空间中直线与直线之间的位置关系

两直线的位置关系
两直线的位置关系是指两条直线所占据的空间上的关系。

它可以概括为两直线的位置的具体描述，通常用来描述一条直线如何与另一条直线相对立。

一般来说，两直线的位置关系有六种：相交，平行，重合，相离，垂直，截距。

1.相交意味着两条直线相遇，它们有一个公共点，这个点可以使两条直线成为一条新的直线。

2.平行意味着两条直线一直是看着彼此，而没有公共点，也没有交叉点，因此对任意一点而言，这两条直线之间的距离保持不变。

3.重合意味着两条直线完全重合，即它们位于同一条直线上，有无穷多个交点，一旦给出一个点，就可以推断两条直线交于此点。

4.相离意味着这两条直线分别位于间隔较远的两个不同平面上，彼此不再任何关系，不存在公共点，也不能以任何方式成为一条表示其他直线的新直线。

5.垂直意味着这两条直线虽然是共点，但是它们的斜率垂直，一直不会相遇，也不可能在某一点有公共点，但是它们一直都可以在同一个垂线上。

6.截距意味着这两条直线没有公共点，但是它们都跟同一垂线有一个公共截距，也就是说这两条直线有满足某些条件时会碰到它们的截距。

以上就是关于两直线的位置关系的六中情况的介绍，每种情况都有特定的描述，以便给出解决满足条件的特定解决方案。

空间中直线与直线之间的位置关系教学设计教学设计：空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：1.知识目标：a.了解空间中直线与直线之间的位置关系；b.掌握直线之间平行、相交、重合的概念；c.能够判断给定的直线之间的位置关系。

2.能力目标：a.培养学生观察和分析问题、推理和判断的能力；b.培养学生通过合作探究和实践操作的能力；c.培养学生解决问题的思维能力。

二、教学内容：1.直线之间的位置关系：平行、相交、重合。

2.判断直线之间的位置关系的方法。

三、教学过程：1.导入（5分钟）a.引入问题：你们知道什么是直线之间的位置关系吗？b.让学生自由讨论或提出问题，然后引导学生思考有哪些直线之间的位置关系。

2.学习直线之间的位置关系（15分钟）a.在黑板上画出两条直线A和B，并标出直线上的两个点C和D。

b.提问：直线A和直线B之间的位置关系是什么？如何判断？c.引导学生观察直线A和直线B的形状，然后告诉学生直线A和直线B相交。

d.画出直线C和直线D，并标出两个点E和F。

e.提问：直线C和直线D之间的位置关系是什么？如何判断？f.引导学生观察直线C和直线D的形状，然后告诉学生直线C和直线D平行。

g.画出直线E和直线F，并标出两个点G和H。

h.提问：直线E和直线F之间的位置关系是什么？如何判断？i.引导学生观察直线E和直线F的形状，然后告诉学生直线E和直线F重合。

3.情境探究（30分钟）a.把学生分成小组，每个小组分发一些已经画好的直线图形。

b.让学生观察图形中的直线之间的位置关系，并讨论判断依据。

c.利用合作探究的方式，让学生互相提问和解答问题。

d.让学生通过观察和分析，总结判断直线之间位置关系的方法。

e.引导学生用自己的话解释判断依据，提高表达能力。

4.案例分析与讲解（20分钟）a.给学生放一些直线之间位置关系的相关案例，并让他们自行判断。

b.让学生上台依次解答，并且解答正确的学生进行讲解。

c.引导学生总结判断直线之间位置关系的方法和规律。

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在 的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点； （2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网 （3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3． 空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理 1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤（1）找到直线b ； （2）证明∥a b ，∥b c ； （3）得到∥a c .2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图（1） 图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′，b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为 . 3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K 知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线 （2）平行直线 （3）异面直线 二、1．（1）平行 （2）a ∥c 2．（1）相等或互补 三、1．锐角（或直角） 2．090α<≤ 3．直角K—重点掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④B．①②C．①③D．②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A．【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立. 2．公理4的应用证明两条直线平行的方法： （1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等； （3）利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下： ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为 A ．60° B ．120° C ．30°D ．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D ． 【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【例4】如图所示，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱的中点.（1）求证：四边形是梯形； （2）求证：（2）由（1）知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 4．两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A．90B．75C．60D．45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几，放置在三角形中，利用何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解，求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1．若,a b 为异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是 A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 2．已知∥AB PQ ，∥BC QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于 A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 3．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行 4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．906．如果OA //O A ''，OB //O B ''，那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为 ． 7．下列命题中不正确的是________．（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．8．如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证：△∽△ABC A B C '''.9．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．10．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A．相交B．异面C．异面或相交D．平行11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直12．如图，正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13．如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证：PN 与MC 为异面直线.14．（2016上海）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．（2015广东）若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交16．（2015浙江）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1，BC =2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°17．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1．【答案】D【解析】c a ∥，a b ，为异面直线，所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4．【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ，故选B. 5．【答案】B【解析】如图，设G 为AC 的中点，连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ，所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角，且三角形GEF 为等腰直角三角形，所以45GEF ∠=.6．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7．【答案】①②8．【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为60°，∴∠EGF ＝60°或120°． 由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝60°时，∠GEF ＝60°；当∠EGF ＝120°时，∠GEF ＝30°．学@科网 故EF 与AB 所成的角为60°或30°．10．【答案】C【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图（1）,两条直线异面;（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图（2）,两条直线相交.故选C.（1） （2）【误区警示】在判断两直线的位置关系时，要全面思考问题，可通过画出相关图形帮助分析，从而防止遗漏.本题中，没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11．【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.13．【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16．【答案】C【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A 1B ,在△A 1BC 中，BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。

2、空间中直线和直线之间的位置关系【主要知识】（一）空间两条直线的位置关系（1）相交直线——在同一平面内，有且仅有一个公共点； （2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。

若从有无公共点的角度看，可分两类： ①有且仅有一个公共点——相交直线②没有公共点——⎩⎨⎧异面直线平行直线若从是否共面的角度看，也可分两类：①在同一平面内——⎩⎨⎧平行直线相交直线②不在同一平面内——异面直线（三）异面直线1、异面直线的画法：aba bαα2、异面直线所成角（1）异面直线所成角的范围：____________（2）两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算【习题讲解】1、异面直线是（ ）A 、同在某一个平面内的两条直线B 、某平面内一条直线和这个平面外的一条直线C 、分别位于两个不同平面内的两条直线D 、无交点且不共面的两条直线2、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）. A 、异面 B 、平行 C 、相交 D 、以上都有可能3、下列说法中，正确的有（ ）①空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。

②垂直于同一条直线的两条直线平行。

③分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线。

④若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线。

A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4、把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ ）. A 、12 B 、24 C 、36 D 、48【变式】若把两异面直线看成“一对”，则六棱锥的棱所在12条直线中，异面直线共有（ ） A 、12对 B 、24对 C 、36对 D 、48对5、如图，正方体1111D C B A ABCD -，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点. （1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.【变式】5-1、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为______度。

空间中直线与直线之间的位置关系之马矢奏春创作创作时间：二零二一年六月三十日[学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的界说,会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.知识点一空间中两条直线的位置关系(1)界说：分歧在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点分析：①异面直线的界说标明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交,也不服行.②不能误认为分别在分歧平面内的两条直线为异面直线.如图中,虽然有a⊂α,b⊂β,即a,b分别在两个分歧的平面内,可是因为a∩b＝O,所以a与b不是异面直线.(2)画法：画异面直线时,为了充沛显示出它们既不服行也不相交,即不共面的特点,经常需要画一个或两个辅助平面作为烘托,以加强直观性、立体感.如图所示,a与b为异面直线.(3)判断方法方法内容界说法依据界说判断两直线不成能在同一平面内(1)按两条直线是否共面分类⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 相交直线：同一平面内有且只有一个公共点平行直线：同一平面内没有公共点异面直线：分歧在任何一个平面内没有公共点(2)按两条直线是否有公共点分类⎩⎪⎨⎪⎧有且仅有一个公共点——相交直线无公共点⎩⎪⎨⎪⎧ 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？(2)两条垂直的直线必相交吗？答 (1)纷歧定.可能相交、平行或异面.(2)纷歧定.可能相交垂直,也可能异面垂直.知识点二 公理4(平行公理)文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行,这一性质叫做空间平行线的传递性 符号语言 ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b 图形语言知识点三 空间等角定理文字语言 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 符号语言 OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′B ′⇒∠AOB ＝∠A ′O ′B ′或∠AOB ＋∠A ′O ′B ′＝180° 图形语言作用判断或证明两个角相等或互补如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.思考 如果两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线平行吗？答 纷歧定.这两条直线可能相交、平行或异面知识点四 异面直线所成的角1.概念：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2.异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.3.如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.(1)在空间任取一点O,过点O分别作a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角,然后通过解三角形等方法求角.(2)在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O,过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a),则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角),然后通过解三角形等方法求角(如图).题型一空间两条直线的位置关系的判定例1 若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面谜底D解析可借助长方体来判断.如图,在长方体ABCD－A′B′C′D′中,A′D′所在直线为a,AB 所在直线为b,已知a和b是异面直线,b和c是异面直线,则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′,CC′,DD′.故a和c可以平行、相交或异面.跟踪训练1 如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.谜底(1)平行(2)异面(2)相交(4)异面解析序号结论理由(1)平行因为A1D1綊BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C(2)异面A1B与B1C分歧在任何一个平面内(3)相交D1D∩D1C＝D1(4)异面AB与B1C分歧在任何一个平面内题型二公理4、等角定理的应用例2 E,F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A,C1C的中点,求证：四边形B1EDF是平行四边形.证明设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1.因为E是AA1的中点,所以.又因为在矩形A1B1C1D1中,,所以..又因为Q,F分别是矩形DD1C1C两边D1D,C1C的中点,所以.所以四边形DQC1F为平行四边形.所以.又因为,所以.所以四边形B1EDF为平行四边形.跟踪训练2 如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证：E,F,G,H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形,求证：AC⊥BD.证明(1)在△ABD中,∵E,H分别是AB,AD的中点,∴EH∥BD.同理FG∥BD,则EH∥FG.故E,F,G,H 四点共面.(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.又∵四边形EFGH 是矩形,∴EH⊥GH.故AC⊥BD.题型三 异面直线所成的角例 3 如图所示,在空间四边形ABCD 中,AB ＝CD,AB⊥CD,E,F 分别为BC,AD 的中点,求EF 和AB所成的角.解 如图,取BD 的中点G,连接EG,FG.因为E,F 分别为BC,AD 的中点,AB ＝CD,所以EG∥CD,GF∥AB,且EG ＝12CD,GF ＝12AB. 所以∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角,EG ＝GF.因为AB⊥CD,所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形.所以∠GFE＝45°,即EF 与AB 所成的角为45°.跟踪训练3 空间四边形ABCD中,AB＝CD且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的年夜小.解取AC的中点G,连接EG,FG,则EG 12AB,GF12CD.故直线GE,EF所成的锐角即为AB与EF所成的角,直线GE,GF所成的锐角即为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°,∴∠EGF＝30°或150°.由AB＝CD,知EG＝FG,∴△EFG为等腰三角形.当∠EGF＝30°时,∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时,∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.转化与化归思想例5 在空间四边形ABCD中,AD＝BC＝2a,E,F分别是AB,CD的中点,EF＝3a,求异面直线AD,BC所成的角.分析要求异面直线AD,BC所成的角,可在空间中找一些特殊点,将AD,BC平移至一个三角形中.此题已知E,F分别为AB,CD的中点,故可寻找一边中点,如BD的中点M,则∠EMF(或其补角)为所求角.解如图,取BD的中点M.由题意,知EM为△BAD的中位线,所以EM∥AD 且EM ＝12AD.同理,MF∥BC 且MF ＝12BC.所以EM ＝a,MF ＝a,且∠EMF(或其补角)为所求角.在等腰△MEF 中,取EF 的中点N,连接MN,则MN⊥EF.又因为EF ＝3a,所以EN ＝32a.故有sin∠EMN＝EN EM ＝32.所以∠EMN＝60°,所以∠EMF＝2∠EMN＝120°.因为∠EMF＝120°＞90°,所以AD,BC 所成的角为∠EMF 的补角,即AD 和BC 所成的角为60°.反证法的合理应用例6 如图,三棱锥P －ABC 中,E 是PC 上异于点P 的点.求证：AE与PB 是异面直线.分析利用界说直接证明,即从分歧在任何一个平面内中的“任何”开始入手,一个平面一个平面地寻找是不成能实现的,因此必需找到一个间接证法来证明,反证法即是一种行之有效的方法.证明假设AE与PB不是异面直线,设AE与PB都在平面α内,因为P∈α,E∈α,所以PE⊂α.又因为C∈PE,所以C∈α.所以点P,A,B,C都在平面α内.这与P,A,B,C不共面(P－ABC是三棱锥)矛盾.于是假设不成立,所以AE与PB是异面直线.1.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是( )2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )3.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线( )4.如图所示,G,H,M,N分别是正三棱柱的极点或所在棱的中点,则暗示直线GH,MN是异面直线的图形有________.(填序号)5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________.一、选择题1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )2.已知空间两个角α,β,α与β的两边对应平行,且α＝60°,则β即是( )A.60°B.120°C.30°D.60°或120°3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,异面直线BA1与CC1所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°4.下面四种说法：①若直线a、b异面,b、c异面,则a、c异面；②若直线a、b相交,b、c相交,则a、c相交；③若a∥b,则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b,b⊥c,则a∥c.其中正确的个数是( )5.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( )6.若空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是8,12,则过AB的中点E且平行于BD,AC的截面四边形的周长为( )7.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( )D.AE与B1C1所成的角为60°二、填空题8.在四棱锥P－ABCD中,各棱所在的直线互相异面的有________对.9.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的序号为________.10.如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,异面直线A1B与AD1所成的角为______.三、解答题11.如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠BAC＝90°,BC＝＝1,DA若2,DA⊥AC,DA⊥AB,且为BE与求异面直线,DA的中点ECD所成角的余弦值.12.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且有AE∶EB＝AH∶HD＝m,CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E,F,G,H四点共面；(2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下,若AC⊥BD,试证明：EG＝FH.当堂检测谜底1.谜底D 解析若直线a和b共面,则由题意可知a∥b；若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.2.谜底B 解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线,又AA1∥BB1,AA1∥DD1,显然BB1∩BC＝B,DD1与BC是异面直线,故选B.3.谜底A解析我们现在研究的平台是锥空间.如图所示,过点P作直线l′∥l,以l′为轴,与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.解析①中,∵G,M 是中点,∴AG 綊BM,∴GM 綊AB 綊HN,∴GH∥MN,即G,H,M,N 四点共面；②中,∵H,G,N 三点共面,且都在平面HGN 内,而点M 显然不在平面HGN 内,∴H,G,M,N 四点不共面,即GH 与MN 异面；③中,∵G,M 是中点,∴GM 綊12CD,∴GM 綊12HN,即GMNH 是梯形,则HG,MN 必相交,∴H,G,M,N 四点共面；④中,同②,G,H,M,N 四点不共面,即GH 与MN 异面.5.谜底 13解析 设棱长为1,因为A1B1∥C1D1,所以∠AED1就是异面直线AE 与A1B1所成的角.在△AED1中,cos∠AED1＝D1E AE ＝1232＝13. 课时精练谜底一、选择题1.谜底 D解析 可能相交也可能异面,但一定不服行(否则与条件矛盾).解析 由等角定理,知β与α相等或互补,故β＝60°或120°.3.谜底 B解析 如图,在正方体ABCD －A1B1C1D1中,BB1∥CC1,故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角,故为45°.4.谜底 D解析 若a 、b 异面,b 、c 异面,则a 、c 相交、平行、异面均有可能,故①分歧毛病.若a 、b 相交,b 、c 相交,则a 、c 相交、平行、异面均有可能,故②分歧毛病.若a⊥b,b⊥c,则a 、c 平行、相交、异面均有可能,故④分歧毛病.③正确.5.谜底 D解析 如图,因为BD⊥AC,且BD ＝AC,又因为E,F,G,H 分别为对应边的中点,所以FG EH 12BD,HG EF 12AC.所以FG⊥HG,且FG ＝HG.所以四边形EFGH 为正方形.6.谜底 B解析 设截面四边形为EFGH,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中＝6)＋2×(4周长为6,∴＝BD 12＝HE ＝4,FG ＝AC 12＝GH ＝,∴EF 点20.7.谜底 C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A毛病；由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC 相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B毛病；同理AE与B1C1是异面直线,C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D毛病.综上所述,故选C.二、填空题8.谜底8解析以底边所在直线为准进行考察,因为四边形ABCD是平面图形,4条边在同一平面内,不成能组成异面直线,而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线,所以共有4×2＝8(对)异面直线.9.谜底①③解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.10.谜底60°解析连接BC1,A1C1,∵BC1∥AD1,∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在△A1BC1中,A1B＝BC1＝A1C1,∴∠A1BC1＝60°,故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.三、解答题11.解 取AC 的中点F,连接EF,BF,在△ACD 中,E,F 分别是AD,AC 的中点,∴EF∥CD,∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角).1,＝AC ＝AC,∴AB ＝,AB 2＝,BC 中Rt△ABC 在 .52＝,∴BE 12＝AD 12＝1,AE ＝,AB 中Rt△EAB 在 .22＝,∴EF 12＝,AE 12＝AC 12＝,AF 中Rt△AEF 在 .52＝,∴BF 12＝1,AF ＝,AB 中Rt△ABF 在 ,1010＝2452＝12EF BE ＝,cos∠FEB 中EBF 在等腰三角形 .1010所成角的余弦值为CD 与BE 异面直线∴12.(1)证明 因为AE∶EB＝AH∶HD,所以EH∥BD.又因为CF∶FB＝CG∶GD,所以FG∥DB.所以EH∥FG.所以E,F,G,H 四点共面.(2)解 当且仅当EH∥FG,EH＝FG 时,四边形EFGH 为平行四边形.BD.m m ＋1＝EH 所以,m m ＋1＝AE AE ＋EB ＝EH BD 因为 n.＝m 得FG,＝EH 由BD,n n ＋1＝FG 同理故当m ＝n 时,四边形EFGH 为平行四边形. (3)证明 当m ＝n 时,AE∶EB＝CF∶FB,所以EF∥AC.又因为AC⊥BD,而∠FEH 是AC 与BD 所成的角, 所以∠FEH＝90°,从而平行四边形EFGH 为矩形,所以EG ＝FH.。

空间几何中的直线与直线的位置关系在空间几何中，直线与直线的位置关系是一个非常重要的概念。

它可以用来描述和确定两条直线之间的相对位置，以及它们是否相交、平行或重合。

在本文中，我们将详细探讨直线与直线的位置关系，并介绍一些常见的情况和性质。

一、直线与直线的基本位置关系在空间几何中，两条直线的位置关系可以分为以下几种情况：1.相交：当两条直线有一个公共点时，我们称它们为相交的直线。

这个公共点可以是直线的一个交点，也可以是直线的一部分。

相交的直线可以在不同的角度相遇，形成各种不同的关系。

2.平行：如果两条直线在平面上永远不相交，我们称它们为平行的直线。

平行的直线具有相同的方向，但它们之间的距离可以不同。

在三维空间中，平行的直线可以位于不同的平面上。

3.重合：如果两条直线的所有点都重合在一起，我们称它们为重合的直线。

重合的直线完全重合，它们没有任何区别。

二、直线与直线的其他位置关系除了基本的相交、平行和重合关系之外，直线与直线还可能存在一些特殊的位置关系，下面我们将介绍一些常见的情况：1.相交于一点的直线：当两条直线有且只有一个交点时，我们称它们为相交于一点的直线。

这个交点是两条直线的唯一公共点。

相交于一点的直线可以形成一个锐角、直角、或钝角。

2.相交于一条线的直线：当两条直线有且只有一条公共直线时，我们称它们为相交于一条线的直线。

这个公共直线是两条直线的一个子集，可以是它们的一部分或完全重合。

3.相交于一平面的直线：如果两条直线和一个平面有且只有一个公共点时，我们称它们为相交于一平面的直线。

这个公共点可以是直线的一个交点，也可以是直线的一部分。

相交于一平面的直线可以在平面上形成各种不同的角度。

4.异面直线：如果两条直线在空间中不在同一个平面上，且永远不相交，则它们被称为异面直线。

异面直线不能形成任何角，因为它们始终保持在不同的平面上。

三、直线与直线位置关系的应用直线与直线的位置关系在实际生活和工作中有着广泛的应用。

空间直线与直线的位置关系教学目标：1. 理解空间直线的概念及其表示方法。

2. 掌握空间直线与直线之间的平行、相交、异面等位置关系。

3. 能够运用空间直线与直线的位置关系解决实际问题。

教学重点：空间直线与直线的位置关系的判定与运用。

教学难点：理解并掌握空间直线与直线之间的位置关系的概念。

教学准备：教材、黑板、多媒体设备。

教学过程：第一章：空间直线的基本概念1.1 空间直线的定义与表示方法1. 直线是无限延伸的、无宽度的几何图形。

2. 空间直线可以用一个小写字母表示，如直线l。

1.2 空间直线的性质1. 直线上的点可以表示为直线上任一点加上一个向量。

2. 直线上的向量可以表示为直线上两个点的坐标差。

第二章：空间直线与直线的平行关系2.1 空间直线与直线的平行定义1. 空间两条直线l1与l2，如果它们在任意一点处的方向向量都相同（或相反），则称l1与l2平行。

2. 记作l1 // l2 或l1 ⊄l2。

2.2 空间直线与直线的平行判定1. 如果两条直线方向向量相同，则它们平行。

2. 如果两条直线方向向量互为相反向量，则它们平行。

第三章：空间直线与直线的相交关系3.1 空间直线与直线的相交定义1. 空间两条直线l1与l2，如果它们在某一平面上有且只有一个交点，则称l1与l2相交。

2. 记作l1 ∩l2 = A，其中A为交点。

3.2 空间直线与直线的相交判定1. 如果两条直线不平行，则它们相交。

2. 如果两条直线平行，则它们不相交。

第四章：空间直线与直线的异面关系4.1 空间直线与直线的异面定义1. 空间两条直线l1与l2，如果它们不在任何平面上有交点，则称l1与l2异面。

2. 记作l1 ⊄l2。

4.2 空间直线与直线的异面判定1. 如果两条直线不在任何平面上有交点，则它们异面。

2. 如果两条直线在某个平面上有交点，则它们不异面。

第五章：空间直线与直线的位置关系的运用5.1 运用空间直线与直线的位置关系解决实际问题1. 判断空间两条直线的位置关系。

空间中直线与直线之间的位置关系
基础
空间中直线的关系:共⾯直线相交直线:同⼀平⾯内,有且只有⼀个公共点平⾏直线:同⼀平⾯内,没有公共点异⾯直线:不在任何⼀个平⾯内,没有公共点
如何判定空间中两直线平⾏?找到⼀个平⾯同时包含这两条直线
证明这两条直线在这个平⾯上平⾏
如何计算计算空间中两条直线的夹⾓?平移两条直线使得它们产⽣交点
取两条直线的交点, 再在两条直线上分别取⼀个点. ⽤这三个构成⼀个三⾓形.通过解三⾓形得到两条直线之间的夹⾓
将这个⾓化成[0,π
2]中的⾓⼀些计算的⽅法和技巧将空间中的问题转化为平⾯上的问题
常⽤平移直线的⽅法: 中位线法, 平⾏四边形法, 补形法⎧⎩⎨共⾯直线{相交直线:同⼀平⾯内,有且只有⼀个公共点平⾏直线:同⼀平⾯内,没有公共点异⾯直线:不在任何⼀个平⾯内,没有公共点
{{[0,]π2。

空间直线与直线的位置关系一、教学目标1. 让学生理解空间直线与直线之间的位置关系，包括平行、相交和异面。

2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。

3. 通过对空间直线与直线位置关系的探讨，提高学生的空间想象能力和思维能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：空间直线与直线的位置关系及其判定。

2. 教学难点：异面直线的概念及其判断。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间直线与直线的位置关系及其判定方法。

2. 运用案例分析法，分析实际问题中的空间直线与直线的位置关系。

3. 利用多媒体辅助教学，展示空间直线与直线的图形，增强学生的空间想象力。

四、教学准备1. 多媒体教学设备。

2. 教案、PPT课件。

3. 相关案例资料。

五、教学过程1. 导入新课通过一个实际问题，引导学生思考空间直线与直线之间的位置关系。

2. 讲解知识点讲解空间直线与直线的位置关系，包括平行、相交和异面。

3. 案例分析分析实际问题中的空间直线与直线的位置关系，巩固所学知识。

4. 课堂练习布置一些有关空间直线与直线位置关系的练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结与拓展总结本节课的主要内容，提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业布置一些有关空间直线与直线位置关系的作业，巩固所学知识。

六、教学内容与活动1. 教学内容：空间直线与直线的位置关系的判定方法。

运用位置关系解决实际问题。

2. 教学活动：通过实例演示和图形展示，让学生理解并掌握空间直线与直线的位置关系的判定方法。

引导学生运用所学知识解决实际问题，如空间中的线段长度计算、角度计算等。

七、教学评估与反馈1. 教学评估：通过课堂练习和课后作业，评估学生对空间直线与直线位置关系的理解和应用能力。

观察学生在课堂讨论和问题解答中的表现，评估其思维能力和解决问题的能力。

2. 教学反馈：根据学生的练习和作业情况，及时给予反馈，指出学生的错误并提供正确的指导。

在课堂讨论中，鼓励学生提出问题和建议，及时解答学生的疑问。

空间直线与直线的位置关系说课稿今天我要给大家讲人教社A版高中数学必修2第二章第一节第二课时的内容：《空间中直线与直线之间的位置关系》。

我将按照教学背景分析、教学目标分析、教学重点和难点分析、教学过程、学生活动说明、教学设计说明六个部分向大家介绍。

一、教学背景分析一）教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系。

它是在平面中两直线的位置关系及平面基本性质的基础上提出来的。

同时，通过画平行线的方式，使两条异面直线移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角及判定空间平行关系时经常要使用的方法。

因此本节课的内容对知识起到了承上启下的作用。

二）学情分析学生在初中已经研究过相交直线和平行直线的概念，对它们已经很熟悉。

但是，从具体实例抽象出异面直线的概念是非常困难的。

三）教学准备学生需要准备两支铅笔、白纸板，教师需要准备长方体模型、多媒体课件、三角板。

二、教学目标的确定1.通过观察实物，并借助长方体模型，理解异面直线的概念，了解异面直线所成的角。

2.经历异面直线的概念的形成过程，进一步发展空间想象能力，体会将空间问题平面化的思想方法。

3.学生在探究过程中体会数学是有用的，体验数学探究的乐趣。

三、教学重点和难点分析教学重点：异面直线的概念。

教学难点：异面直线的概念及异面直线所成角。

四、教学过程一）概念形成问题1：同一平面内直线与直线的位置关系有几种？请问：空间中直线与直线的位置关系有几种？板书：空间中直线与直线的位置关系1）实例引入：教师展示图片，引导学生观察：运河大桥和运河所在直线的位置关系，齿轮的两轴所在直线的位置关系。

让学生发现，直线与直线存在既不平行又不相交的位置关系。

学生可以举出实例或动手操作来直观感知。

2）观察思考：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段CC1所在直线的位置关系如何？（是相交吗？还是平行？）老师：异面直线是指不在同一平面内或在两个平面内但不在同一平面内的两条直线。

空间几何中的直线与直线的位置关系在空间几何中，直线与直线的位置关系是一个重要的研究内容。

直线是一个无限延伸的几何对象，它具有无宽度和无厚度的特点。

直线的位置关系可以通过它们之间的相互作用和相对位置来描述和分析。

本文将从不同角度探讨直线与直线之间的位置关系，并介绍几种常见的位置关系。

1. 平行关系平行是直线与直线最常见的一种位置关系。

当两条直线在同一个平面内，且永远不相交，我们可以称它们为平行直线。

平行直线有如下几个特点：- 两条平行直线的斜率相等。

斜率是指直线的倾斜程度，斜率相等意味着两条直线的斜率相同。

- 两条平行直线在任意位置上的距离是相等的。

这是平行直线的定义之一，即两条直线始终保持同一距离，不会相交。

2. 相交关系相交是直线与直线另一种常见的位置关系。

当两条直线在同一个平面内，且交于一点时，我们可以称它们为相交直线。

相交直线有如下几个特点：- 两条相交直线的斜率不相等。

因为相交直线在交点处会有一个共同的斜率值，并在交点处相遇。

- 两条相交直线将平面分为四个不同的部分，分别是两个内部部分和两个外部部分。

3. 相交关系的特殊情况除了一般的相交关系，我们还可以遇到特殊情况，如垂直关系和重合关系。

- 垂直关系当两条直线相交时，如果它们的交角为直角（即90度），我们称这两条直线为垂直直线。

垂直直线有如下几个特点：- 两条垂直直线的斜率乘积为-1。

即斜率为m1和m2的两条直线互相垂直时，它们的斜率满足方程m1 * m2 = -1。

- 两条垂直直线之间没有任何角度的夹角，因为它们的交角为90度。

- 重合关系当两条直线完全重合时，它们被称为重合直线。

在空间几何中，重合直线具有相同的位置和方向。

通过以上介绍，我们可以看出，在空间几何中，直线与直线之间的位置关系主要有平行关系、相交关系以及相交关系的特殊情况（垂直关系和重合关系）。

了解这些关系有助于我们理解和应用空间几何中的相关概念和定理。

总结起来，直线与直线的位置关系在空间几何中具有很高的实用性和重要性。