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商的变化规律

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《商的变化规律》

《商的变化规律》

旅行预订
旅行者可以通过比较不同旅行 社或在线预订平台的报价，来 选择价格更合理的旅游产品。 这同样需要使用商的变化规律 来比较不同报价之间的差异。
商业中的应用
01
市场调研
商家在进行市场调研时，需要了解竞争对手的产品价格、促销策略和
市场占有率等信息。这需要使用商的变化规律来分析竞争对手的商业
策略。
02
要点二
详细描述
单项式乘以单项式，把他们的系数相乘作为积的系数， 相同字母的幂分别相乘后作为积中的相应项，其余字母 连同他的指数不变，作为积的因式。例如，$(2x^2) \cdot (3x^3)$等于$6x^5$。
除法运算律
总结词
一个数除以一个不为0的数等于这个数乘以 这个数的倒数。
详细描述
在进行除法运算时，一个数除以一个不为0 的数等于这个数乘以这个数的倒数。例如，
性质
小数商具有连续性和无限性，即两个整数相除得到的小数商是一个无限循环或不循环小数。此外，小数商还具 有传递性和封闭性，即任何两个整数的小数商都只有一个确定的值，并且如果a除以b得到的小数商是c，那么 b除以a得到的小数商就是c的倒数。
02
商的性质
传递性
定义
如果a·b=c·d，那么a:d=b:c，称为商的传递性。
扩大或缩小不同倍数
总结词
当两个数扩大或缩小的倍数不同时，商会发生变化。
详细描述
例如，当90除以10得到9，而9扩大20倍得到180，这时 商变为18，这表明当两个数扩大或缩小的倍数不同时， 商会发生变化。
零除法法则
总结词
零除法法则是指当被除数为零时，商也为零。
详细描述
例如，当90除以0得到0，这表明当被除数为零时，商 也为零。

除法商的变化规律

除法商的变化规律

除法商的变化规律在数学中，除法是一种基本的算术运算，而除法商则是除法运算的结果。

本文将探讨除法商的变化规律，主要包含以下内容：1.被除数不变，除数从左到右逐渐变大，商从右到左逐渐变小。

当被除数保持不变时，如果除数从左到右逐渐变大，那么商将如何变化呢？此时，商的值将逐渐变小，直至变成0。

这是因为随着除数的增大，能够分成的份数越来越多，每一份的值也就越来越小，因此商将逐渐变小。

2.除数不变，被除数从左到右逐渐变大，商从左到右逐渐变大。

接下来，如果除数保持不变，被除数从左到右逐渐变大，那么商将如何变化呢？此时，商的值将逐渐变大，直至变成无穷大。

这是因为随着被除数的增大，每一份的值也越来越大，因此商将逐渐变大。

3.商随被除数、除数的变化而同步变化。

接下来，我们考虑被除数和除数同时变化的情况。

此时，商的值将随着被除数和除数的变化而变化，且变化规律与前两种情况相同。

例如，如果被除数和除数同时乘以或除以同一个非零数，商将保持不变；如果被除数和除数同时加或减同一个非零数，商也将保持不变。

4.当被除数、除数同时乘以或除以同一个非零数时，商不发生任何变化。

考虑被除数和除数同时乘以或除以同一个非零数的情况。

此时，无论这个非零数如何变化，商都将保持不变。

这是因为乘以或除以同一个非零数不会改变两个数的相对大小关系，因此商值也不会发生变化。

5.当被除数、除数同时加或减同一个非零数时，商也不发生任何变化。

最后，我们考虑被除数和除数同时加或减同一个非零数的情况。

此时，无论这个非零数如何变化，商也将保持不变。

这是因为同时加或减同一个非零数不会改变两个数的相对大小关系，因此商值也不会发生变化。

综上所述，除法商的变化规律可以被归纳为以上五种情况。

理解这些规律有助于更好地掌握数学中关于除法运算的知识。

《商的变化规律》

《商的变化规律》
详细描述
当被除数增大，除数不变时，商也相应增大；当被除数减小，除数不变时，商也相 应减小。同样地，当除数增大，被除数不变时，商减小；当除数减小，被除数不变 时，商增大。
商的极限变化规律
总结词
商的极限变化规律是指当被除数或除数无限增大或减小时，商的极 限值也会发生变化。
详细描述
当被除数或除数无限增大时，商的极限值趋于正无穷；当被除数或 除数无限减小时，商的极限值趋于负无穷。
商的除法规则
总结词
商的除法规则是指在进行商的运算时， 一个商除以另一个商等于被除数除以 第二个商的被除数，再乘以第二个商。
详细描述
设 a/b 和 c/d 是两个商，则 (a/b) / (c/d) = (a/c) * (d/b)，其中 a, b, c, d 是整数，b, d 不为零。
商的幂运算规则
商的取值范围
商可以是整数、小数或分数，取决于被除数和除数的取值。
商的分类
整数商
当除数为非零整数时，商为整数。
小数商
当除数为小数或分数时，商为小数。
分数商
当被除数或除数为分数时，商为分数。
商的性质
80%
商的运算性质
商具有运算性质，如加法结合律、乘法交 换律等。
100%
商的运算律
商的运算律包括分配律、交换律和结合律。
单击此处添加标题
商的应用场景
商在数学中的应用
代数运算
商是数学中基本的代数运算之一， 用于解决各种数学问题，如解方程、 化简表达式等。
几何图形
商的概念在几何学中有广泛应用， 如计算面积、体积、角度等。
函数与极限
商在函数和极限理论中起到关键作 用，用于研究函数的连续性和可导 性。
商在物理中的应用

6第六讲 商的变化规律

6第六讲 商的变化规律
第六讲
商的变化规律
商的变化规律 1、两个数相除，如果被除数乘几，除数不变， 则商就乘几。 2、两个数相除，如果被除数除以几，除数不变， 则商就除以几。 3、两个数相除，如果被除数不变，除数乘几， 则商就除以几 4、两个数相除，如果被除数不变，除数除以几， 则商就乘几。
1、两个数相除，如果被除数乘几，除 数不变，则商就乘几。
3×120=360 答：商是7，余数是360。
答：商是8，余数是6。
1、两个数相除，如果被除数乘几，除数不变 ，则商就乘几。
练习二
1、两个数相除，商是450，如果被 除数乘5，除数不变。新的商是多少?
450×5=2250 答：新的商是2250。
3、两个数相除，商是27，如果被 除数乘12，除数乘6。新的商是多 少?
12÷6=2
2、两个数相除，商是450，如果被除 数不变，除数乘3，新的商是多少?
450÷3=150 答：新的商是150。
拓 展3 在除法算式128÷4中，
如果被除数乘3，除数乘6。商有
什么变化?
分析与解答：128÷4=32，被除数
乘3，即128×3，除数乘6，即4×6，
商为： （128×3）÷(4×6)
32×3÷6
=384÷24
=96÷6
=16
=16
128÷4=32 也就是 6÷3=2
32÷2=16 答：商就除以2，由原来的32变为16。
拓 展4 在除法算式144÷12中，
拓 展5 在除法算式128÷4中，
被除数乘6，除数除以3。商有什
如果被除数除以4，除数乘2。商
么变化?
有什么变化?
分析与解答：144÷12=12，在除法
分析与解答：128÷4=32，被除数

商的变化规律及应用

商的变化规律及应用

课堂小结：
通过这节课的学习，你有什么收获？
1、被除数不变，除数扩大（或缩小）几倍（0除外） ，商反而缩小（或扩大）相同的倍数。 2、除数不变，被除数扩大或缩小几倍(0除外)，商也 扩大或缩小相同的倍数。
3 、被除数和除数同时扩大（和缩小）相同的倍数（ 0
除外），商不变。
•再见！
创设情境：
太 少 了
那就20天 给你200块 饼吧！ 两天我给你20 块饼，怎么样？
太好了！ 太好了！这 回每天我可 以多吃些了！
猴哥，笑什 么？
哈哈！
问题设疑：
通过这个故事，你知道在除法 中，商到底有怎样的变化规律吗？ 通过这节课的学习，你就会明白的。
商的变化规律及应用
2
×10 ×2
100 10 5 商 缩 小
先找出每组算式中被 除数与除数的变化特 点，再说出计算结果。
（二）
（三）
笔算
• 例 780÷30=
• 试一试： • 600÷40= 540 ÷20=
抢答
•
根据30÷6=5，填一填 ÷ 2 （30÷2 )÷（ 6○□） =5 × 12 （30○□）÷（ 6×12）=5 × 5 × 5 （30○□）÷（ 6○□） =5
（3）商不变，被除数乘以2，除数怎样变化？
（除数也要乘以2）
口算：
（一）
2700÷ 3 ＝ 900 2700÷ 30 ＝ 90 2700 ÷ 7 ＝ 80 5600 ÷ 7＝ 800 8000 ÷ 200＝ 40 800 ÷ 20 ＝ 40 80 ÷ 2 ＝ 40
先算出商，再观察，你发现了什么？ 6 60 600 6000 60000 被除数 除数 商 3 30 300 3000 30000

商和积的变化规律

商和积的变化规律
一、商的规律
1、商不变的性质：
被除数和除数同时扩大或缩小（乘以或除以）相同的数 （0除外），商不变。
2、商的变化规律： 被除数÷除数=商
a、除数（老二）不变，被除数（老大）扩大或缩小几倍， 商也跟着扩大或者缩小几倍。
b、被除数（老大）不变，除数（老二）扩大或缩小几倍， 商反而缩小或扩大几倍。
C、如果被除数和除数都变化，则根据具体情况判断商的 变化情况。
3
根据125×48=6000，直接写出下面各式的积。
1、1.25×4.8=
2、1.25×0.048=3、0.125×4.8=4、0.125×0.48=
精选课件
4
根据47×14=658，直接写出下面各式的积。
0.47×14=
4.7×14=
47×0.14=
0.47×0.14=
根据522÷18=29
52.2÷1.8=
5.22÷1.8=
52.2÷0.18=
52.2÷18=
522÷0.18=
0.522÷0.18=
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5
精选课件
6
精选课件
7
精选课件
8
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精选课件
1
二、积的规律
1、积不变的规律：
一个因数扩大或缩小几倍，另一个因数缩小或者 扩大相同的倍数，积不变。
2、积的变化规律:（因数×因数=积）
a、一个因数不变，另一个因数扩大或者缩小几倍， 积也跟着扩大或者缩小相同的倍数。
b、一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n倍，则 积扩大m×n倍。
精选课件
2
精选课件

商的变化规律

商的变化规律商是两数相除的结果．根据除法的意义，“已知两个因素的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算叫除法．”可知，乘除法有着密切的关系：被除数相当于两个因数的积．除数相当于已知的一个因数．商相当于另一个因数．1．商的性质（1）两个数相除，如果商存在，必定是唯一的．【例1】54÷9＝6 65÷5＝13（2）某数先除以一个数，再乘以同一个数，其数不变．【例2】72÷8×8＝7235÷5×5＝35（3）某数先乘以一个数，再除以同一个数，某数不变．【例3】15×5÷5＝1528×3÷3＝282．商的变化（1）运算中了解商的变化．根据72÷9＝8计算下列各题，并观察商发生了什么变化．（72×2）÷9＝16（7÷2）＋9＝472÷（9×2）＝472÷（9÷3）＝24（72×2）÷（9×2）＝8（72÷3）÷（9÷3）＝8通过计算我们发现，商有的扩大了，也有的缩小了，还有的不变．（2）在分类中认识商的变化与谁有关．我们将被除数变化，除数不变的这种除法定为第一类；（72×2）÷9＝16（72÷2）÷9＝4我们将被除数不变，除数变化的这种除法定为第二类；72÷（9×2）＝472÷（9÷3）＝24将被除数变了，除数也变了的这种除法定为第三类；（72×2）÷（9×2）＝8（72÷3）÷（9÷3）＝8通过分类我们初步认识到商的变化与被除数，除数的变化有关．（3）分析中理解商的变化规律：分析第一类：根据72÷9＝8,那么（72×2）÷9＝16【分析】被除数扩大2倍，除数不变，商扩大2倍．根据72÷9＝8，那么（72÷2）÷9＝4【分析】被除数缩小2倍，除数不变，商缩小2倍．分析第二类：根据72÷9＝8，那么72÷（9×2）＝4【分析】被除数不变，除数扩大2倍，产反而缩小2倍．根据72÷9＝8，72÷（9÷3）＝24【分析】被除数不变，除数缩小3倍，商反而扩大3倍．分析第三类：根据72÷9＝8（72×2）÷（9×2）＝8（72÷）3÷（9÷3）＝8【分析】被除数扩大2倍，除数扩大2倍，商不变，被除数缩小3倍，除数缩小3倍，商也不变．（4）归纳概括中掌握商的变化规律．商的变化规律概括如下：A．如果被除数扩大（或者缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或者缩小）同数倍．B．如果除数扩大（或者缩小）若干倍，被除数不变，那么商反而缩小（或者扩大）同数倍．C．被除数和除数都扩大（或者都缩小）同数倍（0除外），那么它们的商不变．我们在平时的计算中，就可以应用商的变化规律和性质进行简算．。

《商的变化规律》课件


商的实际应用
商在日常生活和数学中有 着广泛的应用，如购物时 计算找零、计算平均值等 。
商的变化规律的定义
商的变化规律
变化规律的实际应用
商的变化规律是指在进行除法运算时 ，被除数、除数和商之间的关系以及 它们如何随着彼此的变化而变化。
在实际应用中，掌握商的变化规律可 以帮助我们更快速、准确地完成除法 运算，提高计算效率。
03
商的性质
商的交换律
总结词
交换两个因数的位置，商不变。
详细描述
这是商的基本性质之一，即当两个因数相除时，交换因数的位置，得到的商仍然是相同的。例如，9÷3=3，而 3÷9=0.333...，虽然被除数和除数交换了位置，但商仍然是3。
商的结合律
总结词
改变因数的结合方式，商不变。
详细描述
这是商的另一个重要性质。当三个数相除时，改变它们的组合方式，得到的商仍然是相同的。例如， (a÷b)÷c=a÷(b×c)，无论因数如何组合，其商都是一样的。
除法运算规律
总结词
除法运算规律是商变化的直接应用。
详细描述
除法运算规律包括除法的可交换性、可结合性和除法的分配律。这些规律在商的 变化中具有直接的应用，是理解和掌握商的变化规律的关键。
乘除混合运算规律
总结词
乘除混合运算规律是商变化的综合体 现。
详细描述
乘除混合运算规律是指在同一算式中 ，乘法和除法可以同时进行，并且遵 循先乘后除的原则。这个规律是商变 化的综合体现，是理解和掌握商的变 化规律的最高层次。
购物计算
在购物时，尤其是购买大量商品时， 利用商的变化规律可以快速计算总价 、折扣等，提高购物效率。
金融投资
在金融投资领域，商的变化规律可以 帮助理解利率、汇率等金融产品的变 化规律，为投资决策提供依据。

数学课件《商的变化规律》

商的表示方法
商通常用分数或小数表示，如 “9÷3=3”可以表示为分数“3/1” 或小数3.0。
商的变化规律定义
商的变化规律定义
商的变化规律是指当被除数或除数发生变化时，商如何相应地变化。例如，当 被除数扩大2倍时，商也扩大相同的倍数；当除数缩小2倍时，商反而扩大相同 的倍数。
商的变化规律形式
商的变化规律可以用数学公式表示，如“a÷(b÷c)=a×(1/b)×c”、 “(a×b)÷c=a÷(c/b)”等。
详细描述
例如，如果一个数缩小2倍，另 一个数不变，则它们的积也缩 小2倍。
除法运算中的商的变化规律
总结词
当一个数除以一个不为零的数时，如 果除数扩大若干倍，被除数不变，则 商也扩大相同的倍数。
详细描述
例如，如果除数扩大2倍，被除数不 变，则商也扩大2倍。
总结词
当一个数除以一个不为零的数时，如 果除数缩小若干倍，被除数不变，则 商也缩小相同的倍数。
在数学中的应用
代数运算
商的变化规律在代数运算中有着广泛 的应用，例如在解方程、因式分解和 不等式求解等过程中，需要根据商的 变化规律对表达式进行变形和化简。
函数和微积分
在函数和微积分的学习中，商的变化 规律对于理解函数的单调性、极值以 及导数的计算等概念至关重要，是深 入学习数学的基础。
在日常生活中的应用
一个除法的商是7，除数是4，被除数 是多少？
一个除法的商是3，被除数是96，除 数是多少？
这些题目旨在挑战学生的思维能力， 让他们在理解商的变化规律的基础上， 灵活运用规律解决问题。
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商的变化规律


1.被除数乘2，除数不变，商就（ 乘2 )。 2.除数乘3，被除数不变，商就（ 除以3）。
3.被除数不变， 除数乘4，商就（ 除以4 ）。
4.除数不变，被除数除以3，商就（除以3）。
4.除数不变，商要乘3，被除数应（乘3 ）。
5.被除数不变，商要除以2，除数应（ 乘2 ）。 6.两个数的商是12，如果被除数不变，除数
判断： ①48÷12=（48×3）÷（12×4）……（
x）
x √ x
）
②48÷12=（48×3）÷（12÷4）……（
③被除数不变（0除外），如果除数乘3， 商会缩小3倍。……………………………（
）
④两数相除，商是20，被除数和除数都 扩大2倍，商是40。………………………（
）
3、判断
(1)被除数和除数同时乘以相同的数,商不 变。 ( ×) (2)72÷24=(72÷6)÷(24÷6) ( √ ) (3)因为被除数和除数同时除以不是0的 数,商不变;所以被除数和除数同时减去 不是0的数,商也不变。 (× ) (4)A÷B=C,如果A除以10,要使商还是C, 那么B也要除以10. 72÷12=6 36÷12=( 3 ) 72÷6=(12 ) 72÷18=( 4 ) 36÷(18 )=2 ( 72 )÷18=4
A÷B=30 A÷(B×2)=30
A× 3÷ B=(
) )
) )=( )
(A÷2) ÷ (B÷2)=(
(A×2) ÷ (B÷2)=( (A ) ÷ (B
5600 ÷700 =9 560÷70= 9 56÷7= 9
1、被除数不变，除数扩大3倍，商（ 反而缩小3倍 ）。 2、被除数不变，除数缩小4倍，商（反而扩大4倍 ）。 3、两个数相除，商是12，如果被除数不变，除数缩 小3倍，商会变成（ 36 ）。 4、两个数相除，商是12，如果除数不变，被除数缩 小3倍，商会变成（ 4 ）。
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16
2
×10 ÷10
×10 ÷10
160 ÷8＝ 20
×2 ÷2
×2 ÷2
320
40
除数不变，被除数 乘几，商也乘几。
除数不变，被除数除 以几，商也除以几。
除数不变，被除数乘几或除以几， 商也乘几或除以几。
二、探究新知
同学们同通学过比们研较打究第开第（书（1）本1）、，组（看算2看）式第两发（组现2算）了式组除中算数商式不的总变变结情化的况规规下律律商，与 的变化大规家律两说，者的现有有在什什你么么能不不运同同用？？刚你才想的说研什究么方？法研究第（2） 组算式的规律吗？大家试试看。
规律一：除数不变，被除数乘几或除以几，商也乘几或 除以几。
规律二：被除数不变，除数乘几或除以几，商反而除以 几或乘几。
规律三：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除 外），商不变。
三、知识运用
1. 在下面等式中的 里填上运算符号，在□里填上适当的数。
32÷8＝4 （ 32 ÷ 2 ）÷ 8 ＝（4 ÷2 ）
除数是两位数的除法
商的变化规律
一、复习旧知
计算下面两组题，并说一说你是怎么计算的？
（1）
（2）
16
2
160 ÷8＝ 20
320
40
200÷
2
100
20 ＝ 10
40
5
观察这两组题：每组题中什么数变化了？什么 数没有变化？除数（或被除数）和商的变化有 规律吗？
今天，我们共同来研究“商的变化规律”。
二、探究新知
首先，我们来观察第（1）组算式：
16
2
160 ÷8＝ 20
320
40
观察并思考： 1.算式中什么数没有变化？什么数变化了？ 2.从上往下看，被除数和商的变化有什么特点？从下往上看呢？
二、探究新知
先看再能第从把一下两组往个，上发从观现上察合往，并下你成观又一察能句你发话能现吗发什？现么什？么？
（1）
（×） （×） （×）
三、知识运用
3. 下面的说法对吗？对的在（ ）里画“√”。
（1）一个除法算式，被除数乘15，要使商不变，除数也要乘15。（ √ ）
× （2）两个数的商是8，如果被除数不变，除数乘4，商就变成32。（ ）
（3）一个除法算式的被除数、除数都除以3后，商是20，那么 原来的商是60。
7722÷0÷099÷＝＝9880，，0，被被被除除除数数数和和和除除除数数数都都都乘乘除1100以0，，1商00 商变不不成变变7，2，所÷所以9，以72商702不÷00变9÷0，＝90所80。以＝782。00÷900＝8。
三、知识运用5. 选择Fra bibliotek确的答案。（1）4600÷700＝（ B ） A. 6……4 B. 6……400 C. 600……4
五、布置作业
作业：第89页练习十七，第1题、第4题。
32 ÷（ 8 ÷4 ）＝（4 × 4） （ 32 × 9 ）÷（ 8 × 9 ）＝4 （ 32 ÷ 8 ）÷（ 8 ÷ 8 ）＝4 （ 32 ÷ ）÷（ 8 ÷ ）＝4
三、知识运用
2. 已知48÷12＝4，判断下列各式是否正确。如果不对， 怎样改正。
（1）（48×5）÷（12×5） ＝4
（√）
（2）（48×3）÷（12×4） ＝4 （3）（48÷6）÷（12×6） ＝4 （4）（48＋4）÷（12＋4） ＝4
（4）在6×60＝360中，两个因数都乘10，积不变。
（× ） （×）
三、知识运用
说一说还你可是以怎怎么么想想的？。
4. 根据每组题中第1题的商，写出下面两题的商。
72÷9＝ 8 720÷90＝ 8 7200÷900＝ 8
36÷3＝ 12 360÷30＝ 12 3600÷300＝ 12
80÷4＝ 20 800÷40＝ 20 8000÷400＝ 20
（2）
2
100
200÷
×10 ÷10 20
＝
÷10 ×10 10
×2 ÷2 40
÷2 ×2 5
从从上上往往下下看看：： 被被除除数数不不变变，，除除数数乘乘几， 商几反，而商除反除以而以几除几。以。几。
从下往上看： 被除数不变，除数除以几， 商反而乘几。
被除数不变，除数乘几或除以几， 商反而除以几或乘几。
二、探究新知
除数不变，被除数乘几或除以几， 被除数不变，除数乘几或除以几，
商也乘几或除以几。
商反而除以几或乘几。
比较第（1）、（2）两组算式中商的变化规律， 两者有什么不同？
二、探究新知
思考：下面请同学们独立探究第（3）组算式中商的变 1. 在这化句规话律中。，如你果认你为发哪现些了词什最么重规要律？，为可什以么和？同座 2. 都乘的或同除学以进一行个交相流同。的数，这个数能不能为0？
D. 600……400
（2）一个除法算式，被除数乘5，除数除以5，商就（ D ）
A. 不变
B. 乘5
C. 除以5
D. 乘25
（3）在120÷30中，如果被除数增加到360，要使商不变，除数应（ D ） A. 增加到360 B. 增加360 C. 增加到60 D. 增加60
四、课堂总结
今天这节课我们研究了什么内容？ 你有哪些收获？
（3）计算并观察下面的题。
从 6 ÷ 3 ＝2 从
上
下
往 60 ÷ 30 ＝ 2 往
下 观
600 ÷
300 ＝ 2
上 观
察 6000 ÷ 3000 ＝ 2 察
被被除除数数和和除除数数都都乘乘或或除除以以一一个个 相相同同的的数数，（，商0商除不不外变变）。。，商不变。
二、探究新知
通过观察三组题，我们发现了三个规 律，你能举例验证这些规律吗？