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北师大版七年级下册 第二章 平行线 专题 课件 (共23张PPT)

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七年级数学下册(北师大版)课件：23 平行线的性质

七年级数学下册(北师大版)课件：23 平行线的性质

新知2 平行线的判定与性质的区别及应用
平行线的判定叙述的是两条直线满足什么条件时， 它们互相平行；而平行线的性质是已知两条直线平 行，那么它会有哪些性质.
在应用平行线的判定与性质解题时，关键是要看清 题目中的平行关系是在条件中还是在结论中，以便 选择适当的定理来解题.
【例2】如图2－3－9，已知BE∥DF，∠B＝∠D， 试说明：AD∥BC.
3. (3分)如图KT2－3－3，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为 E，∠1＝50°，则∠2的度数是( C )
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
4. (3分)如图KT2－3－4，直线AB∥CD，直线EF与 AB，CD相交于点E，F，∠BEF的平分线与CD相交 于点N.若∠1＝63°，则∠2＝( D ) A.64° B. 63° C. 60° D. 54°
第二章 相交线与平行线
3 平行线的性质
新知1 关于平行线的性质
平行线的特征即平行线的性质定理，共有三条： (1) 两直线平行，同位角相等； (2) 两直线平行，内错角相等； (3) 两直线平行，同旁内角互补.
【例1】如图2－3－. 求∠B和∠ACB的度数.
3. 按图填空，并注明理由. 已知：如图2－3－12，∠1＝∠2， ∠3＝∠E.试说明AD∥BE的理由. 解：因为∠1＝∠2 (已知)， 所以 EC ∥ DB ( 内错角相等，两直线平行 ). 所以∠E＝∠ 4 ( 两直线平行，内错角相等 ). 又因为∠E＝∠3 (已知)， 所以∠3＝∠ 4 ( 等量代换 ). 所以AD∥BE ( 内错角相等，两直线平行 ).
图KT2－3－8
解：因为EF平分∠MEN，NP平分∠END，
5. (3分)将直尺和直角三角板按如图KT2－3－5方式 摆放，已知∠1＝30°，则∠2的大小是( C )

初中数学北师大七年级下册第二章相交线与平行线《平行线的判定》PPT

初中数学北师大七年级下册第二章相交线与平行线《平行线的判定》PPT
的同旁内角，且∠1与∠2互补.求证：a∥b
证明:∵ ∠1与∠2互补 (已知), ∴∠1+∠2=180°(互补的定义). ∴∠1= 180°-∠2(等式的性质).
又∵∠3+∠2=180° (平角的定义), ∴∠3= 180°-∠2(等式的性质). ∴∠1=∠3(等量代换).
∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
证明：∵ CD平分∠ACB ∠DCB=40° （已知） ∴ ∠ACB=2∠DCB=2X40°= 80°（角平分线定义） ∴ ∠ACB=∠AED=80°（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
练习8
如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，试说明 AB∥CD．
还有其他证明方法吗？
证明：∵∠1=∠2（已知） ∴CE∥FB（同位角相等，两直线平行 ） ∴∠4=∠AEC（两直线平行，同位角相等 ） ∵∠3=∠4 （ 已知） ∴∠3=∠AEC（ 等量代换） ∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）
简单说成：同位角相等，两直线平行
你认为“两条直线被第三条直线所截， 如果内错角相等，那么这两条直线平行” 这个命题正确吗？说明理由.
定理 两条直线被第三条直线所截,如果内错角 相等,那么这两条直线平行.
简单说成:内错角相等,两直线平行
你能运用所学知识来证实它是一个真命题吗?
定理证明
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两
【解析】∠1的对顶角与∠4是同旁内角，若 ∠1+∠4=180°，可以根据同旁内角互补，两直线平
行得到a∥b.
练习3 如图，请填写一个你认为恰当的条件______，使
AB∥CD.
【解析】此题答案不唯一，填写的条件可以是 ∠CDA=∠DAB或∠PCD=∠BAC或 ∠BAC+∠ACD=180°等. 答案：答案不唯一，如∠CDA=∠DAB.

北师大版本七年级下册2.3 平行线的性质(共29张PPT)

北师大版本七年级下册2.3 平行线的性质(共29张PPT)

合作交流探究新知
已知：a∥b， 求证：∠3+∠5=180°
证明：∵ a ∥ b (已知) ∴∠1=∠5( 两直线平行，同位角相等 ) 又∵ ∠1＋∠3=180° ( 邻补角的定义 ) ∴ ∠3＋∠5=180° （等量代换）
合作交流探究新知
1．如图所示，AB∥CD，AC∥BD,分别找出 与∠1相等或互补的角.
a
1
6
5
8
b
7
合作交流探究新知
平行线的性质：两条平行直线被第 三条直线所截，同位角相等，内错 角相等，同旁内角互补.
简记为
两直线平行，同位角相等.
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
合作交流探究新知
你能根据性质1,说出性质2, 性质3成立的理由吗? 已知：a∥b，求证：∠4=∠5 证明：∵a∥b. ∴∠1=∠5 ( 两直线平行，同位角相等 ) 又∵∠1=∠ 4 (对顶角相等) ∴∠4=∠5, 同样,对于性质3,你能说出道理吗?
（3）若∠2 +∠3=180°，可以
判定哪两条直线平行？根据
反馈练习巩固新知
问题3 如图 ，AB∥CD，如果∠1=∠2， 那 么EF与AB 平行吗？说说你的理由．
解：因为 ∠1 = ∠2， 根据“内错角相等， 两直线平行”， 所以 EF∥CD. 又因为 AB∥CD， 根据“平行于同一条直线的两条直线平行” 所以 EF∥AB．
合作交流探究新知
活动3：另外画一组平行线被第三条直 线所截，同样测量并计算各角的度数, 检验刚才的猜想是否成立?
如果直线a与b不平行，猜想还成立吗?试 一试.
b
1
a
除了测量的方法来说明平行线 的方法，还有其他的方法吗？

北师大版七年级数学下册课件：2.3平行线的性质(共41张PPT)

北师大版七年级数学下册课件：2.3平行线的性质(共41张PPT)
第二章 相交线与平行线
总第21课时——3 平行线的性质
知识管 归 理类 探 随 究堂 练 分 习层 作
业
平行线的性质
知识管 理
性质 1: 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．
简称为：两直线平行，同位角相等．
性质 2: 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．
简称为：两直线平行，内错角相等．
【点悟】 此类问题有如下两种形式： (1)角与角的数量关系⇒线与线的位置关系⇒角与角的数量关系； (2)线与线的位置关系⇒角与角的数量关系⇒线与线的位置关系．
随堂练 习
1．[2017·沈阳]如图 1，AB∥CD，∠1＝50°，∠2 的度数是( C )
A．50°
B．100°
C．130°
D．140°
图1
图 21-4
解：∠A＋∠B＋∠C＝180°这个结论成立． ∵DE∥AC， ∴∠C＝∠BDE，∠CFD＝∠EDF， ∵DF∥AB， ∴∠B＝∠CDF，∠A＝∠CFD， ∴∠A＝∠EDF， ∵∠BDE＋∠EDF＋∠CDF＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.
类型之三 直线平行的条件与平行线的性质的综合应用 [2017 春·河北期末]如图 21-5，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6.求证：
B．110°
C．120°
D．130°
图 21-8
【解析】 ∵∠1＋∠3＝90°， ∴∠3＝90°－40°＝50°， ∵a∥b， ∴∠2＋∠3＝180°. ∴∠2＝180°－50°＝130°. 故选 D.
第 3 题答图
4．如图 21-9，直线 a，b 被直线 c，d 所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4
【解析】 ∵AB∥CD， ∴∠3＝∠1＝50°， ∴∠2＝180°－∠3＝130°. 故选 C.

北师大版七年级下2.3.1平行线的性质 (共23张PPT)

北师大版七年级下2.3.1平行线的性质 (共23张PPT)

5.如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝90°，则 ∠3的度数为( D )
A．40° B．50° C．150° D．140°
6.如图，已知a∥b，小华把三角板 的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40°，则∠2 的度数为( D ) A．100° B．110° C．120° D．130°
7.已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角尺 ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两 点分别落在m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数 为( D) A．20° B．30° C．45° D．50°

易错点：利用平行线的性质时易忽视两直线平行这 一前提而出错.
今天我们学到了什么？
平行线的三个性质： 两直线平行，同位角相等． 两直线平行，内错角相等． 两直线平行，同旁内角互补．
2.3 平行线的性质 第1课时 平行线的性质
学习目标
一、两直线平行，同位角相等. 二、两直线平行，内错角相等. 三、两直线平行，同旁内角互补.
复习旧知
平行线的判定定理有哪些？
新课引入
猜想： 如果将以上判定定理的条件，结论交换一下， 是否成立？
两直线平行，同为角相等？ 两直线平行，内错角相等? 两直线平行，同旁内角互补？
10.如图，已知a∥b，直角三角尺的直角顶点在直 线b上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是( D ) A．∠2＝60° B．∠3＝60° C．∠4＝120° D．∠5＝40°
11.已知∠1与∠2是同旁内角．若∠1＝40°，则∠2的度数
是( D )
A．40°
B．140°
C．400°或140°
D．不能确定
C
P
D
2
A
1
B
F

北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线 ppt课件

北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线 ppt课件

b
解：由邻补角的定义可知
∠2=180°-∠1 =180°-40°=140°
a
1（
（2 4）
）3
由对顶角相等可得
∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°
ppt课件
14
变式：直线AB、CD相交与点O,∠AOC=40°,OE平分
∠AOC，求∠DOE的度数。
A
D
E
解：∵OE平分∠AOC， 且∠AOC =40°
ppt课件
24
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常 见,说出下图中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗?
ppt课件
25
十字路口的两条ppt道课件路
26
围棋盘的横线和竖线
ppt课件
铅垂线和水平线
27
3.垂直的书写形式：
A
D
如图，当直线AB与CD相交于O点，
∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
C
2
1
o3
4
A
∠1，∠2，∠3，∠4 ppt课件
B D
4
2、将这些角两两相配能得到几对角？
C
2
B
1
o3
4
A
D
ppt课件
5
1、你能根据这几对角的位置关系，对它们进行分类吗？
两直线相交
分类
位置关系 大小关系
C2 13
A4
∠1 和∠2
∠2 和∠ 3 ∠3 和∠4 B ∠4 和∠1 ∠1 和∠3 D ∠2 和∠4
ppt课件
23
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有 一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条 直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。

最新北师大版七年级下册数学 第二章 相交线与平行线 全章课件

最新北师大版七年级下册数学 第二章 相交线与平行线 全章课件

an

1 an
=

1 a
n
（a≠0，n为正整数）
（3）同底数幂相除, 底数不变，指数相减.
am an
amn
(a≠0,
m、n为任意整数)
3．整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的__系__数____, _相__同__字__母__的__幂__分别相乘，对于只在一个单
项式中出现的字母，则连同它的指数一起作
数的平方的差
两数和(差)的平方， 等于这两数的_平__方__和_ 加上(减去)_这__两__数__积_ 的2倍
式子表示 (a＋b)(a－b)＝ a2－b2 (a±b)2＝a2±2ab＋b2
公式的 常
用变形
a2＝ (a＋b) (a－b)＋b2； b2＝ a2 －(a＋b)(a－b).
a2＋b2＝(a＋b)2－ 2ab , 或(a－b)2＋ 2ab； (a＋b)2＝(a－b)2＋ 4ab .
角或∠4是∠3的补角.
3
2
1
定义： 如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角
互为余角(简称互余).可以说∠1是∠2的余角或∠2是
∠1的余角.
做一做
∠α 5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(x<90)
∠α的余角 85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x°
∠α的补角 175°
A
C
3
2
4
O1
对顶角的性质：
D
B
典例精析 例1 下列各图中，∠1与∠22 1
2 1
C
D
方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，
只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
例2 如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝ 40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数. 解：因为∠1＝40°，

北师大版七年级下册2.3 平行线的性质课件 (共16张PPT)

北师大版七年级下册2.3 平行线的性质课件 (共16张PPT)

F C
DP
E
A
B
课堂小结
已知
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
得到
判定 性质
得到 两直线平行
已知
课后作业
习题2.5知识技能1,2题
2.3平行线的性质
回顾与思考 问题 平行线的判定方法是什么？
1.同位角相等 2.内错角相等 3.同旁内角互补
两直线平行
思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内 错角、同旁内角各有什么关系呢?
如果直线a平行于直线b，比较两个角的度数， 你发现了什么？
d
a
b
如果两直线不平行，上述结论还成立吗？
总结归纳
一般地，平行线具有性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
应用格式:
∵a∥b（已知）
∴∠1=∠2
a
1
b
2
（两直线平行，同位角相等）
c
如图，已知a//b,那么2与3相等吗？为什么?
解：∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).a
又∵∠1=∠3(对顶角相等),
试说明:AB//CD？
解：由于∠1与∠2是对顶角， ∴∠1=∠2.
A
C
又∵∠1+∠2=90°(已知),
3
1
∴∠1=∠2=45°.
2
∵ ∠3=45°(已知), ∴∠2=∠3.
B
D
∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
当堂练习
1.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截 (1)从 ∠1=110o可以知道∠2 是多少度?为什么？
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月4日星期六2021/9/42021/9/42021/9/4 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/42021/9/4September 4, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/4

北师大版数学七年级下册第二章3平行线的性质(共77张PPT)

北师大版数学七年级下册第二章3平行线的性质(共77张PPT)

答案 B 如图,
3 平行线的性质
∵∠1=70°,∴∠3=180°-∠1=180°-70°=110°. ∵a∥b,∴∠2=∠3=110°.故选B.
栏目索引
3 平行线的性质
栏目索引
2.(2018四川绵阳中考)如图2-3-2,一块含有30°角的直角三角板的两个顶点 放在直尺的对边上.如果∠2=44°,那么∠1的度数是 ( )
A.14°
B.15°
C.16°
图2-3-2 D.17°
3 平行线的性质
栏目索引
答案 C 如图,根据题意可知∠2+∠3=60°,因为∠2=44°,所以∠3=16°,再 根据直尺的对边平行,可知∠1=∠3=16°.
3 平行线的性质
栏目索引
3.(2017江苏宿迁中考)如图2-3-3,直线a,b被直线c,d所截,若∠1=80°,∠2= 100°,∠3=85°,则∠4的度数是 ( )
A.65° C.55°
B.50° D.60°
图2-3-4
3 平行线的性质
栏目索引
答案 C 如图,∵直角顶点C在直线a上,∠1=35°,∴∠3=55°,∵直线a∥b, ∴∠2=∠3=55°.故选C.
3 平行线的性质
栏目索引
5.如图2-3-5,点B在∠ADE的边DA上,过点B作DE的平行线BC,如果∠D=49°,
3 平行线的性质
5.如图2-3-12,如果DE∥AB,那么∠A+
=180°或∠B+
根据是
;如果∠CED=∠FDE,那么
根据是
.
栏目索引
=180°,
∥
,
图2-3-12
答案 ∠AED;∠BDE;两直线平行,同旁内角互补;DF;AC;内错角相等,两直 线平行

北师大版七年级数学下册第二章《相交线与平行线》公开课课件

北师大版七年级数学下册第二章《相交线与平行线》公开课课件

A
B
M
N
E
T
C
DPQLeabharlann 纵向延伸探讨以下四个图形中BED，EDC EBA的关系
归纳小结
两直线平行
性质 条件
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
条件：角的关系 性质：线的关系
线的关系 角的关系
12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/42022/5/4May 4, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
如图：已知a//b，那么2 与3有什么关系呢？
【解析】2+3=180°. ∵ a//b（已知）,
c a
2
3b
1
∴ 1=2（两直线平行，同位角相等）,
∵ 1+3=180°（补角定义）,
∴ 2+3=180°（等量代换）.
三、知识应用
练习1、如图，已知∠AEM＝∠DGN，你能 说明AB平行于CD吗？
1
2022/5/42022/5/4 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/42022/5/42022/5/45/4/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
You made my day!
我们，还在路上……
第二章 相交线与平行线
回顾与思考
学习目标
掌握平行线的三条性质, 并能用它们进行简单的 推理和计算.
性质1:两条平行直线被第三条直线所截, 同位角相等。

北师大版七年级数学下册第二章《平行线的性质》优质公开课课件

北师大版七年级数学下册第二章《平行线的性质》优质公开课课件
组卷网
学科网
2.3平行线的性质
直线平行的条件:
1. 同位角相等,两直线平行 2.内错角相等,两直线平行 3.同旁内角互补,两直线平行
如下图直线a 与直线 b
平行.组卷网
学科网
c
a1
2
3
4
b
5
6
1.测量同位角 1与5的大7小,它8
们有什么图关中系还? 有其他的同位
角吗?它们有什么关系?
c
A
1
B
组卷网
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021 7:28:38 AM
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/292021/7/292021/7/29Jul-2129-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/292021/7/292021/7/29Thursday, July 29, 2021
•
在两条直线平行的情况下, 同位角是相等的,那么内错角, 同旁内角的关系又如何呢?
相信自己,我能行！
c a1
2
3
4
b
56
78
2.图中有几对内错学.科角.网 ?它们的大
小有什么关系? 为什么?
3. 图中有几对同旁内角?它们的
大小有什么关系? 为什么?
性质：
两条平行直线被第三条直线所 截，同位角相等，内错角相等，同
学科网
旁内角互补。
简记为： 两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
如图：一束平行光线AB和

北师大版本七年级的下《平行线的判定》.ppt

北师大版本七年级的下《平行线的判定》.ppt

E
G
A
B
C
D
F
H
随堂练习 2．如图，∠1=∠2=55°， ∠3等于多少度？直线AB，CD
平行吗？说明你的理由．
A
C
1
A
C
A
C
E3
E2
1
2
E1
3
B
2FB D
3FB D
F D
第2题
变式1
变式2
变式1：如图，∠1=∠2=55°，∠3等于多少度 ？直线AB，CD平行吗？说明你的理由．
变 式 2 ： 如 图 ， ∠1=55° ， ∠2=125° ， ∠3 等 于 多少度？直线AB，CD平行吗？说明你的理由．
KEY：90°
二、动手操作,自主探索
做一做
如图，三根木条相交 成∠1， ∠2，固定木条b、 c，转动木条a , 观察∠1， ∠2满足什么条件时直线a与 b平行.
三、总结归纳,得出结论
具有∠1与∠2 这样位置关 系的角称为
同位角
在上图中,有没有其他的同位角了？请 同学们找一找．
(请在课后想一想这些同位角在位置上有 什么共同特征?并与同伴交流你的观点)．
五、互动交流,总结新知
1、这节课我们一起学习了哪些内容？ 2、对这些知识你有什么体会，请和 同伴交流．
六、布置作业,反馈新知
1、P55 习题2．2 第1题、第2题 2、请将你学习这节课的 体会记录在数学日记中．
谢谢！
谢谢指导
结论：
同位角相等， 两直线平行
四、议议练练,反馈应用
装修工人正在向墙上钉
木条，如果木条b与墙壁边
缘垂直，那么木条a与墙壁 边缘所夹角为多少度时，才 能使木条a与木条b平行？

北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线课件全套

北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线课件全套
第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系（第2课时）
第二十页，共84页。
情景导入
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所
b
成的角α也会发生变化.
b
b
bb
当α =90°时,a与b垂直.
α ）α
当α ≠90°时,a与b不垂直，
a
叫斜交.
斜交
两条直线相交
垂直 垂直是相交的特殊情况
第三十六页，共84页。
4、如图,直线AB,垂线OC交于点O,OD平分 ∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD 与OE的位 置关系.
解：OD ⊥OE
第三十七页，共84页。
课堂小结
1. 谈谈你对垂线的认识。 2. 垂线的性质是什么？为什么这一性质要加
上前提“在同一平面内”？
第三十八页，共84页。
课后作业
图1
第四十七页，共84页。
知 识 点 三
2、根据图2完成下列填空（括号内填写定理或公理）
（1）∵∠1=∠4（已知）
∴ AB ∥ CD（ 内错角相等，两直线）平行
（2）∵∠ABC +∠
=C180°（已知）
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
02靠1:靠2三3 角板4,把5三6 角板7 的8 一直9 角边1 0靠1 1 在直尺上;
孝 感 市 文 昌 中 学 学 生 专 用 尺
C m
3移:移动三角板到已知点;
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
第三十三页，共84页。
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
请同学们
A
则所画直线AB是过点A
第十七页，共84页。

北师大版七年级下册2.3 平行线的性质课件 (共16张PPT)

北师大版七年级下册2.3 平行线的性质课件 (共16张PPT)
2.3平行线的性质
回顾与思考 问题 平行线的判定方法是什么？
1.同位角相等 2.内错角相等 3.同旁内角互补
两直线平行
思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内 错角、同旁内角各有什么关系呢?
如果直线a平行于直线b，比较两个角的度数， 你发现了什么？
d
a
b
如果两直线不平行，上述结论还成立吗？
总结归纳
解：（1）∠2=110o ∵两直线平 行，内错角相等；
（2）∠3=110o,∵两直线平行,同位 角相等； （3）∠4=70o,∵两直线平行,同旁 B 内角互补.
C
A
2E
1
43

D
2.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行.第 一次拐的角∠B是142o，第二次 拐的角∠C是多少度？ 为什么？
Ｃ
Ｂ
解：∠C=142o , ∵两直线平行,内错角相等.
b
∴ ∠2=∠3(等量代换).
1 3
2
c
总结归纳
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等.
应用格式:
∵a∥b（已知）
a
∴∠2=∠3
b
（两直线平行，内错角相等）
1 3
2
c
如图,已知a//b,那么2与4有什么关系呢？为什么?
解： ∵a//b（已知）,
∴1= 2
一般地，平行线具有性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
应用格式:
∵a∥b（已知）
∴∠1=∠2
a
1
b
2
（两直线平行，同位角相等）
c
如图，已知a//b,那么2与3相等吗？为什么?
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（2）∠APC＝∠α+∠β， 理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时， ∠CPA＝∠α﹣∠β；
如图所示，当P在DB延长线上时， ∠CPA＝∠β﹣∠α．
A．15°
B．25° C．35° D．65°
3．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项
A 是（ ）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点 之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是： 两点确定一条直线
解：（1）在图①中，过点C作CF∥AD， 则CF∥BE． ∵CF∥AD∥BE， ∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B， ∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180E，F分别在直线AB，CD上，在
平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜
17．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度 数．
小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC． （1）按照小明的思路，求∠APC的度数； （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝ β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明 理由；
，
9.已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE （1）如图①，当∠A＝58°，∠B＝118°时，求∠C的度 数；
（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所 在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系； （3）如图③，在（2）的前提下,且有AC∥QB,QP⊥PB， 直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．
解：（1）如图1，过C作CG∥MN，DH∥MN， ∵MN∥EF， ∴MN∥CG∥DH∥EF， ∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH， ∠MAC＝∠ACG，∠EBC＝∠BCG， ∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，
∴∠1＝ ACG，∠2＝
∴∠ADB＝ （∠ACG+∠BCG）＝ ∠ACB
∵∠ACB＝100° ∴∠ADB＝50°
7．如图1，MN∥EF，C为两直线之间一点．
（1）如图1，若∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，若∠ACB ＝100°，求∠ADB的度数． （2）如图2，若∠CAM与∠CBE的平分线相交于点D，∠ACB与 ∠ADB有何数量关系？并证明你的结论． （3）如图3，若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相 交于点D，请直接写出∠ACB与∠ADB之间的数量关系.
（3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D 三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
（1）解：过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180° ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120° ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60° ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°
6． 已知，如图，直线AB和CD相交于点O， ∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°， 求∠AOC和∠BOD的度数．
解：因为∠COE＝90°，∠COF＝34° 所以∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝56° 因为OF是∠AOE的平分线 所以∠AOE＝2∠EOF＝112° 所以∠AOC＝112°﹣90°＝22° ∠EOB＝180°﹣112°＝68° 因为∠EOD是直角，所以∠BOD＝22°
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF 左侧． ①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ 150°． ②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由； ③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1,∠BEQ1与 ∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2，与∠DFQ2的角平分 线交于点Q3；此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F满足怎样的 数量关系？（直接写出结果）
北师大版 七年级下册
平行线专题
1．如图，一副直角三角板按如图所示的方式摆
A 放，其中点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则
∠CBD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板 的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，
B 若∠2＝65°，则∠1的度数是（ ）
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原 理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最 短
4．如图，直线AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH ＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝40°，则
D ∠GHM的大小是（ ）
A．20°
B．30° C．40° D．50°
5．如图（1）是长方形纸条，∠DEF＝20°， 将纸条沿EF折叠成如图（2），则图（2）中的 ∠CFG的度数是 140．°
180°．
（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需
要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左
侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为
，如
图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足
数量关系为
．
解：（1）如图1，过点P作PH∥AB， 则∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP， 故答案为：∠EPF＝∠AEP+∠PFC； 同理可得：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°， 故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；