配分函数比较

格式：ppt
大小：1.93 MB
文档页数：2

下载文档原格式

(055孙杰)小议物理学中的配分函数

小议物理学中的配分函数孙杰（安庆师范大学物理与电气工程学院安徽安庆 246011）指导老师：江贵生摘要：统计物理学从宏观物质系统是由大量微观粒子组成这一事实出发，认为物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现，而宏观物理量是相对应物理量的统计平均值。

针对微观状态的复杂性，若要将系统的宏观性质表达出来，需要一个媒介物，而配分函数的作用就是充当这一媒介。

本文从配分函数的定义式出发，根据玻尔兹曼的最概然分布表达式得出配分函数的表达式的由来。

在统计物理学中，配分函数具有重要的物理意义，它是一个收敛的无量纲的级数，它是粒子逃离基态程度的量度。

配分函数的物理意义表现在其重要的性质上，这在本文中都有所体现。

最后，本文详细的给出了利用配分函数求得热力学函数以及怎样推导典型分子分布规律的过程。

关键词：系统，配分函数，玻尔兹曼分布引言在汪志诚的《热力学·统计物理》一书中，对配分函数的定义式做了简单的推导，本文在此基础上对配分函数的导出做了详细的说明，并结合其他期刊对配分函数的性质以及应用做了详细的分析。

1 配分函数1.1 配分函数的定义在统计物理学中，玻尔兹曼分布的量子表达式和经典表达式分别是: lea l l βεαω--=和r ll h ea lωβεα∆=-- 那么玻尔兹曼经典统计的配分函数表达式为： ∑∆=-lrl h e Z l0ωβε （1）由于经典理论中的广义坐标q 、广义动量p 和粒子能量),(q p ε都是连续的变量，所以上式得求和应该是积分，表达式为： ⎰⎰⎰--==r rr )q ,p (r h dp ...dp dp dq ...dq dq e ...h d e Z l21210βεβεω （2）下面介绍配分函数是怎样引出的:在推导玻尔兹曼系统粒子的最概然分布中，微观状态数Ω为：∏∏=la lll l !a !N ωΩ （3）玻尔兹曼系统中粒子的最概然分布是使 Ω为极大的分布。

物理化学Ⅱ13统计热力学基础(三)-分子配分函数和正则系综(范康年) 2

一定体积，组成和能量的孤立体系
巨正则系综：开放体系的集合 (grand canonical ensemble)
一定体积，温度和化学势的开放体系
2020/9/2
物理化学II
12
统计热力学基础
分子配分函数和正则系综
正则系综:无数宏观上完全相似的体系的集合,体系与环境只有热量的交换,没有功和物质的交换.
]=e0/kBT q0
i
i
q0
[g0
g e1/kBT 1
g e2/kBT 2
]=e0/kBT q
i
2020/9/2
物理化学II
3
统计热力学基础
分子配分函数和正则系综
例：N 个一维谐振子的分布在10个等间隔能级中
ni
N
eih / kBT eih / kBT
i i h
假定 h = kBT（E）
N q
kBT
2
q T
N ,V
NkBT
2
ln T
q
N
,V
E N dq
q d
2020/9/2
物理化学II
5
统计热力学基础
分子配分函数和正则系综
因为我们假定0 =0，所以一般意义上的内能U为
U U(0) E
T 0 K的内能U0
U
U0
E
U0
N q
kBT
2
q T
N ,V
U0
NkBT
2
ln T
q
N
,V
2. 熵
S（定域）
U kB N ln q T
NkB
ln q NkBT
ln q
T
N ,V

07_统计热力学基础小结

核的总配分函数等于各原子的核配分函数的乘积。 q n ,total = (2s n + 1)(2 s n '+1)(2 s n "+1)... = ∏ (2 s n + 1) i
i
仅在此种近似下，核配分函数才与温度 T 无关，此时有： H n = U n = CV (n) = 0 p = -(∂An/∂V)T,n=0 An = − NkT ln qn ∂A S n = − n = Nk ln q n ∂T V , N Gn = − NkT ln qn = An 分子全配分函数 q = q t ⋅ q r ⋅ qV ⋅ qe ⋅ q n 化学反应体系的公共能量标度按公共能量标度， q ' = ∑ g i e −(ε 0 +εi ) / kT =e −ε 0 / kT ∑ g i e −ε i / kT = e −ε 0 / kT ⋅ q 能量标度的改变只对具能量单位的量 U、H、F、G 有影响，即多一项 U0 例如：对非定位系 A = − kT ln qN + U0 N!
1
二．波尔兹曼能量分布式 N i* = N gi e − εi / kT ∑ gi e−εi /kT
i
最可几分布时 i 能级上的粒子数 e −ε i / kT 称波尔兹曼因子
Ni g e − ε i / kT = i − ε i / kT N ∑ gie
i
i 能级上的粒子数占总粒子数之比，也称能级分布数
同左
同左
CV =
∂ ln q p = NkT ∂V T , N
同左
对来自第一定律的函数（H、U、CV、p）表达式相同对来自第二定律的函数（S、A、G）表达式不同

正则配分函数

正则配分函数
正则配分函数，也称为配分函数或Z函数，是在统计物理学中广泛使
用的一个概念。

它描述了一个系统中所有可能的状态出现的概率，因
此可以用来计算系统的热力学性质。

正则配分函数最初由奥地利物理
学家路德维希·玻尔兹曼在19世纪末提出，并被广泛应用于研究气体、液体和固体等物质状态。

正则配分函数通常用符号Z表示，它是一个关于温度T、粒子数N和
其他宏观参数的函数。

对于一个由N个粒子组成的系统，其正则配分
函数可以表示为：
Z = Σexp(-Ei/kT)
其中Ei是系统处于第i个能级时的能量，k是玻尔兹曼常数，T是温度。

Σ表示对所有可能的能级求和。

正则配分函数可以用来计算许多热力学量，例如内能、熵、自由能等。

例如，系统的内能可以通过下式计算：
U = - (∂lnZ/∂β)
其中β=1/kT为反温度。

在实际应用中，正则配分函数通常需要进行数值计算。

这些计算可以通过使用Monte Carlo模拟或Molecular Dynamics模拟等方法来实现。

此外，在许多情况下，可以使用近似方法来计算正则配分函数和其他热力学量。

总之，正则配分函数是统计物理学中非常重要的一个概念，它提供了一种计算系统热力学性质的方法。

通过对正则配分函数的研究，我们可以更好地理解物质状态和相变等现象，并为材料设计和工程应用提供支持。

§7.4 配分函数

i,t i,r i,v i,e i,n
2014-4-27 13
配分函数的分离
各不同的能量有相应的简并度
简并度的乘积，即：
gi,t , gi ,r , gi ,v , gi ,e , gi ,n 当总能量为 i 时，总简并度等于各种能量
gi gi,t gi,内
A非定位 qN kT ln N ! N qt
N!
kT ln
NkT ln qr NkT ln qv NkT ln qe NkT ln qn
两者仅在平动项上差了
2014-4-27
kT ln N !
16
今后的问题是如何计算各种运动的贡献
配分函数的分离
2014-4-27
1
配分函数的定义
根据Boltzmann最概然分布公式（略去标号 "* " ）
gi e Ni N i / kT gi e
i
i / kT
令分母的求和项为：
i / kT g e q i i
q 称为分子配分函数，或配分函数（partition function) 配分函数是量纲一的量，单位为1 求和项中
qN ln q kT ln NkTV ( )T , N N! V
7
配分函数与热力学函数的关系
(5)焓H
H U pV G TS
2
ln q ln q H非定位 NkT NkTV T V , N V T , N U (6)定容热容CV CV ( )V T
从数学上可以证明，几个独立变数乘积之和等于各自求和的乘积，于是上式可写作： i ,t i ,r q [ gi ,t exp( )] [ gi ,r exp( )] kT kT i i i ,v i ,e [ gi ,v exp( )] [ gi ,e exp( )] kT kT i i i ,n [ gi ,n exp( )] kT i

配分函数

配分函数是统计物理学中经常应用到的概念，统计物理学通过对大量微观粒子统计行为的计算，将微观物理状态与宏观物理量相互联系起来，而配分函数就是联系微观物理状态和宏观物理量的桥梁。

配分函数的定义是：其中ωl为能级εl的简并度；k为玻尔兹曼常数；T为体系的绝对温度。

不难看出配分函数实际是体系所有粒子在各个能级依最可几分布排布时候对体系状态的一个描述。

由配分函数可以方便地求出体系的内能、广义力、熵、自由能等等热力学参量。

内能的表达式：广义力的表达式（方向是外界对系统）：特别地，作为广义力的一种情况，压强的表达式是（注意没负号）：熵的表达式：自由能的表达式：粒子的微观性质如质量、振动频率、转动惯量与热力学系统的U，H，S，A，G等宏观性质将要通过配分函数联系起来。

众所周知，关于热现象的理论分为宏观方面的和微观方面的，这也就是我们经常说的热力学和统计物理学。

统计物理学根据对物质微观结构及微观粒子相互作用的认识，用概率统计的方法，对由大量粒子组成的宏观物体的物理性质及宏观规律作出微观解释的理论物理学，它认为表征系统宏观性质的宏观量是大量微观粒子的统计平均值。

所以，我们完全可以通过对微观世界的研究来探索宏观的物理性质。

然而，我们都知道，微观粒子运动是非常复杂的也是非常多样的，我们不能完全采用宏观的方法和手段来认知微观世界的物理现象，微观世界需要有适合自己的一套理论，微观量研究清楚了，宏观性质也就可以相应地被表示出来。

配分函数就是跨接宏观和微观的桥梁，通过配分函数，我们就能够很容易地实现用复杂的微观量来表示系统的宏观性质了，这也应该是统计物理学的一个非常重要的研究思想和方法。

首先，配分函数体现了粒子在各能级的分配特性。

而且，配分函数体现了粒子在各个能级的分配特性。

其次，配分函数表示了单个粒子所有可能的状态之和。

此外，配分函数是一个状态函数。

配分函数是系统各微观态的总体反映, 系统的宏观态一旦确定, 配分函数的值是唯一的, 所以配分函数是一个状态函数。

配分函数的分析与计算

2014届本科毕业论文配分函数的分析与计算姓名：张坤系别：物理与电气信息学院专业：物理学学号：100314025指导教师：王保玉2014年4月12日目录摘要 (I)0 引言 (1)1 配分函数的分析 (1)1.1 配分函数体现的粒子在各个能级上的分配性质 (1)1.2 配分函数表示的是所有的可能量子态相对的概率之和 (1)1.3 配分函数表示粒子离开基态的程度大小的量度 (2)1.4 配分函数是状态函数 (3)1.5 配分函数属于特性函数 (3)2 配分函数的计算 (4)2.1 统计系综的几率分布与配分函数 (5)2.2 近独立系统的配分函数 (6)2.2.1 近独立系统的经典统计 (6)2.2.2 近独立系统的量子统计 (6)结束语 (9)参考文献 (10)致谢 (10)配分函数的分析与计算摘要配分函数在统计物理中占有非常重要的地位,它是一个非常重要并且也比较难理解的物理量，本文将从配分函数的定义出发，阐述其物理意义，阐释其在统计物理中的重要作用，全面分析配分函数，进而研究了常见的各种系综的配分函数的相关计算，并讨论其应用。

关键词：配分函数；物理意义；作用；系统；系综Analysis and calculation of partition functionAbstractPartition function plays an important role in statistical physics, It is a very important and also difficult to understand the physical quantity. This article will begin with the definition of partition function, expatiate it’s physical meaning and illustrate the important role in statistical physics, then give a comprehensive analysis of the partition function. and then study Calculation of partition function in various common ensemble:Classical statistical and Quantum statistics in Near independent system, finally make a comprehensive study of the partition function.Key word: Partition function The physical significance System Ensemble0 引言热力学的宏观理论和微观理论统称为热现象的基本理论，即热力学和统计物理学。

浅谈统计物理中的配分函数

浅谈统计物理中的配分函数摘要：配分函数在统计物理学中有着重要地位，是研究系统热力学性质和求解系统热力学函数的关键。

本文将从统计物理学的角度对配分函数进行简要探讨，以便进一步熟悉掌握配分函数的使用方法。

1. 引言众所周知，统计物理学研究的对象是组成宏观物质系统的大量微观粒子运动规律, 认为系统的宏观性质是大量微观粒子运动的平均效果, 宏观量是微观量的统计平均值, 通过研究粒子的微观运动状态, 求得整个系统的宏观量。

由于微观粒子运动的多样性和复杂性, 如何将复杂的微观粒子的运动与系统的宏观性质联系起来是统计物理学必须回答的问题, 在这样的情况下，配分函数便应运而生。

2. 配分函数简介在广义系统中，系统的广义配分可以表示为：=∑∑∑eβ(Nμ−PV−E r)Z广NVr便退化为系统的巨正则配分函数:当 V=常数时，广义系统便退化为巨正则系统，Z广Z=∑∑eβ(Nμ−E r)巨Nr当 V=常数、N=常数时，广义系统便退化为正则系统，Z广便退化为系统的巨正则配分函巨数:=∑e−βE rZ正r由此可见，系统的广义配分函数应用范围最广，具有普遍意义，而系统的巨配分函数、正则配分函数是在一定的约束条件下的特例。

3. 几种配分函数3.1 光子统计的配分函数光子气体的粒子数N 是个变量, 在T,V 一定的条件下, 处于热平衡的光子气体具有某个统计平均的粒子N̅, 在这种条件下, 光子气体的配分函数为:则其中∈r是指单个光子第r个能级的能量。

3.1 玻色—爱因斯坦统计的配分函数对于具有对称波函数的全同粒子体系应用玻色—爱因斯坦统计(简称B—E统计)。

系统的配分函数:3.2 费米—狄拉克统计的配分函数对具有反对称波函数的全同粒子体系应用费米—狄拉克统计(简称B—E统计), 系统的配分函数为:Z FD=∑e−β(n1ϵ1+n2ϵ2+⋯⋯)R。

对任一r值有: n r=0,1。

且满足∑n r=Nr,经计算：ln Z FD=αN−∑ln⁡(1−e−α−βϵr)r4. 配分函数的作用配分函数在统计物理中具有极其重要的作用: 配分函数是沟通微观量和宏观量的桥梁, 它把统计物理量和热力学量有机地联接了起来; 配分函数是把“复杂的求和”变成“简捷的微分”的载体。

08-3 分子配分函数和正则系综

物理化学II
18
统计热力学基础
分子配分函数和正则系综
Q是统计热力学中最重要的函数。其物理意义是正则系综
中的体系所有可达微观运动状态出现几率之和。
i 量子态出现的几率为：
1 Ei P ( Ei ) e Q
P ( Ei )
e
i
e
E i / kT E i / kT
2016/11/1
i
2016/11/1
物理化学II
3
统计热力学基础
分子配分函数和正则系综
例：N 个一维谐振子的分布在10个等间隔能级中
ni ei h / kBT N ei h / kBT
假定 h = kBT（E） i e -v i ni /N 0 1
i i h
ni ei ei i N e q 1.581
2 3 0.0498 0.0315 … 10 0.0000 0.0000
1.000 0.3679 0.1353 0.6322 0.2326 0.0855
较集中在几个低能级 E > kBT ，更集中 E < kBT ，更分散（提高温度）
2016/11/1
物理化学II
4
统计热力学基础
分子配分函数和正则系综
物理化学II
10
统计热力学基础
分子配分函数和正则系综
系综理论
统计系综：大量宏观上完全相同的体系的抽象集合
系综中体系的微观状态各不相同
系综的体系具有所有可达的微观运动状态
系综平均值=<体系微观量>，其结果即为体系的热力学量
2016/11/1
物理化学II
11
统计热力学基础
分子配分函数和正则系综

§ 各配分函数的求法及其对热力学函数的贡献

§7.5 各配分函数的求法及其对热力学函数的贡献
原子核配分函数电子配分函数
平动配分函数
单元子理想气体的热力学函数
转动配分函数
振动配分函数
20.03.2020
1
原子核配分函数
q ng n ,0e x p (k n T ,0) g n ,1e x p (k n T ,1)
g n ,0ex p (k n T ,0)[1g g n n ,,0 1ex p (n ,1 k Tn ,0) ]
kTlnkTkTlnp
对1 mol气体分子而言，各项均乘以阿伏伽
德罗常数 L, Lk R, 则1 mol气体化学势为
20.03.2020
19
（5）化学势
L(n,0e,0)RTlngn,0ge,0RTln(2m hk3T)32)
RTlnkTRTlnp
当处于标准态时，p p ，则：
L(n,0e,0)RTlngn,0ge,0RTln(2m hk3T)32)
2sn
1 i
i
由于核自旋配分函数与温度、体积无关，所以
对热力学能、焓和等容热容没有贡献。
但对熵、Helmholtz自由能和Gibbs自由能有相应的贡献。
从化学反应的角度看，一般忽略核自旋配分函
数的贡献，仅在计算规定熵时会计算它的贡献。
20.03.2020
4
电子配分函数
q eg e ,0ex p (k e T ,0)g e ,1ex p (k e T ,1)
设分子作只有一种频率的简谐振动，振
动是非简并的，g i ,v 1 ，其振动能为：
v(v1 2)h v0,1,2,
式中v为振动量子数，当v=0时， v , 0 称为零点振动能

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。