大一上学期同济版高数第五章换元分部PPT课件
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高等数学第五章第3节定积分的换元与部分积分
b
证
则
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a ),
令 ( t ) F [ ( t )],
第 五 章 定 积 分
dF dx f ( x ) ( t ) f [( t )]( t ), ( t ) dx dt 所以 ( t )是 f [ ( t )] ( t )的一个原函数.
0 0 0
f (sin x )dx xf (sin x )dx,
0
xf (sin x )dx
2 0
f (sin x )dx.
- 18 -
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
0
第 五 章 定 积 分
x sin x sin x dx dx 2 2 2 0 1 cos x 1 cos x 1 d (cos x ) 2 2 0 1 cos x
所以
f [ ( t )] ( t )dt ( ) ( ),
F ( ( )) F ( ( )) F (b ) F (a )
a f ( x )dx
b
f [ ( t )] ( t )dt
-3-
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
例7的几何解释
第 五 章 定 积 分
y
a
0
a
f ( x )dx 0.
y
f ( x)
a
o
a x
f ( x)
aHale Waihona Puke o偶函数a
证
则
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a ),
令 ( t ) F [ ( t )],
第 五 章 定 积 分
dF dx f ( x ) ( t ) f [( t )]( t ), ( t ) dx dt 所以 ( t )是 f [ ( t )] ( t )的一个原函数.
0 0 0
f (sin x )dx xf (sin x )dx,
0
xf (sin x )dx
2 0
f (sin x )dx.
- 18 -
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
0
第 五 章 定 积 分
x sin x sin x dx dx 2 2 2 0 1 cos x 1 cos x 1 d (cos x ) 2 2 0 1 cos x
所以
f [ ( t )] ( t )dt ( ) ( ),
F ( ( )) F ( ( )) F (b ) F (a )
a f ( x )dx
b
f [ ( t )] ( t )dt
-3-
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
例7的几何解释
第 五 章 定 积 分
y
a
0
a
f ( x )dx 0.
y
f ( x)
a
o
a x
f ( x)
aHale Waihona Puke o偶函数a
定积分的换元法和分部积分法课件
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
高数课件-定积分的换元积分法与分部积分法
0 ( 1
sin t
t
dt )d(
x2 2
)
[ x2
2
x 1
2
sin t
t
dt
]10
1 0
x2 2
sin x2 x2
2 xdx
0
1
0
x
sin
x
2dx
1 (cos1 1) 2
1
例13 设f (t)连续, f (1) 0 , 解
1
例14 證明
n1n331 ,
n n2 4 2 2
n 為偶數
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
2
∴
原式 = a 2
2 cos2 t d t
0
a2 2
2 0
(1
cos
2
t)d
t
y
y
a2 x2
a2
4
o
ax
1
例2 求 0a
1
dx
(x2 a2)3
(a 0)
解 令x a tant, dx a sec2 t d t
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
t dt 1
1 t2
2
1
12(1
t
2
)
1 2
d (1 t 2 )
3
12 1t2 2
1 2
1 3
2 2 3
3 2
1
例4
1 x2 1
1
x4
dx 1
1 x2
1
2x 1 x4 1
2x dx
1
1 x2
1
dx
2x 1
1 1
x
2x 4 1
sin t
t
dt )d(
x2 2
)
[ x2
2
x 1
2
sin t
t
dt
]10
1 0
x2 2
sin x2 x2
2 xdx
0
1
0
x
sin
x
2dx
1 (cos1 1) 2
1
例13 设f (t)连续, f (1) 0 , 解
1
例14 證明
n1n331 ,
n n2 4 2 2
n 為偶數
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
2
∴
原式 = a 2
2 cos2 t d t
0
a2 2
2 0
(1
cos
2
t)d
t
y
y
a2 x2
a2
4
o
ax
1
例2 求 0a
1
dx
(x2 a2)3
(a 0)
解 令x a tant, dx a sec2 t d t
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
t dt 1
1 t2
2
1
12(1
t
2
)
1 2
d (1 t 2 )
3
12 1t2 2
1 2
1 3
2 2 3
3 2
1
例4
1 x2 1
1
x4
dx 1
1 x2
1
2x 1 x4 1
2x dx
1
1 x2
1
dx
2x 1
1 1
x
2x 4 1
大一高数上 PPT课件 第五章.
[a, b] — —积分
.
∫a f ( x )dx = I = lim ∑ f (ξ i )∆xi λ → 0 i =1
注：
） 积分仅与被积函数及积分区间有关， （1） 积分仅与被积函数及积分区间有关，
与积分变量的字母的选择无关. 而 与积分变量的字母的选择无关 .
b
n
∫a f ( x )dx = ∫a f ( t )dt = ∫a f ( u)du
2
i =1
i =1
exdx 练习 利用定义计算定积分 ∫
0
1
解 f ( x) = e x 在 [0,1]上连续，故f(x)在[0,1]上可积 上连续， 上可积. 上连续 在 上可积 等分， 将 [0,1]n 等分，左侧取点 i −1 i −1 1 ξi = , ∆x i = f (ξ i ) = e n n n 1 2 n −1 n 1 0 ∑ f (ξ i )∆xi = n [e + e n + e n + L + e n ] i =1 1 等比数列求和 1 1 1 − (e n )n = ( e − 1) n = ⋅ 1 1 n en − 1 1 − en 1
∑
i =1 n
n
f (ξ i )∆xi = ∑ ξ i ∆xi = ∑ xi2∆xi ,
2
n
n
1 n 2 1 n( n + 1)(2n + 1) i 1 = i = 3⋅ = ∑ ⋅ 3∑ n 6 n n i =1 i =1 n 1 1 1 = 1 + 2 + , λ → 0 ⇔ n → ∞ 6 n n n 1 1 1 1 1 2 2 ∫0 x dx = lim ∑ ξ i ∆xi = lim 6 1 + n 2 + n = 3 . n→ ∞ λ → 0 i =1
定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt
定积分的换元法和分部积 分法教学课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
高等数学《换元法》课件
4.2 换元积分法
4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 4.2.2 第二类换元法
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基本思路
设F(u) f (u),
可导, 则有
dF[( x)] f [( x)]( x)dx
F[ ( x)] C F (u) C u( x)
f (u)du u( x)
第一类换元法 第二类换元法
de x
(8)
f (ln x)1dx x
dln x
例6 求
解
原式 =
1
dln x 2ln
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
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例7
求
e3
x
x
dx
.
解
原式 = 2 e3
xd
x
2 3
e
3
x d(3
x) 2e3 3
x C
例8 求 sec6 xdx .
解 原式 = (tan2 x 1)2dsetca2nxxd x
三角代换外, 还可利用公式 ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换 x ash t 或 x a ch t
消去根式, 所得结果一致.
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例19 求
a2 x4
x2
dx
.
解
令
x
1 t
,则
令x a sin t,t ( , )
22
原式
a2
1 t2
1
t4
t
1 4
(1
2cos
2x
cos2
2
x)
1 4
(1
2cos 2x
4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 4.2.2 第二类换元法
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基本思路
设F(u) f (u),
可导, 则有
dF[( x)] f [( x)]( x)dx
F[ ( x)] C F (u) C u( x)
f (u)du u( x)
第一类换元法 第二类换元法
de x
(8)
f (ln x)1dx x
dln x
例6 求
解
原式 =
1
dln x 2ln
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
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例7
求
e3
x
x
dx
.
解
原式 = 2 e3
xd
x
2 3
e
3
x d(3
x) 2e3 3
x C
例8 求 sec6 xdx .
解 原式 = (tan2 x 1)2dsetca2nxxd x
三角代换外, 还可利用公式 ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换 x ash t 或 x a ch t
消去根式, 所得结果一致.
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例19 求
a2 x4
x2
dx
.
解
令
x
1 t
,则
令x a sin t,t ( , )
22
原式
a2
1 t2
1
t4
t
1 4
(1
2cos
2x
cos2
2
x)
1 4
(1
2cos 2x
第三节 定积分的换元与分部资料
0
公式.
例
利用上题结论计算
0
sin
5
x 2
dx
.
例 求函数 I( x) x t(1 2 ln t)dt 在 [1, e] 上的最 1
大值与最小值.
a
1
例 计算 (| x | sin x)x2dx. 1
例 计算 1 2x2 x cosx dx.
1 1 1 x2
例 若 f ( x)在[0,1]上连续, 证明
(1) 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
0
0
(2)
0
xf
(sin
x)dx
2
0
f (sin x)dx,
例 求定积分 sin 3 x sin5 x dx. 0
例 求定积分 4 x 2 dx.
0 2x 1
例 当 f ( x)在[a,a]上连续, 则
(1)当 f ( x)为偶函数, 有
a
a
f ( x)dx 2 f ( x为奇函数, 有
a
f ( x)dx 0.
第五章 定积分
第三节 定积分的换元法 定积分的分部法
问题的提出
我们知道求定积分的关键是求原函数，而 求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中 有换元法、分部积分法，那么定积分是否也有类 似的方法，有哪些不同？
在一定条件下，可以用换元积分法与分 部积分法来计算定积分.
定积分的换元积分法
定理 假设 f ( x) 在[a,b]上连续,函数 x (t)
也相应的改变;
(2) 求出 f [(t)]'(t)的一个原函数 (t )后,不必
象计算不定积分那样再要把 (t ) 变换成原变量 x的函数, 而只要把新变量 t 的上、下限分别代 入 (t ) 然后相减就行了.
公式.
例
利用上题结论计算
0
sin
5
x 2
dx
.
例 求函数 I( x) x t(1 2 ln t)dt 在 [1, e] 上的最 1
大值与最小值.
a
1
例 计算 (| x | sin x)x2dx. 1
例 计算 1 2x2 x cosx dx.
1 1 1 x2
例 若 f ( x)在[0,1]上连续, 证明
(1) 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
0
0
(2)
0
xf
(sin
x)dx
2
0
f (sin x)dx,
例 求定积分 sin 3 x sin5 x dx. 0
例 求定积分 4 x 2 dx.
0 2x 1
例 当 f ( x)在[a,a]上连续, 则
(1)当 f ( x)为偶函数, 有
a
a
f ( x)dx 2 f ( x为奇函数, 有
a
f ( x)dx 0.
第五章 定积分
第三节 定积分的换元法 定积分的分部法
问题的提出
我们知道求定积分的关键是求原函数，而 求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中 有换元法、分部积分法，那么定积分是否也有类 似的方法，有哪些不同？
在一定条件下，可以用换元积分法与分 部积分法来计算定积分.
定积分的换元积分法
定理 假设 f ( x) 在[a,b]上连续,函数 x (t)
也相应的改变;
(2) 求出 f [(t)]'(t)的一个原函数 (t )后,不必
象计算不定积分那样再要把 (t ) 变换成原变量 x的函数, 而只要把新变量 t 的上、下限分别代 入 (t ) 然后相减就行了.
5.2 换元积分法 课件 《高等数学》(高教版)
随堂练习
求不定积分
解:
例2 求下列不定积分． 解:
随堂练习
1、凑微分
2、把 凑成 解:
3、求不定积分
，， .
形式.
例3 求下列不定积分． 解:
例3 求下列不定积分． 解:(4)因为
，所以
随堂练习
1、求下列不定积分．
5.2 换元积分法
二、第二类换元积分法（拆微分法）
定理 设函数
单调可微,
,且
则
其中
是
的反函数.
上述定理给出了一种求不定积分的方法，称作第二类换元 积分法，又叫作“拆微分法”．
1、根式代换
例1 求
解:令
． ，则
，于是
1、根式代换
例2 求
．
解:令
，则 ,
，于是
随堂练习
求下列不定积分
答:
2、三角代换
例1 求 解:令 于是
．
，则
，
根据代换
，知
,因此得
2、三角代换
例2 求 解:令 于是
根据代换
．
，则
，
，知
,因此得
2、三角代换
例换
，知
，于是 ,因此得
5.2 换元积分法
5.2 换元积分法 一、第一换元积分法（凑微分法）
例1 求
.
解:被积函数 是一个复合函数，在基本积分公式中没有这
样的公式,但与其相似的有
,为了套用这个公式,先
把原积分作如下变形,然后进行计算.
由于
,可见上述演算过程是正确的.
定理 若 元积分公式
，且
有连续导数，则有换
定理给出了一种求不定积分的方法，叫做第一类换元积分 法，又叫做“凑微分”法．
(同济大学)高等数学课件D42换元法
(6 )f(tx a )sn e 2xd c x
dtanx
(7) f(ex)exdx
de x
(8) f(lnx)1xdx
dln x
例6. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
12
d(12lnx) 12lnx
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例7. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 xd x 2 e3 xd3( x) 3
(6)
dx 4xx2
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2. 求 提示: 法1
法2
法3
(x10 ) x10
1
d x10
10
1 d x10 10
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二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
f[难(x)求 ](x)dx易f(u求)duu(x) 若所求积分 f (u)du难求，
2e3 x C
3
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (t2 a x n 1 )2dstae 2 nxxd c x (t4 a x 2 n ta 2x n 1 )d ta xn
1 tan5 x 2 tan3 x taxn C
5
3
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例9. 求
dx 1 ex
.
解法1
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
xln1(ex)C
解法2
ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln1 (ex)C
l1 n e ( x ) le n x ( e [ x 1 )] 两法结果一样
大一高数课件第五章 5-4-1
0
0
a
在 ∫− a f ( x )dx 中令 x = − t ,
∫− a
f ( x )dx = − ∫a f ( − t )dt = ∫0 f ( − t )dt ,
0
a
∫− a
a ∫− a
a
f ( x )dx = ∫0 f ( − t )dt + ∫0 f ( x )dx ,
a
a
① f ( x ) 为偶函数，则 f ( − t ) = f ( t ), 为偶函数，
上连续， 例 5 当 f ( x ) 在[− a , a ]上连续，且有 为偶函数， ① f ( x ) 为偶函数，则 ∫− a f ( x )dx = 2∫0 f ( x )dx ； 为奇函数， ② f ( x ) 为奇函数，则 ∫− a f ( x )dx = 0 .
证
a a a
∫− a
0
a
f ( x )dx = ∫− a f ( x )dx + ∫0 f ( x )dx ,
π
3 2 dx
− ∫ cos x (sin x )
2
π π
3 2 dx
= ∫02 (sin x )
4 = . 5
π
3 2 d sin
x−∫
π π
2
(sin x )
3 2 d sin
2 x = (sin x ) 5
5 2
π
2
−
0
2 (sin x ) 5
5π 2
π
2
例3 计算 解
∫
3 e4
e
3 e4
dx . x ln x (1 − ln x ) d (ln x ) ln x (1 − ln x ) = ∫ d ln x 1 − ( ln x )
0
a
在 ∫− a f ( x )dx 中令 x = − t ,
∫− a
f ( x )dx = − ∫a f ( − t )dt = ∫0 f ( − t )dt ,
0
a
∫− a
a ∫− a
a
f ( x )dx = ∫0 f ( − t )dt + ∫0 f ( x )dx ,
a
a
① f ( x ) 为偶函数，则 f ( − t ) = f ( t ), 为偶函数，
上连续， 例 5 当 f ( x ) 在[− a , a ]上连续，且有 为偶函数， ① f ( x ) 为偶函数，则 ∫− a f ( x )dx = 2∫0 f ( x )dx ； 为奇函数， ② f ( x ) 为奇函数，则 ∫− a f ( x )dx = 0 .
证
a a a
∫− a
0
a
f ( x )dx = ∫− a f ( x )dx + ∫0 f ( x )dx ,
π
3 2 dx
− ∫ cos x (sin x )
2
π π
3 2 dx
= ∫02 (sin x )
4 = . 5
π
3 2 d sin
x−∫
π π
2
(sin x )
3 2 d sin
2 x = (sin x ) 5
5 2
π
2
−
0
2 (sin x ) 5
5π 2
π
2
例3 计算 解
∫
3 e4
e
3 e4
dx . x ln x (1 − ln x ) d (ln x ) ln x (1 − ln x ) = ∫ d ln x 1 − ( ln x )
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高等数学
第二十八讲
1
整体概况
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概况2
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概况3
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第三节
第五章
定积分的换元法和
分部积分法
不定积分 换元积分法 分部积分法
换元积分法 定积分
分部积分法
一、定积分的换元法
2
16
例10 已知 f x连续，且 lim f x 1
x0 x
x t f x t dt
（2） 计算 I lim 0 x0
x3
解 令 x t ut x u . dtdu.
x (xu)f
udu
x
x
fudu
x
uf(u)du
I lim 0 x0
x3
lim0 x0
0
x3
lim x0
x 0
f udu
两端[在 a,b]上积分
b u(x)v(x)
a
a bv(x)du(x)a bu(x)d(x v)
b
au(x)dv(x)
b u(x)v(x)
a
b
a v(x)du(x)
18
1
例1. 计算 2arcsinxdx. 0
3
3
4
24setcdtlnset c 2 1
9
例5：计算
e2
1x
1 dx 1lnx
换元必换限
e2 1
d(lnx1) 1lnx
不换元则不换限
e2
21lnx 2( 31)
1
注：用凑微分法完成的积分，上、下限不必变动。
引入新的积分变量后才需要变换积分的上、下限。
13
例8 计算下列定积分
2. I21 x xdx
解 I 11 x xdx 12 x xdx
3
0
2
1
x2 d x
5
[ 2 x 2 ] 2 2(4 21) 5 15
14
例9
求
4 4
cos x 1 ex
dx
解 利用对称区间积分计算公式
a a
f xdx
0a[fxfx]dx
原式＝ 04[1coexxsc1 oesxx]dx
3x)
1 0
16 3
1
1
2 dx 2 2 dx
1
2arcsxi2 n
1 1 x2
0 1 x2
0
2
2arcsi1n
23
12
例8 计算下列定积分
1.
I2
1xscion2xxsdx
2
解
I 2
x 1sin2
xdx2
cosx 1sin2
d x
x
2
2
2 2 0
d sin x 1sin2 x
2[arctannx)(]s2 i 02
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
f[
(t)
](t)
dt
b
f (x)dx
a
(令 x(t))
或配元
f[
(t)
](t)
dt
f
[
(t
)
]
d(t)
配元不换限
5
例1. 计算 a a2x2dx(a0). 0
解: 令 xasitn,则 a2 x2 acost, dxacostdt,
且
当 x0时 ,t0;
lim
f x
3x2
x0 6x
1 6
17
二、定积分的分部积分法
定理2. 设 u (x ),v (x ) C 1 [a ,b ],则
abu(x)d(vx)u(x)v(x)ba
b
a v(x)du(x)
证: d [ u ( x ) v ( x ) v ( ] x ) d ( x ) u u ( x ) d ( x )v
10
偶倍奇零
设 f(x ) C [ a ,a ],
(1) 若 f(x)f(x),则 a af(x)dx20 af(x)dx
(2) 若 f( x)f(x),则aaf(x)dx0
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
0
f
(t)dt
a
0
f
(x)dx
令xt
a
0a[f(x)f(x)]dx20
当x0时,t 1; x4时, t 3.
∴
原式 =
3
t
2 1 2
2 t
dt
1t
1 3(t23)dt
21
1(1t33t) 3 22
23
13
7
例3：计算
ln2
0
ex1dx
解：令 ex1t xlnt2(1) d xt22 t1dt
x 0 t 0 x l2 n t 1
201t2t21dt 201(1t211)dt
04cosx[11ex exe x1]dx
4 cosxdx 2
0
2
15
例10 已知 f x连续，且 lim f x 1
x0 x
（1） 若 fx0, 求证 fx x , x (, ) .
xt f xtdt
（2） 计算 lim 0 x0
x3
解
（1）f00
f(0)limfx1
x0 x
fxxf()x2x x( , ).
xa时 ,t2.
∴
原式 =
a2 2
0
cos2 t dt
a2
2(1co2st)dt
20
y
y a2x2
a2
(t 1sin2t)
2
a2
22
04
S o ax
该题对应的几何意义是以曲线 ya2x2 0xa
为曲边与x轴，y轴三边围成的曲边梯形面积。 6
例2.
计算
4
0
x2 dx. 2x1
解: 令 t 2x1,则 xt21, dxtdt, 且 2
则F[(t) ]是 f[(t) ](t)的原函数 , 因此有
b
a
f
(x)
dx
F (b)F (a)F[()]F[()]
f[ (t ) ](t)dt
4
a bf(x)d x f[ (t )](t) dt
说明:
1) 当 < , 即区间换为[,]时，定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
换元必换限 不换元则不换限
1
2(tarct)a0 n
2(1 )
4
8
例4：计算
2 2
dx x2 1
解：令 x sted c t xa tsn ted ct
x2 co ts1 t2
23
x2co ts 1 t3
t [2,3]
2
tant0
4
34
x 2 1 s2 e t c 1 ta t n ta t n
二、定积分的分部积分法
3
一、定积分的换元法
定理1. 设函数 f(x) C [a,b ],单值函数 x(t)满足:
1) (t)C1[,], a(), b();
2) 在[,] 上 a(t)b,
则 a bf(x)d x f[(t)](t)dt
证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,
且它们的原函数也存在 . 设F(x)是f(x)的一个原, 函
f (x)dx, 0,
f(x)f(x)时 f(x)f(x)时
11
偶倍奇零
af(x)d xaf(x)f(x)dx
a
0
a
20 f (x)dx,
0,
f(x)f(x)时 f(x)f(x)时
例6: 11(x3x23)dx 11x3d x 11(x23)dx
奇函数 偶函数
例7:
0201(x23)dx2(13x3
第二十八讲
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整体概况
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第三节
第五章
定积分的换元法和
分部积分法
不定积分 换元积分法 分部积分法
换元积分法 定积分
分部积分法
一、定积分的换元法
2
16
例10 已知 f x连续，且 lim f x 1
x0 x
x t f x t dt
（2） 计算 I lim 0 x0
x3
解 令 x t ut x u . dtdu.
x (xu)f
udu
x
x
fudu
x
uf(u)du
I lim 0 x0
x3
lim0 x0
0
x3
lim x0
x 0
f udu
两端[在 a,b]上积分
b u(x)v(x)
a
a bv(x)du(x)a bu(x)d(x v)
b
au(x)dv(x)
b u(x)v(x)
a
b
a v(x)du(x)
18
1
例1. 计算 2arcsinxdx. 0
3
3
4
24setcdtlnset c 2 1
9
例5：计算
e2
1x
1 dx 1lnx
换元必换限
e2 1
d(lnx1) 1lnx
不换元则不换限
e2
21lnx 2( 31)
1
注：用凑微分法完成的积分，上、下限不必变动。
引入新的积分变量后才需要变换积分的上、下限。
13
例8 计算下列定积分
2. I21 x xdx
解 I 11 x xdx 12 x xdx
3
0
2
1
x2 d x
5
[ 2 x 2 ] 2 2(4 21) 5 15
14
例9
求
4 4
cos x 1 ex
dx
解 利用对称区间积分计算公式
a a
f xdx
0a[fxfx]dx
原式＝ 04[1coexxsc1 oesxx]dx
3x)
1 0
16 3
1
1
2 dx 2 2 dx
1
2arcsxi2 n
1 1 x2
0 1 x2
0
2
2arcsi1n
23
12
例8 计算下列定积分
1.
I2
1xscion2xxsdx
2
解
I 2
x 1sin2
xdx2
cosx 1sin2
d x
x
2
2
2 2 0
d sin x 1sin2 x
2[arctannx)(]s2 i 02
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
f[
(t)
](t)
dt
b
f (x)dx
a
(令 x(t))
或配元
f[
(t)
](t)
dt
f
[
(t
)
]
d(t)
配元不换限
5
例1. 计算 a a2x2dx(a0). 0
解: 令 xasitn,则 a2 x2 acost, dxacostdt,
且
当 x0时 ,t0;
lim
f x
3x2
x0 6x
1 6
17
二、定积分的分部积分法
定理2. 设 u (x ),v (x ) C 1 [a ,b ],则
abu(x)d(vx)u(x)v(x)ba
b
a v(x)du(x)
证: d [ u ( x ) v ( x ) v ( ] x ) d ( x ) u u ( x ) d ( x )v
10
偶倍奇零
设 f(x ) C [ a ,a ],
(1) 若 f(x)f(x),则 a af(x)dx20 af(x)dx
(2) 若 f( x)f(x),则aaf(x)dx0
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
0
f
(t)dt
a
0
f
(x)dx
令xt
a
0a[f(x)f(x)]dx20
当x0时,t 1; x4时, t 3.
∴
原式 =
3
t
2 1 2
2 t
dt
1t
1 3(t23)dt
21
1(1t33t) 3 22
23
13
7
例3：计算
ln2
0
ex1dx
解：令 ex1t xlnt2(1) d xt22 t1dt
x 0 t 0 x l2 n t 1
201t2t21dt 201(1t211)dt
04cosx[11ex exe x1]dx
4 cosxdx 2
0
2
15
例10 已知 f x连续，且 lim f x 1
x0 x
（1） 若 fx0, 求证 fx x , x (, ) .
xt f xtdt
（2） 计算 lim 0 x0
x3
解
（1）f00
f(0)limfx1
x0 x
fxxf()x2x x( , ).
xa时 ,t2.
∴
原式 =
a2 2
0
cos2 t dt
a2
2(1co2st)dt
20
y
y a2x2
a2
(t 1sin2t)
2
a2
22
04
S o ax
该题对应的几何意义是以曲线 ya2x2 0xa
为曲边与x轴，y轴三边围成的曲边梯形面积。 6
例2.
计算
4
0
x2 dx. 2x1
解: 令 t 2x1,则 xt21, dxtdt, 且 2
则F[(t) ]是 f[(t) ](t)的原函数 , 因此有
b
a
f
(x)
dx
F (b)F (a)F[()]F[()]
f[ (t ) ](t)dt
4
a bf(x)d x f[ (t )](t) dt
说明:
1) 当 < , 即区间换为[,]时，定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
换元必换限 不换元则不换限
1
2(tarct)a0 n
2(1 )
4
8
例4：计算
2 2
dx x2 1
解：令 x sted c t xa tsn ted ct
x2 co ts1 t2
23
x2co ts 1 t3
t [2,3]
2
tant0
4
34
x 2 1 s2 e t c 1 ta t n ta t n
二、定积分的分部积分法
3
一、定积分的换元法
定理1. 设函数 f(x) C [a,b ],单值函数 x(t)满足:
1) (t)C1[,], a(), b();
2) 在[,] 上 a(t)b,
则 a bf(x)d x f[(t)](t)dt
证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,
且它们的原函数也存在 . 设F(x)是f(x)的一个原, 函
f (x)dx, 0,
f(x)f(x)时 f(x)f(x)时
11
偶倍奇零
af(x)d xaf(x)f(x)dx
a
0
a
20 f (x)dx,
0,
f(x)f(x)时 f(x)f(x)时
例6: 11(x3x23)dx 11x3d x 11(x23)dx
奇函数 偶函数
例7:
0201(x23)dx2(13x3