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高考数学经典专题：绝对值不等式中含参数成立问题1．已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,.（1）当3m =时，解不等式()3f x ≥；（2）证明：当0m <时，总存在0x 使00()21f x x <-+成立2．已知函数()32f x x =-.（1）若不等式213f x t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭的解集为11,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，求实数t 的值； （2）若不等式()3133y y f x x m -≤+++⋅对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范围.3．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈．（Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围．4．已知()|3|f x ax =-，不等式()6f x …的解集是{|13}x x -剟． （1）求a 的值；（2）若()()3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围． 5．已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|．（1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围． 6．已知定义在R 上的函数2()|24|f x x a x a =-+-.（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.7．已知,a b 均为实数，且3410a b += .（Ⅰ）求22a b +的最小值；（Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围.8．已知函数()|2||21|f x x x =+--.（1）求()5f x >-的解集（2）若关于x 的不等式2|2|||(|1|||)(0)b a b a a x x m a +--++-≠…能成立，求实数m 的取值范围.9．已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（Ⅱ）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.10．已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 11．函数()1f x x x a =-+-的图象关于直线2x =对称.（1）求a 的值；（2）若()2f x x m ≥+的解集非空，求实数m 的取值范围. 12．已知函数()|1||1|f x x x m =-+++．（1）当5m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若二次函数2y x 2x 3=-++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．13．已知函数()221f x x x =-++.（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()f x a x b ≤+恒成立，求+a b 的最小值.14．已知()2221f x x x a =+-+ （1）当3a =-时，求不等式()2f x x x >+的解集； （2）若不等式()0f x ≥的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.15．已知函数(),f x x x a a R =-∈.（Ⅰ）当()()111f f +->，求a 的取值范围；。
破译绝对值不等式中的含参问题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ一、填空题 1．不等式1|||5|1x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 ． 【答案】46a << 【解析】 试题分析：x 与1x同号，11x x x x ∴+=+122xx≥=（当且仅当1x =±时取“=”)251,51a a ∴>-+∴-<,解得46a <<,故答案为46a <<． 考点:1、绝对值不等式的解法;2、基本不等式求最值及不等式恒成立问题.2.已知()48,f x ax ax a R =--+∈，若()f x k ≤恒成,求k 的取值范围_____＿____． 【答案】[)12,+∞３.若不等式12ax +>在()1,+∞上恒成立,则实数a 的取值范围为___＿_____． 【答案】(,3]-∞- 【解析】试题分析:121212ax ax ax +>⇔+>+<-或13a a x x ⇔><-或在()1,+∞上恒成立,1a x> 在()1,+∞上不成立,由3a x<-在()1,+∞上恒成立得3x ≤-. 考点：含绝对值不等式的恒成立问题.４．若存在实数x 使13x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是__＿_____． 【答案】【解析】试题分析：本题的几何意义是:存在在数轴上到的距离与到1的距离之和小于3的点．有13a -≤,24a ∴-<<.考点:含绝对值的不等式的解法.【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解,对于形如或,利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法,解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题. 5．已知关于x 的不等式11x x c -+-<无解,实数c 的取值范围＿_____＿__＿． 【答案】][(),02,-∞⋃+∞６.已知函数．若的解集包含，则实数的取值范围为_＿________.【答案】【解析】f (x )≤|ｘ－4|⇔|ｘ－4|－｜x -2|≥|ｘ+ａ|.当ｘ∈[1,2]时，|x －４|-|ｘ-2|≥|x +a | ⇔4－x -(2-x )≥|x ＋a |⇔-2－a ≤x ≤2-a ．由条件得-2－a ≤1且2-a ≥２， 即-3≤a ≤0.故满足条件的ａ的取值范围为．7．若适合不等式2435x x k x -++-≤的x 的最大值为3,则实数k 的值为____＿＿_． 【答案】8【解析】因为x 的最大值为3，故x ﹣3<0， 原不等式等价于|x ２﹣４x+ｋ|﹣x+3≤５， 即﹣x ﹣2≤x 2﹣４ｘ＋ｋ≤x+２，则 ｘ2﹣5ｘ+ｋ﹣2≤0且x 2﹣3ｘ+ｋ+2≥0解的最大值为3, 设 x ２﹣5x ＋ｋ﹣2=0 的根分别为x 1和x ２，ｘ1<x 2， x 2﹣3x+k+2＝0的根分别为x 3和 x ４，ｘ3<x ４. 则x 2=3,或 x 4=３．若x 2=3,则9﹣15+k ﹣２=0,k ＝８， 若x ４＝3,则9﹣9+k+2=0，k=﹣2. 当k=﹣２时,原不等式无解,检验得:k ＝8 符合题意, 故答案为:８.８．存在,x R ∈使不等式1-2x x a --≤成立，则a 的取值范围是__＿__ 【答案】)[1 ∞-+，【解析】由题意得()min1212121a x x x x x x ⎡⎤≥------≤---=⎣⎦min1211x x a ⎡⎤∴---=-∴≥-⎣⎦9．已知函数的最小值是2,则的值是＿____＿__，不等式的解集是＿_＿＿___＿.【答案】 3 ][(),04,-∞⋃+∞【点睛】与简单的绝对值有关的问题，可用绝对值三角不等式a b a b +≥±得出最小值，要注意等号成立的条件,解绝对值不等式可利用绝对值的定义去绝对值符号,化为不含绝对值的不等式分类求解.1０．若关于x 的不等式()4log 22(0x x a a -++>>且1)a ≠恒成立则a 的取值范围是_＿___＿＿＿_. 【答案】()1,2【解析】关于x 的不等式ｌog a （|x −２|＋|x ＋a |)>2(a ＞0且a ≠1)恒成立, 即有当a ＞1时,可得|x −2|+｜ｘ+ａ｜>a 2恒成立，由｜x −２|+｜ｘ+a ｜⩾|x −２−ｘ−a |=|2+a ｜=2+ａ,当（ｘ−２)(x +ａ)⩾0时,取得等号, 即有ａ2<2+a ,解得−1<ａ<2,即为1<a <2; 当0<ａ<1时,可得|x −2｜+|x +a |＜a 2恒成立，由于|ｘ−2|+|x +ａ|⩾|x −２−x −a |=２＋a ,无最大值，则｜x −2｜+|ｘ+a |＜a 2不恒成立， 综上可得１<ａ<2. 故答案为：(1，2).11．已知函数()()11f x ax a x =---．(Ⅰ）当2a =时,满足不等式()0f x >的x 的取值范围为___＿___＿＿_. (Ⅱ）若函数()f x 的图象与x 轴没有交点，则实数a 的取值范围为_＿________. 【答案】 ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭点睛：含绝对值不等式的解法法一:利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想; 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想；法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.12.设函数()1f x x x a =-+-，如果x R ∀∈, ()2f x ≥,则a 的取值范围是________＿＿. 【答案】(][),13,-∞-⋃+∞ 【解析】对(),2x R f x ∀∈≥， ∴只需()f x 的最小值大于等于2,当1a >时， ∴当1x ≤时,()211f x x a a =-++≥-，当1x a <≤时, ()1f x a =-，当x a >时, ()211f x x a a =--≥-, ∴只需12a -≥,解得3a ≥;当1a ≤时,当x a ≤时, ()211f x x a a =-++≥-,当1a x <≤时,()1f x a =-,当1x >时， ()211f x x a a =--≥-， ∴只需12a -≥,解得1a ≤-, (][),13,a ∴∈-∞-⋃+∞,故答案为(][),13,-∞-⋃+∞.二、解答题13．选修4－５:不等式选讲()225f x x x =--+.（1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若不等式2x a x m -++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)3m =（2）5a ≤-或1a ≥.【解析】试题分析:(１)化简ｆ(x)的解析式,再利用单调性求得函数f(x ）的最小值m ；（2）利用绝对值三角不等式求得|x-a|＋｜x ＋2|≥|a+2|，可得|a+2|≥3，由此求得实数a 的取值范围．点睛:本题主要考查分类讨论去绝对值,不等式恒成立问题，体现了转化的数学思想，关键是利用绝对值三角不等式求出最值即可解决恒成立得到实数a 的范围. 14.已知函数()()240f x x m x m m =--+>. (１)当2m =时，求不等式()0f x ≤的解集；(2）若关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ，求m 的取值范围. 【答案】（1)(]2,-+∞ (２)102m <≤【解析】试题分析:(1)去掉绝对值符号,得到分段函数，然后求解不等式的解集.(２）“关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ”等价于“对任意实数x 和t ,()()max min 21f x t t ≤-++ ”．试题解析:(1）当2m =时， ()48f x x x =--+.所以()0f x ≤，即为480x x --+≤， 所以48x x -≤+,所以2x ≥-，即所求不等式解集为[)2,-+∞.(２)“关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ”等价于“对任意实数x 和t ,()()max min 21f x t t ≤-++ ”，因为246x m x m m --+≤, 213t t -++≥．所以63m ≤,即12m ≤,又0m >,所以102m <≤. 1５.函数()12f x x x a =-++． （1)当1a =时，求证: ()13f x x +-≥； （2)若()f x 的最小值为２,求实数a 的值. 【答案】(1)证明见解析；(2） 2a =或6a =-.【解析】试题分析:（1）当1a =时，利用绝对值三角不等式可证: ()13f x x +-≥； （2)分①当12a >-，②当12a <-,③当12a =-时，三种情况分类讨论，去掉绝对值符号,即可得到实数a 的值.②当12a<-,即2a <-时, ()31,1,{1,1, 231,,2x a x a f x x a x ax a x -+-≤=---<<-+-≥-则当2a x =-时， ()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭,故6a =-．③当12a=-时，即2a =-时， ()31f x x =-有最小值0,不符合题意，舍去. 16.已知函数()1f x x a x =-+-， a R ∈(１）当3a =时,求不等式()4f x ≤的解集；（2)若不等式()2f x <的解集为空集，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[]0,4;（2)(][),13,-∞-⋃+∞【解析】试题分析:(1)根据绝对值内的零点去掉绝对值，将函数写成分段形式,分段解不等式即可；(2)根据题意将问题转化为2≤f(x)mi ｎ,由绝对值三角不等式得到函数最值，求得参数范围即可。
一、含有参数的不等式的解法例题当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。
我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。
解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。
下面举例说明，以供同学们学习。
一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+1>0≠及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。
⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。
⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程的根。
⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 24410x x -+=轴的上方，不等式的解集为。
∅解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为；⎭⎫⎩⎨⎧=21|x x 当m>3时, 原不等式的解集为。
含参数的绝对值不等式的解法含参数的绝对值不等式是高中数学中常见的一类问题，解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。
本文将简要介绍含参数的绝对值不等式的解法，并通过例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握这类问题的解题方法。
一、绝对值不等式的基本概念在开始介绍含参数的绝对值不等式的解法之前，我们先来回顾一下绝对值不等式的基本概念。
对于任意实数x，绝对值|x|的定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
绝对值的定义告诉我们，无论x是正数还是负数，绝对值都是非负的。
绝对值不等式则是对绝对值进行不等式的运算，即|x|<a或|x|>a，其中a为正实数。
含参数的绝对值不等式的解法与普通的绝对值不等式有一些区别，需要根据参数的取值范围来进行分类讨论。
1. 当参数的取值范围为正数时，我们可以直接根据绝对值的定义进行求解。
例如，对于不等式|x-2|<a，其中a>0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-2≥0时，|x-2|=x-2，不等式变为x-2<a，解为x<a+2；（2）当x-2<0时，|x-2|=-(x-2)，不等式变为-(x-2)<a，解为x>2-a。
综合以上两种情况，得到不等式的解集为2-a<x<a+2。
2. 当参数的取值范围为负数时，同样可以根据绝对值的定义进行求解。
例如，对于不等式|x+3|<b，其中b<0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x+3≥0时，|x+3|=x+3，不等式变为x+3<b，解为x<b-3；（2）当x+3<0时，|x+3|=-(x+3)，不等式变为-(x+3)<b，解为x>-3-b。
综合以上两种情况，得到不等式的解集为b-3<x<-3-b。
3. 当参数的取值范围为正负混合时，我们需要分情况讨论。
例如，对于不等式|x-1|<c，其中c可以为正数也可以为负数，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-1≥0时，|x-1|=x-1，不等式变为x-1<c，解为x<c+1；（2）当x-1<0时，|x-1|=-(x-1)，不等式变为-(x-1)<c，解为x>1-c。
不等式含参题型及解题方法初一下册初一下册学习数学时，不等式含参题型是一个重要的知识点。
学生需要掌握不等式的性质和解题方法，以便能够熟练地解决各种不等式问题。
本文将深入探讨不等式含参题型及解题方法，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、不等式含参题型的基本概念不等式含参题型是指在不等式中含有未知数的题型。
通常情况下，不等式含参题型可以用代数的方法解决。
学生在解题时需要根据不等式的性质和解题方法进行分析和推演，最终得出解的过程。
不等式含参题型有以下几种常见形式：1.一元一次不等式：形如ax+b>c或ax+b≤c的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数。
2.一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c≥0的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数。
3.绝对值不等式：形如|ax+b|<c或|ax+b|≥c的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数。
二、不等式含参题型的解题方法解不等式的关键在于将不等式化为可以比较大小的形式，并找出未知数的取值范围。
下面将分别介绍解一元一次不等式、一元二次不等式和绝对值不等式的方法。
1.解一元一次不等式解一元一次不等式的方法主要有两种：用图形法和用代数法。
（1）图形法：将不等式对应的不等式式画出来，从图像上找出解集。
（2）代数法：通过代数运算和不等式的性质将不等式化为常见的形式，找出解的范围。
2.解一元二次不等式解一元二次不等式的方法通常采用代数法。
（1）先将不等式移项，将不等式转化为二次函数的问题。
（2）通过判别式求解二次不等式的解集，得出解的范围。
3.解绝对值不等式解绝对值不等式的方法也通常采用代数法。
（1）将绝对值不等式根据不同情况进行讨论：当ax+b≥0时，|ax+b|=ax+b；当ax+b<0时，|ax+b|=-(ax+b)。
（2）进一步化简绝对值不等式，得出解的情况。
三、不等式含参题型的解题技巧在解不等式含参题型时，学生可以借助一些解题技巧来提高解题效率和准确性。
课题含参绝对值不等式解法（3课时）总第课时备课组高二年级备课组主备课人张忠才授课时间2014年6月10备课组成员教学目标1.掌握含有参数绝对值不等式解法2.解含参绝对值不等式中注意参数的讨论重点掌握含有参数绝对值不等式解法难点参数的求解。
教学方法启学法教学手段多媒体教学过程教师与学生活动一、课前回顾(知识链接)含有绝对值不等式的类型及解法（学生默写出绝对值不等式的类型及解法）学生在黑板演练1、简单的去绝对值情形1、不等式：32-x≤1的解集是_______ ___．2.不等式：1-x≥3的解集是_______ _ _．3.解不等式：312>-+xx的解集是_______ _ _．2、涉及两个且另有一常数时，用分段讨论法去绝对值1. 不等式：|||1|3x x+->的解集是_______ _ _．2．不等式的解集为.3. 不等式|21|2|432|+-≥-xx的解集是_______ _ _．4．对于x R∈，不等式1028x x+--≥的解集为________二、例题讲解例题分析（1）1已知函数()f x x a=-,其中1a>.(I)当=2a时,求不等式()44f x x≥--的解集;(II)已知关于x的不等式()()222f x a f x+-≤的解集为{}|12x x≤≤,求a的值.2、本小题满分10分）设函数0,3)(>+-=axaxxf（1）当1=a时，求不等式23)(+≥xxf的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值。
3、已知函数()2f x x a x =++-（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.4．本小题满分10分）已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|.（I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集.5、设函数.|||1|)(a x x x f -+-=（I ）若3)(,1≥-=x f a 解不等式；（II ）如果a x f x 求,2)(,≥∈∀R 的取值范围。
含参数的绝对值不等式含参数的绝对值不等式一、教学目标知识与技能:了解处理绝对值不等式恒成立问题的基本解法，体会不同解决方法优缺点，能根据具体问题采取适当的解决方法。
过程与方法:通过把一个较难的题目改写成相对简单的问题，从而总结出这类题的处理方案，从而达到解决这类题目的方法和手段。
情感态度与价值观:培养学生观察，类比，化归转化、数形结合的数学思想方法，同时提高处理数学问题的能力。
教学重、难点：会解含参数的绝对值不等式恒成立问题二、教学方法与手段本节课利用多媒体辅助教学，采用学生多参与，学生讲解的方法。
三、教学过程（一）知识梳理1.绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤，当且仅当时，等号成立；(2)性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤，当且仅当时，等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔；②|ax＋b|≥c⇔.③|f(x)|≤g(x)⇔___________________________④|f(x)|≥g(x)⇔__________________________(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.（二）例题讲解类型一例1.已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中a的取值范围.(1)不等式有解；(2)不等式的解集为R；(3)不等式的解集为∅例2.已知不等式|2x+1|+|x-2|>a恒成立，求a的取值范围.规律方法不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a＜f (x )min .变式训练11.已知关于x 的不等式|2x －1|＋|2x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是________.2.恒成立，求a 的取值范围 3.有解，求m 取值范围4.已知f(x)=|x-1|-|2x+1|≤a 恒成立，求a 的取值范围类型二 221>++-a ax ax 3212>+--m x x 【例2】 已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. 设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围.变式训练2已知函数 ,并且的解集包含，求a 的取值范围。
不等式组的含参问题不等式组的含参问题是指在一组不等式中，存在一个或多个参数（未知数），需要求出这些参数的取值范围。
这类问题常见于代数与数学分析课程，对于学生来说是一个重要的考察对象。
在解决含参不等式组的问题时，我们可以考虑以下几个主要的思路和方法：1.图形法：将不等式转化为几何图形，在图形上找出参数的取值范围。
在平面直角坐标系上绘制不等式的图形，通过分析图形的位置、形状和交点等特征，确定参数的取值范围。
这种方法适用于一些简单的不等式组，例如线性不等式组或二次不等式组。
例如，考虑如下不等式组：{x + y ≤ 2,x² + y² ≥ k,x ≥ 0,y ≥ 0}将这些不等式转化为图形，可以发现参数k对应的图形是一个闭合的圆，而x + y ≤ 2确定了圆的位置。
因此，根据参数k的取值，圆可以与直线x + y = 2相交或相切。
2.代数方法：通过运用代数的方法进行计算和推导，求出参数的取值范围。
这种方法通常需要借助不等式之间的关系，推导出参数的上界和下界。
一般来说，在解决含参不等式组的问题时，我们需要考虑以下几种可能的情况：-不等式存在等号的情况：将不等式转化为等式，求出参数的值。
-含有分式的不等式：进行分式的乘法或约分，使得不等式中的分式被消去，然后根据参数的范围，确定解的取值。
-多个不等式的组合：通过将不等式进行叠加或相减，确定参数的范围。
例如，考虑如下不等式组：{x + 2y ≤ n,x - y ≥ n,y ≥ 0}我们可以将第一个不等式左右两边同时减去2y，得到x ≤ n -2y；然后将这个结果代入第二个不等式，得到n - 2y - y ≥ n，即-y ≥ 0，由此得出y ≤ 0。
因此，参数y的取值范围是y ≤ 0。
-不等式的相乘：通过乘法，将一个不等式转化为另一个不等式，然后根据参数的范围，确定解的取值。
例如，考虑如下不等式组：{x + y ≤ a,x - y ≤ a,a > 0,x ≥ 0,y ≥ 0}将这两个不等式相乘，得到(x + y)(x - y) ≤ a²，再根据x ≥ 0和y ≥ 0，可以得到x² - y² ≤ a²，即|x| ≤ a，从而x的取值范围是-x ≤ a且x ≥ 0，即0 ≤ x ≤ a。
不等式含参题型及解题方法初一下册一、不等式含参题型介绍不等式含参题型是初中数学中的重要知识点，通常在初一下册的数学教学中进行学习和训练。
不等式含参题型是指含有未知数的不等式，通过对不等式进行变形求解未知数的取值范围。
二、不等式含参题型的解题方法1.确定不等式的类型和形式在解不等式含参题型时，首先要确定不等式的形式，包括一元一次不等式、一元二次不等式等等。
根据不等式形式的不同，采取相应的解题方法。
2.移项变形对于一元一次不等式，通常采用移项变形的方法进行求解。
通过在不等式两边进行加减运算，将含有未知数的项移到一边，将常数项移到另一边，从而得到未知数的取值范围。
3.化简并求解对于一元二次不等式，通常需要先将不等式进行化简，然后再通过代数方法或图像法求解。
化简包括合并同类项、配方等步骤，通过化简后的形式求解未知数的取值范围。
4.运用不等式性质在解不等式含参题型时，还可以运用不等式的性质进行求解。
常用的不等式性质包括加法性质、乘法性质等，通过这些性质对不等式进行变形和运算，从而得到未知数的取值范围。
5.综合运用在实际的不等式含参题型中，通常需要综合运用以上的方法进行求解。
需要根据具体的不等式形式和题目要求，选择合适的解题方法进行求解，从而得到正确的结果。
三、不等式含参题型的典型例题及解析题目一：已知不等式2x + 3 < 7，求x的取值范围。
解析：首先将不等式进行移项变形，得到2x < 4。
然后将不等式两边都除以2，得到x < 2。
所以不等式2x + 3 < 7的解集为x < 2。
题目二：已知不等式x^2 - 3x + 2 > 0，求x的取值范围。
解析：首先将不等式进行化简，得到(x-1)(x-2) > 0。
然后通过代数方法或图像法对不等式进行求解，得到x < 1或x > 2。
所以不等式x^2 - 3x + 2 > 0的解集为x < 1或x > 2。
22+³+a x ax 11+>-a x x11<-x ax()()0221>----x a x a0)2(³--x x ax 012³--x axx ax x <-0)2)(1(1³----x x k k x 例2: 关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x Î恒成立，求a 的取值范围。
的取值范围。
含参数不等式及绝对值含参数不等式及绝对值不等式的解法不等式的解法例1解关于x 的不等式：2(1)0x x a a ---> 0)(322<++-a x a a x01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax例3：若不等式210x ax ³＋＋：2212<--+x x 1332+<-x x321+<+x x x x 332³-例8、 若不等式a x x >-+-34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围的取值范围若不等式a x x >---34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围的取值范围若不等式a x x <---34有解，求a 的取值范围的取值范围若不等式a x x <---34解集为R ，求a 的取值范围的取值范围 对于一切1(0,)2x Î成立，则a 的取值范围的取值范围. .例4：若对于任意a (]1,1-Î，函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0，求x 的取值范围。
取值范围。
例5：已知19££-a ,关于x 的不等式的不等式: : 0452<+-x ax 恒成立，求x 的范围。
的范围。
例 6 6：： 对于Îx （0，3）上的一切）上的一切实数实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的取值范围。
不等式组的含参问题不等式组的含参问题一：求解含参不等式组•问题描述：给定一个含有参数的不等式组，求解参数的取值范围，使得不等式组成立。
•解释说明：含参不等式组是指在多个不等式中，含有未知参数。
通过求解参数的取值范围，可以确定满足不等式组的解集。
问题二：参数的影响分析•问题描述：分析参数对不等式组解集的影响，即研究参数的变化如何影响不等式组的解集。
•解释说明：在含参不等式组中，参数的取值不同会导致解集的改变。
通过参数的影响分析，可以找出参数取值范围与解集的关系。
问题三：参数的极值问题•问题描述：对于含参不等式组，求解参数的极值点，使不等式组取得最值。
•解释说明：在求解参数的极值问题时，需要注意不等式组的约束条件和最值的定义，分析参数取极值时解集的特点。
•问题描述：研究参数在某些特殊取值时，不等式组所满足的特殊性质。
•解释说明：在含参不等式组中，当参数取某些特殊值时，解集可能具有特定的性质，如唯一解、无解、有无穷多解等。
问题五：参数的系统解问题•问题描述：对于复杂的含参不等式组，寻找参数的解集表达式或参数取值集合，使得不等式组的解集满足某些特定要求。
•解释说明：参数的系统解问题是在多个不等式之间存在约束条件的情况下，分析参数取值的限制条件，从而求得满足特定要求的解集。
问题六：参数的图像表示问题•问题描述：通过图像表示参数的取值范围，以直观地展示不等式组的解集。
•解释说明：参数的图像表示问题可以通过绘制不等式组的平面图或三维图，观察参数取值范围对解集形态的影响，从而更直观地理解不等式组。
以上是关于不等式组的含参的一些相关问题，通过解决这些问题，可以深入理解含参不等式组的特点和解集的性质。
•问题描述：分析含参不等式组中参数的取值，寻找满足特定约束条件的解集。
•解释说明：在含参不等式组中，参数的取值可能受到一定的约束条件，如参数的取值范围、参数与其他参数的关系等。
通过分析这些约束条件，可以确定满足特定条件的解集。
绝对值不等式中的含参问题在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。
绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。
一、绝对值的最值问题1、当绝对值中x 的系数相同时。
运用三角不等式：||a |−|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |例1：求函数f (x )=|x −3|+|x −4|的最值解：|x −3|+|x −4|≥|(x −3)−(x −4)|=1，函数f (x )的最小值为1。
例2：求函数f (x )=|2x −1|−|2x −3|的最值解：||2x −1|−|2x −3||≤|(2x −1)−(2x −3)|=2，即得到−2≤|2x −1|−|2x −3|≤2，函数f (x )的最小值为−2，最大值为2。
2、当绝对值中x 的系数不相同时。
①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。
例：求函数f (x )=|2x −2|+|x +2|的最值解：当{x ≤−2−(x +2)−(2x −2) 即{x ≤−2−3x ， 当{−2<x <1(x +2)−(2x −2) 即{−2<x <1−x +4， 当{x ≥1(x +2)+(2x −2) 即{x ≥13x。
则有f(x)={−3x, x≤−2−x+4, −2<x<13x, x≥1画出草图，或者由每一段的单调性判断直线的上升或者下降，图像从左往右先降，再降，后升，在x=1处，函数取得最小值3。
二、求绝对值中的参数范围1、恒成立问题∀x∈D,a<f(x)恒成立，则a<f min(x)∀x∈D,a>f(x)恒成立，则a>f max(x)例1：|x−3|+|x−4|>a对一切x∈R恒成立，求a的取值范围。
析：先求函数f(x)=|x−3|+|x−4|的最小值，再a<f min(x)解：由|x−3|+|x−4|≥|(x−3)−(x−4)|=1，得f min(x)= 1，则a<1。
不等式含参题型及解题方法初一下册不等式含参是初中数学中的一个重要内容，熟练掌握不等式含参的题型及解题方法对于学习数学有很大的帮助。
本文将从不等式的基本概念、不等式含参的基本形式和解题方法等方面展开介绍，旨在帮助学生掌握不等式含参的相关知识。
一、不等式的基本概念不等式是数学中的一个重要概念，它是指两个数之间的大小关系。
不等式中常见的符号有“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）和“≥”（大于等于），分别表示“小于”、“大于”、“小于等于”和“大于等于”的关系。
例如，3 < 5表示3小于5；8 > 6表示8大于6；4 ≤ 5表示4小于等于5；7 ≥ 5表示7大于等于5。
在不等式中，两个数之间用不等号连接，不等式的左边称为左端，右边称为右端。
二、不等式含参的基本形式不等式含参是指在不等式中含有未知数（或变量），通常以字母表示。
不等式含参的基本形式可以分为一元一次不等式和二元一次不等式两种。
1.一元一次不等式一元一次不等式是指未知数的最高次数为1的不等式。
其一般表示形式为ax + b > c（或ax + b < c），其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
例如，2x + 3 > 7就是一个一元一次不等式，其中未知数为x。
解一元一次不等式的基本方法是通过一系列的化简和推导，最终确定未知数的取值范围。
具体解题步骤可分为以下几步：（1）将不等式化简为形如ax > b（或ax < b）的形式；（2）确定未知数的取值范围，并得出结论。
2.二元一次不等式二元一次不等式是指含有两个未知数的一次不等式。
其一般表示形式为ax + by > c（或ax + by < c），其中a、b、c为常数，且a ≠ 0，b ≠ 0。
例如，3x + 2y ≤ 6就是一个二元一次不等式，其中未知数为x 和y。
解二元一次不等式的基本方法是通过一系列的化简和推导，最终确定两个未知数的取值范围。
§1.2.3 含参绝对值不等式的解法举例课题：绝对值不等式课时：2 使用时间：2012年3月__日备课小组：第二小组执笔人：石慧峰审稿人：杨慧一、旧知复习题组1.(2008上海,1) 不等式11<-x的解集是2. (2009浙江,13) 不等式211x x--<的解集是3.(2009山东,13) 不等式212<---xx的的解集是4.(2011山东，4) 不等式5310x x-++≥的解集是（）A．[-5，7] B．[-4，6] C．(][),57,-∞-+∞D．(][),46,-∞-+∞二、基础题组1.不等式52x m+≥+对任意实数x恒成立，则m的取值范围是2. 已知不等式2x a-≤(0)a>的解集为}{1x R x c∈-≤≤，求ca2+的值3.已知x a b-<的解集为(2,3)-，则a= ,b=三、拓展题组1. 若不等式26ax+<的解集为(1,2)-，则实数a等于（）.A8.B2.C4-.D8-2. 解关于x的不等式：①解关于x的不等式13mx-<；②231x a+-<()a R∈四、检测展示例题：已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|<a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围【分析思路】屯留一中导学案（高二数学）【解答过程】【变式拓展】()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是______ ()2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是_____ ()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ______五、学习小结1）一题有多法时，解题时需学会寻找最优解法。
2）构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法屯留一中导学案（高二数学）()f x a≤有解()min a f x ⇒≥；()f x a ≤解集为空集()min a f x ⇒<；这两者互补。
绝对值不等式的解法教案教学目的：(1)巩固ax b c与ax b c(c 0) 型不等式的解法，并能熟练地应用它解决问题；掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式；(2)培养数形结合的能力，分类讨论的思想，培养通过换元转化的思想方法，培养抽象思维的能力；(3)激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想．教学重点：分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式．教学难点：如何正确分类与分段，简单的参数问题．授课类型：新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：(略)教学过程：一、复习引入：x a与x a(a 0) 型不等式ax b c与ax b c(c 0) 型不等式的解法与解集不等式x a(a 0) 的解集是x a x a不等式x a(a 0) 的解集是{x x> a或x< - a}不等式ax b c(c 0)的解集为x| c ax b c (c 0)不等式ax b c(c 0) 的解集为{x|ax+ b< - c或ax+ b> c}(c> 0)二、讲解范例：例1 解不等式1 |2x-1|<5分析：怎么转化？怎么去掉绝对值？方法１：原不等式等价于|2x 1| 5 |2x 1| 12x 1 5 2x 1 5 2x 1 5 ① 或 2x 1 5 ② 2x 1 1 2x 1 1解①得： 1 x<3 ；解②得： -2<x 0∴原不等式的解集为 {x|-2<x 0 或 1 x<3}方法 2：原不等式等价于 1 2x-1<5 或 –5<2x-1 -1即 2 2x<6 或 –4<2x 0解得 1 x<3 或 –2<x 0∴原不等式的解集为 {x|-2<x 0 或 1 x<3}小结 ：比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的 依据是 a |x| b a x b 或 -b x -a(a 0)37 练习：解下列不等式： 2 2x 5 7 x| 1 x 或 x 6 22例 2 解不等式： |4x-3|>2x+1分析：关键是去掉绝对值4x 3 0 4x 3 0 方法 1：原不等式等价于 或 ， 4x 3 2x 1 (4x 3) 2x 11∴原不等式的解集为 {x|x>2 或 x< } 3方法 2：整体换元转化法分析：把右边看成常数 c ，就同 ax b c(c 0) 一样∵|4x-3|>2x+1 4x-3>2x+1 或 4x-3<-(2x+1) x>2 或 x< ，31∴原不等式的解集为 {x|x>2 或 x< }3例 3 解不等式： |x-3|-|x+1|<1分析：关键是去掉绝对值方法 1：零点分段讨论法(利用绝对值的代数定义)x 4 或 x23 4， 1 3∴ x>2 或 x< 1①当x 1时，x 3 0,x 1 0∴ (x 3) (x 1) 1 ∴ 4<1 x②当1 x 3时11∴(x 3) (x 1) 1 x ，∴ {x| x 3}22③当x 3 时(x 3) (x 1) 1 -4<1 x R ∴{x|x 3}综上，原不等式的解集为{x|x1}2也可以这样写：x 1 1 x 3解：原不等式等价于① 或② 或③(x 3) (x 1) 1 (x 3) (x 1) 1x3(x 3) (x 1) 11①的解集为φ，②的解集为{x| <x<3} ，③的解集为{x|x 3} ，21∴原不等式的解集为{x|x> }2方法2：数形结合从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1 表示数轴上到3 和-1 两点的距离之差小于1 的点．-1 O 1 2 3 x1∴原不等式的解集为{x|x> }2练习：解不等式：|x+2|+|x|>4分析1：零点分段讨论法．解法1：①当x -2 时，不等式化为-( x+2) -x>4 即x<-3，符合题意．②当–2<x<0 时，不等式化为x+2-x>x 即2>4，不合题意，舍去．③当x 0 时，不等式化为x+2+x>4 即x>1 ，符合题意．综上，原不等式的解集为{x|x<-3 或x>1}分析2：从形的方面考虑，不等式|x+2|+|x|>4 表示数轴上到-2 和0 两点的距离之和大于4 的点．解法2：因取数轴上点1右边的点及点-3 左边的点到点-2、0的距离之和均大于4．∴原不等式的解集为{x|x<-3 或x>1}例4 解关于x 的不等式① x a(a R),② x a(a R)解：∵ a R ，分类讨论如下①Ⅰ 当a 0时，解集为 ,Ⅱ当a 0时，解集为 {x| a x a},①Ⅰ 当a 0时，解集为 R,Ⅱ当a 0时，解集为 {x|x 0},Ⅲ当a 0时，解集为 {x| x a或x a},例5 解关于x 的不等式2x 3 1 a(a R)解：原不等式化为：2x 3 a 1，在求解时由于a+1 的正负不确定，需分情况讨论．①当a+1 0 即a -1 时，由于任何实数的绝对值非负，∴解集为a 4 a 2②当a+1>0 即a>-1 时，-(a+1)<2x+3<a+1=> <x<22综上得：① a 1时，解集为；②a 1时，解集为{ x | a24 x a22}练习：课本第16 页练习1、2备用例题例1．解下列不等式：(1) 2 2x 5 7 (2) x2 1 x2 1解(1) x R| 1 x 3或7x 6 ；(2) x R| x 0例2．已知不等式x 2 a (a 0) 的解集为x R| 1 x c ，求a 2c的值(a 3,c 5)例3．解关于的不等式2x 3 1 a (a R)三、课内练习：课本第16 页练习1、2四、小结：1．对含有绝对值的不等式的解法，通过上面的例子我们可以看到,其关键就在于去掉绝对值，而去掉绝对值，则需要对绝对值中的零点进行讨论，一般来说一个零点分两个范围，两个零点分三个零点，依次类推．2．对于含有绝对值的不等式，如果其中含有字母参数，则根据基本的绝对值不等式的解法进行分类讨论，讨论时，不重复，也不要遗漏．五、作业：课本第16页习题4，课本第42 页复习参考题7六、板书设计： (略)七、教学反思：重点讲清含一个绝对值不等式的零点分段法；讲清绝对值连不等式的解法．含有两个绝对值的不等式暂不涉及为宜．。
绝对值不等式中的含参问题
在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。
绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。
一、绝对值的最值问题
1、当绝对值中x 的系数相同时。
运用三角不等式：||a |−|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |
例1：求函数f (x )=|x −3|+|x −4|的最值
解：|x −3|+|x −4|≥|(x −3)−(x −4)|=1，函数f (x )的最小值为1。
例2：求函数f (x )=|2x −1|−|2x −3|的最值
解：||2x −1|−|2x −3||≤|(2x −1)−(2x −3)|=2，即得到−2≤|2x −1|−|2x −3|≤2，函数f (x )的最小值为−2，最大值为2。
2、当绝对值中x 的系数不相同时。
①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。
例：求函数f (x )=|2x −2|+|x +2|的最值
解：当{x ≤−2−(x +2)−(2x −2) 即{x ≤−2−3x ， 当{−2<x <1(x +2)−(2x −2) 即{−2<x <1−x +4， 当{x ≥1(x +2)+(2x −2) 即{x ≥13x。
则有f(x)={−3x, x≤−2
−x+4, −2<x<1
3x, x≥1
画出草图，或者由每一段的单调性判断直线的上升或者下降，图像从左往右先降，再降，后升，在x=1处，函数取得最小值3。
二、求绝对值中的参数范围
1、恒成立问题
∀x∈D,a<f(x)恒成立，则a<f min(x)
∀x∈D,a>f(x)恒成立，则a>f max(x)
例1：|x−3|+|x−4|>a对一切x∈R恒成立，求a的取值范围。
析：先求函数f(x)=|x−3|+|x−4|的最小值，再a<f min(x)
解：由|x−3|+|x−4|≥|(x−3)−(x−4)|=1，得f min(x)= 1，则a<1。
例2：f(x)=|2x−1|−|x+2|，对于x∈[0,1]，有f(x)<t2−3t 恒成立，求t的取值范围。
析：先求函数f(x)=|2x−1|−|x+2|的最大值，再解t2−3t> f max(x)二次不等式。
解：由于x∈[0,1]，则f(x)=|2x−1|−x−2，
当{0≤x≤1
2
−(2x−1)−x−2即{
0≤x≤1
2
−3x−1
当{1
2
<x≤1
2x−1−x−2即{
1
2
<x≤1
x−3
则有f(x)={−3x−1, 0≤x≤1
2
x−3, 1
2
<x≤1
画出草图，或者由每一段的单调性判断直线的上升或者下降，图
像在x∈[0,1]范围内，在x=0处，函数取得最大值−1，即f max(x)=−1。
则t2−3t>f max(x)=−1，解得t<3−√5
2或t>3+√5
2。
2、存在问题
∃x∈D,a<f(x)恒成立，则a<f max(x)
∃x∈D,a>f(x)恒成立，则a>f min(x)
例1：若存在实数x,使|2x−1|−|2x−3|≥a成立，求a的取值范围。
析：先求函数f(x)=|2x−1|−|2x−3|的最大值，再a≤f max(x)。
解：||2x−1|−|2x−3||≤|(2x−1)−(2x−3)|=2，即得到−2≤|2x−1|−|2x−3|≤2，函数f(x)的最大值为2，即f max(x)=2，则a≤2
例2：若存在实数x,使|x−a|+|x−1|≤3，求a的取值范围。
析：先求f(x)=|x−a|+|x−1|的最小值，再3≥f min(x)。
解：|x−a|+|x−1|≥|(x−a)−(x−1)|=|1−a|,即f min(x)= |1−a|。
则|1−a|≤3，得−2≤a≤4。
例3：设函数f(x)=|2x−1|+|ax−1|(a>0),a≠2，若存在x∈R，使f(x)≤1
2
成立，求实数a的取值范围。
析：先求f(x)=|2x−1|+|ax−1|(a>0),a≠2的最小值，再1
2
≥f min(x)。
解：①若0<a<2则1
a >1
2
，即f(x)=|2x−1|+|ax−1|
当{x≤1
2
−(2x−1)−(ax−1)即{
x≤1
2
−(a+2)x+2
当{12<x <1a (2x −1)−(ax −1) 即{12<x <1a (2−a )x
当{x ≥1a (2x −1)+(ax −1) 即{x ≥1a (a +2)x −2 则f (x )={
−(a +2)x +2, x ≤12(a −2)x, 1a <x <12(a +2)x −2, x ≥1a 得f min (x )=f (12)=1−a 2，则有12≥1−a 2
，得a ≥1。
②若a >2则1a <12，即f (x )=|ax −1|+|2x −1| 当{x <1a −(ax −1)−(2x −1) 即{x <1a −(a +2)x +2
当{1a ≤x ≤12(ax −1)−(2x −1) 即{1a ≤x ≤12(a −2)x
当{x ≥12(ax −1)+(2x −1) 即{x ≥12(a +2)x −2 则f (x )={ −(a +2)x +2, x <1a (a −2)x, 1a ≤x ≤12(a +2)x −2, x >12
得f min (x )=f (1a )=1−2a ，则有12≥1−2a
，得0<a ≤4。
综上所述，a 的取值范围为[1,+∞)∪(0,4]。
