湖北省荆州市沙市中学2018学年高二上学期期末数学试卷理科 含解析

2018—2018学年上学期2018级 第一次双周练理数试卷（A ）命题人： 审题人：考试时间：2018年9月16日一、选择题：i ．下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点),(00y x 的直线都可以用方程)(00x x k y y -=-表示B ．经过定点)0A b ，（的直线都可以用方程b kx y +=表示C ．经过任意两个不同的点),(111y x P ，),(222y x P 的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 ii ．若直线013=--y x 与直线0=-ay x 的夹角为6π，则实数a 等于( ) A ．3 B ．0 C ．2 D ．0或3iii ．若方程02)2(222=++++a ax y a x a 表示圆，则a 的值为（ ）A 1=a 或2-=aB 2=a 或1-=aC 1-=aD 2=aiv ．若,,l m n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若l ⊥α，l ∥β，则αβ⊥ B ．若α⊥β，l α⊂，则l β⊥ C ．若l n ⊥，m n ⊥，则l ∥m D ．若α∥β，l α⊂，n β⊂ ，则l ∥nv ．当点M (x ，y )在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,1)vi ．设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线34120x y -+=的动点，则PQ 的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ． 2vii ．已知两条不同直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=相交，则m 的取值是（ ）A ．1m ≠-B ．7m ≠-C ．1m ≠-或7m ≠-D ．1m ≠-且7m ≠-viii ．在平面直角坐标系xOy 中，已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则集合B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }内的点所形成的平面区域的面积为( ) A ．2B ．1 C.12 D.14ix ．已知实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤xx ＋2y ≤4y ≥12x ＋m，且z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值为2，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．(－∞，43]D.⎝⎛⎦⎤0，43 x ．若直线y ＝x ＋m 与曲线1－y 2＝x 有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为( )A ．(－2，2)B ．(－2，－1]C ．(－2， 1)D ．[1，2)xi ．如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是( )A.14B.12C ．1D ．2xii ．设c b a ,,是ABC ∆三个内角C B A ,,所对应的边，且lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，那么直线0sin sin =--a A y C x 与直线0sin sin 22=-+c C y B x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．重合二、填空题xiii ．经过点P （－3，－4）且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程是xiv ．平行线0943=-+y x 和620x my ++=的距离是xv ．直线a x y l +=:1和b x y l +=:2将单位圆分成长度相等的四段弧，则=+22b a xvi ．若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值是________．三.解答题xvii ．已知圆C ：4)4()3(22=-+-y x ，直线l 过定点(1,0)A ．若l 与圆C 相切，求直线l 的方程；xviii ．已知函数21()cos sin ()2f x x x x x R =++∈。

荆州市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）2． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ）A ． 4B ． ﹣4C ． 2D ． ﹣23． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ）A ．（4，1，1）B ．（﹣1，0，5）C ．（4，﹣3，1）D ．（﹣5，3，4）4． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．05． 若函数f （x ）=ax 2+bx+1是定义在[﹣1﹣a ，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．26． 执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用．7． 函数()()f x x R Î是周期为4的奇函数，且在02[,]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x ì-＃ï=íp <?ïî，则1741()()46f f +=（ ） A ．716 B ．916 C ．1116 D ．1316【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．8． 复数z=（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9． 复数Z=（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（﹣1，3）C ．（3，﹣1）D ．（2，4）10．四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．011．已知集合M={1，4，7}，M ∪N=M ，则集合N 不可能是（ ） A ．∅ B ．{1，4} C ．M D ．{2，7}12．正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E 、F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M 、N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′；②当且仅当x=时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长l=f （x ），x ∈0，1]是单调函数； ④四棱锥C ′﹣MENF 的体积v=h （x ）为常函数； 以上命题中真命题的序号为 ．14在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．15()23k x =-+有两个不等实根，则的取值范围是 ．16．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．±1CD ．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．17．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f （x ）=k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．18．直线l ：（t 为参数）与圆C ：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是 ．三、解答题19．（本小题满分16分）在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. （1） 求()h x 的表达式；（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）20．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足S n =2a n ﹣n 2+3n+2（n ∈N *） （Ⅰ）求证：数列{a n +2n}是等比数列；（Ⅱ）设b n =a n sin π，求数列{b n }的前n 项和；（Ⅲ）设C n =﹣，数列{C n }的前n 项和为P n ，求证：P n ＜．21．已知函数f （x ）=•，其中=（2cosx ， sin2x ），=（cosx ，1），x ∈R ．（1）求函数y=f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f （A ）=2，a=，且sinB=2sinC ，求△ABC 的面积．22．已知椭圆的离心率，且点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线与椭圆交于、两点，且线段的垂直平分线经过点．求（为坐标原点)面积的最大值．23．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数()1ln 1f x a x x=+-． （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当102a <<时，求证：对任意1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，，都有1e x aa x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭．24．（本小题满分10分）如图⊙O经过△ABC的点B，C与AB交于E，与AC交于F，且AE＝AF. （1）求证EF∥BC；（2）过E作⊙O的切线交AC于D，若∠B＝60°，EB＝EF＝2，求ED的长．荆州市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】【解析】选B.取AP 的中点M ， 则P A ＝2AM ＝2OA sin ∠AOM＝2sin x2，PB ＝2OM ＝2OA ·cos ∠AOM ＝2cos x2，∴y ＝f （x ）＝P A ＋PB ＝2sin x 2＋2cos x 2＝22sin （x 2＋π4），x ∈[0，π]，根据解析式可知，只有B 选项符合要求，故选B. 2． 【答案】D【解析】： 解：∵∥， ∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2． 故选：D ． 3． 【答案】C【解析】解：设C （x ，y ，z ），∵点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C ，∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，∴C （4，﹣3，1）． 故选：C ．4． 【答案】【解析】选A.由2＋a i1＋i＝3＋b i 得，2＋a i ＝（1＋i ）（3＋b i ）＝3－b ＋（3＋b ）i ， ∵a ，b ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝3－b a ＝3＋b，即a ＝4，b ＝1，∴a －b ＝3（或者由a ＝3＋b 直接得出a －b ＝3），选A. 5． 【答案】A【解析】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，所以函数为：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]，函数的最大值为：5．故选：A．【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】C【解析】解：z====+i，当1+m＞0且1﹣m＞0时，有解：﹣1＜m＜1；当1+m＞0且1﹣m＜0时，有解：m＞1；当1+m＜0且1﹣m＞0时，有解：m＜﹣1；当1+m＜0且1﹣m＜0时，无解；故选：C．【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．9．【答案】A【解析】解：复数Z===（1+2i）（1﹣i）=3+i在复平面内对应点的坐标是（3，1）．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．10．【答案】B【解析】排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P，底面四边形的个顶点为A、B、C、D．分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，（PA、DC；PB、AD；PC、AB；PD、BC）或（PA、BC；PD、AB；PC、AD；PB、DC）那么安全存放的不同方法种数为2A44=48．故选B．【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖．11．【答案】D【解析】解：∵M∪N=M，∴N⊆M，∴集合N不可能是{2，7}，故选：D【点评】本题主要考查集合的关系的判断，比较基础．12．【答案】C【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：故选C二、填空题13．【答案】①②④．【解析】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．②连结MN ，因为EF ⊥平面BDD ′B ′，所以EF ⊥MN ，四边形MENF 的对角线EF 是固定的，所以要使面积最小，则只需MN 的长度最小即可，此时当M 为棱的中点时，即x=时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF 的面积最小．所以②正确．③因为EF ⊥MN ，所以四边形MENF 是菱形．当x ∈[0，]时，EM 的长度由大变小．当x ∈[，1]时，EM 的长度由小变大．所以函数L=f （x ）不单调．所以③错误．④连结C ′E ，C ′M ，C ′N ，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C ′EF 为底，以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C ′EF 的面积是个常数．M ，N 到平面C'EF 的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数，所以④正确． 故答案为：①②④．【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．14．【答案】 8 升．【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8． 故答案是：8．15．【答案】53,124⎛⎤⎥⎝⎦【解析】试题分析：作出函数y =()23y k x =-+的图象，如图所示，函数y =的图象是一个半圆，直线()23y k x =-+的图象恒过定点()2,3，结合图象，可知，当过点()2,0-时，303224k -==+，当直线()23y k x =-+2=，解得512k =，所以实数的取值范围是53,124⎛⎤⎥⎝⎦.111]考点：直线与圆的位置关系的应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.16．【答案】A【解析】17．【答案】（0，1）．【解析】解：画出函数f（x）的图象，如图示：令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为（0，1）．【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．18．【答案】 [4，16] ．【解析】解：直线l ：（t 为参数），化为普通方程是=，即y=tan α•x+1；圆C 的参数方程（θ为参数），化为普通方程是（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=64；画出图形，如图所示；∵直线过定点（0，1），∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，最小值是2=2×=2×=4∴弦长的取值范围是[4，16]．故答案为：[4，16]．【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．三、解答题19．【答案】（1） ()()210473h x x x =+-- （37x <<）（2） 13 4.33x =≈试题解析：（1） 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比， 所以可设：()13k f x x =-，()()227g x k x =-，12.00k k ≠≠，，则()()()()21273k h x f x g x k x x =+=+--则 ………………………………………2分 因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套 所以，()()521, 3.569h h ==，即12124212492694k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：12104k k =⎧⎨=⎩， ……………6分所以，()()210473h x x x =+-- （37x <<） ………………………………………8分 （2） 由（1）可知，套题每日的销售量()()210473h x x x =+--，答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分考点：利用导数求函数最值20．【答案】【解析】（I）证明：由S n=2a n﹣n2+3n+2（n∈N*），∴当n≥2时，，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1﹣2n+4，变形为a n+2n=2[a n﹣1+2（n﹣1）]，当n=1时，a1=S1=2a1﹣1+3+2，解得a1=﹣4，∴a1+2=﹣2，∴数列{a n+2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；（II）解：由（I）可得a n=﹣2×2n﹣1﹣2n=﹣2n﹣2n．∴b n=a n sinπ=﹣（2n+2n），∵==（﹣1）n，∴b n=（﹣1）n+1（2n+2n）．设数列{b n}的前n项和为T n．当n=2k（k∈N*）时，T2k=（2﹣22+23﹣24+…+22k﹣1﹣22k）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k）=﹣2k=﹣n．当n=2k﹣1时，T2k﹣1=﹣2k﹣（﹣22k﹣4k）=+n+1+2n+1=+n+1．（III ）证明：C n =﹣=，当n ≥2时，c n ．∴数列{C n }的前n 项和为P n ＜==，当n=1时，c 1=成立．综上可得：∀n ∈N *，．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．【答案】【解析】解：（1）f （x ）=•=2cos 2x+sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin （2x+）+1，令﹣+2k π≤2x+≤+2k π，解得﹣+k π≤x ≤+k π，函数y=f （x ）的单调递增区间是[﹣+k π，+k π]，（Ⅱ）∵f （A ）=2∴2sin （2A+）+1=2，即sin （2A+）= …．又∵0＜A ＜π，∴A=．…∵a=，由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=7 ①…∵sinB=2sinC ∴b=2c ②…由①②得c 2=．…∴S △ABC=．…22．【答案】【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】（Ⅰ）由已知 ，点在椭圆上，，解得．所求椭圆方程为 (Ⅱ)设，，的垂直平分线过点,的斜率存在．当直线的斜率时，当且仅当 时，当直线的斜率时， 设．消去得：由．①，，的中点为由直线的垂直关系有，化简得 ②由①②得又到直线的距离为，时，．由，，解得；即时，；综上：；23．【答案】（1）10x y --=；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）当2a =时，求出导数易得()'11f =，即1k =，利用点斜式可得其切线方程；（2）求得可得()21'ax f x x -=，分为0a ≤和0a >两种情形判断其单调性；（3）当102a <<时，根据（2）可 得函数()f x 在()12，上单调递减，故()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即ln 1a a a x x a⎛⎫+<⎪+⎝⎭，化简可得所证结论. 试题解析：（1）当2a =时，()12ln 1f x x x =+-，()112ln1101f =+-=，()221'f x x x =-，()221'1111f =-=，所以函数()f x 在点()10，处的切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=． （2）()1ln 1f x a x x =+-，定义域为()0+∞，，()2211'a ax f x x x x-=-=． ①当0a ≤时，()'0f x <，故函数()f x 在()0+∞，上单调递减； ②当0a >时，令()'0f x =，得1x= 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减；当0a >时，函数()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增． （3）当102a <<时，由（2）可知，函数()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，显然，12a >，故()1120a ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，，，所以函数()f x 在()12，上单调递减，对任意1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，，都有01a x <<，所以112a x <+<．所以()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即1ln 1101a a x x ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭+，所以ln 1a a a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，即1ln 1a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，所以()ln 11a x a x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，即ln 11x aa x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以1e x aa x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭．24．【答案】【解析】解：（1）证明：∵AE ＝AF ，∴∠AEF＝∠AFE.又B，C，F，E四点共圆，∴∠ABC＝∠AFE，∴∠AEF＝∠ACB，又∠AEF＝∠AFE，∴EF∥BC. （2）由（1）与∠B＝60°知△ABC为正三角形，又EB＝EF＝2，∴AF＝FC＝2，设DE＝x，DF＝y，则AD＝2－y，在△AED中，由余弦定理得DE2＝AE2＋AD2－2AD·AE cos A.，即x2＝（2－y）2＋22－2（2－y）·2×12∴x2－y2＝4－2y，①由切割线定理得DE2＝DF·DC，即x2＝y（y＋2），∴x2－y2＝2y，②由①②联解得y＝1，x＝3，∴ED＝ 3.。

2018-2019学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12步题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若x＞0、y＞0，则x+y＞1是x2+y2＞1的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件2．（5分）向量＝（1，2，x），＝（2，y，﹣1），若||＝，且⊥，则x+y的值为（）A．﹣2B．2C．﹣1D．13．（5分）若两直线3x+4y+3＝0与6x+my+1＝0平行，则它们之间的距离为（）A．B．C．D．4．（5分）高三（3）班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．30B．31C．32D．335．（5分）若直线l：mx+ny＝4和圆O：x2+y2＝4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A．0个B．至多有一个C．1个D．2个6．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（）A．720B．520C．600D．2647．（5分）圆x2+y2＝50与圆x2+y2﹣12x﹣6y+40＝0的公共弦长为（）A．B．C．2D．28．（5分）一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的条件是（）A．i≤9B．i≤6C．i≥9D．i≤89．（5分）函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后为偶函数，设数列{a n}的通项公式为a n＝f（），则数列{a n}的前2019项之和为（）A．0B．1C．D．210．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）A．B．C．D．11．（5分）十一黄金周期间，5位同学各自随机从“三峡明珠，山水宜昌”、“千古帝乡，智慧襄阳”、“养生山水，长寿钟祥”三个城市中选择一个旅游，则三个城市都有人选的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横一上.13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z＝4x+y的最大值为．14．（5分）给下列三个结论：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”；②若am2＜bm2，则a＜b的逆命题为真；③命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”；其中正确的结论序号是（填上所有正确结论的序号）．15．（5分）平行六面体ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，，∠A1AD＝∠A1AB＝120°，则对角线BD1的长度为．16．（5分）椭圆+＝1（a＞b＞0）与圆x2+y2＝（+c）2（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：“∀k∈R，直线y＝kx+1与椭圆x2+＝1有两个不同的公共点”；q：“∃x0∈R，不等式﹣﹣a≤0成立”；若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}满足（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n+a n+1）＝2n（n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．19．（12分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN＝π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c＝，∠ABC＝θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．20．（12分）某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A，B，C刚好是边长为3cm的等边三角形的三个顶点．（Ⅰ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A，B，C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）（Ⅱ）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC＝AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．22．（12分）已知椭圆C：+＝1 （a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为2的直线与椭圆交于P、Q两点OP⊥OQ，求直线l的方程；（3）在x上是否存在一点E使得过E的任一直线与椭圆若有两个交点M、N则都有为定值？若存在，求出点E的坐标及相应的定值．2018-2019学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12步题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：先看充分性可取x＝y＝，使x+y＞1成立，而x2+y2＞1不能成立，故充分性不能成立；若x2+y2＞1，因为x＞0、y＞0，所以（x+y）2＝x2+y2+2xy＞x2+y2＞1∴x+y＞1成立，故必要性成立综上所述，x+y＞1是x2+y2＞1的必要非充分条件故选：B．2．【解答】解：∵向量＝（1，2，x），＝（2，y，﹣1），||＝，且⊥，∴，＝2+2y﹣x＝0，解得x＝0，y＝﹣1．∴x+y＝﹣1．故选：C．3．【解答】解：∵直线3x+4y+3＝0与6x+my+1＝0平行，∴m＝8，直线3x+4y+3＝0，即6x+8y+6＝0，故两平行直线间的距离为＝，故选：A．4．【解答】解：样本间隔为56÷4＝14，则另外一个号码为14+17＝31，故选：B．5．【解答】解：由题意可得：＞2，即m2+n2＜4，∴点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，∵椭圆的长半轴3，短半轴为2，∴圆m2+n2＝4内切于椭圆，∴点P是椭圆内的点，∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2，故选：D．6．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若甲乙其中一人参加，则有••＝192种情况；若甲乙两人都参加，有••＝72种情况；则不同的发言顺序种数192+72＝264种．故选：D．7．【解答】解：x2+y2＝50，①；x2+y2﹣12x﹣6y+40＝0②；②﹣①得：2x+y﹣15＝0为公共弦所在直线的方程，原点到相交弦直线的距离为：，弦长的一半为，公共弦长为：故选：C．8．【解答】解：当S＝0时，不满足输出条件，执行循环体后，S＝，i＝2，当S＝时，不满足输出条件，执行循环体后，S＝，i＝3，当S＝时，不满足输出条件，执行循环体后，S＝，i＝4，当S＝时，不满足输出条件，执行循环体后，S＝，i＝5，当S＝时，不满足输出条件，执行循环体后，S＝，i＝6，当S＝时，不满足输出条件，执行循环体后，S＝，i＝7，当S＝时，不满足输出条件，执行循环体后，S＝，i＝8，当S＝时，不满足输出条件，执行循环体后，S＝，i＝9，当S＝时，不满足输出条件，执行循环体后，S＝，i＝10，当S＝时，满足输出条件，故空白处的条件为：i≤9，故选：A．9．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y＝sin（2x++φ）的图象，且所得函数为偶函数，∴+φ＝，φ＝，故f（x）＝sin（2x+）．设数列{a n}的通项公式为a n＝f（）＝sin（+），∴函数的最小正周期为＝6，且a1＝1，a2＝，a3＝﹣，a4＝﹣1，a5＝﹣，a6＝，∴a1+a2+…+a6＝0，则数列{a n}的前2019项之和S＝336（a1+a2+…+a6）+（a1+a2+a3）＝0+1＝1，故选：B．10．【解答】解：根据题意可知PD＝DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC”设AB的中点为N，根据题目条件可知△P AN≌△CBN∴PN＝CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC”故动点M的轨迹肯定过点D和点N而到点P与到点N的距离相等的点为线段PC的垂直平分面线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线故选：A．11．【解答】解：5位同学各自随机从3个不同城市中选择一个城市旅游，每人都有3种选择，由分步计数原理共有35＝243种选择情况，若要3个城市都有人选，需要两步（先选后排）：①先将5人分成3组，若分为2、2、1的三组，有＝15种情况，若分为3、1、1的三组，有＝10种情况，共有15+10＝25种分组方法，②将分好的三组，对应3个城市，有A33＝6种情况，∴3个城市都有人选的情况有25×6＝150种情况，∴3个城市都有人选的概率为＝；故选：A．12．【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P 点与A点的距离相等而|F A|＝|PF|∈[a﹣c，a+c]于是∈[a﹣c，a+c]即ac﹣c2≤b2≤ac+c2∴又e∈（0，1）故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横一上.13．【解答】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，2）．化目标函数z＝4x+y为y＝﹣4x+z，由图可知，当直线y＝﹣4x+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为a＝14．故答案为：14．14．【解答】解：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”；满足命题的否定形式，所以①正确；②若am2＜bm2，则a＜b的逆命题为：a＜b，则am2＜bm2，显然不正确，所以②不正确；③命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”；所以③不正确；故答案为：①．15．【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱长都为，底面ABCD为正方形，且AA1和AB与AD的夹角都等于120°，那么AA1在底面ABCD上的射影垂直BD，即BB1D1D是矩形，DB＝，所以对角线BD1＝2，故答案为：2．16．【解答】解：由圆x2+y2＝（+c）2是以原点为圆心，以为半径的圆，∴要使椭圆+＝1（a＞b＞0）与圆x2+y2＝（+c）2有四个不同交点，则，由，得b＜2c，即a2﹣c2＜4c2，即；联立，解得或e＞1（舍）．∴椭圆离心率的取值范围是．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【解答】解：若p为真，则直线y＝kx+1过的定点（0，1）必在椭圆内部，即…（3分）若q为真，则有两个相异的实数根，即；∴由p且q为假，p或q为真得：或…（10分）∴实数a的取值范围是．…（12分）18．【解答】解：∵（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n+a n+1）＝2n（n+1），①∴（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n﹣1+a n）＝2n（n﹣1），②由①﹣②可得，a n+a n+1＝4n，③，令n＝n﹣1，可得a n+a n﹣1＝4（n﹣1），④，由③﹣④可得2d＝4，∴d＝2，∵a1+a2＝4，∴a1＝1，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，（2）＝（2n﹣1）•（）n﹣1，∴S n＝1•（）0+3•（）1+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，∴S n＝1•（）1+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣3）•（）n+（2n﹣1）•（）n，∴S n＝1+2•（）1+2•（）2+2•（）3+…+2•（）n﹣1﹣（2n﹣1）•（）n＝1+2﹣（2n﹣1）•（）n＝3﹣（2n+3）•（）n，∴S n＝6﹣（2n+3）•（）n﹣1．19．【解答】解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a＝c﹣4、b＝c﹣2．又∵，，∴，∴，恒等变形得c2﹣9c+14＝0，解得c＝7，或c＝2．又∵c＞4，∴c＝7．…（6分）（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，∴，AC＝2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）＝|AC|+|BC|+|AB|＝＝＝，…（10分）又∵，∴，∴当，即时，f（θ）取得最大值．…（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）因为着弹点若与A，B，C的距离都超1cm，则着弹点就不能落在分别以A，B，C为中心，半径1cm的三个扇形区域内，只能落在图中阴影部分内．因为S△ABC＝×3×3sin60°＝，图中阴影部分的面积为S阴影＝S△ABC﹣3××12×＝﹣，故所求概率为P＝＝1﹣．（Ⅱ）前三次射击成绩依次记为x1，x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y2，y3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}，{x3，y1}，{x3，y2}，{x3，y3}，共15个，其中可使|a﹣b|＞1发生的是后9个基本事件．故P（|a﹣b|＞1）＝＝．21．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10＝CO，∴AC＝AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO＝CO，又∵AB＝BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1＝60°，∴△CBB1为正三角形，又AB＝BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴＝（0，，），＝＝（1，0，），＝＝（﹣1，，0），设向量＝（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取＝（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量＝（1，﹣，），∴cos＜，＞＝＝，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为22．【解答】解：（1）由已知，，又a2＝b2+c2，解得，∴椭圆的方程为．…（3分）（2）设直线l的方程为y＝2x+t，则由，可得，即∵OP⊥OQ，∴，∴直线l的方程为y＝2x±2即2x﹣y±2＝0．…（7分）（3）设E（m，0）、M（x1，y1）、N（x2，y2），当直线n不为x轴时的方程为x＝ty+m，联立椭圆方程得：⇒（t2+4）y2+2tmy+（m2﹣4）＝0，∴…（8分）＝…（10分）∴当且仅当32﹣8m2＝2m2+8即时（定值）．即在x轴上存在点E使得为定值5，点E的坐标为或．经检验，当直线AB为x轴时上面求出的点E也符合题意．…（12分）。

2017—2018学年上学期2016级期末考试文数试卷考试时间：2018年2月1日一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题：“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（ ） A ．不存在32,10x R x x ∈-+≤B ．存在03200,10x R x x ∈-+>C ．存在03200,10x R x x ∈-+≤D ．对任意的32,10x R x x ∈-+>2．直线0232=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ）A ．0232=++y xB ．0232=-+y xC ．0232=--y xD ．0232=+-y x 3．“2a =-”是“直线1:30l ax y -+=与直线2:2(1)40l x a y -++=互相平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）图1 图2A ．100，10B ．100，20C ． 200，20D ．200，105．已知双曲线的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线方程可以是（ ） A ．14322=-y x B ． 14322=-x y C ．191622=-y x D ．191622=-x y 6.曲线cos 16y ax x =+在2x π=处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ）A ．2π-B ．2πC ．2π D ．2π-7．如图，给出的是计算11112462016⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯的值的程序框图，其中判断框内不能填入．．．．的是（ ） A ．2017?i ≤B ．2018?i <C ．2016?i ≤D ．2015?i ≤8.设某中学的学生体重()y kg 与身高()x cm 具有线性相关关系，根据一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n = ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为0.8585.71y x =-，给出下列结论，则错误．．的是( ) A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线至少经过样本数据()(),1,2,,i i x y i n = 中的一个C.若该中学某生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.回归直线一定过样本点的中心点(),x y9.已知函数()ln f x kx x =-在()1,+∞上为增函数，则k 的取值范围是（ ） A. [)1,+∞ B. [)2,+∞ C. (],1-∞- D. (],2-∞-10．如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( )A ．117B ．217C ．317D ．41711.不等式xe kx ≥对任意实数x 恒成立，则实数k 的最大值为（ ）A ．1BC ．2D ．e12.过双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为线段PE 的中点，则双曲线的离心率等于（ ）ABC D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上） 13.已知直线340x y a ++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为 .14．若变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为 ．15．已知函数()f x 的导数为)(x f '，且满足)2(23)(2f x x x f '+=，则=')5(f ． 16．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上点A 作l 的垂线，垂足为B .设7(02C p ，），AF 与BC 相交于点E .若2FC AF =，且ABC ∆的面积为则p 的值 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．( 10分)命题p ：a xx x >+>∀1,0 ；命题q ：012,0200≤+-∈∃ax x R x .问：是否存在实数a ，使得p q ∨为真命题，p q ∧为假命题？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由．18.(12分)2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示，已知乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计值为310. (1)求a 的值；(2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率．19．(12分)(1)设1=x 和2=x 是函数x bx x a x f ++=2ln )(的两个极值点。

2017-2018学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知直线l1：x+3y+1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的值为（）A．﹣3B．3C．D．2．（5分）已知随机变量ξ服从二项分布，则Eξ=（）A．B．C．D．3．（5分）如图所示，程序框图的输出结果是（）A．8B．5C．4D．34．（5分）点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1的中点，用过平面AMN和平面DNC1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图，则该几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（）A．①、②、③B．②、③、④C．①、③、④D．②、④、③5．（5分）已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；③若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；④若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．其中所有正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46．（5分）两位同学约定上午11：30﹣12：00在图书馆见面，且他们在11：30﹣12：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学等待10分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣9，则l（）A．﹣2B．2C．3D．﹣38．（5分）数学活动小组由5名同学组成，现将5名同学分配到三个不同课题进行研究，若每个课题至少安排1名同学，则不同的分配方案种数为（）A．60B．90C．150D．3009．（5分）若正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4B．ab有最小值C．有最大值1D．a2+b2有最小值10．（5分）下列说法错误的是（）A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值|r|就越接近于1B．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大C．回归直线一定过样本点的中心（，）D．在回归直线方程中，当变量x每增加1个单位时，变量一定增加0.3个单位11．（5分）已知直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，和两点A（0，1），B （﹣1，0），给出如下结论：①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；②当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0）；③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；④如果l1与l2交于点M，则|MA|•|MB|的最小值是1；其中，所有正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．412．（5分）从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球O的体积为，则O、P两点之间的距离为（）A．B．C．1.5D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若直线m被两条平行直线l1：x+y+1=0与l2：x+y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于．14．（5分）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．15．（5分）某个部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2或元件3正常工作，且元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能正常相互独立工作，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）已知圆O：x2+y2=10内一点P（2，0），若M、N是圆O上不同的两点，且PM⊥PN，则|MN|的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（12分）设（2x+1）n=a n x n+a n﹣1x n﹣1+a n﹣2x n﹣2+…+a2x2+a1x+a0，已知a n、a n﹣1、a n﹣2成等差数列．（1）求n及a3的值；（2）求a0﹣a1+a2﹣a3+…+（﹣1）n a n的值．18．（12分）某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，10），…，[4，4.5）分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）若该市有120万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，请说明理由；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数、中位数．19．（12分）现有5个人参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这5个人中参加甲游戏人数多于参加乙游戏的人数的概率；（2）用X，Y分别表示这5个人中参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．20．（12分）如图（1），在五边形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD=90°，CD=1，BC=，AB=2，△ABE是以AB为斜边的等腰直角三角形，现将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，如图（2），记线段AB的中点为O．（1）求证：平面ABE⊥平面EOD；（2）求平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小．21．（12分）已知直线l：ax﹣y+1=0与圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0交于A，B两点，过点Q（5，﹣1）的直线m与圆C交于M，N两点．（1）若直线m垂直平分弦AB，求实数a的值；（2）若|MN|=4，求以MN为直径的圆的方程；（3）已知点S（﹣6，﹣2），在直线SC上（C为圆心），存在定点T（异于点S），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点T 的坐标及该常数．22．（10分）已知正数a，b满足ab=a+2b．（1）求ab的最小值；（2）求2a+b的最小值．2017-2018学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知直线l1：x+3y+1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的值为（）A．﹣3B．3C．D．【解答】解：由﹣1﹣3m=0，解得m=﹣．经过验证两条直线平行．故选：D．2．（5分）已知随机变量ξ服从二项分布，则Eξ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵随机变量ξ服从二项分布ξ～B（3，），∴其期望Eξ=np=3×=．故选：B．3．（5分）如图所示，程序框图的输出结果是（）A．8B．5C．4D．3【解答】解：模拟程序的运行，可得x=1，y=1满足条件x≤4，执行循环体，x=2，y=2满足条件x≤4，执行循环体，x=4，y=3满足条件x≤4，执行循环体，x=8，y=4不满足条件x≤4，退出循环，输出y的值为4．故选：C．4．（5分）点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1的中点，用过平面AMN和平面DNC1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图，则该几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（）A．①、②、③B．②、③、④C．①、③、④D．②、④、③【解答】解：由直观图可知，该几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为②③④，故选：B．5．（5分）已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；③若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；④若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．其中所有正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：对于①，当α⊥β，l⊥β时，有l∥α或l⊂α，∴①错误；对于②，当l⊥α，l⊥β时，有α∥β，②正确；对于③，当α⊥γ，β∥γ时，有α⊥β，③正确；对于④，当m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，且m∩n=P时，有α∥β，∴④错误；综上，正确的命题序号是②③．故选：B．6．（5分）两位同学约定上午11：30﹣12：00在图书馆见面，且他们在11：30﹣12：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学等待10分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，样本点由两个数（甲、乙两人各自到达的时刻）组成．以11：30作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系，设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为：Ω：{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，画出图形，会面的充要条件是|x﹣y|≤10，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分，∴由几何概型公式知所求概率为面积之比，即P（A）=，故选：C．7．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣9，则l（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【解答】解：z=2x+y的最小值为﹣9，∴y=﹣2x+z，要使目标函数z=2x+y的最小值为﹣9，则平面区域位于直线y=﹣2x+z的右上方，求2x+y=﹣9，作出约束条件对应的平面区域如图则目标函数经过点B，由，解得B（﹣3，﹣3），同时B也在直线y+k=0时，即﹣3+k=0，解得k=3，故选：C．8．（5分）数学活动小组由5名同学组成，现将5名同学分配到三个不同课题进行研究，若每个课题至少安排1名同学，则不同的分配方案种数为（）A．60B．90C．150D．300【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将5名同学分成3组，若按3、1、1分组，有C53=10种分组方法，若按2、2、1分组，有=15种分组方法，则一共有10+15=25种分组方法，②，将分好的3组全排列，对应三个不同课题，有A33=6种情况，则不同的分配方案有25×6=150种；故选：C．9．（5分）若正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4B．ab有最小值C．有最大值1D．a2+b2有最小值【解答】解：对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当，即当时等号成立，A选项错误；对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，此时，ab有最大值，B选项错误；对于C选项，由基本不等式可得≤2（a+b）=2，当且仅当时，等号成立，则有最大值，C选项错误；对于D选项，2（a2+b2）≥a2+b2+2ab=（a+b）2=1，所以，，当且仅当时，等号成立，所以，a2+b2有最小值，D选项正确．故选：D．10．（5分）下列说法错误的是（）A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值|r|就越接近于1B．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大C．回归直线一定过样本点的中心（，）D．在回归直线方程中，当变量x每增加1个单位时，变量一定增加0.3个单位【解答】解：两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值|r|就越接近于1，两个随机变量的线性相关性越弱，则相关系数r的绝对值|r|就越接近于0，故正确；对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大，对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越小，则判断“X与Y 有关系”的把握程度越小，故正确；回归直线一定过样本点的中心（，），故正确；在回归直线方程中，当变量x每增加1个单位时，变量平均增加0.3个单位，但不一定增加0.3个单位，故错误，故选：D．11．（5分）已知直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，和两点A（0，1），B （﹣1，0），给出如下结论：①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；②当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0）；③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；④如果l1与l2交于点M，则|MA|•|MB|的最小值是1；其中，所有正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，和两点A（0，1），B（﹣1，0）；对于①，a=0时，两条直线分别化为：y=﹣1，x=﹣1，此时两条直线互相垂直；a≠0时，两条直线斜率分别为：a，﹣，满足a•（﹣）=﹣1，两直线互相垂直；不论a为何值，l1与l2都互相垂直，①正确；对于②，l1中，x=0时，y=1；l2中，y=0时x=﹣1；所以当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0），②正确；对于③，由①知，两条直线交点在以AB为直径的圆上，不一定在直线x+y=0上，因此l1与l2关于直线x+y=0不一定对称，③错误；对于④，l1与l2交于点M时，由③知：|MA|2+|MB|2=2，∴2≥2|MA|•|MB|，|MA|•|MB|的最大值是1，④错误；综上，所有正确的结论序号是①②．故选：B．12．（5分）从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球O的体积为，则O、P两点之间的距离为（）A．B．C．1.5D．3【解答】解：由题意，点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，那么链接ABC，可得△ABC是等边三角形．∴三棱锥P﹣ABC是正三棱锥．设△ABC的边长为a，那么△ABC外接圆r=．（O′圆心）球O的体积为，可得R=，△PAO是直角三角形，且△PAO的高=r=，由面积法可得：AP2+R2=OP2，OP×r=AP×R．解得：a=．∴OP=3．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若直线m被两条平行直线l1：x+y+1=0与l2：x+y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于45°．【解答】解：由两平行线间的距离为d==2，且直线m被两平行线截得线段的长为2，可得直线m和两平行线的夹角为90°；由于两条平行线的倾斜角为135°，所以直线m的倾斜角为45°．故答案为：45°．14．（5分）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为27π．【解答】解：正方体的对角线就是球的直径，设其体对角线的长为l，则l==3，故答案为：27π．15．（5分）某个部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2或元件3正常工作，且元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能正常相互独立工作，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【解答】解：四个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502），则四个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为P=；设A={超过1000小时时，元件1、元件2，元件3至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件4正常}，C={该部件的使用寿命超过1000小时}；则P（A）=1﹣（1﹣P）3，P（B）=，∵事件A，B为相互独立事件，事件C为A、B同时发生的事件∴P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=（1﹣）×=．故答案为：．16．（5分）已知圆O：x2+y2=10内一点P（2，0），若M、N是圆O上不同的两点，且PM⊥PN，则|MN|的取值范围是[2，6] ．【解答】解：如图所示，当四边形PMQN为正方形且MN⊥OP时，|MN|取得最小值或最大值．设k PM=k，∵∠QPM=45°，∴，解得k=﹣1．∴直线PM的方程为：y﹣0=﹣1×（x﹣2），化为x+y﹣2=0，代入圆的方程，化为y2﹣2y﹣3=0，解得y=﹣1或y=3．∴x=2﹣y=3或﹣1．∴M（3，﹣1），或M（﹣1，3），当M为（3，﹣1）时，|PM|为最小值等于，当M为（﹣1，3）时，|PM|为最大值等于．∵MN=PM，∴MN min=2，MN max=6．∴|MN|的取值范围是[2，6]．故答案为：[2，6]．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（12分）设（2x+1）n=a n x n+a n﹣1x n﹣1+a n﹣2x n﹣2+…+a2x2+a1x+a0，已知a n、a n﹣1、a n﹣2成等差数列．（1）求n及a3的值；（2）求a0﹣a1+a2﹣a3+…+（﹣1）n a n的值．【解答】解：（1）依题意已知a n、a n﹣1、a n﹣2成等差数列，可得，即2n+n（n﹣1）•2n﹣3=n•2n ，∴n2﹣9n+8=0，解得n=8或1（舍去），∴n=8．由，令8﹣r=3，∴．（3）在等式的两边取x=﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+…+（﹣1）n a n=a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8=1．18．（12分）某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，10），…，[4，4.5）分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）若该市有120万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，请说明理由；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数、中位数．【解答】解：（1）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，∴0.5×（0.08+0.16+0.3+a+0.5+0.3+0.12+0.08+0.04）=1，解得：a=0.42；（2）由直方图可得，不低于3吨人数所占百分比为0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：120×0.12=14.4（万）；（3）由直方图可知众数落在第五组[2，2.5）中，∴众数为；数据落在第一、二、三、四组的频率为0.5×（0.08+0.16+0.3+0.42）=0.48＜0.5，数据落在第一、二、三、四、五组的频率为0.5×（0.08+0.16+0.3+0.42+0.5）=0.73＞0.5；∴中位数一定落在第五组[2，2.5）中，设中位数为x，则有0.5×（0.08+0.16+0.3+0.42）+0.5×（x﹣2）=0.5，解得x=2.04，∴中位数是2.04．19．（12分）现有5个人参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这5个人中参加甲游戏人数多于参加乙游戏的人数的概率；（2）用X，Y分别表示这5个人中参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．【解答】解：依题意，这5个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为．设“这5个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4，5），则（i=0，1，2，3，4，5）（1）设“这5个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B=A3∪A4∪A5∵A 3与A4、A5互斥∴∴这5个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为．（2）ξ的所有可能取值为1，3，5．由于A0与A5互斥，A1与A4互斥，A2与A3互斥∴∴ξ的分布列是∴随机变量ξ的数学期望．20．（12分）如图（1），在五边形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD=90°，CD=1，BC=，AB=2，△ABE是以AB为斜边的等腰直角三角形，现将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，如图（2），记线段AB的中点为O．（1）求证：平面ABE⊥平面EOD；（2）求平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小．【解答】（1）证明：∵AB=2CD，O是线段AB的中点，∴OB=CD．又∵CD∥AB，∴四边形OBCD为平行四边形，又∠BCD=90°，∴AB⊥OD，又∵O是等腰直角△EAB斜边的中点，∴EO⊥AB．∵EO∩DO=O，∴AB⊥平面EOD．∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面EOD；（2）解：∵平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，∴EO⊥平面ABCD，则EO⊥OD．∴OB、OD、OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB、OD、OE所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．∵△EAB为等腰直角三角形，且CD=1，BC=，∴OA=OB=OE=1，OD=，∴O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0）C（1，，0），D（0，，0），E（0，0，1），∴，．设平面ECD的一个法向量为，则有，取y=1，得，∵OD⊥平面ABE，∴平面ABE的一个法向量为，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|=，∴平面ECD与平面ABE所成的锐二面角大小为60°．21．（12分）已知直线l：ax﹣y+1=0与圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0交于A，B两点，过点Q（5，﹣1）的直线m与圆C交于M，N两点．（1）若直线m垂直平分弦AB，求实数a的值；（2）若|MN|=4，求以MN为直径的圆的方程；（3）已知点S（﹣6，﹣2），在直线SC上（C为圆心），存在定点T（异于点S），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点T 的坐标及该常数．【解答】解：（1）依题意，圆C方程变形为（x﹣3）2+（y+2）2=9，圆心C（3，﹣2），半径r=3又直线l的方程即为y=ax+1∵m垂直平分弦AB，∴圆心C（3，﹣2）必在直线m上∴m过点Q（5，﹣1）和C（3，﹣2），斜率，∴k l=a=﹣2（2）设垂直于CQ的弦长为d∵，∴由勾股定理，可知∴d=4=|MN|，故MN⊥CQ∴点Q是MN的中点，故以MN为直径的圆的圆心是点Q（5，﹣1），半径为2，∴所求圆的方程为（x﹣5）2+（y+1）2=4；（3）法一：设直线SC上的点T（t，﹣2）取直线SC与圆C的交点P1（0，﹣2），则取直线SC与圆C的交点P2（6，﹣2），则令，解得t=2或t=﹣6（舍去，与S重合），此时若存在这样的定点T满足题意，则必为T（2，﹣2）下证：点T（2，﹣2）满足题意设圆上任意一点P（x，y），则（y+2）2=9﹣（x﹣3）2∴∴综上可知，在直线SC上存在定点T（2，﹣2），使得为常数3．法二：依题意，直线SC的方程为y=﹣2，设存在定点T（t，﹣2）满足题意，则设P（x，y），，得|PS|2=λ2|PT|2（λ＞0），且（y+2）2=9﹣（x﹣3）2∴（x+6）2+（y+2）2=λ2（x﹣t）2+λ2（y+2）2∴（x+6）2+6x﹣x2=λ2（x﹣t）2+λ2（6x﹣x2）整理得，（18+2tλ2﹣6λ2）x+（36﹣λ2t2）=0上式对任意x∈[0，6]恒成立∴18+2tλ2﹣6λ2=0且36﹣λ2t2=0得或解得或又当t=﹣6，λ=1时，点T（﹣6，﹣2）与S重合，故舍去，综上可知，在直线SC上存在定点T（2，﹣2），使得为常数3．22．（10分）已知正数a，b满足ab=a+2b．（1）求ab的最小值；（2）求2a+b的最小值．【解答】解：（1），设，∴，解得或t≤0（舍去），∴当2b=a即a=4，b=2时，ab最小值为8．（2）法一：依题意，可得，∴，∴当即a=3，b=3时，2a +b 取最小值为9．法二：由ab=a +2b ，得，∴，∴当即a=3，b=3时，2a +b 取最小值为9．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx第22页（共23页）①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f(q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x第23页（共23页）。

高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|4x-8＞0}，则A∩B=（）2.直线x cosα++2=0的倾斜角的取值范围（）A. [0B. ∪C. D. [0∪，π）3.已知变量x，y z=2x+y的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若α⊥β，l⊥β，则l⊂α．其中正确的命题个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35.如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B且点C与点D图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影6.已知命题p：“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；命题q：在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充分条件；则下列命题是真命题的是（）A. p且qB. p或￢qC. ￢p且￢qD. p或q7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A. 2D. 38.已知圆C：（x-2）2+y2=4l2：y=kx-1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，则k的值为（）B. 19.执行如图所示的程序框图，若将判断框内“S＞100”改为关于n的不等式“n≥n0”且要求输出的结果不变，则正整数n0的取值（）A. 是4B. 是5C. 是6D. 不唯一10.且与直线y=x-1交于M，N两点，若MN）11.已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，成等比数列，若m-n=8，则a m-a n=（）A. 12B. 13C. 14D. 1512.已知两点M（-1，0），N（1，0），若直线y=k（x-2）上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（）A. [-5，5]B.C. 0）∪（0D. 0）∪（0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到266在第一营区，从267到496为第二营区，从497至600为第三营区，则第二营区被抽中的人数为______．14.已知点P（x，y）在圆x2+y2=2______．15.F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于M，N两点，若过椭圆左焦点F1的直线MF1是圆F2的切线，则该椭圆的离心率为______．16.点E、F、G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、B1C1的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是______（写出所有真命题的编号）．①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；②过点F、D1、G的截面是正方形；③点P在直线FG上运动时，总有AP⊥DE；④点Q在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1QC的体积是定值；⑤点M是正方体的平面A1B1C1D1内的到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是一条线段．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a cos C sin C-b-c=0①求角A的大小；②若a=2，△ABC b、c的值．18.已知以点P为圆心的圆经过点A（-1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．19.某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为[40，50），[50，60），…，[90，100]），（1）求成绩在[70，80）的频率，并补全此频率分布直方图；（2）求这次考试平均分的估计值；（3）若从成绩在[40，50）和[90，100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．20.已知命题p：函数f（x）=x2+mx+1在区间（-2，-1）和（-1，0）上各有一个零点；命题q p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．21.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P-EC-DAP的长h；若不存在，请说明理由．和焦距都等于2，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于-1的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线BD的斜率为定值；（3）求△ABD面积的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】．故选：D．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：设直线x+2=0的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．则tanθ=∴θ故选：D．设直线x+2=0的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．可得tanθ=出．本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（-1，-2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z=2x+y过点A（1，0）时，z最大是2，故选：B．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：对于①，若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；①错误，还需l∩m=A，故①正确，对于②，若l⊂α，l∥β，α∩β=m，由线面平行的性质定理得：l∥m；故②正确，对于③，若α⊥β，l⊥β，则l⊂α或l∥α，故③错误，即正确的命题个数为1，故选：B．由面面平行得①错误，由线面平行的性质定理可得②正确，由空间线面关系得③错误，得解．本题考查了线面平行，线线平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理及性质定理，属中档题．5.【答案】B【解析】【分析】由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得．本题考查几何概型，涉及面积公式和分段函数，属基础题．【解答】解：由题意可得B（1，0），把x=1代入y=x+1可得y=2，即C（1，2），把x=0代入y=x+1可得y=1，即图中阴影三角形的第3个定点为（0，1），可解得x=-2，即D（-2，2），∴矩形的面积S=3×2=6，阴影三角形的面积S′3×∴所求概率P故选B．6.【答案】D【解析】解：命题p：“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”，因此命题p是假命题；命题q：在△ABC中“sin A＞sin B”0⇔“A＞B”，因此，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件，∴q是真命题．因此命题p∨q是真命题．故选：D．对于命题p：“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”，即可判断出命题p是假命题；对于命题q：在△ABC中“sin A＞sin B”0⇔“A＞B”，即可判断出．再利用复合命题的真假判定方法即可得出．本题考查了简易逻辑的有关知识、三角函数的化简，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．7.【答案】D【解析】【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：。

湖北省沙市中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知点，，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据斜率公式求斜率，再求倾斜角.【详解】因为直线的斜率为，所以倾斜角为，选C.【点睛】本题考查斜率以及倾斜角概念,考查基本求解能力,属基础题.2.直线关于直线对称的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设所求直线上任一点关于的对称点为，求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程.详解：设所求直线上任一点，则它关于的对称点为，因为在直线上，化简得，故选D.点睛：本题考查“逆代法”的应用，属于中档题.“逆代法”的步骤：设出未知曲线上的坐标，以及在已知曲线上的对称点坐标，求出，将代入已知曲线方程.3.已知点和点，且，则实数的值为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】试题分析：由空间中两点间距离易知：，解得或，故选D．考点：空间中两点间距离．4.执行如图所示的程序框图，则输出的值等于（）A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得，；，故选A考点：程序框图5.设某大学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系．根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（）A. 与具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【答案】D【解析】【分析】根据回归方程一次项系数正负判断A正确，根据回归方程特点判断B正确，根据回归方程计算可得C正确，根据回归直线方程只能估计，不能肯定，所以D错误.【详解】因为,所以与具有正的线性相关关系，回归直线必过样本点的中心，所以B正确，由得身高增加1cm时其体重约增加0.85kg，回归直线方程只能估计，不能肯定，所以D错误.因此选D.【点睛】本题考查线性回归方程相关概念,考查基本分析判断求解能力,属基础题.6. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：该样本中的老年教师人数为，则，．故选C．考点：分层抽样．7.直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件确定直线截得圆的弦长，再根据垂径定理求，，即得结果.【详解】由题意得直线和单位圆弦长皆为，所以圆心到直线和距离皆为，即，选B.【点睛】本题考查直线与圆位置关系以及垂径定理,考查基本分析求解能力,属基础题.8.已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点.若四边形的最小面积是2，则的值为（）A. B.C. D. 2【答案】D【解析】试题分析：如图所示，根据对称性可知，当取得最小值时面积取得最小值，而，所以当最短时，最小，即时最小，此时，四边形的面积为，解得.考点：直线与圆的位置关系.【思路点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系.涉及比较多的知识点，一是连接圆心和切点的直径和切线垂直；二是根据对称性，将四边形的面积转化为两个直角三角形面积的和；三是最值问题，用化归与转化的数学思想方法转化为点到直线距离的距离来求解.四是点到直线的距离公式，还有圆的一般方程配成标准方程得到圆心和半径.9.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】半径最小时圆面积最小，根据题意可得原点到直线距离为圆直径时半径最小，再根据圆面积公式得结果.【详解】因为半径最小时圆面积最小，而，因此圆面积的最小值为，选A.【点睛】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．10.设函数，集合，在直角坐标系中，集合所表示的区域的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A，再根据区域图象确定面积.【详解】, 所表示的区域如图，面积为圆面积的一半，即，选C.【点睛】线性规划中可行域面积问题，首先明确可行域对应的图象，然后结合图形确定结果.11.若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得圆心到直线距离不大于，再根据点到直线距离公式列不等式解得结果.【详解】因为圆，所以，因为圆上至少有三个不同点到直线的距离为，所以圆心到直线距离不大于，即，选C.【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．12.直线交曲线于两点，为原点，P在线段OQ上，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据题意解出圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求斜率.【详解】因为，所以，设圆心C到直线距离为，过C作直线垂直，垂足为M，因为，所以,即，从而，选D.【点睛】涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率为_____________．【答案】【解析】【分析】根据概率概念可得概率与抛掷次数无关，即得结果.【详解】因为概率与抛掷次数无关，所以第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率等于1次抛掷恰好出现“正面向上”的概率，为.【点睛】本题考查概率概念,考查基本分析求解能力,属基础题.14.设满足约束条件，则目标函数的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最小值取法，即得结果.【详解】作可行域，则直线过点A时取最小值8.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15.如图，在四面体中，若截面为正方形，则下列结论正确的是_______．①；②∥截面；③；④异面直线与所成角为．【答案】①②④【解析】因为截面是正方形，所以;①正确截面；②正确异面直线与所成的角为, ④正确16.设集合，，若存在实数，使，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】根据两圆有交点建立不等式，再根据不等式有解确定实数的取值范围.【详解】由题意得两圆有交点，所以，即有解，因此.【点睛】一般利用圆心距与两半径和与差的关系,判断圆与圆的位置关系.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，请写出必要的文字说明和演算推理过程）17.已知直线的斜率为，且直线经过直线所过的定点．（1）求直线的方程；（2）若直线平行于直线，且点到直线的距离为，求直线的方程．【答案】（1）；（2），或.【解析】【分析】(1)先求p，再根据点斜式得直线的方程，(2)根据平行关系设直线方程，再根据点到直线距离确定直线方程.【详解】（1）所以过定点(-2,5)因此，即（2）设直线，则或直线为：，或【点睛】本题考查直线方程以及点到直线距离,考查基本分析求解能力,属基础题.18.已知圆内有一点，直线过点且和圆交于两点，直线的倾斜角为．（1）当时，求弦的长；（2）当弦被点平分时，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先根据点斜式得直线方程，再根据点到直线距离得圆心到直线距离，最后根据垂径定理求弦长，(2)设直线方程，根据圆心到直线距离为OP，列方程解得斜率，即得直线方程. 【详解】：，圆心到距离为，所以弦长为，（2）圆心到距离为,设：所以【点睛】涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和.19.某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．【答案】（1）0.005（2）73（3）10【解析】【分析】（1）根据直方图中各矩形面积和为1,列方程可求得的值；（2）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该校名学生语文成绩的平均分；（3）先求出各分数段的人数，总人数减去所求人数的和即可得结果.【详解】(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005．(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5；0.04×10×100＝40；0.03×10×100＝30；0.02×10×100＝20．由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；40×＝20；30×＝40；20×＝25．故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10．【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.20.如图，几何体是四棱锥，为正三角形，，．（1）求证：；（2）若，为线段的中点，求证：∥平面．【答案】(1)见解析 (2) 见解析【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题．（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面OCE，从而BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，问题解决；（2）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，于是DM∥平面BEC；证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，易证AB=AF，D为线段AF的中点，连接DM，则DM∥EF，由线面平行的判定定理即可证得结论．(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，，…………2分又已知，所以平面OCE. …………４分所以，即OE是BD的垂直平分线，所以.…………６分(II)取AB中点N，连接，∵M是AE的中点，∴∥，…………８分∵△是等边三角形，∴.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，所以ND∥BC，…………1０分所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. …………12分21.在平面直角坐标系中，点，，动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线和轨迹交于两点，且点在以为直径的圆内，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设点P坐标，化简条件即得轨迹方程，（2）设，，利用向量数量积表示点在以为直径的圆内，联立直线方程与圆方程，利用韦达定理代入化简，解不等式得结果.【详解】（1）设，因为（2），设，，，满足故的取值范围是【点睛】直线和圆的位置关系，一般转化为直线方程与圆方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.22.如图所示，已知圆上点处切线的斜率为，圆与轴的交点分别为，与轴正半轴的交点为，为圆的第一象限内的任意一点，直线与相交于点，直线与轴相交于点．（1）求圆的方程；（2）试问：直线是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根据切线斜率得切点与圆心连线斜率，解得a,再代入圆方程得r,即得结果，(2)先设直线AP方程，分别解得P坐标，M坐标,以及N坐标，再求出直线MN方程，最后根据方程求定点.【详解】（1）由题意得（2）设直线由三点共线得：直线为：即：由直线过定点.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。