数理统计学课后答案
- 格式：docx
- 大小：15.34 KB
- 文档页数：19
数理统计学课后答案
【篇一：数理统计习题】
为总体（或母体），而把组成总体的每个元素称为个体。
1. 2 设随机样本（x1,x2,?,xn）来自总体为正态分布（x1,x2,?,xn）的联合分布函数为
f(x1,x2,?,xn)?(2??)
*
2?n2
n(?,?2)，则样本
exp{?
12?
2
?(x
i?1
n
2
i
??)}。
1.3 若对一批n件产品的合格率进行检查，从中有放回地随机抽取n件。分别以0，1表示某件产品为次品和合格品，?(0??的0—1分布，即
?1)表示产品的合格率，则总体x服从参数为?
p(x?x)??x(1??)1?x,x?0,1。
所以样本（x1,x2,?,xn）的联合分布律数为
p(x1?x1,x2?x2,?,xn?xn)?
??
i?1
n
xi
(1??)1?xi,xi?0,1.
2
1.4 设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n(?,?数，则(x1?x2?x3)??，
)，其中?,?2是未知参
11
(x1?x2)??和(x1?x2?x3)都不是统计量，2?11222 因为它们都含有未知参数，而(x1?x2?x3)(x1?x2?x3)和x1?x2?x3
32
都是统计量。
1.5 设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n(?,?知参数，则
2
1
3
)，其中?已知，?2是未
12(x12?x22
111(x1?x2?x3)??，(x1?x2)??(x1?x2?x3)和323
12
?x3)都是统计量，而(x1?x2?x3)不都是统计量。
?
1．6 设x1,x2,?,xn是来自总体x的一个样本，则称统计量
121ns?(xi?)2 ?nx??xi，ni?1
ni?1
n
分别为样本的均值和样本方差；统计量
1nk1n
ak??xi，bk??(xi?x)k
ni?1ni?1
分别为样本k 阶原点矩和k 阶中心矩。
2
显然，a1?x， b2?sn。
1．7 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?任意一个确定线性函数
2
)的一个样本，统计量是样本的
u?a1x1?a2x2???anxn， 则统计量u?a1x1?a2x2???anxn也是服从正态分布的随机变量，其均值和方差分别为
e(u)??(a1?a2???an)??
?a
i?1
n
i
，
n
d(u)??(a1?a2???an)??特别地，取a1?a2???an? 22222
?a
i?1
2i
。
1
，则统计量u是样本的均值x，有下面的推论。 n
2
1.8 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?
)的一个样本，则样本的均值
?2
)。（2 x~n(?,n
1.9 设（x1,x2,?,x25）是来自正态总体n(2,5)的一个样本，求统计量x的密度函数。
解 由推论知
52
x~n(2,)?n(2,1)，
25
则x的密度函数为
fx(x1,x2,?,x25)?
1
exp[?(x?2)2]。
22?
1
1．10 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?数，求统计量
t?的分布。
解 作变换
yi?
2
)的一个样本，且?是已知常
?(x
i?1
n
i
??)2
xi??
?
,i?1,2,?,n， 则y1,y2,?,yn相互独立，且同服从n(0,1)分布，所以
2
t
?
2
??(
i?1
n
xi??
?
)??yi2
2
i?1
n
服从?分布。从而统计量t的密度函数为
1.11 ①如果f~f(m,n)，则 ②x
1
~f(n,m)。 f
与y独立，则f
~?2(1), y~?2(n),x?t2，即f(1,n)与t2(n)相同。
2
1.12 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?
)的一个样本，
x??1n
x??xi，则u?~n(0,1)。
ni?1?/n
证明 因为x1,x2,?,xn相互独立，与总体服从同一分布n(?,?
2
)，即
xi~n(?,?
2
1n
)，由正态分布的加性定理知x??xi服从正态分布。又因为
ni?1
1n1n
e(x)?e?xi}??e(xi)??，
ni?1ni?1
1n1 d(x)?d?xi}?2
ni?1n
所以
?d(x)?
i
i?1
n
?2
n
，
x~n(?,
?2
n
)。
再由正态分布的性质知 u?
x??
?/n
~n(0,1)。
1.13 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体
n(?,?2)
的一个样本，则
1
?2
?(x
i?1
n
i
??)2~?2(n)。
2
证明 因为x1,x2,?,xn相互独立，与总体服从同一分布n(?,?
)，即
xi~n(?,?2)，于是
xi??
?
~n(0,1),(i?1,2,?,n)。再由?2的定义，则
1
?2
?(x i?1
n
i
??)2~?2(n)。
2
1．14 设（x1,x2,?,xn）是来自正态总体n(?,?
)的一个样本，则
t?
x??sn/n?1
x??
~t(n?1)。
nsn
2
证明 由定理2.2知，
2
?/n
~n(0,1)，由定理2.10知，
?2
~?2(n?1)，且
x??
?/n
与
nsn
?2
相互独立。由t分布的定义，则
2nsn
?/~t(n?1)。 t?2
sn/n?1?/n(n?1)?
x??x??
1.15 设（x1,x2,?,xm）是来自正态总体（y1,y2,?,yn）是来自正态总体
2
n(?1,?1)
2
的一个样本，
和
n(?2,?2)的一个样本，且x1,x2,?,xm
y1,y2,?,yn相互独立，则 (x?y)?(?1??2)
?
21
m
?
?
22
~n(0,1)。
n
证明 因为（x1,x2,?,xm）是来自正态总体（y1,y2,?,yn）是来自正态总体
2?2
n(?1,?1)
2
的一个样本，
n(?2,?2)的一个样本，所以x~n(?1,
2
?12
m
)，
y~n(?2,
性定理知
n
)。又因为x1,x2,?,xm和y1,y2,?,yn相互独立，再由正态分布的可加
x?y~n(?1??2,从而
?12
m
?
2?2
n
)，
(x?y)?(?1??2)
?
21
m
?
?
22 ~n(0,1)。
n
1.16 设（x1,x2,?,xm）是来自正态总体（y1,y2,?,yn）是来自正态总体
n(?1,?2)
的一个样本，
和
n(?2,?2)的一个样本，且x1,x2,?,xm
y1,y2,?,yn相互独立，则
t?
(x?y)?(?1??2)mn(m?n?2)
~t(m?n?2)。
22m?nms1?ns2
1m1n1n1m222
其中s??(xi?x)，x??xi；s2??(yi?y)，y??yi。
mi?1ni?1ni?1mi?1
21
证明 由定理2.10知，
ms1
2
?2
2
~?(m?1)，
2
ns2
2
?2
~?2(n?1)，又x1,x2,?,xm
和y1,y2,?,yn相互独立，由?的加法定理可得
【篇二：数理统计习题】
、填空题（本题15分，每题3分）
1、总体x~n(20,3)的容量分别为10，15的两独立样本均值差?~________；
2
2、设x1,x2,...,x16为取自总体x~n(0,0.52)的一个样本，若已知?0.01(16)?32.0,则
