数理统计教程第二章课后习题答案

数理统计第二章习题解答

1.设n,,1是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p的矩法估计量.

解: pE pˆ

2. 已知母体均匀分布于,之间,试求,的矩法估计量.

解: 2E，122D。令22122nS得 nS3ˆ，.3ˆnS

3. 对容量为n的子样,求密度函数 其它,00,2;2axxaaaxf中参数a的矩法估计量.

解: 3220adxxaaxEa 令3a 得3ˆa.

4. 在密度函数 10,1xxaxfa中参数a的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么?

解: (1) niininnixxL111 iix10

.ln1lnln1niixnL 令0ln1ln1inixnL，得

niiLxn1ln1ˆ。

由于 01ln222nL 故niiLxn1ln1ˆ是极大似然估计.

(2) 由211E 令211 得 .112ˆ

5.用极大似然法估计几何分布 ,2,1,11kppkPk中的未知参数p. 解:nxnipppL1，令 01lnpnxpnppLi

得xp1ˆ而01ln2ˆ2xxnpLpp 1ˆp是P的极大似然估计.

6. 设随机变量的密度函数为0,,21xexfx，n,,1是的容量为n的子样,试求的极大似然值.

解: ixneL12，01ln2ixnL。得ixn1ˆ，

又0ln22nL 故.1ˆiLn

7 设n,,1是取自均匀分布1,R的母体的一个子样,其中.试证:的极大似然估计量不止一个,例如2121,1,13211nn都是的极大似然估计量.

解: 证:1,R的密度函数为01xf 其它1x，

故01L 其它11nxx

即凡满足1ˆˆ1nxx的ˆ均为的极大似然估计.

从而(1)11ˆ满足此条件，故1ˆ是的极大似然估计.

(2)由于11n故1ˆ1212nn，所以2ˆ也是的极大似然估计.

(3)由于11n， 故1121n，nn211，

从而1ˆ21212121ˆ31113nnn，故3ˆ也是的LM.

8.设n,,1是取自对数正态分布母体的一个子样,即,.,~12Nn

0, ， 试求:的期望值E和方差D的极大似然估计. 解:的密度函数为22221xnexxf，所以2221221,imxiniexL，0ix

两边对数并分别对和2求寻,并令其为0,得似然方程组

，解得22ln1ˆln1ˆiixnxn

经验知和2的LM为: ixnln1ˆ，22ln1ˆixn

又222212ln0121edxexxEx，12221222eeEED

从而 ,21ˆexp2E .112eED

9. 一个罐子里装有黑球和白球,有放回地抽取一个容量为n的子样;其中有k个白球,求罐子里黑球数和白球数之比R的极大似然估计量.

解:设罐子里有白球x个,则有黑球Rx个,从而共有xR1个球,从罐中有放回地抽一个球为白球的概率为:RxRx111，黑球的概率为.1RR从而抽球为二点分布.1111nknknkRRRRRRL似然方程为01RnRkn。

从而解得1ˆknR. 可验证这是R的极大似然估计.

10.为检验某种自来水消毒设备的效果,现从消毒后的水中随机抽取50升,化验每升水中大肠杆菌的个数(一升水中大肠杆菌的个数服从普哇松分布),化验结果如下:

大肠杆菌个数/升 0 1 2 3 4 5 6

升 数 17 20 10 2 1 0 0

试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时,才能使出现上述情况时的概率为最大.

解:由，设一升水中大肠杆菌个数k~P=ekk!，,2,1,0k又E.故问题为0ln2120ln12422iixnx求的极大似然估计.由nixexLi!，可得Lˆ.由观测值代入求设1.故每升水中大肠杆菌的个数平均为1时,出现上述情况的概率最大.

11．设11,,nn,,是取自二维正态母体,,,0,02221N的一个子样,求2221,和的极大似然估计.

解:由L22221212222222122212121exp12,,iiiinnyxx

可得似然方程为302121111111212222122221222222122122iiiiiiiiiiiiiyxyyxxnnyxynyxx

将(1),(2)代入(3)得:.02121nxyxnnniiii (4)

由(4)代入(1),(2)得似然估计:2211in 2221in

211ˆiin.

12. 考虑某种离散分布 ,2,1,0,xfaxPxx，其中对某些x可能有fax,0有连续导数,设n,,1是取自具有这种分布的母体的一个子样.

i证明的极大似然估计是方程 Eff的一个根,这里的极大似然方程与矩法方程相同.

ii试求为了估计下列分布而需要的极大似然方程的显式,这些分布是普哇松分布、二项分布.

解: (1)证nxxxxfafaLiiiifnxaLixilnlnln

对求导得01ffnxi.ff又由11faxxni知xxniaf1 从而.111fffaxaffxaExxxxnixxni

所以似然方程可写为E这与矩法方程一致.

(2) 对faexxPxxx!其中 !1xax ef

从而fef， 故似然方程的显式为.

对二项分布:fappxnxPxxxnx1 pp1

.111nnxpfxna 又.1111nfnf

故似然方程的显式为.1npnff

13. 设1n是取自双参数指数分布的一个子样,密度函数其它,0,1,122121xex；fx ，其中.0,21试求参数1和2的极大似然估计和矩法估计.

解: (1) LM估计121211exp1,nxLin，.11x

121211ln,lnnxnLi 11x

0ln21nL故Lln是1的递增函数,1取到最大可能值时可使lnL达到最大,故1的极大似然估计为11ˆ 由0ln2L可解得2的LM这12ˆ.

(2)矩法估计由于212221dxexEx，2222EED故由2122221innS 解得nS2ˆ .ˆ1nS 14. 设n,,1为取自参数为的普哇松分布的一个子样.试证子样平均和niinnS122)(11都是的无偏估计.并且对任一值10,2*1nS也是的无偏估计.

证: 对普哇松分布有DE,

从而.E.11212*DEnESinin

故与2nS都是的无偏估计. 又112*nSE

故2*1nS也是的无偏估计.

15.设,,,1n为取自正态母体2,N的一个子样,试适当选择c,使21112niiicS为2的无偏估计.

解: 由iE，2iD且n,,1相互独立可知,2jijiEEE ji

从而212112211212122EnEncEEEEcESiiiini

12122ncDnci.

取121nc时, nS为2的无偏估计.

16设母体的数学期望为,方差.2D又设1111,,n和2212,,n为取自此母体的两个子样.试证:211222211121221niiniinnnS是2的无偏估计量.

其中.2,1,11jnjijijjn

证:222121112122121iniiniEEnnES

22221211121nnnn, 故2S是2的无偏估计.