空间位置关系的判断与证明.板块一.对平面的进一步认识.学生版

空间位置关系的判断与证明板块五平行与垂直关系综合证明学生版1.平行关系的判断与证明平行关系是指两条直线在同一个平面上永远不会相交。

我们可以利用以下两个判定条件来判断平行关系。

(1)对于任意一点P，如果一条直线l上的一点P到另一条直线m的距离d恒为定值，那么直线l和直线m平行。

(2)如果两条直线分别与一平面中的一条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

为了更好地理解平行关系的证明过程，下面举例说明。

A----BC----D证明过程：首先，我们选择平面内的任意一点P作为参考点，计算点P到直线CD的距离d1，然后计算点P到直线AB的距离d2、如果d1与d2相等，那么可以判断直线AB和CD平行。

进一步，选择平面内的另一条直线EF与直线AB平行，计算EF与CD 的距离d3，再计算EF与CD的距离d4、如果d3与d4相等，那么可以证明直线AB和CD平行。

2.垂直关系的判断与证明垂直关系是指两条直线或一条直线与一个平面之间的关系，它们之间形成一个90度的角。

我们可以利用以下判定条件来判断垂直关系。

(1)如果两条直线的斜率乘积为-1，那么这两条直线是垂直的。

(2)如果一条直线垂直于两个平行线，则这条直线与这两个平行线垂直。

为了更好地理解垂直关系的证明过程，下面举例说明。

C----DA--，--B证明过程：首先，选择平面内与直线AB平行的直线EF，如果EF与CD垂直，那么可以证明直线AB与平面CD平行。

其次，求出直线EF的斜率k1，求出直线CD的斜率k2，计算k1与k2的乘积。

如果k1*k2=-1，那么可以证明直线EF与CD垂直，进而证明直线AB与平面CD平行。

综合证明：C----DA----BE----F证明过程：首先，通过以上平行关系的证明可知直线AB和CD平行，直线EF和CD平行。

然后，通过以上垂直关系的证明可知直线AB和EF垂直，而直线EF和CD平行，所以可以证明直线AB既与直线CD平行，又与直线EF 垂直。

学而思高中完整讲义：空间位置关系的判断与证明.板块三.平行关系的判断与证明.学生版【例1】 下列说法正确的有 ．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例2】 在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有 个．【例3】 已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CD ．ABCE【例4】 如图，已知三棱锥P ABC -，90ACB ∠= ，D 为AB 的中点，且PDB ∆是正三角形，PA ⊥PC ．求证：⑴ PA ⊥面PBC ；⑵平面PAC ⊥平面ABC ．DPABC【例5】 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．典例分析EBCFDGSA【例6】 如图，在四棱锥P ABCD-中，PA ⊥底面A B C ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．证明：面ABE ⊥面PCD ．【例7】 如图，四面体P ABC -，PA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作AE ⊥PB 交PB 于E ，过A 作AF ⊥PC 交PC 于F ．求证：PC ⊥EF ．F EPABC【例8】 如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B H D O ''⊥，H 为垂足．求证：B H '⊥平面AD C '．【例9】 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．．求证：1BD ⊥面1AB C ．A 1D 1C 1B 1DCBA【例10】 在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1B E A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【例11】 在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：1B O ⊥面PAC ．【例12】 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M ，N 分别为PC ，AB 的中点．⑴求证：MN ∥平面PAD ；⑵若45PDA ∠= ，求证：MN ⊥面PCD ．QPD CAMN【例13】 已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160A AB A AD ∠=∠= ．求证：1CC ⊥BD ．OABCD A 1B 1C 1D 1【例14】 （2008深圳高三联考）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）D 1C 1B 1A 1DCBA【例15】 如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==，等边ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论ABC DO【例16】 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，问当点N 位于AB 上何处时，1MN MC ⊥？【例17】 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，1AA =D 是11A B 的中点．⑴求证1C D ⊥平面1A B ；⑵当点F 在1BB 上什么位置时，会使得1AB ⊥平面1C DF ？并证明你的结论．C 11A 1FEDC B A【例18】 （2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面A B C D 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠．⑴ 证明1C C BD ⊥；⑵ 当1CD CD 的值为多少时，能使1AC ⊥平面1C BD ？请给出证明． 图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例19】 已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例20】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【例21】 （2009扬州中学高三期末）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，22PA AB ==． ⑴求四棱锥P ABCD -的体积V ；⑵若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ．【例22】 （2003京皖春）如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为侧棱长为4．E F ，分别为棱AB BC ，的中点，EF BD G = ． ⑴求证：平面1B EF ⊥平面11BDD B ；⑵求点1D 到平面1B EF 的距离d ； ⑶求三棱锥11B EFD -的体积V ．D 1C 1B 1A 1GFDCB A。

空间的关系证明课标要求以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

1.通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理： ①公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ③一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ④一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

⑤一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

2.通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：①一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行； ②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行； ③垂直于同一个平面的两条直线平行④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

3. 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

空间的平行关系知识要点1.线线平行 线线平行的判定：①公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。

图形语言： 数学语言：c a c b b a ////,//⇒②平行四边形对边平行③三角形的中位线平行于底边；梯形的中位线平行于底边。

④如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

（线面垂直的性质）图形语言： 数学语言：b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα ⑤如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（线面平行的性质）图形语言： 数学语言： b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα⑥如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行的性质）图形语言： 数学语言： b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα2.线面平行：（1）线面平行的判定：①定义：直线与平面无公共点.行⇒线面平行）图形语言： 数学语言：ααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄③面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点在此平面．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A高考要求模块框架空间位置关系的判断与证明垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识内容1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉； 点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α∉； 直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α⊂； 直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =；平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=．2．平面的三个公理：⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点都在这个平面． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α， 使,,A B C ααα∈∈∈．⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面，那么我们说它们共面．<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面．2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们． 确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．2．空间中两直线的位置关系： ⑴共面直线：平行直线与相交直线； ⑵异面直线：不同在任一平面的两条直线．3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α：直线上所有的点都在平面，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面的一条直线和平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒．图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向． 求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形 所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''． 所以DD E E ''是平行四边形． 因此DE D E ''=． 于是ADE A D E '''∆≅∆． 所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行． 要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面有两条相交直线分别平行于另一个平面的两条相交直线，则这两个平面平行．3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒．图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画． 如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面．3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直．2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．lα直线l与平面α互相垂直，记作lα⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．nmA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略． 3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明， 如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．点面距离与线面角 （一）主要方法：本板块所学容为点面距离与线面角，求点面距离有两种方法，首先可以通过直接法作面的垂线，其次可以通过体积法转化，或者将问题转化为与面平行的直线上的点到面的距离；线面角问题属于线面关系的一种，是线面垂直与面面垂直定理的应用． １．点、斜线、斜线段及射影⑴点在直线上的射影自点A 向直线l 引垂线，垂足1A 叫做点A 在直线l 上的射影．点A 到垂足的距离叫点到直线的距离．⑵点在平面的射影自点A 向平面α引垂线，垂足1A 叫做点A 在平面α的射影，这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离．.. . . .. . . . .v ⑶斜线在平面的射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这平面的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面的射影．2．直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：⑴直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面的射影所成的锐角；⑵直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90；⑶直线和平面平行或在平面时，直线和平面所成的角的大小为0．显然，直线和平面所成的角的围为0,90⎡⎤⎣⎦．由此可见，一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题），是通过斜线在平面的射影转化成两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：⑴作——作出斜线与射影所成的角；⑵证——论证所作（或找到）的角就是要求的角；⑶算——常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带作用。

高考要求模块框架空间位置关系的判断与证明平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识内容1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A在直线l上，记作：A l∉；∈；点A不在直线l上，记作A l点A在平面α内，记作：Aα∉；∈；点A不在平面α内，记作Aα直线l在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作lα⊂；直线l不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作lα⊄；直线l和m相交于点A，记作{}=；=，简记为l m Al m Aαβ=．平面α与平面β相交于直线a，记作a2．平面的三个公理：⑴公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α， 使,,A B C ααα∈∈∈．⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面．<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内．2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们． 确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．2．空间中两直线的位置关系：⑴共面直线：平行直线与相交直线；⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线．3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒． 图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向． 求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,A D A D A E A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形 所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''． 所以DD E E ''是平行四边形． 因此DE D E ''=． 于是ADE A D E '''∆≅∆． 所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的范围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行．要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒． 图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画． 如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面．3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心内容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称 这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直． 2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足． 垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．αl直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．n mA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α内任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略． 3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明， 如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．点面距离与线面角 （一）主要方法：本板块所学内容为点面距离与线面角，求点面距离有两种方法，首先可以通过直接法作面的垂线，其次可以通过体积法转化，或者将问题转化为与面平行的直线上的点到面的距离；线面角问题属于线面关系的一种，是线面垂直与面面垂直定理的应用． １．点、斜线、斜线段及射影⑴点在直线上的射影自点A 向直线l 引垂线，垂足1A 叫做点A 在直线l 上的射影．点A 到垂足的距离叫点到直线的距离．⑵点在平面内的射影自点A 向平面α引垂线，垂足1A 叫做点A 在平面α内的射影，这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离． ⑶斜线在平面内的射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影． 2．直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：⑴直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面内的射影所成的锐角； ⑵直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90；。

空间中的位置关系认识平面和空间中的位置关系空间中的位置关系认识——平面和空间中的位置关系空间中的位置关系是我们在日常生活中经常遇到的一个概念。

我们所处的世界是一个三维空间，其中包含平面和空间中的位置关系。

通过对位置关系的认识，我们可以更好地理解和描述物体在空间中的位置和相互关系。

本文将介绍平面和空间中的位置关系的概念和基本要素，并探讨如何通过图形和数学工具来表示和分析它们。

一、平面中的位置关系认识平面是一个有长度和宽度的二维空间，它是我们日常生活中最常接触到的空间之一。

在平面中，我们经常涉及到点、线和面等基本要素。

1. 点的位置关系点是平面上最基本的要素，它没有长度和宽度，只有位置。

在平面中，点可以唯一地用坐标表示，常见的表示方法是使用笛卡尔坐标系。

通过确定点的坐标，我们可以准确地描述点在平面中的位置。

2. 线的位置关系线是由无数个点组成的，它具有长度但没有宽度。

在平面中，我们经常遇到直线和曲线。

直线由两个点确定，通过这两个点可以唯一地定义一条直线。

曲线则没有这样的唯一性。

在平面中，我们还关心线与线之间的相对位置关系。

例如，两条直线可能相交，也可能平行或重合。

这些相对位置关系对于几何图形的分类和性质分析非常重要。

3. 面的位置关系面是平面上的一个区域，它是由无数个点和线组成的。

在平面中，我们经常涉及到三角形、四边形、圆等不同形状的面。

面与面之间的位置关系也是我们常常需要讨论的一个问题。

两个面可能相交，也可能平行或重合。

比如，两个三角形可能相互重叠，也可能只是有一些边重合。

二、空间中的位置关系认识空间是一个有长度、宽度和高度的三维空间，相比平面，它更加复杂。

在空间中，我们需要考虑点、直线、平面以及它们之间的位置关系。

1. 点的位置关系空间中的点与平面中的点类似，可以通过坐标来表示。

不同之处在于，空间中的点除了具有平面中的坐标外，还需要有高度的坐标。

通过这三个坐标，我们可以准确地描述空间中的点的位置。

空间几何的位置关系与证明空间几何是研究空间中点、线、面等几何要素之间的位置关系的学科，广泛应用于建筑、工程、地理等领域。

在空间几何中，我们需要通过证明来得出准确的结论。

本文将介绍一些空间几何中的常见位置关系，并通过证明来解释它们。

一、点到点的位置关系在空间几何中，两个点之间可以存在不同的位置关系，常见的有以下几种情况：1. 两点重合：当两个点的坐标完全相同时，它们重合在同一个位置上。

我们可以通过计算两点的坐标来证明它们重合。

2. 两点重叠：当两个点的位置非常接近但不完全相同时，我们称它们为重叠。

通常我们需要通过测量两点之间的距离来证明它们的位置关系。

3. 两点相离：当两个点的位置远离并没有任何交集时，它们相离。

我们可以通过计算两点之间的距离来证明它们的位置关系。

二、线到线的位置关系在线到线的位置关系中，我们通常关注两条直线之间的相交情况。

下面是一些常见的情况：1. 直线相交：当两条直线在空间中相交于一个点时，我们称它们为相交。

要证明直线相交，我们可以找到它们的交点，并证明该交点在两条直线上。

2. 直线平行：当两条直线在空间中没有交点且始终保持相同的方向时，我们称它们为平行。

要证明直线平行，我们可以通过比较它们的斜率或者通过使用平行公理来证明。

3. 直线重合：当两条直线完全重合时，它们是同一条直线。

证明直线重合可以通过比较它们的方程或者通过验证它们上的两个点是否相同。

三、点到直线的位置关系点与直线之间的位置关系也是空间几何中的重要内容。

以下是一些常见的情况：1. 点在线上：当一个点与一条直线重合时，我们可以说该点在线上。

要证明一个点在线上，我们可以将该点的坐标代入直线的方程中，如果等式成立，则说明该点在线上。

2. 点在线上方或下方：对于一条直线，我们可以将它分为上方和下方两个区域。

对于一个点，如果它的纵坐标大于直线上所有点的纵坐标，我们称该点在直线上方；如果它的纵坐标小于直线上所有点的纵坐标，我们称该点在直线下方。

空间位置关系学习空间位置关系的表达和判断空间位置关系是描述不同物体或事物在空间中相对位置的概念。

学习空间位置关系的表达和判断对于我们理解和应用空间概念具有重要的意义。

本文将介绍空间位置关系的基本概念及其表达方式，并探讨如何准确地判断空间位置关系。

一、空间位置关系的基本概念在学习空间位置关系之前，我们需要了解一些基本概念。

首先是“方向”，指的是物体朝向的某个确定的位置，常用的方向词有上、下、左、右、前、后等。

其次是“位置”，是指物体在空间中相对于其他物体或参考点的位置。

再次是“距离”，表示两个物体之间的间隔或接近程度。

二、空间位置关系的表达方式1. 方位词法：方位词法是一种常用的表达空间位置关系的方式。

通过使用方位词，我们可以清晰地描述物体在空间中的位置。

例如，“在左边”、“在右上方”、“在正中间”等。

2. 坐标法：坐标法是一种数学上常用的表达空间位置关系的方式。

通过设定一个固定的坐标系，我们可以用坐标来表示每个物体在该坐标系中的位置。

例如，在二维平面坐标系中，可以用(x, y)来表示一个物体的位置。

3. 图形法：图形法是一种直观的表达空间位置关系的方式。

通过绘制图形或示意图，我们可以更清楚地展示物体在空间中的相对位置。

例如，利用平面地图或建筑图纸等来描述物体的位置关系。

三、准确判断空间位置关系的方法1. 视觉判断法：视觉判断是一种通过观察物体位置和方向来判断空间位置关系的方法。

我们可以通过眼睛观察物体的位置、方向、距离等特征，来判断物体之间的相对位置关系。

2. 使用工具辅助判断法：有时候，我们可以借助一些工具来辅助判断空间位置关系，例如使用直尺、量角器等。

这些工具可以帮助我们更准确地测量和判断物体的空间位置关系。

3. 利用数学计算法：当遇到一些复杂的空间位置关系问题时，我们可以利用数学方法或计算机模拟来进行计算和判断。

通过建立几何模型或编写程序，我们能够准确地判断物体的位置关系。

四、应用案例1. 导航系统：现代导航系统利用卫星定位技术和地图信息，可以帮助我们准确地确定自己的位置和目的地的位置，实现导航功能。

空间点与平面的位置关系与判定空间几何学是数学的一个分支，研究了空间中点、直线、平面和立体图形的性质和相互关系。

在空间几何学中，一个重要的问题是确定一个点与一个平面的位置关系，即判定该点是否位于该平面上、平面内部还是平面外部。

本文将围绕这一问题展开讨论。

一、点与平面的位置关系在空间几何学中，我们常用坐标系表示点和平面的位置。

对于平面而言，我们可以用一个点及其法向量来确定一个平面。

一个平面可以表示为(P, n)，其中P是平面上的一个点，n是平面的法向量。

1. 点在平面内部：当一个点在平面上时，它被称为在平面内部。

换句话说，如果点Q与平面(P, n)满足以下条件时，点Q在平面内部： n · PQ = 0其中，·表示点乘运算，PQ表示点Q到平面上的点P的向量。

这个条件的意义是点Q与平面上的点P到法向量n的连线垂直。

2. 点在平面上：当一个点在平面上时，它被称为在平面上。

换句话说，如果点Q与平面(P, n)满足以下条件时，点Q在平面上： n · PQ = 0PQ != 0这个条件的意义是点Q与平面上的点P到法向量n的连线垂直，并且点Q与点P不重合。

3. 点在平面外部：当一个点在平面外部时，它被称为在平面外部。

换句话说，如果点Q与平面(P, n)满足以下条件时，点Q在平面外部：n · PQ ≠ 0这个条件的意义是点Q与平面上的点P到法向量n的连线不垂直。

二、判断点与平面的位置关系在实际问题中，我们常常需要判断一个点与一个平面的位置关系。

根据上述讨论可以写出判断点与平面位置关系的步骤如下：1. 确定平面的法向量n和平面上的某一点P。

2. 计算点Q到平面上的点P的向量PQ。

3. 计算法向量n与向量PQ的点乘 n · PQ。

a. 若 n · PQ = 0，则点Q在平面上。

b. 若n · PQ ≠ 0，则点Q在平面外部。

三、应用举例下面通过一个示例来说明如何应用这一方法判断一个点与一个平面的位置关系。

立体几何专题【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等．【例题解析】题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算一、看图选择正确的三视图1、（2010广东理数）6.如图1，△ABC为三角形，AA'//BB'//CC' ,CC'⊥平面ABC且3AA'=32BB'=CC'=AB,则多面体△ABC -A B C'''的正视图（也称主视图）是2、（2010北京理数）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为二、根据三视图求几何体的面积、体积1、（2010安徽理数）8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为A、280B、292C、360D、372A B C D2、（江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第12题）已知一个正三棱锥P ABC -的主视图如图所示，若32AC BC ==， 6PC =_________．3、（2010全国卷1文数）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 2343 (C) 2383题型2 空间点、线、面位置关系的判断例1 （江苏苏州市2009届高三教学调研测试7）已知n m ,是两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，有下列四个命题：①若βα⊥⊥n m ,，m n ⊥，则βα⊥；②若n m n m ⊥,//,//βα，则βα//； ③若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα//；④若βαβα//,//,n m ⊥，则n m ⊥．其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________． 分析：根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断．例2 （浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第5题）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是A ．若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβB ．若//,//,//,m n αβαβ则//m nC ．若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥D ．若//,//,//,m n m n αβ则//αβ题型3 空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算例1．(2009江苏泰州期末16)如图所示，在棱长为2的正方体 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点． （1）求证：EF //平面11ABC D ；（2）求证：1EF B C ⊥； （3）求三棱锥EFC B V -1的体积．例2．（江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第17题） 在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，22PA AB ==．（1）求四棱锥P ABCD -的体积V ；（2）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （3）求证CE ∥平面PAB ．题型4 求空间的角的大小一、异面直线所成的角例1（2007年广东理数）如图6所示，等腰三角形△ABC 的底边AB=66CD=3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且E F ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使P E ⊥AE ，记BE=x ，V （x ）表示四棱锥P-ACEF 的体积。

板块一.对平面的进一步认识【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）A ．充分不必要条件．B ．必要不充分条件．C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．【例2】 若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（ ）A ．1个B ．2个C ．无数个D ．1个或无数个【例3】 在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，若,PQ CB 的延长线交于M ，,RQ DB 的延长线交于点N ，,RP DC 的延长线交于点K ．求证：,,M N K 三点共线．KRQP NMDBC A【例4】 已知正方体1111ABCD A B C D -，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．求证：A ，Q ，1C 三点共线．【例5】 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．【例6】 如图，直线,a b 是异面直线，,,A B C 为直线a 上三点，D E F ，，是直线b 上三点，A B C D E '''''，，，，典例分析空间位置关系的判断与证明.教师版分别为AD DB BE EC CF ，，，，的中点， 求证：⑴A B C C D E ''''''∠=∠；⑵A B C D E '''''，，，，共面．E'D'C'B'A'FED CBAab【例7】 正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H K L 分别是111DC DD A D 、、、111A B BB BC 、、的中点，求证：这六点共面．LG F ED CBAK H A 1D 1B 1C 1【例8】 （2007重庆理3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A ．5部分B ．6部分C ．7部分D ．8部分【例9】 把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）A ．13部分B ．19部分C ．21部分D ．27部分【例10】 正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别为BC ，AB ，11C D 的中点，求作正方体的过P 、Q 、R 的截面．【例11】 如图，求作经过棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 和1CC 的中点E 、F 及点1D 的截面．⑵求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积．A B CDA 1B 1C 1D 1PF EQ【例12】 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥【例13】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅；④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例14】 （05福建卷）已知直线m 、n 与平面，αβ，给出下列三个命题：①若m α⊥，∥n α，则∥m n ②若∥m α，n α⊥，则n m ⊥ ③若m α⊥，∥m β，则αβ⊥ 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例15】 （2010年二模·朝阳·理·题5）已知平面,αβ，直线l α⊥，直线m β⊂，有下面四个命题：①l m αβ⇒⊥∥②l m αβ⊥⇒∥③l m αβ⇒⊥∥④l m αβ⊥⇒∥其中正确的命题是 （ ）A ．①与②B ．③与④C ．①与③D ．②与④【例16】 （2010年二模·海淀·理·题6）已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（ ）A ．αβ⊥，n β⊂B ．//αβ，n β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥【例17】 （2010年二模·丰台·文·题7）设,,a b c 是空间三条不同的直线，,,αβγ是空间三个不同的平面，给出下列四个命题：① 若,a b αα⊥⊥，则ab ；② 若,αγβγ⊥⊥，则αβ；③ 若,b b αβ⊂⊥，则αβ⊥；④ 若c 是b 在α内的射影，a α⊂且a c ⊥，则a b ⊥． 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例18】 （2010年一模·崇文·理·题5）（崇文·文·题6）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥B ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥D ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥【例19】 （09年西城区期末考试5）已知m 是平面α的一条斜线，点A α∉，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）A ． l m ∥，l α⊥B ． l m ⊥，l α⊥C ． l m ⊥，l α∥D ． l m ∥，l α∥【例20】 （05江苏）设，，αβγ为两两不重合的平面，，，l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若αγ⊥，βγ⊥，则∥αβ；②若m α⊂，n α⊂，∥m β，∥n β，则∥αβ； ③若∥αβ，l α⊂，则∥l β；④若l αβ=，m βγ=，n γα=，∥l γ，则∥m n ．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 αβ=直线D ∉直线l N 两点不可能重合【例22】 下列命题中，正确的个数是（ ）①平行于同一条直线的两直线平行②平行于同一个平面的两直线平行 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④垂直于同一个平面的两直线平行 ⑤平行于同一条直线的两平面平行 ⑥平行于同一个平面的两平面平行A ．1B ．2C ．3D ．4【例23】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例24】 如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC BCD ︒∠=∠=，12DC AB =，E 是PB 的中点． 求证：EC ∥平面APD ．E PDABC【例25】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是11B C 、11A D 、11A B 的中点，求证：平面EBD ∥平面FGA ．D 1C 1B 1A 1GF ED CBA【例26】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱1//2EF BC ． 求证：FO ∥平面CDEFEDCBAO【例27】 下列说法正确的有 ．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例28】 在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有 个．【例29】 如图，已知三棱锥P ABC -，90ACB ∠=，D 为AB 的中点，且PDB ∆是正三角形，PA ⊥PC ．求证：⑴ PA ⊥面PBC ；⑵平面PAC ⊥平面ABC ．DPABC【例30】 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．EBCFDGSA【例31】 （2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠．⑴ 证明1C C BD ⊥；⑵ 当1CD CD 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例32】 已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例33】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【例36】 （2010年一模·石景山·文·题17）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，14AA =．E 、F 分别是棱1CC 、AB 中点．⑴求证：CF ⊥1BB ；【例37】 如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC 的中点，11AB ==，⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．D CBA A 1B 1C 1【例38】 （2009江苏高三调研）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=，，，E F G ，，分别为线段1111AC A C BB ，，的中点，求证：⑴平面ABC ⊥平面1ABC ；⑵EF ∥面11BCC B ；⑶GF ⊥平面11AB C ．C 1B 1A 1GFE CB A。

题型一 平面的基本性质【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）A ．充分不必要条件．B ．必要不充分条件．C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．【难度】★ 【解析】 B ；【例2】 判断下面说法是否正确：①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面．④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面．【难度】★★【解析】 ①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面；②正确，两条相交直线确定一个平面；③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面；④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形；⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线；⑥错误；若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确．【例3】 若P 是正方体1111ABCD A B C D 上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（ ）A ．1个B ．2个C ．无数个D ．1个或无数个【难度】★★ 【解析】 答案：C典例分析板块一.对平面的进一步认识P 是AC 的中点，无数个；P 不是AC 的中点，1个．【例4】 下列推理错误的是（ ）A ．,,,A l AB l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=C ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线⇒,αβ重合D ．,l A l A αα⊄∈⇒∉【难度】★★【解析】 直线上有两点有一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确；如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理2保证了Ｂ，Ｃ正确；直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故Ｄ错误．【例5】 已知点A ，直线l ，平面α，①,A l l A αα∈⊄⇒∉ ②,A l l A αα∈∈⇒∈ ③,A l l A αα∉⊂⇒∉ ④,A l A l αα∈∉⇒⊄ 以上命题表达正确，且是真命题的有________．【难度】★★★【解析】 直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误；直线是点集，故只能用l α⊂，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误； 一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确．共线问题【例6】 在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别是上，下底的中心，P 是1DB 的中点，则O 、P 、1O 三点（ ）A ．不共面共线B ．共线C ．共面不共线D ．不共面【难度】★★★ 【解析】 答案：B连结BD 、11B D 、1BD ，在矩形11BB D D 中，易知O 、P 、1O 三点共线．【例7】 如图，已知在空间四边形ABCD 中（即这四点不共面），,,,E F G H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 上的点，且EH 交FG 于P ．求证：P 在直线BD 上．G FEDCBAP H【难度】★★★【解析】 ∵P ∈直线EH ，∵P ∈平面ABD ，∵P ∈直线FG ，∴P ∈平面BCD ， ∴P ∈（平面ABD ∩平面BCD ）， 又BD 是平面ABD 与平面BCD 的交线， ∴P BD ∈．【例8】 在棱长为2的正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是 ,'AB CC 的中点，过点,,'E F D 的截面与正方体的下底面相交于直线l ，①请画出直线l 的位置；②设l BC G =，求BG 的长．【难度】★★★D'C'B'A'F EDCBA【解析】 ①延长'D F 交DC 的延长线于M ，连结EM ，如图所示，直线EM 即为所求的截面与底面的交线．MGBCDEFA'B'C'D'②因为F 为'CC 的中点，故CM DC =，又E 点为AB 的中点，故12BG EB GC MC ==，故1233BG BC ==．【例9】 在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，若,PQ CB 的延长线交于M ，,RQ DB 的延长线交于点N ，,RP DC 的延长线交于点K ．求证：,,M N K 三点共线．KRQP NMDBC A【难度】★★★【解析】 直线KR 和NR 为相交直线，故它们确定一个平面，记为α，则,P Q αα∈∈⇒直线PQ α⊂，故,,M N K α∈， 又,,M BC N BD K CD ∈∈∈，故,,M N K ∈平面BCD ，故,,M N K ∈（平面α平面BCD ），故在它们的交线上，从而知,,M N K 三点共线．【例10】 已知正方体1111ABCD A B C D -，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．求证：A ，Q ，1C 三点共线．【难度】★★【解析】 连结11A C ，AC ，∵11A C ∥AC ，∴11A C ，AC 确定平面11AC CA 交平面11ABC D 于1AC ． ∵1Q AC ∈，∴Q ∈平面11AC CA 又Q ∈平面11ABC D ，而面11ACCA平面11ABC D 1AC =∴点Q 必落在1AC 上，∴A ，Q ，1C 三点共线．【例11】 在正方体 1111ABCD A B C D -中（如图）， 1A C 与截面 1DBC 交于O 点，,AC BD 交于M ，求证：1,,C O M 三点共线．MODD 1A 1ABB 1CC 1【难度】★★★【解析】 三点共线问题的证法是：证明此三点同在两个相交平面内，从而在它们的交线上．∵1,,C O M ∈平面1BC D ． 又∵1,,C O M ∈平面 11A ACC 根据公理2知：1,,C O M 在平面 1BC D 与平面 11A ACC 的交线上，即1,,C O M 三点共线．【例12】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为上底面1111A B C D 的中心，M 是正方体对角线1A C 和截面11AB D 的交点．求证：O 、M 、A 三点共线．OM ABCDB 1C 1D 1A 1【难度】★★★【解析】 连结AC ，11A C ，∵11A C ∥AC ，∴11A C ，AC 确定平面11AC CA 交平面11AB D 于AO ． ∵1M AC ∈，∴M ∈平面11AC CA ． 又M ∈平面11AB D ，而面11ACCA平面11AB D AO =∴点M 必落在AO 上，∴O ，M ， A 三点共线．共面问题【例13】 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面． 【难度】★★【解析】 要证明这种文字类的题，首先要把已知与求证的内容用具体的符号语言表述出来．CBAlcb a已知：////a b c ，,,la A lb B lc C ===，求证：直线,,,a b c l 共面．证明：//,a b a b ⇒确定一个平面α，//,b c b c ⇒确定一个平面β，,A a A B b B l A l B l ααα∈⇒∈⎫⎪∈⇒∈⇒⊂⎬⎪∈∈⎭，同理有l β⊂，又,b l B b l =⇒确定一个平面．而,b l 既在平面α内，又在平面β内，故α，β是同一个平面， 所以这四条直线,,,a b c l 共面．【例14】 如图，直线,a b 是异面直线，,,A B C 为直线a 上三点，D E F ，，是直线b 上三点，A B C D E '''''，，，，分别为AD DB BE EC CF ，，，，的中点，求证：⑴A B C C D E ''''''∠=∠；⑵A B C D E '''''，，，，共面．E'D'C'B'A'FED CBAab【难度】★★★【解析】 ⑴A B ''，是AD DB ，的中点，所以A B a ''∥．同理C D a ''∥，于是A B C D ''''∥．同理C B D E ''''∥即A B C '''∠的两边和C D E '''∠的两边平行且方向相同，因此A B C C D E ''''''∠=∠． ⑵A B C D ''''∥，于是A B C D ''''，，，共面α，同理B C D E ''''，，，共面β，于是αβ，都经过点B C D '''，，．因为a b ，异面，所以B C D '''，，三点不共线，因此过B C D '''，，有且只有一个平面，综上知αβ，重合，从而A B C D E '''''，，，，共面．【例15】 正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H K L 分别是111DC DD A D 、、、111A B BB BC 、、的中点，求证：这六点共面．LG F ED CBAK H A 1D 1B 1C 1【难度】★★★【解析】 连结BD 和KF ，∵E L 、是CD CB 、的中点 ∴ //EL BD ．又∵矩形11BDD B 中//KF BD ， ∴ //KF EL ，∴ KF EL 、可确定平面α，从而E F K L 、、、在同一个平面α内， 同理//EH KL ，故E H K L 、、、共面β．又∵平面α与平面β都经过不共线的三点E K L 、、，故平面α与平面β重合，所以E K L F H 、、、、共面于平面α． 同理可证G α∈，∴E K L F H G 、、、、、六点共面．【例16】 已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．⑴求证：D 、B 、E 、F 四点共面；⑵求证：A ，Q ，1C 三点共线．【难度】★★★【解析】 如图，连结11D B ，ACC 1A⑴∵E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，∴EF 是111C D B ∆的中位线， ∴EF ∥11D B ．又∵在正方体1AC 中，11B D ∥BD ，∴EF ∥DB ，AB CDB 1C 1D 1A 1Q∴EF ，DB 可以确定一个平面，即D 、B 、E 、F 四点共面． ⑵连结11A C ，AC ，∵11A C ∥AC ，∴11A C ，AC 确定平面11AC CA 交平面11ABC D 于1AC ． ∵1Q AC ∈，∴Q ∈平面11AC CA 又Q ∈平面11ABC D ，而面11AC CA平面11ABC D 1AC =∴点Q 必落在1AC 上，∴A ，Q ，1C 三点共线．【例17】 已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，ACBD P =，11AC EF Q =．⑴求证：D 、B 、E 、F 四点共面；⑵若1A C 交平面BDEF 于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．【难度】★★★【解析】 如图，连结11D B ，CQE F PR D 1C 1B 1A 1D BA⑴∵E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点， ∴EF 是111C D B ∆的中位线， ∴EF ∥11D B ．又∵在正方体1AC 中，11B D ∥BD ， ∴EF ∥DB ，∴EF ，DB 可以确定一个平面，即D 、B 、E 、F 四点共面． ⑵正方体1AC 中，记平面11A ACC 为α，平面BDEF 为β， ∵11AC EF Q =，∴11Q AC ∈，Q α∈，Q EF ∈，Q β∈． 同理，P 点也是α与β的公共点． ∴PQ αβ= 又由1AC R β=，1AC α⊂可知，1R AC ∈，R α∈，R β∈ ∴R PQ ∈，即P 、Q 、R 三点共线．【例18】 已知空间四边形ABCD 的对角线是,A C B D，点,,,,,E F G H M N 分别是,,AB BC ,CD ,,DA AC BD 的中点，求证：三线段EG ，FH ，MN 交于一点且被该点平分．【难度】★★★★【解析】 如图，连结EF ，FG ，GH ，HEMN BADF HGO∵,,,E F G H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点， ∴EF ∥AC ∥HG ，EH ∥BD ∥FG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． 设EG FH O =，则O 平分EG ，FH ．同理，四边形MFNH 是平行四边形，设'MNFH O =，则'O 平分MN ，FH ，∵点,'O O 都平分线段FH ∴O 与'O 两点重合，∴MN 过EG 和FH 的交点，即三线段EG ，FH ，MN 交于一点且被该点平分．题型二 平面分空间问题【例19】 任给三个平面，可能把空间划分成几个部分？ 【难度】 ★★★ 【解析】⑴ 当三个平面互相平行时，把空间分成四个部分；⑵ 当其中两个平面互相平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六个部分； ⑶ 当三个平面都相交，且交线重合时，也将空间分成六个部分； ⑷ 当三个平面都相交，且交线共点但不重合时，将空间分成八个部分； ⑸ 当三个平面两两相交，且交线平行时，将空间分成七个部分． 这几种情况分别如下图：（5）lγβα（4）βαγ（3）γβα（2）γβα（1）γβα【例20】 （2007重庆理3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A ．5部分B ．6部分C ．7部分D ．8部分【难度】 ★★★ 【解析】C可用三线,,a b c 表示三个平面，如图，将空间分成7个部分．cba【例21】 把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）A ．13部分B ．19部分C ．21部分D ．27部分【难度】 ★★★ 【解析】Ｄ【例22】 把正四面体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）A ．11部分B ．13部分C ．15部分D ．17部分【难度】 ★★★ 【解析】C【例23】 右图是一个长方体，问此长方体过点A 的三个面所在的平面将空间分成几个部分？侧面ABB A''，BCC B ''和对角面ACC A ''所在的三个平面将空间分成几个部分？D'C'B'A'CBA【难度】 ★★★【解析】过点A 的三个面所在的平面将空间分成八个部分；侧面ABB A '，BCC B ''和对角面ACC A ''所在的三个平面将空间分成七个部分．题型三 截面问题【例24】 在正方体1111ABCD A B C D -中，P Q ，分别是棱1AA ，1CC 的中点，则过点B P Q，，的截面（ ）A ．邻边不等的平行四边形B ．菱形但不是正方形C ．邻边不等的矩形D ．正方形【难度】 ★★【解析】 B ；如图，易知过B P Q ，，的截面为面1PBQD ．容易证明四边形1PBQD 是菱形，证其不是正方形用反证法比较直观：PQD 1C 1B 1A 1DCB A若1BQ QD ⊥则111111BQ QD BQ CDD C BQ CC BQ D C ⊥⎧⇒⊥⇒⊥⎨⊥⎩面矛盾! 部分学生可能没有学反证法，教师在讲解时可以跳过这一概念．【例25】 如图所示，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为1，过1A A ，11A B 和AC的中点E ，F ，G 画截面．EQM PFHGC 1B 1A 1CBA【难度】 ★★★【解析】 ∵E ，G ∈平面1BA ，∴连结EG 并延长交1BB 的延长线于H ．∵E ，F ∈平面11A ACC ，∴连结EF 并延长交1C C 的延长线于M ， 又∵M ，H ∈平面11BB C C ，∴连结MH 交BC 于P ，交11B C 于Q ， ∴EMH ∆所在平面为切割平面∴连结Q ，G ，F ，P 即得切割平面与正三棱柱表面的交线， ∴五边形EFPQG 就是所求的截面．【例26】 正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别为BC ，AB ，11C D 的中点，求作正方体的过P 、Q 、R 的截面．RS G QPAB CDA 1B 1C 1D 1EF MN【难度】 ★★★【解析】 ∵P 、Q ∈平面ABCD ，∴连结PQ 并延长，交DA 的延长线于N ，交DC 的延长线于M ，又∵R 、M ∈平面11D C CD ，∴连结RM 交1C C 于E ，并延长MR 与1DD 延长线交于点S ，∵S 、N ∈平面11ADD A ，∴连结SN 交1A A 于F ，交11A D 于G ， ∴SMN ∆所在平面为切割平面，并且与正方体棱的交点已确定． 又∵F 、Q ∈平面11A ABB ，P 、E ∈平面11BCC B ， ∴连结FQ 与PE ，则六边形PQFGRE 即为所求作的截面．【例27】 如图，求作经过棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 和1CC 的中点E 、F 及点1D 的截面．⑵求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积．A BCDA 1B 1C 1D 1PFEQ【难度】★★★★【解析】 ∵1,D E ∈平面11A ADD ，∴连结1D E 并延长，与DA 延长线交于点P ，同理连结1D F 并延长，与DC 延长线交于点Q ，连结PQ ，A BCDA 1B 1C 1D 1PFEQ∴1D PQ ∆为切割平面，过正方体的顶点B （分析见下）． 又∵E 、B ∈面11A ABB ，连结EB ，FB ， ∴四边形1D EBF 就是所求的截面．分析：其中点B 在PQ 所在直线上，可通过平面几何知识证明， 在1PDD ∆中，由于E 为1AA 中点，EA ∥1DD ，所以A 为PD 中点，同理C 为DQ 中点，在DPQ ∆中，设PQ 与AB 交于点M ，即AM ∥DQ ，且A 为PD 中点，AM 为中位线，所以12AM DQ AB ==，因此有B 与M 重合．另：也可通过证明四点1,,,D E B F 共面，得到过点,E F 及点1D 的截面即为面1D EBF ．DAQ⑵（法一）连结BD ，1BD ，则将所围成的几何体分成两个四棱锥，1B CFD D -与1B AED D -，QEFPD 1C 1A 1D CBAB 1111134B CFD D CFD D V S BC -=⋅=，同理114B AED D V -=，111442V =+=．（法二）所围成的几何体体积也可由补形法： 1D DPQ E APB F BCQ V V V V ---=--其中1111122213323D D P QDPV S D D -=⋅=⨯⨯，1111111332212E APB APB V S EA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=同理112F BCQ V -=，∴121123122D DPQ E APB F BCQ V V V V ---=--=-⨯=。