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8.已知一次函数y=kx+b中自变量x的取值范围 是-2≤x≤6，相应函数值的范围是-11≤y≤9， 求此函数解析式.
一次函数 与方程、不等式 专项练习
1、画出函数y=2x+1的图像，利用图像求： (1)方程2x+1=0的根； (2)不等式2x+1≥0的解集； (3)当y≤3时，x的取值范围； (4)当-3≤ y≤3时x的取值范围； (5)图像与坐标轴的两个交点间的距离； y y=2x+1 (6)图像与坐标轴围成的三角形的面积. 解：∵ 函数y=2x+1是一次函数 1 A ∴取两点，列表： x 0 -0.5
解(1) ∵ y与2x+1成正比例 ∴ 设 y=k(2x+1) ∵当 x=-1时y=2, ∴2=k(-2+1) 解得 k=-2 ∴y=-2(2x+1)=-4x-2 (2) 当y=10时，有10＝-4x-2,解得x=-3 (3) ∵ y=-4x-2 ∴ x=又∵ 0≤x≤5 1 ∴ 0≤ - 4 y+2) ≤5，解得-22≤y≤-2 ( y是x的正 比例函数 y=kx (k≠0) y与x成正比例, 比例系数为k
C
3
1 A
C
0
-1 B
1
x
D
-3
∴当 -3≤ y≤3时x的取值范围-2≤x≤1.
例1、…利用图像求：(5)图像与坐标轴的两个交点 间的距离；(6)图像与坐标轴围成的三角形的面积.
解(5)直线AB与x轴的交点是 B(-0.5,0),与y轴交于A(0,1), 因此OA=1,OB=0.5 由勾股定理得AB＝ … …
＞ ＞ ＜ ＞ 则k ____0, b____ 0. 则k ____0, b____ 0.
y
y
0
x
0
x
（3）直线经过 一、二、四 第___________象限.
（4）直线经过 二、三、四 第___________象限. ＜ ＜ 则k ____0, b____ 0.
＞ ＜ 则k ____0, b____ 0.
例1…利用图像求：(3)当y≤3时,x的取值范围； (4)当-3≤ y≤3时x的取值范围；
解(3)过点(0,3)作平行x轴的 直线CC′，交直线AB于C, C点坐标为(1,3),直线CC 上点的纵坐标均等于3, 射线CB上点的纵坐标y≤3, 而射线CB上点的横坐标满足 x≤1, ∴ y≤3时x的取值范围x≤1.
2课时
第二十五章
一次函数
回顾与反思
回顾与反思
第二十五章 一次函数
概念、图 像和性质
求 表达式
一次函数与 方程、不等 式的关系
应 用
一、概念 （正比例函数和一次函数的区别和联系） 一般地，如果y=kx+b (k,b是常数k≠0)，那么y 叫做 x 的一次函数.
关于x的一次 二项式 (1)当b=0,而k≠0时,y=kx (k是常数)仍是一次函数， 这时,y叫做x的正比例函数． 正比例函数 (2)当k=0时,y=b（b是常数) 这样的函数叫做常数函数， 它不是一次函数． （了解即可）
(1).....AB=√OA2+OB2＝√32+42＝5
D B -2 -4
x
△AOB周长是OA+OB+AB=3+4+5＝12
S= 1 OA×OB= 1 ×3×4=6
2 2
1 1 (2) 作OD⊥AB于D，则 2 AB×OD＝2 ×OA×OB， 1 ×5×OD＝ 1 ×3×4 ∴OD＝ 12 即 2 2 5
第一课时结束
4.已知直线y=(5m-3)x+(2-n). (1)当m为何值时，y随x的增大而减少； (2)当m,n为何值时,直线与y轴的交点在x 轴 的上方； (3)当m,n为何值时,直线经过第一、三、四象限.
解(1)依题意得5m-3 ＜0 ∴m ＜0.6
∴ m ＜0.6 时，y随x的增大而减少.
m=2
∴y1=2x+2, y2=x+3 ∴y=y1-y2=x-1
(2)若函数y的图像交两坐标轴于A、B两点, ． 将此直线沿A点(x轴上)顺时针旋转90 交y 轴于点C,求直线AC的解析式.
y
直线y=x1
B(0,-1) A(1 ,0)
C 0 A B x
3、设函数y=y1+y2,且 y1=2x+m, y2= 两个函数交点的纵坐标为4. (1)求y关于x的函数关系式；
5.
b c 已知ab ＞0,bc ＜0,那么函数 y= a x+ a
的图像经过那几个象限.
y
负
x
负
0
6.画y= 4 x-4的图像.并解答下列问题： 3 (1)设它的图像x轴,y轴分别交 y 于A、B.求△AOB周长和面积； A 0 -3 (2)求点O到直线的距离.
解:y= 4 x-4的图像是过A (-3,0) 3 和B (0,-4) 的一条直线.如图所示.
三、一次函数y=kx+b性质
(1) 当k＞０时 y随x的增大而增大； (2) 当k＜0时 y随x的增大而减少.
0
x 注：直线y=kx+b (k≠0) 在坐标中的位置，由 k,b决定. y=-3x+3 y=-3x b决定直线与y轴的交 点位置.
y
y
0
x
0
x
（1）直线经过 （2）直线经过 一、二、三 一、三、四 第___________象限. 第___________象限.
1 4 (y+2)
3. 已知y+b和x+a(其中a、b是常数)成正比例 (1)求证：y是x的一次函数 (2)若x=3时, y=5; x=2时y=2，求函数解析式
证明函数是一次函数需说明三点： (2)∵ 当 x=3时, y=5; ①函数可写成y=kx+b的形式； 当 x=2时, y=2 ②k和b均为常数； ③k≠0 ． ∴ 3k+(ka-b)=5 2k+(ka-b)=2 (1)证明: ∵ y＋b与x+a成正比例 ∴y+b=k(x+a) (k为常数且k≠0 ) 解得 k=3 整理得 y=kx+(ka-b) ka-b=-4 ∵k,a,b均为常数，且k≠0 ∴此函数的解析 ∴y是x的一次函数． 式为y=3x-4．
(6)∵△AOB是直角三角形
y
y=2x+1
1 A
0
-1 B 1
x
∴S△AOB= 1 OA×OB= 1
2 4
2、k取何整数时,直线5x+4y=2k+1和直 线2x+3y=k-1的交点在第四象限
解：解方程组… … ∴交点坐标是… … ∵交点在第四象限
∴ … …（含k的不等式组）
∴……
与一次函数 有关的 综合练习
-1 -2 -3 -4 -5
(2)设一次函数式为y=k1x+b(k1≠0)它的图像与直线 和y轴围成的三角形的面积为△OBM与△OB’M，这 两三角形等底同高，面积都为 15 , 底OB和OB’的 2 y 长应为|b| ∴ b ∴ b =5 ∴b=±5 ∴一次函数解析式为y=k1x+5或y=k1x-5 又∵此直线过点(3,4),将x=3,y=4分别 代入解析式中得: 3k1+5=4或3k1-5=4, 解之得, - 1 或k1=3. k1= ３ ∴所求一次函数解析式为 1 - 3 x+5或y=3x-5. y=
2、设函数y=y1-y2,且 y1=2x+m, y2= 两个函数交点的纵坐标为4. (1)求y关于x的函数关系式；
1 x+3 m 1
(2)若函数y的图像交两坐标轴于A、B两点,将此直 线沿A点(x轴上)顺时针旋转90.交y轴于点C,求直线 AC的解析式. 解(1)设(x,4)为函数y1,y2的图像的交点 ∴ 2x+m=4 1 x+3=4 m 1 解得 x=1
一次函数
二、图像的画法
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线.
(2)当b≠0时，通常取(0,b)、( - b,0)两点连线， k 就可以画出一次函数y=kx+b的图像. (3)当b=0时，通常取(0,0)、(1,k) 两点连线, 就可以画出正比例函数y=kx的图象.
y y=3x+3 y=3x
例:直线y=3x-2可当作由直线y=3x向_____平移 _____个单位得到的.
五、一次函数与方程、不等式的关系 3、直线y=kx+b (k≠0)与方程的联系： (1)一条直线y=kx+b (k≠0)就是一个关于x,y的 二元一次方程. (2)求两直线l 1:y=k1x+b1(k1≠0),l 1 :y=k2x+b2 (k2≠0)的交点，就是解关于x,y的方程组
,
y
C′
3
1 A
C
0
-1 B
1
x
-3
例1…利用图像求：(3)当y≤3时,x的取值范围； (4)当-3≤ y≤3时x的取值范围； y ,
(4)过点(0,-3)作平行x轴的直 线交直线AB于D, D点坐标为(-2,-3), 从图像中可见:线段DC上 点的纵坐标满足-3≤ y≤3, 而横坐标满足-2≤x≤1,
0
-1 B 1
1 0 y 连结A(0,1),B(-0.5,)两点,如图直 线AB就是函数y=2x+1的图像
x
例1…利用图像求：(1)方程2x+1=0的根； (2)不等式2x+1≥0的解集；
解：(1)直线AB与x轴的交点 y y=2x+1 是B(-0.5,0),从图像可以看出， 当x=-0.5时,y=0,即2x+1=0 1 A 0 ∴-0.5就是方程2x+1=0的解. -1 B 1 x (2) 从图像上可以看到,射线 BA在x轴的上方,它上面的点 的纵坐标都不小于0,y=2x+1≥0 而射线BA上点的横坐标满足x≥-0.5 ∴不等式2x+1≥0的解集是x≥-0.5.
