空间位置关系的判断与证明.板块二.对空间位置关系的判断.学生版 普通高中数学复习讲义Word版

空间位置关系的判断与证明板块五平行与垂直关系综合证明学生版1.平行关系的判断与证明平行关系是指两条直线在同一个平面上永远不会相交。

我们可以利用以下两个判定条件来判断平行关系。

(1)对于任意一点P，如果一条直线l上的一点P到另一条直线m的距离d恒为定值，那么直线l和直线m平行。

(2)如果两条直线分别与一平面中的一条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

为了更好地理解平行关系的证明过程，下面举例说明。

A----BC----D证明过程：首先，我们选择平面内的任意一点P作为参考点，计算点P到直线CD的距离d1，然后计算点P到直线AB的距离d2、如果d1与d2相等，那么可以判断直线AB和CD平行。

进一步，选择平面内的另一条直线EF与直线AB平行，计算EF与CD 的距离d3，再计算EF与CD的距离d4、如果d3与d4相等，那么可以证明直线AB和CD平行。

2.垂直关系的判断与证明垂直关系是指两条直线或一条直线与一个平面之间的关系，它们之间形成一个90度的角。

我们可以利用以下判定条件来判断垂直关系。

(1)如果两条直线的斜率乘积为-1，那么这两条直线是垂直的。

(2)如果一条直线垂直于两个平行线，则这条直线与这两个平行线垂直。

为了更好地理解垂直关系的证明过程，下面举例说明。

C----DA--，--B证明过程：首先，选择平面内与直线AB平行的直线EF，如果EF与CD垂直，那么可以证明直线AB与平面CD平行。

其次，求出直线EF的斜率k1，求出直线CD的斜率k2，计算k1与k2的乘积。

如果k1*k2=-1，那么可以证明直线EF与CD垂直，进而证明直线AB与平面CD平行。

综合证明：C----DA----BE----F证明过程：首先，通过以上平行关系的证明可知直线AB和CD平行，直线EF和CD平行。

然后，通过以上垂直关系的证明可知直线AB和EF垂直，而直线EF和CD平行，所以可以证明直线AB既与直线CD平行，又与直线EF 垂直。

【例1】 直线和平面所成的角为α，则（ ）A ．090α︒<<︒B ．090α︒︒≤≤C ．090α︒<︒≤D ．090α︒<︒≤【例2】 若直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则直线a 与b 的位置关系是【例3】 室内有一根直尺，无论怎么放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线A ．异面B ．相交C ．平行D ．垂直【例4】 若不共线的三点到平面α的距离相等，则该三点确定的平面β与α之间的关系为（ ）A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．无法确定【例5】 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥【例6】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅；④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例7】 m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两条不同平面，下面有四个命题：①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ③,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥　其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．【例8】 （2009广东五校）在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中，真命题是（ ）A ．若l β⊂，且αβ⊥，则l α⊥B ．若l β⊥，且//αβ，则l α⊥典例分析板块二.空间位置关系的判断C ．若m αβ=，且l m ⊥，则//l α D ．若l β⊥，且αβ⊥，则//l α【例9】 （2010年二模·东城·文·题3）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．,m n m n αα⊥⇒⊥∥B ．,,m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥∥C ．,m m n n αα⊥⊥⇒∥D ．,,,m n m n ααββαβ⊂⊂⇒∥∥∥【例10】 （2010年二模·宣武·理·题4）已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ）A ．,m n αβ∥∥且αβ∥，则m n ∥B ．,m n αβ⊥∥且αβ⊥，则m n ⊥C ．,m n m αβ=⊥且αβ⊥，则n α⊥D ．,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥【例11】 （2010浙江高考）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，l m ∥，则m α⊥ C ．若l α∥，m α⊂则l m ∥ D ．若l α∥，m α∥，则l m ∥【例12】 （2008新课标海南宁夏）已知平面α⊥平面β，l αβ=，点A α∈，A l ∉，直线AB l ∥，直线AC l ⊥，直线m α∥，m β∥，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ） A ．AB m ∥ B ．AC m ⊥C ．AB β∥D ．AC β⊥【例13】 已知直线m n ，与平面αβ，，下面三个命题中正确的有______． ①m n m n αα⇒∥，∥∥；②m n n m αα⊥⇒⊥∥，；③m m αβαβ⊥⇒⊥，∥．【例14】 （05广东）给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：①若m α⊂，l A α=，点A m ∉，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线，∥l α，∥m α，且n l ⊥，n m ⊥，则n α⊥； ③若∥l α，∥m β，∥αβ，则∥l m ；④若l α⊂，m α⊂，l m =点A ，∥l β，∥m β，则∥αβ． 其中为假命题的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【例15】 （2009北江中学）已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥；②若m α⊂，,//,//n m n αββ⊂，则αβ∥；③如果,,m n m n αα⊂⊄、是异面直线，则n 与α相交；④若,m n m αβ=∥，且,n n αβ⊄⊄，则n α∥且n β∥．其中正确的命题是（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④【例16】 （05福建卷）已知直线m 、n 与平面，αβ，给出下列三个命题：①若m α⊥，∥n α，则∥m n ②若∥m α，n α⊥，则n m ⊥ ③若m α⊥，∥m β，则αβ⊥ 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例17】 （2010年二模·朝阳·理·题5）已知平面,αβ，直线l α⊥，直线m β⊂，有下面四个命题：①l m αβ⇒⊥∥②l m αβ⊥⇒∥③l m αβ⇒⊥∥④l m αβ⊥⇒∥其中正确的命题是 （ ）A ．①与②B ．③与④C ．①与③D ．②与④【例18】 （2010年二模·海淀·理·题6）已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（ ）A ．αβ⊥，n β⊂B ．//αβ，n β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥【例19】 （2010年二模·丰台·文·题7）设,,a b c 是空间三条不同的直线，,,αβγ是空间三个不同的平面，给出下列四个命题：① 若,a b αα⊥⊥，则a b ；② 若,αγβγ⊥⊥，则αβ；③ 若,b b αβ⊂⊥，则αβ⊥；④ 若c 是b 在α内的射影，a α⊂且a c ⊥，则a b ⊥． 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例20】 （2010年一模·崇文·理·题5）（崇文·文·题6）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥B ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥D ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥【例21】 （09年西城区期末考试5）已知m 是平面α的一条斜线，点A α∉，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）A ． l m ∥，l α⊥B ． l m ⊥，l α⊥C ． l m ⊥，l α∥D ． l m ∥，l α∥【例22】 （05江苏）设，，αβγ为两两不重合的平面，，，l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若αγ⊥，βγ⊥，则∥αβ；②若m α⊂，n α⊂，∥m β，∥n β，则∥αβ； ③若∥αβ，l α⊂，则∥l β；④若l αβ=，m βγ=，n γα=，∥l γ，则∥m n ．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例23】 （2008浙江）对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得（ ）A ．a α∈，b α∈B ．a α⊂，b α∥C ．a α⊥，b α⊥D ．a α⊂，b α⊥【例24】 （2009江苏12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）【例25】 （2007湖南文6）如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面AB CDE F A 1B 1C 1D 1【例26【例27】 （2008崇文一模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 上的动点，则直线NO 、AM 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直OD 1C 1B 1A 1D CBAM N【例28】 （2009山东文9）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例29】 对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ）A ．如果，m n αα⊂⊄，m 、n 是异面直线，那么∥n αB ．如果，m n αα⊂⊄，m 、n 是异面直线，那么与n α相交C ．如果，∥m n αα⊂，m 、n 共面，那么∥m nD ．如果∥，∥m n αα，m 、n 共面，那么∥m n【例30】 （2009福建文10）设m n ，是平面α内的两条不同直线；1l ，2l 是平面β内的两条相交直线．则αβ∥的一个充分而不必要的条件是（ ） A ．m β∥且1l α∥ B ．1m l ∥且2n l ∥C ．m β∥且n β∥D ．m β∥且2n l ∥【例31】 已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 ．①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点 在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）．【例32】 （2007西城高三期末）在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线； ②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则∥αβ； ④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直． 其中正确的两个命题是（ ）A ．①、③B ．①、④C ．②、④D ．②、③【例33】 两个平面平行的条件是（ ）A ．一个平面内一条直线平行于另一个平面B ．一个平面内两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面【例34】 （2009江苏12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）【例35】 （05年北京卷6）在正四面体P ABC -中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ） A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC【例36】 判断下面命题的正误：⑴一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．⑵如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ⑶垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．⑷过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．⑸如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．【例37】 （2010年一模·朝阳·文·题8）如图，设平面,,EF AB CD αβαα=⊥⊥，垂足分别为,B D ，且AB CD ≠，如果增加一个条件就能推出BD EF ⊥，给出四个条件：①AC β⊥；②AC EF ⊥；③AC 与BD 在β内的正投影在同一条直线上；④AC 与BD 在平面β内的正投影所在直线交于一点． 那么这个条件不可能．．．是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③ D ．④【例38】（2009四川）如图，已知六棱锥P ABCDEF-的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，2PA AB=，则下列结论正确的是（）A．PB AD⊥ B．平面PAB⊥平面PBCC．直线∥BC平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45︒PFE DCA年一模·西城·理·题8）αβ=直线D∉直线lN两点不可能重合两点可能重合，但此时直线。

高考要求模块框架空间位置关系的判断与证明平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识内容1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A在直线l上，记作：A l∉；∈；点A不在直线l上，记作A l点A在平面α内，记作：Aα∉；∈；点A不在平面α内，记作Aα直线l在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作lα⊂；直线l不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作lα⊄；直线l和m相交于点A，记作{}=；=，简记为l m Al m Aαβ=．平面α与平面β相交于直线a，记作a2．平面的三个公理：⑴公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α， 使,,A B C ααα∈∈∈．⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面．<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内．2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们． 确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．2．空间中两直线的位置关系：⑴共面直线：平行直线与相交直线；⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线．3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒． 图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向． 求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,A D A D A E A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形 所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''． 所以DD E E ''是平行四边形． 因此DE D E ''=． 于是ADE A D E '''∆≅∆． 所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的范围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行．要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒． 图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画． 如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面．3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心内容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称 这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直． 2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足． 垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．αl直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．n mA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α内任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略． 3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明， 如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．点面距离与线面角 （一）主要方法：本板块所学内容为点面距离与线面角，求点面距离有两种方法，首先可以通过直接法作面的垂线，其次可以通过体积法转化，或者将问题转化为与面平行的直线上的点到面的距离；线面角问题属于线面关系的一种，是线面垂直与面面垂直定理的应用． １．点、斜线、斜线段及射影⑴点在直线上的射影自点A 向直线l 引垂线，垂足1A 叫做点A 在直线l 上的射影．点A 到垂足的距离叫点到直线的距离．⑵点在平面内的射影自点A 向平面α引垂线，垂足1A 叫做点A 在平面α内的射影，这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离． ⑶斜线在平面内的射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影． 2．直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：⑴直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面内的射影所成的锐角； ⑵直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90；。

板块一.对平面的进一步认识【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）A ．充分不必要条件．B ．必要不充分条件．C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．【例2】 若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（ ）A ．1个B ．2个C ．无数个D ．1个或无数个【例3】 在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，若,PQ CB 的延长线交于M ，,RQ DB 的延长线交于点N ，,RP DC 的延长线交于点K ．求证：,,M N K 三点共线．KRQP NMDBC A【例4】 已知正方体1111ABCD A B C D -，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．求证：A ，Q ，1C 三点共线．【例5】 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．【例6】 如图，直线,a b 是异面直线，,,A B C 为直线a 上三点，D E F ，，是直线b 上三点，A B C D E '''''，，，，典例分析空间位置关系的判断与证明.教师版分别为AD DB BE EC CF ，，，，的中点， 求证：⑴A B C C D E ''''''∠=∠；⑵A B C D E '''''，，，，共面．E'D'C'B'A'FED CBAab【例7】 正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H K L 分别是111DC DD A D 、、、111A B BB BC 、、的中点，求证：这六点共面．LG F ED CBAK H A 1D 1B 1C 1【例8】 （2007重庆理3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A ．5部分B ．6部分C ．7部分D ．8部分【例9】 把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）A ．13部分B ．19部分C ．21部分D ．27部分【例10】 正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别为BC ，AB ，11C D 的中点，求作正方体的过P 、Q 、R 的截面．【例11】 如图，求作经过棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 和1CC 的中点E 、F 及点1D 的截面．⑵求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积．A B CDA 1B 1C 1D 1PF EQ【例12】 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥【例13】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅；④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例14】 （05福建卷）已知直线m 、n 与平面，αβ，给出下列三个命题：①若m α⊥，∥n α，则∥m n ②若∥m α，n α⊥，则n m ⊥ ③若m α⊥，∥m β，则αβ⊥ 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例15】 （2010年二模·朝阳·理·题5）已知平面,αβ，直线l α⊥，直线m β⊂，有下面四个命题：①l m αβ⇒⊥∥②l m αβ⊥⇒∥③l m αβ⇒⊥∥④l m αβ⊥⇒∥其中正确的命题是 （ ）A ．①与②B ．③与④C ．①与③D ．②与④【例16】 （2010年二模·海淀·理·题6）已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（ ）A ．αβ⊥，n β⊂B ．//αβ，n β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥【例17】 （2010年二模·丰台·文·题7）设,,a b c 是空间三条不同的直线，,,αβγ是空间三个不同的平面，给出下列四个命题：① 若,a b αα⊥⊥，则ab ；② 若,αγβγ⊥⊥，则αβ；③ 若,b b αβ⊂⊥，则αβ⊥；④ 若c 是b 在α内的射影，a α⊂且a c ⊥，则a b ⊥． 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例18】 （2010年一模·崇文·理·题5）（崇文·文·题6）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥B ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥D ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥【例19】 （09年西城区期末考试5）已知m 是平面α的一条斜线，点A α∉，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）A ． l m ∥，l α⊥B ． l m ⊥，l α⊥C ． l m ⊥，l α∥D ． l m ∥，l α∥【例20】 （05江苏）设，，αβγ为两两不重合的平面，，，l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若αγ⊥，βγ⊥，则∥αβ；②若m α⊂，n α⊂，∥m β，∥n β，则∥αβ； ③若∥αβ，l α⊂，则∥l β；④若l αβ=，m βγ=，n γα=，∥l γ，则∥m n ．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 αβ=直线D ∉直线l N 两点不可能重合【例22】 下列命题中，正确的个数是（ ）①平行于同一条直线的两直线平行②平行于同一个平面的两直线平行 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④垂直于同一个平面的两直线平行 ⑤平行于同一条直线的两平面平行 ⑥平行于同一个平面的两平面平行A ．1B ．2C ．3D ．4【例23】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例24】 如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC BCD ︒∠=∠=，12DC AB =，E 是PB 的中点． 求证：EC ∥平面APD ．E PDABC【例25】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是11B C 、11A D 、11A B 的中点，求证：平面EBD ∥平面FGA ．D 1C 1B 1A 1GF ED CBA【例26】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱1//2EF BC ． 求证：FO ∥平面CDEFEDCBAO【例27】 下列说法正确的有 ．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例28】 在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有 个．【例29】 如图，已知三棱锥P ABC -，90ACB ∠=，D 为AB 的中点，且PDB ∆是正三角形，PA ⊥PC ．求证：⑴ PA ⊥面PBC ；⑵平面PAC ⊥平面ABC ．DPABC【例30】 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．EBCFDGSA【例31】 （2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠．⑴ 证明1C C BD ⊥；⑵ 当1CD CD 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例32】 已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例33】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【例36】 （2010年一模·石景山·文·题17）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，14AA =．E 、F 分别是棱1CC 、AB 中点．⑴求证：CF ⊥1BB ；【例37】 如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC 的中点，11AB ==，⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．D CBA A 1B 1C 1【例38】 （2009江苏高三调研）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=，，，E F G ，，分别为线段1111AC A C BB ，，的中点，求证：⑴平面ABC ⊥平面1ABC ；⑵EF ∥面11BCC B ；⑶GF ⊥平面11AB C ．C 1B 1A 1GFE CB A。

空间几何的位置关系与证明空间几何是研究空间中点、线、面等几何要素之间的位置关系的学科，广泛应用于建筑、工程、地理等领域。

在空间几何中，我们需要通过证明来得出准确的结论。

本文将介绍一些空间几何中的常见位置关系，并通过证明来解释它们。

一、点到点的位置关系在空间几何中，两个点之间可以存在不同的位置关系，常见的有以下几种情况：1. 两点重合：当两个点的坐标完全相同时，它们重合在同一个位置上。

我们可以通过计算两点的坐标来证明它们重合。

2. 两点重叠：当两个点的位置非常接近但不完全相同时，我们称它们为重叠。

通常我们需要通过测量两点之间的距离来证明它们的位置关系。

3. 两点相离：当两个点的位置远离并没有任何交集时，它们相离。

我们可以通过计算两点之间的距离来证明它们的位置关系。

二、线到线的位置关系在线到线的位置关系中，我们通常关注两条直线之间的相交情况。

下面是一些常见的情况：1. 直线相交：当两条直线在空间中相交于一个点时，我们称它们为相交。

要证明直线相交，我们可以找到它们的交点，并证明该交点在两条直线上。

2. 直线平行：当两条直线在空间中没有交点且始终保持相同的方向时，我们称它们为平行。

要证明直线平行，我们可以通过比较它们的斜率或者通过使用平行公理来证明。

3. 直线重合：当两条直线完全重合时，它们是同一条直线。

证明直线重合可以通过比较它们的方程或者通过验证它们上的两个点是否相同。

三、点到直线的位置关系点与直线之间的位置关系也是空间几何中的重要内容。

以下是一些常见的情况：1. 点在线上：当一个点与一条直线重合时，我们可以说该点在线上。

要证明一个点在线上，我们可以将该点的坐标代入直线的方程中，如果等式成立，则说明该点在线上。

2. 点在线上方或下方：对于一条直线，我们可以将它分为上方和下方两个区域。

对于一个点，如果它的纵坐标大于直线上所有点的纵坐标，我们称该点在直线上方；如果它的纵坐标小于直线上所有点的纵坐标，我们称该点在直线下方。

2019-2020年高中数学空间位置关系的判断与证明板块三平行关系的判断与证明完整讲义（学生版）【例1】下列命题中，正确的个数是（）①平行于同一条直线的两直线平行②平行于同一个平面的两直线平行③垂直于同一条直线的两直线平行④垂直于同一个平面的两直线平行⑤平行于同一条直线的两平面平行⑥平行于同一个平面的两平面平行A．1 B．2 C．3 D．4【例2】下列命题中，真命题有_______．①若，则；②若，则；③若，则；④若//,//,//,//,a ab b a b Aαβαβ=，则；【例3】平行于平面的，是两异面直线，且分别在平面的两侧，，若与平面交于点，与平面交于点．求证：．A BCD αab MN【例4】已知平面，，为夹在，间的异面线段，、分别为、的中点．求证：，．【例5】如图，线段分别交两个平行平面、于、两点，线段分别交、于、两点，线段分别交、于、两点，若，，，的面积为，求的面积．典例分析βD Q BEαPCAF【例6】 如图，在四棱锥中，，，是的中点． 求证：∥平面．EPDA B C【例7】 已知空间四边形，、、分别是、、的中点，求证：平面，平面．【例8】 如图，在四棱锥中，底面是平行四边 形，是的中点．求证：∥平面．OPD B CA E【例9】 已知空间四边形，、分别是和的重心，求证：平面．【例10】 已知分别是四面体的棱的中点，G F ED C BAMN求证：面．【例11】 如图，在底面是平行四边形的四棱锥中，点在上，且， 为棱的中点．求证：∥平面E PD AB C F【例12】 如图，四棱锥中，四边形是平行四边形，、分别是、的中点． 求证：∥平面．C AD E FP【例13】 如图，四边形是矩形，面，过作平面交于，交于，求证：四边形是梯形．PF ED B A【例14】 已知为空间四边形的边上的点，⑴若都分别是所在边的中点，求证：四边形为平行四边形；⑵若，求证：．H GF ED CBA【例15】 如图，为所在平面外一点，，，分别为，，的重心，⑴求证：平面平面；⑵求G F DC BAM NPH【例16】 如图，三棱柱中，是的中点． 求证：//平面．EA B CA 1B 1C 1D【例17】 已知正方体，为与的交点，为与的交点，则的长度为_______．N MD 1C 1B 1A 1DC B A【例18】 如图，在正方体中，为的中点．求证：∥面．E F A B CDB 1C 1D 1A 1【例19】 如图，正方体中，点在上，点在上，且，求证：平面．D 1C 1B 1MBNF EC DA 1A【例20】 如图所示，正方体中，棱长为，分别为和上的点，．N MF E A B 1C 1D 1DC B A 1⑴求证：∥平面；⑵求的最小值．【例21】 设是单位正方体的面、的中心，如图，⑴证明：平面；⑵求线段的长．AB CD A 1B 1C 1D 1PQ【例22】 正方体中，、分别是、的中点，如下图．求证：平面．D 1C 1B 1A 1G ED CB A【例23】 如图，正方体中，分别是的中点．求证：平面∥平面．【例24】 如图，在正方体中，、、分别是、、的中点，求证：平面平面．D1C 1B 1A 1GF E D CBA【例25】 已知正方体，求证：平面平面．A B CD A 1B 1C 1D 1【例26】 如图，在五面体中，点是平行四边形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．求证：∥平面F EDC B A O【例27】 已知长方体中，分别是的中点．求证：平面平面．A A'B B'C C'D D'EF【例28】 （xx 年湖南高考题·理3）过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（ ）．A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条【例29】 （xx 湖北，理10）如图，在三棱柱中，点、、、分别为、、、的中点，为的重心．从、、、中取一点作为，使得该棱柱恰有条棱与平面平行，则为（ ）A ．B ．C ．D ．A'B2019-2020年高中数学 空间位置关系的判断与证明 板块二 对空间位置关系的判断完整讲义（学生版）【例30】 直线和平面所成的角为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【例31】 若直线平面，直线平面，则直线与的位置关系是【例32】 室内有一根直尺，无论怎么放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线A ．异面B ．相交C ．平行D ．垂直【例33】 若不共线的三点到平面的距离相等，则该三点确定的平面与之间的关系为（ ）A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．无法确定【例34】 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） 典例分析A ．若与所成的角相等，则B ．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，则【例35】 下列命题中，真命题有_______．①若，则；②若，则；③若，则；④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则；【例36】 ，是空间两条不同直线，，是空间两条不同平面，下面有四个命题：①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥,　②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒　③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥　③,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥　其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．【例37】 （xx 广东五校）在下列关于直线、与平面、的命题中，真命题是（ ）A ．若，且，则B ．若，且，则C ．若，且，则D ．若，且，则【例38】 （xx 年二模·东城·文·题3）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．B ．,,m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥∥C ．D ．,,,m n m n ααββαβ⊂⊂⇒∥∥∥【例39】 （xx 年二模·宣武·理·题4）已知直线、与平面、，下列命题正确的是 （ ）A ．且，则B ．且，则C ．且，则D ．且，则【例40】 （xx 浙江高考）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A ．若，，则B ．若，，则C ．若，则D ．若，，则【例41】 （xx 新课标海南宁夏）已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例42】已知直线与平面，下面三个命题中正确的有______．①；②；③．【例43】（05广东）给出下列关于互不相同的直线、、和平面、的四个命题：①若，，点，则与不共面；②若、是异面直线，，，且，，则；③若，，，则；④若，，点，，，则．其中为假命题的是（）A．① B．② C．③ D．④【例44】（xx北江中学）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：①若，则；②若，，则；③如果是异面直线，则与相交；④若，且，则且．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【例45】（05福建卷）已知直线、与平面，给出下列三个命题：①若，，则②若，，则③若，，则其中真命题的个数是（）A．B． C． D．【例46】（xx年二模·朝阳·理·题5）已知平面，直线，直线，有下面四个命题：①②③④其中正确的命题是（）A．①与② B．③与④ C．①与③ D．②与④【例47】（xx年二模·海淀·理·题6）已知，是不同的直线，，是不同的平面，则下列条件能使成立的是（）A．， B．，C．， D．，【例48】（xx年二模·丰台·文·题7）设是空间三条不同的直线，是空间三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若是在内的射影，且，则．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【例49】 （xx 年一模·崇文·理·题5）（崇文·文·题6）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )A ．若则B ．若则C ．若，则D ．若则【例50】 （09年西城区期末考试5）已知是平面的一条斜线，点，为过点的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）A ． ，B ． ，C ． ，D ． ，【例51】 （05江苏）设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若，，，，则．其中真命题的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．【例52】 （xx 浙江）对两条不相交的空间直线和，必定存在平面，使得（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，【例53】 （xx 江苏12）设和为不重合的两个平面，给出下列命题：①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；②若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；③设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；④直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）【例54】 （xx 湖南文6）如图，在正四棱柱 中，、分别是、的中点，则以下结论中不成立的是（ ）A ．与垂直B ．与垂直C ．与异面D ．与异面A B CDE F A 1B 1C 1D 1【例55】 （xx 年二模·海淀·文·题7）在正四面体中，棱长为4，是BC 的中点，在线段上运动（不与、重合），过点作直【例56】 （xx 崇文一模）如图，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是上的动点，则直线、的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直O D 1C 1B 1A 1DC B A MN【例57】 （xx 山东文9）已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例58】 对于直线、和平面，下面命题中的真命题是（ ）A ．如果，、是异面直线，那么B ．如果，、是异面直线，那么相交C ．如果，、共面，那么D ．如果，、共面，那么【例59】 （xx 福建文10）设是平面内的两条不同直线；，是平面内的两条相交直线．则的一个充分而不必要的条件是（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且【例60】 已知、为不垂直的异面直线，是一个平面，则、在上的射影有可能是 ．①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线③同一条直线 ④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）．【例61】 （xx 西城高三期末）在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面内有不共线的三个点到平面距离相等，则；④过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直．其中正确的两个命题是（ ）A ．①、③B ．①、④C ．②、④D ．②、③【例62】 两个平面平行的条件是（ ）A ．一个平面内一条直线平行于另一个平面B ．一个平面内两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面【例63】 （xx 江苏12）设和为不重合的两个平面，给出下列命题：①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；②若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；③设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；④直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）【例64】 （05年北京卷6）在正四面体中，，，分别是，，的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ）A ．平面B ．平面C ．平面平面D ．平面平面【例65】 判断下面命题的正误：⑴一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．⑵如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．⑶垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．⑷过点垂直于直线的所有直线都在过点垂直于的平面内．⑸如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．【例66】 （xx 年一模·朝阳·文·题8）如图，设平面,,EF AB CD αβαα=⊥⊥，垂足分别为，且，如果增加一个条件就能推出，给出四个条件：①；②；③与在内的正投影在同一条直线上；④与在平面内的正投影所在直线交于一点． 那么这个条件不可能．．．是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③ D ．④【例67】（xx四川）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论正确的是（）A． B．平面平面C．直线平面 D．直线与平面所成的角为PFE DC A。

空间位置关系学习空间位置关系的表达和判断空间位置关系是描述不同物体或事物在空间中相对位置的概念。

学习空间位置关系的表达和判断对于我们理解和应用空间概念具有重要的意义。

本文将介绍空间位置关系的基本概念及其表达方式，并探讨如何准确地判断空间位置关系。

一、空间位置关系的基本概念在学习空间位置关系之前，我们需要了解一些基本概念。

首先是“方向”，指的是物体朝向的某个确定的位置，常用的方向词有上、下、左、右、前、后等。

其次是“位置”，是指物体在空间中相对于其他物体或参考点的位置。

再次是“距离”，表示两个物体之间的间隔或接近程度。

二、空间位置关系的表达方式1. 方位词法：方位词法是一种常用的表达空间位置关系的方式。

通过使用方位词，我们可以清晰地描述物体在空间中的位置。

例如，“在左边”、“在右上方”、“在正中间”等。

2. 坐标法：坐标法是一种数学上常用的表达空间位置关系的方式。

通过设定一个固定的坐标系，我们可以用坐标来表示每个物体在该坐标系中的位置。

例如，在二维平面坐标系中，可以用(x, y)来表示一个物体的位置。

3. 图形法：图形法是一种直观的表达空间位置关系的方式。

通过绘制图形或示意图，我们可以更清楚地展示物体在空间中的相对位置。

例如，利用平面地图或建筑图纸等来描述物体的位置关系。

三、准确判断空间位置关系的方法1. 视觉判断法：视觉判断是一种通过观察物体位置和方向来判断空间位置关系的方法。

我们可以通过眼睛观察物体的位置、方向、距离等特征，来判断物体之间的相对位置关系。

2. 使用工具辅助判断法：有时候，我们可以借助一些工具来辅助判断空间位置关系，例如使用直尺、量角器等。

这些工具可以帮助我们更准确地测量和判断物体的空间位置关系。

3. 利用数学计算法：当遇到一些复杂的空间位置关系问题时，我们可以利用数学方法或计算机模拟来进行计算和判断。

通过建立几何模型或编写程序，我们能够准确地判断物体的位置关系。

四、应用案例1. 导航系统：现代导航系统利用卫星定位技术和地图信息，可以帮助我们准确地确定自己的位置和目的地的位置，实现导航功能。

空间位置关系的判断与证明【考情分析】1.考查特点:高考对此部分内容主要以选择题、填空题、解答题第一问的形式考查,难度为中档,主要考查空间中的点、线、面之间的位置关系,重点考查线、面平行与垂直的特殊位置关系的判定与性质,也常与充分必要条件相结合命题.2.关键能力:空间想象能力、逻辑思维能力.3.学科素养:直观想象、逻辑推理.【题型一】空间点、线、面的位置关系【题组练透】1．（2021·山东省实验中学高三模拟）若l ，m 为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由l α⊥且//m α能推出m l ⊥，充分性成立；若l α⊥且m l ⊥，则//m α或者m a ⊂，必要性不成立，因此“//m α”是“m l ⊥”的充分不必要条件.故选：A .2．（2021·江苏金陵中学高三模拟）已知m ，n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面.下列命题中正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n 【答案】D【解析】A 、若//m α，//n α，则m ，n 平行，相交或异面，故错误；B 、若αγ⊥，βγ⊥，则α，β平行或相交，故错误；C 、若//m α，//m β，则α，β平行或相交，故错误；D 、若m α⊥，n α⊥，由线面垂直的性质定理得//m n ，故正确．故选：D ．3．【多选】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为A 1B 1的中点，则下列说法正确的是（）A ．DE 与CC 1为异面直线B ．DE 与平面BCC 1B 1所成角的正切值为4C ．过D ､C ､E 三点的平面截正方体所得两部分的体积相等D ．线段DE 在底面ABCD【答案】ABC【解析】由图可知：DE 与CC 1为异面直线，∴A 正确；因为平面11//BCC B 平面11ADD A ，所以DE 与平面11BCC B 所成角即DE 与平面11ADD A 所成角，连接A 1D ，显然，1A DE ∠是DE 与平面11ADD A 所成角.在直角三角形EA 1D中：11112tan 4A E A DE A D ∠===，∴B 正确；过D ､C ､E 三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面A 1B 1CD 截正方体所得两部分的体积关系，由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，∴C 正确；取AB 中点F ，连接EF ､DF ，∵EF //B 1B 且B 1B ⊥底面ABCD ，∴EF ⊥底面ABCD ，∴DF 的长为线段DE 在底面ABCD 的射影长，在直角三角形DFE 中：EF =1，DE =32，∴DF52=，∴D 错.故选：ABC.4．（2021北京人大附中高三模拟）如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M 是PC 上的一动点,当点M 满足条件①BM ⊥DM,②DM ⊥PC,③BM ⊥PC 中的时,平面MBD ⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可)【答案】②(或③)【解析】连接AC(图略),因为PA ⊥底面ABCD,所以PA ⊥BD,因为底面各边都相等,所以AC ⊥BD,又PA∩AC=A,所以BD ⊥平面PAC,所以BD ⊥PC,所以当DM ⊥PC(或BM ⊥PC)时,即有PC ⊥平面MBD,而PC ⊂平面PCD,所以平面MBD ⊥平面PCD.【提分秘籍】高考中判断空间线面位置关系的注意点：(1)对于空间线面位置关系的判断，常用的方法有：①根据定理逐项判断，可以举反例，也可以证明，要结合题目灵活选择；②必要时可以借助空间几何体模型，如借助长方体、正四面体中的线面位置关系来判断.(2)求角时，一般先利用平行关系找到这个角，然后把这个角放到三角形中去求解.【题型二】空间平行、垂直关系的证明【典例分析】【例1】（2021·山东潍坊一中高三模拟）已知四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，点E 在AD 上，AD ⊥平面PEC ．（1）求证：PC ⊥平面ABCD ；（2）若2AE ED =，在线段PB 上是否存在一点F ，使得//AF 平面PEC ，请说明理由．【解析】AD ⊥ 平面PEC ，PC ⊂平面PCE ，AD PC ∴⊥，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，//AD BC ∴，PC BC ∴⊥，平面PBC ⊥平面ABCD ，且平面PBC ⋂平面ABCD BC =，PC ⊂平面PBC ，PC ∴⊥平面ABCD ．（2）解：存在，F 为PB 上靠近B 的三等分点，取PB 上靠近B 的三等分点为F ，取PC 上靠近C 的三等分点为G ，连接EG 、FG 、AF ；F 、G 分别为PB 、PC 上的三等分点，//FG BC ∴且23FG BC =，2AE ED = ，且四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，//AE FG ∴且AE FG =，∴四边形AEGF 为平行四边形，//AF EG ∴，EG ⊂ 平面PEC ，AF ⊂/平面PEC ，//AF ∴平面PEC ．【提分秘籍】1.证明线面平行问题的一般思路:(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线;(2)证明线线平行;(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行.2.判定面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的判定定理;(2)利用垂直于同一条直线的两平面平行;(3)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.3.判定线面垂直的四种方法:(1)利用线面垂直的判定定理;(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”;(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个也垂直”;(4)利用面面垂直的性质定理.4.证明面面垂直问题的两种思路:(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题.【变式演练】1.（2021•河南郑州一中高三模拟）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4AD =，2DE EF ==．（1）求证：平面ADE ⊥平面CDEF ；（2）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．【解析】（1）证明： 四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴⊥．又AD DE ∴⊥，DE DC D = ，AD ∴⊥平面CDEF ，AD ⊂面ADE ，∴平面ADE ⊥平面CDEF ．（2）存在．//AB CD ，AB ⊂面ABFE ，CD ⊂面CDEF ，并且面ABFE ⋂面CDEF EF =，//EF CD ∴．取CD 中点H ，HC 中点P ，取AB 中点N ，NB 中点Q ，连MP ，PQ ，MQ ，可得//EF DH ，且EF DH =，故四边形EFHD 为平行四边形，//ED FH ∴．又M 为FC 中点，∴在CFH ∆中，//MP FH ，//PQ AD ，PQ M P P = ，面//MPQ 面ADE ，G 在棱AB 上，故当且仅当G 与Q 重合时，//MG 面ADE ，334AG AB ∴==．【题型三】翻折问题【典例分析】【典例2】（安徽省安庆市2021届二模）如图是矩形ABCD 和以边AB 为直径的半圆组成的平面图形，22AB AD a ==．将此图形沿AB 折叠，使平面ABCD 垂直于半圆所在的平面．若点E 是折后图形中半圆O 上异于A ，B 的点．（Ⅰ）证明：EA EC ⊥；（Ⅱ）若异面直线AE 和DC 所成的角为6π，求三棱锥D ACE -的体积．【解析】（Ⅰ）∵面ABCD ⊥圆O ，面ABCD 圆O AB =，BC ⊂平面ABCD ，BC AB ⊥，∴BC ⊥圆O ，又EA ⊂圆O ，∴BC EA ⊥，又AEB ∠是直角，即BE EA ⊥，而BE BC B = ，∴EA ⊥面EBC ，又EC ⊂面EBC ，∴EA EC ⊥．（Ⅱ）在矩形ABCD 中，//AB CD ，直线AE 和DC 所成的角为6π，∴直线AE 和AB 所成的角为6π，即6BAE π∠=．过E 作EF AB ⊥于F ，则EF ⊥面ABCD ．又22AB AD a ==，6BAE π∠=，易得AE =，即有32EF a =，∴211222ACD S AD CD a a a =⨯⨯=⨯⨯= ，由2311333326D ACE E ACD ACD V V S EF a a a --==⨯⨯=⨯⨯= ．∴三棱锥D ACE -的体积是336a ．【提分秘籍】平面图形折叠问题的解题策略(1)解决与折叠有关问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,折线同一侧的线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形,善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.【变式演练】1.（2021届青海省西宁市一模）如图，已知圆O 的直径AB 长为2，上半圆圆弧上有一点C ，60COB ∠=︒，点P 是弧AC 上的动点，点D 是下半圆弧的中点，现以AB 为折线，将上､下半圆所在的平面折成直二面角，连接PO ，PD ，CD .（1）当//AB 平面PCD 时，求PC 的长；（2）求三棱锥P COD -的最大体积【解析】（1）因为//AB 平面PCD ，AB ⊂平面O C P ，平面OCP ⋂平面PCD PC =，所以由线面平行的性质定理得//AB PC .又60COB ∠=︒，可得60OCP ∠=︒.而OC OP =，所以OCP △为正三角形，所以1PC =.（2）因为二面角为直二面角，且⊥DO AB ，所以DO ⊥平面COP ，而P COD D COP V V --=，则111sin sin 326P COD D COP V V OP OC COP OD COP --==⨯⨯⨯⨯∠⨯=∠，所以当90COP ∠=︒时，三棱锥P COD -体积最大，最大值为16.2．（四川省宜宾市2021届二模）已知四边形ABCD 是直角梯形，//AB CD ，45C ∠=︒，2AB =，4CD =，E ，F 分别为CD ，BC 的中点(如图1)，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点S 的位置且平面SAE ⊥平面ABCE (如图2).（1）求证：EF SE ⊥；（2）求点C 到平面SEF 的距离.【解析】（1）证明：连结BE ，因为4CD =，E 为CD 的中点，所以2DE AB ==，因为四边形ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，所以ABCD 是矩形，所以BE CD ⊥，又45C ∠=︒，2EC =，所以2AD BE EC ===，所以四边形ABED 是正方形，BEC △是等腰直角三角形，又F 为BC 的中点，所以EF BC ⊥，又45C ∠=︒，所以ADE 与EFC 都是等腰直角三角形，所以45DEA CEF ∠=∠=︒，所以EF AE ⊥，因为平面SAE ⊥平面ABCE ，平面SAE 平面ABCE AE =，EF ⊂平面ABCE ，所以EF ⊥平面SAE ，又SE ⊂平面SAE ，所以EF SE ⊥；（2）设AE 的中点为O ，连结SO ，因为平面SAE ⊥平面ABCE ，所以点S 到AE 的距离2SO =1EFC S =△，所以1233S EFC EFC V S SO -=⋅=△，由（1）可知，EF SE ⊥，所以12222SEF S =⨯=△设点C 到平面SEF 的距离为h ，由等体积法可得，S EFC C SEF V V --=，所以21233h =⨯，解得1h =，所以点C 到平面SEF 的距离为1.1．（2021·山东滕州一中高三模拟）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，且1BC AC ^，过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在.A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．ABC ∆内部【答案】B 【解析】连接1AC ，如图.∵90BAC ∠= ，∴AC AB ⊥，∵1BC AC ^，1BC AB B =，∴AC ⊥平面1ABC .又AC 在平面ABC 内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC ⊥平面1ABC ，则根据面面垂直的性质定理知，在平面1ABC 内一点1C 向平面ABC 作垂线，垂足必落在交线AB 上.故选B.2.（内蒙古赤峰市2021届二模）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，过B ，E ，1D 的截面与棱11A B 交于F ，则截面1BED F 分别在平面1111D C B A 和平面11ABB A 上的正投影的面积之和（）A ．有最小值1B ．有最大值2C ．为定值2D ．为定值1【答案】D 【解析】因为平面1BED F 平面ABCD BE =，平面1BED F 平面11111A B C D D F =，平面1111D C B A //平面ABCD ，所以1//BE D F ，同理1//D E BF ，所以截面1AED F 是平行四边形，所以1BE D F =，所以1A F CE =，从而1B F DE =，截面1BED F 在平面1111D C B A 上的正投影是以CE 为底，高为1的平行四边形，在平面11ABB A 上的正投影是以DE 为底，高为1的平行四边形，因此两个投影的面积和为()11S CE DE =+⨯=为定值．故选：D ．3.（2021·河北衡水中学高三模拟）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是()A ．线段BCB ．线段1BC C ．线段1B CD ．平面11BCC B 【答案】C 【解析】如图，连接AC ，1AB ，1B C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，由正方体的结构特征，可得：11BD CB ⊥，1BD AC ⊥，又1CB AC C = ，1BD ∴⊥面1ACB ，又点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P 的轨迹为面1ACB 与面11BCC B 的交线段1CB ．故选：C ．4．（山西省2021届二模）如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA BC ⊥且1PA BC ==，PB AC ==PC =，则下列命题不正确的是（）A ．平面PAB ⊥平面PBCB ．平面PAB ⊥平面ABC C ．平面PAC ⊥平面PBCD ．平面PAC ⊥平面ABC 【答案】C【解析】1PA BC == ，PB AC ==PC =∴在PBC 中，2222221PB BC PC +=+==，BC PB ∴⊥，又PA BC ⊥且PA PB P = ,BC ∴⊥平面PAB ,又BC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面PBC∴平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ⊥平面ABC ，故AB 正确；在PAC △中，2222221PA AC PC +=+==，PA AC ∴⊥，,PA BC BC AC C ⊥= ，PA ∴⊥平面ABC ,又PA ⊂ 平面PAC ,∴平面PAC ⊥平面ABC ，故D 正确；对于C 选项，若假设平面PAC ⊥平面PBC ，则过A 作AM PC ⊥于M ，如图由平面PAC 平面PBC PC =,AM ∴⊥平面PBC ，可得AM BC ⊥，又PA BC ⊥，PA AM M = ,BC ∴⊥平面PAC ，BC AC ∴⊥,这与ABC 中BC AB ⊥矛盾，故假设不正确，故C 选项错误.故选：C5．（2021·辽宁东北育才中学高三模拟）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB AD ==，11AA =，若面对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（）A ．1B ．3C ．13D 7【答案】D 【解析】将长方体对角面11A BCD 绕1A B 旋转至与平面11ABB A 在同一平面内，如下图所示：则当1,,A P D 三点共线时，1AP D P +取得最小值1AD ，又1AA AB ⊥，11AA =，3AB =，13AA B π∴∠=，115326AA D πππ∴∠=+=，在11A AD 中，由余弦定理得：222111111152cos 76AD AA A D AA A D π=+-⋅=，17A D ∴=，即1AP D P +7.故选：D.6．（江西省鹰潭市2021届高三高考一模）如图1，直线EF 将矩形ABCD 分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，将梯形CDEF 沿边EF 翻折，如图2，在翻折过程中（平面ABFE 和平面CDEF 不重合），下列说法正确的是（）A ．在翻折过程中，恒有直线//AD 平面BCFB ．存在某一位置，使得//CD 平面ABFEC ．存在某一位置，使得//BF CDD ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFE【答案】A【解析】对于A ，由题意得：//DE CF ，//AE BF ，∵AE DE E = ，BF CF F ⋂=，∴平面//ADE 平面BCF ，∵AD ⊂平面ADE ，∴在翻折过程中，恒有直线//AD 平面BCF ，故A 正确；对于B ，∵直线EF 将矩形ABCD 分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，∴CD 与EF 相交，∴不存在某一位置，使得//CD 平面ABFE ，故B 错误；对于C ，∵平面CDEF 平面BFC EF =，BF ⊂平面BFC ，⋂=BF EFF ，所以直线BF 与平面CDEF 相交；∴不存在某一位置，使得//BF CD ，故C 错误；对于D ，∵四边形DEFC 是梯形，DE CD ⊥，∴DE 与EF 不垂直，∴不存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFE ，故D 错误．故选：A ．7．（2021·山东潍坊一中高三模拟）已知α，β是两个平面，m ，n 是两个条件，则下列结论正确的是（）A ．如果m α⊥，//n α，那么m n⊥B ．如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥C ．如果//αβ，m α⊂，那么//m βD ．如果//m α，βn//且//αβ，那么//m n 【答案】AC【解析】对于A ，若m α⊥，//n α，则m n ⊥,故A 正确;对于B ，若m n ⊥，m α⊥，βn//，则//αβ或αβ，相交，故B 错误;对于C ，若//αβ，m α⊂，则//m β，故C 正确；对于D ，若//m α，βn//且//αβ，则m n ，平行、相交或异面，故D 错误.故选：AC.8.（2021·深圳中学高三模拟）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A ．//AE CDB ．//CH BEC ．DG BH ⊥D ．BG DE⊥【答案】BCD 【解析】由正方体的平面展开图还原正方体如图，由图形可知，AE CD ⊥，故A 错误；由//,HE H BC E BC =，四边形BCHE 为平行四边形，所以//CH BE ，故B 正确；因为,DG HC DG BC ⊥⊥,HC BC C = ,所以DG ⊥平面BHC ,所以DG BH ⊥，故C 正确；因为//BG AH ，而DE AH ⊥,所以BG DE ⊥，故D 正确.故选：BCD9.（2021·山东曲阜师范大学附属中学高三模拟）如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于点A ，B ），直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 是线段PB 的中点，下列命题正确的是（）A ．//MO 平面PAC ；B ．//PA 平面MOB ；C ．OC ⊥平面PACD ．平面PAC ⊥平面PBC【答案】AD 【解析】因为 AB 为圆O 的直径，M 是线段PB 的中点，所以//OM PA ；又OM ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以//MO 平面PAC ；即A 正确；又PA ⊂平面PAB ，即PA ⊂平面MOB ，故B 错；因为点C 在圆O 的圆周上，所以AC CB ⊥，故OC 不与AC 垂直，所以OC 不可能与平面PAC 垂直，即C 错；由直线PA 垂直于圆O 所在的平面，所以PA BC ⊥；又AC CB ⊥，AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC 、PA ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC ，即D 正确.故选：AD.10（2021·福建三明市·三明一中高三模拟）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形1111D C B A 满足条件______时，有111AC B D ⊥（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）.【答案】1111AC B D ⊥【解析】连接11AC ，由直四棱柱1111ABCD A B C D -可得1CC ⊥平面1111D C B A ，因为11B D ⊂平面1111D C B A ，故111CC B D ⊥，当1111AC B D ⊥时，因为1111CC AC C ⋂=，故11B D ⊥平面11AC C ，而1AC ⊂平面11AC C ，故111AC B D ⊥.故答案为：1111AC B D ⊥.11.（2021·浙江镇海中学高三模拟）P 是ABC 所在平面外一点，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足是O ，连接PA 、PB 、PC .（1）若PA PB PC ==，则O 为ABC 的__________心；（2）PA PB ⊥，PA PC ⊥，PC PB ⊥，则O 是ABC 的__________心.【答案】外垂【解析】（1）如下图所示：PO ⊥ 平面ABC ，OA 、OB 、OC ⊂平面ABC ，PO OA ∴⊥，PO OB ⊥，PO OC ⊥，PA PB PC == ，则POA 、POB 、POC △均为直角三角形且全等，所以，OA OB OC ==，因此，O 为ABC 的外心；（2）如下图所示：PA PB ⊥ ，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=，PA ∴⊥平面PBC ，BC ⊂ 平面ABC ，BC PA ∴⊥，PO ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥，PA PO P = ，BC ∴⊥平面PAO ，AO ⊂Q 平面PAO ，AO BC ∴⊥，同理可证AC BO ⊥，所以O 为ABC 三条边上高线的交点，即为垂心．故答案为：外；垂.12.（2021·广东珠海市·高三模拟）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为平面11AAC C 内的动点，12B E =，则AE 长度的最小值为___________.【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接B 1D 1交A 1C 1于点O ，则B 1D 1⊥A 1C 1，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，即B 1D 1⊥AA 1，如图：从而有B 1O ⊥平面A 1B 1C 1D 1，连OE ，Rt △B 1OE 中，1B O =，而12B E =，则EO =所以点E 在平面ACC 1A 1内的以O 为半径的矩形ACC 1A 1内的半圆上，而点A 及半圆弧在半圆O 的直径A 1C 1同侧，且点A 在半圆弧外，则有min ()AE AO ==13.（宁夏银川市第二中学2021届一模）如图，矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，E 为CD 的中点，把 ADE 沿AE 翻折，使得平面ADE ⊥平面ABCE ．（1）求证：AD BE ⊥；（2）在CD 上确定一点F ，使//AD 平面BEF ；（3）求四棱锥F ABCE -的体积．【解析】（1）证明：∵平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =又由已知可得2AE BE ==，2AB =，∴BE AE ⊥，则BE ⊥平面DAE ∵AD ⊂平面DAE ，∴BE AD ⊥，故AD BE ⊥；（2）连接AC 交BE 于G ，则12CG CE GA AB ==，在线段CD 上取CD 的三等分点F （靠近C ），连接FG ，则13CF CG CD CA ==，可得//AD FG 而AD ⊄平面,BEF FG ⊂平面BEF ，则//AD 平面BEF ；（3）取AE 中点O ，连接DO ，则DO AE⊥又平面ADE ⊥平面ABCE ，且平面ADE 平面ABCE AE=∴DO ⊥平面ABCE ，在Rt ADE △中，可得22DO =∵F 为CD 的三等分点F （靠近C ），∴F 到平面ABCE 的距离为122326⨯=．可得四棱锥F ABCE -的体积为1122(12)23266⨯+⨯⨯=．14．（安徽省蚌埠市2021届三模）已知平面四边形ABCD 中，AB AC ⊥，2AB AC AD CD ====，现将ABC 沿AC 折起，使得点B 移至点P 的位置(如图)，且PC PD =.（1）求证：CD PA ⊥；（2）若M 为PD 的中点，求点D 到平面ACM 的距离.【解析】（1）证明：由题意知，PA AC ⊥，即90PAC ∠=︒，∵AC AD =，PC PD =，PA PA =，∴PAC PAD ≅ ，则90PAD PAC ∠=∠=︒，∴PA AD ⊥，又AC AD A = ，∴PA ⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ，∴PA CD ⊥；（2）由M 为PD的中点，即MD =，又12cos CD MDC PD ∠==，在MCD △中，2222cos 24224MC MD DC MD DC MDC =+-⋅⋅∠=+-=，得2MC =，在AMC 中，2AC MC ==，AM =3cos 4ACM ∠=，sin 4ACM ∠=，∴11sin 222242AMC S AC CM ACM =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯= ，设点D 到平面ACM 的距离为d ，则由等体积法有D AMC M ADC V V --=，故111332AMC ADC S d S PA ⋅⋅=⋅⋅ ，即22124d =⨯⨯，解得2217d =，故点D 到平面ACM 的距离为2217.。