积分的换元法与分部积分法

定积分换元法与分部法教案教案内容：一、引言定积分是微积分学中的重要概念之一，它被广泛应用于求解曲线下面积、求解平均值、求解弧长等问题。

而在计算定积分时，换元法与分部法是两种常用的方法。

本教案将详细介绍定积分中的换元法与分部法，并通过案例讲解它们的具体应用。

二、换元法换元法是通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式，从而更容易进行积分运算。

下面我们以一个简单的例子来说明换元法的基本思想和步骤。

例子1：计算∫(2x+1)^2 dx，其中被积函数为(2x+1)^2。

解：我们首先进行变量替换，令u=2x+1，那么x=(u-1)/2。

同时计算du/dx=2，可以得到dx=du/2。

将这些结果代入原式中得到：∫(2x+1)^2 dx = ∫u^2 (du/2) = 1/2 ∫u^2 du = 1/2 * (u^3/3) + C，其中C 为常数。

最后将u=(2x+1)带回，得到最终结果为1/6 (2x+1)^3 + C。

通过这个例子，我们可以总结出换元法的一般步骤和注意事项：1. 将被积函数中的一部分或全部替换成新的变量，构造一个合适的换元公式。

2. 计算新变量对应的微分形式，并将其代入原式中进行变换。

3. 进行简化和积分运算。

4. 将新变量转换回原变量，并得到最终结果。

三、分部法分部法（也称为积分法）是求解含有乘积形式的函数积分时常用的方法。

它基于积分的乘法法则，通过选取合适的被积函数和积分函数，将原积分问题转化为两个较简单的积分问题。

以下是分部法的一般步骤和一个案例来说明：步骤：1. 选取合适的被积函数和积分函数。

2. 计算分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du。

3. 通过代入具体值计算被积函数和积分函数的值，并将结果代入分部积分公式。

4. 对右侧的两个积分进行继续的分部积分，直到能够得到可直接求解的积分表达式。

例子2：计算∫x ln(x) dx。

解：我们选取被积函数u = ln(x) 和积分函数dv = x dx。

求积分的方法一、换元法。

换元法是求解不定积分中常用的一种方法。

当被积函数中含有较为复杂的函数时，可以通过引入新的变量来简化被积函数，从而更容易进行积分运算。

换元法的关键是选择合适的替换变量，通常要根据被积函数的形式和特点来选择。

例如，当被积函数中含有平方根、三角函数等形式时，可以尝试使用三角代换或者根式代换来简化被积函数，然后进行积分运算。

二、分部积分法。

分部积分法是求解不定积分中常用的另一种方法。

当被积函数是两个函数的乘积形式时，可以通过对被积函数进行分解，然后利用分部积分公式进行积分运算。

分部积分法的关键是选择合适的分解方式，通常要根据被积函数的形式和特点来选择。

例如，当被积函数中含有指数函数、三角函数等形式时，可以尝试使用指数函数、三角函数的导数和原函数之间的关系来进行分解，然后进行积分运算。

三、换限积分法。

换限积分法是求解定积分中常用的一种方法。

当被积函数的自变量的取值范围较为复杂时，可以通过引入新的变量来简化定积分的计算。

换限积分法的关键是选择合适的变量替换方式，通常要根据定积分的积分区间和被积函数的形式来选择。

例如，当定积分的积分区间为无穷大区间时，可以尝试使用新的变量替换无穷大，然后进行积分运算。

四、利用积分表。

在实际应用中，有些函数的积分可以通过积分表来直接查找得到。

积分表中包含了许多常见函数的不定积分和定积分的结果，可以直接利用积分表来求解一些特定函数的积分。

在使用积分表时，需要注意查找的函数形式和积分的范围，以确保得到正确的积分结果。

五、数值积分法。

当无法通过解析方法求解积分时，可以通过数值积分法来进行近似计算。

数值积分法通过将积分区间进行等分，然后利用数值计算方法对每个小区间进行积分运算，最后将各个小区间的积分结果相加得到整个积分的近似值。

常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等。

总结。

求解积分是数学中的一个重要问题，通过合理选择求积分的方法，可以更加高效地进行积分运算。

定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难 点：定积分换元条件的掌握 重 点：换元积分法与分部积分法由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法 定理 假设(1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续；(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数；(3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(βϕαϕ， 则有[]dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()()(． (1)本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(t x ϕ=应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1 计算⎰-211dx xx ． 解 令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=．当1=x 时，0=t ；当2=x 时，1=t ．于是⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅+=-102102211112211dt t tdt t t dx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-=-=412)arctan (210πt t ．例2 计算⎰-adx x a 022)0(>a ．解 令t a x sin =，则tdt a dx cos =．当0=x 时，0=t ；当a x =时，2π=t ．故⎰-adx x a 022dt t a t a ⎰⋅=20cos cos πdt t a )2cos 1(2202+=⎰π2022sin 212π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=t t a42aπ=．显然，这个定积分的值就是圆222a y x =+在第一象限那部分的面积(图5－8)．例3 计算⎰205sin cos πxdx x ．解法一 令x t cos =，则xdx dt sin -=． 当0=x 时，1=t ；当2π=x 时，0=t ，于是6161sin cos 01650125=-=-=⎰⎰t dt t xdx x π． 解法二 也可以不明显地写出新变量t ，这样定积分的上、下限也不要改变．即x d x xdx x cos cos sin cos 205205⎰⎰-=ππ61610cos 61206=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=πx ．此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．例4 计算dx x ⎰-π0sin 1．解dx x ⎰-πsin 1⎰-=π2cos 2sindx xx 注去绝对值时注意符号．=⎰⎰-+-πππ220)2cos 2(sin )2sin 2(cos dx xx dx x x=222(sin cos )2(cos sin )2222x x x xπππ+--=)12(4-．例5 计算⎰+π2sin 3sin dx xx ．解 设x t cos =，则当0=x 时，1=t ；当π=x 时，1-=t ．⎰+π2sin 3sin dx xx =⎰⎰---=--1111224141dt tdt t11arcsin23t π-==．例6 设)(x f 在],[a a -上连续，证明： (1) 若)(x f 为奇函数，则0)(=⎰-aa dx x f ；(2) 若)(x f 为偶函数，则dx x f dx x f aa a)(2)(0⎰⎰=-．证 由于dx x f dx x f dx x f aaaa)()()(0⎰⎰⎰+=--,对上式右端第一个积分作变换t x -=，有dt t f dt t f dx x f aaa)()()(00-=--=⎰⎰⎰-dx x f a)(0-=⎰．故dx x f x f dx x f aaa)]()([)(0+-=⎰⎰-．(1) 当)(x f 为奇函数时，)()(x f x f -=-，故00)(0==⎰⎰-dx dx x f aaa．(2) 当)(x f 为偶函数时，)()(x f x f =-，故dx x f dx x f dx x f aaaa)(2)(2)(0⎰⎰⎰==-．利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值． 例如0sin 6=⎰-xdx x ππ．⎰⎰---+=-+1122112)424()4(dx x x dx x x 80411=+=⎰-dx ．2．定积分的分部积分法设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数，由微分法则vdu udv uv d +=)(，可得vdu uv d udv -=)(．等式两边同时在区间],[b a 上积分，有vdu uv udv baba ba⎰⎰-=)(． (2)公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中a 与b 是自变量x 的下限与上限． 例7 计算xdx eln 1⎰．解 令dx dv x u ==,ln ，则x v xdxdu ==,．故 xdx x x x xdx e ee⋅-=⎰⎰111]ln [ln 1)1()0(=---=e e ．例8 计算xdx x 3cos 0⎰π．解x xd xdx x 3sin 313cos 00⎰⎰=ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰xdx x x 3sin 3sin 3100ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π03cos 31031x 92-=． 例9 计算⎰+42cos 1πdx xx．解⎰+42cos 1πdx x x =⎰⎰=4042tan 21cos 2ππx xd dx x x=)tan tan (214040⎰-ππxdx x x =)cos ln 4(2140ππx +=2ln 418-π． 例10 计算⎰403sec πxdx ．解⎰⎰⎰=⋅=40402403tan sec sec sec sec πππx xd xdx x xdxxdx x x x x tan sec tan tan sec 4040⋅-=⎰⎰ππxdx x sec )1(sec 2240--=⎰π⎰⎰+-=40403sec sec 2ππxdx xdx40403)tan ln(sec sec 2ππx x xdx ++-=⎰)12ln(sec 2403++-=⎰πxdx ．即 )12ln(2sec 2403++=⎰πxdx 注移项得．故 )12ln(2122sec 43++=⎰πxdx ． 例11 计算dx e x ⎰10．解 先用换元法，令t x =，则tdt dx t x 2,2==． 当0=x 时，0=t ；当1=x 时，1=t ． 于是dt te dx e t x⎰⎰=112．再用分部积分法，得dx e x ⎰111122()t t t tde t e e dt ==-⎰⎰2)]1([2=--=e e ．小结：1．定积分换元积分定理：假设 (1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续；(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数；(3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(βϕαϕ． 则有[]dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()()(．2．定积分分部积分法：设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数，则有vdu uv udv baba ba⎰⎰-=)(．。

§2 换元积分法与分部积分法教学目的：掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题．(2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．教学程序：一. 第一类换元法 ——凑微法：有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分.例如，求不定积分cos 2xdx ⎰，如果凑上一个常数因子2，使成为()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x =∙=⎰⎰⎰令2x u =则上述右端积分()111cos 22cos sin 222xd x udu u C ==+⎰⎰ 然后再代回原来的积分变量x ，就求得原不定积分1cos 2sin 22xdx x C =+⎰ 更一般的，若函数()F x 是函数()f x 的一个原函数，()x μϕ=是可微函数， 并且复合运算()F x ϕ⎡⎤⎣⎦有意义，根据复合函数求导法则(){}()()()()F x F x x f x x ϕϕϕϕϕ''''==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 及不定积分的定义，有()()()f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 由于()()f u du F u C =+⎰ 从而()()()()()u x f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ （1）综上所述，可得如下结论【定理8.4】 （第一换元积分法） 设()f u 是连续函数，()F u 是()f u 的一个原函数.又若()u x ϕ=连续可微，并且复合运算()f x ϕ⎡⎤⎣⎦有意义，则()()()()()()u x f x x dx f u du F x C ϕϕϕϕ='==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰ （2）第一换元积分公式（2）说明如果一个不定积分()g x dx ⎰的被积表达式()g x dx 能够写成()()f x x dx ϕϕ'⎡⎤⎣⎦的形式，可通过变量代换()u x ϕ=把被积表达式等同于()f u du ，若不定积分()()f ud uFu C=+⎰ 容易求得，那么再将()u x ϕ=代入()F u ，便求出原不定积分()()g x dx F x C ϕ=+⎡⎤⎣⎦⎰ 由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式()g x dx 变为()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的形式.也就是把被积函数()g x 分解成两个因子的乘积，其中一个因子与dx 凑成某一函数()x ϕ的微分，而另一因子是()x ϕ的函数()f x ϕ⎡⎤⎣⎦，且经过这样的微分变形后被积表达式()()f x d x ϕϕ⎡⎤⎣⎦变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积分法为“凑微分法”.凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练习，不断总结经验，才能运用自如. 凑法1.)(1)()(1)(du u f ab ax d b ax f a dx b ax f =++=+ 【例１】 利用()()1,,0dx d ax b a b R a a=+∈≠，求下列积分()()()131134343x d x =++⎰，令34u x =+有14433311313344u du u C u C==⋅+=+⎰再将34u x=+代入，有()431344d x x C=++()()2()0xaa==>令xua=，有arcsin u C==+再将xxa=代入，有arcsinxCa=+()22222()13[(1())]1()xddx dx ax xa x aaa a==+++⎰⎰⎰令xua=22211arctan1dx duu Ca x a u a==+++⎰⎰再将xua=代入，有221arctandxx Ca x a=++⎰如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换()u xϕ=可以不写出来，只需默记在头脑中就可以了.凑法2 du u f kx d x f k dx x f x k k k k )(1)()(1)(1==- . 特别地, 有 . du u f x d x f xdx x f )(21)()(21)(222==和 ()x dx f dx xx f 2)(=.【例２】利用()()()11,,,0,11x dx d ax b a b R a a μμμμμ+=+∈≠≠-+，求下列积分()()()()2221157575752x xdx x d x +=++=⋅⎰⎰()()()222211157575710102x d x x C ++=⋅++⎰＝()2215720X C ++()()11121121()x x x e dx e d e C x x=-=-+⎰⎰()()232211C x ===++⎰⎰()()40x >【解】11x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭2112x ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1222111112d x x -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰12211212C C x ⎡⎤⎛⎫=-⋅++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【例３】若被积函数()()(),x f x x ϕϕ'=±利用()()()()()x d x f x dx dx x x ϕϕϕϕ'=±=±，有如下公式()()()()()()ln x d x f x dx dx x C x x ϕϕϕϕϕ'=±=±=±+⎰⎰⎰求下列积分 ()ln 1ln ln ln ln dx d xx C x x x==+⎰⎰()sin cos 2tan ln cos cos cos x d xxdx dx x C x x ==-=-+⎰⎰⎰()cos sin 3cot ln sin sin sin x d xxdx dx x C x x===+⎰⎰⎰ 以上３例都是直接利用“凑微分法”求不定积分.如果进一步把“凑微分法”与不定积分的运算性质结合起来，就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分.【例４】 将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分()2211112dx dx a x a a x a x ⎛⎫=+= ⎪--+⎝⎭⎰⎰()()11ln 22d x a d x a x a C a x a x a a x a +-⎡⎤+-=+⎢⎥+--⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()()2221121111x x xx x x x d e dxe e dx dx e e e e ++-==-=++++⎰⎰⎰⎰()11111111xx x x x xxd e e e dx dx e e e e++-+=-+=++++⎰⎰⎰ ()21l n 11x x e C e-++++()22222sin 111311sin 1sin sin 1sin x dx dx dx dx x x x x⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭+⎰⎰⎰⎰＝2cot 2cot 1d x x x x +=+++⎰x C ++凑法3 ;)(sin )(sin cos )(sin du u f x d x f xdx x f == ;)(cos )(cos sin )(cos du u f x d x f xdx x f -=-= .)()(sec )(2du u f dtgx tgx f xdx tgx f ==【例５】对于sin n xdx ⎰与cos nxdx ⎰()n N ∈形式的积分，当n 是偶数时，可利用三角恒等式()()2211sin 1cos 2cos 1cos 222x x x x =-=+ 来降低三角函数的幂，当n 是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分.()()()242111sin 1cos 212cos 2cos 224xdx x dx x x dx ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰＝ ()112cos 21cos 442dx xdx x dx ⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 11sin 2sin 4428x x x x C ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭＝131s i n 2s i n 4428x x x C ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭()()322cos 1sin cos xdx x xdx =-=⎰⎰231cos sin sin sin sin 3xdx xd x x x C -=-+⎰⎰ 【例６】 对于sin sin ,cos sin cos cos x xdx x xdxx xdx αβαβαβ⎰⎰⎰和形式的积分，可利用三角函数的积化和差公式 ()(()11cos cos 1cos 12x x dx ⎡⎤=++-⎣⎦⎰⎰s i n 21212x x C ⎡⎤+=+()()()12cos 2sin 3sin 23sin 322x xdx x x dx =+--⎡⎤⎣⎦⎰⎰＝ ()111sin 5sin cos cos5255xdx xdx x x C ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 【例７】 根据 2s i n 2s i n c o s 2t a n c o s2222x x xxx ==1c o s t a n c s c c o t2s i nx x x x x -==- ()2111csc tan 22tan cos tan 222x xdx dx d x x x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰⎰⎰ l n t a n l n c s c c o t2xC x x C +=-+ ()22sec ln csc cot 22sin 2d x xdx x x C x ππππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+-++ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰⎰＝ln sec tan x x C ++ 【例８】22==＝(22C =+⎰凑法4 .)()()(du u f de e f dx e e f x x x x ==.【例9】 ⎰--.2tedt凑法5 .)(ln )(ln )(ln du u f x d x f xdxx f == 【例10】 ⎰+.)ln 21(x x dx凑法6 ;)(arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2du u f x d x f dx xx f ==-du u f darctgx arctgx f dx xarctgx f )()(1)(2==+. 【例11】 ⎰⎰⎰=++=+=dt t arctgtx d x x arctg dx x x xarctg x t 21212)1( ⎰+=+==c x arctg c arctgt tgt arctgtdarc 22)()(2. 其他凑法举例:【例12】 c e e ee e e d dx e e e e x x x x x x x xx x ++=++=+------⎰⎰)ln()(. 【例13】 ⎰⎰==+ 22)ln ()ln ()ln (1ln x x x x d dx x x x 【例14】 ⎰⎰⎰=++=++=dx tgx x xtgxx dx tgx x tgx x x xdx sec sec sec sec )(sec sec sec 2⎰++=++=c tgx x tgxx tgx x d |sec |ln sec )(sec .【例15】 ⎰-+dx xx x x 5cos sin sin cos .【例16】 ⎰++dx xx xx cos sin sin 5cos .【例17】 ⎰⎰⎰=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++ 21111111222242x x x x d dx x x x dx x x 【例18】 ⎰++-dx x x x 2252.Ex [1]P188—189 1⑴—(24)；以上例子大都采用了初等数学（代数或三角函数）中的运算技巧将被积函数进行适当的变形，然后再进行变量带换.因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用.二. 第二类换元法 —— 拆微法：从积分⎰tdt 2cos 出发，从两个方向用凑微法计算，即 ⎰⎰-====-=t d t dx x tx sin sin 112sin 2= tdt ⎰2cos = =⎰++=+,2sin 4121)2cos 1(21c t t dt t 引出拆微原理.在式（１）中，如果()()()2.1x x ϕϕ'连续可微且定号，式中左端的不定积分()()()f x x dx F x C ϕϕ'=+⎡⎤⎣⎦⎰ 容易求得，并且()()1x u u x ϕϕ-==是的反函数，则式（2）右端的不定积分()()1f ud u F xC ϕ-⎡⎤=+⎣⎦⎰.利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法.第二换元积分法可以确切的叙述如下.【定理8.5】 （第二换元积分法）设()f x 是连续函数，()x ϕ是连续可微函数，且()x ϕ'定号，复合运算()f t ϕ⎡⎤⎣⎦有意义.设()F t 是()()f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦的一个原函数，即 ()()()f t t dt F t C ϕϕ'=+⎡⎤⎣⎦⎰ 则 ()()()()()1t x f x dx f t t dt ϕϕϕ-='=⎡⎤⎣⎦⎰⎰=()1F x C ϕ-⎡⎤+⎣⎦（3）其中()()1x t ϕϕ-是的反函数.【证明】有定理假设()x ϕ'定号，，故函数()t ϕ存在反函数()1u ϕ-，又()()()dF t f t t dtϕϕ'=⎡⎤⎣⎦ 于是()()()()()()111t x dF t d dt F x f t t dx dt dx t ϕϕϕϕϕ--=⎛⎫⎛⎫'⎡⎤==⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦ ⎪'⎝⎭⎝⎭()1t x ϕ-==()()()()1t x f t f x ϕϕ-==⎡⎤⎣⎦可见()1F x ϕ-⎡⎤⎣⎦是式（3）左端不定积分的被积函数的一个原函数，所以式（3）成立.第二换元积分法指出，求式（3）左端不定积分，作变量代换()x t ϕ=，从而()()(),f x f t dx t dt ϕϕ==⎡⎤⎣⎦，于是()()()f x dx f t t dt ϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 若上式右端的不定积分()()()f t t dt F t C ϕϕ'=+⎡⎤⎣⎦⎰（4） 容易求出，那么再代回原来的变量()1t x ϕ-=，便求出原不定积分()()1f x dx F x C ϕ-⎡⎤=+⎣⎦⎰由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理8.5条件的变换()x t ϕ=，从而使式（4）的不定积分容易求出.那么如何选择变换()x t ϕ=呢？这往往与被积函数的形式有关.例如，若被积函数中有根式，一般选择适当的变换()x t ϕ=来去掉根式，从而使被积函数得到简化，不定积分容易求出.常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler 代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换. 1. 三角代换:⑴ 正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如22x a -)0(>a 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令)0( ,sin >=a t a x , 则 ,cos 22t a x a =- ,cos tdt a dx = .arcsinax t =【例19】计算()0a >【解】令sin ,,arcsin ,22xx a t t t a x a aππ=-≤≤=-≤≤则，且cos cos ,cos ,a t a t dx a tdt ===从而=()222cos .cos cos 1cos 22a a t a tdt a tdt t dt ==+⎰⎰⎰=2221sin 2sin cos 2222a a a t t C t t t C ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭由图2.1知sin cos xt t a==所以=22arcsin 22a x a C a ++= 2arcsin 2a x C a （2）正割代换: 正割代换简称为“割换”. 是针对型如 22a x - )0(>a 的根式施 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式,1sec 22t tg t =- 令,sec t a x = 有,22atgt a x =- .sec tgtdt t x dx ⋅= 变量还愿时, 常用辅助三角形法.【例20】计算()0a >【解】令s e c ,0s e c 22x a t t t x a t πππ=<<<<=当或时，存在反函数arcsinxt a=.这里仅讨论02t π<<的情况，同法可讨论2t ππ<<的情况.由于02t π<<0<t<2πtan tan ,tan sec a t a t dx a t tdt ===，从而1tan sec tan a t tdt a t=⋅=⎰sec ln sec tan tdt t t C =++⎰由图2.2知，sec tan x t t a==ln x C a '=+ln x C =这里ln C C a '=-（3）正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如22x a +)0(>a 的根式施行 的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式,1sec 22=-t tg t 即,sec 122t t tg =+ 令 ,atgt x = tdt a dx 2sec =. 此时有 ,sec 22t a x a =+ .axarctg t = 变量还原时, 常用所谓辅助三角形法.【例21】计算（0a >sec sec ,a t a t ==【解】令tan ,,22x a t t ππ=-<<则tan x a t =存在反函数.且sec sec ,a t a t ==2sec dx a tdt =，从而=21sec sec ln sec tan sec a t dt tdt t t C a t'⋅==++⎰⎰ 由图2.3知tan xt a =所以=ln xC x C a'+=++ 这里ln C C a '=-.总结例2.19～2.21，有如下规律：（1sin x a t =或cos x a t =（2sec csc x a t x a t ==或（3tan cot x a t x a t ==或••2. 无理代换:若被积函数是k nn n x x x , , , 21 的有理式时, 设n 为)1(k i n i ≤≤的最小公倍数, 作代换n x t =, 有dt nt dx t x n n 1 ,-==. 可化被积函数为 t 的有理函数.【例22】计算⎰【解】为了去掉被积函数的根式，令t =()211,02x t t =-≥ 则dx tdt =，从而⎰=()()24211122t t tdt t dt t dt -⋅=-⎰⎰⎰=531253t t C ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ =()()5322111212106x x C +-++ 【例23】 ⎰⎰⎰⎰==-++-=-=====-= t dtdt t t dt t x x dxxt 16)1(6162326 c x x x +⎪⎭⎫⎝⎛-++-=6361ln 216.若被积函数中只有一种根式n b ax +或,necx bax ++可试作代换n b ax t +=或 .n ecx bax t ++=. 从中解出x 来. 【例24】 ⎰⎰⎰=⋅+======-=--=tdt t t x d x x dx x xx t 2)1(21)( 121121222232⎰+-+-=++=+=c x x c t t dt t t 2322523524)1(31)1(5135)(.本题还可用割换计算, 但较繁.3. 双曲代换: 利用双曲函数恒等式 122=-x sh x ch , 令 asht x =, 可去掉 型如 22x a +的根式. achtdt dx =. 化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 如:.22 ),12(21),12(2122shtcht t sh t ch t sh t ch t ch =-=+=).1ln(21++=-x x x sh :参阅复旦大学 (陈传璋等)编, 数学分析, 上册P24.【例25】 ⎰⎰⎰==⋅=====+=tdt ch a achtdt acht dx x a ashtx 2222='++=-=⎰c t a t sh a dt t ch a 224)12(2222 c x a x a x a x +++++=)ln(2222222. 本题可用切换计算,但归结为积分⎰tdt 3sec , 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例3. 【例26】 ⎰+.22xdx (可用切换计算过该题. 现用曲换计算 ).解 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++='+===122ln 2222x xc t dt dt cht chtI shtx c '+ 2ln .)2ln( 2-'=+++=c c c x x . 【例27】 ⎰-22ax dx . (曾用割换计算过该题. 现用曲换计算 ).解 ='+-+='+======⎰⎰=c ax a x c t dt dt asht asht I achtx 1 ln 22.||ln .|| ln 22a c c c a x x -'=+-+=4. 倒代换: 当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用 倒代换.1,12dt tdx t x -==【例28】 ⎰⎰⎰>=======+====+=+01224222421)(212tu x u uu u du x x x x d x x x dx⎰⎰++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=+-=+-c x x c x c t t dt tt t dt t ||111)1(12111112122122122. 5. 万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分(参[1]P261). 令2x tgt =， 就有 22122sec222cos 2sin 2sin t t x xtgx x x +===，,11cos 22tt x +-= 212t t tgx -= ， ,122t dtdx +=.2arctgt x = 【例29】 ⎰+xdxcos 1.解法一 ( 用万能代换 ) ⎰⎰+=+==+-++======c x tg c t dt dt t t t I x tgt 2111122222. 解法二 ( 用初等化简 ) c xtg x d x x dx I +===⎰⎰2)2(2sec 2cos 2122. 解法三 ( 用初等化简, 并凑微 )⎰⎰⎰=-=--=x x d xdx dx x x I 222sin sin csc cos 1cos 1 .2csc sin 1c xtg c ctgx x c x ctgx +=+-=++-= 【例30】 .cos sin 1⎰++θθθd 解 ⎰⎰++=+=+⋅+-+++======c t t dtdt t t t t t I x tgt |1|ln 11211121122222= c xtg ++=|12|ln .代换法是一种很灵活的方法.Ex [1]P189 1(25)(27)(28)—(30);三.分部积分法设()u x 与()v x 均为x 的连续可微函数.于是，由函数乘积的求导公式，有[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+或 ()()[()()]()()u x v x u x v x u x v x '''=-再由不定积分的定义及线性性质，有()(){[()()]()()}u x v x dx u x v x u x v x dx '''=-=⎰⎰[()()]()()u x v x dx u x v x dx ''-=⎰⎰()()()()u x v x u x v x dx '-⎰即()()()()()()u x v x dx u x v x u x v x dx ''=-⎰⎰ （5） 或()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰ （6）公式（5）或公式（6）称为不定积分的分部积分公式.一般地说，利用分部积分公式求不定积分就是追求被积函数形式的转变，把比较难求甚至无法求出的不定积分()()u x v x dx '⎰转变成容易求的不定积分()()u x v x dx '⎰，起到化繁为简的作用.对于给定的不定积分()f x dx ⎰作分部积分运算，通常要把被积函数()f x 分解为两个因子的乘积，这会有多种选择，对两个因子中哪一个选作()u x 也会有多种选择.选择不同，效果不一样的.例如，在积分sin x xdx ⎰中，若选择()sin u x x =，()v x x '=，则222sin sin sin cos 222x x x x xdx xd x xdx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 并没有达到简化积分计算的目的.若选择()u x x =，()sin v x x '=，则()()()sin cos cos cos x xdx xd x x x x dx =-=---=⎰⎰⎰cos cos cos sin x x xdx x x x C -+=-++⎰由此可见，()u x 与()v x 的选择对于初学者来讲，只有认真总结规律，才能熟练地运用分部积分技巧.一般来说，在使用分部积分法求不定积分时，若被积函数是幂函数n x 与指数函数或三角函数的乘积时，应选择()n u x x =；若被积函数是幂函数n x 与对数函数或反三角函数的乘积时，应选择()n v x x '=.1. 幂 ⨯ X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂X ⋅”型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“X ”求导以使其成为代数函数.【例31】 计算下列不定积分⑴ 2222x x x x x e dx x de x e e xdx ==-⋅=⎰⎰⎰ 2222()x x x xx e xdx x e xe e dx -=--=⎰⎰2(22)x e x x C -++⑵ ()2111sin 1cos 2cos 2222x xdx xx dx xdx x xdx =-=-=⎰⎰⎰⎰ 221111111sin 2sin 2sin 24224422x xd x x x x xdx ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰ 211sin 2cos 2448x x x x C --+ ⑶ 2ln 111ln ln ln x dx xd x d x x x x x ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 211ln (ln 1)dx x x C x x x-+=-++⎰ ⑷ arcsin arcsin arcsin xdx x x xd x =-=⎰⎰211arcsin arcsin 2d x x x x x --=+=⎰1221arcsin 2(1)arcsin 2x x x C x x C +⋅-+=+⑸ 23(16)arctan arctan (2)x xdx xd x x +=+=⎰⎰()33222arctan 1x x x x x dx x ++-=+⎰()322arctan 21x x x x x dx x ⎛⎫+--=⎪+⎝⎭⎰ ()()32212arctan ln 12x x x xx C +-+++ 2 建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一个目标是: 对被积函数两 因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于 是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来.【例32】 ⎰.sin xdx e x【例33】 求⎰=bxdx e I ax cos 1 和). 0 (,sin 2≠=⎰a bxdx e I ax 解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.sin 1,cos 11221I a b bx e a I I ab bx e a I ax ax 解得 .cos sin ,cos sin 222221c e b a bx b bx a I c e b a bx a bx b I ax ax ++-=+++=【例34】 ⎰>+). 0 ( ,22a dx x a 解 ⎰+⋅-+=dx xa x x x a x I 2222==⎰⎰++++-+dx xa a dx xa x a x a x 222222222=,)ln(122222c x a x a I x a x ++++-+= （参阅例41）解得 .)ln(2222222c x a x a x a x I +++++= 【例35】 ⎰⎰⎰+==xdx x x x xd xdx 22sin sin cos sin cos cos = ⎰-+=xdx x x x 2cos sin cos ，解得 ⎰++=c x x xdx 2sin 412cos 2. 【例36】⎰⎰⎰⎰-==⋅=xtgxdx tgx xtgx xdtgx xdx x xdx sec sec sec sec sec sec 23=⎰⎰⎰=+-=--xdx xdx xtgx xdx x xtgx sec sec sec sec )1(sec sec 32 =⎰-++xdx tgx x xtgx 3sec |sec |ln sec , 解得 ⎰=xdx 3sec c tgx x xtgx +++|sec |ln 21sec 21.分部积分法也常用来产生循环现象，然后经过代数运算求出不定积分. 【例37】计算下列不定积分⑴.设I=，则I===⎰=⎰2dx⎫⎰2I a=+再由例21，有=ln x C'+故原积分2ln2aI x C=+这里2CC'=()2计算sinxe xdxαβ⎰和cosxe xdxαβ⎰【解】sinxe xdxαβ⎰=1sin xxd eαβα⎛⎫⎪⎝⎭⎰=()1sin cosx xe x e xdxααβββα-⋅⎰11sin cosx xe x xd eααβββααα⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰()21sin cos sinx x xe x e x e x dxαααβββββαα⎡⎤=--⋅-⎣⎦⎰=1sinxe xαβα-222cos sinx xe x e xdxααββββαα-⎰移项，整理，有sin xe xdx αβ⎰=()22sin cos xe x x C ααβββαβ-++同理可得cos xe xdx αβ⎰=()22sin cos xe x x C αββαβαβ-++ 在含有自然数n 的不定积分中，常用分部积分法来建立求不定积分的递推公式. 【例38】()()1ln (nn I x dxn =∈⎰N ）【解】()()()ln ln ln nnnn I x dx x x xd x ==-=⎰⎰()()()()111ln ln ln ln n n nnx x x n x dx x x n x dx x---⋅=-⎰⎰ =()1ln nn x x nI -- 即()1ln nn n I x x nI -=-这就是递推公式.例如3n =时有()()()()333221ln ln 3ln 3ln 2x dx x x I x x x x I ⎡⎤=-=--⎣⎦⎰=()()321ln 3ln 6ln x x x x x x x dx x ⎛⎫-+-⋅= ⎪⎝⎭⎰()()32ln 3ln 6ln 6x x x x x x x C -+-+()2()22ndxx a +⎰（n ∈N ，0a >)【解】设 n I =()22ndxx a +⎰，则()()22221n n n xI xd x a x a ⎛⎫⎪=- ⎪++⎝⎭⎰=()()122222n n x xx n dxx a x a +⎡⎤⎢⎥--⎢⎥++⎣⎦⎰ =()()()2122222212n n n x a n dx x a x a x a +⎡⎤⎢⎥+-=⎢⎥+++⎣⎦⎰()212222n n n xnI na I x a ++-+ 从而()()12221212n n n x I n I na x a +⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥+⎣⎦（7）特别当1n =时，有1221arctan dxxI C x a a a ==++⎰于是利用递推公式（2.7），有21222222111arctan 22x xxI I C a x a a x a a a ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=212a 22x x a ++312a arctan x a +C '这里C '=32Ca分部积分法与换元积分法有时在同一题中配合使用效果更佳.【例39】计算2⎰【解】2⎰=2arcsin x dx x +⎰=()()2arcsin arcsin cos sin sin cos uxd x udu x u u u +=⎰⎰作变量代换=()()2211arcsin cot arcsin cot cot 22x ud u x u u udu -=-+⎰⎰= ()21arcsin 2x -cot ln sin u u u C ++ 由图8.2.4知cot u x=所以2⎰()21arcsin 2x =ln x x C ++ 通过本节的讨论，我们还应在基本积分表中再补充如下公式：基本积分表（补充）()()()()()2215sec ln sec tan 16csc ln csc cot 17tan ln cos 18cot ln sin 1119arctan xdx x x Cxdx x x Cxdx x Cxdx x Cx dx C a x a a =++=-+=-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰()()()()2220arcsin 21arcsin 22223ln 2x C a a x C a x C a x C =+=+++++ 综上所述，我们已经对求不定积分的基本方法进行了全面的讨论.由不定积分的定义知，求不定积分的运算是微分法的逆运算.而第一、第二换元积分法对应与复合函数求导的链式法则，分部积分法则是基于乘积函数的求导法则推导出来的.求不定积分的基本思想是：采用各种方法将被积函数化为基本积分表中的被积函数的形式或它们的线性组合.然后利用基本积分表和线性性质求出不定积分.显然，掌握较多的不定积分公式会给求不定积分带来方便，为此人们把一些常用的不定积分公式汇集起来，做成基本积分表.同学们可以利用这个表进行运算.但是无论容量多么大的积分表也不能把所有的不定积分都罗列出来.所以，上面介绍的求不定积分的各种方法都是最基本的，作为初学者必须掌握.另外，把不定积分法与微分法相比较，求积分要比求微分困难的多，复杂的多，甚至于有些被积函数很简单，但他们的不定积分却无法积出.例如：2x e dx -⎰ ()2sin sin ln x dx dx x dx x x ⎰⎰⎰，等等 这说明在初等函数类中，不定积分的运算是不封闭的，即初等函数的原函数不一定是初等函数.今后把被积函数的原函数能用初等函数表示的积分称为积得出的，否则，称为积不出的.结论：当n 是正整数时，如⎰dx e x x n ，⎰xdx x n sin ，⎰xdxx n cos ，这种类型的积分，都可用分部积法解决，这时，设n x u =，dv 分别为dx e x ，xdx sin ，xdx cos ；同样⎰xdx x n ln ，⎰xdx x n arctan ，⎰xdx x n arcsin ，这种类型的积分，也可用分部积分法解决，这时，设dx x dv n =，u 分别为x ln ，x arctan ，x arcsin . ⎰+dx b ax e kx )sin(，dx b ax e kx )cos(+⎰（a ，b ，k 为常数）这种类型的积分如例15那样，也可以用分部积分法来解决.Ex [1]P189 2⑴―⑼;。