【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.1.1两角差的余弦公式课件

格式：ppt
大小：2.09 MB
文档页数：36

下载文档原格式

两角差的余弦公式课件

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角差的余弦公式
(1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
(2)此公式简记作C(α-β).
归纳总结对两角差的余弦公式的理解:
(1)公式中的 α,β 都是任意角.
(2)一般情况下,cos(α-β)≠cos α-cos β.
(3)公式使用时不仅要会正用,还要能够逆用,在很多时候,逆用
π
4
π
= 求出cos + 的值,再根据 α=
4
5
4
π
− 构造两角差的余弦,求出
4
cos α 的值.
解:∵sin +
π
4
π
π
∴ < + < π.
2
4
∴cos
π
+
4
4
5
π
4
= ,且 < <
= − 1-
4 2
5
π π
∴cos α=cos + 4 - 4
π
π
=cos + cos + sin
更能简洁地处理问题.如由 cos 50°cos 20°+sin 50°sin 20°能迅速地想
到 cos 50°cos 20°+sin 50°sin 20°=cos(50°-20°)=cos 30°=
3
;
2
又如cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos [(α+β)-β]=cos α.
题型一
化简求值问题
【例1】求值:
(1)sin 285°;
(2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°).

高中数学必修四课件3-1-1 两角差的余弦公式课件

【训练 1】求下列三角函数式的值： (1)sin1π2；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°．
解 (1)原式＝cos(π2－1π2)＝cos51π2＝cos[π4－(－π6)]
＝cosπ4cos(－π6)＋sinπ4sin(－π6)＝
6－ 4
2．
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0．
又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5143×47 3＝12．又∵β∈0，π2，∴β＝π3．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5143×47 3＝12．又∵β∈0，π2，∴β＝π3．
cos(－60°)＝cos 60°＝12．
(3)原式＝cos15°－8c°o－s 8s°in 15°sin 8°
＝cos
15°cos
8°＋sin 15°sin cos 8°
8°－sin
15°sin
8°
＝cos
15°cos cos 8°
8°＝cos
15°＝cos(60°－45°)＝
6＋ 4
2．
答案
(1)D
题型二给值求值
【例 2】设 cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，其中 α∈π2，π，β ∈0，π2，求 cosα＋2 β．
解因为 α∈π2，π，β∈0，π2．所以 α－β2∈π4，π，α2－β∈－π4，π2．因为 cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，

3.1.1两角差的余弦公式课件

如果去掉条件 ( , )此题如何做呢？ 2

16:33:36
提高能力：
（1） cos 750 cos 300 sin 750 sin 300
（2） cos( ) cos sin( )sin
16:33:36
本课小结
通过对本节内容的探究学习、训练，你获得哪些思考?
16:33:36
问题的提出
1、联想诱导公式
cos( ) sin 2
2、我们已经知道cos45
2 ， cos30 3 ， 2 2 那么我们能否得到cos15=？
是不是cos(45 30) cos45 cos30 ?
从而猜想：cos( - )=？
16:33:36
有人提出：数学不但是研究现实世界的存在形式和数量关系的科学，数学还要研究人类的存在形式和人类思维的模式。我认为学习是对世界的一种认知过程，通过本节课学习我们掌握了一些探究方法，探究是今后我们探索未知世界的一种能力。我们人类不断地认识着这个世界，学习数学能让我们认识和改造世界的思维得到不断地发展。
16:33:36
恳请各位批评指正
助我成长！
16:33:36
简记“余余正正，符号相反”
2.公式中的α ,β 是任意角。
16:33:36
训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：
（课本127页练习第1题）
（1） cos( ) sin 2

（2） cos(2 ) cos
16:33:36
例1 求cos15°的值.
分析：将150可以看成450-300而450和300均为特殊角，
变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一。代数变换是我们熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，帮助我们简化三角函数式。在本册第一章，我们接触了同角三角函数式的变换，在本章，我们将运用数学中的一些工具或方法推导两角差的余弦公式，由此导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。通过本章学习，将帮助我们进一步提高推理能力和运算能力。

高中数学：3.1.1《两角差的余弦》课件

第二页，编辑于星期一：点四十一分。
问
如何用任意角α与β 的正弦、余
题
弦来表示cos(α-β)？
探
思考：你认为会是
究
cos(α-β)=cosα-cosβ吗?
第三页，编辑于星期一：点四十一分。
OA cosα,sinα OB cosβ,sinβ
OAOB OA OB cos( )
cos( )
第九页，编辑于星期一：点四十一分。
思考题：已知α，β都是锐角,
cosα=
4， 5
cosα+β 5 求 cosβ的值
13
变角: β= α+β α
分析：三co角s 函数中co一s定要注意观察
角c度o之sα间的β关c系o，sα例如sinαβsinα
=5 α 4 1+2 β3
1=3 (5
1-3
5
)+
16 65
第十页，编辑于星期一：点四十一分。
建议作业： P150 2、3、4、5
第十一页，编辑于星期一：点四十一分。
1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式?
2. cos15 ° =cos(45 ° -30 °)=cos45 ° -cos30 °
成立吗? 3. cos (45 ° -30 °)能否用45 °和30 °的角的
三角函数来表示?
4. 如果能,那么一般地cos(α-β)能否用α 、β的角的三角函数来表示?
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos(α－β)
第五页，编辑于星期一：点四十一分。
应用举例
不查表,求cos(–375°)的值. 解: cos(– 375°)=cos15 ° =cos(45 °– 30 °)

3.1.1 两角差的余弦公式课件

sin α，sin β的值，就可以求得cos(α－β)的值．
例 1、利用差角公式求cos15o 的值。
解法 1：cos15o = cos 45o − 30o
= cos45o cos30o +sin45o sin30o
= 2 3 2 1 × + × 2 2 2 2
=
解法 2：cos15o = cos 60o − 45o = cos60o cos45o +sin60o sin45o
返回
例 3、已知sinα = ，α ∈
5
4
π 2
，π ，cosβ = − ，β是第三象限角，
13
5
求cos （α − β）的值。
解：由sinα =
4 5
，α ∈
π 2
，π ，得
？
联系公式 C（α −β ）和本题的条件，要计算
cos （α − β），
注：思维
的有序性和表应作哪些准备？ 3 2 cosα = − 1 − sin α = − ； 5 达的条理性是 5 由cosβ = − ，β是第三象限角，得 13 三角变换的基
解：(1)原式＝cos(15° －105° )＝cos(－90° )＝0. 1 (2)原式＝cos[(α－35° )－(25° ＋α)]＝cos(－60° )＝ . 2 (3)原式＝cos 40° cos 70° ＋sin 70° sin 40° ＝cos(70° －40° )＝cos 30° ＝ 3 . 2
6+ 2 4
=
1 2
×
4
2 2
+
3 2
×
1 2
点评：
=
2+ 6
在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数时，关键在于把待求的角转化为已知角或者特殊角(如 30°，45°等)的差，然后求值．

(3.1.1两角和与差的余弦公式)PPT教学课件

2020/12/10
6 115
例3.已知 ,都是锐c角 os ，4,
5
cos() 5 ,求cos的值。
13
提示：拆角思想 : c o s c o s ( ) .
2020/12/10
12
练习
1.已知 sina3,是第四象限的角，求
5
cos()的值。
4
y
ΟΑ(cosα,sinα) A OB(cosβ,sinβ) B α
β
O
x
O A 2020/ 12/O 10 B c o s c o s s i n s i n 5
思考3：向量的夹角θ,根据数量积定义
OAOB 等于什么? θ与α、β有什么
关系？由此可得什么结论？
y
O A O B O A O B c o s
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，
记作记忆？
2020/12/10
C (，该 )公式有什么特点？如何
8
探究（三）：公式的应用例1 利用余弦公式求cos15°的值.
（1）cos15 co（ s 45 -30） =cos45 cos30 sin45 sin30
A
cos
θB
α
α-β= 2kπ＋θ
β
O
x
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
2020/12/10
6
思考4：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋ sinαsinβ 称为差角的余弦公式，记
作C( )，该公式有什么特点？如何记忆？
2020/12/10
7

数学：3.1.1《两角差的余弦公式》课件

1
x
sin sin
第十二页，编辑于星期日：十二点二十二分。
思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 成立吗？
思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？
ks5u精品课件
第十三页，编辑于星期日：十二点二十二分。
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
ks5u精品课件
第七页，编辑于星期日：十二点二十二分。
思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP
＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？
cos(α－β)=OM
y P1 P
O
M
x
ks5u精品课件
第八页，编辑于星期日：十二点二十二分。
ks5u精品课件
第二十页，编辑于星期日：十二点二十二分。
3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β)
( 6) 6 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.
作业： P127练习：1，2，3，4.
第十八页，编辑于星期日：十二点二十二分。
理论迁移
例1 利用余弦公式求cos15°的值.
例2 已知sin
4 5
,cos
5,
，,
13
2
β是第三象限角,求cos(α－β)的值.
例3 已知 cos( )cos sin( )sin 1 ,
3
且 3 ,2 , 求 cos( )的值.
2
4

高中数学C1《3.1.1两角差的余弦公式》课件

2．cos51π2cosπ6＋cos1π2sinπ6的值是( C )
( √)
A．0
1
2
B.2 C. 2
3 D. 2
3．设 α∈0，π2，若 sin α＝35，则 2cosα－π4等于(
)
7 A.5
1 B.5
C．－75
D．－15
答案：A
4．化简sicnoαs＋α－coπ4sα＝________.
答案：
[解析] (1)cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°＝cos(50°－20°)＝cos 30°＝ 23，故选 C.
(2)cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)
＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝12× 22＋ 23× 22＝
2＋ 4
＝－1114×17＋5143×4 7 3＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3.
[答案]
π
π
(1) 4 (2) 3
例 3. (1)已知 α，β 均为锐角，且 sin α＝255，sin β＝ 1100，则 α－β＝________.
变式训练 3：[ 变条件] 若本例(1)中“sin α”变为“cos α”，
解：由 cos α＝17，0<α<π2，得 sin α＝ 1－cos2α＝
1－172＝4
7
3 .
由 0<β<α<π2，得 0<α－β<π2. 又因为 cos(α－β)＝1134，
所以 sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－11342＝3143. 由 β＝α－(α－β)得 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

课件6：3.1.1 两角差的余弦公式

B．cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°
C．sin 20°sin 3°－cos 20°cos 3°
D．cos 20°sin 20°＋sin 3°cos 3°
【解析】cos 17°＝cos(20°－3°)＝cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°.
【答案】B
2．下列关系中一定成立的是 A．cos(α－β)＝cos α－cos β B．cos(α－β)＜cos α＋cos β C．cos(2π－α)＝sin α D．cos(π2＋α)＝sin α
＝－53×
22＋45×
22＝
2 10 .
规律方法 1．本题求解的关键在于把角 α 分解成两角 α＋π4与 α 之差，变角是进行三角变换的常用方法技巧，如 α＝(α＋β)－β，α ＝β－(β－α)，α＝(2α＋β)－(α＋β)等． 2．利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式．即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式计算．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值； ②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
课堂检测
1．cos 17°等于
()
A．cos 20°cos 3°－sin 20°sin 3°
例 2.已知 sin(α＋4π)＝45，且4π<α<34π，求 cos α 的值．解:∵sin(α＋π4)＝45，且π4＜α＜34π，∴π2＜α＋π4＜π，
∴cos(α＋π4)＝－ 1－452＝－35.

高中数学3.1. 1 两角差的余弦公式(第1课时)优秀课件

= cos45°cos30°+sin45°sin30°
2 2
3 2
21 22
6 4
2
解法2: cos15cos6045
c6 o c 0 s4 o 5 s s6 i n s04 i n 5
1 2 3 2 2 6
22 2 2
4
小结: 1、把非特殊角拆分成特殊角的差. 2、公式的直接应用.
例 2 .求 :c1 值 o 0 c 7 s 5 o 0 5 s 5 s 1 i0 n s 7 5 i0 5 n 5
3.1.1 两角差的余弦公式
复习回忆
三角函数 sin 30 sin 45 sin 60
1
三角函数值
2
2

2
2
三角函数 cos30cos45cos60
3
2
1
三角函数值
2
2
2
一、新课引入
问题1:
sin75°＝sin〔 45° +30°〕
cos15°＝？＝ssinin7455°°－= ？sin30°？
y
P1
cos(α－β)=OM
P
β α
O
M
x
思考2：如何用线段分别表示sinβ和cosβ？
cosβ
y
P1
A
P β
O
sinβ
x
思考3：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？
sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？
y
sinαsinβ
P1
A
P
C
α
OB
x
cosαcosβ
思考4：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

x)]· sin(x－18° )＝cos(x＋27° )cos(x－18° )＋sin(x＋27° )sin(x－18° ) ＝cos[(x＋27° )－(x－18° )] 2 ＝cos45° ＝2.
)
3 [解析] 原式＝cos(45° －15° )＝cos30° ＝2.
3．cos105°＝________.
[答案]
2－ 6 4
[解析]
将 105° 表示成 150° －45° ，再用公式 C(α－β)计算，
3 cos105° ＝ cos(150° － 45° ) ＝ cos150° cos45° ＋ sin150° sin45° ＝－ 2 2－ 6 2 1 2 × 2 ＋2× 2 ＝ 4 .
1 π π 已知 sinθ＝5，θ∈(2，π)，求 cos(θ－3)的值． 1 π 2 6 [解析] ∵sinθ＝5，θ∈(2，π)，∴cosθ＝－ 5 ，
π π π 2 6 1 1 3 则 cos(θ － 3 ) ＝ cosθcos 3 ＋ sinθsin 3 ＝－ 5 × 2 ＋ 5 × 2 ＝ 3－2 6 10 .
[解析] (1)原式＝cos(15° －105° )＝cos(－90° )＝0； 1 (2)原式＝cos[(α－35° )－(25° ＋α)]＝cos(－60° )＝cos60° ＝2.
化简求值：
cos(x＋27°)cos(x－18°)－cos(63°－x)sin(18°－x)．
[解析] 原式＝ cos(x ＋ 27° )cos(x － 18° ) ＋ sin[90° － (63° －
4．同角三角函数的基本关系式 sinα π sin α＋cos α＝1，tanα＝cosα(α≠kπ＋2，k∈Z)．
2 2
π 5．正切函数 y＝tanx 的定义域为{x|x≠kπ＋2，k∈Z}．
●自主预习两角差的余弦公式 cosαcosβ＋sinαsinβ (1)cos(α－β)＝____________________. (2)此公式简记作C(α－β)．
●预习自测
1．cos(30° －45° )等于( 2 A． 2Leabharlann 2＋ 3 C． 4[答案]
[解析]
) 3 B． 2 2＋ 6 D． 4
D
3 cos(30° － 45° ) ＝ cos30° cos45° ＋ sin30° sin45° ＝ 2
2＋ 6 2 1 2 × 2 ＋2× 2 ＝ 4 .
2．cos45° cos15° ＋sin45° sin15° ＝( 1 A．2 2 C． 2 [答案] B 3 B． 2 3 D． 3
高效课堂
●互动探究
公式的直接应用 4 π 5 已知 sinα＝5，α∈(2，π)，cosβ＝－13，β 是第三
象限角，求 cos(α－β)． π 4 3 [解析] ∵α∈(2，π)，sinα＝5.∴cosα＝－5，
5 12 又 β 在第三象限且 cosβ＝－13，∴sinβ＝－13 3 5 4 12 ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－5×(－13)＋5×(－13) 15 48 33 ＝65－65＝－65.
[点拨]
依据角的范围确定函数的符号，再利用差角公式求
解，是一种常见的题型．
公式的逆应用计算(1)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；
(2)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)．
[探究] 逆用公式时，要查名称、查角、查运算符号是否符合公式的要求，不符合的要先变形调整．
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第三章
三角恒等变换
下图为世界著名的艺术殿堂——法国卢浮宫，它的正门入口处有一个金字塔建筑，它的设计者就是著名的美籍华人建筑师贝聿铭．那么在测量这类建筑物的高度时(如右图)，我们需要来解复合角∠DAC＝ α－β 的正、余弦值，这就需要对两角差的正、余弦进行变换．事实上，变换是数学的重要工具，同时也是高中数学学习的主要对象之一．其中代数变换我们已经在初中学习过，而且在必修 4 的第一章也涉及同角三角函数的变换．与代数变换一样，三角变换也是一种只变其形，不改变其本质的一种变换．
[总结]对两角差的余弦公式的理解： ①公式中的 α、β 都是任意角． ②差角的余弦公式不能按分配律展开，即一般情况下，cos(α －β)≠cosα－cosβ. ③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题．如由 cos50° cos20° ＋sin50° sin20° 能迅速地想到 cos50° cos20° ＋ sin50° sin20° ＝ cos(50° － 20° ) ＝ cos30° ＝ 3 2 ；又如 cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα. ④记忆：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．
第三章
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式
1
优效预习
3
当堂检测
2
高效课堂
4
课时作业
优效预习
●知识衔接 1．任意角的三角函数如右图，设 α 是一个任意角，它的终边 y ，与单位圆交于点 P(x ， y) ，则 sinα ＝ ____ x ，故点P的坐标也可以表示为 cosα ＝ ___ (cosα，sinα) ． ____________
2．两向量的数量积 |a||b|cosθ (1)定义：a· b＝_____________ ，其中 θ 为向量 a 与 b 的夹角． (2) 定义表示：若 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ，则 a· b＝ x1 x2 ＋y1 y2 ______________. 3．诱导公式 π π cos α sinα ， sin( － α) ＝ sin( 2 － α) ＝ ________ ， cos( 2 － α) ＝ _______ cosα ，tan(－α)＝_______. －sinα ，cos(－α)＝_______ －tanα _______