一次函数
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一次函数知识点讲解
五、复习要点
一次函数的图象和性质
正比例函数的图象和性质
六、考点讲析1.一次函数的意义及其图象和性质
⑴.一次函数:若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b(k、b为常数,k ≠0)的形式,则称y是
x的一
次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.
⑵.一次函数的图象:一次函数y=kx+b的图象是经过点(0,b),(-,0 )的一条直线,正比例函数y=kx的
图
象是经过原点(0,0)的一条直线,如下表所示.
⑶.一次函数的性质:y=kx+b(k、b为常数,k ≠0)当k >0时,y的值随x的值增大而增大;当k<0
时,y的值随x值的增大而减小.
⑷.直线y=kx+b(k、b为常数,k ≠0)时在坐标平面内的位置与k在的关系.
①直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限);
②直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限);
③直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限);
④直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限);
2.一次函数表达式的求法
⑴.待定系数法:先设出式子中的未知系数,再根据条件列议程或议程组求出未知系数,从而写出这个式子的方法,叫做待定系数法,其中的未知系数也称为待定系数。
⑵.用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤:⑴写出函数表达式的一般形式;⑵把已知条件(自变量与函数的对应值)公共秩序函数表达式中,得到关于待定系数的议程或议程组;⑶解方程(组)求出待定系数的值,从而写出函数的表达式。
⑶.一次函数表达式的求法:确定一次函数表达式常用待定系数法,其中确定正比例函数表达式,只需一对x与y的值,确定一次函数表达式,需要两对x与y的值。
七、典型例题讲析
例1 选择题
(1)下面图像中,不可能是关于x的一次函数的图象的是()
(2)已知:,那么的图像一定不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(3)已知直线与x轴的交点在x轴的正半轴,下列结论:①;②
;③;④,其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(4)正比例函数的图象如图所示,则这个函数的解析式是()
A. B. C. D.
解:(1)由A可得故,∴A可能;
由B可得故,∴B可能;
由C可得此不等式组无解.故C不可能,答案应选C.
(2)由已知得三式相加得:
,
∴,故直线即为.
此直线不经过第四象限,故应选D.
(3)直线与x轴的交点坐标为:
即异号,
∴②、③正确,故应选B.
(4)∵正比例函数经过点(1,-1),
∴,故应选B.
说明:一次函数中的的符号决定着直线的大致位置,题(3)还可以通过
的符号画草图,来判断各个结论的正确性,这类题型历来都是各地中考中的热点题型,同学们一定要熟练掌握.
例2 求下列一次函数的解析式:
(1)图像过点(1,-1)且与直线平行;
(2)图像和直线在y轴上相交于同一点,且过(2,-3)点.
解:(1)把变形为.
∵所求直线与平行,且过点(1,-1).
∴设所求的直线为,将代入,解得.
∴所求一次函数的解析式为.
(2)∵所求的一次函数的图像与直线在y轴上的交点相同.
∴可设所求的直线为.
把代入,求得.
∴所求一次函数的解析式为.
说明:如果两直线平行,则;如果两直线
在y轴上的交点相同,则.掌握以上两点,在求一次函数解析式时,有时很方便.
例3:已知一次函数.求:(1)m为何值时,y随x的增大而减小;(2)m,n满
足什么条件时,函数图像与y轴的交点在x轴下方;(3)m,n分别取何值时,函数图像经过原点;(4)m,n满足什么条件时,函数图像不经过第二象限.
解:(1)∵y随x的增大而减小.
∴,即.
∴当时,y随x的增大而减小.
(2)令即
∴当时,函数图像与y轴交点在x轴下方.
(3)令即
∴当时,函数图像经过原点.
(4)令即
∴当时,函数图像不经过第二象限.
说明:对于一次函数的问题,重要的是掌握它的概念和性质,并能灵活地运用这些性质.例如,在表
达式中,特别要注意这一条件.
例4 已知一次函数的图象经过点及点(1,6),求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.
解:由一次函数的图象经过点及点(1,6),得=2,=4.
∴一次函数的解析式为.
∵=0时,=4,=0时,=-2,
∴一次函数的图象与轴的交点、与轴的交点的坐标分别为(0,4)、(-2,0),
∴
∴.
例5 如图,A、B分别是轴上位于原点左、右两侧的点,点P(2,p)在第一象限,直线PA交轴于点
C(0,2),直线PB交轴于点D,.
(1) 的面积是多少?
(2)求点A的坐标及p的值.
(3)若,求直线BD的函数解析式.
解:过点作轴于点,轴于点.
(1)由点、点C的坐标分别为(2,p)、(0,2)及点P在第一象限内,得,=2,
=2.
∴
(2)注意到
∴,=4.
∴点A的坐标为(-4,0).
又
=3.
(3)由题设,可知.
∴.
∴.
∴点D的坐标为(0,6).
∵直线BD(设其解析式为)过点P(2,3)、点D(0,6),
∴,.
∴直线BD的解析式为.
例6我省某水果种植场今年喜获丰收,据估计,可收获荔枝和芒果共200吨.按合同,每吨荔枝售价为人民币0.3万元,每吨芒果售价为人民币0.5万元.现设销售这两种水果的总收入为人民币y万元,荔枝的产量为x吨(0<x<200).
(1)请写出y关于x的函数关系式;
(2)若估计芒果产量不小于荔枝和芒果总产量的20%,但不大于60%,请求出y值的范围.
解:(1)因为荔枝为x吨,所以芒果为吨.依题意,得
即所求函数关系式为:
.
(2)芒果产量最小值为:
(吨)
此时,(吨);
最大值为:(吨).
此时,(吨).
由函数关系式知,y随x的增大而减少,所以,y的最大值为:
(万元)
最小值为:
(万元).
∴值的范围为68万元84万元.