山东省高中数学《3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式》导学案 新人教A版必修4

高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）导学案
1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
【学习目标】
领会两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并能灵活运用公式进行运算.
会推导并会应用公式
A.B.
c.D.
规律总结：
怎样化简类型？
【课堂小结】
【当堂达标】
=
A.B.
c.D.
可化为
A.B.
c.D.
*3.若，则=
【课时作业】
在△ABc中，，则△ABc为
A．直角三角形B．钝角三角形
c．锐角三角形D．等腰三角形
△ABc中，若2cosBsinA=sinc则△ABc的形状一定是
A．等腰直角三角形B．直角三角形
c．等腰三角形D．等边三角形
函数y=sinx+cosx+2的最小值是
A．2-B．2+
c．0D．1
．如果cos=-，那么cos=________．
*5.求函数y=cosx+cos的最大值
*6.化简．
*7.已知＜α＜，0＜β＜，cos=－，sin=，求sin的值．在三角形ABc中，求证：
*9.已知函数
的最大值是1，其图象经过点.
求的解析式；
已知，且
求的值.
【延伸探究】
是否存在锐角和，使得+2=；同时成立，若存在，求出和的值，若不存在，请说明理由。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）一、教学目标1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换。

二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、教学设想：（一）复习式导入：（1）基本公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+（2）练习：教材P132面第6题。

思考：怎样求ααcos sin b a +类型？（二）新课讲授例1x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022x x x x x x x ⎫=-=-=-⎪⎪⎭思考：=12和的.归纳：b a b a b a =++=+ϕϕαααtan )sin(cos sin 22 例2、已知：函数R x x x x f ∈-=,cos 32sin 2)( 求)(x f 的最值。

（2）求)(x f 的周期、单调性。

例3．已知A 、B 、C 为△ABC 的三內角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n = ，且1=•n m ，求角A 。

（2）若3sin cos cos sin 2122-=-•+B B B B ，求tanC 的值。

练习：（1）教材P132面7题（2）在△ABC 中，B A B A cos cos sin sin ，则△ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形（2） 的值为12sin 12cos3ππ-（ ）A ． 0B ．2C ．2D ．2- 思考：已知432πβπ，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求α2sin三、小结：掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标1.知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。

2.过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。

二、教学重点难点重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明。

三、学情分析鉴于学生的基础一般，前面刚刚学习了两角差的余弦公式，学生对于该公式的简单应用，尚能掌握。

在教学的过程中，对比公式的内在联系，学生可能会在角的正弦与余弦能否建立联系上产生困难，教师应当在教学过程中有意识地对学生的思维进行引导；利用联系的观点和对比理解的办法让学生熟悉公式并逐步做到可以简单的应用。

四、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程。

3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。

五、设计思路本节课利用两角差的余弦公式推导出其它公式，并且运用两角和与差的三角函数公式解决一些相关的问题，运用公式的关键在于构造角的和差。

要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式。

在解题过程中注意角的象限，也就是符号问题，学会灵活运用。

在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样才能尽可能的利用已知条件进行化简或求值。

灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相关公式。

然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式【教学目标】1．理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；2．掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换。

【教学重点】两角和、差正弦和正切公式的运用；【教学难点】两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用。

【教学过程】一、复习式导入：（1）基本公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+思考：怎样求ααcos sin b a +类型？二、新课讲授例1x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相像，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 302xx x x x x x ⎫-=-=-=-⎪⎪⎝⎭思考：是怎么得到的？=，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12的。

归纳：ba b a b a =++=+ϕϕαααtan )sin(cos sin 22例2． 已知：函数R x x x x f ∈-=,cos 32sin 2)(（1）求)(x f 的最值。

（2）求)(x f 的周期、单调性。

例3． 已知A ．B ．C 为△ABC 的三內角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n = ，且1=•n m ， （1）求角A ．（2）若3sin cos cos sin 2122-=-•+B B BB ，求tanc 的值。

练习：（1）在△ABC 中，B A B A cos cos sin sin ，则△ABC 为（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形（2）的值为12sin 12cos 3ππ-（） A ．0B ．2C ．2D ．2- 思考：已知432πβπ，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求α2sin 三、小结：掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换。

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）教学目的：能由两角和与差的的余弦、正弦公式推导出两角和与差的正切公式， 并能进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构及应用。

教学难点： 公式之间的联系与区别，公式的记忆。

教学过程一、复习提问练习：1．求证：cosx+sinx=2cos(x 4π-)证：左边= 2(22cosx+22sinx)=2( cosxcos 4π+sinxsin 4π)=2cos(x 4π-)=右边又证：右边=2( cosxcos4π+sinxsin 4π)=2(22cosx+22sinx) = cosx+sinx=左边2．已知 ，求cos(α-β)解： ①2: sin 2α+2sin αsin β+sin 2β=259③ ②2: cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=2516④ ③+④: 2+2(cos αcos β+sin αsin β)=1 即：cos(α-β)=21二、新课两角和与差的正切公式 T α+β ,T α-βtan(α+β)公式的推导（让学生回答） ∵cos (α+β)≠0 tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时sin α+sin β＝53① cos α+cos β=54 ②分子分母同时除以cos αcos β得：以-β代β得：注意：1︒必须在定义域范围内使用上述公式。

即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。

2︒注意公式的结构，尤其是符号。

例1、求tan15︒，tan75︒的值：解：1︒ tan15︒= tan(45︒-30︒)=32636123333331331-=-=+-=+-2︒ tan75︒= tan(45︒+30︒)= 32636123333331331+=+=-+=-+例2、已知sin α＝－53，α是第四象限的角，求tan （4π－α）解：由sin α＝－53，α是第四象限的角，cos α＝α2sin 1-＝54， tan α＝ααcos sin ＝－43tan （4π－α）＝απαπtan 4tan1tan 4tan+-＝－7例3、求下列各式的值：1︒ οο75tan 175tan 1-+ 2︒tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒解：1︒原式=3120tan )7545tan(75tan 45tan 175tan 45tan -==+=-+οοοοοοο 2︒ ∵οοοοοο28tan 17tan 128tan 17tan )2817tan(-+=+∴tan17︒+tan28︒=tan(17︒+28︒)(1-tan17︒tan28︒)=1- tan17︒tan28︒∴原式=1- tan17︒tan28︒+ tan17︒tan28︒=1 练习：P145 5、6、7 作业：P150 9、10、11、12、13tan(α-β)=βαχαtan tan 1tan tan +-tan(α+β)=βαχαtan tan 1tan tan -+。

导学案年级： 高一 科目： 数学 主备： 审核：课题：两角和与差的正弦、正切公式 课型：新授课 课时 :2 课时 【三维目标】●知识与技能：能利用两角和与差的余弦公式，利用化归思想等推导出两角和与差的正弦、正切公式，体会它们的内在联系并进行简单的应用。

●过程与方法:进一步提高学生运用对比、联系、转化的观点去处理和分析问题的自觉性。

●情感态度与价值观：培养学生积极动手，勇于探索，善于发现，团结协作，独立意识以及不断超越自我的创新品质。

【学习重点】：引导学生通过独立探索和讨论交流，利用已学知识，推导出两角和与差的正弦和正切公式，并体会它们的内在联系。

【学习难点】：掌握两角和与差正弦、余弦、正切公式的逆用和变用。

【教学资源】教师导学过程(导案)学生学习活动(学案) 【导学过程1:】复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()βαβαβαsin sin cos cos cos =±；（2）()cos sin =α； （3）()()=αtan . 【学生学习活动1:】（1）回忆上节课所学知识，诱导公式和同角的基本关系为本节课学习作铺垫【导学过程2:】 讲授新课怎样由上述知识得到两角和与差的正弦和正切公式呢？活动1、学生动手完成两角和的正弦公式推导()()()诱导公式五βαβαβαπβαπβαπβαπβαsin cos cos sin sin 2sin cos 2cos 2cos 2cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+【学生学习活动2:】活动1、学生动手完成两角和的正弦公式推导()()()诱导公式五βαβαβαπβαπβαπβαπβαsin cos cos sin sin 2sin cos 2cos 2cos 2cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+ 活动2、怎样继而得到两角差的正弦公式；观察两角和与差的正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin cos cos sin sin sin -=-+-=-+=-活动2、怎样继而得到两角差的正弦公式；观察两角和与差的正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin cos cos sin sin sin -=-+-=-+=-小结1：()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±活动3、学生动手完成两角和的正切公式推导()()()()系同角三角函数的基本关βαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin tan -+=-+=++=+ 活动4、怎样继而得到两角差的正切公式；观察两角和与差的 正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想－－－－βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan +-=-+=+=小结2：()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±其中，,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈将()βα+S 、()βα+C 、()βα+T 称为和角公式；()βα-S 、()βα-C 、()βα-T 称为差角公式。

3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并灵活运用． 2．能熟练地把asin x ＋bcos x 化为Asin(ωx ＋φ)的形式．(1)与差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β，cos(α±β)≠cos α±cos β，tan(α±β)≠tan α±tan β. (2)和差角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差角公式的特例．如sin(2π－α)＝sin 2πcos α－cos2πsin α＝0×cos α－1×sin α＝－sin α.当α或β中有一个角是π2的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便．(3)使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β时，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而应采用整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin [(α＋β)－β]＝sin α.这也体现了数学中的整体原则．(4)注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．【做一做1－1】 若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝( )A ．－3B ．－13C ．3 D.13【做一做1－2】 sin 75°的值为( )A.2－12B.2＋12C.6－24D.6＋24【做一做1－3】 cos 75°＝__________.答案：sin αcos β－cos αsin β cos αcos β＋sin αsin βtan α－tan β1＋tan αtan β sin αcos β＋cos αsin β cos αcosβ－sin αsin βtan α＋tan β1－tan αtan β【做一做1－1】 D tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 【做一做1－2】 D sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24. 【做一做1－3】6－24cos 75°＝cos(45°＋30°) ＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝22×32－22×12＝6－24.化简a sin α±b cos α(ab ≠0)剖析：逆用两角和与差的正弦公式，凑出sin αcos β±cos αsin β的形式来化简．a sin α±b cos α＝a2＋b2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a2＋b2sin α±b a2＋b2cos α，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a a2＋b22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＋b22＝1， ∴可设cos θ＝a a2＋b2，sin θ＝ba2＋b2.则tan θ＝ba (θ又称为辅助角)．∴a sin α±b cos α＝a2＋b2(sin αcos θ±cos αsin θ)＝a2＋b2sin(α±θ)． 特别是当b a ＝±1、±3、±33时，θ是特殊角，此时θ取±π4、±π3、±π6.例如，3sin α－33cos α＝9＋27⎝⎛⎭⎪⎫39＋27sin α－339＋27cos α＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α－32cos α＝6⎝⎛⎭⎪⎫sin αco s π3－c os αsi n π3 ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.在公式a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)中，(1)sin φ＝b a2＋b2，cos φ＝aa2＋b2，在使用时不必死记上述结论，而重在理解这种逆用公式的思想．(2)a sin α＋b cos α中的角必须为同角α，否则不成立．题型一给角求值问题【例1】 求下列各式的值： (1)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°；(2)3sin π12＋cos π12.分析：本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解，本题(2)可构造两角和的正弦公式求解． 反思：解答此类题目的方法就是活用、逆用C (α±β)，S (α±β)公式，在解答过程中常利用诱导公式实现角的前后统一．题型二给值(式)求值问题【例2】 已知cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin β＝－35，β是第三象限角．求sin(α＋β)，sin(α－β)的值．分析：求出sin α，cos β的值，代入公式S (α±β)即可．反思：分别已知α，β的某一三角函数值，求sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)时，其步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求出α，β其余的三角函数值；(2)代入公式S (α±β)，C (α±β)，T (α±β)计算即可．题型三利用角的变换求值【例3】 已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，3π2＜α＋β＜2π，π2＜α－β＜π，求cos 2α的值．分析：解答本题关键是探寻α＋β，α－β与2α之间的关系，再利用两角和的余弦公式求解．反思：解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，如本题．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式． 题型四易错辨析【例4】 已知π＜α＜α＋β＜2π，且满足cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，求β.错解：∵cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且π＜α＜α＋β＜2π，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝22. ∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.∴β＝π4或3π4.错因分析：以上错解是由于求β的三角函数值时，函数选择不当所致．由于满足sin β＝22且β∈(0，π)的β有两值，两值的取舍就是个问题，事实上cos β＝－22，故β＝3π4，只有一值，故应计算角β的余弦值．反思：此类题目是给值求角问题，一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tan α，sin α，cos α中的一个值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角值；(4)写出α的大小．答案：【例1】 解：(1)原式＝sin(360°－13°)cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°)＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝sin(13°＋32°)＝sin 45°＝22. (2)原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin π12＋12cos π12 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π6＋sin π6cos π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝2sin π4＝2. 【例2】 解：∵cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－cos2α＝232.∵sin β＝－35，β是第三象限角，∴cos β＝－1－sin2β＝－45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝232×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－3＋8215. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝232×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝3－8215. 【例3】 解：∵cos(α＋β)＝45，3π2＜α＋β＜2π，∴sin(α＋β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. ∵cos(α－β)＝－45，π2＜α－β＜π，∴sin(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－725. 【例4】 正解：∵cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且π＜α＜α＋β＜2π，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－22. ∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.∴β＝3π4.1．(2011·山东青岛高三质检)已知cos α＝45-，且α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．17-B ．－7 C.17D ．72x x 的结果是( )A ．π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．25π11π11π5πsin cos cos sin126126-＝__________. 4．在△ABC 中，cos A ＝35且cos B ＝513，则cos C 的值是__________．5．已知tan(α－β)＝12，tan β＝17-，且α，β∈(0，π)．(1)求tan α的值；(2)求2α－β的值．答案：1．D 由于α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则sin α＝35，所以tan α＝sin cos αα＝34-， 所以πtan 4α⎛⎫-⎪⎝⎭＝1tan 1tan αα-+＝7.2．D 原式＝1cos 22x x ⎫-⎪⎪⎭＝ππsincos cos sin 66x x ⎫-⎪⎭＝π6x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝ππ26x ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.25π11π11π5πsin cos cos sin 126126- ＝ππππsin 2πcos 2πcos πsin π126126⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ππππsincos cos sin 126126+＝ππsin 126⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝πsin4＝2.4.3365由于在△ABC 中，cos A ＝35，可知A 为锐角，∴sin A＝45.由于cos B ＝513，可知B 也为锐角，∴sin B＝1213.∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝45×1213－35×513＝3365. 5．解：(1)tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan()tan 1tan()tan αββαββ-+--＝11271114-+＝13. (2)tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝tan()tan 1tan()tan αβααβα-+--＝1.∵tan β＝17-＜0，∴π2＜β＜π. 又tan α＝13＞0，∴0＜α＜π2.∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝12＞0，∴－π＜α－β＜π2-.∴2α－β∈(－π，0)．∴2α－β＝3π4-.。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)【学习要求】1．能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切 公式．2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明． 3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变 【学法指导】1．两角和与差的正切公式变形较多，这样变式在解决某些问题时十分便捷，应当利用公式能熟练推导，务必熟悉它们．例如，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)，tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)等．2．在三角函数题目中，有时，也对一些特殊的常数进行代换，例如1＝tan 45°，3＝tan π3，33＝tan π6等等．这样做的前提是识别出公式结构，凑出相应公式． 1．两角和与差的正切公式 (1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(2)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β) tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β) tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1探究点一 两角和与差的正切公式的推导问题1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin αcos α，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试．问题2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.这些变式在解决某些问题时是十分方便的．请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习．练习1：直接写出下列式子的结果： (1).tan 12°＋tan 33°1－tan 12°tan 33°＝________；(2).tan 75°＝________；(3).1－tan 15°1＋tan 15°＝________.练习2：求值：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.【典型例题】例1 求下列各式的值：(1)3＋tan 15°1－3tan 15°；(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.跟踪训练2 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状1．若tan(π4－α)＝3，则tan α的值为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．22．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为 ( ) A ．1B ．2C ．－2D ．不确定3．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝____.4．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝________方法总结1．公式T (α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2 (k ∈Z)．2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等． 要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T (α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路.。