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4.2 正 切知|识|目|标1．通过对教材“探究”的学习，理解锐角的正切的定义，并能在直角三角形中求锐角的正切值．2．利用含30°，45°，60°角的直角三角形探索这些特殊角的正切值，并能进行有关计算．3．通过回顾用计算器计算锐角的正弦值，掌握用计算器求锐角的正切值及已知锐角的正切值求它的对应锐角．4．通过对锐角的正弦、余弦、正切的比较，归纳提炼出锐角三角函数的概念．目标一 会求锐角的正切值例1 教材补充例题如图4－2－1所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，AB ＝26.求tan A ，tan B 的值．图4－2－1【归纳总结】 锐角的正切的含义1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b 分别是∠A ，∠B 的对边，则tan A ＝a b ，tan B ＝b a. 2．在直角三角形中，求一个锐角的正切值只需要确定两条直角边的长，与斜边无关． 3．直角三角形中，两个锐角的正切值互为倒数．图4－2－2如图4－2－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝BC AC ，tan B ＝AC BC，所以tan A ·tan B ＝1.例2 教材补充例题已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan B ＝23，BC ＝9.求AB 的长．【归纳总结】 利用锐角的正切求三角形边长的条件(1)在直角三角形中；(2)已知其中一锐角的度数和两直角边中一边的长度． 目标二 用特殊角的正切值进行计算 例3 教材例题针对训练计算：tan30°－1－2tan60°＋tan 260°＋tan45°·cos45°.【归纳总结】特殊角的正切值1．tan30°＝33，tan45°＝1，tan60°＝ 3.2．锐角α的正切值tanα的变化规律：锐角α的正切值tanα随着角度α的增大而增大．3．若α是锐角，则tanα·tan(90°－α)＝1.目标三用计算器求锐角的正切值例4 教材练习第2题变式利用计算器计算(精确到0.01)：(1)tan81°；(2)tan43.27°；(3)tan22°18′.【归纳总结】用计算器求值时要注意按键顺序，结果要按要求取近似值．目标四 会进行锐角三角函数的化简与求值例5 教材补充例题 已知α为锐角，且cos α＝13，求tan α＋cos α1＋sin α的值．【归纳总结】 锐角三角函数的化简计算中常用到的公式 (1)sin 2α＋cos 2α＝1(用于正、余弦之间的互化)； (2)tan α＝sin αcos α(用于正弦、余弦与正切之间的互化)．例6 教材补充例题如图4－2－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝AC ，D 为AC 的中点，求tan ∠ABD 的值．图4－2－3【归纳总结】 求锐角三角函数值的方法(1)采用转移法，通过作辅助线或利用三角形全等(相似)将锐角转移到直角三角形中；(2)在直角三角形中应用勾股定理分别求出各边的长；(3)利用锐角三角函数的定义求解即可．知识点一 正切的定义在直角三角形中，锐角α的______与______的比叫作角α的正切，记作tan α，即tan α＝__________．图4－2－4如图4－2－4，在Rt △ABC 中，锐角α的对边是BC ，邻边是AC ，则tan α＝BCAC. 知识点二 特殊角的正切值tan30°＝______，tan45°＝____，tan60°＝______．知识点三 用计算器由正切值求角度与用计算器由锐角的正、余弦值求角度相同，仅按的键不同．由正切值求角度时按键顺序应为“2ndF ，tan ，数值，＝”或“SHIFT ，tan ，数值，＝”．知识点四 锐角三角函数的概念定义：我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数．取值范围：当α为锐角时， 正弦：0＜sin α＜1，余弦：0＜cos α＜1，正切：tan α＞0.如图4－2－5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，tan A ＝12，求BC 的长．解：∵tan A ＝12，∴设BC ＝2x ，则AC ＝x .根据勾股定理，得(2x )2＋x 2＝102， 解得x ＝2 5(负值已舍去)，∴BC ＝4 5.上述解题过程有错误吗？若有，请指出来，并写出正确的解题过程．图4－2－5详解详析【目标突破】例1 解：∵∠C ＝90°，AC ＝10，AB ＝26， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝24，∴tan A ＝BC AC ＝2410＝125，tan B ＝AC BC ＝1024＝512.例2 解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan B ＝23，∴tan B ＝AC BC ＝23，即AC 9＝23，解得AC ＝6.∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋92＝3 13.例3 解：原式＝tan 30°－（1－tan 60°）2＋tan 45°·cos 45° ＝tan 30°－|1－tan 60°|＋tan 45°·cos 45° ＝33－(3－1)＋1×22＝－2 33＋22＋1. 例4 解：(1)tan 81°≈6.31. (2)tan 43.27°≈0.94. (3)tan 22°18′≈0.41.例5 解：原式＝sin αcos α＋cos α1＋sin α＝sin α（1＋sin α）cos α（1＋sin α）＋cos 2αcos α（1＋sin α）＝sin α＋sin 2α＋cos 2αcos α（1＋sin α）＝sin α＋113（1＋sin α）＝3.例6 解：如图，过点D 作DE⊥AB 于点E.设AC ＝BC ＝2a ，根据勾股定理得AB ＝2 2a.∵D 为AC 的中点，∴AD ＝a.∵在Rt △ABC 中，BC ＝AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝45°.又∵DE⊥AB，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ＝AE ＝22a ，∴BE ＝AB －AE ＝3 22a ，∴tan ∠ABD ＝DE BE ＝13.【总结反思】[小结] 知识点一 对边 邻边角α的对边角α的邻边知识点二 331 3[反思] 解：有错误．锐角的正切值应是锐角的对边与邻边的比．正确的解题过程如下： ∵tan A ＝BC AC ＝12，∴设BC ＝x ，则AC ＝2x.根据勾股定理，得x 2＋(2x)2＝102，解得x ＝2 5，∴BC ＝2 5.。
4.2 正切要点感知1 如图，在直角三角形中，锐角α的____与____的比叫作角α的正切，记作tan α，即tan α=____.预习练习1-1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，那么tanA 等于( ) A.135 B.1312 C.125 D.512 要点感知2预习练习2-1 （包头中考）3tan30°的值等于( )A.3B.33C.33D.23 要点感知3 用计算器求锐角的正切值，以及由已知正切值，求相应的锐角的度数的程序与用计算器求锐角的正弦值，和由已知正弦值，求相应的锐角的度数的程序完全相反，只是按的键不同，将按sin 键改成tan 键即可. 预习练习3-1 已知tan α=0.324 9，则α约为( )A.17°B.18°C.19°D.20°要点感知4 锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数.预习练习4-1 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=24，BC=7，求sinA ，cosA ，tanA.知识点1 正切的定义1.(广州中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tanA=( )A.53B.54C.43D.342.(湖州中考)如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，tanA=21，则BC 的长是( ) A.2 B.8 C.25 D.45 3.在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB=5，求tanA ，tanB 的值.知识点2 特殊角(30°，45°，60°)的正切值4.计算tan45°+tan30°=( ) A 333+ B.232+ C.23 D.231+5.式子2tan30°-tan45°-2)60tan 1(o -的值是____.知识点3 用计算器求锐角的正切值或已知锐角的正切值求锐角6.填空(精确到0.000 1)：(1)tan36°≈____.(2)tan83°18′≈____.(3)tan23°42′≈____.(4)tan57°54′≈____.7.填空(精确到0.1°)：(1)已知tan α=0.241 9，则α≈____°.(2)已知tan α=0.472 7，则α≈____°.(3)已知tan α=1.528 2，则α≈____°.(4)已知tan α=31.820 5，则α≈____°.知识点4 锐角三角函数8.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC ∶AC=8∶15，求∠A 的三个三角函数值.9.在△ABC 中，∠C=90°，a=1，b=2，则tanA 等于( )A.3B.2C.23D.2210.(凉山中考)在△ABC 中，若|cosA-21|+(1-tanB)2=0，则∠C 的度数是( )A.45°B.60°C.75°D.105°11.(巴中中考)在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=135，则tanB 的值为( )A.1312B.135C.1213D.51212.(安顺中考)在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=34，BC=8，则△ABC 的面积为____.13.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，tanA=34，求sinA ，cosB 的值.14.计算：(1)sin60°tan30°-tan45°cos230°； (2)60tan 45sin 60cos -30tan 2222 .15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，已知CD ⊥AB ，BC=1.(1)如果∠BCD=30°，求AC ； (2)如果tan ∠BCD=31，求CD.应战自我16.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，求tan ∠CBE 的值.参考答案要点感知1 对边邻边 角α的对边/角α的邻边预习练习1-1 C预习练习2-1 A预习练习3-1 B 预习练习4-1 在Rt △ABC 中，∵∠C=90°，∴sinA=257，cosA=2524，tanA=247.1.D2.A3.∵在△ABC 中，∠C=90°，tanB=34. 4.A5.-336.(1)0.726 5(2)8.512 6(3)0.439 0(4)1.594 17.(1)13.6(2)25.3(3)56.8(4)88.2 8.设BC=8k ，AC=15k ，则AB=17k.∴sinA=178，cosA=1715，tanA=158.9.D 10.C 11.D 12.24 13.∵∠C=90°，∴sinA=54，cosB=54. 14.(1)原式=41.(2)原式=421.15.(1)AC=BC ·tan60°=3；(2)CD=10103. 16.根据题意，BE=AE.设CE=x ，则BE=AE=8-x.在Rt △BCE 中，根据勾股定理得：BE 2=BC 2+CE 2，即(8-x)2=62+x 2，解得x=47.∴tan ∠CBE=247. 成都七中实验学校 2015-2016学年（上期）第一学月考试八年级语文考生留意：1．开考之前请考生将本人的考室号、座号等信息精确的填写在指定的地位，一切答案都写在答题卷上，对错误填写的考生成绩以0分计算。
第4章 锐角三角形函数4.2 正切知识点 1 正切的定义 1．如图4－2－1，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则tan A 的值为( )A ．2 B.12C.55D.2 552．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若斜边AB 是直角边AC 的3倍，则tan B 的值是( )A.13 B ．3 C.24D ．2 2图4－2－1图4－2－23．如图4－2－2，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么tan α的值是( ) A.34 B.43 C.35 D.454．如图4－2－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，sin A ＝25，求BC 的长和tan B 的值．图4－2－3知识点 2 特殊角的正切值 5．tan60°的值为( ) A.3 B ．3 3 C.33 D.326．化简（tan30°－1）2的结果是( ) A ．1－33B.3－1C.33－1 D.3＋1 7．计算：(1)tan 230°－2tan60°sin60°＋3tan45°；(2)3sin60°－2cos30°－tan60°·tan45°.知识点 3 用计算器求正切值或角度8．用计算器计算tan44°的结果是(精确到0.01)( ) A ．0.95 B ．0.96 C ．0.97 D ．0.989．已知tan A ＝5.2137，那么锐角A ≈________．(精确到1°) 知识点 4 锐角三角函数10．如图4－2－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是( )图4－2－4A ．sin A ＝1312B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝51211．已知α为锐角，且cos α＝35，求sin α，tan α的值．12．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，则锐角α的度数应是( ) A ．40° B ．30° C ．20° D ．10° 13．在△ABC 中，若锐角∠A ，∠B 满足|cos A －32|＋(1－tan B )2＝0，则∠C 的度数为( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°14．2017·怀化模拟已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan B ＝43，则cos A ＝________． 15．如图4－2－5，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12∠BAC ，则tan ∠BPC ＝________．图4－2－5图4－2－616．如图4－2－6，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cos A ＝35，则tan ∠DBE 的值是________．17．计算：(1)sin245°＋tan60°·cos30°2cos45°＋tan45°；(2)sin60°－1tan60°－2tan45°－3cos30°＋2sin45°.18．如图4－2－7，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，求tan∠BAC的值．图4－2－719．在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝90°.若定义cot A＝∠A的邻边∠A的对边＝ba，则称它为锐角A的余切．根据这个定义解答下列问题：(1)求cot30°的值；(2)已知∠A为锐角，tan A＝34，试求cot A的值；(3)求证：tan A＝cot(90°－∠A)．1．B 2.C3．A [解析] 过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，则AB ＝3，OB ＝4，所以tan α＝AB OB ＝34.故选A.4．解：∵sin A ＝BC AB ＝25，AB ＝10，∴BC ＝4. 又∵AC ＝AB2－BC2＝221， ∴tan B ＝AC BC ＝212. 5．A 6.A 7．解：(1)原式＝(33)2－2 3×32＋3＝13－3＋3＝13. (2)原式＝3×32－2×32－3×1＝3 32－3－3＝－32. 8．C [解析] tan44°≈0.97.9．79°10． D [解析] ∵∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12， ∴AC ＝AB2－BC2＝5. 选项A 中，sin A ＝BC AB ＝1213，错误；选项B 中，cos A ＝AC AB ＝513，错误；选项C 中，tan A ＝BC AC ＝125，错误；选项D 中，tan B ＝AC BC ＝512，正确．故选D.11．解：如图所示，∵cos α＝AC AB ＝35，∴设AC ＝3a ，AB ＝5a (a ＞0)，则BC ＝AB2－AC2＝（5a ）2－（3a ）2＝4a ， ∴sin α＝BC AB ＝4a 5a ＝45， tan α＝BC AC ＝4a 3a ＝43.12．D [解析] ∵3tan(α＋20°)＝1，∴tan(α＋20°)＝33.∵α为锐角，∴α＋20°＝30°，α＝10°.故选D.13．D [解析] ∵锐角∠A ，∠B 满足|cos A －32|＋(1－tan B )2＝0，∴∠A ＝30°，∠B ＝45°，∴∠C ＝105°.故选D.14.45 [解析] 如图，由tan B ＝43，可设AC ＝4k ，BC ＝3k (k ＞0)，由勾股定理，得AB ＝5k ，∴cos A ＝AC AB ＝4k 5k ＝45.故答案为45.15.4316.217．解：(1)原式＝（22）2＋3×322×22＋1＝1.(2)原式＝32－13－2×1－3×32＋2×22＝12－32＋1＝0. 18．解：设小正方形的边长为1，延长AC 与网格交于点E ，连接BE ， 由勾股定理，得BE ＝2，AE ＝3 2，AB ＝2 5，则BE 2＋AE 2＝AB 2，所以△ABE 为直角三角形，且∠AEB ＝90°， 所以tan ∠BAC ＝BE AE ＝23 2＝13.19． (1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝30°，则AB ＝2BC ，AC ＝3BC ， ∴cot30°＝AC BC ＝3BCBC＝3. (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∵tan A ＝BC AC ＝34，∴可设BC ＝3k (k ＞0)，则AC ＝4k ， ∴cot A ＝AC BC ＝4k 3k ＝43.(3)证明：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A . ∵tan A ＝BC AC，cot B ＝BC AC，∴tan A ＝cot B ，即tan A ＝cot(90°－∠A )．。
4.2 正切要点感知1 如图，在直角三角形中，锐角α的____与____的比叫作角α的正切，记作tanα，即tanα=____.预习练习1－1 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =5，那么tanA 等于( )A.135B.1312C.125D.512 要点感知2预习练习2－1 （包头中考）3tan 30°的值等于( ) A.3 B.33 C.33 D.23要点感知3 用计算器求锐角的正切值，以及由已知正切值，求相应的锐角的度数的程序与用计算器求锐角的正弦值，以及由已知正弦值，求相应的锐角的度数的程序完全相同，只是按的键不同，将按sin 键改成tan 键即可.预习练习3－1 已知tanα=0.324 9，则α约为( ) A.17° B.18° C.19° D.20° 要点感知4 锐角的正弦.余弦和正切统称为锐角三角函数. 预习练习4－1 如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =24，BC =7，求sinA ，cosA ，tan A.知识点1 正切的定义1.(广州中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tanA =( )A.53B.54C.43D.342.(湖州中考)如图，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，tanA =21，则BC 的长是( )A.2B.8C.25D.453.在△ABC 中，∠C =90°，BC =3，AB =5，求tanA ，tanB 的值. 知识点2 特殊角(30°，45°，60°)的正切值4.计算tan 45°+tan 30°=( ) A333+ B.232+ C.23D.231+ 5.式子2tan 30°－tan 45°－2)60tan 1(o -的值是____.知识点3 用计算器求锐角的正切值或已知锐角的正切值求锐角 6.填空(精确到0.000 1)：(1)tan 36°≈____. (2)tan 83°18′≈____. (3)tan 23°42′≈____. (4)tan 57°54′≈____.7.填空(精确到0.1°)：(1)已知tan α=0.241 9，则α≈____°. (2)已知tan α=0.472 7，则α≈____°. (3)已知tan α=1.528 2，则α≈____°. (4)已知tan α=31.820 5，则α≈____°. 知识点4 锐角三角函数8.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC ∶AC =8∶15，求∠A 的三个三角函数值.9.在△ABC 中，∠C =90°，a =1，b =2，则tanA 等于( ) A.3 B.2 C.23 D.22 10.在△ABC 中，若|cosA －21|+(1－tanB )2=0，则∠C 的度数是( )A.45°B.60°C.75°D.105° 11.在Rt △ABC 中，∠C =90°，sinA =135，则tanB 的值为( ) A.1312B.135C.1213D.51212.在Rt △ABC 中，∠C =90°，tanA =34，BC =8，则△ABC 的面积为____.13.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，tanA =34，求sinA ，cosB的值.14.计算：(1)sin 60°tan 30°－tan 45°cos 230°； (2)60tan 45sin 60cos -30tan 2222 .15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，已知CD ⊥AB ，BC =1. (1)如果∠BCD =30°，求AC ； (2)如果tan ∠BCD =31，求C D.挑战自我16.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，求tan ∠CBE 的值.参考答案要点感知1 对边 邻边 角α的对边/角α的邻边 预习练习1－1 C 预习练习2－1 A 预习练习3－1 B预习练习4－1 在Rt △ABC 中，∵∠C =90°，∴sinA =257，cosA =2524，tanA =247.1.D2.A3.∵在△ABC 中，∠C =90°，tanB =34.4.A5.－336.(1)0.726 5(2)8.512 6(3)0.4390(4)1.594 1 7.(1)13.6(2)25.3(3)56.8(4)88.2 8.设BC =8k ，AC =15k ，则AB =17k .∴sinA =178，cosA =1715，tanA =158.9.D 10.C 11.D12.24 13.∵∠C =90°，∴sinA =54，cosB =54.14.(1)原式=41.(2)原式=421.15.(1)AC =BC ·tan 60°=3；(2)CD =10103. 16.根据题意，BE =AE .设CE =x ，则BE =AE =8－x .在Rt △BCE 中，根据勾股定理得：BE 2=BC 2+CE 2，即(8－x )2=62+x 2，解得x =47.∴tan ∠CBE =247.。
4.2 正切1 •通过对教材“探究”的学习，理解锐角的正切的定义，并能在直角三角形中求锐角的正切值.匚=1竽it 詣煖§□間|甸急曲cSIcc#屛3.通过回顾用计算器计算锐角的正弦值，掌握用计算器求锐角的正切值及已知锐角的 正切值求它的对应锐角.请关注微信号：全品初中优秀教师c 日npoint-yxjs4.通过对锐角的正弦、余弦、正切的比较，归纳提炼出锐角三角函数的概念.目标一会求锐角的正切值例1教材补充例题如图 4— 2 — 1所示，在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°, AC= 10, AB= 26. 求 tan A , tanB 的值.2.利用含30°, 45°，三60°角的直角三角形探索这些特特殊:勺正切值，并能进行有关标突破氐省■的放矢B【归纳总结】锐角的正切的含义a b1.在Rt△ ABC中，/ C= 90°, a, b 分别是/ A, / B 的对边，则tan A=匚，tan B=-. b a2•在直角三角形中，求一个锐角的正切值只需要确定两条直角边的长，与斜边无关.3.直角三角形中，两个锐角的正切值互为倒数.图4—2-2BC AC如图4 —2—2,在Rt △ ABC中,/ C= 90 °, tan A= AC tan B= BC所以tanA・ tan B=1.例2教材补充例题已知在Rt △ ABC中,/ C= 90°, tan B= 2, BC= 9.求AB的长.3请关汪微信号：全品初中flt»Jfcanpoint-yxjs【归纳总结】利用锐角的正切求三角形边长的条件(1) 在直角三角形中；(2)已知其中一锐角的度数和两直角边中一边的长度. 目标二用特殊角的正切值进行计算例3教材例题针对训练计算：tan30 ° — 1 —2tan60 ° + tan 260°+ tan45 ° • cos45 ° .【归纳总结】 特殊角的正切值增大.3.若 a 是锐角，则 tan a • tan(90 ° — a ) = 1.目标三用计算器求锐角的正切值例4教材练习第2题变式利用计算器计算(精确到0.01):⑴tan81 ° ; (2)tan43.27° ; (3)tan22 ° 18'.【归纳总结】 用计算器求值时要注意按键顺序，结果要按要求取近似值. 目标四 会进行锐角三角函数的化简与求值1COS a 例5教材补充例题 已知a 为锐角，且COS a=7，求tan a +的值.31 + sin a1. tan30 tan45 =1, tan602.锐角a 的正切值tan a 的变化规律：锐角的正切值tana 随着角度a的增大而请关汪微信号：全品初中flt»Jfcanpoint-yxjs【归纳总结】锐角三角函数的化简计算中常用到的公式(1) Sin 2a + COS2a = 1(用于正、余弦之间的互化)；sin a(2) tan a = (用于正弦、余弦与正切之间的互化).COS a例6 教材补充例题如图4 —2 —3,在Rt△ ABC中，/ C= 90°, BC= AC, D为AC的中点，求tan / ABD的值.【归纳总结】求锐角三角函数值的方法(1)采用转移法，通过作辅助线或利用三角形全等(相似)将锐角转移到直角三角形中；(2)在直角三角形中应用勾股定理分别求出各边的长；(3)利用锐角三角函数的定义求解即可.小结感悟$总结反思'「小结知识点一正切的定义在直角三角形中，锐角a的_______________ 与 _______ 的比叫作角a的正切，记作tan a ,即tana = __________ .知识点二 特殊角的正切值tan30 ° = _________ , tan45 ° = _______ , tan60 ° = _________知识点三用计算器由正切值求角度与用计算器由锐角的正、余弦值求角度相同，仅按的键不同.由正切值求角度时按键顺序应为“ 2ndF , tan ，数值，=”或“ SHIFT , tan ，数值，=”.知识点四锐角三角函数的概念我请关注微信号：全品初中优秀教师c 日npoint-yxjs如图 4— 2— 5,在 Rt △ ABC 中，/ C= 90°, AB= 10, tan A = £ 求 BC 的长.1解：T tan A =2‘・••设 BC= 2x ,则 AC= x . 根据勾股定理，得（2X ）2+ x 2= 102,解得X = 2 .5（负值已舍去），••• BC = 4 ,5.上述解题过程有错误吗？若有，请指出来，并写出正确的解题过程.如图4— 2— 4,在Rt △ ABC 中，锐角 a 的对边是BC ,邻边是 AC 贝U tan aBC AC定义：我们把锐角> 0.余弦和正切统称为:；为锐角时，正弦：O v sin a <4P 一亠斛0 v cos a v 1,正切：tan a3 Joy广反思' --【目标突破】例1 解：•••/ C= 90°, AC= 10, AB= 26, BC= \；A B—A C= 24,2例2 解：•••在Rt A ABC中，/ C= 90°, tan B= 3,3 AC 2 加AC 2 & /口:tanB= BC= 3,即6=3,解得AC=6••• AB= AC+ B C= 62+ 92= 3 13.例3 解：原式=tan 30°—(1 —tan 60°) 2+ tan 45°・cos45°=tan 30°—|1 —tan 60° | + tan 45°・cos45°例4 解：(1) tan 81 °~ 6.31.(2) tan 43.27 °~ 0.94.(3) tan 22° 18 0.41.，”、“ sin a COS a 原式=cos a +乔砧sin a (1 + sin a ) ____cos a (1 + sin a ) COS a详解详析2 2 sin a + sin a + COS a cos a ( 1 + sin a )sin a + 113 (1 + sin a )=3.BC 24二tanA= AC=乔12~5，AC 10tanB=BC= 24512.,3T—(,3—1) + 1 + 1.2COS a(1 + sin a )AB= 2 2a. TD例6 解：如图，过点D作DE I AB于点E.设AC= BC= 2a,根据勾股定理得为AC 的中点，••• A»a. T 在Rt △ ABC 中，BC= AC, /•△ ABC 是等腰直角三角形，/-Z A =Z ABC =45 ° .又•/ DE I ABADE 是 等腰直角三角形， • DE ^ AE=#a , • BE = AB- AE = 3^a ,DE• tan Z AB[> 龍=【总结反思】知识点二 ¥1［小结］知识点一角a 的对边对边邻边角a 的［反思］解：有错误.锐角的正切值应是锐角的对边与邻边的比. 正确的解题过程如下:T tanA= ACBCI ，2晟户三三•••设 BC=xA(2x) * 10，解得x = 2.5」BC= 2 ,5.根据勾股定理，得/ +11。
初中数学湘教版九年级上册第四章4.2正切练习题一、选择题1.△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是()A. sinα=cosαB. tanC=2C. sinβ=cosβD. tanα=12.cos30°的值是()A. 1B. √32C. 12D. √223.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=512，则cos A等于()A. 512B. 125C. 513D. 12134.在△ABC中，若∠C=90°，cosA=12，则∠A等于()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，BC=3，则sin A的值为()A. 43B. 35C. 34D. 456.计算tan60°的值等于()A. √33B. √32C. 1D. √37.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则∠A的正切值为()A. 43B. 45C. 54D. 348.已知sinA=12，则锐角A的度数是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°9.已知cosα=34，则锐角α的取值范围是()A. 0°<α<30°B. 30°<α<45°C. 45°<α<60°D. 60°<α<90°10.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，tanB=()A. 34B. 35C. 43D. 45二、填空题11.若√3tan(α+10°)=1，则锐角α=______．12.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=2√3，则AB=______．13.在△ABC中∠C=90°，tanA=√33，则cosB=______．14.已知如图：CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB=10，若BC=8，则cos∠ACD=______ ．三、解答题15.计算：(−1)3+√9−(π−112)0−2√3tan60°16. 先化简，再求值：(a −1+3a−3a−2)÷a 2−2a+1a−2，其中a =2sin60°+1．17. 如图1，在△ABC 中，D 是AB 上一点，已知AC =10，AC 2=AD ⋅AB ．(1)当tanA =34，∠ADC =90°时，求BC 的长．(2)如图2，过点C 作CE//AB ，且CE =6，连结DE 交BC 于点F ； ①若四边形ADEC 是平行四边形，求CFCB 的值； ②设AD =x ，CDCF =y ，求y 关于x 的函数表达式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD= AD=2，AB=2√2，AD=2，CD=1，AC=√5，∴sinα=cosα=√22，故A正确，tanC=ADCD=2，故B正确，tanα=1，故D正确，∵sinβ=CDAC =√55，cosβ=2√55，∴sinβ≠cosβ，故C错误．故选：C．观察图形可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2√2，AD=2，CD=1，AC=√5，利用锐角三角函数一一计算即可判断．本题考查锐角三角函数的应用．等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2.【答案】B【解析】解：cos30°=√32．故选：B．根据我们熟练记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．3.【答案】D【解析】解：如图：设BC=5x，∵tanA=512，∴AC=12x，AB=√AC2+BC2=13x，∴cosA=ACAB =12x13x=1213．故选：D．根据tanA=512求出第三边长的表达式，求出cos A即可．本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．解题的关键是掌握勾股定理和锐角三角函数的定义．4.【答案】C【解析】解：∵△ABC中，∠C=90°，cosA=12，∴∠A=60°．故选：C．根据∠A为△ABC的内角，且∠C=90°可知∠A为锐角，再根据cosA=12即可求出∠A的度数．本题比较简单，考查的是直角三角形的性质及特殊角的三角函数值．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查锐角三角函数的意义，熟练掌握是解决问题的关键.找出∠A的对边与斜边，求出比值即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴sinA=BCAB =35．故选B．6.【答案】D【解析】解：原式=√3，故选：D．根据特殊角的三角函数值进行计算即可．本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．7.【答案】D 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35=BCAB，∴设BC=3x，AB=5x，由勾股定理得：AC=√AB2−BC2=4x，∴tanA=BCAC =3x4x=34，即∠A的正切值为34，故选：D．设BC=3x，AB=5x，根据勾股定理求出AC=4x，再根据锐角三角函数的定义求出即可．本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵sinA=12，∴A=30°．故选：A．根据30°角的正弦值等于12解答．本题考查了特殊角的三角函数值，需熟记．9.【答案】B【解析】解：∵cos30°=√32，cos45°=√22，∵√22<34<√32，∴30°<α<45°，故选：B．根据余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)；考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)；③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)．10.【答案】A【解析】解：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴tanB=ACBC =34．故选：A．根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可．此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键．11.【答案】20°【解析】解：由题意得，tan(α+10°)=√33，又∵tan30°=√33，∴α+10°=30°，解得：α=20°．故答案为：20°．根据tan30°=√33，结合α为锐角，即可得出α的度数．此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值，难度一般．12.【答案】4【解析】解：∵CE所在直线垂直平分线段AD，∴CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．∵CD平分∠BCE，∴∠DCE=∠DCB．∵∠ACB=90°，∴∠ACE=13∠ACB=30°，∴∠A=60°，∴AB=BCsin60∘=√3√32=4．故答案为：4．由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分∠ACD，进而可得出∠ACE=∠DCE，由CD平分∠BCE利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB，结合∠ACB=90°可求出∠ACE、∠A的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB的长度．本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过角的计算找出∠A=60°是解题的关键．13.【答案】12【解析】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=√33，设a=√3x，b=3x，则c=2√3x，∴cosB=ac =12．故答案为：12．本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值．14.【答案】45【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数是关键，在直角三角形中常运用同角或等角的三角函数来计算三角函数值．根据同角的余角相等得：∠ACD=∠B，利用同角的余弦得结论．【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边上的高线，∴CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∴∠ACD=∠B，∴cos∠ACD=cos∠B=BCAB =810=45，故答案为：45．15.【答案】解：原式=−1+3−1−2√3×√3=1−2×3=−5；【解析】根据实数的运算法则，特殊角的三角函数值，算术平方根的运算分别进行化简即可；本题考查实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值；牢记特殊角的三角函数值，掌握实数的运算性质是解题的关键．16.【答案】解：原式=(a2−3a+2a−2+3a−3a−2)÷(a−1)2a−2=a2−1a−2÷(a−1)2a−2=(a+1)(a−1)a−2⋅a−2(a−1)2=a+1a−1，当a=2sin60°+1=2×√32+1=√3+1时，原式=√3+1+1√3+1−1=√3+2√3=3+2√33．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入三角函数值求出a的值，代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值．17.【答案】解：(1)∵tanA=34，∠ADC=90°，∴CDAD =34，∴设CD=3a，CD=4a，∴AC=√AD2+CD2=√9a2+16a2=5a=10，∴a=2，∴CD=6，AD=8，∵AC2=AD⋅AB，∴ACAD =ABAC，且∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ADC=∠ACB=90°，∵AC2=AD⋅AB，∴100=8⋅AB，∴AB=252，∴BD=9 2∴BC=√BD2+CD2=√814+36=152；(2)①∵四边形ADEC是平行四边形，∴AD=CE=6，DE//AC，∵AC=10，AC2=AD⋅AB，∴AB=503，∵DE//AC，∴△BDF∽△BAC，∴CFCB =ADAB=6503=925；②∵AC=10，AD=x，AC2=AD⋅AB，∴AB=100x，∵AC2=AD⋅AB，∴ACAD =ABAC，且∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴CDBC =ACAB=10100x=x10，∴BC=10⋅CDx，∵CE//AB，∴BDCE =BFCF，∴BD+66=BF+CFCF∴BD+66=BCCF，∴BD+66=10⋅CDx⋅CF∴y=x60[(100x−x)+6]=−160x2+110x+53．【解析】(1)由锐角三角形函数和勾股定理可求CD，AD的长，通过证明△ACD∽△ABC，可得∠ADC=∠ACB=90°，由勾股定理可求BC的长；(2)①由平行四边形的性质可得AD=CE=6，DE//AC，可证△BDF∽△BAC，可求解；②通过证明△ACD∽△ABC，可得BC=10⋅CDx ，由平行线分线段成比例可得BDCE=BFCF，代入可求解．本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，由相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．第11页，共11页。
