【新文案】高三数学选择填空难题突破_立体几何中最值问题

高中数学立体几何中的最值问题在高中数学的学习中，立体几何一直是一个重点和难点，而其中的最值问题更是让许多同学感到头疼。

这类问题往往需要我们综合运用空间想象力、几何知识以及数学方法来求解。

接下来，让我们一起深入探讨立体几何中的最值问题。

一、常见类型及解法1、距离最值问题（1）两点间距离最值在立体几何中，求两点间距离的最值，常常需要我们将空间中的两点转化到同一平面内。

例如，在长方体中，求异面直线上两点的最短距离，就需要通过平移将其转化为共面直线，然后利用平面几何中的知识求解。

（2）点到直线距离最值求点到直线的距离最值时，通常要找到点在直线上的投影。

如果直线是某一平面的斜线，那么可以通过作垂线找到投影，再利用勾股定理计算距离。

（3）点到平面距离最值对于点到平面的距离最值，一般可以利用空间向量法。

先求出平面的法向量，然后通过向量的数量积来计算点到平面的距离。

2、面积最值问题（1）三角形面积最值在立体几何中，涉及三角形面积的最值问题，可能需要考虑三角形的边长关系或者角度大小。

例如，已知三角形的两边及其夹角，当夹角为直角时，面积最大。

（2）四边形面积最值对于四边形，如平行四边形，其面积可以表示为底边乘以高。

当底边长度固定时，高取得最大值时面积最大；或者当四边形的对角线相互垂直时，面积等于对角线乘积的一半。

3、体积最值问题（1）柱体体积最值对于柱体，如圆柱、棱柱，其体积等于底面积乘以高。

当底面积不变时，高最大则体积最大；反之，高最小时体积最小。

（2）锥体体积最值锥体体积为三分之一底面积乘以高。

在求解锥体体积最值时，需要关注底面积和高的变化。

二、例题分析例 1：在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别是棱AB、BC 的中点，求点 A1 到直线 EF 的距离。

解：连接 A1C1、C1F、EF，因为 A1C1 平行于 EF，所以点 A1 到直线 EF 的距离等于点 A1 到直线 C1F 的距离。

高三数学选择填空难题突破 解析几何中的范围问题一．方法综述圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围； ③利用基本不等式求出取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定取值范围．二．解题策略类型一 利用题设条件，结合几何特征与性质求范围【例1】【安徽省淮北一中2017—2018第四次月考】若A 点坐标为()1,1，1F 是椭圆225945y x +=的下焦点，点P 是该椭圆上的动点，则1PA PF +的最大值为M ，最小值为N ，则M N -=__________．【答案】【指点迷津】本题求最值的方法采用了几何法，在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷．【举一反三】【湖北省重点高中联考协作体2016-2017期中考试】已知双曲线222:41(0)x C y a a-=>的右顶点到其一条渐近线的距离等于4抛物线2:2E y px=的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线1:4360l x y-+=和2:1l x=-的距离之和的最小值为__________．【答案】2类型二通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围【例2】【2017届云南省云南师范大学附属中学适应性月考（五）】抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．【指点迷津】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键．【举一反三】【河南省漯河市高级中学2018届上学期第三次模拟】已知椭圆是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________．（用表示）【答案】即答案为.类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围【例3】【江西省九江市2017年三模】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C x y =，点P 是C 的准线 l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为,A B ，则AOB ∆面积的最小值为（ ）A ．． 2 C ． ． 4 【答案】B【指点迷津】解决本题的难点在于利用导数的几何意义确定两个切点,A B 的横坐标间的关系，便于确定直线AB 在y 轴上的解截距．【举一反三】【2016-2017学年江苏泰州中学月考】已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），若椭圆的离心率12e ⎡∈⎢⎣⎦，则a 的最大值为___________．【答案】2类型四 利用基本不等式求范围【例4】【江西省南昌市第二中学2017-2018期中考试】如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F且依次交抛物线及圆()22114x y -+=于点,,,A B C D 四点，则4AB CD +的最小值为（ ）A ．172 B ． 152 C ． 132 D ． 112【答案】C【解析】由题意得()1,0F ，即为圆的圆心，准线方程为1x =-． 由抛物线的定义得1A AF x =+，又12AF AB =+，所以12A AB x =+． 同理12D CD x =+． ①当直线l 与x 轴垂直时，则有1A D x x ==， ∴331544222AB CD +=+⨯=． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为()1y k x =-，由()21{4y k x y x=-=消去y 整理得()2222240k x k x k -++=， ∴22241,A D A D k x x x x k +⋅=+=，∴551344222A D AB CD x x +=++≥=，当且仅当4A D x x =时等号成立． 综上可得1342AB CD +≥．选C ． 【指点迷津】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．【举一反三】【吉林省普通中学2018届第二次调研】已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且·6OA OB =（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是（ ）A ．． 6 C ． 132 D ． 【答案】B设点A 在x 轴的上方，则10y >，∵1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭∴()1212111111111331943426224222S S y y y y y y y y ⎛⎫+=⨯⨯-+⨯⨯=++=+≥ ⎪⎝⎭ 当且仅当11922y y =，即132y =时取等号∴124S S +的最小值是6，故选B. 类型五 求解函数值域得范围【例5】【云南省师范大学附属中学2018届12月适应性月考】已知椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ，2l ， 1l 与椭圆C 相交于点A ，B ，2l 与椭圆C 相交于点C ，D ，则下列叙述不正确的是（ ）A ． 存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为7 B ． 存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为487C ． 弦长AB 存在最大值，且最大值为4D ． 弦长AB 不存在最小值 【答案】D()2212134k CD k +=+，特别地当21k=时，247AB CD ==，即487AB CD +=，则B 正确 ；由()222121333434k AB k k+==+++，故当0k =时， AB 取到最大值4，则C 正确；由233334AB k =+>+，但当弦AB 的斜率不存在时， 3AB =，故AB 存在最小值3，故D 选项不对，故选D ．【指点迷津】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．【举一反三】【河南省2018届12月联考】已知过抛物线C ：28y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，若R 为线段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S ，则OS OR的取值范围是（ ）A ． ()0,2B ． [)2,+∞C ． (]0,2 D ． ()2,+∞ 【答案】D类型六 利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围【例6】【福建省2016届高三毕业班总复习形成性测试】设直线l 与抛物线22y px =相交于A ，B 两点，与圆()2225(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ． ()1,3B ． ()1,4C ． ()2,3D ． ()2,4 【答案】D【举一反三】【2017-2018学年黑龙江省黑河市孙吴一中期中考试】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B 2、B 1、A 、F ，延长B 1F 与AB 2交于点P ，若∠B 1PA 为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为_____．【答案】⎫⎪⎪⎝⎭【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a 、b 、c ，（可得∠B 1PA 等于向量2B A 与21F B的夹角，∵A（a ，0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，b ），F 2（c ，0）∴2B A =（a ，﹣b ），21F B =（﹣c ，﹣b ），∵∠B 1PA 为钝角，∴2B A 与21F B 的夹角大于2π，由此可得2B A •21F B ＜0，即﹣ac+b 2＜0，将b 2=a 2﹣c 2代入上式得：a 2﹣ac ﹣c 2＜0，不等式两边都除以a 2，可得1﹣e ﹣e 2＜0，即e 2+e ﹣1＞0，解之得e e ，结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得12-+＜e ＜1，即椭圆离心率的取值范围为（12-+，1）．故答，1）．三．强化训练1．【辽宁省凌源市2018届上学期期末】已知直线:10l x y +-=截圆()222:0x y rr Ω+=>所得的弦长为点,M N 在圆Ω上，且直线()():12130l m x m y m -'++-=过定点P ，若P M P N ⊥，则MN 的取值范围为__________．【答案】所以MN 的取值范围是．2．【福建省莆田市第二十四中学2017-2018期第二次月考】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点,B F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是__________．【答案】12⎤⎥⎣⎦故答案为： 1⎤⎥⎣⎦． 3．【江西省临川第二中学2018届上学期第四次月考】如图所示，点F 是抛物线28y x =的焦点，点,A B 分别在抛物线28y x =及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是__________．【答案】(]8,125．【福建省2016届高三毕业班总复习形成性测试】如图，P 是双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0，xy≠0)上的动点，F 1，F 2是双曲线的焦点，M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且20F M MP ⋅=．某同学用以下方法研究|OM|：延长F 2M 交PF 1于点N ，可知△PNF 2为等腰三角形，且M 为F 2N 的中点，得|OM|=12|NF 1|=…=a．类似地：P 是椭圆22221x y a b+= (a >b >0，xy≠0)上的动点，F 1，F 2是椭圆的焦点，M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则|OM|的取值范围是________．【答案】0＜|OM|＜c ．【解析】延长F 2M 交PF 1于点N ，可知△PNF 2为等腰三角形，且M 为F 2N 的中点， 得|OM|=|NF 1|=（|PF 1|-|PF 2|），∵|PF 1|+|PF 2|=2a ，∴|OM|=a -|PF 2|， ∵a -c≤|PF 2|≤a +c ，∵P、F 1、F 2三点不共线∴0＜a -|PF 2|＜c ，∴0＜|OM|＜c ．6．【贵州省凯里市第一中学2016-2017效果检测】点P 是圆()()22251x y -+-=上的点，点Q 是抛物线24y x =上的点，则点Q 到直线1x =-的距离与到点P 的距离之和的最小值是__________．1【解析】如下图， ()11d PQ QM AQ QF AF =+≥-+≥=1．7．【山东省日照第一中学2017届高三4月考试】过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且4AB =，这样的直线可以作2条，则P 的取值范围是_____________． 【答案】02p <<()()1122,,,A x y B x y ，则21222k p px x k ++=，根据抛物线性质，得()122222pAB AF BF p x x p p k=+=++=+>．则抛物线的焦点弦中通径长最短，则要使满足4AB =的直线可以作2条，则通径24p <，即2p <．那么p 的取值范围是()0,2．故本题应填02p << 8．【2017届上海市奉贤区4月调研测试（二模）】双曲线2213yx -=的左右两焦点分别是12,F F ，若点P 在双曲线上，且12F PF ∠为锐角，则点P 的横坐标的取值范围是________．【答案】,22⎛⎫⎛+∞⋃-∞- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭；9．【河南省豫南六市2016-2017第一次联考】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆：222x y b +=相切于点Q ，若Q 是线段2PF 的中点，e 为C 的离心率，则223a e b+的最小值是______________【解析】 连接1,PF OQ ， 由OQ 为中位线，可得1//OQ PF ，112OQ PF =， 圆222x y b +=，可得OQ b =且12PF b =，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，可得222PF a b =-， 又2OQ PF ⊥，可得12PF PF ⊥，即有()()()2222222b a b c +-=，即为2222222b a ab b c a b +-+==-， 化为23a b =，即23b a =，c ==，即有c e a ==，则2225151932292a a ea ba a ++⎛⎫==+≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当59a a =时，即a =时等号成立，所以223a e b +10．【2016-2017学年湖北省黄冈市黄冈中学上学期期末】如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为__________．【答案】，，所以，应填答案．11．【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018上学期期末】 抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为__________．∴()1a b MN AB +≤=MN AB答案：312．【2017届河南省师范大学附属中学12月月考】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足(1)AP OA λ=-()R λ∈，且72OA OP ⋅= ，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为 ． 【答案】15。

数学高考题型专题讲解44---立体几何中最值问题一．方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.二．解题策略类型一距离最值问题【例1】【河南省焦作市2019届高三三模】在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（）A．B．1 C．D．2【答案】B【解析】以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，所以，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣．当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1．故选：B．【指点迷津】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C 1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可．利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，故选D.【举一反三】1、【江西省吉安市2019届高三上学期期末】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为A．B．C．D．【答案】A【解析】解：根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；则，，底面CDEB，结合图形中的数据，求得，在中，由勾股定理得，同理求得，．故选：A．2、【河南省顶级名校2019届高三第四次联合测评】在侧棱长为的正三棱锥中，侧棱OA，OB，OC两两垂直，现有一小球P在该几何体内，则小球P最大的半径为A．B．C．D．【答案】B【解析】当小球与三个侧面，，及底面都相切时，小球的体积最大此时小球的半径最大，即该小球为正三棱锥的内切球设其半径为由题可知因此。

突破立体几何之《立体几何中的最值问题》 考点动向高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．例１如图６－１，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，1906ACB AC BC CC ∠==== ，，．P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值为 ．解析 考虑将立体几何问题通过图形变换，转化为平面几何问题解答．解 连结1A B ，沿1BC 将1CBC △展开与11A BC △在同一个平面内，如图６－２所示，连1AC ，则1AC 的长度就是所求的最小值．通过计算可得1190AC C ∠=︒，又145BC C ∠=︒故11135AC C ∠=︒，由余弦定理可求得1AC =．例２ 如图６－３，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面A B C D ，DAB ∠为直角，2A B C D A D C D A B ==，∥，E F ，分别为PC CD ，的中点．（I ）试证：CD ⊥平面BEF ；（II ）设PA k AB =，且二面角E BD C --的平面角大于30︒，求k 的取值范围．解析 对（I ），可以借助线面垂直的判定定理，或者借助平面的法向量及直线的方向A1A 11图６－１AC PB1A1C1B图６－２C C图６－３向量解答；对（II ），关键是确定出所求二面角的平面角．解法１（I ）证：由已知DF AB ∥且DAB ∠为直角， 故ABFD 是矩形，从而CD BF ⊥．又PA ⊥底面ABC D ，CD AD ⊥，故由三垂线定理知CD PD ⊥．在PDC △中，E ，F 分别为PC ，CD 的中点，故EF PD ∥，从而CD EF ⊥，由此得CD ⊥面BEF ．（II ）连接AC 交BF 于G ，易知G 为AC 的中点，连接EG ，则在PAC △中易知EG PA ∥．又因PA ⊥底面ABCD ，故EG ⊥底面ABCD ． 在底面ABCD 中，过G 作GH BD ⊥，垂足为H ，连接EH ，由三垂线定理知EH BD ⊥，从而EHG ∠为二面角E BD C --的平面角． 设AB a =，则在PAC△中，有1122EG PA ka ==．以下计算GH ，考虑底面的平面图（如图６－５），连接GD ，因1122BD S BD GH GB DF == △G ， 故GB DFGH BD = ．在ABD △中，因AB a =，2AD a =，得BD =．而1122GB FB AD a ===，DF AB =，从而得GB AB GH BD ===．因此1tan kaEG EHG GH ===．故0k >知EHG ∠是锐角，故要使30EHG >∠，必须tan 3023>=， 解之得，k的取值范围为15k >． 解法２（I ）如图６－６，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，设AB a =，则易知点A ，B ，C ，D ，F 的坐标分别为()000A ，，，()00B a ，，，()220C a a ，，，()020D a ，，，()20F a a ，，．C图６－４图６－５A从而(200)(020)DC a BF a ==，，，，，，0DC BF = ，故DC BF ⊥ ．设PA b =，则(00)P b ，，，而E 为PC 中点，故2b E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，从而02b B E a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，．0DC BE = ，故D C B E⊥．由此得CD BEF ⊥面． （II ）设E 在xOy 平面上的投影为G ，过G 作GH BD ⊥垂足为H ，由三垂线定理知EH BD ⊥．从而EHG ∠为二面角E BD C --的平面角．由PA k AB = 得(00)P ka ，，，2ka E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，(0)G a a ，，．设(0)H x y ，，，则(0)(20)GH x a y a BD a a =--=- ，，，，，，由0GH BD =得()2()0a x a a y a --+-=，即2x y a -=-． ①又因(0)BH x a y =- ，，，且BH 与BD的方向相同，故2x a ya a-=-， 即22x y a +=． ②由①②解得3455x a y a ==，，从而21055GH a a GH ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，，，．tan ka EG EHG GH=== ．由0k >知EHG ∠是锐角，由30EHG ∠>︒，得t a n t a n30E H G >︒，>． 故k的取值范围为k >． [规律小结]立体几何中的最值与范围，需要首先确定最值或范围的主体，确定题目中描述的相关变动的量，根据必要，可确定是利用几何方法解答，还是转化为代数（特别是函数）问题解答．其中的几何方法，往往是进行翻折变换，这时可以想象实际情形，认为几何体是利用硬纸等折图６－６成的，可以动手翻折的，在平时做练习时，不妨多动手试试，培养自己的空间想象能力，在考试时就可以不动手，动脑想就可以了．特别注意变动的过程，抓住变动的起始与终了等特殊环节．考点误区分析（１）这类问题容易成为难点，关键是学生的空间想象能力缺乏，或者对问题的转化方向不明确．因此，要注意常见的转化方向，如化立体几何问题为平面几何问题，或化立体几何问题为代数问题等，根据题目特征进行转化．（２）对题目所描述的情形没有清醒的认识也是造成错解的主要原因，注意产生量的变化的主要原因是什么，相关的数量和位置关系都做怎样的变化，抓住问题的关键，才能顺利解决问题．同步训练１．如图６－７，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ==12BB =， 90=∠ABC ，,E F分别为111,AA C B 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 ．２．有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a ．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________．３．如图６－８，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．［参考答案］１．［解析］分别将111A B C △沿11A B 折到平面11ABB A 上；将111A B C △沿11AC 折到平面11ACC A 上；将11BCC B 沿1BB 折到平面11ABB A 上；将11BCC B 沿1CC 折到平面11ACC AA图６－７1A 1E图６－８上，比较其中EF 长即可．［答案］2２．［解析］可知，全面积最小的是四棱柱面积为22428a +，全面积最小的是三棱柱面积为21248a +，解2212482428a a +>+即可．［答案］3150<<a ． ３．［解析］当CD 所在的直线与平面α平行时，所求射影面积最大，为1122AB CD ⨯=；当CD 所在的直线与平面α垂直时，所求射影面积最小，可求得为4．［答案］1[]42．。

立体几何最值问题立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间图形的性质和数量关系。

在立体几何中，我们经常遇到最值问题，即寻找某个量的最大值或最小值。

本文将介绍立体几何中最值问题的几个方面：1.立体几何位置关系立体几何中的位置关系是指空间中点、线、面之间的相对位置。

解决位置关系问题需要运用空间想象和逻辑推理。

在立体几何中最值问题中，位置关系往往与距离、角度等问题交织在一起，需要综合考虑多种因素。

2.立体几何中的距离立体几何中的距离是指空间中两点之间的直线距离，或者是点与线、线与面之间的距离。

在解决最值问题时，我们需要考虑如何利用距离公式来计算最短路径、最大距离等。

3.立体几何中的体积立体几何中的体积是指空间中封闭图形的体积，或者是两个平面图形之间的距离。

计算体积需要运用体积公式，而解决最大或最小面积问题则需要考虑如何调整图形的形状和大小。

4.立体几何中的最短路径立体几何中的最短路径问题是指寻找空间中两点之间的最短距离。

解决这类问题需要运用距离公式和几何定理，有时还需要借助对称、旋转等技巧。

5.立体几何中的最大/最小面积立体几何中的最大/最小面积问题通常涉及到平面图形在空间中的展开和折叠。

解决这类问题需要运用面积公式和平面几何定理，同时要注意图形的对称性和边长之间的关系。

6.立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题是指空间中两条直线或两个平面之间的夹角。

解决这类问题需要运用角度公式和空间向量，同时要注意图形的对称性和边长之间的关系。

7.立体几何中的轨迹问题立体几何中的轨迹问题是指一个点或一条线在空间中按照一定规律移动所形成的轨迹。

解决这类问题需要运用轨迹方程和运动学原理，同时要注意轨迹的形状和大小随时间的变化情况。

重难点突破：立体几何中最值问题全梳理模块一、题型梳理题型一 空间角的最值问题例题1： 如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，分别为的中点．设异面直线与所成的角为，则的最大值为_________．【解析】AB 为x 轴，AD 为y 轴，AQ 为z 轴建立坐标系，设正方形边长为2．cos θ=令[]()0,2)f m m =∈，()f m '=[]0,2,()0m f m '∈∴<，max 2()(0)5f m f ==，即max 2cos 5θ=ABCD ADPQ M PQ ,E F ,AB BC EM AF θθcos例题2： 正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，1AA =.若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为___________.【分析】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设点(),4,M m n ，由AM MC ⊥得()2224m n -+=，证明11A MB 为1A M 与平面11BCC B 所成角，令22cos ,2sin m n θθ=+=，用三角函数表示出11tan A MB ∠，求解三角函数的最大值得到结果.【解析】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设点(),4,M m n ，则()()(14,0,0,0,4,0,4,4,A C B ()(),0,,4,4,CM m n AM m n ∴==-，又AM MC ⊥，得2240,AM CM m m n ⋅=-+=即()2224m n -+=；又11A B ⊥平面11BCC B ，11A MB ∴∠为1A M 与平面11BCC B 所成角，令[]22cos ,2sin ,0,m n θθθπ=+=∈，11111tan ∴∠==A B A MB B M==，∴当3πθ=时，11tan A MB ∠最大，即1A M 与平面11BCCB 所成角的正切值的最大值为2.故答案为：2【小结】本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.题型二 空间距离的最值问题例题3： 的正三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆的边长为2，D 为棱11B C 的中点，若一只蚂蚁从点A 沿表面爬向点D ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A ．3B ．C ．D ．2【分析】将正三棱柱展开，化平面图形中的距离最短的问题.有三种选择，第一种是从A 点出发，经过BC 再到达点D .第二种是从A 点出发，经过11A B 再到达点D .第三种是从A 点出发，经过1BB ，最后到达点D .分别求出三种情况的距离，选其中较小的值，即为所求最短距离.【解析】如图1，将矩形11BCB C 翻折到与平面ABC 共面的位置11BCC B '',此时，爬行的最短距离为AD '=2，将111A B C △翻折到与平面11ABB A 共面的位置111A B C '，易知11A D AA '=1120D A A '∠=︒，此时爬行的最短距离3AD '=；如图3，将矩形11BCB C 翻折到与平面11ABB A 共面的位置11BC C B ''，此时，爬行的最短距离AD '=综上，小蚂蚁爬行的最短距离为3.故选：A.【小结】本题考查了空间想象能力，和平面几何的计算能力，解决本题的关键是依据“在平面内，两点之间线段最短”.属于中档题.例题4： 点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,4AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是（ ）A B C ．D【分析】过点B ′作B E CD '⊥于点E ，连接,BE AE ，根据折叠性质设BCD B CD α∠=∠'=，用α表示出,,2B E CE ACE πα'∠=-，在AEC ∆中由余弦定理表示出2AE ，再在Rt AEB ∆'中，由勾股定理即可求得'AB 的最小值.【解析】过点B ′作B E CD '⊥于点E ，连接,BE AE ，如下图所示：设BCD B CD α∠=∠'=，则有4sin 4cos 2B E CE ACE πααα'==∠=-，，，在AEC ∆中，由余弦定理得，2222cos 2AE AC CE AC CE πα⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭2916cos 24cos sin ααα=+-，在Rt AEB ∆'中，由勾股定理得，22222916cos 24cos sin 16sin AB AE B E αααα'+'+-+==2512sin 2α=-，∴当4πα=时，AB 'B ． 【小结】本题考查了立体几何中折叠问题的综合应用，余弦定理表示出边长，并由三角函数值域的有界性确定最值，属于中档题.题型三 球体的最值问题例题5： 将半径为r 的5个球放入由一个半径不小于3r 的球面和这个球的内接正四面体的四个面分割成的五个空间内，若此正四面体的棱长为r 的最大值为________.【分析】计算正四面体的外接球半径3R =，内切圆半径为11r =，设1OO 与球面相交于点Q ，如图所示，画出剖面图，33R r =≥，1r r ≤，122O Q r =≥，解得答案.【解析】正四面体的棱长为根据对称性知，A 的投影为三角形BCD 的中心1O ，则123O D DM ==高14AO ==，设外接球半径为R ，故()22211R AO R DO =-+，解得3R =，设正四面体内切球半径为1r ，根据等体积法得到：((2211111sin 604sin 6043232r ⋅︒⨯=⨯︒⨯，故11r =， 根据题意33R r =≥，1r r ≤，1r ≤.设1OO 与球面相交于点Q ，如图所示，画出剖面图，1122O Q R OO r =-=≥，故1r ≤.综上所述：1r ≤，故r 的最大值为1.故答案为：1.【小结】本题考查了四面体的外接球内切球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.例题6： 已知点,,A B C 在半径为2的球面上，满足1AB AC ==，BC =S 是球面上任意一点，则三棱锥S ABC -体积的最大值为（ ）A B ．36+ C ．212+ D ．312+ 【分析】要使S ABC -体积的最大，需S 到平面ABC 距离最大，当S 为ABC 外接圆圆心与球心的延长线与球面的交点时取最大值，求出ABC 外接圆的半径，进而求出球心与ABC 外接圆圆心的距离，即可求解.【解析】设ABC 外接圆圆心为O '，三棱锥S ABC -外接球的球心为O ，1AB AC ==，设D 为BC 中点，连AD ，则AD BC ⊥，且O '在AD 上，12AD ==，设ABC 外接圆半径为r ，222231()()()242BC r AD r r =+-=+-，解得1,||r OO '=∴=要使S ABC -体积的最大，需S 到平面ABC 距离， 即S 为O O '2，所以三棱锥S ABC -体积的最大值为11112)2)3322ABC S ⨯=⨯⨯⨯=【小结】本题考查三棱锥体积的最值、多面体与球的“接”“切”问题，注意应用球的截面性质，属于中档题例题7： 已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于2+，则球O 的体积等于（ ）A ．43πB ．83πC ．163πD ．223π 【分析】由条件可得球心O 为正方形ABCD 的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值. 设球O 的半径为R ,则AB ==，可得SBC ∆为等边三角形，根据条件可得1R =，从而得出答案.【解析】四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内, 所以球心O 为正方形ABCD 的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值.此时四棱锥为正四棱锥.设球O 的半径为R ,则AB ==,SB ==，SBC ∆为等边三角形，则2213sin 6022SBC S SB R ∆==，所以此四棱锥的表面积为22422SBC ABCD S S R ∆+=+=+ 所以1R =.球O 的体积34433V R ππ== ，故选：A【小结】本题考查四棱锥的表面积和外接球的体积问题，属于中档题.例题8： 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A ．12B ．12C D 【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离2d ==为1，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为112⎛--= ⎝⎭. 【小结】本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.题型四 棱锥的最值问题例题9： 如图，三棱锥P ABC -的四个顶点恰是长､宽､高分别是m ，2，n 的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为__________．【分析】由题知，由三棱锥的体积得6mn =, 又三棱锥P ABC -的外接球直径是长方体的体对角线2R . 【解析】P ABC -的外接球直径是长方体的体对角线，∴R =，3334411=3386V R πππ==⨯ 1212=233P ABC ABC mn V S h -∆⋅=⨯⨯= ，6mn ∴=，222=12m n mn ∴+≥，当且仅当=m n =时，等号成立，3311=32463=6V πππ≥⨯，三棱锥外接球体积的最小值为323π，故答案为323π. 【小结】本题考查与球有关外接问题. 与球有关外接问题的解题规律:(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的12. (2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．(3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可．例题10： 有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（ ）A ．2 B．C ．4 D．【分析】先求长方体从同一顶点出发的三条棱的长度，从而可得正四面体模型棱长的最大值.【解析】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，则81224ab ac bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故246a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，若能从该长方体削得一个棱长最长的正四面体模型，则该四面体的顶点必在长方体的面内，过正四面体的顶点作垂直于长方体的棱的垂面切割长方体，含正四面体的几何体必为正方体， 故正四面体的棱长为正方体的面对角线的长，而从长方体切割出一个正方体，使得面对角线的长最大，需以最小棱长2为切割后的正方体的棱长切割才可，故所求的正四面体模型棱长的最大值.故选：B.【小结】本题考查正四面体的外接，注意根据外接的要求确定出顶点在长方体的侧面内，从而得到正四面体的各顶点为某个正方体的顶点，从而得到切割的方法，本题属于中档题.例题11： 某三棱锥的三视图如图，且图中的三个三角形均为直角三角形，则x y +的最大值为________.【分析】根据三视图,利用勾股定理列出等式,再结合基本不等式求最值.【解析】由三视图之间的关系可知2210802x y =--,整理得22128x y +=,故22222()2()2562x x y x y x y y =++=++≤, 解得16x y +,当且仅当8x y ==时等号成立,故答案为:16【小结】本题考查三视图之间的关系应用,考查基本不等式,难度不大.例题12：如图，在三棱锥P ABC -中PA PB PC 、、两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：()(,,)f M m n p =，其中m n p 、、分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PAC -的体积。

3. 立体几何中的最值问题(一)求解立体几何的最值问题主要应用代数中的有关函数知识或不等式有关知识求解。

解题的关键是恰当地引入参变量（一元或二元），建立目标函数，然后由表达式的特点求最值；求曲面上的两点间距离或多面体中的折线的最短长度问题，可考虑展开后转化为平面上两点间的最短距离问题，然后用通常的解三角形的方法加以解决。

一、面积的最值问题1. 【湖南省怀化市2014届高三第二次模拟考试统一检测】在空间中有一棱长为a 的正四面体，其俯视图的面积的最大值为（ ）A .2a B .22a C .24D .24a2. （湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（Ⅱ）数学（理）试题）在半径为R 的球内有一内接圆柱,设该圆柱底面半径为r ,当圆柱的侧面积最大时,rR 为 （ ）A ．14B ．12C ．2D3．（东北三省三校2013年3月高三第一次联合模拟）点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==2AC =，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ）A ．1256π3B ．8πC ．254πD ．2516π4 ．（河北省武邑中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）如图,在三棱锥ABC P -中,PA ⊥底面ABC ,∠ACB = 90,AE ⊥PB 于E ,AF ⊥PC 于F ,若2==AB PA ,∠BPC =θ,则当AEF ∆的面积最大时,θtan 的值为（ ）A ．2B ．21 C ．2 D ．225.(河南省豫东、豫北十所名校2012届高三阶段性测试四理科)已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为16，则该长方体的表面积的最大值为（ ）A ．32B ．36C ．48D ．646. (湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知三棱锥P —ABC 的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，则三棱锥P —ABC 的侧面积的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．21D ．417. 设圆柱轴截面的对角线长为定值，为使圆柱的侧面积最大，则轴截面的对角线与底面所成的角为（ ）A 、6πB 、4πC 、3πD 、125πFEPCBA8. 有一个棱长为a 的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为（ ）A 、2a πB 、22a πC 、23a πD 、24a π9. 已知圆锥的母线长为，l 底面半径为R ，如果过圆锥顶点的轴截面面积的最大值是221l ，则（ ）A 、22≤l R B 、22=l R C 、22≥l R D 、22<l R10、如果过圆锥顶点的面积最大的截面是轴截面，则圆锥的侧面展开图的圆心角的取值范围是（ ）A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π220，B 、()π20，C 、⎥⎦⎤ ⎝⎛π220， D 、(]π20，11. 圆锥的轴截面为正三角形，母线长为8，圆锥的内接圆柱的高为h ，当内接圆柱的侧面积最大时，h 的值是（ ）A 、334 B 、4 C 、33 D 、3212. 在正三棱锥P -ABC 中，AB =8，PC =54，动点ABM PC M ∆∈，则面积的最小值为（ ）A 、524B 、374C 、354D 、5551613. 【2014年呼伦贝尔市高考模拟统一考试(二)】设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四点，且满足,,AB AC AD AC AB AD ⊥⊥⊥，ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++的最大值是 _______ .14【东北三省三校2014届高三第一次联合模拟】 正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为 .答案：1－12 BCCD AABB CCDD 13. 8; 14. 4π3. 立体几何中的最值问题(二)二、体积的最值问题1. （2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A ．1B .C ．2D ．32. （2010全国卷1文理数）（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB =CD =2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）A B C ． D3.【湖北省稳派教育2014届高三上学期强化训练（三）数学（理）试题】在三棱锥ABC P -中，PC PB PA ,,两两垂直，且1,2,3===PC PB PA ，设M 是底面ABC ∆内一点，定义),,()(p n m M f =，其中p n m ,,分别是三棱锥PAB M -，三棱锥PBC M -，三棱锥PCA M -的体积，若),,21()(y x M f =，且81≥+y a x ，则正实数a 的最小值为（ ）A . 1B .2C .22D .44. 【陕西省西工大附中2014届高三第四次适应性训练】已知一个四面体有五条棱长都等于2，则该四面体的体积最大值为( )A ．12B ．1C ．22 D ．25. （北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是（ ） A ．124B ．112 C ．16D ．126.（河南省十所名校2013届高三第三次联考数学（理）试题）四面体ABCD 中,AD 与BC 互相垂直,AD =2BC =4,且AB +BD =AC +CD =2,则四面体ABCD 的体积的最大值是（ ）A ．4B ．2C ．5 D7.(吉林省实验中学2012届高三第六次模拟理科)已知正四棱锥S ABCD-中，SA=，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1 B C．2 D．38.(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知一个四面体有五条棱长都等于2，则该四面体的体积最大值为( )A、12B、22C、1D、29. （2009湖南师大附中第五次月考）如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC，且A1Ｃ与底面成 45°角，AB=BC=2，则该棱柱体积的最小值为 ()A．34B．33C．4 Ｄ． 310.【湖南省衡阳市八中2014届高三上学期第三次月考试卷数学（理）】在三棱锥D-ABC中，已知BC丄AD，BC=2 ,AD=6,AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D一ABC的体积的最大值是__________.11. 【山东省东营市高三4月统一质量检测】已知直角梯形ABCD，AB AD⊥，CD AD⊥，222AB AD CD===，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为．12.【2012高考真题上海理14】如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，2=BC，若cAD2=，且aCDACBDAB2=+=+，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是。

高三数学选择填空难题突破立体几何中最值问题一．方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。

二．解题策略类型一距离最值问题AB=，若线段DE上存在点P 【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2⊥，则边CG长度的最小值为（）使得GP BPA. 4B. D.【答案】D又22002B G a （，，），（，，），所以2,2,,,2,.22ax ax BP x GP x a ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭() 24022ax ax PB PG x x a ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭.显然0x ≠且2x ≠.所以221642a x x =--. 因为()0,2x ∈，所以(]220,1x x -∈.所以当221x x -=， 2a 取得最小值12.所以a的最小值为故选D.【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设CG 长度为a 及点P 的坐标，求BP GP与的坐标，根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式221642a x x =--，利用函数求其最值。

立体几何解析几何最值问题立体几何和解析几何都是数学中的分支领域，它们在研究物体的形状、位置和运动等方面有着不同的方法和应用。

在解析几何中，最值问题是其中一个重要的问题类型，它涉及到找到函数在特定区域内的最大值或最小值。

在立体几何中，我们研究的是空间中的物体，比如点、线、面、体等。

解析几何则是研究平面几何与坐标系统之间的关系，通常使用坐标点来表示点、线、曲线等。

解析几何中最值问题的解决方法通常是通过求导来进行。

我们可以将问题转化为一个函数，然后求该函数的导数，找到导数为0的点，再通过比较得出最大值或最小值。

这种方法在求解平面最值问题时非常有效。

而在立体几何中，最值问题通常涉及到体积、面积或长度等量的最大化或最小化。

解决这类问题可以利用几何性质和定理来进行推导和求解。

比如，要求一个几何体的体积的最大值，我们可以通过寻找几何体的特定形状的体积公式以及几何性质来得出最优解。

具体地说，在立体几何中，最值问题的解决方法可以归纳如下：1.求解体积最大问题：对于已知形状的几何体，我们可以通过推导体积公式，并利用一些方法来求解体积的最大值。

例如，求解一个长方体在给定表面积约束条件下的最大体积，我们可以设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，然后利用约束条件和体积公式写出等式，最后通过求解方程组可得到最优解。

2.求解表面积最小问题：类似地，我们可以通过推导表面积公式，并利用一些方法来求解表面积的最小值。

例如，求解一个包含给定体积的圆柱体的表面积最小值，我们可以设圆柱体的底面半径为r、高度为h，然后通过体积公式将h表示为r的函数，并利用表面积公式得到表面积的表达式，最后求解表面积的最小值。

3.求解长度最短问题：有时候我们需要找到连接两个点的最短路径，可以利用几何性质和定理求解。

例如，求解从一个点到直线的最短距离，我们可以利用点到直线的距离公式，并通过求导的方法求解最短距离的点。

总而言之，立体几何和解析几何最值问题的求解方法有所不同，但都可以通过推导公式、利用几何性质和定理以及求导等方法来解决。

高三数学选择填空难题突破与三角函数相关的最值问题高三数学选择填空难题突破与三角函数相关的最值问题一、方法综述三角函数相关的最值问题一直是高考数学的热点之一。

其中，三角函数的最值问题是三角函数的重要题型之一，主要包括考查三角函数图像和性质的最值问题，以及以三角函数的有界性为主的最值问题。

熟悉三角函数的图像和性质，掌握转化思想是解决这类问题的关键。

二、解题策略1.类型一：与三角函数的奇偶性和对称性相关的最值问题例1】若将函数$f(x)=\sin^2x+\cos^2x$的图像向左平移$\theta$（$\theta>0$）个单位，所得的图像关于$y$轴对称，则$\theta$的最小值是（）。

A。

$\frac{\pi}{3}$。

B。

$\frac{\pi}{5}$。

C。

$\frac{\pi}{4}$。

D。

$\frac{8\pi}{3}$解析】函数$f(x)=\sin^2x+\cos^2x$为常数函数，其图像为一条直线。

将其向左平移$\theta$个单位，得到的图像仍然是一条直线，不可能关于$y$轴对称。

因此，该题没有解。

举一反三】1.【广州市2018届高三第一学期第一次调研】将函数$y=2\sin\left(\frac{x+\pi}{3}\right)+\cos x$的图像向左平移$3$个单位，所得图像对应的函数恰为奇函数，则平移量的最小值为（）。

A。

$\pi$。

B。

$\frac{\pi}{2}$。

C。

$\frac{\pi}{3}$。

D。

$\frac{\pi}{6}$解析】将函数$y=\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$的图像向左平移$3$个单位，得到的图像对应的函数为$y=-\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$，为奇函数。

根据奇函数的对称性可知，平移量$\theta$必须是$\frac{\pi}{2}$的倍数，且$\theta>0$。