与斜边、交于点、，如果与相似，，，，，那么 ．【答案】2【详解】，，，由勾股定理得：，，，已知，设，则，，，，，，，，，，，，又，，解得：，CG DH Rt ABC D Rt DEF D CG DH AB EF G H BCG D DFH D 3AC =5AB =4DE =8DF =AG =Rt ABC D Q 3AC =5AB =\4BC =BCG DFH D D Q ∽\BG BC DH DF =8DF =AG x =5BG x =-\548x DH -=102DH x \=-BCG DFH D D Q ∽B FDH \Ð=ÐBGC CHF Ð=ÐAGC DHE \Ð=Ð90A B Ð+Ð=°Q 90EDH FDH Ð+Ð=°A EDH \Ð=ÐAGC DHE \D ∽\AG AC DH DE=4DE =\31024x x =-3x =经检验，是原方程的解，且符合题意．．3x =3AG \=。

专题02 填空压轴题1．（2021•嘉兴）如图，在ABC D 中，30BAC Ð=°，45ACB Ð=°，2AB =，点P 从点A 出发沿AB 方向运动，到达点B 时停止运动，连结CP ，点A 关于直线CP 的对称点为A ¢，连结A C ¢，A P ¢．在运动过程中，点A ¢到直线AB 距离的最大值是 ；点P 到达点B 时，线段A P ¢扫过的面积为 ．，(11p +-【详解】如图1中，过点B 作BH AC ^于H ．在Rt ABH D 中，sin 301BH AB =×°=，AH ==在Rt BCH D 中，45BCH Ð=°，1CH BH \==，1AC CA \=¢=+当CA AB ¢^时，点A ¢到直线AB 的距离最大，设CA ¢交AB 的延长线于K ．在Rt ACK D 中，sin 30CK AC =×°=，1A K CA CK \¢=¢-=-=如图2中，点P 到达点B 时，线段A P ¢扫过的面积(12211112ABC A CA S S p D ¢æ=-=´´+´=+--ççè扇形．2．（2020•嘉兴）如图，有一张矩形纸条ABCD ，5AB cm =，2BC cm =，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，1CN cm =．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B ¢，C ¢上．当点B ¢恰好落在边CD 上时，线段BM 的长为 cm ；在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB ¢与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为　　cm ．，32-．【详解】如图1中，Q 四边形ABCD 是矩形，//AB CD \，13\Ð=Ð，由翻折的性质可知：12Ð=Ð，BM MB =¢，23\Ð=Ð，MB NB \¢=¢，)NB cm ¢===Q ，)BM NB cm \=¢=．如图2中，当点M 与A 重合时，AE EN =，设AE EN xcm ==，在Rt ADE D 中，则有2222(4)x x =+-，解得52x =，534()22DE cm \=-=，如图3中，当点M 运动到MB AB ¢^时，DE ¢的值最大，5122()DE cm ¢=--=，如图4中，当点M 运动到点B ¢落在CD 时，DB ¢（即)51(4)DE cm ¢¢=--=-，\点E 的运动轨迹E E E ®¢®¢¢，运动路径3322(4)22EE E B cm =¢+¢¢=-+--=-．3．（2021•杭州二模）ABCÐ=°，折叠ABCD，使点C落在AB边上的点DAC=，45D中，AB=，6A处，折痕EF交AC于点E，当点D由B向A连续移动过程中，点E经过的路径长记为m，则BC= ，m= ．【答案】；20-【详解】过B作BM AC^，垂足为M，如图1，Ð=°Q，，A45\==，4BM AM6AC =Q ，642CM \=-=，BC \===；①由折叠知，EF 垂直平分CD ，\当D 与B 重合时，此时AE 最小，\如图2，作1E G AB ^，垂足为G ，连接1E B ，设1AE x =，45A Ð=°Q ，1AG E G \===，16E C x =-，1E F Q 垂直平分CB ，116E B E C x \==-，\在Rt △1E GB 中，22211E B E G GB =+，即222(6)))x -=--，解得1x =，（舍去负值）11AE \=，②ED EC =Q ，\当AE 最大时，EC 最短，ED \最短，\当ED AB ^时，ED 为垂线段，取最小值，\如图3，作22E D AB ^，垂足为D ，设2AE y =，则222AD D E y ===，26E C y \=-，2E F Q 垂直平分2CD ，22E D E C \=，\6y y =-，12y \=-，212AE \=-E \从最近到最远走了12111--=-；③当D 从2D 点继续向A 移动，ED 增加，AE \减小，当D 与A 重合时，如图4，此时333116322E D E C AC ===´=，33AE \=，E \从2E 到3E 运动了1239--=-，\点E 从1E ，运动到2E ，再运动到3E ，路径长为11920-+-=-4．（2021春•南浔区期末）如图，已知有一张正方形纸片ABCD ，边长为9cm ，点E ，F 分别在边CD ，AB上，2CE cm =．现将四边形BCEF 沿EF 折叠，使点B ，C 分别落在点B ¢，C ¢，上当点B ¢恰好落在边AD 上时，线段BF 的长为 cm ；在点F 从点B 运动到点A 的过程中，若边FB ¢与边AD 交于点G ，则点G 相应运动的路径长为 cm ．【答案】5cm ，15-【详解】①当点B ¢恰好落在边AD 上时，如图，连接BE 、B E ¢，由翻折性质得：BE B E ¢=，BF B F ¢=，在BEC D 与△B DE ¢中，由勾股定理得：22222BE CE BC DE B D ¢=+=+，9BC cm =Q ，2CE cm =，7DE cm =，6DB cm ¢\=，3AB cm ¢=，设BF x =cm ，则B F x ¢=cm ，(9)AF x cm =-，222B A AF B F ¢¢+=Q ，2223(9)x x \+-=，解得：5x =，5BF cm \=；②如图，连接EG ，并作G 关于EF 的对称点G ¢，连接EG ¢，由对称性知，GE G E ¢=，过点E 作EH AB ^于H ，Q 点到直线垂线段最短，EG ¢\最小值为9EH =，90B C EHB Ð=Ð=Ð=°Q ，\四边形EHBC 为矩形，9EH BC \==，EG \最小值为9，222DG EG ED =-Q ，DG \=，AG \最大值为9-由①知，点B ¢恰好落在边AD 上G 、B ¢重合时，此时3AG AB ¢==，\点G 相应运动的路径长为93915-+-=-5．（2019•舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在同一个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm =．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为　　cm ；连接BD ，则ABD D 的面积最大值为 2cm ．【答案】(24-，+-【详解】12AC cm =Q ，30A Ð=°，45DEF Ð=°BC \=，AB =，ED DF ==如图，当点E 沿AC 方向下滑时，得△E D F ¢¢¢，过点D ¢作D N AC ¢^于点N ，作D M BC ¢^于点M90MD N ¢\Ð=°，且90E D F ¢¢¢Ð=°E D NF D M ¢¢¢¢\Ð=Ð，且90D NE D MF ¢¢¢¢Ð=Ð=°，E D D F ¢¢¢¢=\△D NE ¢¢@△()D MF AAS ¢¢D N D M ¢¢\=，且D N AC ¢^，D M CM¢^CD ¢\平分ACMÐ即点E 沿AC 方向下滑时，点D ¢在射线CD 上移动，\当E D AC ¢¢^时，DD ¢值最大，最大值(12CD cm =-=-\当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长2(12(24cm =´-=-如图，连接BD ¢，AD ¢，AD B ABC AD C BD CS S S S ¢¢¢D =+-V V V Q1111(122222AD B S BC AC AC D N BC D M D N ¢¢¢¢\=´+´´-´´=-´V 当E D AC ¢¢^时，AD B S ¢V 有最大值，AD B S ¢\V 最大值21(122cm =+-´=+-．6．（2018•舟山）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 在CD 上，1DE =，点F 是边AB 上一动点，以EF 为斜边作Rt EFP D ．若点P 在矩形ABCD 的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF 的值是 ．【答案】0或1113AF <<或4【详解】EFP D Q 是直角三角形，且点P 在矩形ABCD 的边上，P \是以EF 为直径的圆O 与矩形ABCD 的交点，①当0AF =时，如图1，此时点P 有两个，一个与D 重合，一个交在边AB 上；②当O e 与AD 相切时，设与AD 边的切点为P ，如图2，此时EFP D 是直角三角形，点P 只有一个，解法一：当O e 与BC 相切时，如图6，连接OP ，EP ，PF ，此时构成三个直角三角形，////EC OP BF Q ，EO OF =，1PC BP \==，1DE =Q ，4CD =，3CE \=，90ECP EPF B Ð=Ð=Ð=°Q ，EPC BFP \Ð=Ð，ECP PBF \D D ∽，\EC PB CP BF =，即311BF =，13BF =，111433AF \=-=；解法二：当O e 与BC 相切时，如图4，连接OP ，此时构成三个直角三角形，则OP BC ^，设AF x =，则14BF PC x ==-，11EP x =-，//OP EC Q ，OE OF =，11122x OG EP -\==，O \e 的半径为：1(4)2x OF OP x -==+-，在Rt OGF D 中，由勾股定理得：222OF OG GF =+，\22211(4)(122x x x --+-=+，解得：113x =，\当1113AF <<时，这样的直角三角形恰好有两个，如图3，③当4AF =，即F 与B 重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，综上所述，则AF 的值是：0或1113AF <<或4．7．（2021•吉安县模拟）已知点P 是矩形ABCD 内一点，且6PA =，8PB =，10PC =，那么PD 的值为 ．【答案】【详解】p 在矩形ABCD 内，作PE AB ^，PF BC ^，PM AD ^，分别与AB ，BC ，AD 相交于E ，F ，M ，如图：PC=，PB=，106PA=，822236Q，PE AE PA+==22\=-，36AE PE22264PE EB PBQ，+==22PE EB\=-，64222100Q，+==PF FC PC22FC PF\=-，100=，Q，MD FC=PM AE=，PF EB222222222223610036(64)100366410072\=+=+=-+-=--+-=-++-=，PD PM MD AE FC PE PF EB EB EB EB解得：PD=．8．（2017•嘉兴）一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，12==BC EF cmBC EF的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的长（如图1)，点G为边()是 ．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2)，在CGFÐ从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为 ．（结果保留根号）-，18)cm-．【答案】12)cm【详解】如图1中，作HM BC==．^于M，设HM a=，则CM HM a在Rt ABC D 中，30ABC Ð=°，12BC =，在Rt BHM D 中，22BH HM a ==，BM =，BM FM BC +=Q ，\12a +=，6a \=，212BH a \==-．如图2中，当DG AB ^时，易证1GH DF ^，此时1BH 的值最小，易知113BH BK KH =+=+，1115HH BH BH \=-=-，当旋转角为60°时，F 与2H 重合，易知2BH =，观察图象可知，在CGF Ð从0°到60°的变化过程中，点H 相应移动的路径长1223012)]18HH HH =+=+--=．9．（2020•嘉兴模拟）如图1，含30°和45°角的两块三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，12BC EF cm ==，点P 为边()BC EF 的中点，现将三角板ABC 绕点P 按逆时针方向旋转角度a （如图2)，设边AB 与EF 相交于点Q ，则当a 从0°到90°的变化过程中，点Q 移动的路径长为 （结果保留根号）【答案】；【详解】当a 从0°到90°的变化过程中，Q 点从E 运动到Q ，（如图）12EF cm =Q ，6BP cm \=，30B Ð=°Q ，当060a °°……时，Q 点从E 点开始向F 方向运动，当60a =°时，QE 的移动到最大距离，此时BA EF ^，在Rt BPQ D 中，30B Ð=°，6BP cm =，3QP cm \=，3QE cm \=；当6090a °<°…时，Q 点开始离开Q 向E 点方向运动，当90a =°时，Q 点停止运动；在Rt BPQ D 中，QP =，(6EQ cm \=-，Q \点返回运动的路径长为3(63)cm --=-，Q \点移动的路径为33+=10．（2020•开福区校级一模）如图，等腰直角ABCAC BCÐ=°，4==，M为AB中点，DACBD中，90是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，则点D 在运动过程中ME的最小值为 ．【答案】2【详解】如图，连接BE，过点M作MG BE^的延长线于点G，过点A 作AK AB ^交BD 的延长线于点K ，Q 等腰直角ABC D 中，90ACB Ð=°，45B \Ð=°，45K \Ð=°，AKB \D 是等腰直角三角形．Q 线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，ADE \D 是等腰直角三角形，90KAD DAB BAE DAB \Ð+Ð=Ð+Ð=°，KAD BAE \Ð=Ð，在ADK D 和AEB D 中，AD AE KAD BAEAK AB =ìïÐ=Ðíï=î()ADK AEB SAS \D @D ，45ABE K \Ð=Ð=°，BMG \D 是等腰直角三角形，4AC BC ==Q，AB \=，M Q 为AB中点，BM \=，2MG BG \==，90G Ð=°，BM MG \>，\当ME MG =时，ME 的值最小，2ME BE \==．11．（2021•嘉善县一模）如图，在矩形ABCD 中，AB BC >，6BC cm =．点M 在AB 边上，以每秒1cm 的速度从点A 向终点B 运动．连接MD ，以M 为顶点，MD 为一边作45DMN Ð=°，另一边交CD 边于点N ，过点D 作DP MN ^于点P ．（1）经过4秒，点P 的路径长是 ；（2）在运动过程中，线段DN 长度的最小值是 ．【答案】：12．【详解】（1）如图，当点M 与点A 重合时，作出1P ，45DMN Ð=°Q ，1DAP \D 是等腰直角三角形，以A 为原点作平面直角坐标系，6BC cm =Q ，6AD cm \=，1(3,3)P \，经过4秒，则414()AM cm =´=，)DM cm \==，)PM PD cm \===，过点P 作PF AD ^于点F ，90PEM PFD \Ð=Ð=°，DP MN ^Q ，45DMN Ð=°，PM PD \=，90DPM Ð=°，90MPE FPM \Ð+Ð=°，90DPF FPM Ð+Ð=°Q ，MPE DPF \Ð=Ð，在PME D 和PDF D 中，PEM PFD MPE DPF PM PD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()PME PDF AAS \D @D ，设ME x =，则DF x =，6PE PF x \==-，在Rt PME D中，222(6)x x +-=，1x \=或5x =（不合题意，舍去），615PE PF \==-=，(5,5)P \，Q 经过4秒，点P 的路径长即为1PP 的长，\点P =．（2）延长EP 交CD 于点H ，设当点M 运动t 秒时，DN 有最小值，在Rt DAM D 中，2222636DM t t =+=+，在等腰Rt PMD D 中，222223618222DM t t PM +====+，PE PF =Q ，ME PE AM PE t \=-=-，6ME DF PE ==-Q ，32t PE \=+，32t ME =-，(,0)M t \，(32t P +，3)2t +，\直线PM 的解析式为66(6)()666t t t t y x t x t t t +++=-=----，由题可知，点N 在直线PM 上且其纵坐标为6，236(6t N t+\+，6)，23672(6)12121266t DN t t t +\==++--=-++…（当且仅当7266t t +=+时取等号，即6t =时取等号，符合题意），\线段DN 长度的最小值是12-．12．（2021•嘉兴二模）已知，如图，ABC D 中，30B Ð=°，6BC =，7AB =，D 是BC 上一点，4BD =，E 为BA 边上一动点，以DE 为边向右侧作等边三角形DEF D ．（1）当F 在AB 上时，BF 长为 ；（2）连结CF ，则CF 的取值范围为 ．；1CF ……【详解】（1）如图1，当点F 在AB 上时，DEF D Q 为等边三角形，60AED EFD EDF \Ð=Ð=Ð=°，30B Ð=°Q ，180180306090FDB B EFD \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，Q cos BD B BF=Ð，4cos cos30BD BF B \===а；（2）①当点E 与点B 重合时，如图2，连接CF ，过点F 作FH BC ^于点H ，DEF D Q 为等边三角形，4DF BD \==，60BDF Ð=°，2BH DH ==，sin 4sin 60FH DF BDF \=×Ð=×°=，624CH BC BH \=-=-=，CF \===，此时CF 最大；②当点E 在BA 边上时，以CD 为边在ABC D 内部作等边三角形CDG ，延长CG 交AB 于点E ，此时CF 最短，如图3，CDG D Q 和DEF D 均为等边三角形，60EDF CDG \Ð=Ð=°，DE DF =，DG DC =，EDF FDG CDG FDG \ÐÐ-Ð=Ð-Ð，即EDG FDC Ð=Ð，()DEG DFC SAS\D@D，CF EG\=，Q当EG AB^时，EG最小，\此时，CF最小，30BÐ=°Q，60DCGÐ=°，\此时，C，E，G三点共线，在Rt BCED中，132CE BC==，2CG CD==Q，1EG CE CG\=-=，CF\的最小值为1，综上所述，CF的取值范围为：1CF……13．（2021•江西模拟）如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，P是边AB上的一个动点，过点P 作PE AB^，交BC于点E，连接DP，DE．若8AB=，PDED是等腰三角形，则BP的长是 ．【答案】12-3或4【详解】如图，作DM AB^于点M，DN BC^于点N．90AMD DNC\Ð=Ð=°，则AMDD、DNCD都是直角三角形．ABC D Q 是等边三角形，且8AB =，60A B C \Ð=Ð=Ð=°．D Q 为AC 中点，142AD CD AC \===．在Rt AMD D 中，cos 4cos602AM AD A =×Ð=´°=，sin 4sin 60DM AD A =×Ð=´°=，同理可得2CN =，DN =6BM AB AM \=-=，6BN BC CN =-=．设BP a =，EP AB^Q 90EPB \Ð=°．在Rt EPB D 中，tan tan 60PE BP B a =×Ð=×°=，2cos cos60BP a BE a B ===а．6MP BM BP a \=-=-，62EN BN BE a =-=-．当PDE D 为等腰三角形时，①当PE DE =时，在Rt DEN D 中，由勾股定理得：222EN DN DE +=．即222(62))a a -+=．解得：112a =-2128a =+>（不合题意，舍去）．即12BP =-②当PE PD =时，在Rt DMP D 中，由勾股定理得：222MP DM PD +=．即222(6))a a -+=．解得：13a =，23a =-（不合题意，舍去）．即3BP =-．③当PD DE =时，在Rt DMP D 和Rt DEN D 中，由勾股定理得：222MP DM PD +=，222EN DN DE +=．即2222MP DM EN DN +=+．2222(62))(6)a a -+=-+，解得：14a =，20a =（不合题意，舍去）．综上所述，BP 的长为12-3或4．14．（2021•东西湖区模拟）我们规定：经过三角形的一个顶点且将三角形的周长分成相等的两部分的直线叫做该三角形的“等周线”，“等周线”被这个三角形截得的线段叫做该三角形的“等周径”．例如等边三角形的边长为2，则它的“等周径”长为Rt ABC D 中，90C Ð=°，4AC =，3BC =，若直线l 为Rt ABC D 的“等周线”，请直接写出ABC D 的所有“等周径”长为 ．或【详解】分三种情况讨论：①当“等周线”经过点C 时，直线1交AB 于点E ，设BE x =，则5AE x =-，作CH AB ^于H ，由题意：345x x +=+-，解得：3x =，125BC AC CH AB ×==Q ，95BH \==，96355EH \=-=，在Rt ECH D 中，CE ==，\ “等周径”②当“等周径”经过点A 时，直线l 交BC 于点E ，设BE x =，则3CE x =-，由题意得：435x x +-=+，解得：1x =，2EC \=，在Rt ACE D 中，AE ==\ “等周径”长为；③当\ “等周径”经过点B 时，直线l 交AC 于点E ，设AE x =，则4CE x =-，由题意：345x x +-=+，解得：1x =，3CE =，在Rt BCE D 中，BE ==，\ “等周径”长为15．（2020•海宁市一模）如图，等边ABC D 中，2AB =，点D 是以A 为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD ，取CD 的中点E ，连接BE ，则线段BE 的最大值与最小值之和为 ．【答案】【详解】延长CB 到T ，使得BT BC =，连接AT ，DT ，AD ．ABC D Q 是等边三角形，2BA BC AC BT \====，60ACB Ð=°，90CAT \Ð=°，sin 60AT CT \=°=g 1AD =Q ，11DT \-+……，CB BT =Q ，CE DE =，12BE DT \=，\BE …，\线段BE 的最大值与最小值之和为16．（2021•越城区模拟）如图，在ABC D 中，AC BC ==，90C Ð=°，点D 在BC 上，且3CD DB =，将ABC D 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则tan BED Ð的值是 ．【答案】724【详解】DEF D Q 是AEF D 翻折而成，DEF AEF \D @D ，A EDF Ð=Ð，ABC D Q 是等腰直角三角形，45EDF \Ð=°，由三角形外角性质得4545CDF BED Ð+°=Ð+°，BED CDF \Ð=Ð，AC BC ==Q 3CD DB =，CD \=，DB =设CF x =，DF FA x \==-，\在Rt CDF D 中，由勾股定理得，222CF CD DF +=，即222)x x +=，解得x =，7tan tan 24CF BED CDF CD \Ð=Ð====．17．如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，10AB =，6BC =，P 是边AC 上的动点，将线段BP 绕点B 按逆时针方向旋转到BP ¢，旋转角等于ABC Ð，连接CP ¢．（1）当点P ¢，C ，P 在一条直线上时，线段AP 的长是 ．（2）线段CP ¢的最小值是 ．【答案】2；125【详解】（1）当点P ¢，C ，P 在一条直线上时，如图，过点P 作PE AB ^于E ，Q 在ABC D 中，90ACB Ð=°，10AB =，6BC =，8AC \==，Q 将线段BP 绕点B 按逆时针方向旋转到BP ¢，旋转角等于ABC Ð，BP BP ¢\=，ABC PBP ¢Ð=Ð，P BC ABP ¢\Ð=Ð，在Rt BCP D 和Rt BCP ¢D 中，BP BP ¢=，BC BC =，Rt BCP Rt BCP (HL)¢\D @D ，PBC P BC ¢\Ð=Ð，PBC PBA \Ð=Ð，又90ACB PEB Ð=Ð=°Q ，BP BP =，()BCP BEP AAS \D @D ，6BC BE \==，CP PE =，4AE \=，222AP PE AE =+Q ，22(8)16AP AP \=-=，故答案为：5；（2）如图，在AB 上截取6BH BC ==，Q 将线段BP 绕点B 按逆时针方向旋转到BP ¢，旋转角等于ABC Ð，BP BP ¢\=，PBP ABC ¢Ð=Ð，P BC PBH ¢\Ð=Ð，又BC BH =Q ，()BCP BHP SAS ¢\D @D ，CP PH ¢\=，\当PH AC ^时，PH 有最小值，即CP ¢有最小值，此时，//BC PH ，\AH PH AB BC =，\106106PH -=，125PH \=，\线段CP ¢的最小值为12518．（2020•雁塔区校级二模）如图，在四边形ABCD 中，4AB AD CD ===，//AD BC ，60B Ð=°，点E 、F 分别为边BC 、CD 上的两个动点，且60EAF Ð=°，则AEF D 的面积的最小值是 ．【详解】将ADF D 绕点A 顺时针旋转120°到ABM D ，由旋转得：BM DF =，AM AF =，120ABM D Ð=Ð=°，MAB FAD Ð=Ð，60ABC Ð=°Q ，180ABM ABC \Ð+Ð=°，M \、B 、E 共线，60MAE MAB BAE FAD BAE Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，60EAF Ð=°，AE AE =，()FAE MAE SAS \D @D ，MEA FEA \Ð=Ð，过A 作AH BC ^于H ，作AK EF ^于K ，sin 60AH AK AB \==°=g ，作AEF D 的外接圆O e ，连接OA 、OE 、OF ，过O 作ON EF ^于N ，60EAF Ð=°Q ，120EOF \Ð=°，60NOF \Ð=°，设2EF x =，则NF x =，Rt ONF D 中，ON =，OF =，ON OA OF ON \+=+=，OA ON AK +Q …，\…，2x \…，11222AEF S EF AK x D \===g g g …，AEF \D 面积的最小值是．19．（2019•海宁市一模）如图，将正方形ABCD 剪成左图所示的四块，恰好能拼成右图所示的矩形．若1EC =，则BE = ．【详解】设BE b =，EC a =，依题意得2()()a b b b a b +=++，而1a =，20b \，b \=，而b 不能为负，BE b \==．20．（2019•海宁市二模）如图，四边形ABCD 中，90ABC BCD Ð=Ð=°，1AB =，AE AD ^，交BC 于点E ，EA 平分BED Ð．（1）CD 的长是 ；（2）当点F 是AC 中点时，四边形ABCD 的周长是　　．【答案】2．；5+【详解】（1）如图1中，延长DA ，CB 交于点H ，EA Q 平分BED Ð，AEH AED \Ð=Ð，且AE AE =，90EAH EAD Ð=Ð=°，()ADE AHE ASA \D @D AH AD \=，90ABC BCD Ð=Ð=°Q ，//AB CD \，\AB AH CD DH =，且1AB =，12AH AD HD ==，2CD \=（2）如图2中，作AH CD ^于H ，90DAE DCE Ð=Ð=°Q ，A \，D ，C ，E 四点共圆，设圆心为O ，则点O 是线段DE 的中点，AF CF =Q ，DE AC \^，DA DC \=，90ABC BCH AHC Ð=Ð=Ð=°Q ，\四边形ABCH 是矩形，1CH AB \==，2CD =Q ，1CH HD \==，AH CD ^Q ，AD AC \=，2AD CD AC \===，BC \===\四边形ABCD 的周长为2215+++=+．21．（2021•广州模拟）如图，在Rt ABC D 中，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ^，BF CD ^，垂足分别为E ，F ，连接EM ．则下列结论中：①BF CE =；②AEM DEM Ð=Ð；③AE CE -=；④2222DE DF DM +=；⑤若AE 平分BAC Ð，则:EF BF =；正确的有 ．（只填序号）【答案】①②③④⑤【详解】90ACB Ð=°Q ，90BCF ACE \Ð+Ð=°，90BCF CBF Ð+Ð=°Q ，ACE CBF \Ð=Ð，又90BFD AEC Ð=°=ÐQ ，AC BC =，BCF CAE \D @D ()AAS ，BF CE \=，故①正确；由全等可得：AE CF =，BF CE =，AE CE CF CE EF \-=-=，连接FM ，CM ，Q 点M 是AB 中点，12CM AB BM AM \===，CM AB ^，在BDF D 和CDM D 中，BFD CMD Ð=Ð，BDF CDM Ð=Ð，DBF DCM \Ð=Ð，又BM CM =，BF CE =，BFM OCEM \D @()SAS ，FM EM \=，BMF CME Ð=Ð，90BMC Ð=°Q ，90EMF \Ð=°，即EMF D 为等腰直角三角形，EF AE CE \==-，故③正确，45MEF MFE Ð=Ð=°，90AEC Ð=°Q ，45MEF AEM \Ð=Ð=°，故②正确，设AE 与CM 交于点N ，连接DN ，DMF NME Ð=ÐQ ，FM EM =，45DFM DEM AEM Ð=Ð=Ð=°，DFM NEM \D @D ()ASA ，DF EN \=，DM MN =，DMN \D 为等腰直角三角形，DN \=，而90DEA Ð=°，2222DE DF DN DM \+==，故④正确；AC BC =Q ，90ACB Ð=°，45CAB \Ð=°，AE Q 平分BAC Ð，22.5DAE CAE \Ð=Ð=°，67.5ADE Ð=°，45DEM Ð=°Q ，67.5EMD \Ð=°，即DE EM =，AE AE =Q ，AED AEC Ð=Ð，DAE CAE Ð=Ð，ADE ACE \D @D ()ASA ，DE CE \=，MEF \D 为等腰直角三角形，EF \=，\EF EF EF BF CE DE ====，故⑤正确．22．（2021•绍兴）已知ABC D 与ABD D 在同一平面内，点C ，D 不重合，30ABC ABD Ð=Ð=°，4AB =，AC AD ==，则CD 长为 ．【答案】2±或4或【详解】如图，当C ，D 同侧时，过点A 作AE CD ^于E ．在Rt AEB D 中，90AEB Ð=°，4AB =，30ABE Ð=°，122AE AB \==，AD AC ==Q ，2DE \==，2EC ==，DE EC AE \==，ADC \D 是等腰直角三角形，4CD \=，当C ，D 异侧时，过C ¢作C H CD ¢^于H ，BCC D ¢Q是等边三角形，2BC BE EC =-=-，1CH BH \==，3C H ¢==-，在Rt △DC H ¢中，DC ¢===DBD D ¢Q是等边三角形，2DD \¢=+，CD \的长为2±或4或23．（2020秋•南岸区期末）如图，在正方形ABCD中，AB =E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，连接DF ．过点D 且垂直于DF 的直线，与过点A 且垂直于AC 的直线交于点G ．ABE Ð的平分线交AD 于点M，当满足BCE AGDF S D =四边形时，线段AM 的长度是 ．【答案】【详解】如图，DF DG ^Q ，AG AC ^，90FDG GAC \Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 为正方形，AB AD CD BC \===，45DAC DCA Ð=Ð=°，90ADC Ð=°，9045GAD CAD \Ð=°-Ð=°，45GAD FCD \Ð=Ð=°，90ADC FOG Ð=Ð=°Q，3FDC GDA \Ð=Ð，在DCF D 与中，，，，，，，，，延长，交于点，，，平分，，，，，，，设，则，DAG D FCD GAD DC DAFDC GDA Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî()DCF DAG ASA \D @D FCD GAD S S D D\=BCE AGDF S D =Q四边形AFD FCD ADC BCE SS S DD D D \+==\21122´=\CE =\3BE ==EQ BM Q //AB CD Q ABM BQE \Ð=ÐBM Q ABE ÐABM EBQ \Ð=ÐBQE EBQ \Ð=Ð3BE EQ \==3CQ CE EQ \=+=+3DQ CQ CD \=-=+//AB CD Q ABM DQM \D D ∽\AM AB DM DQ ==AM =(3DM a =+，，24．（2021•江干区模拟）已知，在射线上取一点，在射线上取一点，连接，再作点关于直线的对称点，连接，，得到如下图形．移动点，当时， ；当时，的度数是 ．【答案】；或【详解】①如图1中，设交于点．AM DM AD +=Q\(3a ++-=a \=\3AM ==-90MAN Ð=°AM B AN C BC A BC D AD BD C AD BC =ABD Ð=2AD BC =ABD Ð90°30°150°AD BC O，关于对称，，，，，，，，，，，，，，，，．②分两种情况：如图，当时，取的中点，连接，，则，即，又，，是等边三角形，，A Q D BC OA OD \=AD BC ^90MAN AOC AOB Ð=Ð=Ð=°Q 90CAO OAB \Ð+Ð=°90CAO ACO Ð+Ð=°ACO OAB \Ð=ÐAOC BOA \D D ∽2OA OB OC \=×AD BC =Q 21()()2BC OC BC OC \=×-22440BC OC BC OC \-×+=2(2)0BC OC \-=2BC OC \=OB OC OA \==45ABO OCD \Ð=Ð=°90ABD \Ð=°AB AC >BC E AEDE 12AE DE BC ==22BC AE DE ==2BC AD =Q AD AE DE \==ADE \D 60AED \Ð=°又垂直平分，，又，，；如图，当时，同理可得，又，25．（2021春•高新区校级月考）如图，矩形中，，．点为射线上的一个动点，与△关于直线对称，当△为直角三角形时，的长为 ．【答案】2或18【详解】分两种情况讨论：①当点在线段上时，如图所示：△，BC Q AD 30AEC \Ð=°BE AE =Q 1152ABC AEC \Ð=Ð=°230ABD ABC \Ð=Ð=°AB AC <30ACD Ð=°90BAC BDC Ð=Ð=°Q 150ABD \Ð=°ABCD 6AD BC ==10AB CD ==E DC ADE D AD E ¢AE AD B ¢DE EDC Q AD E ADE ¢@D，，，、、三点共线，的面积，，，，；②当点在线段的延长线上，且经过点时，满足条件，如图所示：，，在和中，，，，，；综上所知，的长为2或1826．（2021•丹东）如图，在矩形中，连接，过点作平分线的垂线，垂足为点，且交于点；过点作平分线的垂线，垂足为点，且交于点，连接，若，90AD E D ¢\Ð=Ð=°90AD B ¢Ð=°Q 180AD B AD E ¢¢\Ð+Ð=°B \D ¢E ABE D Q 1122BE AD AB AD ¢=´=´AD AD ¢=10BE AB \==8BD ¢===Q 1082DE D E ¢\==-=E DC ED ¢¢B 90ABD CBE ABD BAD Т¢+Ð=Т¢+Т¢=°Q CBE BAD \Ð=Т¢ABD D ¢¢BECD D BCE AD BCBAD CBE ¢¢Ð=Ðìï¢=íÐ=Ðî()ABD BEC ASA \D ¢¢@D 10BE AB \==8BD ¢¢==Q 81018DE D E BD BE ¢¢\=¢¢=+=+=DE ABCD BD C DBC ÐBE E BD F C BDC ÐDH H BD GHE BC =的长度为 　．【详解】平分，，，，又，，，，同理：，，是的中位线，，在矩形中，，由勾股定理得：，，27．（2020•菏泽）如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为　　．CD =HE BE Q DBC ÐCBE FBE\Ð=ÐCF BE ^Q 90BEC BEF \Ð=Ð=°BE BE =Q ()BEC BEF ASA \D @D CE FE \=BF BC ==CH GH =DG CD ==HE \CGF D 12HE GF \=ABCD BC =CD =BD ==GF BF DG BD \=+-=-HE \=ABCD 5AB =12AD =P BD BP BA =AP DC Q BQ BQ【答案】【详解】矩形中，，，，，，，，，，，，，，在中，根据勾股定理，得．28．（2021•道里区一模）如图，四边形，，点在上，，，，则的长是 ．【答案】【详解】过点作于点，如图．，．Q ABCD 5AB =12AD =90BAD BCD Ð=Ð=°13BD \==5BP BA ==Q 8PD BD BP \=-=BA BP =Q BAP BPA DPQ \Ð=Ð=Ð//AB CD Q BAP DQP \Ð=ÐDPQ DQP \Ð=Ð8DQ DP \==853CQ DQ CD DQ AB \=-=-=-=\Rt BCQD BQ ===ABCD 90DAC ACB Ð=Ð=°E AC EBC ECD EDC Ð=Ð=Ð3BC AD=BE =AE E EF CD ^F ECD EDC Ð=ÐQ CE DE \=，则．，，，，，，在和中，，，，，，．，，．在中，由勾股定理得：．在中，由勾股定理得：．90EFC Ð=°Q 12CF DF CD ==ECD EBC Ð=ÐQ 90EFC ACB Ð=Ð=°EFC ECB \D D ∽\CE CF BE CB=123CD AD =\AD CDACD D CBE D 90DAC ACB Ð=Ð=°Q ECD EBC Ð=ÐACD CBE \D D ∽\AD CD CE BE =\AD CE CD BE=\AD CE CD BE ===218CE \=0CE >Q CE \=DE CE \==Rt BCE D BC ===13AD BC \==Rt ADE D AE ===即的长为．29．（2021•西城区校级模拟）如图，已知在中，，，．为所在平面内的一个动点，且满足，为线段的中点，连接，则线段长的最大值为 ．【答案】【详解】取的中点，连接，，取中点，连接，，，，，在中，为的中点，，为线段的中点，为的中点，，，最大值为30．（2020秋•思明区校级月考）如图，为等边三角形，，动点在以点为圆心，为半AE ABC D 90ACB Ð=°2AC =4BC =D ABC D 90BDC Ð=°E AD CE CE 1BC G AG DG F EF CF 90BDC Ð=°Q 4BC =2DG CG \==Rt ACG D AG ==F Q AG CF \=E Q AD F AG 112EF DG \==CF EF CE +Q …CE \1+ABO D 6OA =C O OA径的上，点为中点，连接，则线段长的最小值为 ．【答案】【详解】如图1，取的中点，在中，是的中位线，，即点是在以为圆心，3为半径的圆上，求的最小值就是求点与上的点的距离的最小值，如图2，当在线段上时，取最小值，是等边三角形，边长为6，，线段长的最小值为．O e D BC ADAD 3-OBE OBC D DE OBC D 132DE OC \==D E \AD A Ee D AE AD ABC DQ 6AE \==\AD 3-。

几何综合压轴问题专项练习答案（40题）(1)将CDE 绕顶点C 旋转一周，请直接写出点M ，N 距离的最大值和最小值；(2)将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒（如图2），求MN 【答案】(1)最大值为3，最小值为1(2)7【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出,CM CN 解；（2）过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点P ，根据旋转的性质求得进而可得1CP =，勾股定理解Rt ,Rt NCP MCP ，即可求解．【详解】（1）解：依题意，112CM DE ==，12CN AB =当M 在NC 的延长线上时，,M N 的距离最大，最大值为（2）解：如图所示，过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点∵CDE 绕顶点C 逆时针旋转∴120BCE ∠=︒，∵45BCN ECM ∠=∠=︒，∴MCN BCM ECM ∠=∠-∠=∴60NCP ∠=︒，∴30CNP ∠=︒，∴112CP CN ==，在Rt CNP 中，2NP NC =-在Rt MNP △中，MP MC CP =+∴2234MN NP MP =+=+【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含(1)如图1，求证：DE BF =；(2)如图2，若2AD BF =，的延长线恰好经过DE 的中点【答案】(1)见解析(2)22BE =+△∵点G 是DE 的中点，∴GH 是FCD 的中位线，∴11122GH CD AD ===，设BE a =，则CH EH ==(1)如图1，求AB边上的高CH的长．''．(2)P是边AB上的一动点，点,C D同时绕点P按逆时针方向旋转90︒得点,C D①如图2，当点C'落在射线CA上时，求BP的长．△是直角三角形时，求BP的长．②当AC D''∴90C PQ PC Q '∠+∠='︒∵90C PQ CPH ∠+∠='︒∴PC Q CPH ∠=∠'．由旋转知PC PC '=，设C D ''与射线BA 的交点为作CH AB ⊥于点H ．∵PC PC ⊥'，∴90CPH TPC ∠'+∠=︒，∵C D AT ''⊥，∴90PC T TPC ∠'+∠='︒，【答案】（1）①见解析；②AD DF BD =+，理由见解析；【分析】（1）①证明：ABE CBD ∠=∠，再证明ABE ≅△可得DF DC =．证明AE DF =，从而可得结论；（2）如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，得90BED ∠=︒，证明2DE BD =，证明2AB BC =，ABE CBD ∠=∠，可得②AD DF BD=+．理由如下：∵DF和DC关于AD对称，=．∴DF DC=，∵AE CD∴AE DF=．∴AD AE DE DF BD=+=+∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =，ADF ADC ∠=∠．∵CD BD ⊥，∴45ADF ADC ∠=∠=︒，∴45EBD ∠=︒．∴2DE BD =．∵AB AC AF ==，∴()11222HF BF BD DF ==-=，222262210BC BD CD =+=+=∴2221022AF AC BC ===⨯=25HF (2)知识应用：如图2Y是菱形；①求证：ABCD②延长BC至点E，连接OE交【答案】(1)见解析5∴1BG BO GC OD==，∴115222CG BC AD ===，∴552OF GC ．处从由60PC P C PCP ''=∠=︒，，可知PCP '△为①三角形，故PP PC '=，又P A PA ''=，故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥，由②可知，当B ，P ，P '，A 在同一条直线上时，PA PB PC ++取最小值，如图2，最小值为(3)如图5，设村庄A ，B ，C 的连线构成一个三角形，且已知4km 23km AC BC ==，，建一中转站P 沿直线向A ，B ，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A ，B ，C 元/km ，a 元/km ，2a 元/km ，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________用含的式子表示）∵ACP A CP ''∠=∠，∴ACP BCP A CP BCP ∠+∠=∠+∠''又∵60PCP '∠=︒过点A '作A H BC '⊥，垂足为H ，∵60ACB ∠=︒，90ACA '∠=︒，∴30A CH '∠=︒，1猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点∵1122 CHGS CH HG=⋅=∴154302CG HE⋅=⨯=，①求证：PD PB =；②将线段DP 绕点P 逆时针旋转，化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ 与OP 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②不变化，（2）AQ CP =，理由见解析【分析】（1）①根据正方形的性质证明②作,PM AB PN AD ⊥⊥，垂足分别为点∵四边形ABCD 是正方形，∴45DAC BAC ∠=∠=︒，∴四边形AMPN 是矩形，∴90MPN ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BAC ∠=︒，90AOB ∠=∴45AEP ∠=︒，四边形OPEF=作PM AB⊥于点M，则QM MB=，∴QA BE=．∴AQ CP（1）求BCF ∠的度数；（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，连接AE ，CF 满足0360α︒<<︒，点,,C E F 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系，并说明理由．【答案】初步尝试：（1）1MN AC =；MN AC ∥；（2）特例研讨：（1）30BCF ∠=︒；（2）CD∵MN 是BAC 的中位线，∴MN AC ∥，∴90BMN BAC ∠=∠=︒∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α∴,BE BM BF BN ==；BEF ∠=∵点,,A E F 在同一直线上时，2∵,ADN BDE ANB BED ∠=∠∠=∠∴ADN BDE ∽,∴2222DN AN DE BE ===,设DE x =，则2DN x =，在Rt ABE △中，2,2BE AE ==在Rt ADN △中，22AD DN AN =+∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC θ∠=︒-，∵MN 是ABC 的中位线，∴MN AC∥∴MNB MBN θ∠=∠=，∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，∴EBF MBN ≌，MBE NBF α∠=∠=，∴EBF EFB θ∠=∠=∴1802BEF θ∠=︒-，∵点,,C E F 在同一直线上，∴2BEC θ∠=∴180BEC BAC ∠+∠=︒，∴,,,A B E C 在同一个圆上，∴EAC EBC αθ∠=∠=-∴()()1802BAE BAC EAC θαθ∠=∠-∠=︒---180αθ=︒--∵ABF αθ∠=+，∴180BAE ABF ∠∠=+︒；如图所示，当F 在EC 上时，∵,BEF BAC BC BC∠=∠=∴,,,A B E C 在同一个圆上，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，设NBF β∠=，则EBM β∠=，则360αβ+=︒，∴ABF θβ∠=-，∵BFE EBF θ∠=∠=,EFB FBC FCB∠=∠+∠∴ECB FCB EFB FBC θβ∠=∠=∠-∠=-，∵ EBEB =∴EAB ECB θβ∠=∠=-∴BAE ∠ABF=∠综上所述，BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形，90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒==，连接AD ，BE ，探究AD ，BE 的位置关系．(1)如图1，当1m =时，直接写出AD ，BE 的位置关系：____________；(2)如图2，当1m ≠时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当3,47,4m AB DE ===时，将CDE 绕点C 旋转，使,,A D E 三点恰好在同一直线上，求（2）解：成立；理由如下：∵90DCE ACB ∠=∠=︒，∴DCA ACE ACE ∠+∠=∠+（3）解：当点E 在线段AD设AD y =，则AE AD DE =+根据解析（2）可知，DCA △∴3BE BC m AD AC===，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．(1)若点P 在AB 上，求证：A P AP '=；(2)如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数，并直接写出当180n =时，x 的值；②若点P 到BD 的距离为2，求tan A MP '∠的值；∵PM 平分A MA '∠∴90PMA ∠=︒∴PM AB∥∴DNM DBA V V ∽∴DN DM MN DB DA BA ==∵8,6,90AB DA A ==∠=︒，∴2226BD AB AD =+=+∴2103sin 3BQ BP DBA ===∠，∵90PQB CBD DAB ∠=∠=∠=︒，∴90QPB PBQ DBA ∠=︒-∠=∠，∵A MP AMP ' ≌，∴90PA M A '∠=∠=︒，（2）如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B '处，若24,6BC CE AB ⋅==，求BE 的值；（3）如图③，在ABC 中，45,BAC AD BC ∠=︒⊥，垂足为点,10,D AD AE ==于点F ，连接DF ，且满足2DFE DAC ∠=∠，直接写出53BD EF +的值．∵EF BC ∥，∴2CDF DFE ∠=∠=∴CDH FDH ∠=∠，又∵DH DH =，CHD ∠∴(ASA CHD FHD ≌【点睛】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键．13．（2023·湖南郴州·=，连接点E，使CE AD(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设4AB=，若AEB DEB∠=∠，求四边形BDFC的面积．【答案】(1)1CF BD=，理由见解析∴60,ADG ABC AGD ∠=∠=︒∠=∠∴ADG △为等边三角形，∴AD AG DG ==，∵AD CE =，AD AB AG AC -=-∴DG CE =，BD CG =，于点由①知：ADG △为等边三角形，∵ABC 为等边三角形，∴4,AB AC BC BH CH =====∴2223AH AB BH =-=，(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当90FEC ∠=︒时，求证：AEF DCE ∽△△；②如图2，当2tan 3FCE ∠=时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当1,sin 3GE DE FCE =∠=时，求证：，可得结论；正方形ABCD 中，①ADC BAD ∠=∠ ∴AEF CED ∠+∠=AEF ECD ∴∠=∠，延长DA ，CF 交于点G ，作GH CE ⊥，垂足为H ，90EDC EHG ∠=∠=︒ 且∠问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90α=︒时，直接写出GCF ∠的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF ∠与α的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120α=︒时，若12DG CG =，求BE CE 的值．故答案为：45︒．（2）解：在AB上截取ANABC BAE AEB∠+∠+∠=∠=∠，ABC AEF22⎝⎭（3）解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．16．（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为∠=∠=︒∠=∠．将ABCACB DEF A D90,和DFE△(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的DBE绕点B逆时针方向旋转，使点问题．∠①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE②“智慧小组”提出问题：如图AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】(1)正方形，见解析(2)①AM BE=，见解析；【分析】（1）先证明四边形形；∠（2）①由已知ABE【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）过正方形E ，连接AE ，直线AE 交直线(1)如图1，若25CDP ∠=︒，则DAF ∠=___________(2)如图1，请探究线段CD ，EF ，AF 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP 绕点D 转动的过程中，设AF a =，EF 【答案】(1)20︒。

专题02 填空压轴题1．（2021•湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是 ．-1【详解】Q地毯面积被平均分成了3份，\=，\==3CD在Rt ACDD中，根据勾股定理可得AD==，又根据剪裁可知1==，BD CK\=-=-．AB AD BD11-．2．（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，Rt OAB D 的直角顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 在第一象限，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过OA 的中点C ．交AB 于点D ，连接CD ．若ACD D 的面积是2，则k 的值是 ．【答案】83【详解】连接OD ，过C 作//CE AB ，交x 轴于E ，90ABO Ð=°Q ，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过OA 的中点C ，12COE BOD S S k D D \==，2ACD OCD S S D D ==，//CE AB Q ，OCE OAB \D D ∽，\14OCE OAB S S D D =，4OCE OAB S S D D \=，1142222k k \´=++，83k \=，故答案为：83．3．（2019•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为ABCD 可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH 内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q 、R 分别与图2中的点E 、G 重合，点P 在边EH 上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是 ．【答案】【详解】如图2中，连接EG ，作GM EN ^交EN 的延长线于M ．在Rt EMG D 中，4GM =Q ，224412EM =+++=，EG \===EH \==，故答案为．4．（2018•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E ，F ，G ，H 都是格点，且四边形EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD ，此时正方形EFGH 的面积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD 时，正方形EFGH 的面积的所有可能值是 （不包括5)．【答案】13或49或9【详解】当DG =，CG =222DG CG CD +=，此时HG =，可得正方形EFGH 的面积为13．当8DG =，1CG =时，满足222DG CG CD +=，此时7HG =，可得正方形EFGH 的面积为49当7DG =，4CG =时，此时3HG =，四边形EFGH 的面积为9．故答案为13或49或9．5．（2017•湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线(0)y kx k=>分别交反比例函数1yx=和9yx=在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD x^轴于点D，交1yx=的图象于点C，连接AC．若ABCD是等腰三角形，则k的值是 ．【详解】Q点B是y kx=和9yx=的交点，9y kxx==，解得：x=，y=，\点B坐标为，，点A是y kx=和1yx=的交点，1y kxx==，解得：x=，y=，\点A坐标为，BD x^Q轴，\点C=\点C坐标为，BA \=，AC=222132960399BA AC k k k k k k k \-=-+-+-=> BA AC\¹，若ABCD是等腰三角形，①AB BC==，解得：k=；②AC BC==-解得：k=；故答案为k=．6．（2021•广陵区校级二模）如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为 ．【详解】如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，设1a =，根据题意，得2()()a b b b a b +=++，1a =Q ，210b b \--=，解得b =（负值舍去），b \=，\正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：():2(1:(2a b b +=+=．7．（2021•丽水）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中2FM EM =，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB ，CD 之间的距离是 ．【答案】133【详解】如图2中，过点E 作EI FK ^于I ，过点M 作MJ FK ^于J ．由题意，ABM D ，EFK D 都是等腰直角三角形，2AB BM ==，EK EF ==，4FK =，FK 与CD 之间的距离为1，EI FK ^Q ，KI IF \=，122EI FK \==，//MJ EI Q ，\23MJ FM EI EF ==，43MJ \=，//AB CD Q，AB\与CD之间的距离413 2133=++=，故答案为：13 38．（2021春•禅城区期末）把正方形按图1画线，然后沿实线分割从而得到一副七巧板（图2)所示，进行①~⑦编号，①~⑦号分别对应着七巧板的七块，如果编号④对应的面积等于2，则由这七块拼成的正方形的面积等于 ．【答案】16【详解】④是正方形，它的面积等于2，它的面积是大正方形面积的18，\七块拼成的正方形的面积2816=´=，故答案为：16．9．（2021春•柯桥区月考）已知图②是由图①七巧板拼成的数字“0”，若正方形ABCD的边长为六边形EFGHMN的周长为 ．【答案】60+【详解】Q正方形ABCD的边长为24BD\=，12EF=+12MH=+，12EF MH\==+，1122FG MN BD===，164NE HG BD===，\六边形EFGHMN的周长2(12126)60=+++=+故答案为：60+．10．（2021•长兴县模拟）已知：如图，在矩形ABCD中，6AB=，9BC=，点E是对角线AC上的一点，经过C，D，E三点的Oe与AD，BC分别交于点F，G，连接ED，EF，EG，延长GE交AD于点H．若当HEFD是等腰三角形时，CE的长为 ．【答案】6【详解】Q四边形CDFE是Oe的内接四边形，180DFE DCE\Ð+Ð=°，180DFE EFHÐ+Ð=°Q，EFH DCE\Ð=Ð，Q四边形ABCD是矩形，//AD BC\，DHE BGE\Ð=Ð，Q四边形DEGC是O e的内接四边形，BGE CDE\Ð=Ð，CDE DHE\Ð=Ð，HEF DEC\D D∽，\HE EF HF DE EC DC==，1°当HF EF=时，Q EF HFEC DC=，EC DC\=，Q四边形ABCD是矩形，6CD AB\==，6CE DC\==；2°当HE EF=时，Q HE EFDE EC=，DE EC\=，EDC ECD\Ð=Ð，Q 四边形ABCD 是矩形，90ADC \Ð=°，90ADE CDE ECD CAD \Ð+Ð=Ð+Ð=°，ADE EAD \Ð=Ð，AE ED EC \==，Rt ADC D 中，9AD BC ==，6DC =，AC ==12CE AC \==3°当HE HF =时，Q HE HF DE DC=，6DE DC \==，连接DG ，交AC 于M ，如图，90DCG Ð=°Q ，DG \是O e 的直径，DE DC =Q ，DG \是EC 的垂直平分线，即EC DM ^，2EC CM =，cos CM CD DCM CD ACÐ==，CM \=，2CE CM \==，综上，CE 的长为6，故答案为：6．11．（2021•吴兴区校级模拟）如图，矩形OABC 中，点A ，点C 分别在x 轴，y 轴上，D 为边BC 上的一动点，现把OCD D 沿OD 对折，C 点落在点P 处．已知点B 的坐标为，2)．（1）在点D 沿BC 从点C 运动至点B 的过程中，设点P 经过的路径长度为l ，则l 的值 ；（2）在点D 沿BC 从点C 运动至点B 的过程中，若点P 落在同一条直线4y kx =+上的次数为2次，请直接写出k 的取值范围 ．【答案】43pk <【详解】（1）如图1，Q 在运动过程中，OP OC =始终成立，2OP \=为定长，\点P 在以点O 为圆心，以2为半径的圆上，Q 点B 的坐标为2)，tan BC COB OC\Ð==60COB \Ð=°，120COP Ð=°，1204223603l p p °\=´´=°．（2）在图1的基础上，取点(0,4)E ，过点E 作O e （弧CP 段）的切线EP ¢，切点为P ¢，连接PP ¢，如图2所示．4OE =Q ，2OP ¢=，1sin 2OP OEP OE ¢\Т==，30OEP \Т=°，60EOP \Т=°．120COP Ð=°Q ，60POP \Т=°．OP OP =¢Q ，OPP \D ¢为等边三角形，2OP =Q ，P \，1)-，P ¢，1)．当点P 在直线4y kx =+上时，有14-=+，k \=；当点P ¢在直线4y kx =+上时，有14k =+，\=k综上可知：若点P落在同一条直线4=+上的次数为2次，则k的取值范围为k<y kx12．（2020春•奉贤区期末）如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HA EB FC GD===，连结EG、FH．将正方形ABCD沿线段EG、FH剪开，再把得到的四个四边形按图2的方式拼接成一个四边形，若正方形ABCD的边长为3cm，1====，那么图HA EB FC GD cm2中阴影部分的面积为 ．1cm【答案】2【详解】如图1中，连接EF，FG，GH，HE．Q 四边形ABCD 是正方形，90A B C D \Ð=Ð=Ð=Ð=°，AB BC CD DA ===，HA EB FC GD ===Q ，AE BF CG DH \===，在AEH D 和BFE D 中，AE BF A BAH BE =ìïÐ=Ðíï=î()AEH BFE SAS \D @D ，EF FG \=，同法可证EF FG GH ==，EF FG GH HE \===，\四边形EFGH 是菱形，DHG AEH D @D Q ，DHG AEH \Ð=Ð，90AEH AHE Ð+Ð=°Q ，90DHG AHE \Ð+Ð=°，90GHE \Ð=°，\四边形EFGH 是正方形，1HA EB FC GD ====Q ，3AB BC CD AD ====，)GF EF EH GH cm \=====，Q 由（1）知，四边形EFGH 是正方形，GO OF \=，90GOF Ð=°，由勾股定理得：)GO OF cm ==，()221091ABCD S S cm \=-=-=阴影四边形．故答案为：21cm ．13．（2020•衢州）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形ABCD 的边长为4dm ，则图2中h 的值为 dm ．【答案】(4+【详解】Q 正方形ABCD 的边长为4dm ，\②的斜边上的高是2dm ，④的高是1dm ，⑥的斜边上的高是1dm ，⑦，\图2中h 的值为(4dm +．故答案为：(4+．14．（2020•姜堰区二模）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点E 在边BC 上，且:2:1BE EC =，动点P 从点C 出发，沿CD 运动到点D 停止，过点E 作EF PE ^交矩形ABCD 的边于F ，若线段EF 的中点为M ，则点P 从C 运动到D 的过程中，点M 运动的路线长为 ．【答案】3【详解】如图，:2:1BE EC =Q ，6AD BC ==，4BE \=，2EC =，当点P ¢与点C 重合时，9090F EC BCD ADC ¢Ð=°=Ð=Ð=°Q ，\四边形ECDF ¢是矩形，2DF ¢\=，4AF ¢\=，当点F 与点A 重合时，M ¢Q 是EF ¢的中点，点M ¢¢¢是AE 的中点，122M M AF ¢¢¢¢¢\==，当点P ¢¢与点D 重合时，90F ED ¢¢Ð=°Q ，90F EB DEC ¢¢¢\Ð+Ð=°，90DEC EDC Ð+Ð=°Q ，EDC F EB ¢¢¢\Ð=Ð，在DEC D 和△EF B ¢¢¢中，4B ECD F EB EDC BE CD Ð=Ðì¢Ð=Ðíï==î，\△()BF E CED AAS ¢¢¢@D ，2EC BF ¢¢¢\==，2AF ¢¢¢\=，Q 点M ¢¢¢是AE 的中点，M ¢¢是EF ¢¢¢的中点，112M M AF ¢¢¢¢¢¢¢¢\==，\点M 运动的路线长213=+=，故答案为3．15．（2020•连云港一模）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．下面的两幅图正方形（如图1)、“风车型”（如图2)都是由同一副七巧板拼成的，则图中正方形ABCD ，EFGH 的面积比为 ．【答案】813【详解】设4BD a a a a a =+++=，则sin 45CD BC BD ==´°=，所以正方形ABCD 的面积是22)8a =；图2中3EQ a =，2FQ a =，由勾股定理得：EF ==，所以正方形EFGH 的面积为22)13a =，，所以图中正方形ABCD ，EFGH 的面积比为22881313a a =，故答案为：813．16．（2020•长兴县一模）如图，在Rt ABC D 中，30B Ð=°，6BC =，点D 是BC 的中点，DEF D 是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，线段EF 与线段AB 相交于点Q ，将DEF D 绕点D 逆时针转动，点E 从线段AB 上转到与点C 重合的过程中，线段DQ 的长度的取值范围是 ．3DQ …【详解】6BC =Q ，点D 是BC 的中点，3CD BD \==，Q 将DEF D 绕点D 逆时针转动，点E 从线段AB 上转到与点C 重合，3DE CD \==，Q 线段EF 与线段AB 相交于点Q ，\点Q 在EF 上运动，\当点Q 与点E 重合时，DQ 有最大值为3，如图，连接DQ ，当DQ EF ^时，DQ 有最小值，DEF D Q 是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，45E \Ð=°，sin DQ E DE \==，DQ DE \==DQ \\3DQ …，3DQ …．17．（2020•湖州模拟）如图，已知Rt ABD Rt BAC D @D ，3AD =，4AB =，90DAB CBA Ð=Ð=°，点P 在这两个三角形的边上运动，若13PA PB =，则PA 的长为 ．【答案】1【详解】Rt ABD Rt BAC D @D Q ，3AD =，4AB =，5AC BD \===，当点P 在这AB 边上时，Q13PA PB =，4AB =，1PA \=；当点P 在这AD 边上时，Q 13PA PB =，2224PA PB \+=，即2224(3)PA PA +=，解得PA =当点P 在这AC 边上时，35PE AP =，45AE AP =，445BE AP =-，Q 13PA PB =，\13=，254100PA PA \+-=，解得PA =（舍去），PA =．故PA 的长为1．故答案为：1．18．（2020•长兴县三模）如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，3AB =，4BC =，点D 是半径为1的A e 上的一个动点，点E 为CD 的中点，连接BE ，则线段BE 长度的最小值为 ．【答案】2【详解】如图，取AC 的中点N ，连接AD 、EN 、BN ．Q 在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，3AB =，4BC =，5AC \===，AN NC =Q ，1522BN AC \==，AN NC =Q ，DE EC =，1122EN AD \==，BN EN BE BN EN \-+……，\51512222BE -+……，23BE \……，BE \的最小值为2，故答案为：2．19．（2020•湖州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线213222y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方，过点D 作DF AC ^于点F ，连接CD ，若CFD D 与AOC D 相似，则点D 的坐标是 ．【答案】3(2-，258或(3,2)-【详解】90AOC DFC Ð=Ð=°，若DCF ACO Ð=Ð时，DCF ACO D D ∽，如图1，过点D 作DG y ^轴于点G ，过点C 作CQ DC ^交x 轴于点Q ，DCQ AOC Ð=ÐQ ，90DCF ACQ \Ð+Ð=°，即90ACO ACQ Ð+Ð=°，而90ACO CAO Ð+Ð=°，ACQ CAO \Ð=Ð，QA QC \=，设(,0)Q m，则4m +=32m =-，3(2Q \-，0)，90QCO DCG Ð+Ð=°Q ，90QCO CQO Ð+Ð=°，DCG CQO \Ð=Ð，Rt DCG Rt CQO \D D ∽，\DG GC OC OQ=，即24332DG CO CG OQ ===，设4DG t =，3CG t =，则(4,32)D t t -+，把(4,32)D t t -+代入213222y x x =--+得286232t t t -++=+，整理得2830t t -=，解得10t =（舍去），238t =，3(2D \-，258；当DCF CAO Ð=Ð时，DCF CAO D D ∽，则//CD AO ，\点D 的纵坐标为2，把2y =代入213222y x x =--+得2132222x x --+=，解得13x =-，20x =（舍去），(3,2)D \-，综上所述，点D 的坐标为3(2-，25)8或(3,2)-．故答案为：3(2-，258或(3,2)-．20．（2020•吴兴区校级三模）在滑道过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线．如图，点1A ，2A ，3A ¼在反比例函数(0,0)m y m x x =>>的图象上，点1B ，2B ，3B ¼在反比例函数(,0)n y n m x x=>>的图象上，1122////A B A B y ¼轴，已知点1A ，2A 的横坐标分别为1，2¼，令四边形1122A B B A 、2233A B B A 、¼的面积分别为1S 、2S 、¼．（1）用含m ，n 的代数式表示1S = ．（2）若2041S =，则n m -= ．【答案】3()4n m - 840【详解】（1）1122////A B A B y ¼Q 轴，1A \和1B 的横坐标相等，2A 和2B 的横坐标相等，¼，n A 和n B 的横坐标相等，Q 点1A ，2A ¼的横坐标分别为1，2，¼，\点1B ，2B ¼的横坐标分别为1，2，¼，Q 点1A ，2A ，3A ¼在反比例函数(0,0)my m x x =>>的图象上，点1B ，2B ，3B ¼反比例函数(,0)ny n m x x =>>的图象上，11A B n m \=-，2222nmA B =-，111()222nmS n m \=´´-+-133()222nm=-3()4n m =-，故答案为：3()4n m -；（2）由（1）同理得：331()333nmA B n m =-=-，441()4A B n m =-，¼，2111151[()()]()23226S n m n m n m \=´´-+-=´-，3111171[()()]()243212S n m n m n m =´´-+-=´-，¼，2012021()22021S n m +\=´´-´，2041S =Q ，\12021()4122021n m +´´-=´，解得：840n m -=，故答案为：840．21．（2020•南浔区模拟）已知二次函数22(0)y ax bx a =++¹的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0)，当a b -为整数时，2a b +的值为 ．【答案】72-或3-或52-【详解】依题意知0a <，10a b ++=，02b a-<，10a b ++=，故0b <，且2b a =--，(2)22a b a a a -=---=+，20b a =--<，得20a -<<，2222a \-<+<又ab -Q 为整数，22a \+的值为：1-，0，1，解得，12a =-，a \的值为：32-或1-或12-，2b a =-Q ，即2a b +=-22a b a a b a \+=++=-的值为：72-或3-或52-．故答案为：72-或3-或52-．22．（2020•长兴县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC D 可运动（平移或旋转），且90C Ð=°，4BC =+，1tan 2A =，若以点(3,6)M 为圆心，2为半径的M e 始终在ABC D 的内部，则ABC D 的顶点C 到原点O 的距离的最小值为 ．【详解】如图，设M e 与AC 相切于点J ，与AB 相切于点T ，连接OC ，MJ ，MT ，延长JM 交AB 于F ．AC Q ，AB 是O e 的切线，MJ AC \^，MT AB ^，90AJM ATM \Ð=Ð=°，180A JMT \Ð+Ð=°，180JMT FMT Ð+Ð=°Q ，A FMT \Ð=Ð，1tan tan 2A FMT \=Ð=，2MT =Q ，1TF \=，FM ==，2JF MJ MF \=+=，24AJ FJ \==+，28AC BC ==+Q ，4CJ \=，90CJM Ð=°Q ，CM \===，(3,6)M Q ，OM \==OC OM CM -Q …，OC \…，OC \…OC \．．23．（2019•南浔区一模）如图，已知在ABC D 中，90ACB Ð=°，4AC =，3BC =，动点N 从点C 出发，沿着CA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点M 从点A 出发，沿着AB 方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒(0 2.5)t <…，以M 为圆心，MA 长为半径的M e 与AB 的另一个交点为点D，连接DN．当Me与线段DN只有一个公共点时，t的取值范围是 ．【答案】87t<…或205132t<…【详解】ABCDQ中，90ACBÐ=°，4AC=，3BC=，5AB\===，分两种情况：①当DN与Me相切时，则90NDAÐ=°，CN AM t==Q，4AN t\=-，2AD t=，A AÐ=ÐQ，90NDA ACBÐ=Ð=°，ADN ACB\D D∽，\AN ADAB AC=，即4254t t-=，87t\=；\当87t<…时，Me与DN只有一个交点；②当DN AC^时，则90DNAÐ=°，CN AM t==Q，4AN t\=-，2AD t=，A AÐ=ÐQ，90DNA ACBÐ=Ð=°，AND ACB\D D∽，\AN ADAC AB=，即4245t t-=，解得：2013t=，0 2.5t<Q…，\205 132t<…；综上所述，t的取值范围为87t<…或205132t<…；故答案为：87t<…或205132t<…．24．（2019•吴兴区校级一模）如图，在ABCD中，已知AB AC=，70BÐ=°，以AC为直径作Oe交BC于点D，弦CE交AB于点P，且20ACEÐ=°，则APBC的值为 【详解】连接AD、AE．AC Q 为O e 的直径，90ADC AEC \Ð=Ð=°．AD BC \^．AB AC =Q ，AD BC ^，BD DC \=，BAD CAD Ð=Ð．AB AC =Q ，70ABC ACB \Ð=Ð=°．40BAC \Ð=°．20DAC \Ð=°．ACE DAC \Ð=Ð．AE DC \=．2BC AE \=．70B Ð=°Q ，702050ECB ACB ACE Ð=Ð-Ð=°-°=°，60BPC \Ð=°．\AE AP =\AP BC =．25．（2019•长兴县一模）如图，P 是ABCD Y 内一点，连接P 与ABCD Y 各顶点，EFGH Y 各顶点分别在线段BP ，CP ，DP ，AP 上，若23BE PE =，且//EF BC ，图中阴影部分的面积为2，则ABCD Y 的面积为 ．【答案】25【详解】23BE PE =Q ，\25PE PB =，P Q 是ABCD Y 内一点，四边形ABCD 与四边形EFGH 是平行四边形，PAB \D 的面积PCD +D 的面积12=平行四边形ABCD 的面积PBC =D 的面积PAD +D 的面积，PEF D 的面积PGH +D 的面积12==平行四边形EFGH 的面积=阴影部分的面积2=，//EF BC Q ，PEF PBB \D D ∽，相似比25PE PB ==，\224(525PEF PBC S S D D ==，同理：PGH PAD D D ∽，425PGH PAD S S D D =，PEF \D 的面积PGH +D 的面积4(25PBC =D 的面积PAD +D 的面积）2=，PBC \D 的面积PAD +D 的面积4252252=¸=，ABCD \Y 的面积252252=´=；故答案为：25．26．（2019•吴兴区一模）在平面直角坐标系中，将函数222y x =+的图象绕坐标原点O 顺时针旋转45°后，得到新曲线l ．（1）如图①已知点(1,)A a -、(,10)B b 在函数222y x =+的图象上，若A ¢、B ¢是A 、B 旋转后的对应点，连接OA ¢、OB ¢，则OA B S ¢¢=V ；（2）如图②，曲线l 与直线y =相交于点M 、N ，则OMN S D = ．【答案】9 94【详解】（1）当1x =-时，4y =，(1,4)A \-，当10y =时，2x =，(2,10)B \，OAB OA B S S D ¢¢=V ，如图1所示，直线AB 的解析式为26y x =+，(0,6)C \，1(21)92S OC \=×+×=，故答案为：9（2）如图2所示，将直线MN 逆时针旋转45°，过点O 作OH 垂直M N ¢¢，OH \=，3(2H \-，32，\直线M N ¢¢的解析式为3y x =+，2322x x +=+，解得112x =-，21x =，1193(1224S \=´+´=．94MON S D \=．故答案为：94．27．（2019秋•椒江区期末）定义：在平面直角坐标系中，我们将函数22y x =+的图象绕原点O 逆时针旋转60°后得到的新曲线L 称为“逆旋抛物线”．（1）如图①，已知点(1,)A a -，(,6)B b 在函数22y x =+的图象上，抛物线的顶点为C ，若L 上三点A ¢、B ¢、C ¢是A 、B 、C 旋转后的对应点，连接A B ¢¢、A C ¢¢、B C ¢¢，则A B C S ¢¢¢=V ；（2）如图②，逆旋抛物线L 与直线32y =相交于点M 、N ，则OMN S D = ．【答案】3 【详解】（1）Q 点(1,)A a -，(,6)B b 在函数22y x =+的图象上，当1x =-时，3y =，(1,3)A \-，当6y =时，2x =，(2,6)B \，OAB OA B S S D ¢¢=V ，设直线AB 的解析式为y kx m =+，\326k m k m -+=ìí+=î，解得14k m =ìí=î，\直线AB 的解析式为4y x =+，(0,4)D \，(0,2)C Q ，422CD \=-=，11(12)23322ABC S CD D \=×+=´´=，3A B C S ¢¢¢\=V ，故答案为：3；（2）如图②所示，连接ON ¢交直线32y =于E ，连接OM ¢，OE ¢，设直线32y =与y 轴交于E ，由旋转的性质得，32OE OE =¢=，60OGF EOE Ð=Т=°，OE FG ¢^，30OFG \Ð=°，23OF OE \=¢=，OG \=，\直线FG 的解析式为：3y =+，解方程组232y y x ì=+ïí=+ïî，得，x =，||M N x x ¢¢\-=12OMN S OF D \==28．（2019•吴兴区二模）对于一个函数给出如下定义：对于函数y ，若当a x b ……，函数值y 满足m y n ……，且满足()n m k b a -=-，则称此函数为“k 属和合函数”．例如：正比例函数3y x =-，当13x ……时，93y --……，则3(9)(31)k --=-，求得：3k =，所以函数3y x =-为“3属和合函数”．（1）若一次函数1(15)y ax x =-……为“1属和合函数”，则a 的值 ；（2）已知二次函数22362y x ax a a =-+++，当11x -……时，y 是“k 属和合函数”，则k 的取值范围 ．【答案】1或1- 32k …【详解】（1）1(15)y ax x =-Q ……为“1属和合函数”，1a \=±，故答案为1或1-；（2）二次函数22362y x ax a a =-+++的对称轴为x a =，①当1a >时，224383a a y a a --+-……，22(83)(43)2a a a a k \+----=，6k a \=，6k \>；②当1a <-时，228343a a y a a +---……，22(43)(83)2a a a a k \---+-=，6k a \=-，6k \>；③当10a -……时，228342a a y a a +-+……，22(42)(83)2a a a a k \+-+-=，23(1)2k a \=-，\362k ……；④当01a <…时，224342a a y a a --+……，22(42)(43)2a a a a k \+---=，23(1)2k a \=+，\362k ……；综上所述：32k …，故答案为32k …．29．（2019•吴兴区校级一模）当21x -……时，抛物线22()1y x m m =--++有4max y =，则m = 【答案】2或【详解】Q 当21x -……时，抛物线22()1y x m m =--++有4max y =，\当1m >时，1x =时，函数取得最大值，即224(1)1m m =--++，解得，2m =；当2m <-时，2x =-时，函数取得最大值，即224(2)1m m =---++，解得，724m =->-（舍去）；当21m -……时，x m =时，函数取得最大值，224()1m m m =--++，解得，1m =，2m =（舍去）；由上可得，m 的值是2或故答案为：2或30．（2019•南浔区二模）如图1，平面内有一点P 到ABC D 的三个顶点的距离分别为PA 、PB 、PC ，若有222PA PB PC =+，则称点P 为关于点A 的勾股点．矩形ABCD 中，5AB =，6BC =，E 是矩形ABCD 内一点，且点C 是ABE D 关于点A 的勾股点，若是ADE D 等腰三角形，求AE 的长为 ．【详解】Q 四边形ABCD 是矩形5AB CD \==，6AD BC ==222AC AB BC \=+，Q 点C 是关于点A 的勾股点，222AC BC CE \=+，5CE AB \==，如图，当6AD DE ==时，作CF DE ^于点F ，过E 作EH AD ^于H ，CE CD=Q，CF DE^3DF EF\==4CF\==90ADE CDFÐ+Ð=°Q，90CDF DCFÐ+Ð=°ADE DCF\Ð=Ð，且90DHE CFDÐ=Ð=°DHE CDF\D D∽\CD DF CF DE HE DH==即534 6HE DH ==185HE\=，245 DH=65AH AD DH\=-=AE\==如图，当AE DE=时，作EG DC^于G，EH AD^于H，90ADCÐ=°Q，EG DC^，EH AD^\四边形EHDG是矩形=\=，HE DG HD EG^Q，EH AD=AE DE\===3AH DH EG4 \== CGDG CD CG HE \=-==1\== AE。

专题02 填空压轴题1．（2021•杭州）如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则 度．【答案】18【详解】连接，如图：四边形是矩形，．是的中点，，，．，关于对称，，．，，，．．，．，．ABCD M AC E BC DCE D DE C AC F DF EF MF AB =DAF Ð=DM Q ABCD 90ADC \Ð=°M Q AC DM AM CM \==FAD MDA \Ð=ÐMDC MCD Ð=ÐDC Q DF DE DF DC \=DFC DCF \Ð=ÐMF AB =Q AB CD =DF DC =MF FD \=FMD FDM \Ð=ÐDFC FMD FDM Ð=Ð+ÐQ 2DFC FMD \Ð=ÐDMC FAD ADM Ð=Ð+ÐQ 2DMC FAD \Ð=Ð设，则，．，．．2．（2020•杭州）如图是一张矩形纸片，点在边上，把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，连接．若点，，在同一条直线上，，则 ， ．【答案】2【详解】四边形是矩形，，，把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，，，，，，，，，；，，，，，FAD x Ð=°4DFC x Ð=°4MCD MDC x \Ð=Ð=°180DMC MCD MDC Ð+Ð+Ð=°Q 244180x x x \++=18x \=E AB BCE D CE B AC F DF E F D 2AE =DF =BE =1-Q ABCD AD BC \=90ADC B DAE Ð=Ð=Ð=°Q BCE D CE B AC F CF BC \=90CFE B Ð=Ð=°EF BE =CF AD \=90CFD Ð=°90ADE CDF CDF DCF \Ð+Ð=Ð+Ð=°ADF DCF \Ð=Ð()ADE FCD ASA \D @D 2DF AE \==90AFE CFD Ð=Ð=°Q 90AFE DAE \Ð=Ð=°AEF DEA Ð=ÐQ AEF DEA \D D ∽\AE DEEF AE =，（负值舍去），，方法二：，，，，由题意知，，，，，，，，，设，，，，，解得：（负值舍去，．3．（2019•杭州）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，△的面积为4，△的面积为1，则矩形的面积等于 ．\222EF EF +=1EF \=-1BE EF \==-//AB CD Q ACD DCE S S D D \=ACD DCF DCE DCF S S S S D D D D \-=-ADF ECF S S D D \=BC CF =ACD ABC S S D D =ECF BCE S S D D =ACD ADF ABC CEF ABC BCE S S S S S S D D D D D D \-=-=-DCF ACE S S D D \=\1122DF CF AE BC ´×=×CF BC =Q 2DF AE \==BE x =//AE CD Q AEF CDF \D D ∽\AE EF CD DF =\222x x =+1x =)1BE \=-ABCD EF GH E H AD F G BC B C AD P A A ¢D D ¢90FPG Ð=°A EP ¢D PH ¢ABCD【答案】【详解】四边形是矩形，，，设，由翻折可知：，，△的面积为4，△的面积为1，又△△，，，，，（负根已经舍弃），，，，矩形的面积．4．（2021•上城区一模）如图，在中，，，点是中点，点，分别在边，上（均包括端点），若使为直角三角形的点恰好有两个，则的长应满足的条件是　　．10+Q ABCD AB CD \=AD BC =AB CD x ==PA AB x ¢==PD CD x ¢==Q A EP ¢D PH ¢Q A EP ¢∽D PH ¢:2A P D H \¢¢=PA x ¢=Q 12D H x \¢=Q 11122x x ××=2x \=2AB CD \==PE ==PH ==415AD \=+=+\ABCD 2(510=+=+ACB D 90C Ð=°4AC BC ==E BC D F AC AB DEF D F CD【答案】或【详解】如图，当，分别为直角顶点时，一定存在两个点，满足条件．以为直径作圆，当圆与直线相切时，存在一个点，使得，此时，观察图象可知，满足条件的的值为，另外当点与重合时，也满足条件，此时，综上所述，或．5．（2021•下城区一模）如图，点，点分别在矩形的边，上，连接，，，若是的角平分线，是的中线，且，则　　．【详解】法一、如图，过点作于点，4CD =02CD <…D E 1F 2F DE AB F 90DFE Ð=°2CD AD ==CD 02CD <…D A 4CD =4CD =02CD <…E F ABCD AB AD AC CE CF CE ABC D CF ACD D BCE FCD Ð=ÐAB BC =E EG AC ^G设，，是的中线，，，，，，，即，，是的角平分线，，，，，，，，，即，解得，，在中，，解得，，．DF a =DC b =CF Q ACD D 22AD DF a \==2BC a \=BCE FCD Ð=ÐQ 90B D Ð=Ð=°BCE DCF \D D∽\BCDC BE DF =2a b BE a=22a BE b\=CE Q ABC D 90B Ð=°EG AC^22a EG BE b\==2CG BC a ==//AB CD Q BAC ACD \Ð=Ð90EGA D Ð=Ð=°Q EAG ACD \D D ∽\AG CD EG AD=222AG b a a b=AG a =3AC AG CG a \=+=Rt ACD D 222(3)(2)a a b =+b =\2AB b BC a ===法二、如图，延长至点，使，设，，可得，，，，，即，，，．6．（2021•杭州一模）在中，，，，点是边上的动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转到，使，连接．①若点在直线上，则 ．②在点移动的过程中，线段的最小值为　　．【答案】【详解】（1）如图，在边上取点使，连接，AD M DM FD =AF FD DM a ===MC b =MCD FCD ACE BCE Ð=Ð=Ð=Ð2MAC ACB MCF FCD Ð=Ð=Ð=ÐMAC MCF \D D ∽\MA MC MC MF =32a b b a=b \AB CD \===\AB BC ==ABC D 4AB =5AC =6BC =D AC A C BD B BE DBE CBA Ð=ÐAE E AC CD =D AE 125BC F BF AB =DF，，，在与中，，．，，，，，．又，，，．（2）由（1）得，当取最小值时，也取最小值，即垂直于时，作垂直于于点，设长为，则长为，在与中，由勾股定理得：，，即，，解得，，ABE DBE ABD Ð=Ð-ÐQ FBD CBA ABD Ð=Ð-ÐABE FBD \Ð=ÐABE D FBD D FB AB ABE FBD BD BE =ìïÐ=Ðíï=î()ABE FBD SAS \D @D 4BF BA \==DFB EAB Ð=Ð642FC BC BF \=-=-=180DFC DFB Ð=°-Ð180CAB EAB Ð=°-ÐDFC CAB \Ð=ÐC C Ð=ÐQ CFD CAB \D D ∽\65CD CB FC AC ==61255CD CF \==AE DF =\AE DF FD AC AG BC G BG x CG 6x -Rt ABG D Rt ACG D 222AG AB BG =-222AG AC CG =-2222AB BG AC CG -=-222245(6)x x \-=--94x =1564x -=，，．解法二：如图，假设与重合时，点的对应点，点与不重合时，点的对应点为，过点作．△，定值，点的运动轨迹是线段，的最小值线段的长．7．（2021•滨江区一模）已知，矩形中，，，点在边上，且，点是边上的一个点，连接，作线段的垂直平分线，分别交边，于点，，连接，．当点和点重合时（如图， ；当点，，三点共线时（如图， ．【答案】，【详解】如图1，设，则，垂直平分，，AG \=sin C \=DF \=D C C E ¢D C D E A AH EE ^¢Q E EB CDB ¢@D E C \Т=Ð=\E EE ¢AE =AH sin AE C =¢×=ABCD 6AB =9BC =F AB 2AF =E BC EF EF HG AD BC H G FH EH E C 1)DH =B M D 2)DH =4918103DH t =9AH t =-GH Q EF FH CH \=，即，解得，即；法一：如图2，过点作，过点作，是线段的垂直平分线，，，，，，，，，，，，，，设，则，，，，．解得：．\=22222(9)6t t +-=+4918t =4918DH =M MN BC ^E ES AD ^HG Q EF HF HE \=FM ME =MN BC ^Q AB BC ^EMN EFB \D D ∽\12MN EM FB EF ==624FB AB AF =-=-=Q 122MN FB \==BMN BDC \D D ∽\2163BN MN BC DC ===133BN BC \==3NE BN \==23SD CE BC BN \==-=DH x =9AH x =-3HS x =-22HF HE \=2222AF AH HS SE \+=+22222(9)(3)6x x \+-=-+103x =法二：如图2，过点作于点，并延长交于点，则，垂直平分，则点是中点，，，，，，，，，，，，，又，，，，，即，解得，，．8．（2021•萧山区一模）如图，菱形中，，点为边上一点，连接，，交对角线于点．若，，则 ．M MP BC ^P PM AD Q PQ AD ^GH Q EF M EF MP BC ^Q BF BC ^11(62)222MP BF \==-=BP PE =4MQ \=//MP CD Q \26BP MP BC CD ==133BP BC \==3PE AQ BP \===GH EF ^Q 90HME \Ð=°90QMH EMP \Ð+Ð=°90HQM MPE Ð=Ð=°90QMH QHM \Ð+Ð=°EMP QHM \Ð=ÐEMP MHQ \D D ∽\MP PE QH QM =234QH =83QH =81099333DH AQ QH \=--=--=ABCD 60A Ð=°E AD BE CE CE BD F 2AB =AE DF =AE =【答案】【详解】四边形是菱形，，，，和是等边三角形，，，，，，，9．（2021•西湖区一模）如图，中，，，点在边上，将沿翻折，点的对称点为，使得，则 ，　　．【答案】3Q ABCD 60A Ð=°AB AD CD BC \===60A BCD Ð=Ð=°//AD BC ABD \D CBD D 2AD BD AB \===//AD BC Q DEF BCF \D D ∽\DE DF BC BF =\222AE AE AE-=-3AE \=±20AE ->Q 3AE \=-ABC D AB AC =30A Ð=°D AC ABD D BD A A ¢//A D BC ¢BDC Ð=AD BC =52.5°【详解】方法一：，，沿翻折，，，，，沿翻折，，；延长交于，过作于，如图：，，，沿翻折，，，沿翻折，，，而，，，，设，，△中，，AB AC =Q 30A Ð=°75ABC C \Ð=Ð=°ABD D Q BD 30A A \Т=Ð=°//A D BC ¢Q 30A BC A \Т=Т=°45A BA ABC A BC \Т=Ð-Т=°ABD D Q BD 22.5DBA DBA \Ð=Т=°52.5BDC A DBA \Ð=Ð+Ð=°A D ¢AB E E EF A B ^¢F AB AC =Q //A D BC ¢AD AE \=ABD D Q BD AD A D AG AE \=¢=¢=BG BE =ABD D Q BD //A D BC ¢30A A A BC \Ð=Т=Т=°75C Ð=°75BGC \Ð=°45EBF Ð=°BC BG BE \==AD A D AE A G a =¢==¢=EF x =Rt A EF¢A F ¢=中，，，由可得：，解得，，方法二：，，沿翻折，，，，，沿翻折，，；过作于，如图：，，，沿翻折，Rt BEF D BF x =BE =AB A B =¢a x +=+x =BE BC \===\AD BC ===AB AC =Q 30A Ð=°75ABC C \Ð=Ð=°ABD D Q BD 30A A \Т=Ð=°//A D BC ¢Q 30A BC A \Т=Т=°45A BA ABC A BC \Т=Ð-Т=°ABD D Q BD 22.5DBA DBA \Ð=Т=°52.5BDC A DBA \Ð=Ð+Ð=°G GH AB ^H AB AC =Q 30A Ð=°75ABC ACB \Ð=Ð=°ABD D Q BD，，，，是等腰直角三角形，设，则，中，，，，，，，，，，，，，，，．10．（2021•余杭区模拟）如图，在中，，，平分，，则的长为 ．【答案】330A ¢\Ð=°//A D BC ¢Q 30A BC ¢\Ð=°45ABA ¢\Ð=°BGH \D GH BH m ==BG =Rt AGH D tan GH A AH=AH \=ABAH BH m \=+=+A B AB m ¢\==+AG A B BG m ¢¢\=-=+75ACB Ð=°Q30A BC ¢Ð=°75BGC A GD ¢\Ð=Ð=°BC BG \==30A ¢Ð=°Q 75A GD ¢Ð=°75A DG ¢\Ð=°A D A G m ¢¢\=+AD m \=+\AD BC ==Rt ABC D 90C Ð=°30B Ð=°AD BAC Ð6BD =CD【详解】在中，，，，又平分，，，，11．（2021•余杭区一模）如图，在矩形中，，点在边上，把沿直线翻折，使点落在对角线上的点处，联结．如果点、、在同一条直线上，那么的长是　【答案】【详解】四边形是矩形，，，，，设，则，把沿直线翻折，使点落在对角线上的点处，，，，，，，，，Q Rt ABC D 90C Ð=°30B Ð=°60BAC \Ð=°AD BAC Ð30BAD CAD \Ð=Ð=°30BAD B \Ð=Ð=°6AD BD \==132CD AD \==ABCD 2AB =E CD ADE D AE D AC F BF E F B DE 33Q ABCD //AB CD \2AB CD ==90D Ð=°DEA EAB \Ð=ÐDE a =2CE a =-Q ADE D AE D AC F DE EF a \==DEA FEA Ð=ÐEAB FEA Ð=ÐQ 2AB BE \==2BF BE EF a \=-=-//AB CD Q CEF ABF \D D ∽\CE EF AB BF=，（舍去），，12．（2021•拱墅区二模）在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，点在轴上，若是直角三角形为原点），则线段上任意一点可表示为 ．【答案】或，【详解】分两种情况：①当时，，此时，点的坐标是，为等腰直角三角形，点为线段上任意一点，点的横坐标为，线段上任意一点可表示为，；②当时，，\222a a a-=-3a \=+3a =3DE \=A (3,3)-B x OAB D (O AB (3,)y -(6y -)(03)y y ……AB OB ^90ABO Ð=°AB OB =B (3,0)-ABO \D P AB P \3-AB (3-)(03)y y ……AB OA ^90OAB Ð=°此时，为等腰直角三角形，点的坐标是，设直线的解析式为，将点，代入，得到，，解得：，，直线的解析式为：，线段上任意一点可表示为，；综上：当，线段上任意一点可表示为，；当，线段上任意一点可表示为，13．（2021•江干区二模）如图，的弦、相交于点，为弧的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，的半径为，，则 ．【详解】连接、、，与交于点，如图，AB OA =OAB D B (6,0)-AB (0)y kx b k =+¹A (3,3)-(6,0)B -y kx b =+33k b -=-+60k b -+=1k =6b =\AB 6y x =+\AB (6y -)(03)y y ……90ABO Ð=AB (3,)y -(03)y ……90OAB Ð=°AB (6,)y y -(03)y ……O e AB CD E C AB D O e AB F AC //AC DF O e 25635BE AE =CE =OC OA OD OC AF H为弧的中点，，，，，是切线，，，，，，，，，设，则，，，，，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，即，解得，C Q AB OC AB \^AH BH =//AC DF Q ACD CDF \Ð=ÐOD Q OD DF \^90ODF \Ð=°90ODC CDF \Ð+Ð=°OC OD =Q OCD ODC \Ð=Ð90OCE CEA OCE FED Ð+Ð=Ð+Ð=°Q CDF DEF ACD AEC \Ð=Ð=Ð=ÐAC AE \=5AE l =3BE l =5AC l \=8AB l =4AH l \=HE l =Rt ACH D 3CH l =2536OH OC CH l \=-=-Rt HCE D 222222910CE HC HE l l l =+=+=CE \=Rt HOA D 222OA AH OH =+2222525()(4)(3)66l l =+-1l =14．（2021•富阳区二模）如图，在中，，分别为的切线，点和点为切线点，线段经过圆心且与相交于、两点，若，，则的长为 ．【答案】【详解】如图，连接，设的半径为，则，在中，，，，，，，，，，，，，在中，，，．15．（2021•拱墅区二模）如图，在正方形中，以为边向形内作等边三角形，连接，点和在边上，连接，，分别交，于点，，连接，则 ，CE \==ABC D BA BC O e E C AC O O e D C 3tan 4A =2AD =BO OE O e 3x 3OE OD OC x ===Rt AOE D 3tan 4A =\34OE AE =\334x AE =4AE x \=5AO x \===2AD =Q 32AO OD AD x \=+=+325x x \+=1x \=325OA x \=+=33OE OD OC x ====538AC OA OC \=+=+=Rt ABC D tan BC A AC =3tan 864BC AC A \=×=´=OB \===ABCD CD CDG AG E F CD AE BF DG CG M N MN AGD Ð=若，则　　．【答案】【详解】四边形是正方形，，，是等边三角形，，，，，，过点作于点，交于点，过点作于点，设，是等边三角形，，，，，，，在和中，15DAE CBF Ð=Ð=°MN CD =75°Q ABCD 90ADC \Ð=°AD CD BA ==CDG D Q GD CD \=60GDC DGC Ð=Ð=°AD GD \=30ADG Ð=°75AGD DAG \Ð=Ð=°G PQ CD ^P AB Q A AH GD ^H DP CP x ==CDG D Q PG \=2CD AD DG PQ x ====30DGP Ð=°2GQ x \=75AGD DAG Ð=Ð=°Q 75AGQ AGH \Ð=Ð=°AGQ D AGH D，，，，，，，，同理，是等边三角形，，是等边三角形，，．16．（2021•滨江区二模）如图，在菱形中，点在边上，，且，则 ．【详解】设与交于点，过点作交于点，四边形为菱形，，，，，90AQG AHG AGQ AGHAG AG Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î()AGQ AGH AAS \D @D AH AQ DP x \===2GH GQ x ==-153045AMG DAE ADG Ð=Ð+Ð=°+°=°Q AH GD ^HM AH x \==3GM x \=-3GN x =-CDG D Q 60DGC \Ð=°GMN \D 3MN GM x \==\MN CD ==ABCD G CD DAG DBC Ð=Ð:2:3DG CG =sin ABC Ð=AG BD E G GF AD ^AD F Q ABCD ABC ADG \Ð=ÐAB AD CD BC \===//AB CD //AD BC，，设，，，，设，，，，，，，，，，，四边形为菱形，平分，，，，，，，，，ABE GDE \D D ∽Q AB AE BE DG GE DE==2DG x =:2:3DG CG =Q 3CG x \=5AB AD CD BC x \====AE y =//AD BC Q ADB DBC \Ð=ÐDAG DBC Ð=ÐQ ADB DAG \Ð=ÐAE DE \=DE AE y \==\52x y BE x EG y==52BE y \=25GE y =75AG y \=Q ABCD BD \ADG Ð2ADG ADB \Ð=Ð2DEG ADB DAG ADB Ð=Ð+Ð=ÐQ ADG DEG \Ð=ÐAGD DGE Ð=ÐQ ADG DEG \D D ∽\AG AD DG DE=\7552y x x y=22507y x \=设，则，，，，，，解法二：过点作于，设交于，连接交于．四边形是菱形，，，，，，设．菱形的边长为，，，，，，，，，，，AF t =5DF x t =-22222FG AG AF DG DF =-=-Q 22227()(2)(5)5y t x x t \-=--72t x \=73522DF x x x \=-=FG \==sin \ÐA AF BC ^F AG BD E AC BD O Q ABCD AB BC CD AD \===ADB BDC ABD CBD Ð=Ð=Ð=ÐDAG CBD Ð=ÐQ DAE ADE \Ð=ÐAE ED \=AE ED x ==a //AB DG Q :2:3DG GC =CD AB =\25DG DE AB EB ==52BE x \=72BD x =EAD EDA CBD CDB Ð=Ð=Ð=ÐQ AED BCD \D D ∽\AE AD BC BD =\72x a a x =，，，，，，，．17．（2021•余杭区二模）如图，在矩形纸片中，，点、分别是和的中点，为上的一点，现将沿折叠，使点落在直线上的点．当为等腰三角形时， ．【答案】1【详解】①，作，a \=74OB OD x ==Q 34OE OD DE x \=-=OA x \===2AC AO \==Q 12BC AF ××AF x \==sin AF ABC AB \Ð===ABCD 1AB =E F AB CD H BC ABH D AH B EF G ADG D AD =AG DG =GI AD ^为中点，，点、分别是和的中点，，在矩形中，，即，四边形为矩形，，由沿折叠而成，，，②，，③，，设，，连接，，，化简得，I \AD 2AD AI =Q E FAB CD 1AB =\ABCD ////EF AD BC 90DAE AEF EFD ADF Ð=Ð=Ð=Ð=°AEFD 1122IGAE AB \===ADG D Q ABH D AH 1AG AB \==AI\===2AD AI \==AD AG =1AD AG AB \===AD DG =EG ===AD DG x ==FG x \=-DG 222DG DF =Q 221(4x x \=+10-=解得，18．（2021•西湖区校级二模）正方形沿着，将，翻折，使，两点恰好落在点、过点作，交于点．若，则　　．【答案】【详解】设正方形的边长为2，则，，由折叠的性质得：，，，，，，，，设，则，，在中，由勾股定理得：，解得：，，，，，，，x =AD \=ABCD BE BF BC AB A C P P //MN BC BF Q 12QP BC =FQ QB =23ABCD 2BC CD AD AB ====112QP BC \==PE CE =AF PF =AFB PFB Ð=Ð//MN AD Q AFB PQF \Ð=ÐPFB PQF \Ð=Ð1AF PF PQ \===1DF AD AF \=-=CE a =2DE a =-1EF a =+Rt DEF D 2221(2)(1)a a +-=+23a =23PE \=43DE =53EF =//MN AD Q NEP DEF \D D ∽\NE PE DE FE=即，解得：，，，，19．（2021•萧山区二模）如图，点是平行四边形边上一点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在的角平分线上，若，，，则 ， ．【答案】1【详解】如图，过点作于点，四边形是平行四边形，，，，，，，是的角平分线，234533NE =815NE =2863155BM CN CE NE \==+=+=45AM AB BM \=-=//MN AD Q \23FQ AM BQ BM ==E ABCD AB ADE D DE A F ABC ÐBG 3AB =2AD =120ABC Ð=°DG =BE =2-F FH AB ^H Q ABCD 3AB DC \==2AD BC ==//AD BC 120ABC Ð=°Q 60A \Ð=°60C A \Ð=Ð=°BG Q ABC Ð，是等边三角形，，，延长交的延长线于，设，则，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，解得，．20．（2021•萧山区模拟）如图，点是等边边上一点，将等边折叠，使点与点重合，折痕为（点在边上）．（1）当点为的中点时，　　；（2）当点为的三等分点时， ．1602CBG GBA ABC \Ð=Ð=Ð=°BCG \D 2CG BC \==321DG DC CG \=-=-=AD BG H 2AE EF a ==32BE x =-60A BAG Ð=Ð=°Q ABH \D 3AB BH AH \===1DH =HFE HFD DFE FEB EBF Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ 60DEF EBF Ð=Ð=°DFH FEB \Ð=ÐH EBF Ð=ÐQ DFH FEB \D D ∽\DF FH DH EF EB FB==::2DF DH EF BF \==BF x \=\32322x x x-=-x =322BE x \=-=-D ABC D BC ABC D A D EF E AB D BC :AE EB =D BC :AE EB =【答案】；或【详解】（1）如图，连接，为的中点，为等边三角形，折叠，，，，，为等边三角形，，即（2）当时，设，，，为等边三角形，，，，，，，，，，1:17:57:8AD D Q BC ABC D AD BC \^11603022DAB DAC BAC Ð=Ð=Ð=´°=°60B Ð=°903060EDB B \Ð=°-°=°=ÐBED \D AE ED BE \==:1:1AE EB =:1:2DC BD =CD k =2BD k =3AB AC k \==ABC D Q 60EDF A \Ð=Ð=°120EDB FDC BED EDB \Ð+Ð=Ð+Ð=°BED FDC \Ð=Ð60B C Ð=Ð=°Q BED CDF \D D ∽\BE BED DC CDF D =D 的周长的周长\54BE k k k=54BE k \=57344AE k k k =-=，当时，设，，同上一种情况得：，，，，21．（2021•虹口区二模）如图，正方形的边长为4，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交正方形一边于点．当时，的长为 ．【答案】2或【详解】如图1中，当时，连接交于．，，四边形是平行四边形，:7:5AE BE \=:2:1DC BD =2CDk =BD k=BE BED CD CDF D =D 的周长的周长\425BE k k k=85BE k \=87355AE k k k =-=:7:8AE BE \=ABCD M DC BCM D BM C C ¢DC ¢ABCD N BN DM =CM 8-BN DM =CC ¢BM J BN DM =Q //BN DM \BNDM，，，由折叠知，，，，，．如图2中，当时，过点作于．，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，//BM DN \BMC NDM \Ð=ÐBMC DC M Т=ТMC MC ¢=BMC BMC Ð=ТNDM DC M \Ð=ТMC MD \¢=122CM DM CD \===BN DM =C ¢C T CD ¢^T CB CD =Q BN DM =CN CM MC \==¢BCM D DCN D CB CD BCM DCN CM CN =ìïÐ=Ðíï=î()BCM DCN SAS \D @D CDN CBM \Ð=Ð90CBM BCC Ð+Т=°Q 90BCC C CD Т+Т=°CBM C CD \Ð=ТC CD DCN \Т=ÐC D C C \¢=¢C T CD ¢^Q 2DT TC \==//C T CN ¢Q DC C N \¢=¢12C T CN \¢=设，则，，，，综上所述，的值为2或．22．（2021•萧山区模拟）如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上点处，再将右侧余下部分折叠，使与能在直线重合，折痕为．若，则的值为 ．【详解】连接，由折叠，得：，，，，，，是矩形，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，C T x ¢=2CN CM MC x ==¢=TM =22x \=4x \=-8CM \=-CM 8-ABCD EF B AD H HD HF HG ::1:2:3AE HF GC =AB BCBE BF FH =AE A E =¢AB A H =¢90A A Ð=Т=°EH BE =BFE HFE Ð=ÐABCD Q //AD BC \BFE FEH \Ð=ÐFEH HFE \Ð=ÐEH FH \=EH BF \=\BEHF EH FH =Q \BEHF BE HF \=，，，，，，是等边三角形，，，，由折叠知：，是等边三角形，且，，，，，，在中，，．23．（2021•西湖区校级二模）如图，点为半圆的中点，是直径，点是半圆上一点，、交于点，若，，则 ， ．::1:2:3AE HF GC =Q:1:2AE BE \=1sin 2ABE \Ð=30ABE \Ð=°60EBF EHF \Ð=°=ÐFH EH =Q EFH \D EF HF \=//BE HF Q 60HFG EBF \Ð=Ð=°60DHG FHG Ð=Ð=°FHG \D ()EFH HFG AAS D @D BE FH FG BF \===:1:2AE BE =Q :1:4AE BG \=:1:3AE GC =Q :1:7AE BC \=Rt ABE D tan tan 60AB AEB AE =Ð=°=AB \=\AB BC ==C AB D AC BD E 1AD =7BD =AC =CD =【答案】5，【详解】连接，是直径，，在中，，，，点为半圆的中点，，，又，，，，，，，，，，，，BC ABQ 90ADB ACB \Ð=Ð=°Rt ADB D 1AD =Q 7BD =AB \==Q C 45CAB \Ð=°cos 455AC AB \=°´=DEA CEB Ð=ÐQ BEC AED \D D ∽\5CE BE BC DE AE AD===5CE DE \=75(5)DE CE \-=-34DE \=154CE =DCA DBA Ð=ÐQ CED BEA Ð=ÐDEC AEB \D D ∽\DE CD EA AB=\DE AB CD AE ×===24．（2021•萧山区二模）如图，在矩形中，，且，，分别是线段，边上的点，且，于点．（1）当点与点重合时， ；（2）当点在线段上时，设线段长为，长为，长为，则 （用含有，的代数式表达）．，．【详解】（1）如图：矩形，，在中，，，，于点，点与点重合，，在中，，，，，，ABCD 1AB =30ACB Ð=°F EAC DC 120BFE Ð=°BH AC ^H F H EF =F HC AF a BF b EF c c =a b(2)c b a =-Q ABCD 90ABC \Ð=°Rt ABC D 30ACB Ð=°1AB =tan 30AB BC \==°BH AC ^Q H F H 90BHC \Ð=°Rt HBC D 30ACB Ð=°BC =3cos302CH BC \=×°=120BFE Ð=°Q 90BHC Ð=°，，，在中，，，（2）过作于，如图：矩形中，，且，，，中，，，，，，，，，，，，，，，即，，30CFE BFE BHC \Ð=Ð-Ð=°CFE ABC \Ð=Ð18090FEC BCD \Ð=°-Ð=°Rt FEC D 30CFE Ð=°32CH =cos30EF CH \=×°=F FG CD ^G Q ABCD 1AB =30ACB Ð=°2AC \=BC AD ==Rt BCH D 12BH BC ==FG CD ^Q ////FG BC AD \180GFB FBC \Ð+Ð=°FG CF AD AC =\22a -=)FG a \=-120BFE Ð=°Q 60GFE FBC \Ð+Ð=°30ABC Ð=°Q BH AC ^60HBF FBC \Ð+Ð=°HBF GFE \Ð=Ðcos cos HBF GFE \Ð=ÐBH FG BF EF=\=25．（2021•拱墅区二模）如图，点是的内心，的延长线交的外接圆于点，交于点，设，则 ．（用含的代数式表示）【答案】【详解】过作交于，连接，，点是的内心，，，，在和中，，，，，，，，(2)c b a \=-O ABC D AO ABC D D BC E AB AC a BC +=OE DE =a 1a -O //OF BD AB F BD AOF ADB ACE \Ð=Ð=ÐQ O ABC D FAO EAC \Ð=Ð180180AFO FAO AOF EAC ACE AEC \Ð=°-Ð-Ð=°-Ð-Ð=ÐBFO BEO \Ð=ÐFBO D EBO D BFO BEO FBO EBO BO BO Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()FBO EBO AAS \D @D OF OE \=BF BE =OBD OBE CBD ABO CAD Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ OBD ABO BAO BOD Ð=Ð+Ð=ÐOD BD \=，，，，，，，，，，，，．26．（2021•下城区校级二模）如图，在等腰三角形中，，．点，点在上，点，点在上．且满足，，则 ，连接，若，则 ．【答案】6，【详解】取中点，中点，连接，\OE OF AF OD BD AB ==\QE AF OD OE AB AF =--\QE AF AF ED BF BE==BAE OAE Ð=ÐQ \AB AC BE EC =\AB AC AB AC BE EC BE EC +==+\AB AC AB AC BC BE EC+==Q AB AC a BC+=\AB a BE=\BF AF a BE +=BF BE =Q \1AF a BE =-\1OE a ED=-ABC 5AB AC ==6BC =D F AB E G AC AD AE BF CG ===AF AE >DE FG +=EF EF =AD =54AB H AC K HK为三角形中位线，，，，，是梯形的中位线，．作于点，于点，则，设，则，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：HK \ABC 132HK BC \==AD AE BF CG ===Q AH AK HB KC ===DH EK HF KG \===HK \DEGF 26DE FG HK \+==AQ BC ^Q EP FG ^P 3BQ CQ ==AD AE BF CG x ====52EG AF x ==-FG BC =Q AB AC =\AF AG AB AC=A A Ð=ÐQ AFG ABC \D D ∽AGF C \Ð=Ð\AF FG AB BC=3065AF BC x FG AB ×-\==Rt ACQ D，，，，，，在中，，即，解得，．27．（2021•上城区二模）正方形中，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点落在正方形内，延长交边于点，若点为边的三等分点，则 ．【答案】1或【详解】四边形是正方形，，，设，分两种情况：①时，连接，如图1所示：则，，由折叠的性质得：，，，，，在和中，，，，4AQ ==4sin sin 5AQ EP AGF C AC EG \Ð=Ð===cos cos CQ PG AGF C AC EG Ð=Ð==4(52)5EP x \=-3(52)5GP x =-3FP FG GP =-=\Rt EFP D 222FP EP EF +=2243[(52)]135x +-=54x =54AD \=ABCD E AD ABE D BE A F ABCD EF CD G G CD AE ED =14Q ABCD 90A C D \Ð=Ð=Ð=°AB BC CD AD ===3BC CD AD a ===2DG CG =BG 2DG a =CG a =FE AE =90EFB A Ð=Ð=°FB AB =90BFG C \Ð=°=ÐBF BC =Rt BFG D Rt BCG D BG BG BF BC =ìí=îRt BFG Rt BCG(HL)\D @D FG CG a \==设，则，，在中，由勾股定理得：，解得：，，，，；②时，连接，如图2所示：同①得：，，设，则，，在中，由勾股定理得：，解得：，，，；综上所述，或AE FEx==3DE a x =-EG x a =+Rt DEG D 222(3)(2)()a x a x a -+=+32x a =32AE a \=32DE a =AE DE \=\1AE ED=2CG DG =BG Rt BFG Rt BCG(HL)D @D 2FG CG aa \==AE FE x ==3DE a x =-2EG x a =+Rt DEG D 222(3)(2)a x a x a -+=+35x a =35AE a \=125DE a =\3151245a AE ED a ==1AE ED =1428．（2021•西湖区二模）如图，把长方形纸片折叠后，使点落在的中点处，折痕，若，，则 ， ．【答案】【详解】把长方形纸片折叠后，使点落在的中点处，，，，，，，，如图，过点作于，且四边形是矩形，，，，且，，且，ABCD A DC A ¢FG 4AB cm =6AD cm =AF =cm FG =cm 103Q ABCD A DC A ¢AA GF ¢\^AF A F¢=2DA AC cm ¢¢==222A F DF A D ¢¢=+Q 22(6)4AF AF \=-+103AF \=6AD cm =Q 2DA cm ¢=AA ¢\===G GM AD ^M 90A B Ð=Ð=°\ABGM 4AB MG cm \==90AMG Ð=°90AFG FGM \Ð+Ð=°90FAA AFG ¢Ð+Ð=°FAA FGM ¢\Ð=Ð90D GMF Ð=Ð=°ADA GMF¢\D D ∽\AA AD FG MG ¢=\64=29．（2020•太仓市二模）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处．若，，则的长为 ．【答案】3【详解】四边形是矩形，，，，由翻折可知，，，，，设，在中，，，解得，30．（2021•江干区模拟）已知，在射线上取一点，在射线上取一点，连接，再作点关于直线的对称点，连接，，得到如下图形．移动点，当时， ；当时，的度数是 ．【答案】；或【详解】①如图1中，设交于点．FG \=ABCD AB AC AE B F 6AB =8AD =EF Q ABCD 8AD BC \==90B Ð=°10AC \===6AB AF ==BE CF =90AFE B Ð=Ð=°1064CF AC AF \=-=-=90EFC Ð=°EF BE x ==Rt EFC D 222EF CF EC +=2224(8)x x \+=-3x =3EF \=90MAN Ð=°AM B AN C BC A BC D AD BD C AD BC =ABD Ð=2AD BC =ABDÐ90°30°150°AD BC O，关于对称，，，，，，，，，，，，，，，，．②分两种情况：如图，当时，取的中点，连接，，A Q D BC OA OD \=AD BC ^90MAN AOC AOB Ð=Ð=Ð=°Q 90CAO OAB \Ð+Ð=°90CAO ACO Ð+Ð=°ACO OAB \Ð=ÐAOC BOA \D D ∽2OA OB OC \=×AD BC =Q 21()()2BC OC BC OC \=×-22440BC OC BC OC \-×+=2(2)0BC OC \-=2BC OC \=OB OC OA \==45ABO OCD \Ð=Ð=°90ABD \Ð=°AB AC >BC E AE DE则，即，又，，是等边三角形，，又垂直平分，，又，，；如图，当时，同理可得，又，12AE DE BC ==22BC AE DE ==2BC AD =Q AD AE DE \==ADE \D 60AED \Ð=°BC Q AD 30AEC \Ð=°BE AE =Q 1152ABC AEC \Ð=Ð=°230ABD ABC \Ð=Ð=°AB AC <30ACD Ð=°90BAC BDC Ð=Ð=°Q 150ABD \Ð=°。