有理数和无理数的定义及分类

有理数与无理数的性质有理数和无理数是数学中常见的两种数，它们都属于实数的范畴。

本文将详细介绍有理数与无理数的性质，包括定义、性质以及它们在数轴上的表示方法。

一、有理数的定义和性质有理数是可以表达为两个整数的比值形式的数，这两个整数分别为分子和分母。

有理数的定义如下：定义：如果一个数a可以表示为两个整数p、q（q ≠ 0）的比值，即a = p/q，那么a就是一个有理数。

有理数的性质包括：1. 有理数的加法性质：两个有理数的和仍然是有理数。

即若a和b 是有理数，则a + b也是有理数。

2. 有理数的乘法性质：两个有理数的积仍然是有理数。

即若a和b 是有理数，则a × b也是有理数。

3. 有理数的整除性质：若a和b是有理数，并且b ≠ 0，则a/b也是有理数。

4. 有理数的闭包性质：在有理数集合中，任意两个有理数的四则运算结果仍然是有理数。

二、无理数的定义和性质无理数是指不能表示为两个整数的比值形式的数，即无理数无法用有限的小数表示，并且它的小数部分不会重复。

无理数的定义如下：定义：若一个数a不是有理数，那么a就是一个无理数。

无理数的性质包括：1. 无理数的加法性质：两个无理数的和不一定是无理数。

例如，√2和-√2是无理数，但它们的和为0，是一个有理数。

2. 无理数的乘法性质：两个无理数的积不一定是无理数。

例如，√2和√3的乘积√6是无理数。

3. 无理数的闭包性质：在无理数集合中，任意两个无理数的四则运算结果仍然是无理数。

三、有理数与无理数的数轴表示在数轴上，有理数和无理数均可以表示出来。

有理数在数轴上以点的形式表示，例如整数点、分数点等。

有理数的数轴表示是整齐分布的，可以形成一个稠密的数轴。

无理数在数轴上的表示方式是通过长度来描述，例如π和√2等。

无理数在数轴上的表示是不规则的，无法用有限的小数表示，并且不同的无理数之间没有规律可循。

结语：有理数和无理数是实数中的两种重要类型。

有理数通过整数比值的形式来表达，而无理数则是无法用有限的小数表示的，并且小数部分不会重复。

有理数与无理数是数学中两种基本的数类型，它们在性质和运算上有很大的区别。

了解有理数与无理数的概念、性质和运算规则，对于学习高等数学和其他数学分支具有重要意义。

一、有理数1. 定义：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，即形如a/b（a、b为整数，且b≠0）的数。

有理数包括正整数、负整数、零和分数。

2. 性质：（1）加减法：两个有理数相加或相减，结果仍为有理数。

（2）乘除法：两个有理数相乘或相除，结果仍为有理数。

（3）倒数：一个非零有理数的倒数仍为有理数。

（4）绝对值：一个有理数的绝对值仍为有理数。

（5）有理数的四则运算满足交换律、结合律和分配律。

3. 运算规则：（1）加法：同号相加，异号相减，结果的符号与绝对值大的数相同；零与任何数相加，结果仍为零。

（2）减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（3）乘法：分配律、交换律和结合律。

（4）除法：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数；零除以任何非零数，结果仍为零。

二、无理数1. 定义：无理数是不能表示为两个整数的比值的实数，即不能表示为有限小数或无限循环小数的实数。

无理数包括圆周率π、2的平方根等。

2. 性质：（1）无理数不能表示为两个整数的比值，即不能表示为分数形式。

（2）无理数不能表示为有限小数或无限循环小数。

（3）无理数的长度无法用有限的数字表示。

（4）无理数的四则运算结果仍为无理数。

3. 运算规则：（1）加法和减法：无理数的加法和减法遵循有理数的加法和减法规则，但结果可能是无理数。

（2）乘法和除法：无理数的乘法和除法遵循有理数的乘法和除法规则，但结果可能是无理数。

（3）无理数之间不能进行比较大小的关系，因为它们的长度无法用有限的数字表示。

三、有理数与无理数的关系1. 有理数是无理数的一部分，但不是全部。

因为无理数还包括那些无法用有理数表示的实数，如√2等。

2. 有理数与无理数统称为实数。

实数是数学中最基本的概念之一，它包括了所有的有理数和无理数。

有理数,无理数,实数的区别
实数（R）可以分为有理数（Q）和无理数，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就是有限小数和无限循环小数；其中有理数又可以分为整数（Z）和分数；整数按照能否被2整除又可以分为奇数（不能被2整除的整数）和偶数（能被2整除的整数）。

1
1、性质不同
有理数：有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。

因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

实数：实数是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

2、所属不同
有理数：有理数属于实数，有理数包括正整数、0、负整数，又包括正整数和正分数，负整数和负分数。

实数：实属包括有理数，实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。

2
1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3、互为相反数的两数相加得0。

4、一个数同0相加仍得这个数。

5、互为相反数的两个数，可以先相加。

6、符号相同的数可以先相加。

7、分母相同的数可以先相加。

8、几个数相加能得整数的可以先相加。

有理数的概念和定义
1、概念：有理数指整数可以看作分母为1的分数。

正整数、0、负整数、正分数、负分数都可
以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

有理数的小数部分是有限或循环小数。

不是有理数的实数遂称为无理数。

2、定义：有理数是整数(正整数、0、负整数和
分数的统称，是整数和分数的集合，即有理数的小数部分为有限或无限循环小数。

有理数与之对应的是无理数(不是有理数的实数
遂称为无理数)，其小数部分是无限不循环的数。

有理数是"数与代数”领域中的重要内容之一，
在现实生活中也有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。

实 数考点一：实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。

正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数无理数的定义：无限不循环小数叫无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（3）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； 注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率π及一些含π的数是无理数．（3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；3、实数实数的概念：有理数和物理书统称为实数实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a． （3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。

与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

13=
，
4
15=．有限小数和无限循环小数都可以化为分数，都是有理数．
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪
⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数
分数负分数，或⎧⎧⎨
⎪⎩⎪
⎪
⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零
负整数负有理数负分数 活动3 无理数
议一议：是不是所有的数都是有理数呢？
将两个边长为1的小正方形，沿图中红线剪开，重新拼成一个大正方形，它的面积为2．
如果大正方形的边长为a ，那么a2＝2．a 是有理数吗？
事实上，a 不能写成分数形式m
n （m 、n
是整数，n ≠0），a 是无限不循环小数，它的值是1.414 213 562 373…． 无限不循环小数叫做无理数． 小学学过的圆周率π是无限不循环小数，它的值是3.141 592 653 589…，π是无理数．
此外，像0.101 001 000 1…、－0.101 001 000 1…这样的无限不循环小数也是无理数．
0.333，
3.303 003 000 3，
0.333，1.414 213 56 3.303 003 000 3，…
-3.141 592 6
0.333，1.414 213 56
-0.33，-3.141 592 6,。

【数学知识点】有理数和无理数的定义及分类有理数为整数和分数的统称，不是有理数的实数称为无理数。

接下来给大家分享有理数和无理数的定义及分类。

有理数是指整数(正整数、0、负整数)和分数的统称，有理数是整数和分数的集合。

正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。

因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

有理数a,b的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数，则称当a大于b或b小于a，记作a>b或b<a。

任何两个不相等的有理数都可以比较大小。

(一)按有理数的定义分类：(1)整数：整数就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。

整数包括正整数、0、负整数。

其中零和正整数统称自然数。

(2)分数：分数是一个整数a和一个正整数b的不等于整数的比。

分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。

(二)按有理数的性质分类:(1)正有理数：除了负数、0、无理数的数字都是正有理数。

正有理数还被分为正整数和正分数。

(2)0：0是介于-1和1之间的整数，是最小的自然数，也是有理数。

(3)负有理数：负有理数指小于0的有理数，就是小于零并能用小数表示的数。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e(其中后两者均为超越数)等。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。

简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率等。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

有理数定义及分类
有理数的定义
有理数是指两个整数的比。

有理数是整数和分数的集合。

整数也可看做是分母为一的分数。

有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。

有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。

一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。

有理数是实数的(稠密)子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。

有理数的分类
(一)按有理数的定义分类：
(1)整数：整数就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。

整数包括正整数、0、负整数。

其中零和正整数统称自然数。

(2)分数：分数是一个整数a和一个正整数b的不等于整数的比。

分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。

(二)按有理数的性质分类:
(1)正有理数：除了负数、0、无理数的数字都是正有理数。

正有理数还被分为正整数和正分数。

(2)0：0是介于-1和1之间的整数，是最小的自然数，也是有理
数。

(3)负有理数：负有理数指小于0的有理数，就是小于零并能用小
数表示的数。

•有理数的分类：
（1）按有理数的定义：
正整数
整数{ 零
负整数
有理数{
正分数
分数{
负分数
（2）按有理数的性质分类:
正整数
正数{
正分数
有理数{ 零
负整数
负数{
负分数。

什么是有理数？有理数分哪几类？难易度：★★★★关键词：有理数分类答案：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。

分类如下：有理数或有理数【举一反三】典例：把下列各数分别填入相应的括号里：5，，-0.3，28，，+8，-19，3.7，，0，-102，正整数集合；负分数集合；正有理数集合；整数集合思路导引：正整数和正分数都是正有理数，正分数的前面添上“-”号就是负分数，因小数和分数可以互化，因此小数也叫分数；正整数的前面添上“-”号就是负整数；0既不是正数也不是负数。

标准答案：正整数集合5，28，+8 ；负分数集合-0.3，；正有理数集合5，28，+8，3.7，；整数集合5， 28，，+8，-19， 0，-102，2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （―3，6）、B （―9，一3），以原点O 为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（ ）A ．（―1，2）B ．（―9，18）C ．（―9，18）或（9，―18）D ．（―1，2）或（1，―2）2．已知圆锥的侧面积为10πcm 2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为（ ） A ．100cmB ．10cmC ．10cmD ．10cm 3．用加减法解方程组437651x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②时，若要求消去y ，则应（ ）A ．32⨯+⨯①②B ．3-2⨯⨯①②C ．53⨯+⨯①②D ．5-3⨯⨯①②4．下列说法中，错误的是（ ）A ．两个全等三角形一定是相似形B ．两个等腰三角形一定相似C ．两个等边三角形一定相似D ．两个等腰直角三角形一定相似5．如图，在矩形ABCD 中，P 、R 分别是BC 和DC 上的点，E 、F 分别是AP 和RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动，而点R 不动时，下列结论正确的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增长B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长始终不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关6．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是（ ）A ．5{152xy x y =+=-B ．5{1+52x y x y =+=C ．5{2-5x y x y =+=D ．-5{2+5x y x y == 7．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是 （ ） A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差8．一、单选题在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差9．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ）A ．13x =-，21x =-B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．13x =-，21x =10．如图，直角坐标平面内有一点(2,4)P ，那么OP 与x 轴正半轴的夹角α的余切值为（ ）A ．2B ．12C ．5 D ．511．如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则BDAD的值为（ ）A ．1B ．22C ．2-1D ．2+112．在函数y ＝1xx -中，自变量x 的取值范围是( ) A ．x≥1B ．x≤1且x≠0C ．x≥0且x≠1D ．x≠0且x≠1二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在▱ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE=4：3，且BF=2，则DF=_____14．如图，AB 为⊙O 的弦，C 为弦AB 上一点，设AC ＝m ，BC ＝n(m ＞n)，将弦AB 绕圆心O 旋转一周，若线段BC 扫过的面积为(m 2﹣n 2)π，则mn＝______15．函数y ＝的自变量x 的取值范围是_____．16．分解因式: 22a b ab b -+=_________.17．小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐.小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1000条网络评价，统计如下： 评价条数 等级 餐厅 五星四星三星二星一星合计甲 538 210 96 129 27 1000 乙 460 187 154 169 30 1000 丙4863888113321000（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星.）小芸选择在________（填"甲”、“乙"或“丙”）餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大.18．如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是℃．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．20．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．求证：四边形OCED是矩形；若CE=1，DE=2，ABCD的面积是．21．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,求证：AC•CD=CP•BP；若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．22．（8分）如图，AC⊥BD，DE交AC于E，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：AC＝AE+BC．23．（8分）为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．抽查D厂家的零件为件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为；抽查C厂家的合格零件为件，并将图1补充完整；通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家；若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出（3）中两个厂家同时被选中的概率．24．（10分）某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为“A.非常了解”、“B.了解”、“C.基本了解”三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．这次调查的市民人数为________人，m＝________，n＝________；补全条形统计图；若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．25．（10分）某水果批发市场香蕉的价格如下表 购买香蕉数(千克) 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上 每千克的价格6元5元4元请问张强第一次,第二次分别购买香蕉多少千克?26．（12分）某超市预测某饮料会畅销、先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．第一批饮料进货单价多少元？若两次进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？27．（12分）计算：()11524532π-⎛⎫-︒--+ ⎪⎝⎭． 参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．D 【解析】 【详解】试题分析：方法一：∵△ABO 和△A′B′O 关于原点位似，∴△ ABO ∽△A′B′O 且OA'OA＝13 .∴A E AD '＝0E 0D ＝13.∴A′E ＝13AD ＝2，OE ＝13OD ＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A （―3，6）且相似比为13，∴点A 的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O 对称，∴A′′（1,―2）. 故答案选D.考点：位似变换. 2．C 【解析】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式可求得圆锥的母线长． 【详解】 设母线长为R ，则圆锥的侧面积=236360R π=10π， ∴R=10cm ， 故选C ． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握扇形面积是解题的关键. 3．C 【解析】 【分析】利用加减消元法53⨯+⨯①②消去y 即可． 【详解】用加减法解方程组437651x yx y+=⎧⎨-=-⎩①②时，若要求消去y，则应①×5+②×3，故选C【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．4．B【解析】【分析】根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案．【详解】解：A、两个全等的三角形一定相似，正确；B、两个等腰三角形一定相似，错误，等腰三角形的形状不一定相同；C、两个等边三角形一定相似；正确，等边三角形形状相同，只是大小不同；D、两个等腰直角三角形一定相似，正确，等腰直角三角形形状相同，只是大小不同.故选B．【点睛】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．特别注意，本题是选择错误的，一定要看清楚题．5．C【解析】试题分析：连接AR，根据勾股定理得出AR=22AD DR+的长不变，根据三角形的中位线定理得出EF=12AR，即可得出线段EF的长始终不变，故选C．考点：1、矩形性质，2、勾股定理，3、三角形的中位线6．A【解析】【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．【详解】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：515 2x yx y=+⎧⎪⎨=-⎪⎩．故选A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7．D【解析】【分析】根据方差反映数据的波动情况即可解答.【详解】由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差．故选D．【点睛】本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．8．C【解析】【分析】由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．【详解】由于总共有7个人，且他们的成绩各不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前3名，故应知道中位数的多少．故选C．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．9．C【解析】【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．10．B【解析】【分析】作PA ⊥x 轴于点A ，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．【详解】过P 作x 轴的垂线，交x 轴于点A ，∵P(2,4)，∴OA=2,AP=4，． ∴4tan 22AP OA α=== ∴1cot 2α=. 故选B ．【点睛】本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题关键是熟记三角函数的定义.11．C【解析】【分析】由DE ∥BC 可得出△ADE ∽△ABC ，利用相似三角形的性质结合S △ADE =S 四边形BCED，可得出2AD AB =，结合BD=AB ﹣AD 即可求出BD AD 的值． 【详解】∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴2ADE ABC S AD AB S ⎛⎫= ⎪⎝⎭V V ， ∵S △ADE =S 四边形BCED ，S △ABC =S △ADE +S 四边形BCED ，∴AD AB =，∴1BD AB AD AD AD -===， 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．12．C【解析】【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可．【详解】由题意得：x≥2且x ﹣2≠2．解得：x≥2且x≠2．故x 的取值范围是x≥2且x≠2．故选C ．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．143． 【解析】【详解】解：令AE=4x ，BE=3x ，∴AB=7x.∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=7x，CD∥AB，∴△BEF∽△DCF.∴3377 BF BE xDF CD x===，∴DF=14 3【点睛】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键.14．152 +【解析】【分析】先确定线段BC过的面积：圆环的面积，作辅助圆和弦心距OD，根据已知面积列等式可得：S=πOB2-πOC2=（m2-n2）π，则OB2-OC2=m2-n2，由勾股定理代入，并解一元二次方程可得结论．【详解】如图，连接OB、OC，以O为圆心，OC为半径画圆，则将弦AB绕圆心O旋转一周，线段BC扫过的面积为圆环的面积，即S=πOB2-πOC2=（m2-n2）π，OB2-OC2=m2-n2，∵AC=m，BC=n（m＞n），∴AM=m+n，过O作OD⊥AB于D，∴BD=AD=12AB=2m n+，CD=AC-AD=m-2m n+=2m n-，由勾股定理得：OB2-OC2=（BD2+OD2）-（CD2+OD2）=BD2-CD2=（BD+CD）（BD-CD）=mn，∴m2-n2=mn，m2-mn-n2=0，m=52n n ±，∵m＞0，n＞0，∴m=52n n +，∴15mn+=，故答案为15+．【点睛】此题主要考查了勾股定理，垂径定理，一元二次方程等知识，根据旋转的性质确定线段BC扫过的面积是解题的关键，是一道中等难度的题目．15．x≠﹣1【解析】【分析】根据分母不等于2列式计算即可得解．【详解】解：根据题意得x+1≠2，解得x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．【点睛】考查的知识点为：分式有意义，分母不为2．16．【解析】先提取公因式b，再利用完全平方公式进行二次分解．解答：解：a1b-1ab+b，=b（a1-1a+1），…（提取公因式）=b（a-1）1．…（完全平方公式）17．丙【解析】【分析】不低于四星，即四星与五星的和居多为符合题意的餐厅．【详解】不低于四星，即比较四星和五星的和，丙最多．故答案是：丙．【点睛】考查了可能性的大小和统计表．解题的关键是将问题转化为比较四星和五星的和的多少．18．11.【解析】试题解析：∵由折线统计图可知，周一的日温差=8℃+1℃=9℃；周二的日温差=7℃+1℃=8℃；周三的日温差=8℃+1℃=9℃；周四的日温差=9℃；周五的日温差=13℃﹣5℃=8℃；周六的日温差=15℃﹣71℃=8℃；周日的日温差=16℃﹣5℃=11℃，∴这7天中最大的日温差是11℃．考点：1.有理数大小比较；2.有理数的减法．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）、（2）证明见解析（3）28【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质，可直接证明△CBE≌△CDF，从而得出CE=CF；（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；（3）过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解；试题解析：（1）如图1，在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF，∴CE=CF；（2）如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG，∴GE=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD；（3）过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形．AE=AB-BE=12-4=8，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中，AE2+AD2=DE2，则82+（12-x）2=（4+x）2，解得：x=1．则DE=4+1=2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，解决本题的关键是注意每个题目之间的关系，正确作出辅助线．20．（1）证明见解析；（2）1．【解析】【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=1，BD=2OD=2，∴菱形ABCD的面积为：12AC•BD=12×1×2=1，故答案为1．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解题的关键.21．（1）证明见解析；（2）25 3.【解析】（2）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到BP ABCD CP=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BP AB CD CP=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BA BP BC BA=．∵AB=10，BC=12，∴101210BP=，∴BP=253．“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．22．见解析.【解析】【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEC，可得BC＝CE，即可得结论．【详解】证明：∵AB＝DE，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCE＝90°∴△ABC≌△DEC（SAS）∴BC＝CE，∵AC＝AE+CE∴AC＝AE+BC【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．23．（1）500， 90°；（2）380；（3）合格率排在前两名的是C、D两个厂家；（4）P（选中C、D）=16．【解析】试题分析：（1）计算出D厂的零件比例，则D厂的零件数=总数×所占比例，D厂家对应的圆心角为360°×所占比例；（2）C厂的零件数=总数×所占比例；（3）计算出各厂的合格率后，进一步比较得出答案即可；（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．试题解析：（1）D厂的零件比例=1-20%-20%-35%=25%，D厂的零件数=2000×25%=500件；D厂家对应的圆心角为360°×25%=90°；（2）C厂的零件数=2000×20%=400件，C厂的合格零件数=400×95%=380件，如图：（3）A厂家合格率=630÷（2000×35%）=90%，B厂家合格率=370÷（2000×20%）=92.5%，C厂家合格率=95%，D厂家合格率470÷500=94%，合格率排在前两名的是C、D两个厂家；（4）根据题意画树形图如下：共有12种情况，选中C、D的有2种，则P（选中C、D）=212=16．考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；3. 树状图法.24． (1)500，12，32；(2)补图见解析；(3)该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．【解析】【分析】（1）根据项目B的人数以及百分比，即可得到这次调查的市民人数，据此可得项目A，C 的百分比；（2）根据对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条形统计图；（3）根据全市总人数乘以A项目所占百分比，即可得到该市对“社会主义核心价值观”达到“A非常了解”的程度的人数．【详解】试题分析：试题解析：（1）280÷56%=500人，60÷500=12%，1﹣56%﹣12%=32%，（2）对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条形统计图如下：（3）100000×32%=32000（人）， 答：该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A ．非常了解”的程度． 25．第一次买14千克香蕉,第二次买36千克香蕉【解析】【分析】本题两个等量关系为：第一次买的千克数+第二次买的千克数=50；第一次出的钱数+第二次出的钱数=1．对张强买的香蕉的千克数，应分情况讨论：①当0＜x≤20，y≤40；②当0＜x≤20，y ＞40③当20＜x ＜3时，则3＜y ＜2．【详解】设张强第一次购买香蕉xkg ，第二次购买香蕉ykg ，由题意可得0＜x ＜3．则①当0＜x≤20，y≤40，则题意可得5065264x y x y +⎧⎨+⎩＝＝． 解得1436x y ⎧⎨⎩＝＝． ②当0＜x≤20，y ＞40时，由题意可得5064264x y x y +⎧⎨+⎩＝＝． 解得3218x y ⎧⎨⎩＝＝．（不合题意，舍去） ③当20＜x ＜3时，则3＜y ＜2，此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y ）=5×50=30＜1（不合题意，舍去）；④当20＜x≤40 y ＞40时，总质量将大于60kg ，不符合题意，答：张强第一次购买香蕉14kg ，第二次购买香蕉36kg ．【点睛】本题主要考查学生分类讨论的思想．找到两个基本的等量关系后，应根据讨论的千克数找到相应的价格进行作答．26． (1)4元/瓶．(2) 销售单价至少为1元/瓶．【解析】【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，根据数量＝总价÷单价结合第二批购进饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）由数量＝总价÷单价可得出第一、二批购进饮料的数量，设销售单价为y元/瓶，根据利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价结合获利不少于2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【详解】（1）设第一批饮料进货单价为x元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，依题意，得：81002x＝3×1800x，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．答：第一批饮料进货单价是4元/瓶；（2）由（1）可知：第一批购进该种饮料450瓶，第二批购进该种饮料1350瓶．设销售单价为y元/瓶，依题意，得：（450+1350）y﹣1800﹣8100≥2100，解得：y≥1．答：销售单价至少为1元/瓶．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．27．1【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，零次幂的性质，负整指数幂的性质、绝对值的性质，进行实数的混合运算即可.【详解】()101532π-⎛⎫-︒--+ ⎪⎝⎭ =1+1-3+2=1。

有理数知识点一、关键信息项1、有理数的定义：整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

2、有理数的分类：按定义分类：分为整数和分数。

按性质分类：分为正有理数、0、负有理数。

3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

4、相反数：绝对值相等，符号相反的两个数。

5、绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离。

6、有理数的大小比较：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。

两个负数，绝对值大的反而小。

7、有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数同 0 相加，仍得这个数。

8、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

9、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同 0 相乘，都得 0。

10、有理数的除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。

11、乘方：求 n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方。

12、科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 a×10^n 的形式（其中a 大于或等于 1 且小于 10，n 是正整数）。

二、详细内容11 有理数的定义有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。

整数可以看作是分母为 1 的分数。

例如，5 可以表示为 5/1，－3 可以表示为－3/1。

分数则是形如 m/n（m、n 为整数，且 n 不等于 0）的数，例如1/2、－3/4 等。

111 有理数与无理数的区别无理数是不能表示为两个整数之比的数，例如圆周率π、根号2 等。

有理数和无理数共同构成了实数集合。

12 有理数的分类121 按定义分类整数：包括正整数、0、负整数。

正整数如 1、2、3 等；负整数如－1、－2、－3 等。

分数：包括正分数和负分数。

实数、有理数、无理数的分类实数可以分成两类：有理数和无理数。

实数也可以按照符号正负分成三类：正实数、负实数、0.有理数和无理数的本质区别在于：有理数与两个整数之比等价，而无理数则与一个无限不循环小数等价。

一、常见的有理数类型（一）有理数的分类法一、常见的有理数类型有如下几种。

1.整数：所有的整数都是有理数。

2.小数：小数里的有限小数、无限循环小数都是有理数。

3.分数：因为所有的分数不是与一个有限小数等价，就是与一个无限循环小数等价。

即，分数化成小数的结果不是一个有限小数，就是一个无限循环小数。

而这两种类型的小数都是有理数，所以，所有的分数都是有理数。

值得注意的是，在所有根式中，如果根式开方后的结果能化为上面几种常见有理数的形式中的一种的话，那么这个根式代表的实数也是有理数。

如：因为8的立方根等于2，-64的立方根等于-4，所以8和-64的立方根都是有理数。

（二）有理数的分类法二、按符号正负来分把“有理数的分类法一”里面的有理数按正负来分的话，有理数又能分为三类：正有理数、负有理数和0.二、常见的无理数类型（一）无理数的分类法一、常见的无理数类型有如下几种。

1.无限不循环小数：如圆周率π、自然对数的底数e 等。

2.根式中开方开不尽的数：如2的平方根、5的立方根、7的四次方根等。

一般来说，两个正无理数的和仍是无理数。

如π+e、2e（e+e=2e）、2π（π+π=2π）、“2倍的根号2”等。

两个正无理数的差、积、商不一定是无理数。

如π-e 的结果是无理数，但π-π=0、根号2的平方等于1、e÷e=1的算式结果都是有理数.（二）无理数的分类法二、按符号正负来分把“无理数的分类法一”里面的无理数按正负来分的话，无理数又能分为两类：正无理数、负有理数.三、图形表示1、有理数的两种分类方法（1）0⎧⎪⎨⎪⎩正有理数有理数负有理数（2）⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所有整数分数有理数开方能开尽的整数、分数和小数有限小数无限循环小数2、无理数的两种分类方法（1）⎧⎪⎨⎪⎩正无理数无理数负无理数（注意：0不是无理数）（2）⎧⎪⎨⎪⎩无限不循环小数无理数根式中开方开不尽的数①无限不循环小数如：π、e……。

有理数的概念和运算法则一、有理数的概念1.有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数比的数，包括正整数、负整数、0、正分数和负分数。

2.整数：正整数、负整数和0。

3.分数：正分数和负分数，分子和分母都是整数，且分母不为0。

4.真分数：分子小于分母的分数。

5.假分数：分子大于或等于分母的分数。

6.带分数：由一个整数和一个真分数组成的数。

二、有理数的运算法则1.加法法则：a.同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。

b.异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

c.0加任何数等于任何数。

d.任何数加0等于任何数。

2.减法法则：a.减去一个数等于加上这个数的相反数。

b.减法可以转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。

3.乘法法则：a.同号相乘，取相同符号，并把绝对值相乘。

b.异号相乘，取相反符号，并把绝对值相乘。

c.0乘任何数等于0。

d.任何数乘0等于0。

4.除法法则：a.同号相除，取相同符号，并把绝对值相除。

b.异号相除，取相反符号，并把绝对值相除。

c.除以0没有意义，除数不能为0。

5.乘方法则：a.正数的任何正整数次幂都是正数。

b.负数的任何正整数次幂都是负数。

c.正数的任何负整数次幂都是正数。

d.负数的任何负整数次幂都是正数。

e.0的任何正整数次幂都是0。

f.0的任何负整数次幂都没有意义。

三、有理数的混合运算1.运算顺序：a.先算乘方。

b.再算乘除。

c.最后算加减。

d.同级运算，从左到右依次进行。

e.如果有括号，先算括号里面的。

2.运算律：a.加法结合律：三个数相加，可以先算任意两个数的和，结果不变。

b.乘法结合律：三个数相乘，可以先算任意两个数的积，结果不变。

c.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，结果不变。

d.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，结果不变。

e.分配律：一个数乘以两个数的和，等于这个数分别乘以这两个加数，然后把乘积相加。

四、有理数的应用1.化简：将复杂的分数或带分数化为简化形式。

有理数与无理数知识点1 有理数整数和分数统称有理数.(有理数也叫可比数)整数： 正整数、零和负整数统称为整数。

()...2,1,0,1,2....--自然数：正整数和零。

()0,1,2,3.... 分数：正分数和负分数统称为分数。

40.3,0.31,......5••⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是有理数。

例：0.333……可以化为31 知识点2 有理数的分类1.按有理数的定义分类2.按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数负分数 负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数考点：有理数的分类例1 把下列各数填在相应的集合中：－7，3.5，－3.14，0，1713，0.03%，－314，10．自然数集合：{ …}；整数集合：{ …}；负数集合：{ …}；正分数集合：{ …}；正有理数集合：{ …}．知识点3 无理数无限不循环小数叫做无理数.常见的无理数有以下三种类型：（1）常数型无理数，如：π、e 等.（2）规律型无理数，如0.1010010001……（3）开方型无理数（八年级学习），如2、3、5等注意：（1）只有满足“无限”和“不循环”这两个条件，才是无理数.（2）圆周率π是无理数.（3）无理数与有理数的和差一定是无理数.（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数一定是无理数.例2下列各数中..3.14，12π，1.090 090 009…，227，0，3.1415是无理数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例3、把下列各数填在相应的大括号里．+8，+3 4 ，0.275，2，0，-1.04，22 7 ，-8，-100，-1 3 ，0.•3 ．（1）正整数集合{ …}（2）负整数集合{ …}（3）正分数集合{ …}（4）负分数集合{ …}．例4、把下列和数按要求分类．-4，10%，−11 2 ，-2.00，101，2 1 ，-1.5，0，0.1010010001…，0.6．负整数集合：{ …}正分数集合：{ …}负分数集合：{ …}整数集合：{ …}有理数集合：{ …}例5、如图、两个圈分别表示负数集和整数集，请你分别在A、B、C处分别填入3个数．例6、把下列各数填入表示它所在的数集的大括号内：。

初中数学有理数和无理数有什么区别
有理数和无理数是数学中两个重要的数集，它们之间有着明确的区别。

下面我将详细介绍有理数和无理数的定义、性质和区别。

1. 有理数：
有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分子和分母都是整数，且分母不为零。

有理数包括整数、有限小数和无限循环小数。

例如，1、2/3、-5、0.25和3.1416（无限循环小数）都是有理数。

性质：
-有理数的加法、减法、乘法和除法都是封闭的，即两个有理数之间进行运算仍然得到一个有理数。

-有理数可以用分数形式表示，且可以化简为最简分数。

-有理数可以进行精确计算，因为有理数的小数表示形式要么是有限的，要么是循环的。

2. 无理数：
无理数是不能表示为两个整数的比的数，或者说它们的小数部分是无限不循环的。

无理数包括根号2、π（圆周率）和e（自然对数的底数）等。

性质：
-无理数无法用分数形式表示，且不能被化简为有限小数或循环小数。

-无理数的小数表示是无限不循环的，没有重复的模式。

-无理数不能进行精确计算，因为它们的小数表示是无限的、不重复的。

区别：
-有理数可以表示为两个整数的比，而无理数不能。

-有理数的小数表示要么是有限的，要么是循环的，而无理数的小数表示是无限不循环的。

-有理数的运算是精确的，而无理数的运算只能进行近似计算。

在数学中，有理数和无理数都有重要的应用。

有理数广泛应用于计算、运算和实际问题的解决中，而无理数则在几何、物理和工程等领域中起着重要的作用。

希望以上内容能够帮助你深入理解有理数和无理数的定义、性质和区别。

无理数的性质及与有理数的比较在数学领域，有理数和无理数是两个重要的概念。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能用有限的小数或分数表示。

本文将探讨无理数的性质，并与有理数进行比较。

首先，无理数的定义是不能表示为有限小数或分数的数。

最著名的无理数是圆周率π，它的小数表示是无限不循环的。

这意味着π的小数部分永远不会重复。

类似地，根号2也是一个无理数，它不能表示为两个整数的比值。

无理数的这种特性使其在数学中具有重要的地位。

其次，无理数与有理数在数轴上的分布也有所不同。

有理数可以在数轴上找到一个精确的位置，而无理数则是无限不可数的。

这意味着在任何两个有理数之间，都存在无穷多个无理数。

例如，在数轴上的任意两个有理数之间，总能找到一个无理数。

这种无限性使得无理数在数学中具有广泛的应用。

此外，无理数还具有一些特殊的运算性质。

例如，无理数的加法、减法和乘法仍然是无理数。

这意味着两个无理数的和、差或积仍然是无理数。

然而，无理数的除法则可能是有理数。

例如，根号2除以根号2等于1，这是一个有理数。

这种运算性质使得无理数与有理数之间的关系更加复杂。

此外，无理数还具有一些有趣的性质。

例如，无理数的平方是无理数。

这意味着如果一个数是无理数，那么它的平方也是无理数。

这可以通过反证法证明。

假设一个数的平方是有理数，那么这个数本身就是有理数，这与无理数的定义相矛盾。

因此，无理数的平方必然是无理数。

最后，无理数与有理数之间存在一种特殊的关系，即无理数可以通过有理数的逼近来近似表示。

例如，我们可以用有理数来逼近根号2，使得它们的差尽可能地小。

这种逼近方法被广泛应用于实际问题的求解中。

通过有理数的逼近，我们可以获得无理数的近似值，从而更好地理解无理数的性质。

综上所述，无理数具有许多独特的性质，使其在数学中具有重要的地位。

与有理数相比，无理数在数轴上的分布更为广泛，运算性质更为复杂。

无理数的平方是无理数，但它们可以通过有理数的逼近来近似表示。

有理数无理数的概念及分类
1. 嘿，你知道啥是有理数不？有理数啊，就像一群乖乖听话的小朋友，能好好地表现出来哦！比如说 1、2、3 这些整数，还有像这样能清楚表示的小数，它们都是有理数呀！那无理数呢？哎呀呀，无理数就像个调皮的小精灵，像根号 2 这样，没办法准确地用一个有限的数字或小数表示出来呢，是不是很神奇啊？
2. 有理数和无理数，这可得好好讲讲呢！有理数像是我们生活中那些按部就班的事情，很好理解和把握，像 4 呀、- 呀，多清楚呀！可无理数呢，就像是突然出现的惊喜或者惊吓，让人捉摸不透，像圆周率π，你永远也写不完它，多有意思呀！
3. 哇塞，有理数无理数，这真的是数学世界里特别的存在呢！想想看，有理数不就是那些整整齐齐排着队的数字嘛，像5、10 这样的整数，多规矩呀。

但无理数可就不一样啦，它就像个特别的“独行侠”，比如根号 3，根本没法简单描述，多神秘呀！这两者的差别，你发现了吗？
4. 嘿呀，一定要搞清楚有理数和无理数哦！有理数就类似我们每天的日常行程，清晰明确，像-2、这些。

然而无理数呢，就像一场没有固定路线的冒险，像那个让人头疼又好奇的根号 5，是不是挺刺激的呢？
5. 想想啊，有理数像是家里的乖乖宝，很让人放心，像 6 呀、- 呀。

可无理数呢，绝对是那个让人又爱又恨的调皮鬼，像那个神秘莫测的自然对数 e，哇，真的太特别啦！你觉得有理数无理数哪个更有趣呢？
6. 哇哦，有理数和无理数的世界真奇妙啊！有理数仿佛就是一本明明白白的账本，像 8、这样一目了然。

但无理数呢，却像一部充满悬念的电影，比如那个总也搞不懂的黄金分割比，这样一对比，是不是感觉很不一样呀？直接来说吧，有理数和无理数都有它们独特的魅力呀！。

数学中数分类数学作为一门科学，以研究数量、结构、变化和空间等概念为基础。

在数学的研究过程中，数的分类是一个重要的概念。

本文将介绍数学中的数分类，包括自然数、整数、有理数、无理数和实数等。

一、自然数自然数是最基本的数的分类。

自然数是用于计数和排序的数。

自然数从1开始，依次向上递增，没有上界。

自然数的集合用符号“N”表示。

自然数包括正整数和零。

自然数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等基本运算。

在生活中，自然数经常被用来表示数量，比如计算商品的数量、统计人口数量等。

自然数也是代数学中的基础，许多数学定理和公式都是基于自然数的性质推导出来的。

二、整数整数是自然数的扩展。

整数包括正整数、负整数和零。

整数的集合用符号“Z”表示。

整数集合包括了自然数的所有数，并且增加了负数。

整数之间可以进行加法、减法和乘法等基本运算。

在实际生活中，整数经常用来表示债务、温度变化等有正负之分的概念。

在代数学中，整数也是运算的基础，比如求和、求积等。

三、有理数有理数是能够表示为两个整数的比值的数。

有理数包括整数和分数。

有理数的集合用符号“Q”表示。

有理数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等基本运算。

有理数在数学的运算和表示中具有重要的作用。

例如，在代数中，有理数能够用来表示方程的解；在几何中，有理数能够用来表示点的坐标。

四、无理数无理数是不能表示为两个整数的比值的数。

无理数包括无限不循环小数和根号的形式。

无理数的集合用符号“R-Q”表示。

无理数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等基本运算。

无理数在数学中的应用广泛。

例如，圆周率π就是一个无理数，它在几何中扮演着重要的角色；黄金分割比例φ也是无理数，它在美学和艺术中有很多应用。

五、实数实数是包括有理数和无理数的数的分类。

实数的集合用符号“R”表示。

实数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等基本运算。

实数是数学中最广泛应用的概念之一。

实数具有完备性和密度的性质，能够准确地表示数轴上的点。