一类模型不确定非线性系统的反演预测控制

非线性系统的模型预测控制技术研究随着科技的不断发展，非线性系统的控制越来越受到重视。

由于非线性控制具有非线性和时变因素，其不确定性更大，使得传统的线性控制方法难以应对。

因此，非线性系统的模型预测控制技术不断成熟，被广泛应用于化工、电力、交通等领域的工业控制。

一、非线性系统的特点非线性系统是指系统输出与输入之间不是线性关系的系统。

相较于线性系统，非线性系统对初始条件和输出的波动具有更敏感的关系，输出结果可以是非周期性、混沌、奇异等形式。

非线性系统的特征有以下几点：1. 非线性和时变性非线性系统在不同时间段输出的结果具有不同的性质，输入和输出之间的关系不随时间保持不变。

非线性控制系统的误差被认为是非零常态误差，系统输出不稳定，难以找到精确的数学模型进行控制。

2. 非确定性与线性系统相比，非线性系统的动力学特性更加复杂，控制过程出现的不确定性更加明显。

这一点要求控制系统具备强适应性和自适应能力，可以有效地应对非线性系统的不确定性。

3. 非周期性非线性系统的输出结果可以是非周期性的，即输出结果无法通过简单的周期函数来描述。

非周期性使得控制难度加大，需要更多的时间和精力来建立数学模型和控制算法。

二、模型预测控制模型预测控制是一种将控制器集成到动态模型中的先进控制方法。

也就是说，模型预测控制是通过建立非线性动态模型来预测未来的系统响应并进行控制。

与传统的控制方法相比，模型预测控制能够将非线性系统的不确定性纳入考虑，使其拥有更好的自适应性以及更高的控制精度。

三、模型预测控制技术1. 非线性动态模型建立建立非线性动态模型是模型预测控制的关键环节之一。

非线性系统不能够用线性方程或简单函数来描述，因此建立非线性模型需要利用系统的状态方程和非线性特性。

最常见的非线性建模方法包括：神经网络、模糊系统和多项式回归等。

2. 预测控制法则设计预测控制的目的是通过解决最优控制问题实现控制目标，因此需要制定相应的控制方法。

最优控制问题通常用优化问题的形式表达，采用目标函数来评估控制效果。

非线性模型预测控制的若干问题研究一、概述随着现代工业技术的快速发展，非线性模型预测控制（Nonlinear Model Predictive Control，NMPC）已成为控制领域的研究热点。

非线性系统广泛存在于实际工业过程中，其特性复杂、行为多样，且具有不确定性，这使得传统的线性控制策略在面对非线性系统时往往难以取得理想的效果。

研究非线性模型预测控制策略，对于提高控制系统的性能、稳定性和鲁棒性具有重要意义。

非线性模型预测控制是一种基于非线性模型的闭环优化控制策略，其核心思想是在每个采样周期，以系统当前状态为起点，在线求解有限时域开环最优问题，得到一个最优控制序列，并将该序列的第一个控制量作用于被控系统。

这种滚动优化的策略使得非线性模型预测控制能够实时地根据系统的状态变化调整控制策略，从而实现对非线性系统的有效控制。

非线性模型预测控制的研究也面临着诸多挑战。

由于非线性系统的复杂性，其预测模型的建立往往较为困难，且模型的准确性对控制效果的影响较大。

非线性模型预测控制需要在线求解优化问题，这对计算资源的需求较高，限制了其在实时性要求较高的系统中的应用。

非线性模型预测控制的稳定性和鲁棒性也是研究的重点问题。

本文旨在深入研究非线性模型预测控制的若干关键问题，包括非线性模型的建立、优化算法的设计、稳定性和鲁棒性的分析等。

通过对这些问题的研究，旨在提出一种高效、稳定、鲁棒的非线性模型预测控制策略，为实际工业过程的控制提供理论支持和实践指导。

1. 非线性模型预测控制（NMPC）概述非线性模型预测控制（Nonlinear Model Predictive Control，简称NMPC）是一种先进的控制策略，广泛应用于各种动态系统的优化控制问题中。

NMPC的核心思想是在每个控制周期内，利用系统的非线性模型预测未来的动态行为，并通过求解一个优化问题来得到最优控制序列。

这种方法能够显式地处理系统的不确定性和约束，因此非常适合于处理那些对控制性能要求较高、环境复杂多变的实际系统。

非线性控制系统中的模型预测控制技术一、引言现代控制理论的发展中，非线性控制系统成为了研究的关键领域。

非线性控制系统的特点是复杂性强、系统参数难以准确测量、不确定性大等。

这些因素使得非线性控制系统很难得到精准的控制。

本文将重点剖析模型预测控制技术在非线性控制系统中的应用。

二、非线性控制系统的特点一般来说，非线性控制系统具有以下几个特点：1. 系统的非线性和复杂性2. 系统存在参数不确定性，难以精确测量3. 控制输入和输出之间存在强耦合性4. 系统存在振荡、不稳定性等问题上述特点使得非线性控制系统的控制变得非常复杂，需要使用更加先进的控制算法来解决这些问题。

三、模型预测控制模型预测控制，简称MPC，是基于一个预测模型进行控制的一种方法。

在MPC中，控制器使用当前的状态以及对未来状态的预测来作出控制决策。

控制器会计算出一个控制变量序列，然后将其施加到非线性系统中。

这种方法可以提高控制系统的性能，从而降低控制误差。

MPC 的基本流程可以概括为以下几个步骤：1. 选择一个模型2. 预测下一步的状态和输出3. 计算控制变量序列，优化控制性能4. 应用当前的控制变量MPC 具有以下优点：1. 能够将未来的控制变量和权重考虑进去，使得控制系统能够更好地适应未来的变化。

2. 能够对强耦合的非线性系统进行控制。

3. 能够更好地应对系统不确定性和时变性。

因此，MPC 已经成为了非线性控制系统中的一种重要控制方法。

四、MPC 在非线性控制系统中的应用由于非线性控制系统具有非确定性和复杂性等特点，为了更好地处理这些问题，MPC 被广泛地应用在非线性控制系统中。

特别是在化工、能源等重要领域，MPC 已经成为了非线性控制系统中最常用的控制方法之一。

例如，在控制化工过程中， MFC（Model Predictive Control）技术已经广泛应用，该技术可以对复杂的化工过程中的需求进行实时调节，并对可能出现的负面效应进行修正。

几类不确定非线性系统的智能控制问题研究在实际中,大多数系统都是非线性系统,而且通常受到不确定性,时滞以及随机扰动等因素的影响。

自适应控制因其具有辨识对象和在线修改参数的能力,能够有效抑制不确定性的影响,另一方面模糊逻辑系统以及神经网络能以任意精度逼近未知连续函数,因此是处理不确定性特别有效的方法。

近年来,通过将反步递推设计方法与模糊逻辑系统理论或神经网络相结合的反步递推自适应智能控制得到了充分发展,而且取得了很多重要的研究成果,然而仍然存在着很多问题需要进一步研究。

本文将深入研究几类不确定非线性系统的智能控制问题,如具有严格反馈形式的不确定非线性系统,随机非线性系统,以及非线性互联大系统等,并且研究在系统存在时滞情况下的处理方法。

主要研究内容如下：1.针对一类具有严格反馈形式的单输入单输出不确定非线性系统,研究基于滤波器的自适应模糊跟踪控制问题。

首先设计滤波器估计不可测状态,在此基础上结合反步递推设计方法和模糊逻辑系统理论,逐步设计出虚拟控制信号和实际的控制律。

基于Lyapunov函数理论,证明了闭环系统所有信号半全局最终一致有界而且跟踪误差收敛到零的一个小邻域内。

最后通过仿真算例,验证了该方法的有效性。

2.针对一类带有未知时滞且具有严格反馈形式的单输入单输出不确定非线性系统,给出了自适应模糊输出反馈控制方法。

首先设计滤波器估计不可测状态,通过结合反步递推设计方法和动态面控制技术,避免了对虚拟控制器中自变量重复求导,从而降低了计算量,简化了所要设计的控制器。

基于Lyapunov-Krasovskii泛函,证明了闭环系统的所有信号半全局最终一致有界,而且跟踪误差收敛到零的一个小邻域内。

最后通过仿真算例验证了所提方法的有效性。

3.针对一类带有未知时滞且具有严格反馈形式的单输入单输出随机非线性系统,研究了基于观测器的自适应神经网络控制方法。

首先设计状态观测器估计不可测状态,结合反步递推设计方法和动态面控制技术,给出基于观测器的输出反馈控制方法。

一类不确定非线性系统的输出跟踪控制设计一、研究背景近几十年来，随着科学技术的突飞猛进，人们对实际生产过程的分析要求和设备要求日益精密，被控对象的种类也越来越多，控制装置也随之越来越复杂.随着工程界对精度的要求不断提高，传统的用线性模型来研究非线性对象的方法己经不能满足工程需要.在现实的生产生活中，几乎任何一个实际的物理系统都是非线性的，许多物理系统都含有非常严重的非线性，这时用线性模型来估计此类非线性系统所设计的控制器通常难以达到预定的控制目标，甚至无法使整个闭环系统稳定，因此必须考虑建立非线性模型来解决实际问题.这种研究的需要促进了非线性控制理论的不断发展，尤其是近年来随着机器人、航空等学科的发展，促使非线性系统的控制问题得到了突飞猛进的发展.非线性系统的研究与分析与线性系统相比要复杂的多，早期的研究都是针对一些特殊的、最基本的系统来展开研究的，其中相平面法、描述函数法、绝对稳定性理论、李亚普诺夫法等都是具有代表性的方法.这些方法对于早期的非线性控制理论的研究起到了极大的推动作用.但实际的非线性模型中时常包含着不确定因素，比如不确定的未知参数、扰动、未建模动态、测量误差等等.早期的研究方法再很大程度上已经不适应现实中的工程控制.这些问题的出现使得近二十年来，不确定非线性控制理论的发展迅速，先后取得了一系列重要研究成果，开发了一些新的重要控制方法，主要有:微分几何方法、微分代数方法、变结构控制方法、输入输出反馈线性化方法、自适应控制方法。

输出跟踪问题也是控制系统设计中的热点问题，更是一个难点问题.在上个世纪，人们对跟踪问题的研究绝大部分还是只局限于不考虑系统的非线性以及存在的不确定性.然而在现代的许多实际情况中，系统的非线性以及不确定性是客观存在的，不可避免的，如飞行器的姿态跟踪和机器人的轨迹跟踪等工程问题，这使得非线性输出跟踪问题得到更多的关注.由于无法建立实际系统的精确模型，研究不确定性非线性系统的跟踪问题更具有实际意义.随着跟踪控制问题研究的深入，已经涌现出许多关于非线性系统鲁棒输出跟踪的研究结果.本文正是在这样的背景下展开研究的.二、本文所采用的非线性控制方法简介(1)Beekstepping设计方法本文主要应用的设计方法是Backstepping设计方法，这种方法是上世纪90年代提出的一种设计方法，也叫反推法，它是非线性控制的主流设计方法之一它易于处理系统中的不确定性和未知参数，是一种非线性系统的递推设计方法.这里的非线性不必具有线性界，它是从离控制输入最远的那个标量方程开始(其间被数目最多的积分器分开)向着控制输入步退的方法.反推法最早被用于确定性系统，经过发展后来被用于不确定性系统.最基本的积分器反推工具最先针对一类严格反馈系统，在严格反馈系统控制方面已取得一系列研究成果，进而，由级联系统的稳定结果推广到“块反推”.将自适应反推设计技术应用到一类所谓“严格反馈型”非线性系统设计中，得到了全局的稳定性和渐近的跟踪.它的基本理论是利用系统特殊的下三角结构，通过一步步构建LyaPunov函数推导出控制律，最后获得合乎需要的控制器.这种反推设计方法的稳定性分析是构造性的.正因为它独特的构造性设计过程和对非匹配不确定性的处理能力，在航空及军事控制系统设计中得到了成功的应用.(2)Lyapunov方法LyaPunov方法适用于任何控制系统，不仅可以用于线性系统的稳定性分析，也可用于非线性控制器的设计、估计控制系统的性能和研究其鲁棒性等，具有普适性，它是迄今为止最完善、最一般的非线性系统分析和设计方法，具有不可替代的作用.运用Lyapunov方法处理不确定非线性系统的思想是:首先对不确定性进行限制，再为标称系统选择一个Lyapunov函数V(x)，最后通过判定袱x)<o来设计鲁棒控制器，使得对所有容许的不确定性，系统状态均保持某种稳定性.但这种方法的困难之处在于如何构造合适的LyaPunov函数，而选择使系统保守性小的LyaPunov函数更加困难.尽管对于稳定的非线性系统，Lyapunov逆定理从理论上证明了使标称系统稳定的Lyapunov函数一定存在，但对于一般非线性系统，由于每种构造Lyapunov函数的方法都有其一定的针对性，不同的系统需要构造不同的Lyapunov函数，因此至今还没有一个适用于各种情况的统一构造方法，这也是Lyapunov方法没有得到广泛推广的原因之一所以如何为稳定的系统找到合适的Ly即unov 函数是未来发展的一个主要研究工作.(3)自适应控制方法不确定非线性系统的自适应控制最早被用于解决机器人的控制方面的研究的，近些年来发展迅速，目前是自动控制理论界的三大热门研究方向之一确保控制系统的稳定性是自适应控制的核心问题.与传统的理论和方法不同，当研究人员不完全掌握受控系统的特性，而且系统本身又存在不可忽略的不确定性时，采用自适应控制方法能提高受控系统的鲁棒性，因为这种特点使得自适应控制方法成为解决不确定性非线性系统的一个常用方法.这种方法不需要知道不确定性的界，而是利用自适应规律对不确定性的范围进行在线估计，逐步降低系统的不确定性.自适应控制方法大致可分为两类:状态反馈控制和输出反馈控制.状态反馈控制要求条件较高，需要已知或测得系统所有的状态向量，而在实际情况中这很难做到，通常状态不能全部测出，有些系统只可以测得输出向量，因此必须考虑设计输出反馈控制器来解决这类系统的控制问题.为此研究人员做了大量的研究工作，其中较有代表性的是文献[28一33]一个自适应控制系统如果有效，应具有以下优点:当系统因某种因素(己知或未知)而产生结构或者参数变化时，根据这种变化，所设计的控制器本身能自动实时地调节其结构或参数，从而使该系统能够达到设计者所期望的性能，那么这种自适应控制方法便是有效的.三、一类不确定非线性系统的输出跟踪控制设计设计输出控制律，使被控系统的输出跟踪期望输出这一课题一直是控制理论研究的重要课题，也是学者们研究的热点与难点，但由于其本身的复杂性，需要针对不同系统的不同对象做相应的研究.在本里，我们讨论了一类含有不确定参数和有界干扰项的不确定非线性系统，设计出了一种基于标称系统，并且具有不确定上界的状态反馈自适应控制器，使得系统输出跟踪系统期望的输出信号.3.1 系统描述及一些假设考虑不确定非线性系统(1.3.1)，本章的设计目标是设计一个鲁棒状态反馈控制器，使得闭环系统的输出跟踪给定的期望信号.为了方便起见，下面首先介绍一些相关的定义及引理.定义3.1.1 设开集n U R ∈，x U ∈，在U 上给出一个光滑标量函数()x λ和一个n 维的向量场()f x ，定义函数：总结与展望本文研究的是不确定非线性系统的稳定和输出跟踪问题，在对控制器的设计过程中主要利用了LyaPunov 稳定性理论和Backstepping 方法.文章主要做了以下几部分的工作:第一部分着重分析了一类不确定非线性系统关于状态反馈的输出跟踪问题;本文虽然对两类不确定非线性系统进行了较为全面的研究，但是还有待进一步研究的工作，比如说:在第二章中当系统存在不确定非线性项时，如何设计控制器使得系统的输出渐近跟踪系统的期望输出;在第三四章中当系统的已建模动态不满足光滑条件时，怎样设计观测器，以及怎样使得设计的控制器达到闭环系统所期望的性能;再比如说适当放宽第三章中假设2的条件我们将如何设计控制器等.这些都是我们今后要继续研究的工作.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。

非线性系统的分析和控制非线性系统是指其输入和输出之间不符合线性关系的系统，这种系统常见于生命科学、经济学、工程学以及实际应用中的复杂系统中。

非线性系统的分析和控制是科学技术领域长期以来的研究热点之一，随着计算机技术和控制理论的发展，一些传统的控制方法已经无法有效地处理非线性系统。

如何对非线性系统进行有效的建模并进行控制，一直是控制理论领域的难题之一。

非线性系统的数学特性在进行非线性系统的分析和控制之前，我们需要了解它的数学特性。

通常，非线性系统具有以下特征：1. 非线性系统的响应与输入存在非线性关系，即系统响应不是简单地随着输入线性变化的。

2. 非线性系统可能存在多个平衡状态，即一种变化处于平衡状态的状态对应多个输入。

3. 非线性系统的动力学特性可能十分复杂，存在混沌和震荡等现象。

对于非线性系统，我们通常采用数学模型来描述其动态特性和响应。

非线性系统的建模是非常复杂的，通常采用状态空间模型或微分方程来描述，这样可以比较容易地掌握系统动态特性。

对于一些复杂的非线性系统，需要采用数值计算方法来分析其特性。

非线性系统的控制方法针对非线性系统的控制，传统的 PID 控制方法或者模型预测控制等经典控制方法已经不再适用。

针对非线性系统的复杂性和不确定性，需要采用先进的非线性控制技术。

现代的非线性控制方法主要可以分为如下几种：1. 自适应控制自适应控制通常采用基于反馈控制的方法，通过实时监控系统响应情况来调节控制器的参数和结构，以适应非线性系统的变化。

自适应控制的优点是可以自动适应非线性系统的动态特性，但其监控过程可能会引入不必要的噪声，需仔细考虑控制系统的稳定性和易用性。

2. 非线性模型预测控制非线性模型预测控制(NMPC) 通常采用优化方法来设计控制器，其基本思想是通过预测未来状态来确定最优的控制序列。

NMPC的主要优点是具有非线性系统的预测能力，能够预测系统的响应变化，但其计算开销较大，需要较高的计算资源和算法设计。

控制方向未知的不确定系统预设性能自适应神经网络反演控制耿宝亮;胡云安【摘要】对一类控制方向未知的不确定严格反馈非线性系统的预设性能自适应神经网络反演控制问题进行了研究.系统中含有时变非匹配不确定项且控制方向未知.首先,提出了一种新的误差转化方法,放宽了对初始误差已知的限制;随后,利用径向基函数(radial basis function,RBF)神经网络及跟踪微分器分别实现了对未知函数和虚拟控制量导数的逼近,并综合运用Nussbaum函数和反演控制技术设计了控制器.所设计的控制器能保证系统内所有信号有界且输出误差满足预设的瞬态和稳态性能要求.最后的仿真研究验证了控制器设计方法的有效性.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2014(031)003【总页数】7页(P397-403)【关键词】预设性能;神经网络;Nussbaum函数;反演【作者】耿宝亮;胡云安【作者单位】海军航空工程学院控制工程系,山东烟台264001;海军航空工程学院控制工程系,山东烟台264001【正文语种】中文【中图分类】TP273近年来,科研工作者对不确定非线性系统的稳定控制问题进行了大量的研究,最初系统的不确定性仅限于某些不确定的参数,研究成果包括自适应反馈线性化[1]、自适应反演[2]、控制Lyapunov函数[3]等;神经网络的出现使得更为复杂的不确定系统的稳定控制成为可能,神经网络由于其逼近特性而被用于对未知函数进行逼近,将神经网络与自适应技术相结合成为最近的一个研究热点[4–5].上述文献虽不要求控制增益精确已知,但是却要求控制方向已知,Nussbaum增益法[6]的出现为解决控制方向未知的不确定非线性系统的稳定控制问题提供了一条途径,将自适应技术与Nussbaum函数相结合也取得了一系列的研究成果[7–9].另外一个研究热点是系统的跟踪性能问题,包括稳态性能和瞬态性能两个方面.现有的控制方法大多将注意力放在系统稳态性能的研究上,即保证系统的跟踪误差收敛到一个有界的区域或渐近收敛到原点,而对系统的瞬态性能(包括超调量和收敛速度)缺乏系统的分析和设计工具.Bechlioulis等[10]提出了预设性能的概念,同时兼顾了系统的稳态和瞬态性能.所谓预设性能是指在保证跟踪误差收敛到一个预先设定的任意小的区域的同时,保证收敛速度及超调量满足预先设定的条件.文献[10]针对一类单输入单输出反馈线性化系统进行了预设性能控制器的设计,文献[11]将模型进一步推广到多输入多输出反馈线性化系统,文献[12–14]将预设性能的概念与输出反馈相结合,提出了一种预设性能输出反馈控制器的设计方法;但上述方法并不能简单推广到严格反馈系统,控制方向未知也使问题变得更为复杂,对于控制方向未知的严格反馈非线性系统的预设性能控制问题还没有发现相关报道,并且现有预设性能方法都要求初始跟踪误差已知,使预设性能控制的应用领域受到很大限制.针对上述问题,本文提出一种新的误差转化方法,放宽了对初始误差已知的限制,并针对一类具有非匹配不确定项且控制方向未知的严格反馈非线性系统进行研究,综合运用backstepping技术、Nussbaum增益、自适应控制技术和跟踪微分器解决了此类系统的预设性能控制问题.2.1 问题描述(Problem description)考虑如下具有一般形式的严格反馈非线性系统:其中:x=[x1x2...xn]T∈ℝn,u∈ℝ和y∈ℝ分别为系统的状态量、输入量和输出量;定义¯xi= [x1x2...xi]T∈ℝi,fi(.)和gi(.)为未知连续光滑函数,∆i(t,¯xi)为非匹配不确定项.控制目标如下:1)输出误差e(t)=y(t)−yr(t)满足预先设定的瞬态和稳态性能;2)闭环系统中的所有信号有界.对系统的基本假设[15]如下:假设1存在一个紧集Ω,使得x∈Ω.假设2函数gi(¯xi)及其符号未知,且存在未知正常数和使得0注1假设2表明光滑函数为严格正或严格负.假设3存在未知正常数和已知非负函数,使得假设4期望轨迹yr(t)及其高阶导数yir(t)(i= 1,2,...,n)均连续有界.2.2 性能函数(Performance function)定义1连续函数ρ∶ℝ+→ℝ+为性能函数,满足:1)ρ(t)是正的且严格递减;为满足控制目标(2),文献[10]在假设e(0)已知的情况下给出如下形式:显然,假设e(0)已知具有很大的局限性,在很多系统中是不满足的,本文给出一种变参数约束方案:其中光滑函数和α¯(t)满足下面的性质:且严格递减;注2上面的性质(2)表明,在初始误差e(0)未知的情况下,(0)ρ(0)＜e(0)＜−(0)ρ(0)始终满足,因此也就放宽了对初始误差已知的限制,本文选取和为如下形式:其中λ,γ,µ,ν为选取的正常数.性能函数选取为其中:ρ0,ρ∞,l＞0为预先设定的常数,max{γ/λ, ν/µ}.ρ∞表示预先设定的稳态误差的上界,误差收敛速度及最大超调量可以通过系数λ,µ,l进行调节,上述过程可借助图1进行说明.2.3 误差转化(Error transformation)对于系统中存在形如式(2)的不等式约束的情况,直接处理的难度很大,为将其转化为等式约束,定义误差转化函数S(ε):其中:ε为转化误差,S(ε)满足下述性质:1)S(ε)光滑且严格递增;注3结合性质(2)和ρ(t)＞0,得到S(ε)ρ(t)＜(t),代入式(5)可得(t)ρ(t)＜e(t)＜α¯(t)ρ(t),式(2)所示的不等式约束得到满足.本文选取误差转化函数(如图2所示)为由误差转化函数的性质可知,S(ε)可逆(T= S−1),因此转化误差ε可表示为注4如果ε∈ℓ∞,∀t≥0,则不等式约束(2)满足,进一步,考虑到性能函数ρ(t)的衰减特性,对应的跟踪误差将被限制在以下区域:2.4 神经网络逼近(Neural approximation)假设系统中的不确定函数可表示为f(x),其中: x∈ℝn.对于自治型的不确定性,径向基函数(RBF)神经网络的逼近引理如下:引理1对于定义在紧子集Ω∈ℝn上的连续函数f∶Ω→ℝ,存在最优权值向量θ∗f∈ℝm和对应的高斯基函数φf(.)∶ℝn→ℝm,使得[16]其中:m为神经元节点数;x∈ℝn为神经网络的输入向量;ωf(x)为网络重构误差.且存在未知常数Wf＞0,使得为解决增益函数及其符号未知的问题,引入Nussbaum增益法.Nussbaum函数的基本定义如下:定义2任意的连续函数N(.)∶ℝ→ℝ,称为Nussbaum函数,如果满足[6]显然,N(ζ)=ζ2cosζ是一个典型的Nussbaum函数,且具有如下的性质[17]:引理2设V(.)和N(.)为定义在[0,tf)上的连续函数,V(t)≥0,∀t∈[0,tf);如果N(.)满足[17]式中:c1,c0＞0为适当的常数,g(x(τ))严格正或严格负,则V(t)及ζ(t)在[0,tf)上有界. Step 1对于模型(1)中的第1个子系统,选择虚拟状态量由式(6)可得转化误差ε1为式(9)两边对时间求导可得其中:为关于状态和参数的已知函数,选取Lyapunov函数为其中:=−为估计误差,为对未知参数的估计值.式(11)对时间求导并结合式(10)可以得到选择虚拟控制量x2d为其中=r1ε1η1,η1为待设计的光滑函数.将式(13)代入式(12)得其中z2=x2−x2d为虚拟状态量.结合式(7)–(8)以及假设3得到选择其中k1,nf1,nφ1,ng1,σ1＞0.又有将式(15)–(17)代入式(14)得如果|z2(t)|≤Wz2,Wz2＞0为未知常数,结合假设2,进一步得到其中:常数p1,q1＞0,且定义为式(18)两侧同时乘以ep1t,得到在[0,t)上对式(19)积分,得到由引理2可得,ζ1,V1有界,进一步得到ε1和˜θf1有界.因此,问题转化为z2(t)的有界问题.Step 2对于模型(1)中的第2个子系统,虚拟状态量转化误差式(22)两边对时间求导,得到其中:为关于状态的已知函数.由于˙x2d非常难以计算,本文采用二阶非线性跟踪微分器对其进行光滑逼近.对于跟踪微分器的性能,作如下假设[18]:假设5合理设计跟踪微分器,可以使得跟踪微分器的输出和其输入信号x2d的微分之间的误差一致有界,即存在未知常数εx2d＞0,使得|−注5假设5同样适用于其他子系统的设计过程,即存在常数Wxi,d＞0,使得|˙xi,d−ˆ˙xi,d|≤Wxi,d,i=3,4,...,n.选取Lyapunov函数为其中:为估计误差,为对未知参数的估计值.式(24)对时间求导并结合式(23)可以得到选择虚拟控制量x3d为其中:˙ζ2=r2ε2η2,η2为待设计的光滑函数.将式(26)代入式(25)得其中z3=x3−x3d为虚拟状态量.结合式(7)–(8)以及假设3和假设5得到选择其中:k2,nf2,nφ2,ng2,nx2d,σ2＞0.将式(29)代入式(28)得接下来的步骤与Step1中对应的过程类似,这里不再赘述,最终得到结合引理2可得,ζ2,V2有界,进一步得到ε2和˜θf2有界.采用递归的思想,得到Stepn对于模型(1)中的第n个子系统,选择虚拟状态量误差转化方程为选取Lyapunov函数为其中:=−为估计误差,为对未知参数的估计值.控制量u选择为其中:为待设计的光滑函数.选择最终得到ζn,Vn有界,进一步得到εn和有界.定理1对于式(1)所描述的控制方向未知的不确定严格反馈非线性系统,以假设1–5为前提,采用误差转化方程(33),设计控制器(35)–(36)和自适应律(37),可得到如下结论:1)输出信号y(t)跟踪期望信号yr(t)的同时,闭环系统中的所有信号有界;2)输出误差e(t)=y(t)−yr(t)满足预先设定的瞬态和稳态性能.平面上的双连杆机械手具有强非线性,其动力学方程可以写成如下形式:其中:二维向量q=(q1,q2)T表示关节角,二维力矩向量u=(u1,u2)T为机械手关节处的执行器输入,为机械手惯性矩阵,C(q)=为向心力和科氏力矩阵,G(q)=为重力矩,∆(q,˙q,t)为非匹配不确定项. 2由于上述模型是多输入多输出系统,令q2=˙q2= 0,将其转化为单输入单输出系统,参考信号设置为qr1(t)=π/2+π/6cos(t).具体参数设置为质量/kg:m1=3.2,m2=2.长度/m:l1=0.5,l2=0.4,r1=l1/2,r2=l2/2.转动惯量/(kg.m2):Iz1=0.96,Iz1=0.81.摩擦力系数/(N.m):km1=1,km2=1.性能函数参数:l=0.2,ρ0=1,ρ∞=5×10−3.初值:[q1(0)˙q1(0)]T=[80π/180 0]T.控制器参数:k1=1.0,k2=5.0,nf=1.0,nφ=3.0,ng=0.6,nx2d=5.0.引入二阶非线性跟踪微分器对x2d的导数进行光滑逼近,其数学表达式如下[19]: 其中设计跟踪微分器的参数为R=3.0,δ=0.1.用一个RBF神经网络对系统中的不确定函数进行逼近,选取25个节点,权值向量的初值设为零向量,仿真结果如图3–6所示.图3为跟踪误差随时间的变化情况(左图为整个时间区间的仿真情况,右图为最后10s的仿真情况),图中的点划线表示预先设定的上界和下界,其包围的区域便为跟踪误差的限制区域,可以看出,跟踪误差始终没有超出这个预设的区域,系统响应速度快,超调量小,稳态误差最终控制在5×10−3以内,因此满足文中所提到的预设性能的要求.图4为RBF神经网络的权值变化情况,可以看出25维的权值向量是收敛的,图5为RBF神经网络对未知函数的逼近情况,可以看出不论是逼近速度还是逼近精度都达到了很好的效果,图6为控制量u的变化情况,控制曲线连续平滑,而且幅值较小,易于工程实现.另外,在整个仿真过程中,系统的所有信号有界(限于篇幅,没有一一列出),充分验证了定理1的正确性.本文针对一类含非匹配不确定项及控制方向未知的严格反馈系统进行研究,提出了一种新的误差转化方法,将预设性能这种新型控制方式的应用对象进一步拓宽,并将其与backstepping技术、Nussbaum增益、自适应控制技术和跟踪微分器相结合,完成了控制器的设计,解决了此类系统的预设性能控制问题.耿宝亮(1984–),男,博士研究生,目前研究方向为智能控制、自适应控制等,E-mail:********************;【相关文献】[1]KANELLAKOPOULOS I,KOKOTOVIC P V,MARINO R.An extended direct scheme for robust adaptive nonlinear control[J].Automatica,1991,27(2):247–255.[2]KOJIC A,ANNASWAMY A M.Adaptive control of nonlinearly parameterized systems with a triangular structure[J].Automatica,2002, 38(1):115–123.[3]LIN Y,SONTAG E D.Control-Lyapunov universal formulas for restricted inputs[J].Control Theory and Advanced Technology,1995, 10(4):1981–2004.[4]CHEN F C,KHALIL H K.Adaptive control of nonlinear systems using neuralnetworks[J].International Journal of Control,1992, 55(6):1299–1317.[5]ROVITHAKIS G A.Stable adaptive neuro-control design via Lyapunov function derivative estimation[J].Automatica,2001,37(8): 1213–1221.[6]NUSSBAUM R D.Some remarks on the conjecture in parameter adaptivecontrol[J].Systems and Control Letters,1983,3(5):242–246.[7]YE X.Asymptotic regulation of time-varying uncertain nonlinear systems with unknown control directions[J].Automatica,1999, 35(5):929–935.[8]GE S S,WANG J.Robust adaptive neural control for a class of perturbed strict feedback nonlinear systems[J].IEEE Transactions on Neural Networks,2002,13(6):1409–1419.[9]GE S S,HONG F,LEE T H.Adaptive neural control of nonlinear time-delay systems with unknown virtual control coeff i cients[J]. IEEE Transactions on Systems,Man,and Cybernetics,Part B:Cybernetics,2004,34(1):499–516.[10]BECHLIOULIS C P,ROVITHAKIS G A.Prescribed performance adaptive control of SISO feedback linearizable systems with disturbances[C]//The 16th Mediterranean Conference on Control and Automation.Ajaccio,France:IEEE,2008:1035–1040.[11]BECHLIOULIS C P,ROVITHAKIS G A.Robust adaptive control of feedback linearizable MIMO nonlinear systems with prescribed performance[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2008,53(9): 2090–2099.[12]KOSTARIGKA A K,ROVITHAKIS G A.Prescribed performance output feedback control:an approximate passivation approach[C] //The 18 th Mediterranean Conference on Control and Automation. Marrakech,Morocco:IEEE,2010:11–16.[13]KOSTARIGKA A K,ROVITHAKIS G A.Prescribed performance outputfeedback/observer-free robust adaptive control of uncertain systems using neural networks[J].IEEE Transactions on Systems, Man,and Cybernetics,PartB:Cybernetics,2011,41(6):1483–1494.[14]KOSTARIGKA A K,ROVITHAKIS G A.Adaptive dynamic output feedback neural network control of uncertain MIMO nonlinear systems with prescribed performance[J].IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems,2012,23(1):138–149.[15]胡云安,晋玉强,李海燕.非线性系统鲁棒自适应反演控制[M].北京:电子工业出版社,2010. (HU Yun’an,JIN Yuqiang,LI Haiyan.Robustness of Adaptive Backstepping Control forNonlinear Systems[M].Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2010.)[16]PARK J,SANDBERG I W.Universal approximation using radial basis function networks[J].Neural Computation,1991,3(2):246–257.[17]XU J X,YAN R.Iterative learning control design without a priori knowledge of the control direction[J].Automatica,2004,40(11): 1802–1809.[18]韩京清,王伟.非线性跟踪–—微分器[J].系统科学与数学,1994, 14(2):177–183. (HAN Jingqing,WANG Wei.Nonlinear tracking differentiator[J]. System Science and Mathematics,1994,14(2):177–183.)[19]李静,胡云安,耿宝亮.控制方向未知的二阶时变非线性系统自适应迭代学习控制[J].控制理论与应用,2012,29(6):730–740. (LI Jing,HU Yun’an,GENG Baoliang.Adaptive iterative learningcontrol for second-order time-varying nonlinear system with unknown control directions[J].Control Theory and Applications,2012, 29(6):730–740.)。