北师大版九年级(初三)数学下册PPT：圆内接正多边形18页PPT

根据勾股定理，心可距r得 边4222 2 3
亭子的面 S积1Lr1242 22
341.6(m2)
E
.. O
D
rR
PC
1、正n边形的一个内角的度数是_（ __n___2） _•_1_8;0
n
360
中心角是_____n______; ２、正多边形的中心角与外角的大小关系是
____相__等__.
A
D
3、正方形ABCD的外接圆圆心
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
A
∴AB=BC=CD=DE=EA ∵B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B
1
B2
5E
∴∠1=∠2 同理∠2=∠3=∠4=∠5
3
4
C
D
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:
E
D
外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.8圆内接正多边形
三条边相等，三个角也 四条边都相等，四个
相等（60度）。
角也相等（90度）。
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正n边形：如果一个正多边形有n(n≥3)条

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为 顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.
⌒ ⌒ ⌒⌒ ⌒ 证明:(1〕∵AB=BC=CD=DE=EA，
A
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∵B⌒CE=⌒CDA⌒=3AB，
1
B2
5E
∴∠1=∠2， 同理∠2=∠3=∠4=∠5，
3
4
C
D
又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
〔2〕连接OA，OB，OC，那么 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C 为切点的⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
P B Q
C
A
T
E O
S
D R
又∵A⌒B=⌒BC， ∴AB=BC， ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形. ∴∠P=∠Q,PQ=2PA. 同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
A
求证：正五边形的对角线相等
B
E
C
D
怎样找圆的内接正三角形？ A
D
怎样找圆的外切正三角形？
H
B
C
A
D
怎样找圆的内接正方形？
E
0
G 怎样找圆的外切正方形？
B
C
怎样找圆的内接正n边形？
F
怎样找圆的外切正n边形？
【例题】
【例1】把圆分成5等份，求证：
⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接 正五边形；
在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
边心距OD=1 R.
A
2
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,

用尺规作一个已知圆的内接正六边形
作法： 1.作直径AB（O是圆心） 2.以A为圆心，OA为半径画圆，交圆O于D、F 3.以B为圆心，OB为半径画圆，交圆O于C、E 4.顺次连接AD、DC、CB、BE、EF、FA则六边形 ADCBEF就是所求的圆内接正六边形
1、正多边形和圆有什么关系？你能举例说明吗？ 2、什么是正多边形的中心、半径、中心角、
1.通过阅读课本能说出圆的内接正多边形的有关概念； 并会应用正多边形的知识进行有关的计算；
2.经历作图，会利用等分圆的方法画圆的内接正方形和 正六边形。
E
A
D
正多边形定义
B
C
各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形.
正多边形内角和、外角和
(n-2)•180°；360°
你能说出几个正多边形吗？
二、正多边形有关的概念
A
证明：∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A B
E
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=3A⌒B
C
D
定义∴∴：∠∠把AA圆==∠∠分BB成=∠同nC（理=n∠∠≥DB=3=∠）∠EC等=份∠D：=∠E
依又次∵顶连点结A各、分B、点C所、得D、的E多都边在形⊙是O上这个圆
的内∴接五边正形多A边BC形D.E是⊙O的 内接正五边形.
1• 2
3R • 3 R 3 3 R 2
2
4
正n边形与圆的关系
思考：当把正n边形的边数无限增多时, 这时正多边形就接近于什么图形？
正六边形
正八边形
正十二边形
正十七边形
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.怎样由圆得到正多边形呢？
思考: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点,

方法归纳
利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法：把一个圆n等分(n≥3)，
依次连接各分点，就可以作出一个圆内接正多边形．
这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆.
拓展：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的
多边形是这个圆的外切正多边形．
二、自主合作，探究新知
以正五边形为例，了解圆内接正多边形的相关概念．
；

°
2.正n边形的每个外角都相等，都等于
；

°
3.正n边形的每个内角都相等，都等于180°−
．

二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则
∠ADE的度数是
A．60°
C． 36°
A
（C ）
B．45°
B
E
O
D． 30°
C
·
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
作法：(1)作⊙O的任意一条直径FC；
E
D
(2)分别以F，C为圆心，以R为半径作弧，与
⊙O交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，
.O
F
C
F是⊙O的六等分点；
A
(3)顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，便得
到正六边形ABCDEF.
B
三、即学即练，应用知识
1．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则
D
解：如图，作OM⊥AB于点M，连接OA，
OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．
由正五边形性质得∠AOB＝360°÷5＝72°，
∴ ∠AOM＝36°．

∵ AB＝ ×26＝5.2(m)，∴ AM＝2.6(m)．

(2)90°，72°.
°
(3)∠MON＝
.

合作探究
有一个亭子(如图)，它的地基是半径为8 m的正六边形，
求地基的周长和面积.(结果保留根号)
合作探究
解:如图，连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
°
∴∠BOC＝ ＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝8 m，
于另一点，依次下去，在圆周上得到六个点；
合作探究
(3)依次每隔一点相连接，就得到了这个圆的一个内接正三
角形.
合作探究
已知正方形ABCD的边心距OE＝ cm，求这个正方
形外接圆☉O的面积.
合作探究
解:如图，连接OC、OD，
∵☉O是正方形ABCD的外接圆，∴O是对角线AC、BD的交
点，

∴∠ODE＝∠ADC＝45°.
∴正六边形ABCDEF的周长＝6×8＝48 m.
合作探究
过O作OG⊥BC于G，
∵△OBC是等边三角形，OB＝8 m，
∴∠OBC＝60°，
∴OG＝OB·sin∠OBC＝8×

＝4


∴S△OBC＝BC·OG＝×8×4
m，
＝16 (m2)，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×16 ＝96 m2.
.
෽
2.如图，四边形ABCD是☉O的内接正方形，P是上不同
于点C的任意一点，则∠BPC的大小是(B
A.22.5°
B.45°
C.30°
D.50°
)
合作探究
用尺规作一个已知圆的内接正三角形.
解:作法为(1)以圆周上任意一点为圆心，以圆的半径为半

总结
正多边形的识别要从两个角度去看， 一是边都相等； 二是内角都相等．
1 分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距.
解：设正六边形DFHKGE 的中心为O，连接OH，OK，
则△OHK 为等边三角形．
由题意可得OH＝HK＝ 1 BC＝2，∠OHK＝60°，
∴S△OHK＝
1 2
HK
·
OH
∴BC＝AE. 同理可证其余各边都相等． ∴五边形ABCDE 是正五边形．
例3 下列说法不正确的是( D ) A．等边三角形是正多边形 B．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形 C．菱形不一定是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形
导引：等边三角形是正三角形；各边相等，各角也相等的多边形是正 多边形；当菱形的四个角相等时才是正多边形(正方形)，所以 菱形不一定是正多边形；D说法不正确. 答案：D
每个外角为：360 .
n
n
例1 如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径OC = 4， OG丄BC， 垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
解：连接OD. ∵六边形ABCDEF 为正六边形，
∴ ∠ COD = 360 = 60°
6
∴ △COD 为等边三角形.
∴ CD = OC = 4.
8 圆内接正 多边形
1.观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形. 2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体?
知识点 1 圆内接正多边形及相关定义
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆
叫做该正多边形的外接圆.
正n 边形的各角相等，且每个内角为：(n 2) 180 ；
导引：根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得出 BDE CDA， 利用等式的性质，两边同时减去 CDE ，即可得到

圆
圆心
圆心角
半径R
弦心距r
正多边形的有关概念及性质
类比学习
正多边形
中心
半径R
中心角
边心距r
核心知识点四
圆内接正多边形的有关计算
想一想
1、正n边形的每个中心角等于
360
n
.
2、 正n边形的内角和等于
.
每个内角等于
.
360
n
3、正n边形的每个外角等于
. 正多边
形的中心角与外角的大小关系是相等 .
4、正n边形的边长a，半径R，边心距r之间满足
（3）依次连接这六个点，就得到了这个圆
的内接正六边形。
O
画法二：
(1)作☉O的任意一条直径AD.
(2)分别以A，D为圆心，以☉O的
半径R为半径作弧，与☉O相交于点
B，F和C，E.
(3)顺次连接AB，BC，CD，DE，EF
，FA，便得到正六边形ABCDEF.
C
B
D
A
F
E
想一想: 你能借助尺规作出圆内接正四边形吗?
形边数
2
3
2 3
1
4
2
1
2
6
3
2
2
周长
面积
O
6 3
3 3
8
12
4
Байду номын сангаас
B
D
6 3
2. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边
数是
3
.
3.已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为
72
________度．
C
知识小结

•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 11:43:39 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
中心角 360 n
中心角E
D
边心距把△AOB分成两个
2个全等的直角三角形 F
AO G BOG 180 n
.O
.
C
R
a
AGB
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长L= na。
边心距 r R2（ a）2 ， 2
面积S 1L•边心距r） （ 1na•边心距r） （
2
2
例 如图：在圆内接正六边形ABCDEF中，半径是
⑴ 求图⑴中∠MON的度数
⑵ 图⑵中∠MON的度数是 .
⑶ 请探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系为
A
D
M
O
. A
O
C
M
N
B
N
C
B
A M B
⑴
⑵
⑶
E
D
O
D
O
NC
A
M

为( B )
A．6 cm
B．4 cm
C．2 cm
D．2 3 cm
3．如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，若直线 PA 与⊙O 相切于点 A，
则∠PAB 的度数是( A )
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
4．以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作如图 1,2,3，…，n，M、N 分别是⊙O 的内接正三角形 ABC，正方形 ABCD，正五边形 ABCDE，…，正 n 边形 ABCDE…的边 AB、BC 上的点， 且 BM＝CN，连接 OM、ON. (1)求图 1 中∠MON 的度数； (2)图 2 中∠MON 的度数是________；图 3 中∠MON 的度数是________； (3)试探究∠MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系(直接写出答案)．
C． 3
D．2
10．已知正方形的周长为 x，它的外接圆的半径为 y，则 y 与 x 的函数关系 式是 y＝ 82x .
11．如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，四边形 BCFG 的面积为 20 cm2， 则正八边形的面积为 40 cm2 .
12．如图所示，正五边形 ABCDE 的对角线 AC 和 BE 相交 于点 M. 求证：(1)AC∥DE； (2)ME＝AE. 证明：(1)由题意得∠EDC＝180°×55－2＝108°，∠DCA＝108°－12×(180° －108°)＝72°，∴∠EDC＋∠DCA＝108°＋72°＝180°，∴AC∥DE； (2)易得∠DEB＝∠EAC＝108°－21×(180°－108°)＝72°，∵AC∥DE，∴∠ AME＝∠DEB＝72°，∴∠AME＝∠EAC，∴ME＝AE.
A.

北师大版九年级（初三）数 学下册PPT：圆内接正多边
形
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 的 光荣可 以被永 远肯定 。

A
·O
D
C
连接OB，OC 作OE⊥BC，垂足为E，∠OEB=90°，
∠OBE=∠BOE=45°，
Rt△OBE为等腰直角三角形，
A
D
BE 2 OE 2 OB2 ,
2OE 2 OB2 ,
OE 2 OB2 . 2
B
边心距OE 2 OB 2 R,
2
边长BC 2BE 2
2
【定理】 把圆分成n（n≥3）等份：
依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接 正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交 点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？
类比联想
正三角形 有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？
正方形 有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？
R
n
设正多边形的边长为a,边数为n， A
G
圆的半径为R,它的周长为L=na.
边心距r
R
2（
a
2
） ，
2
面积S 1 L 边心距（r） 1 na 边心距（r）
2
2
D
C
a
B
正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴. 若n为偶数，则其为中心对称图形.
A
B O
A
E
B
F
O
C
C
D
E
D
1.分别求出半径为R的圆内接正三角形、 正方形的边长、边心距和面积.
数学是无穷的科学. ——赫尔曼外尔
那么，正n边形呢？
【定理】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且