破译绝对值不等式中地含参问题

破译绝对值不等式中的含参问题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ一、填空题 1．不等式1|||5|1x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 ． 【答案】46a << 【解析】 试题分析：x 与1x同号，11x x x x ∴+=+122xx≥=（当且仅当1x =±时取“=”)251,51a a ∴>-+∴-<,解得46a <<,故答案为46a <<． 考点:1、绝对值不等式的解法;2、基本不等式求最值及不等式恒成立问题.2.已知()48,f x ax ax a R =--+∈，若()f x k ≤恒成,求k 的取值范围_____＿____． 【答案】[)12,+∞３.若不等式12ax +>在()1,+∞上恒成立,则实数a 的取值范围为___＿_____． 【答案】(,3]-∞- 【解析】试题分析:121212ax ax ax +>⇔+>+<-或13a a x x ⇔><-或在()1,+∞上恒成立,1a x> 在()1,+∞上不成立,由3a x<-在()1,+∞上恒成立得3x ≤-. 考点：含绝对值不等式的恒成立问题.４．若存在实数x 使13x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是__＿_____． 【答案】【解析】试题分析：本题的几何意义是:存在在数轴上到的距离与到1的距离之和小于3的点．有13a -≤,24a ∴-<<.考点:含绝对值的不等式的解法.【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解,对于形如或,利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法,解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题. 5．已知关于x 的不等式11x x c -+-<无解,实数c 的取值范围＿_____＿__＿． 【答案】][(),02,-∞⋃+∞６.已知函数．若的解集包含，则实数的取值范围为_＿________.【答案】【解析】f (x )≤|ｘ－4|⇔|ｘ－4|－｜x -2|≥|ｘ+ａ|.当ｘ∈[1,2]时，|x －４|-|ｘ-2|≥|x +a | ⇔4－x -(2-x )≥|x ＋a |⇔-2－a ≤x ≤2-a ．由条件得-2－a ≤1且2-a ≥２， 即-3≤a ≤0.故满足条件的ａ的取值范围为．7．若适合不等式2435x x k x -++-≤的x 的最大值为3,则实数k 的值为____＿＿_． 【答案】8【解析】因为x 的最大值为3，故x ﹣3<0， 原不等式等价于|x ２﹣４x+ｋ|﹣x+3≤５， 即﹣x ﹣2≤x 2﹣４ｘ＋ｋ≤x+２，则 ｘ2﹣5ｘ+ｋ﹣2≤0且x 2﹣3ｘ+ｋ+2≥0解的最大值为3, 设 x ２﹣5x ＋ｋ﹣2=0 的根分别为x 1和x ２，ｘ1<x 2， x 2﹣3x+k+2＝0的根分别为x 3和 x ４，ｘ3<x ４. 则x 2=3,或 x 4=３．若x 2=3,则9﹣15+k ﹣２=0,k ＝８， 若x ４＝3,则9﹣9+k+2=0，k=﹣2. 当k=﹣２时,原不等式无解,检验得:k ＝8 符合题意, 故答案为:８.８．存在,x R ∈使不等式1-2x x a --≤成立，则a 的取值范围是__＿__ 【答案】)[1 ∞-+，【解析】由题意得()min1212121a x x x x x x ⎡⎤≥------≤---=⎣⎦min1211x x a ⎡⎤∴---=-∴≥-⎣⎦9．已知函数的最小值是2,则的值是＿____＿__，不等式的解集是＿_＿＿___＿.【答案】 3 ][(),04,-∞⋃+∞【点睛】与简单的绝对值有关的问题，可用绝对值三角不等式a b a b +≥±得出最小值，要注意等号成立的条件,解绝对值不等式可利用绝对值的定义去绝对值符号,化为不含绝对值的不等式分类求解.1０．若关于x 的不等式()4log 22(0x x a a -++>>且1)a ≠恒成立则a 的取值范围是_＿___＿＿＿_. 【答案】()1,2【解析】关于x 的不等式ｌog a （|x −２|＋|x ＋a |)>2(a ＞0且a ≠1)恒成立, 即有当a ＞1时,可得|x −2|+｜ｘ+ａ｜>a 2恒成立，由｜x −２|+｜ｘ+a ｜⩾|x −２−ｘ−a |=|2+a ｜=2+ａ,当（ｘ−２)(x +ａ)⩾0时,取得等号, 即有ａ2<2+a ,解得−1<ａ<2,即为1<a <2; 当0<ａ<1时,可得|x −2｜+|x +a |＜a 2恒成立，由于|ｘ−2|+|x +ａ|⩾|x −２−x −a |=２＋a ,无最大值，则｜x −2｜+|ｘ+a |＜a 2不恒成立， 综上可得１<ａ<2. 故答案为：(1，2).11．已知函数()()11f x ax a x =---．(Ⅰ）当2a =时,满足不等式()0f x >的x 的取值范围为___＿___＿＿_. (Ⅱ）若函数()f x 的图象与x 轴没有交点，则实数a 的取值范围为_＿________. 【答案】 ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭点睛：含绝对值不等式的解法法一:利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想; 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想；法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.12.设函数()1f x x x a =-+-，如果x R ∀∈, ()2f x ≥,则a 的取值范围是________＿＿. 【答案】(][),13,-∞-⋃+∞ 【解析】对(),2x R f x ∀∈≥， ∴只需()f x 的最小值大于等于2,当1a >时， ∴当1x ≤时,()211f x x a a =-++≥-，当1x a <≤时, ()1f x a =-，当x a >时, ()211f x x a a =--≥-, ∴只需12a -≥,解得3a ≥;当1a ≤时,当x a ≤时, ()211f x x a a =-++≥-,当1a x <≤时,()1f x a =-,当1x >时， ()211f x x a a =--≥-， ∴只需12a -≥,解得1a ≤-, (][),13,a ∴∈-∞-⋃+∞,故答案为(][),13,-∞-⋃+∞.二、解答题13．选修4－５:不等式选讲()225f x x x =--+.（1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若不等式2x a x m -++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)3m =（2）5a ≤-或1a ≥.【解析】试题分析:(１)化简ｆ(x)的解析式,再利用单调性求得函数f(x ）的最小值m ；（2）利用绝对值三角不等式求得|x-a|＋｜x ＋2|≥|a+2|，可得|a+2|≥3，由此求得实数a 的取值范围．点睛:本题主要考查分类讨论去绝对值,不等式恒成立问题，体现了转化的数学思想，关键是利用绝对值三角不等式求出最值即可解决恒成立得到实数a 的范围. 14.已知函数()()240f x x m x m m =--+>. (１)当2m =时，求不等式()0f x ≤的解集；(2）若关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ，求m 的取值范围. 【答案】（1)(]2,-+∞ (２)102m <≤【解析】试题分析:(1)去掉绝对值符号,得到分段函数，然后求解不等式的解集.(２）“关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ”等价于“对任意实数x 和t ,()()max min 21f x t t ≤-++ ”．试题解析:(1）当2m =时， ()48f x x x =--+.所以()0f x ≤，即为480x x --+≤， 所以48x x -≤+,所以2x ≥-，即所求不等式解集为[)2,-+∞.(２)“关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ”等价于“对任意实数x 和t ,()()max min 21f x t t ≤-++ ”，因为246x m x m m --+≤, 213t t -++≥．所以63m ≤,即12m ≤,又0m >,所以102m <≤. 1５.函数()12f x x x a =-++． （1)当1a =时，求证: ()13f x x +-≥； （2)若()f x 的最小值为２,求实数a 的值. 【答案】(1)证明见解析；(2） 2a =或6a =-.【解析】试题分析:（1）当1a =时，利用绝对值三角不等式可证: ()13f x x +-≥； （2)分①当12a >-，②当12a <-,③当12a =-时，三种情况分类讨论，去掉绝对值符号,即可得到实数a 的值.②当12a<-,即2a <-时, ()31,1,{1,1, 231,,2x a x a f x x a x ax a x -+-≤=---<<-+-≥-则当2a x =-时， ()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭,故6a =-．③当12a=-时，即2a =-时， ()31f x x =-有最小值0,不符合题意，舍去. 16.已知函数()1f x x a x =-+-， a R ∈(１）当3a =时,求不等式()4f x ≤的解集；（2)若不等式()2f x <的解集为空集，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[]0,4;（2)(][),13,-∞-⋃+∞【解析】试题分析:(1)根据绝对值内的零点去掉绝对值，将函数写成分段形式,分段解不等式即可；(2)根据题意将问题转化为2≤f(x)mi ｎ,由绝对值三角不等式得到函数最值，求得参数范围即可。

含参数的绝对值不等式的解法含参数的绝对值不等式是高中数学中常见的一类问题，解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。

本文将简要介绍含参数的绝对值不等式的解法，并通过例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握这类问题的解题方法。

一、绝对值不等式的基本概念在开始介绍含参数的绝对值不等式的解法之前，我们先来回顾一下绝对值不等式的基本概念。

对于任意实数x，绝对值|x|的定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

绝对值的定义告诉我们，无论x是正数还是负数，绝对值都是非负的。

绝对值不等式则是对绝对值进行不等式的运算，即|x|<a或|x|>a，其中a为正实数。

含参数的绝对值不等式的解法与普通的绝对值不等式有一些区别，需要根据参数的取值范围来进行分类讨论。

1. 当参数的取值范围为正数时，我们可以直接根据绝对值的定义进行求解。

例如，对于不等式|x-2|<a，其中a>0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-2≥0时，|x-2|=x-2，不等式变为x-2<a，解为x<a+2；（2）当x-2<0时，|x-2|=-(x-2)，不等式变为-(x-2)<a，解为x>2-a。

综合以上两种情况，得到不等式的解集为2-a<x<a+2。

2. 当参数的取值范围为负数时，同样可以根据绝对值的定义进行求解。

例如，对于不等式|x+3|<b，其中b<0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x+3≥0时，|x+3|=x+3，不等式变为x+3<b，解为x<b-3；（2）当x+3<0时，|x+3|=-(x+3)，不等式变为-(x+3)<b，解为x>-3-b。

综合以上两种情况，得到不等式的解集为b-3<x<-3-b。

3. 当参数的取值范围为正负混合时，我们需要分情况讨论。

例如，对于不等式|x-1|<c，其中c可以为正数也可以为负数，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-1≥0时，|x-1|=x-1，不等式变为x-1<c，解为x<c+1；（2）当x-1<0时，|x-1|=-(x-1)，不等式变为-(x-1)<c，解为x>1-c。

含参数含绝对值不等式的求解举例
广东顺德李伟强职校韦生
问题：如果不等式的解集是，求b的取值范围百度网上给出的答案：R 事实上，上述答案是错的：
例1：求不等式的解集
解：需要分为：和两种情况讨论
1.当时，即时，不等式等价于不等式组。

(1) 或(2)
解（1）得：解集。

解（2）得:或解集
综合：时，原不等式的解集为：
或
2当.即不等式等价于不等式组。

(3) 或(4)
解（3）得：
解（4）得:
综合：即不等式的解为
回到问题的开始：
如果不等式的解集是，求b的取值范围，那么b的取值范围应为:,而不是R
为此，我们可以通过验证来检验。

例2：（1）取b=1>时，不等式：的解集为：
（2）取b=<时，不等式：的解集为或
教学时，学生感觉此题较难，找不到解题思路。

从上面解题过程看，解法是进行二次分类讨论：首先确定b的分类：和；其次绝对值的分类；因此，加强多个知识点的综合应用练习，从而培养综合运用知识能力，更好的适应应考要求。

绝对值不等式中的含参问题在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考取不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些种类的题目作以梳理。

绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转变为一般不等式加以解决。

一、绝对值的最值问题1、当绝对值中的系数同样时。

运用三角不等式：例 1：求函数的最值解：，函数的最小值为 1。

例 2：求函数的最值解：，即获得，函数的最小值为，最大值为 2。

2、当绝对值中的系数不同样时。

①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上涨与降落判断最高或最低处），在分界点处求最值。

例：求函数的最值解：当即，即，当。

则有画出草图，或许由每一段的单一性判断直线的上涨或许降落，图像从左往右先降，再降，后升，在处，函数获得最小值3。

二、求绝对值中的参数范围1、恒建立问题例 1：围。

析：先求函数解：由对全部恒建立，求的最小值，a的取值范，得=，则。

例2：对于恒建立，求t 的取值范围。

析：先求函数二次不等式。

的最大值，再解解：因为当即当即则有 f(x)=像在画出草图，或许由每一段的单一性判断直线的上涨或许降落，范围内，在处，函数获得最大值。

则，解图，即得。

2、存在问题例 1：若存在实数x,使建立，求 a 的取值范围。

析：先求函数的最大值，再。

到解：，函数的最大值为，即得2，即，则例 2：若存在实数析：先求x,使，求的最小值，再a 的取值范围。

解：,。

则，得。

例 3：设函数，若存在，使建立，务实数 a 的取值范围。

析：先求的最小值，再。

解：①若，即当当当即即即则得，则有，得。

②若，即当当当即即即则得，则有，得。

综上所述， a 的取值范围为。

含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，且难度一般较大，通常会综合考查方程、函数、导数、不等式等知识点的应用.解答这类问题，可以从不同的角度入手，寻找到不同的解题思路.下面介绍几个破解含参不等式问题的“妙招”，以帮助大家提升解题的效率.一、数形结合数形结合法是解答数学问题的常用方法.通过数与形之间的相互转化，将不等式恒成立问题转化为函数图象的交点、位置关系问题，即可通过研究图形，破解不等式恒成立问题.在研究图形时，要特别关注临界的情形，如有1个交点、有2个交点、相切等情形.例1.若当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围.解：设f 1(x )=(x -1)2，f 2(x )=log a x ，在同一个平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示.要使不等式(x -1)2<log a x 在x ∈(1,2)上恒成立，需使f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方，即使a >1，由图可知，在x ∈(1,2)上，f 1(x )∈()0,4，且f 1(x )=(x -1)2的最高点为（2,4），当x =2时，由f 2(x )=log a x =4得a =2，所以a 的取值范围为(1,2].不等式两边的式子都是简单基本函数，于是分别画出两个函数的图象，将不等式恒成立问题转化为f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的位置关系问题.结合图形来分析f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的临界情形：两个图象的最高点在同一个位置，即可解题.二、分离参数对于含有参数的不等式恒成立问题，通常需将参数与变量分离，可先将不等式化为一边有参数、另一边无参数的形式；再根据已知条件，讨论不含有参数的式子的取值范围，进而确定参数的取值范围.例2.已知函数f ()x =ax -4x -x 2，当x ∈(0,4]时，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围.解：由f ()x =ax -4x -x 2<0可得a<，因为函数g ()x在x ∈(0,4]上为减函数，所以在x ∈(0,4]上，函数g ()x>g ()4=0，故a <0，即实数a 的取值范围为(-∞,0).解答本题，要先将实数a 与变量x 分离开；再根据g ()x 的单调性求得当x ∈(0,4]时g ()x 的值域，进而求出实数a 的取值范围.在分离参数时，要注意判断参数的正负值是否会对不等式的符号产生影响.三、分类讨论由于参数的取值往往不确定，所以在解答不等式恒成立问题时，我们通常需要对参数或某些变量进行分类讨论.确定分类讨论的标准和对象是用分类讨论法解题的关键.例3.设f ()x =x 2-2mx +2，当x ∈[-1,+∞)时，f ()x =x 2-2mx +2≥0恒成立，求参数m 的取值范围.解：设F ()x =x 2-2mx +2-m ，则问题就转化为当x ∈[-1,+∞)时，F ()x =x 2-2mx +2-m ≥0恒成立.①当△=4()m -1()m -2<0，即-2<m <1时，F ()x =x 2-2mx +2-m >0恒成立；②当△=4()m -1()m -2≥0时，ìíîïïïï△≥0,F ()-1≥0,--2m 2≤-1,即ìíîïïïï4()m -1()m +2≥0,m +3≥0,--2m 2≤-1,解得-3≤m ≤-2.综上所述，参数m 的取值范围为[-3,1).该不等式为二次式，且二次项的系数大于0，但方程的判别式对函数F ()x 和m 的取值有影响.于是采用分类讨论法，分△≥0和△<0两种情况讨论F ()x ≥0时m 的取值.虽然不等式恒成立问题的难度较大，但是我们只要掌握了解答此类问题的几个“妙招”，就能在解题时做到游刃有余.（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）O47Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

解答含参绝对值方程或不等式问题的策略当解答含参的绝对值方程或不等式问题时，我们需要采用一定的策略，以下是一些常用的方法：
1. 求解绝对值方程的一般步骤是：先将绝对值表达式分成两个部分，一个取正，一个取负，然后分别解方程，最后求出所有解并检验。

2. 求解绝对值不等式的一般步骤是：先将绝对值表达式分成两个部分，一个大于等于0，一个小于0，然后分别解不等式，最后求出所有解并检验。

3. 在解绝对值方程或不等式时，要注意绝对值表达式中的参数是否为0，如果是的话，需要特殊处理。

4. 在解绝对值方程或不等式时，要注意绝对值表达式中的参数是否为正或负数，这将影响分解式子的方向。

5. 如果绝对值方程或不等式中含有分式，需要先将分式化简成通分式，再进行处理。

6. 在解绝对值方程或不等式时，要注意绝对值表达式中的参数的范围，不能出现使得绝对值无意义的情况。

7. 在解绝对值方程或不等式时，可以使用数轴图像法，将方程或不等式的解用数轴表示出来，更加直观和易于理解。

总之，解答含参的绝对值方程或不等式问题需要灵活运用各种数学方法和技巧，才能得出正确的解答。

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§1.2.3 含参绝对值不等式的解法举例课题：绝对值不等式课时：2 使用时间：2012年3月__日备课小组：第二小组执笔人：石慧峰审稿人：杨慧一、旧知复习题组1.(2008上海,1) 不等式11<-x的解集是2. (2009浙江,13) 不等式211x x--<的解集是3.(2009山东,13) 不等式212<---xx的的解集是4.(2011山东，4) 不等式5310x x-++≥的解集是（）A．[-5，7] B．[-4，6] C．(][),57,-∞-+∞D．(][),46,-∞-+∞二、基础题组1.不等式52x m+≥+对任意实数x恒成立，则m的取值范围是2. 已知不等式2x a-≤(0)a>的解集为}{1x R x c∈-≤≤，求ca2+的值3.已知x a b-<的解集为(2,3)-，则a= ,b=三、拓展题组1. 若不等式26ax+<的解集为(1,2)-，则实数a等于（）.A8.B2.C4-.D8-2. 解关于x的不等式：①解关于x的不等式13mx-<；②231x a+-<()a R∈四、检测展示例题：已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|<a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围【分析思路】屯留一中导学案（高二数学）【解答过程】【变式拓展】()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是______ ()2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是_____ ()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ______五、学习小结1）一题有多法时，解题时需学会寻找最优解法。

2）构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法屯留一中导学案（高二数学）()f x a≤有解()min a f x ⇒≥；()f x a ≤解集为空集()min a f x ⇒<；这两者互补。

含参绝对值不等式的解法稿子一嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊含参绝对值不等式的解法哟！你们知道吗，这含参绝对值不等式就像个调皮的小精灵，有时候会把咱们弄得晕头转向。

但别怕，咱们一起来征服它！比如说，遇到那种最简单的形式，像 |x a| b 这种。

咱们就可以把它拆分成 b x a b ，然后一步步算出 x 的范围。

是不是感觉还不算太难？可要是参数多起来，那可就有点头疼啦！不过没关系，咱们要冷静，仔细分析。

比如说 |ax + b| c 这种，咱们得先考虑 a 的正负。

如果 a 是正的，那就好办啦，直接像刚刚那样拆开就行。

但要是 a 是负的呢？那咱们得变个号，变成 c ax + b c ，然后再计算。

还有的时候，会碰到像 |x a| > b 这样的，这时候就要分成 x a b 或者 x a > b 两种情况来算。

哎呀，说起来好像有点复杂，但只要咱们多做几道题，多练练手，就会发现其实也没那么可怕啦！加油哟，小伙伴们，相信咱们一定能搞定含参绝对值不等式这个小调皮！稿子二嘿，朋友们！今天咱们来好好唠唠含参绝对值不等式的解法！一提到这个，是不是有的小伙伴脑袋都大啦？别慌别慌，听我慢慢说。

比如说有个不等式 |2x 3| 5 ，那咱们就可以把它想成 2x 3 在 5 和 5 之间，也就是 5 2x 3 5 ，解出来就是 1 x 4 ，是不是还挺简单的？但要是变成 |ax + b| c ，这里面多了个参数 a ，那就得小心啦。

要是 a 大于 0 ，那直接解 c ax + b c 就行。

可要是 a 小于0 呢？这时候得变号哟，变成 c (ax + b) c ，然后再去解。

再比如说 |x a| > b ，这就得分成两种情况，一种是 x ab ，另一种是 x a > b ，分别解出来，再把结果综合一下。

有时候参数会藏得很深，这就需要我们有一双火眼金睛，把它找出来，然后按照规则去处理。

解含参绝对值不等式就像是一场冒险，虽然会遇到一些小困难，但只要我们勇敢向前，多思考，多尝试，就一定能找到宝藏，也就是正确的答案！大家加油哟，相信自己是最棒的！。