山东省青岛二中2019-2020学年度上学期期中考试高三数学试卷及答案
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数学试题 第1页 共3页青岛二中2019—2020学年第一学期第一学段 期中高三模块考试——(数学)试题答案答案:1~10. DBCAA BCBDA 11. ABC 12.BC 13.BCD14.2a 15.1216.16π 17.e18. 【解析】(Ⅰ)在ABC 中,由余弦定理得2221cos 24AB BC AC ABC AB BC +-∠==-⋅.所以sin ABC ∠=. 因为角D 与角B 互补,所以sin sin ADC ABC ∠=∠=,1cos cos 4ADC ABC ∠=-∠=.又32AD CD ⋅=, 所以3cos 2AD CD AD CD ADC ⋅=⋅⋅∠=,即6AD CD ⋅=,所以1sin 2ACDSAD CD ADC =⋅⋅∠=(Ⅱ)在ACD 中,由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠, 所以2222cos 12AD CD AC AD CD ADC +=+⋅∠=,所以AD CD+=所以ACD 的周长为3AD CD AC ++=.19. 【解析】(Ⅰ)证明:在中,又平面平面ABCD平面平面ABCD=AD ,平面PAD ,又(Ⅱ)如图,作于点O , 则平面ABCD过点O 作于点E ,连接PE ,以O 为坐标原点,以OA,OE,OP 所在直线为x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则由(1)知平面DBC 的一个法向量为 设平面PBC 的法向量为则 取设平面DBC 与平面PBC 所成二面角的平面角为 则20. 【解析】(Ⅰ)等差数列{}n a 的公差设为d ,前n 项和为n S ,且120a a +=,515S =, 可得120a d +=,151015a d +=,解得11a =-,2d =,ABD ∆2,3AD BD BAD π==∠=AD BD ∴⊥PAD ⊥PAD ⋂ABCD BD 面⊂BD ∴⊥PAD PD 面⊂BD PD ∴⊥PO AD⊥PO ⊥OE BC ⊥()()(()1,0,0,,,D B p C ---()()1,23,3,2,0,0BP BC =-=-()0,0,1(),,n x y z =00n BCn BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200x x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩即()0,1,2,n =θcos 5θ=数学试题 第2页 共3页则12(1)23n a n n =-+-=-数列{}n b 满足:12b a =,131(2)n n n n n nb a b a b ++++=, 可得11b =,1(21)(61)n n nnb n b n b ++-=-,即为14n nb b +=,所以数列{}n b 是以1为首项,4为公比的等比数列, 可得14n n b -=(Ⅱ)2111111()(5)log 4(1)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++ 11111114223144n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21. 【解析】(Ⅰ)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1-b 2a 2=34, 4a 2+1b 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=8,b 2=2.故椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(Ⅱ)由题设可知A (-2,-1)、 B (2, 1) 因此直线l 的斜率为12,设直线l的方程为:y =12x +t .由⎩⎪⎨⎪⎧y =12x +t , x 28+y 2 2=1,得x 2+2tx +2t 2-4=0.(Δ>0) 设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2t ,x 1·x 2=2t 2-4 ∴k PD +k PE =y 2-1x 2+2+-y 1-1 -x 1+2=(y 2-1)(2-x 1) -(2+x 2) (y 1+1)(2+x 2) (2-x 1)而(y 2-1)(2-x 1) -(2+x 2) (y 1+1)=2(y 2-y 1)-(x 1 y 2+x 2y 1)+x 1-x 2-4=x 2-x 1-x 1·x 2-t (x 1+x 2) +x 1-x 2-4=-x 1·x 2-t (x 1+x 2)-4 =-2t 2+4+2t 2-4=0即直线PD 、PE 与y 轴围成一个等腰三角形.22. 【解析】(Ⅰ)依题意,(0.0050.0350.028)101a b ++++⨯=, 故0.032a b +=; 而0.016a b -=,联立两式解得,0.024,0.008a b ==;所求平均数为550.05650.24750.35850.28950.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.7515.626.2523.87.676=++++=;(Ⅱ)(i )因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为223333C (1)C p p p -+,一款游戏二测被认定需要改进的概率为1223C (11(1)p p p ⎡⎤---⎣⎦, 所以某款游戏被认定需要改进的概率为:2233122333C (1)C C (1)1(1)p p p p p p ⎡⎤-++---⎣⎦ 23223(1)3(1)1(1)p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+;(ii )设每款游戏的评测费用为X 元,则X 的可能取值为900,1500;123(1500)C (1)P X p p ==-, 123(900)1C (1)P X p p ==--,故1212233()9001C (1)1500C (1)9001800(1)E X p p p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦ ;数学试题 第3页 共3页令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈ ,2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- .当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0,()g p g p '>在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增, 当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,'0g p g p <(),()在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以g p ()的最大值为14327g ⎛⎫=⎪⎝⎭所以实施此方案,最高费用为445060090018001050541612011027-⎛⎫+⨯+⨯⨯=++=> ⎪⎝⎭故所需的最高费用将超过预算.23. 【解析】(Ⅰ)当1b =,则()21xe f x ax x =++,2212()()(1)x ae ax x af x ax x -+'=++,当102a <…时,()0f x '≥,()f x 在[)0,+∞ 上单调递增,()(0)1f x f ≥=; 当12a >时,()f x 在[0,21]a a -上单调递减, 在21[a a-,)+∞上单调递增, 21()()(0)1mina f x f f a-<==,不成立,102a ∴<…即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(Ⅱ)当0b =时,2222(21)(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+'==++, 因为()f x 存在两个极值点,2440a a ->即1a >有条件知1x ,2x 为2210ax ax -+=两根,121212,x x x x a+==, 不妨设12x x <则12012x x <<<<1212122112221212()()11222x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ++=+=+=++,由(1)知当1b =,12a =,0x ≥,211xe ax x ≥++,即2112x e x x ++≥(当且仅当0x =取等号)所以当0x >时,恒有2112xx e x >++ 2212122211111()()11222f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+>+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()12121211422x x x x x x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦16222a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭312a=+ 又()211121122111()()222x x x x x e x e f x f x x e x e -+⎡⎤+==+-⎣⎦ 令()()22xx h x xex e -=+-()01x <<则()()()`210x xh x x e e-=->+ 所以()h x 在()0,1 上递增,()()12h x h e <=,从而12()()f x f x e +< 综上可得:()()12312f x f x e a+<+<。
2019-2020学年山东新高考质量测评联盟10月联考试题高三数学本试卷分第1卷和第I 卷两部分,共4页,满分150分,考试用时120分钟,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答卷前,考生务必用0.5mm 的黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在规定的位置上.2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第I 卷(选择题 共60分)一、选择题:本题共有12道小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={-1,0,1,2},B ={x |x 2log ≤2},则A∩B 等于( ) A. {-1,0,1} B.{0,1,2} C.{1,2} D.{0,1} 2. 命题“ヨx >1,x+e ≥2"的否定形式是( ) A.∀x ≤1,x+e x <2 B.∀x>1,x+e x <2 C.ヨx >1,x+e x <2 D.ヨx ≤1,x+e x <23.总体由编号为01,,4.的5个个体组成,利用下面的随机数表流取6个个体,选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出的第4个个体的编号为( )附:第六行至第九行的随机数表A.3B.19C.38D.204.下列函数中是偶函数,且在区间(0,+∞)上是减函数的是( ) A.y=|x|+1 B.y=21x C y=x+X1 D.y=3-|x|5.在2019年高中学生信息技术测试中,经统计,某校高二学生的测试成绩X ~N(86,σ2),若已知P(80<X ≤86)=0.36,则从该校高二年级任选一名考生,他的测试成绩大于92分的概率为( )A.0.86B.0.64C.0.36D.0.146.已知a 是第一象限的角,且coS a=135,求π)()π(32cos 4-sin +∂∂的值为( ) A.34213 B.-34213 C.14213 D.-142137.设函数f(x)=x 3+ax 2+(a-1)x(a ∈R)为奇函数,则曲线y=2)(x x f 在点(1.0)处的切 线方程为( )A.y=-2x+2B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=x-I 8.在空间中,已知为不同的直线,为不同的平面,则下列判断正确的是9. 中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造.根据史书的记载和考古材料的发现,古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子,一般长为13-14cm,径粗0.2-0.3cm,多用竹子制成,也有用木头、普骨、象牙、金属等材料制成的,大约二百七十几枚为一束,放在一个布袋里,系在腰部随身携带.需要记数和计算的时候,就把它们取出来,放在桌上、炕上或地上都能摆弄.在算筹计数法中,以纵横两种排列方式来表示数字,如图,是利用算筹表示数1-9的一种方法.例如:3可表示为“”,26可表示为“=⊥”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则用这6根算筹能表示的两位数的个数为A.13B.14C.15D.1610、函数图象的大致形状是n m l 、、γβα、、)112()(-+=xe x x f11.在正方形ABCD中,AB=2,E是AB中点,将△ADE和△BCE分别沿着DE、EC翻折,使得A、B两点重合,则所形成的立体图形的外接球的表面积是A. B. C.9π D.4π12、函数,则方程f[f(x)]=1的根的个数是A.7B.5C.3D.1第II卷(非选择题共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知函数,则y=f(x)的图象恒过的定点的坐标为14.若x>2,则函数的最小值为。
青岛二中2019-2020学年第一学期第一学段期中高一模块考试---(数学)试题一、选择题(本大题共13小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的选项中,第1至10题,只有一项是符合题目要求的:第11至13题,有多项符合要求,全部选对得4分,选对但不全得2分,有选错的得0分)1.已知集合A ={﹣1,2,3},B ={x ∈Z|﹣1<x ≤2},则A ∩B =( ) A. {0} B. {2}C. {0,1,3,4}D. ∅【答案】B 【解析】 【分析】根据交集运算进行求解即可 【详解】集合{}0,1,2B =,则{}2A B =故选:B【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题 2.已知实数0<a <1,则下列正确的是( ) A.1a>a >a 2 B. a >a 21a>C. a 21a>>a D.1a>a 2>a 【答案】A 【解析】 【分析】可采用作差法两两作比较【详解】先比较1a 与a 的大小,可用()()21111a a aa a a a+---==,()0,1a ∈,10a ∴->,10a a ->,1a a >;同理()210a a a a -=->,2a a ∴>,21a a a∴>> 故选:A【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小,属于基础题3.已知函数y =f (x )的定义域为[﹣6,1],则函数g (x )()212f x x +=+的定义域是( )A. (﹣∞.﹣2)∪(﹣2,3]B. [﹣11,3]C. [72-,﹣2] D. [72-,﹣2)∪(﹣2,0] 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数对应关系和分式性质求解定义域即可【详解】由题可知,对应的x 应满足[]216,120x x ⎧+∈-⎨+≠⎩,即(]7,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭故选:D【点睛】本题考查具体函数的定义域,属于基础题4.已知f (x )()1221112x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩,,,则f (14)+f (76)=( ) A. 16-B. 116C.56D. 56-【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的特点,先确定每个自变量符合的表达式,再分别代入即可【详解】1112442f ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭,77141116663f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故1711466f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选:B【点睛】本题考查分段函数具体函数值的求法,属于基础题 5.“|x ﹣1|<3”是“x <4“的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先将绝对值不等式化简,再判断充分和必要条件即可【详解】1331324x x x -<⇒-<-<⇒-<<, 244,424x x x x -<<⇒<<-<<¿,故 “|x ﹣1|<3”是“x <4“的充分不必要条件 故选:A【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,充分不必要条件的判断6.已知函数f (x )214mx mx =++的定义域是一切实数,则m 的取值范围是( )A. 0<m <16B. 0<m <4C. 0≤m <16D. m ≥16【答案】C 【解析】 【分析】 由定义域实数对分母进行分类讨论,结合二次函数性质即可求解【详解】由题可知,当0m =时恒成立;当0m ≠时,∆<0,即()21600,16m m m -<⇒∈ 所以016m ≤< 故选:C【点睛】本题考查由函数定义域范围确定参数范围,二次函数图像与判别式的关系,属于基础题7.函数f (x )231x x-=的图像可能是( ) A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】结合函数奇偶性和特殊值法可快速求解是【详解】()231x f x x--=-,()()f x f x -=-,所以函数为奇函数,排除,B C ;当0x +→时,()0f x >,故A 项正确 故选:A【点睛】本题考查函数图像的识别与奇偶性的应用,属于中档题8.函数f (x )=x ) A. 54-B. 12-C. ﹣1D. 0【答案】A 【解析】 【分析】采用换元法代换成关于二次函数的表达式,再求值域即可【详解】令0t t =≥,则21x t =-,则()2215124f t t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭,故函数的最小值在12t =取到,则()min 54f t =-,故选:A【点睛】本题考查换元法求解析式,二次函数在给定区间的最值的求法,属于中档题9.关于x 的不等式x 2﹣(a +1)x +a <0的解集中恰有两个正整数,则实数a 的取值范国是( )A. [2,4)B. [3,4]C. (3,4]D. (3,4)【答案】C 【解析】 【分析】结合因式分解法先求得两根,再结合解集中恰有两正根,可进一步判断a 的取值范围【详解】()()()21010x a x a x a x -++<⇔--<,因解集中恰好有两个正整数,可判断解集为()1,x a ∈,两正整数为2,3,故(]3,4a ∈故选:C【点睛】本题考查由解集分布情况来求解参数范围,一元二次不等式的解法,易错点为在端点处等号取不取,能不能精确判断的问题,要避免此类错误可采取试值法,把端点值代入检验即可,属于中档题10.已知函数f (x )21020x x x x x -+≤⎧=⎨-+>⎩,,,则方程f 2(x )﹣bf (x )=0,b ∈(0,1)根的个数是( ) A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】 可将()()20fx bf x -=转化为()()()0f x f x b -=,再画出分段函数图像,采用数形结合法求解即可【详解】()()()()()200f x bf x f x f x b -=⇒-=,方程的根有两种情况:()0f x =和()f x b =,当2x =时,()0f x =;可令()h x b =,画出分段函数图像,如图:要求()f x b =解的个数,即等价于判断()f x 与()h x 对应的交点的个数,由图可知交点个数有两个; 综上所述,()()20fx bf x -=的根的个数为3个故选:B【点睛】本题考查函数与方程的根的个数求解,数形结合思想的应用,属于中档题 11.下列四组函数中,表示相等函数的一组是( )A. (),()f x x g x ==B2()()f x g x ==C. 21(),()11x f x g x x x -==+-D. ()()f x g x ==【答案】A 【解析】【详解】A 项,的定义域为,的定义域为,且该组函数表达式相等,故A 项正确;B 项,的定义域为,的定义域为,故该组函数定义域不同,非相等函数,故B 项错误; C 项,的定义域为,的定义域为,故该组函数定义域不同,非相等函数,故C 项错误; D 项,的定义域为,的定义域为,故该组函数定义域不同,非相等函数,故D 项错误, 故选A. 12.若关于x一元二次方程()()23x x m --=有实数根12,x x ,且12x x <,则下列结论中错误的是A. 当0m =时,122,3x x ==.B. 14m >-C. 当0m >时,1223x x <<<D. 二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为(2,0)和(3,0) 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数()()23y x x =--的图像,然后对四个选项逐一分析,由此得出错误结论的选项. 【详解】画出二次函数()()23y x x =--的图像如下图所示,当0m =时,122,3x x ==成立,故A 选项结论正确.根据二次函数图像的对称性可知,当 2.5x =时,y 取得最小值为14-.要使()()23y x x m =--=有两个不相等的实数根,则需14m >-,故B 选项结论正确.当0m >时,根据图像可知122,3x x <>,故C 选项结论错误.由()()23x x m --=展开得2560x x m -+-=,根据韦达定理得12125,6x x x x m +=⋅=-.所以()()()2121212y x x x x m x x x x x x m=--+=-+++()()25623x x x x =-+=--,故()()12y x x x x m =--+与x 轴的交点坐标为()()2,0,3,0.【点睛】本小题主要考查二次函数的图像与性质,考查二次函数的零点问题,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.13.已知函数y =f (x )是定义在[0,2]上的增函数,且图像是连续不断的曲线,若f (0)=M ,f (2)=N (M >0,N >0),那么下列四个命题中是真命题的有( ) A. 必存在x ∈[0,2],使得f (x )2M N+=B. 必存在x ∈[0,2],使得f (x)=C. 必存在x ∈[0,2],使得f (x)=D. 必存在x ∈[0,2],使得f (x )211M N=+ 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由题可知函数图像为[]0,2上连续的增函数,再结合每个选项和不等式性质验证合理性即可 【详解】因函数y =f (x )是定义在[0,2]上的增函数,且图像是连续不断的曲线,()()0,2f M f N ==,所以()[],f x M N ∈;对A ,若()2f x M N +=成立,则2M N M N +<<,即22222M M N N+<<,显然成立;对B ,若()f x =成立,则M N <<<,显然成立;对C ,若()f x =M N <<,先证M <22121022M M M N M N <-+⇒-<,即221181180416416N N M M ++⎛⎫⎛⎫--<⇒-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,如9,34M N ==时,不成立,则C 不成立;对D ,若211M NM N<<+成立,则化简后为:2MNM N M N<<+,即222M MN MN MN N +<<+,左侧化简后2M MN <成立,右侧化简后2MN N <成立,故D 成立 故选:ABD【点睛】本题考查函数增减性的应用,不等式性质的应用,属于中档题二、填空题(本大题共4小题,每题4分,共16分.把答案填在答题纸的横线上14.设集合P ={x |y ,Q ={x |x 2<4},则P ∩Q =_____.【答案】[)1,2 【解析】 【分析】先将集合,P Q 中x 取值范围求出,再根据交集定义求解即可【详解】集合P 中应满足:2430x x -+-≥,即[]1,3x ∈,集合Q 中应满足:()2,2x ∈-,则[)1,2P Q =故答案为:[)1,2【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题15.若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是___________. 【答案】5 【解析】【详解】试题分析:1335,0,0,155x y xy x y y x+=>>∴+=,()13133121334345555555x y x y x y y x y x⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当31255x yy x=,即21x y ==时取等号. 考点:基本不等式16.已知偶函数f (x ),且当x ∈[0,+∞)时都有(x 1﹣x 2)[f (x 2)﹣f (x 1)]<0成立,令a =f (﹣5),b =f (12).c =f (﹣2),则a ,b ,c 的大小关系是_____.(用“>”连接) 【答案】a >c >b 【解析】 【分析】先判断函数在[)0,+∞的增减性,再根据偶函数性质画出拟合图像,结合图像判断大小即可 【详解】当x ∈[0,+∞)时都有(x 1﹣x 2)[f (x 2)﹣f (x 1)]<0成立,∴()f x 在x ∈[0,+∞)单调递增,又f (x )为偶函数,画出符合题意的图像(不唯一),如图:由图可知,当自变量距离y 轴距离越近,则函数值越小,即1252<-<-,则()()1252f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭,即a c b >> 故答案为:a c b >>【点睛】本题考查由函数奇偶性与增减性比较大小关系,属于中档题17.若函数f (x )211x x -=+在区间[m ,+∞)上为增函数,则实数m 的取值范围是_____. 【答案】(﹣1,+∞) 【解析】 【分析】可采用分离常数法化简,再根据函数图像平移法则画出大致图像,通过图像判断即可 【详解】()()2132132111x x f x x x x +---===++++,根据函数图像平移法则,可理解为()f x 是由()3h x x-=图像向左平移一个单位,再向上平移两个单位得到,如图:要使函数f (x )211x x -=+在区间[m ,+∞)上为增函数,则需满足()1,m ∈-+∞ 故答案为:()1,-+∞【点睛】本题考查根据函数的增减性求参数范围,属于中档题三、解答題(本大题共6小题,共82分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.已知m ∈R ,命题p :对任意x ∈[0,1],不等式x 2﹣2x ﹣1≥m 2﹣3m 恒成立,命题q :存在x ∈[﹣1,1],使得m ≤2x ﹣1;(Ⅰ)若命题p 为真命题,求m 的取值范围; (Ⅱ)若命題q 为假命题,求m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)1≤m ≤2;(Ⅱ)m >1 【解析】 【分析】(Ⅰ)要使不等式恒成立,则需满足()22min213x x m m --≥-,先求函数()221f x x x =--在[]0,1x ∈的最小值,再解关于m 的不等式即可;(Ⅱ)先求命题q 为真命题时m 的范围,再取相反的范围即可【详解】(Ⅰ)若命题p 为真命题,即x ∈[0,1],不等式x 2﹣2x ﹣1≥m 2﹣3m 恒成立,令f (x )=x 2﹣2x ﹣1=(x ﹣1)2﹣2,则f (x )∈[﹣2,﹣1],即m 2﹣3m ≤﹣2,解得1≤m ≤2; (Ⅱ)若命題q 为真命题,存在x ∈[﹣1,1],使得m ≤2x ﹣1,令g (x )=2x ﹣1, 则g (x )∈[﹣3,1],∴m ≤1, ∴¬q 为:m >1;【点睛】本题考查根据命题的真假求参数范围,双变量不等式的解法,二次函数最值的求法,属于中档题19.已知函数f(x)=的定义域为集合A,不等式mx2﹣5x+2>0的解集是M,且满足2∈M,1∉M的m的取值集合为B,集合C={x|2m﹣1≤x≤m+1}.(1)求A∪B;(2)若A∩C=C,求实数m的取值范围.【答案】(1)A∪B=(]1,3;(2)(]1,2【解析】【分析】根据题意,集合A中自变量应满足3010xx-≥⎧⎨-⎩>;集合B中应满足2x=时,不等式成立,1x=时不等式不成立;(1)根据并集定义求解即可;(2)由A∩C=C可确定C⊆A,再根据C=∅和C≠∅两种具体情况求解即可【详解】(1)f(x)=3010xx-≥⎧⎨-⎩>,所以A=(]1,3,满足2∈M,1∉M,所以48030mm-⎧⎨-≤⎩>,所以B=(2,3],所以A∪B=(]1,3;(2)因为A∩C=C,所以C⊆A,当C=∅时,m>2成立;当C≠∅时,21121113m mmm-≤+⎧⎪-⎨⎪+≤⎩>,解得1<m≤2,综上:m的取值范围为(]1,2.【点睛】本题考查集合的并集运算,由集合的包含关系求解参数取值范围,易错点为忽略集合作为子集时,取到空集的情况,属于中档题 20.已知函数f (x )21mx n x +=+是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且f (12)25=.(Ⅰ)求实数m ,n 的值,并用定义证明f (x )在(﹣1,1)上是增函数;(Ⅱ)设函数g (x )是定义在(﹣1,1)上的偶函数,当x ∈[0,1)时,g (x )=f (x ),求函数g (x )的解析式.【答案】(Ⅰ)m =1,n =0,见解析;(Ⅱ)()22011101xx x g x x x x ⎧≤⎪⎪+=⎨-⎪-⎪+⎩<<< 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据奇函数的性质,f (0)=0,求得n ,再根据f (12)25=,求得m ,再结合增减函数的定义证明即可;(II )可设﹣1<x <0,则0<﹣x <1,将x -代入x ∈[0,1)时对应的表达式,再结合偶函数定义即可求解;【详解】(Ⅰ)因为f (x )21mx nx+=+是定义在(﹣1,1)上的奇函数,所以f (0)=0,即n =0, 又因为f (12)25=,所以221514m=+,解得m =1,所以m =1,n =0,经检验成立;因为﹣1<x 1<x 2<1,()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++, 因﹣1<x 1<x 2<1,所以x 1﹣x 2<0,1﹣x 1x 2>0,所以f (x 1)<f (x 2)所以f (x )在(﹣1,1)上是增函数;(Ⅱ)因为函数g (x )是定义在(﹣1,1)上的偶函数,且当x ∈[0,1)时,g (x )=f (x )21xx =+, 令﹣1<x <0,则0<﹣x <1,g (﹣x )21xx -==+g (x ), 所以()22011101xx xg x x x x⎧≤⎪⎪+=⎨-⎪-⎪+⎩<<<.【点睛】本题考查奇偶函数性质,函数单调性的证明方法,由奇偶性求解函数解析式,属于中档题 21.若二次函数f (x )满足f (x +1)﹣f (x )=4x +6,且f (0)=3. (Ⅰ)求f (x )的解析式;(Ⅱ)设g (x )=f (x )+(a ﹣2)x 2+(2a +2)x ,g (x )在[﹣2,+∞)单调递增,求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)f (x )=2x 2+4x +3;(Ⅱ)[0,3]【解析】 【分析】(I )采用待定系数法即可求解;(II )先将()g x 表达式化简,得()2263g ax x a x +++=(),再对参数a 进行分类讨论,分为一次函数和二次函数两种情况求解,当函数为二次函数时,结合开口和对称轴的关系判断即可【详解】(I )设f (x )=ax 2+bx +c ,(a ≠0),∵f (x +1)﹣f (x )=4x +6,且f (0)=3,∴a (x +1)2+b (x +1)+c ﹣(ax 2+bx +c )=4x +6,且c =3,整理可得,2ax +a +b =4x +6, ∴2a =4,a +b =6,c =3,∴a =2,b =4,c =3,∴f (x )=2x 2+4x +3;(II )由(Ⅰ)可知,g (x )=f (x )+(a ﹣2)x 2+(2a +2)x =ax 2+(2a +6)x +3,当a =0时,g (x )=6x +3在[﹣2,+∞)单调递增,符合题意,当a ≠0时,对称轴x 3a a +=-,由g (x )在[﹣2,+∞)单调递增可得,032a a a⎧⎪+⎨-≤-⎪⎩>,解可得,0<a ≤3,综上可得,a 的范围[0,3].【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式,根据函数在指定区间增减性求参数范围,属于中档题22.设f (x )是定义在R 上的函数,且对任意实数x ,有f (x ﹣2)=x 2﹣3x +3.(Ⅰ)求函数f (x )的解析式;(Ⅱ)若{x |f (x ﹣2)=﹣(a +2)x +3﹣b }={a },求a 和b 的值.【答案】(Ⅰ)f (x )=x 2+x +1;(Ⅱ)1319a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】 【分析】(Ⅰ)采用换元法,令x ﹣2=t ,即可求得解析式;(Ⅱ)先将表达式化简,再结合{x |f (x ﹣2)=﹣(a +2)x +3﹣b }={a }可得()22(1)4010a b a a a b ⎧=--=⎪⎨+-⋅+=⎪⎩,解方程可求a 和b 的值【详解】(Ⅰ)依题意,令x ﹣2=t ,则x =t +2,∴f (t )=(t +2)2﹣3(t +2)+3=t 2+t +1,∴f (x )=x 2+x +1;(Ⅱ)依题意,方程x 2﹣3x +3=﹣(a +2)x +3﹣b 有唯一解a ,即方程x 2+(a ﹣1)x +b =0有唯一解a ,∴()22(1)4010a b a a a b ⎧=--=⎪⎨+-⋅+=⎪⎩,解得1319a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.【点睛】本题考查换元法求解析式,根据集合相等求解参数,一元二次方程有唯一解的等价条件的转化,属于中档题23.已知二次函数g (x )=ax 2+c (a ,c ∈R ),g (1)=1且不等式g (x )≤x 2﹣x +1对一切实数x 恒成立.(Ⅰ)求函数g (x )的解析式;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设函数h (x )=2g (x )﹣2,关于x 的不等式h (x ﹣1)+4h (m )≤h (x m)﹣4m 2h (x ),在x ∈[32,+∞)有解,求实数m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)g (x )21122x =+;(Ⅱ)[,0)∪(0【解析】 【分析】(Ⅰ)先将g (1)=1代入得a +c =1,再由g (x )≤x 2﹣x +1对一切实数x 恒成立转化为 (a ﹣1)x 2+x +c ﹣1≤0对一切实数x 恒成立,分类讨论即可求解;(Ⅱ)先将不等式作变形处理,可得21m -4m 2≥1223x x --. 在x ∈[32,+∞)有解,即等价于21m -4m 2≥(1223x x -- )min ,设y =1223x x--,求得y 的最小值,再解关于m 的不等式即可; 【详解】(Ⅰ)∵二次函数g (x )=ax 2+c (a ,c ∈R ),g (1)=1;∴a +c =1①;又∵不等式g (x )≤x 2﹣x +1对一切实数x 恒成立;∴(a ﹣1)x 2+x +c ﹣1≤0对一切实数x 恒成立;当a ﹣1=0时,x +c ﹣1≤0不恒成立,∴a =1不合题意,舍去;当a ﹣1≠0时,要使得(a ﹣1)x 2+x +c ﹣1≤0对一切实数x 恒成立,需要满足:()()1014110a a c -⎧⎨=---≤⎩<;②,∴由①②解得a 12=,c 12=;故函数g (x )的解析式为:g (x )21122x =+. (Ⅱ)把g (x )21122x =+代入函数h (x )=2g (x )﹣2;得h (x )=x 2﹣1; 则关于x 的不等式h (x ﹣1)+4h (m )≤h (xm )﹣4m 2h (x )在x ∈[32,+∞)有解, 得,21m -4m 2≥1223x x --. 在x ∈[32,+∞)有解; 只要使得21m -4m 2≥(1223x x --)min ;设y =1223x x --,x ∈[32,+∞), 则y =﹣3(113x +)243+,(0,23],∴当123x =时,y min 53=-;所以,21m -4m 253≥-, 解得0<m 234≤;∴≤m <0或0<m ≤ 故实数m 的取值范围为[,0)∪(0. 【点睛】本题考查二次函数解析式的求法,二次函数恒成立问题的转化,双变量问题求解参数范围,解题关键在于能对恒成立和能成立问题作等价转化,属于难题附加题24.响应国家提出全民健身运动,青岛二中甲、乙两位学生在周末进行体育锻炼.他们同时从学校到五四广场,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度相同,跑步速度也相同.试分析比较两个人谁先到达五四广场?(写出必要的分析步骤) 【答案】乙先到达五四广场【解析】 【分析】根据题意,先设甲用时间为T ,乙用时间为2t ,步行速度为a ,跑步速度为b ,距离为s ,再分别表示出甲乙所用时间的关系式,采用作差法进一步判断大小即可【详解】设甲用时间为T ,乙用时间为2t ,步行速度为a ,跑步速度为b ,距离为s ,则T222s s sa sb a b ab+=+=, ta +tb =s ,∴2t 2sa b=+, ∴T ﹣2t 22sa sb s ab a b +=-=+s ×(22a b ab a b+-+)=s •()2()2a b ab a b -+>0, ∴乙先到达五四广场.【点睛】本题考查不等关系在生活中的实际应用,学会表达式,有效表达出时间关于速度的关系式是解题的关键,作差法常用于比较两个数的大小关系,属于中档题。
青岛二中2019—2020学年第一学期第一学段 期中高三模块考试——(数学)试题答案答案:1~10. DBCAA BCBDA 11. ABC 12.BC 13.BCD14.2a 15.1216.16π 17.e18. 【解析】(Ⅰ)在ABC 中,由余弦定理得2221cos 24AB BC AC ABC AB BC +-∠==-⋅.所以sin ABC ∠=. 因为角D 与角B 互补,所以sin sin ADC ABC ∠=∠=1cos cos 4ADC ABC ∠=-∠=.又32AD CD ⋅=, 所以3cos 2AD CD AD CD ADC ⋅=⋅⋅∠=,即6AD CD ⋅=,所以1sin 2ACDSAD CD ADC =⋅⋅∠=. (Ⅱ)在ACD 中,由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠, 所以2222cos 12AD CD AC AD CD ADC +=+⋅∠=, 所以ADCD +=所以ACD 的周长为3AD CD AC ++=.19. 【解析】(Ⅰ)证明:在中,又平面平面ABCD平面平面ABCD=AD,平面PAD,又(Ⅱ)如图,作于点O, 则平面ABCD过点O 作于点E,连接PE,以O 为坐标原点,以OA,OE,OP 所在直线为x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则由(1)知平面DBC 的一个法向量为 设平面PBC 的法向量为则取设平面DBC 与平面PBC 所成二面角的平面角为 则20. 【解析】(Ⅰ)等差数列{}n a 的公差设为d ,前n 项和为n S ,且120a a +=,515S =, 可得120a d +=,151015a d +=,解得11a =-,2d =,ABD ∆2,3AD BD BAD π==∠=AD BD ∴⊥PAD ⊥PAD ⋂ABCD BD 面⊂BD ∴⊥PAD PD 面⊂BD PD ∴⊥PO AD ⊥PO ⊥OE BC ⊥()()(()1,0,0,,,D B p C ---()()1,23,3,2,0,0BP BC =-=-()0,0,1(),,n x y z =00n BC nBP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200x x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩即()0,1,2,n =θcos 5θ=则12(1)23n a n n =-+-=-数列{}n b 满足:12b a =,131(2)n n n n n nb a b a b ++++=, 可得11b =,1(21)(61)n n nnb n b n b ++-=-,即为14n nb b +=,所以数列{}n b 是以1为首项,4为公比的等比数列, 可得14n n b -=(Ⅱ)2111111()(5)log 4(1)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++ 11111114223144n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21. 【解析】(Ⅰ)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1-b 2a 2=34, 4a 2+1b 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=8,b 2=2.故椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(Ⅱ)由题设可知A (-2,-1)、 B (2, 1) 因此直线l 的斜率为12,设直线l 的方程为:y =12x +t .由⎩⎪⎨⎪⎧y =12x +t , x 28+y 2 2=1,得x 2+2tx +2t 2-4=0.(Δ>0) 设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2t ,x 1·x 2=2t 2-4 ∴k PD +k PE =y 2-1x 2+2+-y 1-1 -x 1+2=(y 2-1)(2-x 1) -(2+x 2) (y 1+1)(2+x 2) (2-x 1)而(y 2-1)(2-x 1) -(2+x 2) (y 1+1)=2(y 2-y 1)-(x 1 y 2+x 2y 1)+x 1-x 2-4=x 2-x 1-x 1·x 2-t (x 1+x 2) +x 1-x 2-4=-x 1·x 2-t (x 1+x 2)-4 =-2t 2+4+2t 2-4=0即直线PD 、PE 与y 轴围成一个等腰三角形.22. 【解析】(Ⅰ)依题意,(0.0050.0350.028)101a b ++++⨯=, 故0.032a b +=; 而0.016a b -=,联立两式解得,0.024,0.008a b ==;所求平均数为550.05650.24750.35850.28950.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.7515.626.2523.87.676=++++=;(Ⅱ)(i )因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为223333C (1)C p p p -+,一款游戏二测被认定需要改进的概率为1223C (11(1)p p p ⎡⎤---⎣⎦, 所以某款游戏被认定需要改进的概率为:2233122333C (1)C C (1)1(1)p p p p p p ⎡⎤-++---⎣⎦ 23223(1)3(1)1(1)p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+;(ii )设每款游戏的评测费用为X 元,则X 的可能取值为900,1500;123(1500)C (1)P X p p ==-, 123(900)1C (1)P X p p ==--,故1212233()9001C (1)1500C (1)9001800(1)E X p p p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦ ;令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈ ,2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- .当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0,()g p g p '>在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,'0g p g p <(),()在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以g p ()的最大值为14327g ⎛⎫=⎪⎝⎭所以实施此方案,最高费用为445060090018001050541612011027-⎛⎫+⨯+⨯⨯=++=> ⎪⎝⎭故所需的最高费用将超过预算.23. 【解析】(Ⅰ)当1b =,则()21xe f x ax x =++,2212()()(1)x ae ax x af x ax x -+'=++, 当102a <…时,()0f x '≥,()f x 在[)0,+∞ 上单调递增,()(0)1f x f ≥=; 当12a >时,()f x 在[0,21]a a -上单调递减, 在21[a a-,)+∞上单调递增, 21()()(0)1mina f x f f a-<==,不成立,102a ∴<…即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(Ⅱ)当0b =时,2222(21)(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+'==++, 因为()f x 存在两个极值点,2440a a ->即1a > 有条件知1x ,2x 为2210ax ax -+=两根,121212,x x x x a+==, 不妨设12x x <则12012x x <<<<1212122112221212()()11222x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ++=+=+=++,由(1)知当1b =,12a =,0x ≥,211xe ax x ≥++,即2112x e x x ++≥(当且仅当0x =取等号)所以当0x >时,恒有2112xx e x >++ 2212122211111()()11222f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+>+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()12121211422x x x x x x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦16222a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭312a=+ 又()211121122111()()222x x x x x e x e f x f x x e x e -+⎡⎤+==+-⎣⎦ 令()()22xxh x xex e -=+-()01x <<则()()()`210x xh x x e e-=->+ 所以()h x 在()0,1 上递增,()()12h x h e <=,从而12()()f x f x e +<综上可得:()()12312f x f x e a+<+<。
数学试题 第1页 共7页青岛二中2019—2020学年第一学期第一学段期中高三模块考试——(数学)试题命题人:高三数学备课组 审核人:高三数学备课组满分:150分 时间:120分钟一、选择题(本大题共13小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的选项中,第1至10题,只有一项是符合题目要求的;第11至13题,有多项符合要求,全部选对得4分,选对但不全得2分,有选错的得0分)1. 设集合2{1213},{log }A x x B x y x =-≤+≤==,则=A B I ( ) A.B.C. D.2.若复数z 满足()1234i z i +=-,则z 的实部为( ) A.1B. 1-C.2D. 2-3. 已知是等差数列的前n 项和,,则2a =( ) A.5B.6C.7D.84. 命题为“”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.B.C. D.4a ≤5.函数(其中e 为自然对数的底数)的图像大致为( )6. 若非零向量,a b r r满足=a b r r ,向量2+a b r r 与b r垂直,则a b r r 与的夹角为( )A .B .C .D .7.如图,双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A ,右焦点为F ,点B 在双曲线的右支上,矩形OFBD 与矩形AEGF 相似,且矩形OFBD 与矩形AEGF 的面积之比为 2:1 ,则该双曲线的离心率为( ) B.1+ C.2+D.8. 已知定义在R 上的函数满足,且当时,,则()2020f = ( )A. B. 0 C. 1 D.2 9.已知函数的图像的一条对称轴为直线,且,则的最小值为( )A. B. C.D.10.记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和,若1266363780S S S S S S ---⋅-=,且正整数,m n 满足31252m n a a a a =, 则18m n+的最小值是( ) A .53 B .95 C .157D .7511.(多选题)如图,设的内角所对的边分别为,cos cos )2sin a C c A b B +=,且3C A Bπ∠= .若点是外一点,1,3DC DA == ,下列说法中,正确的命题是( )A .的内角3B π=B .的内角3C π=[0,1][1,0]-[1,0)-(0,1]n S {}n a 3778,35a a S +==[]21,2,20x x a ∀∈-≥1a ≤2a ≤3a ≤()()11x xe f x x e +=-1501206030()f x ()()()(),11f x f x f x f x -=+=-[]0,1x ∈()()2log 1f x x =+1-()sin f x a x x =-56x π=12()()4f x f x ⋅=-12x x +3π-03π23πABC ∆,,A B C ,,a b c D ABC ∆ABC ∆ABC ∆数学试题 第2页 共7页C .四边形面积的最大值为+32D .四边形面积无最大值12. (多选题)下列说法中,正确的命题是( )A .已知随机变量ξ服从正态分布)2(2δ,N ,()40.84P ξ<=,则()24P ξ<<=0.16.B .以模型kxy ce =去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设ln z y =,将其变换后得到线性方程0.34z x =+,则,c k 的值分别是4e 和0.3 .C .已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为y a bx =+,若2b =,1,3x y ==,则1a =.D .若样本数据1x ,2x ,…,10x 的方差为2,则数据121x -,221x -,…,1021x -的方差为16.13. (多选题) 设函数,若有4个零点,则的可能取值有( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上) 14. 若o cos 27a = ,)o o cos72cos18+的值为_______.(用a 表示)15.在中,,其外接圆圆心满足0OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r ,则AB AC ⋅uu u r uuu r= .16.已知三棱锥的各顶点都在同一球面上,且平面,若该棱锥的体积为1 ,,则此球的表面积=_________.17.已知函数在上的图像是连续不断的一条曲线,并且关于原点对称,其导函数为,当时,有不等式成立,若对,不等式222()()0x x e f e a x f ax -≥ 恒成立,则正数的最大值为_______.三、解答题(本大题共6小题,共82分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.)18.(本小题满分12分) 如图,在平面四边形ABCD中,1=AB,1=BC ,3CA =,且B ∠与D ∠互补,32⋅=uuu r uu u r AD CD .(Ⅰ)求ACD V 的面积;(Ⅱ)求ACD V 的周长.19.(本小题满分14分)如图,四棱锥的一个侧面PAD 为等边三角形,且平面平面ABCD ,四边形ABCD 是平行四边形,.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.20.(本小题满分14分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且120a a +=,515S =,数列{}n b 满足:12b a =,且131(2)n n n n n nb a b a b ++++= .(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)若211(+5)log n n n c a b +=⋅,求数列{}n c 的前n 项和n T .ABCD ABCD 2()ln (0)2ax f x ax a e=->()f x a ABC △1BC =O P ABC -PA ⊥ABC 2,1,60AB AC BAC ==∠=()y f x =R ()f x '0x >()()22x f x xf x '>-x R ∀∈a P ABCD -PAD⊥2,3AD BD BAD π==∠=BD PD ⊥P BC D --数学试题 第3页 共7页21. (本小题满分14分)已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2,(2,1)P -是椭圆1C 上一点.(Ⅰ)求椭圆1C 的方程;(Ⅱ)设A B Q 、、是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点,平行于AB 的直线l 与椭圆1C 相交于不同于P Q 、的两点C D 、,点C 关于原点的对称点为E . 证明:直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形.22. (本小题满分14分)某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测,为了了解玩家对游戏的体验感,研究人员随机调查了300名玩家,对他们的游戏体验感进行测评,并将所得数据统计如图所示,其中0.016a b -=.(Ⅰ)求这300名玩家测评分数的平均数;(Ⅱ)由于该公司近年来生产的游戏体验感较差,公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测,如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进,则公司将回收该款游戏进行改进;若3人中仅1人认为游戏需要改进,则公司将另外聘请2位专家二测,二测时,2人中至少有1人认为游戏需要改进的话,公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为()01p p <<,且每款游戏之间改进与否相互独立. (i )对该公司的任意一款游戏进行检测,求该款游戏需要改进的概率;(ii )每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人,今年所有游戏的研发总费用为50万元,现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测,假设公司的预算为110万元,判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算,并通过计算说明.(以聘请专家费用的期望为决策依据)23.(本小题满分14分)已知函数()21xe f x ax bx =++,其中0a >,b R ∈,e 为自然对数的底数.(Ⅰ)若1b =,且当0x ≥时,()1f x ≥总成立,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)若0b =,且()f x 存在两个极值点1x ,2x ,求证:()()12312f x f x e a+<+<.青岛二中2019—2020学年第一学期第一学段 期中高三模块考试——(数学)试题答案答案:1~10. DBCAA BCBDA 11. ABC 12.BC 13.BCD数学试题 第4页 共7页14.2a 15.1216.16π 17.e18. 【解析】(Ⅰ)在ABC 中,由余弦定理得2221cos 24AB BC AC ABC AB BC +-∠==-⋅.所以sin ABC ∠=. 因为角D 与角B 互补,所以sin sin 4ADC ABC ∠=∠=,1cos cos 4ADC ABC ∠=-∠=.又32AD CD ⋅=, 所以3cos 2AD CD AD CD ADC ⋅=⋅⋅∠=,即6AD CD ⋅=,所以1sin 2ACDSAD CD ADC =⋅⋅∠=(Ⅱ)在ACD 中,由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠, 所以2222cos 12AD CD AC AD CD ADC +=+⋅∠=, 所以AD CD +=所以ACD 的周长为3AD CD AC ++=.19. 【解析】(Ⅰ)证明:在中,又平面平面ABCD平面平面ABCD=AD ,平面PAD ,又(Ⅱ)如图,作于点O , 则平面ABCD过点O 作于点E ,连接PE ,以O 为坐标原点,以OA,OE,OP 所在直线为x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则由(1)知平面DBC 的一个法向量为 设平面PBC 的法向量为则取设平面DBC 与平面PBC 所成二面角的平面角为 则20. 【解析】(Ⅰ)等差数列{}n a 的公差设为d ,前n 项和为n S ,且120a a +=,515S =, 可得120a d +=,151015a d +=,解得11a =-,2d =, 则12(1)23n a n n =-+-=-数列{}n b 满足:12b a =,131(2)n n n n n nb a b a b ++++=, 可得11b =,1(21)(61)n n nnb n b n b ++-=-,即为14n nb b +=,ABD ∆2,3AD BD BAD π==∠=AD BD ∴⊥PAD ⊥PAD ⋂ABCD BD 面⊂BD ∴⊥PAD PD 面⊂BD PD ∴⊥PO AD ⊥PO ⊥OE BC ⊥()()(()1,0,0,,,D B p C ---()()1,23,3,2,0,0BP BC =-=-()0,0,1(),,n x y z =00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200x x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩即()0,1,2,n =θcos θ=数学试题 第5页 共7页所以数列{}n b 是以1为首项,4为公比的等比数列, 可得14n n b -=(Ⅱ)2111111()(5)log 4(1)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++11111114223144n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21. 【解析】(Ⅰ)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1-b 2a 2=34, 4a 2+1b 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=8,b 2=2.故椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(Ⅱ)由题设可知A (-2,-1)、 B (2, 1) 因此直线l 的斜率为12,设直线l的方程为:y =12x +t .由⎩⎪⎨⎪⎧y =12x +t , x 28+y 2 2=1,得x 2+2tx +2t 2-4=0.(Δ>0) 设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2t ,x 1·x 2=2t 2-4 ∴k PD +k PE =y 2-1x 2+2+-y 1-1 -x 1+2=(y 2-1)(2-x 1) -(2+x 2) (y 1+1)(2+x 2) (2-x 1)而(y 2-1)(2-x 1) -(2+x 2) (y 1+1)=2(y 2-y 1)-(x 1 y 2+x 2y 1)+x 1-x 2-4=x 2-x 1-x 1·x 2-t (x 1+x 2) +x 1-x 2-4=-x 1·x 2-t (x 1+x 2)-4 =-2t 2+4+2t 2-4=0即直线PD 、PE 与y 轴围成一个等腰三角形.22. 【解析】(Ⅰ)依题意,(0.0050.0350.028)101a b ++++⨯=, 故0.032a b +=; 而0.016a b -=,联立两式解得,0.024,0.008a b ==;所求平均数为550.05650.24750.35850.28950.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.7515.626.2523.87.676=++++=;(Ⅱ)(i )因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为223333C (1)C p p p -+,一款游戏二测被认定需要改进的概率为1223C (11(1)p p p ⎡⎤---⎣⎦, 所以某款游戏被认定需要改进的概率为:2233122333C (1)C C (1)1(1)p p p p p p ⎡⎤-++---⎣⎦ 23223(1)3(1)1(1)p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+;(ii )设每款游戏的评测费用为X 元,则X 的可能取值为900,1500;123(1500)C (1)P X p p ==-, 123(900)1C (1)P X p p ==--,故1212233()9001C (1)1500C (1)9001800(1)E X p p p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦ ; 令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈ ,2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- .数学试题 第6页 共7页当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0,()g p g p '>在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,'0g p g p <(),()在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以g p ()的最大值为14327g ⎛⎫=⎪⎝⎭所以实施此方案,最高费用为445060090018001050541612011027-⎛⎫+⨯+⨯⨯=++=> ⎪⎝⎭故所需的最高费用将超过预算.23. 【解析】(Ⅰ)当1b =,则()21xe f x ax x =++,2212()()(1)x ae ax x af x ax x -+'=++,当102a <…时,()0f x '≥,()f x 在[)0,+∞ 上单调递增,()(0)1f x f ≥=; 当12a >时,()f x 在[0,21]a a -上单调递减, 在21[a a-,)+∞上单调递增, 21()()(0)1mina f x f f a-<==,不成立,102a ∴<…即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(Ⅱ)当0b =时,2222(21)(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+'==++, 因为()f x 存在两个极值点,2440a a ->即1a >有条件知1x ,2x 为2210ax ax -+=两根,121212,x x x x a+==, 不妨设12x x <则12012x x <<<<1212122112221212()()11222x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ++=+=+=++,由(1)知当1b =,12a =,0x ≥,211xe ax x ≥++,即2112x e x x ++≥(当且仅当0x =取等号)所以当0x >时,恒有2112xx e x >++ 2212122211111()()11222f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+>+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12121211422x x x x x x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦16222a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭312a=+ 又()211121122111()()222x x x x x e x e f x f x x e x e -+⎡⎤+==+-⎣⎦ 令()()22xxh x xex e -=+-()01x <<则()()()`210x xh x x e e-=->+ 所以()h x 在()0,1 上递增,()()12h x h e <=,从而12()()f x f x e +< 综上可得:()()12312f x f x e a+<+<数学试题第7页共7页。
2019-2020年高三上学期期中数学试卷含解析(II)一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={2,5,8},B={1,3,5,7},则(∁U A)∩B 等于( )A.{5} B.{1,3,7}C.{2,8} D.{1,3,4,5,6,7,8}2.函数的定义域是( )A.{x|x>6} B.{x|﹣3<x<6} C.{x|x>﹣3} D.{x|﹣3≤x<6}3.已知p:2+2=5,q:3≥2,则下列判断中,错误的是( )A.p或q为真,非q为假B.p或q为真,非p为真C.p且q为假,非p为假D.p且q为假,p或q为真4.下列函数中,既是偶函数又在(﹣∞,0)上单调递增的是( )A.y=x3B.y=cosx C.y=ln|x| D.y=5.对命题“∃x0∈R,x02﹣2x0+4≤0”的否定正确的是( )A.∃x0∈R,x02﹣2x0+4>0 B.∀x∈R,x2﹣2x+4≤0C.∀x∈R,x2﹣2x+4>0 D.∀x∈R,x2﹣2x+4≥06.为了得到函数的图象,可以把函数的图象( )A.向左平移3个单位长度 B.向右平移3个单位长度C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度7.如图,是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是( )A.在区间(﹣2,1)上f(x)是增函数B.在(1,3)上f(x)是减函数C.在(4,5)上f(x)是增函数D.当x=4时,f(x)取极大值8.曲线y=4x﹣x3在点(﹣1,﹣3)处的切线方程是( )A.y=7x+4 B.y=7x+2 C.y=x﹣4 D.y=x﹣29.已知定义域为R的函数f(x)在区间(4,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+4)为偶函数,则( )A.f(2)>f(3)B.f(2)>f(5)C.f(3)>f(5)D.f(3)>f(6)10.已知a>0且a≠1,若函数f (x)=log a(ax2﹣x)在是增函数,则a的取值范围是( ) A.(1,+∞)B.(,)∪(1,+∞) C.11.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10﹣x}(x≥0),则f(x)的最大值为( )A.4 B.5 C.6 D.712.已知函数f(x)=,若f(2﹣x2)>f(x),则实数x的取值范围是( )A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) C.(﹣2,1)D.(﹣1,2)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知tan(α+β)=,tan(α+)=,则tan(β﹣)=__________.14.函数的导数为__________.15.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1﹣x),则=__________.16.给出四个命题:(1)若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形;(2)若sinA=cosB,则△ABC 为直角三角形;(3)若sin2A+sin2B+sin2C<2,则△ABC为钝角三角形;(4)若cos(A﹣B)cos(B﹣C)cos(C﹣A)=1,则△ABC为正三角形,以上正确命题的是__________.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.如图,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这段时间的最大温差;(2)写出这段时间的函数解析式.18.已知命题p:“∀x∈,x2﹣a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2﹣a=0”,若命题“p 且q”是真命题,求实数a的取值范围.19.某商店销售洗衣粉,年销售总量为6000包,每包进价2.8元,销售价3.4元.全年分若干次进货,每次进货均为x包.已知每次进货运输劳务费为62.5元,全年保管费为1.5x元.(1)把该店经销洗衣粉一年的利润y(元)表示为每次进货量x(包)的函数,并指出函数的定义域;(2)为了使利润最大化,问每次该进货多少包?20.已知函数f(x)=(x2+1)(x+a)(a∈R),当f′(﹣1)=0时,求函数y=f(x),在上的最大值和最小值.21.已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行.(1)求函数的单调区间;(2)求函数的极大值与极小值的差.22.已知函数f(x)=e x﹣ln(x+m)(Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.2015-2016学年贵州省遵义市绥阳县郑场中学高三(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={2,5,8},B={1,3,5,7},则(∁U A)∩B 等于( )A.{5} B.{1,3,7}C.{2,8} D.{1,3,4,5,6,7,8}【考点】交、并、补集的混合运算.【专题】计算题.【分析】利用补集的定义求出C U A;再利用交集的定义求出(∁UA)∩B.【解答】解:∵U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={2,5,8},∴C U A={1,3,4,6,7}∵B={1,3,5,7},∴(∁UA)∩B={1,3,7}故选B【点评】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行交、并、补的混合运算.2.函数的定义域是( )A.{x|x>6} B.{x|﹣3<x<6} C.{x|x>﹣3} D.{x|﹣3≤x<6}【考点】对数函数的定义域;函数的定义域及其求法.【专题】计算题.【分析】要使函数有意义,必须使函数的每一部分都有意义,函数定义域是各部分定义域的交集.【解答】解:要使函数有意义,x+3≥0,且6﹣x>0∴|﹣3≤x<6∴函数的定义域为:{x|﹣3≤x<6}故答案选D.【点评】函数定义域是各部分定义域的交集.3.已知p:2+2=5,q:3≥2,则下列判断中,错误的是( )A.p或q为真,非q为假B.p或q为真,非p为真C.p且q为假,非p为假D.p且q为假,p或q为真【考点】复合命题的真假.【专题】简易逻辑.【分析】对于命题p:2+2=5,是假命题;对于q:3≥2,是真命题.利用复合命题的真假判定方法即可判断出.【解答】解:对于命题p:2+2=5,是假命题;对于q:3≥2,是真命题.∴p∨q为真命题,p∧q是假命题,¬p为真命题,¬q为假命题.∴C是假命题.故选:C.【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.4.下列函数中,既是偶函数又在(﹣∞,0)上单调递增的是( )A.y=x3B.y=cosx C.y=ln|x| D.y=【考点】奇偶性与单调性的综合.【专题】函数的性质及应用.【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可.【解答】解:A.y=x3在(﹣∞,0)上单调递增,为奇函数.不满足条件.B.y=cosx在(﹣∞,0)上不单调,为偶函数.不满足条件.C.y=ln|x|=在(﹣∞,0)上单调递减,为偶函数.不满足条件.D.y=在(﹣∞,0)上单调递增,为偶函数,满足条件.故选:D.【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性.5.对命题“∃x0∈R,x02﹣2x0+4≤0”的否定正确的是( )A.∃x0∈R,x02﹣2x0+4>0 B.∀x∈R,x2﹣2x+4≤0C.∀x∈R,x2﹣2x+4>0 D.∀x∈R,x2﹣2x+4≥0【考点】特称命题;命题的否定.【专题】常规题型.【分析】通过特称命题的否定是全称命题,直接判断选项即可.【解答】解:因为命题“∃x0∈R,x02﹣2x0+4≤0”的否定是“∀x∈R,x2﹣2x+4>0”.故选C.【点评】本题考查命题的否定的判断,注意全称命题与特称命题互为否命题.6.为了得到函数的图象,可以把函数的图象( )A.向左平移3个单位长度 B.向右平移3个单位长度C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度【考点】指数函数的图像变换.【专题】转化思想.【分析】将题目中:“函数”的式子化成(x﹣1),对照与函数的关系即可得.【解答】解:∵函数化成:(x﹣1),∴可以把函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象.故选D.【点评】本题主要考查指数运算以函数图象的平移规律,图形的平移只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小.7.如图,是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是( )A.在区间(﹣2,1)上f(x)是增函数B.在(1,3)上f(x)是减函数C.在(4,5)上f(x)是增函数D.当x=4时,f(x)取极大值【考点】导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性.【专题】计算题.【分析】由于f′(x)≥0⇒函数f(x)d单调递增;f′(x)≤0⇒单调f(x)单调递减,观察f′(x)的图象可知,通过观察f′(x)的符号判定函数的单调性即可【解答】解:由于f′(x)≥0⇒函数f(x)d单调递增;f′(x)≤0⇒单调f(x)单调递减观察f′(x)的图象可知,当x∈(﹣2,1)时,函数先递减,后递增,故A错误当x∈(1,3)时,函数先增后减,故B错误当x∈(4,5)时函数递增,故C正确由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值,故D错误故选:C【点评】本题主要考查了导数的应用:通过导数的符号判定函数单调性,要注意不能直接看导函数的单调性,而是通过导函数的正负判定原函数的单调性8.曲线y=4x﹣x3在点(﹣1,﹣3)处的切线方程是( )A.y=7x+4 B.y=7x+2 C.y=x﹣4 D.y=x﹣2【考点】导数的几何意义.【分析】已知点(﹣1,﹣3)在曲线上,若求切线方程,只需求出曲线在此点处的斜率,利用点斜式求出切线方程.【解答】解:∵y=4x﹣x3,∴y'︳x=﹣1=4﹣3x2︳x=﹣1=1,∴曲线在点(﹣1,﹣3)处的切线的斜率为k=1,即利用点斜式求出切线方程是y=x﹣2,【点评】本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题,只要利用导数的几何意义,求出该切线的斜率即可.9.已知定义域为R的函数f(x)在区间(4,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+4)为偶函数,则( )A.f(2)>f(3)B.f(2)>f(5)C.f(3)>f(5)D.f(3)>f(6)【考点】奇偶性与单调性的综合;函数的图象与图象变化.【专题】转化思想.【分析】先利用函数的奇偶性求出f(2)=f(6),f(3)=f(5),再利用单调性判断函数值的大小.【解答】解:∵y=f(x+4)为偶函数,∴f(﹣x+4)=f(x+4)令x=2,得f(2)=f(﹣2+4)=f(2+4)=f(6),同理,f(3)=f(5),又知f(x)在(4,+∞)上为减函数,∵5<6,∴f(5)>f(6);∴f(2)<f(3);f(2)=f(6)<f(5)f(3)=f(5)>f(6).故选D【点评】此题主要考查偶函数的图象性质:关于y轴对称及函数的图象中平移变换.10.已知a>0且a≠1,若函数f (x)=log a(ax2﹣x)在是增函数,则a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(,)∪(1,+∞) C.是增函数,且函数t大于0,故函数f (x)=log a(ax2﹣x)在是增函数.当 1>a>0时,由题意可得函数t=ax2﹣x在应是减函数,且函数t大于0,故≥4,且16a﹣4>0,此时,a无解.【解答】解:当a>1时,由于函数t=ax2﹣x在是增函数,且函数t大于0,故函数f (x)=log a(ax2﹣x)在是增函数,满足条件.当 1>a>0时,由题意可得函数t=ax2﹣x在应是减函数,且函数t大于0,故≥4,且 16a﹣4>0.即a≤,且 a>,∴a∈∅.综上,只有当a>1时,才能满足条件,【点评】本题考查对数函数的单调性和特殊点,二次函数的性质,复合函数的单调性,注意利用函数t=ax2﹣x在上大于0这个条件,这是解题的易错点.11.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10﹣x}(x≥0),则f(x)的最大值为( )A.4 B.5 C.6 D.7【考点】函数的最值及其几何意义.【专题】计算题.【分析】在同一坐标系内画出三个函数y=10﹣x,y=x+2,y=2x的图象,以此作出函数f(x)图象,观察最大值的位置,通过求函数值,解出最大值.【解答】解:10﹣x是减函数,x+2是增函数,2x是增函数,令x+2=10﹣x,x=4,此时,x+2=10﹣x=6,如图:y=x+2 与y=2x交点是A、B,y=x+2与 y=10﹣x的交点为C(4,6),由上图可知f(x)的图象如下:C为最高点,而C(4,6),所以最大值为6.故选:C【点评】本题考查了函数的概念、图象、最值问题.利用了数形结合的方法.关键是通过题意得出f(x)的简图.12.已知函数f(x)=,若f(2﹣x2)>f(x),则实数x的取值范围是( )A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) C.(﹣2,1)D.(﹣1,2)【考点】分段函数的应用.【专题】函数的性质及应用.【分析】根据分段函数的表达式,判断函数的单调性,即可得到结论.【解答】解:当x≤0时,f(x)=x≤0,且函数单调递增,当x>0时,f(x)=ln(x+1)>0,且函数单调递增,故函数在R上为增函数,则不等式f(2﹣x2)>f(x),等价为2﹣x2>x,即x2+x﹣2<0,解得﹣2<x<1,故实数x的取值范围是(﹣2,1),故选:C【点评】本题主要考查不等式的求解,根据分段函数的表达式,判断函数的单调性是解决本题的关键.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知tan(α+β)=,tan(α+)=,则tan(β﹣)=.【考点】两角和与差的正切函数.【专题】三角函数的求值.【分析】由三角函数的公式可得tan(β﹣)=tan=,代入已知数据化简可得.【解答】解:∵tan(α+β)=,tan(α+)=,∴tan(β﹣)=tan===,故答案为:.【点评】本题考查两角差的正切公式,角的整体代入是解决问题的关键,属基础题.14.函数的导数为.【考点】导数的运算.【分析】根据导数的运算法则可得答案.【解答】解:∵∴y'==故答案为:【点评】本题主要考查导数的运算法则.属基础题.求导公式一定要熟练掌握.15.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1﹣x),则=.【考点】函数的周期性;函数奇偶性的性质;函数的值.【专题】计算题.【分析】由题意得=f(﹣)=﹣f(),代入已知条件进行运算.【解答】解:∵f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1﹣x),∴=f(﹣)=﹣f()=﹣2×(1﹣)=﹣,故答案为:﹣.【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,以及求函数的值.16.给出四个命题:(1)若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形;(2)若sinA=cosB,则△ABC 为直角三角形;(3)若sin2A+sin2B+sin2C<2,则△ABC为钝角三角形;(4)若cos(A﹣B)cos(B﹣C)cos(C﹣A)=1,则△ABC为正三角形,以上正确命题的是(3)(4).【考点】正弦定理.【专题】三角函数的图像与性质;简易逻辑.【分析】(1)由sin2A=sin2B,A,B∈(0,π),可得2A=2B,或2A+2B=π,即可判断出正误;(2)由sinA=cosB=,A,B∈(0,π),可得A=﹣B,或A+﹣B=π,即可判断出正误;(3)由sin2A+sin2B+sin2C<2,利用倍角公式可得:++<2,化为cos2A+cos2B+cos2C>﹣1,再利用倍角公式、和差公式化为cosAcosBcosC<0,即可判断出正误;(4)由cos(A﹣B)cos(B﹣C)cos(C﹣A)=1,利用余弦函数的值域,可得A﹣B=B﹣C=C ﹣A=0,即可判断出正误.【解答】解:(1)若sin2A=sin2B,∵A,B∈(0,π),∴2A=2B,或2A+2B=π,解得A=B,或A+B=,则△ABC为等腰三角形或直角三角形,因此不正确;(2)若sinA=cosB=,∵A,B∈(0,π),∴A=﹣B,或A+﹣B=π,解得A+B=或,则△ABC为钝角三角形或直角三角形,因此不正确;(3)∵sin2A+sin2B+sin2C<2,∴++<2,化为cos2A+cos2B+cos2C>﹣1,∴2cos2A+2cos(B+C)cos(B﹣C)>0,∴cosA>0,∴cosAcosBcosC<0,因此△ABC为钝角三角形,正确;(4)若cos(A﹣B)cos(B﹣C)cos(C﹣A)=1,∵cos(A﹣B)∈(﹣1,1],cos(B﹣C)∈(﹣1,1],cos(C﹣A)∈(﹣1,1],可知:只有三个都等于1,又A,B,C∈(0,π),∴A﹣B=B﹣C=C﹣A=0,∴A=B=C,则△ABC为正三角形,正确.以上正确的命题是:(3)(4).故答案为:(3)(4).【点评】本题考查了三角函数的值域、三角形内角和定理、倍角公式与和差公式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.如图,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这段时间的最大温差;(2)写出这段时间的函数解析式.【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.【分析】(1)由图象的最高点与最低点易于求出这段时间的最大温差;(2)A、b可由图象直接得出,ω由周期求得,然后通过特殊点求φ,则问题解决.【解答】解:(1)由图示,这段时间的最大温差是30﹣10=20℃,(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+∅)+b的半个周期,∴,解得,由图示,,,这时,,将x=6,y=10代入上式,可取,综上,所求的解析式为,x∈.【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+∅)+b的部分图象确定其解析式的基本方法.18.已知命题p:“∀x∈,x2﹣a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2﹣a=0”,若命题“p 且q”是真命题,求实数a的取值范围.【考点】四种命题的真假关系.【分析】已知p且q是真命题,得到p、q都是真命题,若p为真命题,a≤x2恒成立;若q为真命题,即x2+2ax+2﹣a=0有实根,即△≥0,分别求出a的范围后,解出a的取值范围.【解答】解:由“p且q”是真命题,则p为真命题,q也为真命题.若p为真命题,a≤x2恒成立,∵x∈,∴a≤1 ①;若q为真命题,即x2+2ax+2﹣a=0有实根,△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,即a≥1或a≤﹣2 ②,对①②求交集,可得{a|a≤﹣2或a=1},综上所求实数a的取值范围为a≤﹣2或a=1.【点评】本题是一道综合题,主要利用命题的真假关系,求解关于a的不等式.19.某商店销售洗衣粉,年销售总量为6000包,每包进价2.8元,销售价3.4元.全年分若干次进货,每次进货均为x包.已知每次进货运输劳务费为62.5元,全年保管费为1.5x元.(1)把该店经销洗衣粉一年的利润y(元)表示为每次进货量x(包)的函数,并指出函数的定义域;(2)为了使利润最大化,问每次该进货多少包?【考点】函数最值的应用.【专题】应用题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.【分析】(1)由年销售总量为6000包,每次进货均为x包,可得进货次数,进而根据每包进价为2.8元,销售价为3.4元,计算出收入,由每次进货的运输劳务费为62.5元,全年保管费为1.5x元计算出成本,相减可得利润的表达式;(2)由(1)中函数的解析式,由基本不等式,结合x的实际意义,可得使利润最大,每次应进货包数.【解答】解:(1)由题意可知:一年总共需要进货(x∈N*且x≤6000)次,∴y=3.4×6000﹣2.8×6000﹣•62.5﹣1.5x,整理得: y=3600﹣﹣(x∈N*且x≤6000).(2)y=3600﹣﹣≤3600﹣2=2100(当且仅当=,即x=500时取等号)∴当x=500时,y max=3600﹣1500=2100(元),答:当每次进货500包时,利润最大为2100元.【点评】本题考查的知识点是函数最值的应用,其中根据已知条件计算出利润y(元)元表示为每次进货量x(包)的函数表达式是解答本题的关键.20.已知函数f(x)=(x2+1)(x+a)(a∈R),当f′(﹣1)=0时,求函数y=f(x),在上的最大值和最小值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【专题】综合题.【分析】由f(x)=x3+ax2+x+a,知f′(x)=3x2+2ax+1,故f′(﹣1)=3﹣2a+1=0,所以a=2.由此能求出函数y=f(x),在上的最大值和最小值.【解答】解:f(x)=x3+ax2+x+a,f′(x)=3x2+2ax+1,f′(﹣1)=3﹣2a+1=0,∴a=2.,由,得x<﹣1,或x>﹣;由,得.∴函数的递增区间是;函数的递减区间是.,∴函数f(x)在上的最大值为6,最小值.【点评】本题考查函数在闭区间上的最大值和最小值的求法,解题时要认真审题,注意导数性质的灵活运用,培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识.21.已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行.(1)求函数的单调区间;(2)求函数的极大值与极小值的差.【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】函数的性质及应用;导数的综合应用.【分析】(1)根据极值点是导函数对应方程的根,可知x=2为y′=0的根,结合导数的几何意义有k=y′|x=1,列出关于a,b的方程组,求解可得到y的解析式,令y′>0和y′<0,即可求得函数的单调区间;(2)根据(1)可得y′=0的根,再结合单调性,即可得到函数的极大值与极小值,从而求得答案.【解答】解:(1)∵函数y=x3+3ax2+3bx+c,∴y'=3x2+6ax+3b,∵函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,∴当x=2时,y′=0,即12+12a+3b=0,①∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行,∴k=y′|x=1=3+6a+3b=﹣3,②联立①②,解得a=﹣1,b=0,∴y=x3﹣3x2+c,则y'=3x2﹣6x,令y'=3x2﹣6x>0,解得x<0或x>2,令y'=3x2﹣6x<0,解得0<x<2,∴函数的单调递增区间是(﹣∞,0),(2,+∞),单调递减区间是(0,2);(2)由(1)可知,y'=3x2﹣6x,令y′=0,即3x2﹣6x=0,解得x=0,x=2,∵函数在(﹣∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,∴函数在x=0时取得极大值c,在x=2时取得极小值c﹣4,∴函数的极大值与极小值的差为c﹣(c﹣4)=4.【点评】本题考查了导数的几何意义,导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率,解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上.考查了利用导数研究函数的单调性,对于利用导数研究函数的单调性,注意导数的正负对应着函数的单调性.考查了利用导数研究函数的极值,求函数极值的步骤是:先求导函数,令导函数等于0,求出方程的根,确定函数在方程的根左右的单调性,根据极值的定义,确定极值点和极值.22.已知函数f(x)=e x﹣ln(x+m)(Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.【考点】利用导数研究函数的单调性;根据实际问题选择函数类型.【专题】压轴题;导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)求出原函数的导函数,因为x=0是函数f(x)的极值点,由极值点处的导数等于0求出m的值,代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间;(Ⅱ)证明当m≤2时,f(x)>0,转化为证明当m=2时f(x)>0.求出当m=2时函数的导函数,可知导函数在(﹣2,+∞)上为增函数,并进一步得到导函数在(﹣1,0)上有唯一零点x0,则当x=x0时函数取得最小值,借助于x0是导函数的零点证出f(x0)>0,从而结论得证.【解答】(Ⅰ)解:∵,x=0是f(x)的极值点,∴,解得m=1.所以函数f(x)=e x﹣ln(x+1),其定义域为(﹣1,+∞).∵.设g(x)=e x(x+1)﹣1,则g′(x)=e x(x+1)+e x>0,所以g(x)在(﹣1,+∞)上为增函数,又∵g(0)=0,所以当x>0时,g(x)>0,即f′(x)>0;当﹣1<x<0时,g(x)<0,f′(x)<0.所以f(x)在(﹣1,0)上为减函数;在(0,+∞)上为增函数;(Ⅱ)证明:当m≤2,x∈(﹣m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时f (x)>0.当m=2时,函数在(﹣2,+∞)上为增函数,且f′(﹣1)<0,f′(0)>0.故f′(x)=0在(﹣2,+∞)上有唯一实数根x0,且x0∈(﹣1,0).当x∈(﹣2,x0)时,f′(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当x=x0时,f(x)取得最小值.由f′(x0)=0,得,ln(x0+2)=﹣x0.故f(x)≥=>0.综上,当m≤2时,f(x)>0.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,利用导数求函数在闭区间上的最值,考查了不等式的证明,考查了函数与方程思想,分类讨论的数学思想,综合考查了学生分析问题和解决问题的能力.熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键,是难题.。
2023-2024学年山东省青岛二中高三(上)期中数学试卷一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“∃x 0>1,ln (x 0﹣1)≥0”的否定是( ) A .∀x >1,ln (x ﹣1)<0 B .∀x ≤1,ln (x ﹣1)<0C .∀x >1,ln (x ﹣1)≥0D .∀x ≤1,ln (x ﹣1)≥02.已知集合A ={x ∈N *|1≤x <3},B ={x |ax ﹣2=0},且A ∩B =B ,则实数a 的所有取值集合是( ) A .{1}B .{1,2}C .{0,1,2}D .{0,2}3.若(1+x 14)8的展开式中共有m 个有理项,则m 的值是( ) A .1B .2C .3D .44.底面半径是1的圆锥,侧面积是3π,则圆锥的体积是( ) A .2√2πB .√2πC .2π3D .2√2π35.柯西不等式(Cauchy ﹣SchwarzLnequality )是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的,它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式:(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2,当且仅当ad =bc 时即ac =b d时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3√4−3x +√3x −2的最大值为( ) A .2√5B .2√3C .√10D .√136.设曲线y =x 3﹣2x 2+1在x =k 处的切线为l ,若l 的倾斜角小于135°,则k 的取值范围是( ) A .(−∞,13)∪(1,+∞) B .(−∞,0)∪(13,1)∪(43,+∞)C .(−∞,13)∪[43,+∞)D .(−∞,0]∪(13,1)∪[43,+∞)7.已知角α,β∈(0,π),且sin (α+β)+cos (α﹣β)=0,sin αsin β﹣3cos αcos β=0,则tan (α+β)=( ) A .﹣2B .−12C .12D .28.如图,已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形,AA 1=2,AC =BC =1,点D 在上底面A 1B 1C 1(包括边界)上运动,则三棱锥D ﹣ABC 外接球表面积的最大值为( )A .81π16B .6πC .243π64D .2√6π二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知函数f(x)=2sinxcosx +cos(2x −π6),下列结论正确的是( ) A .f (x )的周期是πB .f (x )的图象关于点(π12,0)对称C .f (x )的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k ∈Z)D .要得到g(x)=√3sin2x 的图象,只需把f (x )的图象向右平移π6的单位10.已知直线l :x ﹣my +3=0和圆C :x 2+y 2﹣6x +5=0,下列结论成立的是( ) A .直线l :x ﹣my +3=0过定点(﹣3,0)B .当直线l 与圆C 相交时,直线l :x ﹣my +3=0被圆所截的弦长最大值为4C .当直线l 与圆C 相切时,则实数m =2√2D .当实数m 的值为3时,直线l 与圆C 相交,且所得弦长为2√10511.设数列{a n }前n 项和为S n ,满足(a n −1)2=4(100−S n ),n ∈N *且a 1>0,a 2>0,则下列选项正确的是( ) A .a n =﹣2n +21B .数列{S n n}为等差数列 C .当n =11时S n 有最大值D .设b n =a n a n +1a n +2,则当n =8或n =10时数列{b n }的前n 项和取最大值 12.点O 是△ABC 的外心,则下列选项正确的是( ) A .若AB =2,则AB →⋅AO →=2B .若BD →=λ(BA →|BA →|+BC →|BC →|)且BD →=μBA →+(1−μ)BC →(λ,μ∈R),则AD →=DC →C .若2BO →=BA →+BC →,则B 为△ABC 的垂心D .若∠B =π3,OB →=mOA →+nOC →,则m +n 的取值范围为[﹣2,1) 三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=x 3⋅3xa x −1(a >0且a ≠1)为偶函数,则a = .14.1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会,会议上宣布将五月一日定为国际劳动节.五一劳动节某单位安排甲、乙、丙B 人在5天假期值班,每天只需1人值班,且每人至少值班1天,已知甲在五一假期期间值班2天,则甲连续值班的概率是 . 15.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在C 上,且PF 1⊥F 1F 2,直线PF 2与椭圆C 交于另一点Q ,与y 轴交于点M ,MF 2→=2F 2Q →,则椭圆C 的离心率为 . 16.若x =0是函数f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)的极大值点,则实数a 的取值范围是 . 四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若2b sin A +b sin B =c sin2B . (1)求角C ;(2)若点D 在边AB 上,b =2,CD =1,请在下列三个条件中任选一个,求边长AB . ①CD 为△ABC 的一条中线; ②CD 为△ABC 的一条角平分线; ③CD 为△ABC 的一条高线.18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,当n ≥2时,2S n =(n +1)a n ﹣2. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列b n =2a n a n+1,求数列{b n }的前n 项和.19.(12分)已知四棱锥Q ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形,且AB ⊥QD ,QA =QD =3. (1)求点B 到平面QCD 的距离; (2)求二面角B ﹣QD ﹣A 的正弦值.20.(12分)一个袋子里有大小相同的黑球和白球共10个,其中白球有a (0<a <10,a ∈N *)个,每次随机摸出1个球,摸出的球再放回.设事件A 为“从袋子中摸出4个球,其中恰有两个球是白球”. (1)当a 取a 0时,事件A 发生的概率最大,求a 0的值;(2)以(1)中确定的a 0作为a 的值,甲有放回地从袋子中摸球,如果摸到黑球则继续摸球,摸到白球则停止摸球,摸球的次数记为X ,求X 的数学期望E (X ).参考:(1)若P (X =k )=a k (k =1,2,3…),则E (X )=lim ∑ n k=1ka k ;(2)lim n→∞n ⋅(12)n =0.21.(12分)已知点(1,√2)在抛物线C :y 2=2px (p >0)上,A 、B 为抛物线C 上的两个动点,AB 不垂直于x 轴,F 为焦点,且|AF |+|BF |=5.(1)求p 的值,并证明AB 的垂直平分线过定点;(2)设(1)中的定点为Q ,求△ABQ 面积是否有最大值,若有,求出其最大值,若没有,请说明理由. 22.(12分)设函数f (x )=e x ,g (x )=e sin x +e cos x . (1)求曲线y =f (x )平行于直线y =x +3的切线; (2)讨论g (x )的单调性.2023-2024学年山东省青岛二中高三(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“∃x 0>1,ln (x 0﹣1)≥0”的否定是( ) A .∀x >1,ln (x ﹣1)<0 B .∀x ≤1,ln (x ﹣1)<0C .∀x >1,ln (x ﹣1)≥0D .∀x ≤1,ln (x ﹣1)≥0解:命题“∃x 0>1,ln (x 0﹣1)≥0”的否定是:∀x >1,ln (x ﹣1)<0. 故选:A .2.已知集合A ={x ∈N *|1≤x <3},B ={x |ax ﹣2=0},且A ∩B =B ,则实数a 的所有取值集合是( ) A .{1}B .{1,2}C .{0,1,2}D .{0,2}解:由题意集合A ={1,2}, 因为A ∩B =B ,则B ⊆A ,当B ={1}时,a ﹣2=0,解得a =2, 当B ={2}时,2a ﹣2=0,解得a =1, 当B ={1,2}时,a 无解, 当B =∅时,a =0,综上,实数a 的取值集合为{0,1,2}. 故选:C .3.若(1+x 14)8的展开式中共有m 个有理项,则m 的值是( )A .1B .2C .3D .4解:(1+x 14)8的展开式通项公式为:T r+1=C 8r x 2−14r,r =0,1,2,3,4,5,6,7,8,当r =0,4,8时,T 1,T 5,T 9为有理项,故m =3. 故选:C .4.底面半径是1的圆锥,侧面积是3π,则圆锥的体积是( ) A .2√2πB .√2πC .2π3D .2√2π3解:设圆锥的母线长为l ,高为h ,则π×1×l =3π, ∴l =3,∴h =√l 2−r 2=√9−1=2√2,∴圆锥的体积为13×π×12×ℎ=2√23π. 故选:D .5.柯西不等式(Cauchy ﹣SchwarzLnequality )是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的,它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式:(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2,当且仅当ad =bc 时即ac =b d时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3√4−3x +√3x −2的最大值为( ) A .2√5B .2√3C .√10D .√13解:该函数的定义域为[23,43],由柯西不等式可得:f(x)=3√4−3x +√3x −2≤√(32+12)(4−3x +3x −2)=2√5, 当且仅当√4−3x=√3x−2时取等号,即当x =1115时取等号.故选:A .6.设曲线y =x 3﹣2x 2+1在x =k 处的切线为l ,若l 的倾斜角小于135°,则k 的取值范围是( ) A .(−∞,13)∪(1,+∞) B .(−∞,0)∪(13,1)∪(43,+∞)C .(−∞,13)∪[43,+∞)D .(−∞,0]∪(13,1)∪[43,+∞)解:∵y ′=3x 2﹣4x ,∴l 的斜率为3k 2﹣4k .∵l 的倾斜角小于135°,∴l 的斜率小于﹣1或不小于0,则3k 2﹣4k <﹣1或3k 2﹣4k ≥0,解得k ∈(−∞,0]∪(13,1)∪[43,+∞). 故选:D .7.已知角α,β∈(0,π),且sin (α+β)+cos (α﹣β)=0,sin αsin β﹣3cos αcos β=0,则tan (α+β)=( ) A .﹣2B .−12C .12D .2解:∵sin (α+β)+cos (α﹣β)=0, ∴sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0, ∴sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=−1,∴tanα+tanβ1+tanαtanβ=−1,∵sin αsin β﹣3cos αcos β=0, ∴sin αsin β=3cos αcos β, ∴tan αtan β=3,代入tanα+tanβ1+tanαtanβ=−1,得tan α+tan β=﹣4, 故tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2.故选:D .8.如图,已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形,AA 1=2,AC =BC =1,点D 在上底面A 1B 1C 1(包括边界)上运动,则三棱锥D ﹣ABC 外接球表面积的最大值为( )A .81π16B .6πC .243π64D .2√6π解:因为△ABC 为等腰直角三角形,AC =BC =1, 所以△ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点O 1,且AO 1=√22,连接O 1与A 1B 1的中点E ,则O 1E ∥AA 1,所以O 1E ⊥平面ABC , 设球的球心为O ,由球的截面性质可得O 在O 1E 上, 设OO 1=x ,DE =t (0≤t ≤√22),半径为R ,因为OA =OD =R ,所以√12+x 2=√(2−x)2+t 2,所以t 2=4x −72,又0≤t ≤√22, 所以78≤x ≤1,因为R 2=12+x 2,所以R 2≤32,所以三棱锥D ﹣ABC 的外接球表面积的最大值为4πR 2=6π.故选:B .二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知函数f(x)=2sinxcosx +cos(2x −π6),下列结论正确的是( ) A .f (x )的周期是πB .f (x )的图象关于点(π12,0)对称C .f (x )的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k ∈Z)D .要得到g(x)=√3sin2x 的图象,只需把f (x )的图象向右平移π6的单位解:∵f (x )=2sin x cos x +cos (2x ﹣6)=sin2x +cos2xcos π6+sin2xsin π6=32sin2x +√32cos2x =√3sin(2x +π6), 对于A :f (x )的周期T =2π2=π,故A 正确; 对于B :当x =π12时,f (π12)=√3sin(2×π12+π6)=√3sin π3≠0,∴f (x )的图象不关于点(π12,0)对称,故B 错误;对于C :令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ(k ∈Z),解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ(k ∈Z),∴f (x )的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k ∈Z),故C 正确;对于D :g(x)=√3sin2x 的图象向左平移π6个单位后解析式为g(x +π6)=√3sin[2(x +π6)]=√3sin(2x +π3),故D 错误. 故选:AC .10.已知直线l :x ﹣my +3=0和圆C :x 2+y 2﹣6x +5=0,下列结论成立的是( ) A .直线l :x ﹣my +3=0过定点(﹣3,0)B .当直线l 与圆C 相交时,直线l :x ﹣my +3=0被圆所截的弦长最大值为4C .当直线l 与圆C 相切时,则实数m =2√2D .当实数m 的值为3时,直线l 与圆C 相交,且所得弦长为2√105解:直线l :x ﹣my +3=0,可得{x +3=0y =0,可知直线恒过(﹣3,0),所以A 正确;圆C :x 2+y 2﹣6x +5=0,圆心(3,0),半径为2,(﹣3,0)是圆外的点,直线不表示直线y =0, 所以直线l 与圆C 相交时,直线l :x ﹣my +3=0被圆所截的弦长没有最大值,所以B 不正确; 直线与圆相切,可得√1+m 2=2,解得m =±2√2,所以C 不正确;实数m 的值为3时,直线l :x ﹣3y +3=0,圆的圆心到直线的距离为:√1+9=√102.所以直线与圆C 相交,所以D 正确. 故选:AD .11.设数列{a n }前n 项和为S n ,满足(a n −1)2=4(100−S n ),n ∈N *且a 1>0,a 2>0,则下列选项正确的是( ) A .a n =﹣2n +21B .数列{S n n}为等差数列 C .当n =11时S n 有最大值D .设b n =a n a n +1a n +2,则当n =8或n =10时数列{b n }的前n 项和取最大值 解:A 选项,当n =1时,(a 1−1)2=4(100−a 1), 又a 1>0,解得a 1=19,当n ≥2时,(a n −1)2=4(100−S n )①, (a n−1−1)2=4(100−S n−1)②,①﹣②得,(a n −1)2−(a n−1−1)2=4(100−S n )−4(100−S n−1),即a n 2+2a n −a n−12+2a n−1=0,化为(a n +a n ﹣1)(a n ﹣a n ﹣1+2)=0,∵a 1>0,a 2>0,∴a n +a n ﹣1=0不能对任意的n ≥2恒成立, ∴a n ﹣a n ﹣1+2=0, ∴a n ﹣a n ﹣1=﹣2,故{a n }为等差数列,公差为﹣2,首项为a 1=19, ∴通项公式为a n =19﹣2(n ﹣1)=﹣2n +21,A 正确; B 选项,S n =n(a 1+a n )2=n(19+21−2n)2=−n 2+20n , 故S n n=−n +20,则当n ≥2时,S n n−S n−1n−1=−n +20−(−n +21)=−1,故{Snn }为等差数列,B 正确;C 选项,S n =−n 2+20n =−(n −10)2+100,∴当n =10时,S n 取得最大值,C 错误;D 选项,令a n >0得1≤n ≤10,令a n <0得n ≥11, 则当n ∈[1,8]时,b n =a n a n +1a n +2>0, 当n =9时,b 9<0,当n =10时,b 10>0, 当n ≥11时,b n <0,又b 9=a 9a 10a 11=3×1×(﹣1)=﹣3,b 10=a 10a 11a 12=1×(﹣1)×(﹣3)=3, 则当n =8或n =10时数列{b n }的前n 项和取最大值,D 正确. 故选:ABD .12.点O 是△ABC 的外心,则下列选项正确的是( ) A .若AB =2,则AB →⋅AO →=2B .若BD →=λ(BA →|BA →|+BC →|BC →|)且BD →=μBA →+(1−μ)BC →(λ,μ∈R),则AD →=DC →C .若2BO →=BA →+BC →,则B 为△ABC 的垂心D .若∠B =π3,OB →=mOA →+nOC →,则m +n 的取值范围为[﹣2,1)解:对于A :因为AB →⋅AO →=|AB →|⋅|AO →|⋅cos∠BAO =|AB →|×12|AB →|=12|AB →|2=2,故A 正确;对于B :由BD →=μBA →+(1−μ)BC →(λ,μ∈R )可知,点A ,D ,C 共线, 又BD →=λ(BA →|BA →|+BC→|BC →|) 可知,点D 在∠CBA 的角平分线上,所以BD 为△ABC 的角平分线,AD 与DC 不一定相等,故B 错误;对于C :若2BO →=BA →+BC →则点O 是AC 的中点,点O 又是△ABC 的外心,所以∠ABC =90°,即B 为直角顶点,所以B 为垂心,故C 正确; 对于D :因为∠B =π3 所以∠AOC =2π3如图,建立平面直角坐标系, 设C (r ,0),A(−12r ,√32r),B (r cos θ,r sin θ),θ∈(2π3,2π), 因为OB →=mOA →+nOC →,所以{rcosθ=m ⋅(−12r)+nrrsinθ=m ⋅√32r,得m =2√3,n =cosθ1√3, m +n =cosθ+√3sinθ=2sin(θ+π6),θ∈(2π3,2π),θ+π6∈(5π6,13π6), sin(θ+π6)∈[−1,12), 则m +n ∈[﹣2,1).故D 正确. 故选:ACD .三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=x 3⋅3xa x −1(a >0且a ≠1)为偶函数,则a = 9 . 解:∵f(x)=x 3⋅3xa x −1(a >0且a ≠1)为偶函数,y =x 3为奇函数,∴g (x )=3xa x −1=1(a 3)x −3−x 为奇函数,法1°:y =(a 3)x −3﹣x为奇函数,又y =3x ﹣3﹣x为奇函数,∴a3=3,∴a =9.法2°:∵y =(a3)x −3﹣x为奇函数,其定义域为R ,∴(a 3)1−13+(a 3)−1−3=0,整理得a 2﹣10a +9=0, 解得a =9或a =1(舍去). 故答案为:9.14.1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会,会议上宣布将五月一日定为国际劳动节.五一劳动节某单位安排甲、乙、丙B 人在5天假期值班,每天只需1人值班,且每人至少值班1天,已知甲在五一假期期间值班2天,则甲连续值班的概率是25.解:由题意知,甲在五一长假期间值班2天,有C 52=10种值班方法,其中甲连续2天值班的情况有4种, 所以甲连续值班的概率P =410=25.故答案为:25.15.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在C 上,且PF 1⊥F 1F 2,直线PF 2与椭圆C 交于另一点Q ,与y 轴交于点M ,MF 2→=2F 2Q →,则椭圆C 的离心率为 √217. 解:如图,因为OM ∥PF 1,所以点M 是PF 2的中点,连接F 1Q , 由MF 2→=2F 2Q →,得|PF 2|=4|F 2Q |,设|F 2Q |=t ,则|PF 2|=4t ,|PF 1|=2a ﹣4t ,|QF 1|=2a ﹣t ,由余弦定理得|QF 1|2=|PF 1|2+|PQ|2−2|PF 1||PQ|cos∠F 1PQ , (2a ﹣t )=2(2a ﹣4t )2+(5t )2﹣2(2a ﹣4t )×5t ×2a−4t4t, 整理得t =514a ,则|F 1F 2|=√(4t)2−(2a −4t)2=√16at −4a 2=2√217a , e =2c2a =|F 1F 2|2a =√217. 故答案为:√217. 16.若x =0是函数f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)的极大值点,则实数a 的取值范围是 (−∞,−12) . 解:由f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1), 得f ′(x)=x 2+2ax +1−1x+1, 所以f ″(x)=2x +2a +1(x+1)2,因为x =0是函数f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)的极大值点, 所以f ′(0)=1﹣1=0,且f ''(0)<0, 所以2a +1<0,所以a <−12. 故答案为:(−∞,−12).四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若2b sin A +b sin B =c sin2B . (1)求角C ;(2)若点D 在边AB 上,b =2,CD =1,请在下列三个条件中任选一个,求边长AB . ①CD 为△ABC 的一条中线; ②CD 为△ABC 的一条角平分线; ③CD 为△ABC 的一条高线. 解:(1)因为2b sin A +b sin B =c sin2B ,所以由正弦定理得:2sin B sin A +sin B sin B =2sin C sin B cos B , 因为B ∈(0,π),所以sin B ≠0,所以2sin A +sin B =2sin C cos B , 因为sin A =sin (B +C )=sin B cos C +cos B sin C , 所以2sin B cos C +sin B =0,所以cosC =−12, 因为C ∈(0,π),所以C =23π;(2)选择①,因为CD 为△ABC 的一条中线, 所以CD →=12(CA →+CB →),所以CD →2=14(CA →2+CB →2+2CA →⋅CB →),即1=14[4+a 2+2×2a ×(−12)],解得:a =2,由余弦定理得:AB =c =√a 2+b 2−2abcosC =√4+4−2×2×2×(−12)=2√3; 选择②,因为CD 为△ABC 的一条角平分线, 所以S △ACD +S △BCD =S △ABC ,即12b ⋅CD ×√32+12a ⋅CD ×√32=12ab ×√32, 因为b =2,CD =1,所以a =2,由余弦定理得:AB =c =√a 2+b 2−2abcosC =√4+4−2×2×2×(−12)=2√3; 选择③,因为CD 为△ABC 的一条高线, 所以S △ABC =12absinC =12c ⋅CD , 因为b =2,CD =1,所以c =√3a ,由余弦定理有:c 2=a 2+b 2﹣2ab cos C ,即3a 2=a 2+4−4a ×(−12), 解得:a =2或a =﹣1(舍去),所以c =2√3.,即AB =2√3.18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,当n ≥2时,2S n =(n +1)a n ﹣2. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设数列b n =2a n a n+1,求数列{b n }的前n 项和. 解:(1)因为当n ≥2时,2S n =(n +1)a n ﹣2且a 1=1, 若n =2,则2S 2=2(1+a 2)=3a 2﹣2,解得a 2=4, 若n ≥3,则2S n ﹣1=na n ﹣1﹣2, 两式相减可得2a n =(n +1)a n ﹣na n ﹣1, 整理得a n n=a n−1n−1,即a n n=a n−1n−1=...=a 22=2,可得a n =2n ,可知n =1不符合上式,n =2符合上式, 所以a n ={1,n =12n ,n ≥2.(2)因为b n =2a n a n+1={2,n =112n(n+1),n ≥2,即b n ={2,n =1⋅12(1n−1n+1),n ≥2, 当n =1时,令数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =2;当n ≥2时,则T n =b 1+b 2+...+b n ,=2+12[(12−13)+(13−14)+...+(1n −1n+1)]=2+12×(12−1n+1)=94−12(n+1),可知n =1符合上式,所以T n =94−12(n+1). 19.(12分)已知四棱锥Q ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形,且AB ⊥QD ,QA =QD =3. (1)求点B 到平面QCD 的距离; (2)求二面角B ﹣QD ﹣A 的正弦值.解:(1)因为底面ABCD 是正方形,所以AB ⊥AD , 又因为AB ⊥QD ,AD ∩QD =D ,所以AB ⊥平面QAD , 又因为AB ⊂平面ABCD ,所以平面ABCD ⊥平面QAD , 因为平面QAD ∩平面ABCD =AD ,QA =QD , 取AD 的中点O ,连接QO ,则QO ⊥AD ,以O 为原点,OD 所在直线为y 轴,OQ 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示:则B (2,﹣1,0),C (2,1,0),D (0,1,0),Q (0,0,2√2), BC →=(0,2,0),DC →=(2,0,0),DQ →=(0,﹣1,2√2),设平面QCD 的一个法向量为n →=(x ,y ,z ),则{n →⋅DC →=2x =0n →⋅DQ →=−y +2√2z =0,令z =1,则y =2√2,x =0,所以n →=(0,2√2,1),所以点B 到平面QCD 的距离为d =|BC →⋅n →||n →|=|0+4√2+0|0+8+1=4√23;(2)因为平面ADQ 的一个法向量为DC →=(2,0,0),DB →=(2,﹣2,0),设平面BDQ 的一个法向量为m →=(x ,y ,z ),则{m →⋅DB →=2x −2y =0m →⋅DQ →=−y +2√2z =0,令z =1,则y =2√2,x =2√2,所以m →=(2√2,2√2,1), 设二面角B ﹣QD ﹣A 为θ,则θ∈[0,π], 计算cos θ=m →⋅DC →|m →||DC →|=4√2+0+08+8+1×2=2√217,sin θ=√1−cos 2θ=√1−817=3√1717, 所以二面角B ﹣QD ﹣A 的正弦值为3√1717. 20.(12分)一个袋子里有大小相同的黑球和白球共10个,其中白球有a (0<a <10,a ∈N *)个,每次随机摸出1个球,摸出的球再放回.设事件A 为“从袋子中摸出4个球,其中恰有两个球是白球”.(1)当a 取a 0时,事件A 发生的概率最大,求a 0的值;(2)以(1)中确定的a 0作为a 的值,甲有放回地从袋子中摸球,如果摸到黑球则继续摸球,摸到白球则停止摸球,摸球的次数记为X ,求X 的数学期望E (X ).参考:(1)若P (X =k )=a k (k =1,2,3…),则E (X )=lim n→∞∑ n k=1ka k ;(2)lim n→∞n ⋅(12)n =0.解:(1)每次随机摸出1个球,摸到白球的概率为a10,摸到黑球的概率为1−a10, 所以件A 为“从袋子中摸出4个球,其中恰有两个球是白球“的概率为P (A )=C 42•(a10)2•(1−a10)2=6[a10(1−a10)]2,因为a10(1−a10)≤[a 10+(1−a10)2]2=14,当且仅当a10=1−a10=12时,a =5,即等号成立,故a 0=5.(2)由(1)知:每次随机摸出1个球,摸到白球的概率为12, X =1,2,3…,P (X =k )=a k (k =1,2,3…), P (X =1)=a 1=12, P (X =2)=a 2=122, P (X =3)=a 3=123,…, P (X =k )=a k =12k ,…,所以∑ n i=1ka k =∑ni=1k 2k=12+222+323+...+n2n ,① 12∑ n i=1ka k =122+223+324+...+n−12n +n2n+1,② ①﹣②得:12∑ n i=1ka k =12+122+123+...+12n −n2n+1=12−12n+11−12−n 2n+1=1−2+n2n+1, 所以∑ n i=1ka k =2−n+22n , E (X )=lim n→∞∑ n i=1ka k =lim n→∞(2−n+22n )=2. 21.(12分)已知点(1,√2)在抛物线C :y 2=2px (p >0)上,A 、B 为抛物线C 上的两个动点,AB 不垂直于x 轴,F 为焦点,且|AF |+|BF |=5.(1)求p 的值,并证明AB 的垂直平分线过定点;(2)设(1)中的定点为Q ,求△ABQ 面积是否有最大值,若有,求出其最大值,若没有,请说明理由. 解:(1)因为点(1,√2)在抛物线C :y 2=2px (p >0)上, 所以2=2P ,解得P =1, 所以抛物线的方程为y 2=2x ,设直线AB 的方程为y =kx +m ,(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =kx +m y 2=2x ,得k 2x 2+2(km ﹣1)x +m 2=0, Δ=4(km ﹣1)2﹣4k 2m 2=4(1﹣2km )>0, x 1+x 2=−2(km−1)k2,x 1x 2=m 2k2,因为|AF |+|BF |=5,所以x 1+x 2+1=−2(km−1)k2+1=5,km =1﹣2k 2,所以m =1k −2k ,① 设AB 的中点为(x 0,y 0), 所以x 0=x 1+x 22=2,y 0=kx 0+m =2k +m , 所以AB 的垂直平分线方程为y ﹣2k ﹣m =−1k(x ﹣2),② 联立①②,可得y =−1k(x ﹣3), 所以AB 的垂直平分线过定点(3,0). (2)|AB |=√1+k 2•2√1−2kmk 2=√1+k2•2√4k 2−1k 2,点Q 到直线AB 的距离为d :d =|3k+m|√1+k=|k+1k|√1+k,所以S △ABQ =12|AB |d =12√1+k 2•2√4k 2−1k 2•|k+1k |√1+k 2=(k 2+1)√4k 2−1k 3,S △ABQ 2=(k 2+1)2(4k 2−1)k6=(1+1k2)2(4−1k2), 令1k 2=t ,则0<t <4,f (t )=(t +1)2(4﹣t ),f ′(t )=2(t +1)(4﹣t )﹣(t +1)2=(t +1)(7﹣3t )=0, 解得:t =﹣1(舍去),t =73,当0<t <73时,f ′(t )>0,当73<t <4时,f ′(t )<0,所以f (t )在(0,73)单调递增,在(73,4)单调递减,所以当t =73时,f (t )取最大值为(73+1)2×(4−73)=50027,所以△ABQ 面积最大值为10√159.22.(12分)设函数f (x )=e x ,g (x )=e sin x +e cos x . (1)求曲线y =f (x )平行于直线y =x +3的切线; (2)讨论g (x )的单调性.解:(1)∵f (x )=e x ,f ′(x )=e x , ∴f ′(t )=1⇒e t =1⇒t =0,f (0)=1,∴曲线y =f (x )平行于直线y =x +3的切线方程为y ﹣1=1•(x ﹣0)即y =x +1.(2)∵令p(x)=e x x (x <1),则 p ′(x)=e x (x−1)x 2<0 恒成立,p(x)=e xx 在(﹣∞,0),(0,1)上单调递减.g (x )=e sin x +e cos x ,g ′(x )=e sin x •cos x ﹣e cos x •sin x ,∴g ′(x )>0⇒sinx ⋅cosx(e sinxsinx −e cosxcosx )>0⇒{sinxcosx >0sinx <cosx或{sinxcosx <0sinx <0cosx >0⇒2kπ<x <2kπ+π4或2kπ+5π4<x <2kπ+3π2或2kπ+3π2<x <2kπ+2π(k ∈Z ),∴g (x )在(2kπ,2kπ+π4)(k ∈Z),(2kπ+5π4,2kπ+2π)(k ∈Z)上单调递增,在(2kπ+π4,2kπ+5π4)(k ∈z )上单调递减.。
山东省青岛二中2019届高三上学期期中考试化学试题本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共16页,38题(含选考题)。
全卷满分300分。
考试用时150分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1、考试范围:高考范围。
2、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁,不折叠,不破损,不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
1.化学与生产、生活密切相关,下列有关说法正确的是A. 高硬度的氮化硅陶瓷属于传统无机非金属材料B. 硫酸亚铁片和维生素C同时服用,能增强治疗缺铁性贫血的效果C. 小苏打是制作面包等糕点的膨松剂,苏打是治疗胃酸过多的一种药剂D. 乙醇、氯水、次氯酸钠等消毒液均可以将病毒氧化而达到消毒的目的【答案】B【解析】【详解】A. 高硬度的氮化硅陶瓷属于新型无机非金属材料,选项A错误;B.硫酸亚铁片和维生素C同时服用,可防止亚铁被氧化,则能增强治疗缺铁性贫血的效果,选项B正确;C.碳酸氢钠和酸反应能生成二氧化碳,可用来发酵,能够与盐酸反应消耗盐酸,所以也可治疗胃酸过多,碳酸钠的碱性太强,不能用来治疗胃酸过多,选项C错误;D.乙醇能使蛋白质发生变性,而氯水、次氯酸钠具有强氧化性可杀菌消毒,均作消毒剂,但原理不同,选项D错误;答案选B。