6.2.3 向量的数乘运算 (精讲)(原卷版)

课时教案设计课题6.2.3向量的数乘运算课型新授课备课时间授课时间课时1课时教学基本程序一、教学目标：1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.二、教学重点难点：重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件.难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件.三、教学准备：教师准备：多媒体设备（班班通），课件学生准备：课本、笔记、练习本四、教学过程：二次备课课堂三分钟：一、情景引入我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a )向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.阅读课本13-16页，思考并完成以下问题1.向量数乘的定义及其几何意义是什么？2.向量数乘运算满足哪三条运算律？3.向量共线定理是怎样表述的？4.向量的线性运算是指的哪三种运算？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

二、探索新知实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa . 它的长度和方向规定如下： (1)|λa |=|λ||a |. (2)λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；特别地，当λ=0或a =0 时，λa =0 .2、实数与向量的积的运算律设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：(1)(λ+μ)a =λa +μa ；　(2)λ(μa )=(λμa )；　(3)λ(a +b )=λa +λb .3、向量平行的充要条件：向量b 与非零向量a 平行的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa .三、典例分析、举一反三题型一向量的线性运算例1化简下列各式：(1)2(3a -2b )+3(a +5b )-5(4b -a )；(2)16[2(2a +8b )-4(4a -2b )]．【答案】(1)14a -9b . (2)-2a +4b .【解析】(1)原式=6a -4b +3a +15b -20b +5a =14a -9b .(2)原式=16(4a +16b -16a +8b )=16(-12a +24b )=-2a +4b .解题技巧(向量线性运算的方法)(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．跟踪训练一1、设向量a =3i +2j ，b =2i -j ，求13a -b -a -23b +(2b -a )．2、已知a 与b ，且5x +2y =a ,3x -y =b ，求x ，y .【答案】1、-53i -5j . 2、x =111a +211b ，y =311a -511b .．【解析】1、原式=13a -b -a +23b +2b -a =13-1-1 a +-1+23+2 b =-53a +53b =-53(3i +2j )+53(2i -j )=-53i -5j .2、联立方程组5x +2y =a ，3x -y =b ， 解得x =111a +211b ，y =311a -511b . 题型二向量线性运算的应用例2如图所示，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB =a ，AD =b ，DC =c ，试用a ，b ，c 表示BC ，MN .【答案】 BC -a +b +c . MN =12a -b -12c .【解析】　BC =BA +AD +DC =-a +b +c .∵MN =MD +DA +AN ，又MD =-12DC ，DA =-AD ，AN =12AB ，∴MN =12a -b -12c .解题技巧：(用已知向量表示未知向量)用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．跟踪训练二1、如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC =a ，BD =b ，试用a ，b 分别表示DE ，CE ，MN .【答案】DE =12a . CE =-12a +b . MN =14a -b .【解析】由三角形中位线定理，知DE 平行且等于12BC ，故DE =12BC ，即DE =12a .CE =CB +BD +DE =-a +b +12a =-12a +b .MN =MD +DB +BN =12ED +DB +12BC =-14a -b +12a =14a -b .题型三共线定理的应用例3　已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB =e 1+e 2，BC =2e 1+8e 2，CD =3(e 1-e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)欲使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线，试确定实数k 的值．【答案】(1)见解析，(2)k =±1.【解析】　(1)证明：∵AB =e 1+e 2，BD =BC +CD =2e 1+8e 2+3e 1-3e 2=5(e 1+e 2)=5AB .∴AB ，BD 共线，且有公共点B ．∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k e 1+e 2和e 1+k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2)，即(k -λ)e 1=(λk -1)e 2.∵e 1与e 2不共线，∴k -λ=0，λk -1=0， 解得k =±1.解题技巧(用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路)(1)若b =λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b =λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB =λAC ，则AB ，AC 共线，又AB 与AC 有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．跟踪训练三1、已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB =2e 1-8e 2，CB =e 1+3e 2，CD =2e 1-e 2，求证：A ，B ，D 三点共线；2、已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP =xOA +yOB ，求x+y 的值．【答案】1、见解析.2、x +y =1.【解析】1、证明：∵CB =e 1+3e 2，CD =2e 1-e 2，∴BD =CD -CB =e 1-4e 2.又AB =2e 1-8e 2=2(e 1-4e 2)，∴AB =2BD ，∴AB ∥BD .∵AB 与BD 有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．2、解由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB ，AP 在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP =λAB ，即OP -OA =λ(OB -OA )，所以OP =(1-λ)OA +λOB ，故x =1-λ，y =λ，即x +y =1.四、小结1. 数乘向量的定义；2.数乘向量的运算律；3.共线向量定理.五、板书设计6.2.3向量的数乘运算六、作业布置(时间：)七、作业反馈(时间：)课本15、16页练习，22页习题6.2的8，9，12，13，14，15题.八、教学反思(时间：)优点缺点措施教研组长签字：_________(日期：_______)。

平面向量的数乘运算【知识梳理】一、向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 的方向相同；当λ<0时，与a 的方向相反. 特别地，当λ＝0时，λa ＝0.当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .二、向量数乘的运算律1.(1)λ(μa )＝(λμ)a .(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa .(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，(－λ)a ＝－λa ＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb .向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .三、向量共线定理1. 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .2. 若,,A B C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实数,x y 使OA xOB yOC =+，且1x y +=【学习目标】1. 理解实数与向量的积的定义及向量数乘的运算率，并理解其几何意义。

2. 理解两个向量共线的条件，理解并掌握判断三点共线的方法。

【例题分析】例1. 计算：（1）()()35326a b a b --+；（2）()()4352368a b c a b c -+---+．巩固. 计算：（1）()345a b -+；（2）()()62432a b a b ---．例2. 已知43AP AB →→=，且AP k BP →→=，则实数k =___________.例3. 已知向量,a b ，且2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则一定共线的三点是（ ）A ．A ，B ，DB ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D例4. 已知a ， b 是两个不共线的向量，向量b ta -，1322a b -共线，求实数t 的值． 【课时训练】一、单选题1．已知R λ∈，则下列结论正确的是A ．a a λλ=B ．a a λλ=C ．a a λλ=D ．0a λ>2．已知实数m n ，和向量a b ，，有下列说法： ①()m a b ma mb -=-；②()m n a ma na -=-；③若ma mb =，则a b =；④若(0)ma na a =≠，则m n =. 其中，正确的说法是A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 3．如图所示，已知在ABC 中，D 是边AB 上的中点，则CD =（ ） A ．12BC BA -B ．12BC BA -+C ．12BC BA --D ．12BC BA +4．已知向量a b ，是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a b ，共线的是 ①234a b e -=且22a b e +=-； ②存在相异实数入λμ，，使0a b λμ-=；③0xa yb +=（其中实数x y ，满足0x y +=）； ④已知梯形ABCD ，其中AB a CD b ==，A ．①②B ．①③C ．②D ．③④ 5．若3,5AB a CD a ==-,且AD BC =,则四边形ABCD 是 A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．非等腰梯形 6．在ABC ∆中，已知D 是边AB 上的一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ= A ．13 B ．23 C ．12 D ．347．在ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，且3BC CD =.若1(1),03AO xAB x AC x =+--<<，则点O 在（ ）A ．线段BC 上B ．线段CD 上C ．线段AC 上D ．线段AD 上8．P 是ABC 所在平面内一点，若CB PA PB λ=+，其中R λ∈，则P 点一定在 A ．ABC 内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上9．设D E F ，，分别是ABC 的三边BC CA AB ，，上的点，且222DC BD CE EA AF FB ===，，，则AD BE CF ++与BCA ．平行且方向相反B ．平行且方向相同C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直 10．AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，设,BA a BD b ==，则BC =A ．12a b +B ．12a b -C ．12a b +D ．12a b - 11．已知向量a b ，不共线，若向量a b λ+与b a λ+的方向相反，则λ等于 A ．1B ．0C ．1-D ．±1 二、填空题 12．若5a =，b 与a 的方向相反，且7b =，则a ＝________b . 13．若a ，b 为已知向量，且()()24335403a c c b -+-=，则c =_____________. 14．已知O 是线段AB 外一点，C ，D 是线段AB 13OA e =，23OB e =，那么OD =________________.15．已知向量,a b 不共线，且()21c a b d a b λλ＝＋，＝＋－，若c 与d 同向，则实数λ的值为__________．16．设2(5)283()2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，，，则共线的三点是__________.。