柯西不等式的变形公式的妙用

浅谈柯西不等式的证明及应用刘治和柯西 （Cauchy ）不等式21122 ()n n a b a b a b ++⋯+≤2222221212 ()()n n a a a b b b ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+(,,1,2,)i i a b R i n ∈=⋅⋅⋅， 当且仅当1212n na a ab b b ==⋅⋅⋅=时等号成立。

现将它的证明介绍如下： 证明1（构造法）：构设二次函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅++222222212112212()2()(),n n n n a a a x a b a b a b x b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+22212()0n a a a f x ++⋅⋅⋅+≥＞0,恒成立，2222222112212124()()n n n n a b a b a b a a a b b b ∴∆=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+≤-4(++)+0,即222222*********()()n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+(++)+,当且仅当12120(1,2,,),n i i na a a a xb i n b b b +==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=即时等号成立. 证明2（数学归纳法）：1）22211111=),=,=n a b a b =当时,左式(右式显然左式右式，2n =当时，右式=2222222222121211222112()()=()()a a b b a b a b a b a b +++++≥22212112212121122211212()()2=()===a a a b a b a a b b a b a b a b a b b b +++左式，仅当，即时取等号，故=12.n ，时不等式成立 2）假设(,2)n k k N k *=∈≥时，不等式成立，即222222*********()()(),k k k k a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+当且仅当1212k ka a ab b b ==⋅⋅⋅=时取符号。

x 1 x 2 x 1 x 21 2 1 2 1 21 2 n x 2柯西不等式在解题中的几点应用（二）a) 用柯西不等式证明条件不等式n nn柯西不等式中有三个因式∑ a 2， ∑ b 2，∑ a b 而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不ii =1ii =1i i i =1等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一。

又柯西不 等式中诸量 a i ， b i具有广泛的选择余地，任意两个元素 a i ， a j （或b i ， b j ） 的交换，可以得到不同的不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。

这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。

例：已知 a,b ∈ R + ，a+b=1, x , x ∈ R + ,求证： (ax 1 + bx 2 ) • (bx 1 + ax 2 ) ≥ x 1 x 2分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。

若把第二个小括号内的前后项对调一下， 情况就不同了。

证明： (ax 1 + bx 2 ) • (bx 1 + ax 2 )= (ax 1 + bx 2 ) • (ax 2 + bx 1 )≥ (a + b )2= (a + b )2x x = x x 。

例、设 x , x , , x ∈ R + , 求证：x 2 x 1 + x 2 x 3+ + x x n x 2 + n x 1≥ x 1 + x 2 + + x n （1984 年全国高中数学联赛题）证明：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2 + x 3 + + x n + x 1 ) ，也即嵌以因式(x 1 + x 2 + + x n )，由柯西不等式，得( 1 + xx 2 x 3 + + x x n x 2 + n x 1) • (x 2 + x 3 + + x n + x 1 )x 2 x 3x n x 1x 2x 3x nx 1x 2 x 2 x 3 x 3 x n x n x 1 x 1 1⎡⎛ x ⎫2 ⎛ x ⎫2⎛ x ⎫2 ⎛ x ⎫2⎤ ⎡ 2222⎤ = ⎢ 1 ⎪ + 2 ⎪ + + n -1 ⎪ + n ⎪ ⎥ • ⎢( ) + ( ) + + ( ) + ( )⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎦ ⎛ x x x x⎫ ≥ 1 • + 2 • + + n -1 • + n • ⎪ ⎝ ⎭= ( x + x + + x )2,12x 2x于 是 1+ x 2 x 3n+ + x x nx 2 + n x 1≥ x 1+ x 2+ + x n .b) 利用柯西不等式求函数的极值有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的， 但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。

柯西不等式在初等数学中的基本应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。

本文对柯西不等式的证明方法及其在初等数学中的基本应用作简单的阐述。

关键词：柯西不等式初等数学不等式基本应用正文：柯西不等式在数学的各个领域多有涉及，而在初等数学中，柯西不等式更占据了重要的位置。

我们先对柯西不等式的证明方法进行探讨，其次，通过对柯西不等式的领悟，应用它解决初等数学中遇到的一些问题。

一、柯西不等式的一般证法：柯西不等式（Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.在证明n维的柯西不等式之前，我们先对二维形式以及三角形式的柯西不等式进行证明。

然后，由简单到复杂，循序渐进，探讨一般形式的柯西不等式的证明方法。

（1）二维形式的证明：(a^2+b^2)(c^2+d^2) ≥(ac+bd)^2证明：(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R)=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

（2）三角形式的证明：√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]证明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2) ≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示绝对值。

柯西不等式在中学数学中的应用以《柯西不等式在中学数学中的应用》为标题，写一篇3000字的中文文章柯西不等式是一种数学定理，它可以用来描述和解决各种类型的问题。

我们在中学阶段学习数学时就会接触到这一重要定理，它对数学的理解与运用都具有重要的作用。

本文将简要介绍柯西不等式在中学数学中的应用。

柯西不等式包括三种情况：柯西不等式，柯西-拉宾不等式和柯西-科瓦兹不等式。

柯西不等式可以表示为：a pm b leq c pm d，可以用来比较两个函数的大小；柯西-拉宾不等式可以表示为：|a-b| leq c，可以用来求解等式的最优解；柯西-科瓦兹不等式可以表示为：f(x) leq g(x)，可以用来求解极大值和极小值。

在中学数学中，柯西不等式主要应用于比较函数大小、求解等式最优解和求解极值问题。

首先，柯西不等式应用于比较函数大小。

当我们需要比较两个函数的大小时，可以使用柯西不等式，例如，当我们需要比较函数f(x)=x^2g(x)=4-x^2大小时，可以使用柯西不等式来得出结果，即0 leq x leq 2时，f(x)geq g(x)，其他情况则g(x) geq f(x)，从而得出结论。

其次，柯西不等式也可以用来求解等式最优解。

例如，有以下等式：2x+3y=10，要求求得z=xy的最大值，这时可以使用柯西-拉宾不等式，即|2x+3y-10|leq c，将c=0，可以得出2x+3y=10，由于x、y是未知数，可以使用求导法，得出x=2、y=2，替换入原式，得出z=xy=2times2=4，也就是z的最大值是4。

最后，柯西不等式也可以用来求解极值问题，即极大值和极小值。

例如，求函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1的极值，可以使用柯西-科瓦兹不等式求解。

将f(x)求导，得出f(x)=3x^2+4x-5，得出有效区间[frac{-4-sqrt{32}}{6},frac{-4+sqrt{32}}{6}]，令f(x)=0，得出x_1=frac{-4-sqrt{32}}{6}, x_2=frac{-4+sqrt{32}}{6}，替换入原式，得出f(x_1)approx -1.19、f(x_2)approx 4.19，也就是说函数f(x)的极小值为-1.19，极大值为4.19。

柯西不等式中取等条件的妙用设,,,,,321n a a a a n b b b b ,,,,321 是实数，则))((2222122221n n b b b a a a ++++++ 22211)(n n b a b a b a +++≥ ，当且仅当),,2,1(0n i b i ==或存在一个数k ，使得),,2,1(n i kb a i i ==时，等号成立.以上不等式就是选修4-5《不等式选讲》中所介绍的柯西不等式（简记为“方和积不小于积和方”）,其应用十分广泛和灵活，善于挖掘等号成立的条件具有的潜在功能，可用于求代数式的值、解方程、证明等式、判断三角形的形状、确定点的位置等.下面分类例析，旨在探索题型规律，揭示解题方法。

一、妙用取等条件求代数式的值例1 设0abc ≠,且()()22222314a b c a b c ++=++，求b c a c a b a b c +++++的值。

解析:构造两组实数,,a b c ；1,2,3.由柯西不等式，得()()()222222212323a b c a b c ++++≥++，即()()22221423a b c a b c ++≥++，上式等号成立的充要条件是.123a b c== 令123a b ck ===，则a k =，2b k =,3.c k = 所以5438.23b c a c a b k k k a b c k k k+++++=++=点评：本题若直接求解，过程较繁.借助柯西不等式，顺利地实现了从不等到相等的转化，干净利落.其中不等式等号成立的条件及其适当的变形是实现这一转化的桥梁。

二、妙用取等条件解方程例2 解方程1521234=-++x x .分析： 利用二维形式的柯西不等式把x x y 21234-++=变形后求最值,取“="号时x 的值即为原方程的根。

解析: 2152= ])21()232[(]2)2[(2222x x -++⋅+≤15256)21232(6=⨯=-++≤x x 。

巧用柯西 妙解最值新课标准实验版数学选修4-5中，详细介绍了二维形式下得柯西不等式，并对其一般形式也做了说明，柯西不等式不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值得强有力工具.二维的柯西（Cauchy ）不等式：设R d c b a ∈、、、,则()()()22222bd ac d c b a+≥+⋅+，当且仅当bc ad =时取“=”.一般形式的柯西（Cauchy ）不等式:对任意两组实数1212,,,;,,,n n a a a b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，有222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫≤⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑，当且仅当i a 与i b ()1,2,,i n =⋅⋅⋅对应成比例，即i n i na ab b =⋅⋅⋅=时等号成立. 说明：i n i na ab b =⋅⋅⋅=的意义如下：在12,,,n b b b ⋅⋅⋅不全为零时，若i b =0，则对应的i a =0；在120n b b b ==⋅⋅⋅==时，12,,,n a a a ⋅⋅⋅可取任意实数.下面就如何巧用柯西不等式求最值作一个探究，柯西不等式求最值多用于：多字母式子的最值和含约束条件式子的最值.不妨设()()bd ac B d c b a A +=+⋅+=,2222，其解题要点有两步：(1)找出适当的两组实数，满足若B 为定值，则A 有最小值；若A 为定值，则B 有最大值；(2)确保等号可以取到，满足bc ad =.一、若A 为定值，则B 有最大值如果求B 的最大值，则满足A 为定值即可.若题目中已知A 为定值，则题目比较简单，如果A 不为定值或是没告诉定值，则需要适当变形，使得满足柯西不等式的形式，则问题得解.例1 已知()5,2∈x ，求x x 2102-+-的最大值.分析：因x x 2102-+-是根式，均值不等式与换元都比较繁琐，对照柯西不等式的标准形式，发现x x 2102-+-=x x -⋅+-⋅5221, 且()32122=+,()3)5(2=-+-x x ，考虑将题设适当改造，以充当柯西不等式中的两组数，从而问题得解.解：根据柯西不等式得：x x 2102-+-=x x -⋅+-⋅5221()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤22225221x x3=当且仅当x x -⋅=-⋅5122即3=x 时取“=”.例2 设,x y 都为正数，且满足22326x y +≤，求2M x y =+的最大值。

几种柯西不等式之间的一些推证随着科学技术的发展，数学已经成为我们日常生活中不可或缺的一部分。

柯西不等式是数学中非常重要的一种不等式，它被广泛地用于众多学科，如统计学、生物学、物理学等。

本文将介绍几种柯西不等式之间的一些推证，以期对读者有所帮助。

第一部分：柯西不等式是19世纪欧洲数学家柯西（Karl Weierstrass）研究的结果，它可以表述成一个简单的数学公式。

它可以被定义为：若x, y, z>0，则x^n+y^n≥z^n。

在研究过程中，柯西还发现了几种变形的不等式，例如：柯西不等式的变形之一可以定义为：若x, y>0，则x^n+y^n≤(x+y)^n。

第二部分：除了上述变形外，柯西还发现了另一种重要的变形不等式，它可以定义为：若x, y, z>0，则(x+y+z)^n≥x^n+y^n+z^n。

这种变形不等式在实际中有着重要的应用，它可以用于帮助解决复杂的数学问题。

最后，柯西还发现了一种被称为“柯西不等式总体定理”的不等式，它可以定义为：若x_1,x_2,…,x_n>0，则(x_1+x_2+…+x_n)^p≥x_1^p+x_2^p+…+x_n^p。

第三部分：以上介绍的几种柯西不等式之间有着深刻的联系，它们可以用于推证另一种不等式，这种不等式被称为“考不可等式”，它可以定义为：若x, y, z>0，则(x+y+z)^2≥2(x^2+y^2+z^2)。

此外，还有另一种被称为“布赖斯不等式”的不等式，它可以定义为：若x, y, z>0，则(x+y+z)^2≤2(x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz)。

结论：以上就是本文介绍的几种柯西不等式之间的一些推证。

几种柯西不等式之间有着深刻的联系，它们可以用于推证另一种不等式，这些不等式都有各自的应用范围，有助于解决复杂的数学问题。

最后，希望本文能对读者有所帮助。

柯西不等式在中学数学中的应用作者：花新矿来源：《中学教学参考·理科版》2011年第10期柯西不等式在中学数学的应用比较广泛，其应用包括证明不等式，求函数的最值，解方程，解三角形相关问题，解析几何学上的应用等［柯西（）不等式定理］（），即，n)，当且仅当或为常数，i=1,2,…,n)时，等号成立.令则∵，∴f(x)≥0恒成立.∴-∴当且仅当或为常数，i＝1，2，…，n)时，等号成立.应用柯西不等式可以解决如下问题一、证明不等式【例1】已知a,b,c∈，且a+b+c=3.求证：证明：利用柯西不等式得∵a+b+c=3，∴，当且仅当a=b=c=1时，等号成立.二、求函数的最值问题【例2】求函数y=6x-2+86-x的最大值解：函数的定义域为［2，6］，由柯西不等式得：-2+86--2)+(6-，当且仅当6x-2=86-x，即x＝4.56时，等号成立.所以函数的最大值为20.三、解方程组【例3】解方程组：x+y+z=6，，解：由柯西不等式得，当且仅当x=y=z=2时，等号成立.四、解三角形的相关问题【例4】设D是△ABC内的一点，a、b、c分别为△ABC的三条边，x、y、z是点D到BC、AC、AB边的距离，R是△ABC外接圆的半径求证：（x+y+z）证明：利用柯西不等式得设△ABC的面积为S，则ax+by+cz=2S=2×abc4R=abc2R,∴五、在解析几何学上的应用柯西不等式变形公式：，＞0(i=1,2,3,…,n),则当且仅当时取等号.【例5】若直线通过点M（）,则（）.解：由题设可得：1＝（）∴所以选【例6】设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.解：依题意得，椭圆的方程为｜BO｜=1,｜AO｜＝2，由椭圆的对称性可知，四边形AEBF的面积等于四边形AOBF的两倍设点F（x,y）,则四边形AEBF的面积为＝2（△△）=x+2y.∵，∴x+2y≤22.四边形AEBF的面积的最大值为22，当且仅当x4=2y4，即x=2时取等号.责任编辑金铃）。

柯西不等式的证明及其应用基础知识：定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则222222211221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*）当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。

若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是1212n na a ab b b ===……。

我们称不等式（*）为柯西不等式。

证明：1）两个实数的柯西不等式的证明：对于实数1212,,,a a b b ，恒有2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当12210a b a b -=时等号成立。

如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是1212a ab b =。

证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有222222121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++当且仅当12210a b a b -=时等号成立。

不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式得：|OP|=，|OQ|=|PQ|=设OP 与OQ 的夹角为θ， 由余弦定理得222||||||cos 2||||OP OQ PQ OP OQ θ+-==。

因为1cos 1θ-≤≤，所以2cos 1θ≤21≤，即2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++当且仅当2cos 1θ=时等号成立，即OPQ 共线时等号成立。

柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。

关键词：柯西不等式，证明，应用。

说明：不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。

本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解题中的应用。

柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。

一、相关定理柯西不等式是指下面的定理定理 设,(1,2,...,),i i a b R i n ∈=则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当(1)i i b a i n λ=≤≤.柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设,0(1,2,...,),i a R bi i n ∈>= 221()ni i i i ia ab b =≥∑∑∑,等号成立当且仅当(1)i i b a i n λ=≤≤变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ）则21()ni i i i i ia ab a b =≥∑∑∑,二、柯西不等式的证明： 常用的证明柯西不等式的方法有： 1）配方法：作差：因为222111()()()nnniji i i j i a b a b ===-∑∑∑221111()()()()n n n niji i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑221111n n n ni ji i j ji j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑22221111111(2)2n n n n n ni j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑2222111(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑ 2111()02n ni j j i i j a b a b ===-≥∑∑所以222111()()()n n n iji i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即222111()()()n n niji i i j i a b a b ===≥∑∑∑即 (2222222)11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当……0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -== 即…………(1,2,,;1,2,,;0)ji j i ja a i n j nb b b ===≠时等号成立。