绝对值不等式中的含参问题(原创)

高考数学经典专题：绝对值不等式中含参数成立问题1．已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,.（1）当3m =时，解不等式()3f x ≥；（2）证明：当0m <时，总存在0x 使00()21f x x <-+成立2．已知函数()32f x x =-.（1）若不等式213f x t ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭的解集为11,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，求实数t 的值； （2）若不等式()3133y y f x x m -≤+++⋅对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范围.3．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈．（Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围．4．已知()|3|f x ax =-，不等式()6f x …的解集是{|13}x x -剟． （1）求a 的值；（2）若()()3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围． 5．已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|．（1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围． 6．已知定义在R 上的函数2()|24|f x x a x a =-+-.（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.7．已知,a b 均为实数，且3410a b += .（Ⅰ）求22a b +的最小值；（Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围.8．已知函数()|2||21|f x x x =+--.（1）求()5f x >-的解集（2）若关于x 的不等式2|2|||(|1|||)(0)b a b a a x x m a +--++-≠…能成立，求实数m 的取值范围.9．已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（Ⅱ）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.10．已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 11．函数()1f x x x a =-+-的图象关于直线2x =对称.（1）求a 的值；（2）若()2f x x m ≥+的解集非空，求实数m 的取值范围. 12．已知函数()|1||1|f x x x m =-+++．（1）当5m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若二次函数2y x 2x 3=-++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．13．已知函数()221f x x x =-++.（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()f x a x b ≤+恒成立，求+a b 的最小值.14．已知()2221f x x x a =+-+ （1）当3a =-时，求不等式()2f x x x >+的解集； （2）若不等式()0f x ≥的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.15．已知函数(),f x x x a a R =-∈.（Ⅰ）当()()111f f +->，求a 的取值范围；。

破译绝对值不等式中的含参问题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ一、填空题 1．不等式1|||5|1x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 ． 【答案】46a << 【解析】 试题分析：x 与1x同号，11x x x x ∴+=+122xx≥=（当且仅当1x =±时取“=”)251,51a a ∴>-+∴-<,解得46a <<,故答案为46a <<． 考点:1、绝对值不等式的解法;2、基本不等式求最值及不等式恒成立问题.2.已知()48,f x ax ax a R =--+∈，若()f x k ≤恒成,求k 的取值范围_____＿____． 【答案】[)12,+∞３.若不等式12ax +>在()1,+∞上恒成立,则实数a 的取值范围为___＿_____． 【答案】(,3]-∞- 【解析】试题分析:121212ax ax ax +>⇔+>+<-或13a a x x ⇔><-或在()1,+∞上恒成立,1a x> 在()1,+∞上不成立,由3a x<-在()1,+∞上恒成立得3x ≤-. 考点：含绝对值不等式的恒成立问题.４．若存在实数x 使13x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是__＿_____． 【答案】【解析】试题分析：本题的几何意义是:存在在数轴上到的距离与到1的距离之和小于3的点．有13a -≤,24a ∴-<<.考点:含绝对值的不等式的解法.【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解,对于形如或,利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法,解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题. 5．已知关于x 的不等式11x x c -+-<无解,实数c 的取值范围＿_____＿__＿． 【答案】][(),02,-∞⋃+∞６.已知函数．若的解集包含，则实数的取值范围为_＿________.【答案】【解析】f (x )≤|ｘ－4|⇔|ｘ－4|－｜x -2|≥|ｘ+ａ|.当ｘ∈[1,2]时，|x －４|-|ｘ-2|≥|x +a | ⇔4－x -(2-x )≥|x ＋a |⇔-2－a ≤x ≤2-a ．由条件得-2－a ≤1且2-a ≥２， 即-3≤a ≤0.故满足条件的ａ的取值范围为．7．若适合不等式2435x x k x -++-≤的x 的最大值为3,则实数k 的值为____＿＿_． 【答案】8【解析】因为x 的最大值为3，故x ﹣3<0， 原不等式等价于|x ２﹣４x+ｋ|﹣x+3≤５， 即﹣x ﹣2≤x 2﹣４ｘ＋ｋ≤x+２，则 ｘ2﹣5ｘ+ｋ﹣2≤0且x 2﹣3ｘ+ｋ+2≥0解的最大值为3, 设 x ２﹣5x ＋ｋ﹣2=0 的根分别为x 1和x ２，ｘ1<x 2， x 2﹣3x+k+2＝0的根分别为x 3和 x ４，ｘ3<x ４. 则x 2=3,或 x 4=３．若x 2=3,则9﹣15+k ﹣２=0,k ＝８， 若x ４＝3,则9﹣9+k+2=0，k=﹣2. 当k=﹣２时,原不等式无解,检验得:k ＝8 符合题意, 故答案为:８.８．存在,x R ∈使不等式1-2x x a --≤成立，则a 的取值范围是__＿__ 【答案】)[1 ∞-+，【解析】由题意得()min1212121a x x x x x x ⎡⎤≥------≤---=⎣⎦min1211x x a ⎡⎤∴---=-∴≥-⎣⎦9．已知函数的最小值是2,则的值是＿____＿__，不等式的解集是＿_＿＿___＿.【答案】 3 ][(),04,-∞⋃+∞【点睛】与简单的绝对值有关的问题，可用绝对值三角不等式a b a b +≥±得出最小值，要注意等号成立的条件,解绝对值不等式可利用绝对值的定义去绝对值符号,化为不含绝对值的不等式分类求解.1０．若关于x 的不等式()4log 22(0x x a a -++>>且1)a ≠恒成立则a 的取值范围是_＿___＿＿＿_. 【答案】()1,2【解析】关于x 的不等式ｌog a （|x −２|＋|x ＋a |)>2(a ＞0且a ≠1)恒成立, 即有当a ＞1时,可得|x −2|+｜ｘ+ａ｜>a 2恒成立，由｜x −２|+｜ｘ+a ｜⩾|x −２−ｘ−a |=|2+a ｜=2+ａ,当（ｘ−２)(x +ａ)⩾0时,取得等号, 即有ａ2<2+a ,解得−1<ａ<2,即为1<a <2; 当0<ａ<1时,可得|x −2｜+|x +a |＜a 2恒成立，由于|ｘ−2|+|x +ａ|⩾|x −２−x −a |=２＋a ,无最大值，则｜x −2｜+|ｘ+a |＜a 2不恒成立， 综上可得１<ａ<2. 故答案为：(1，2).11．已知函数()()11f x ax a x =---．(Ⅰ）当2a =时,满足不等式()0f x >的x 的取值范围为___＿___＿＿_. (Ⅱ）若函数()f x 的图象与x 轴没有交点，则实数a 的取值范围为_＿________. 【答案】 ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭点睛：含绝对值不等式的解法法一:利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想; 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想；法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.12.设函数()1f x x x a =-+-，如果x R ∀∈, ()2f x ≥,则a 的取值范围是________＿＿. 【答案】(][),13,-∞-⋃+∞ 【解析】对(),2x R f x ∀∈≥， ∴只需()f x 的最小值大于等于2,当1a >时， ∴当1x ≤时,()211f x x a a =-++≥-，当1x a <≤时, ()1f x a =-，当x a >时, ()211f x x a a =--≥-, ∴只需12a -≥,解得3a ≥;当1a ≤时,当x a ≤时, ()211f x x a a =-++≥-,当1a x <≤时,()1f x a =-,当1x >时， ()211f x x a a =--≥-， ∴只需12a -≥,解得1a ≤-, (][),13,a ∴∈-∞-⋃+∞,故答案为(][),13,-∞-⋃+∞.二、解答题13．选修4－５:不等式选讲()225f x x x =--+.（1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若不等式2x a x m -++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)3m =（2）5a ≤-或1a ≥.【解析】试题分析:(１)化简ｆ(x)的解析式,再利用单调性求得函数f(x ）的最小值m ；（2）利用绝对值三角不等式求得|x-a|＋｜x ＋2|≥|a+2|，可得|a+2|≥3，由此求得实数a 的取值范围．点睛:本题主要考查分类讨论去绝对值,不等式恒成立问题，体现了转化的数学思想，关键是利用绝对值三角不等式求出最值即可解决恒成立得到实数a 的范围. 14.已知函数()()240f x x m x m m =--+>. (１)当2m =时，求不等式()0f x ≤的解集；(2）若关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ，求m 的取值范围. 【答案】（1)(]2,-+∞ (２)102m <≤【解析】试题分析:(1)去掉绝对值符号,得到分段函数，然后求解不等式的解集.(２）“关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ”等价于“对任意实数x 和t ,()()max min 21f x t t ≤-++ ”．试题解析:(1）当2m =时， ()48f x x x =--+.所以()0f x ≤，即为480x x --+≤， 所以48x x -≤+,所以2x ≥-，即所求不等式解集为[)2,-+∞.(２)“关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ”等价于“对任意实数x 和t ,()()max min 21f x t t ≤-++ ”，因为246x m x m m --+≤, 213t t -++≥．所以63m ≤,即12m ≤,又0m >,所以102m <≤. 1５.函数()12f x x x a =-++． （1)当1a =时，求证: ()13f x x +-≥； （2)若()f x 的最小值为２,求实数a 的值. 【答案】(1)证明见解析；(2） 2a =或6a =-.【解析】试题分析:（1）当1a =时，利用绝对值三角不等式可证: ()13f x x +-≥； （2)分①当12a >-，②当12a <-,③当12a =-时，三种情况分类讨论，去掉绝对值符号,即可得到实数a 的值.②当12a<-,即2a <-时, ()31,1,{1,1, 231,,2x a x a f x x a x ax a x -+-≤=---<<-+-≥-则当2a x =-时， ()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭,故6a =-．③当12a=-时，即2a =-时， ()31f x x =-有最小值0,不符合题意，舍去. 16.已知函数()1f x x a x =-+-， a R ∈(１）当3a =时,求不等式()4f x ≤的解集；（2)若不等式()2f x <的解集为空集，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[]0,4;（2)(][),13,-∞-⋃+∞【解析】试题分析:(1)根据绝对值内的零点去掉绝对值，将函数写成分段形式,分段解不等式即可；(2)根据题意将问题转化为2≤f(x)mi ｎ,由绝对值三角不等式得到函数最值，求得参数范围即可。

含参数的绝对值不等式的解法含参数的绝对值不等式是高中数学中常见的一类问题，解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。

本文将简要介绍含参数的绝对值不等式的解法，并通过例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握这类问题的解题方法。

一、绝对值不等式的基本概念在开始介绍含参数的绝对值不等式的解法之前，我们先来回顾一下绝对值不等式的基本概念。

对于任意实数x，绝对值|x|的定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。

绝对值的定义告诉我们，无论x是正数还是负数，绝对值都是非负的。

绝对值不等式则是对绝对值进行不等式的运算，即|x|<a或|x|>a，其中a为正实数。

含参数的绝对值不等式的解法与普通的绝对值不等式有一些区别，需要根据参数的取值范围来进行分类讨论。

1. 当参数的取值范围为正数时，我们可以直接根据绝对值的定义进行求解。

例如，对于不等式|x-2|<a，其中a>0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-2≥0时，|x-2|=x-2，不等式变为x-2<a，解为x<a+2；（2）当x-2<0时，|x-2|=-(x-2)，不等式变为-(x-2)<a，解为x>2-a。

综合以上两种情况，得到不等式的解集为2-a<x<a+2。

2. 当参数的取值范围为负数时，同样可以根据绝对值的定义进行求解。

例如，对于不等式|x+3|<b，其中b<0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x+3≥0时，|x+3|=x+3，不等式变为x+3<b，解为x<b-3；（2）当x+3<0时，|x+3|=-(x+3)，不等式变为-(x+3)<b，解为x>-3-b。

综合以上两种情况，得到不等式的解集为b-3<x<-3-b。

3. 当参数的取值范围为正负混合时，我们需要分情况讨论。

例如，对于不等式|x-1|<c，其中c可以为正数也可以为负数，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-1≥0时，|x-1|=x-1，不等式变为x-1<c，解为x<c+1；（2）当x-1<0时，|x-1|=-(x-1)，不等式变为-(x-1)<c，解为x>1-c。

含参数含绝对值不等式的求解举例
广东顺德李伟强职校韦生
问题：如果不等式的解集是，求b的取值范围百度网上给出的答案：R 事实上，上述答案是错的：
例1：求不等式的解集
解：需要分为：和两种情况讨论
1.当时，即时，不等式等价于不等式组。

(1) 或(2)
解（1）得：解集。

解（2）得:或解集
综合：时，原不等式的解集为：
或
2当.即不等式等价于不等式组。

(3) 或(4)
解（3）得：
解（4）得:
综合：即不等式的解为
回到问题的开始：
如果不等式的解集是，求b的取值范围，那么b的取值范围应为:,而不是R
为此，我们可以通过验证来检验。

例2：（1）取b=1>时，不等式：的解集为：
（2）取b=<时，不等式：的解集为或
教学时，学生感觉此题较难，找不到解题思路。

从上面解题过程看，解法是进行二次分类讨论：首先确定b的分类：和；其次绝对值的分类；因此，加强多个知识点的综合应用练习，从而培养综合运用知识能力，更好的适应应考要求。

不等式的绝对值法与参数范围绝对值是数学中的一个重要概念，它在不等式的研究和解决中起着重要的作用。

本文将介绍不等式的绝对值法以及如何确定参数的范围，帮助读者更好地应用这些方法解决不等式问题。

一、不等式的绝对值法不等式的绝对值法是一种常用的解决不等式的方法。

当我们遇到复杂的不等式时，可以通过引入绝对值符号来简化计算和分析过程。

下面我们将通过具体的例子来说明这种方法。

例1：解不等式|3x + 2| ≥ 5首先，我们可以将该不等式拆分成两个简单的不等式，来考虑绝对值的两个可能取值：3x + 2 ≥ 5和 -(3x + 2) ≥ 5解第一个不等式，我们得到3x + 2 ≥ 5，进一步推导可得x ≥ 1。

解第二个不等式，我们得到 -(3x + 2) ≥ 5，进一步推导可得x ≤ -7/3。

将得到的结果综合起来，我们得到不等式的解集：x ≤ -7/3 或x ≥ 1。

通过使用绝对值法，我们可以将原本较为复杂的不等式简化为两个简单的不等式，并分别求解，最后得到整个不等式的解集。

二、确定参数范围在解决含有参数的不等式时，我们需要确定参数的范围，以保证不等式的解有意义。

下面我们将通过一个例子来说明如何确定参数的范围。

例2：解不等式 2x^2 + px + 3 > 0，其中 p 是实数。

首先，我们需要考虑二次函数 2x^2 + px + 3 的图像特征。

根据一元二次函数的性质，当二次项系数大于0时，函数的图像开口向上，当二次项系数小于0时，函数的图像开口向下。

我们希望不等式 2x^2 + px + 3 > 0，即函数的取值大于0，因此我们需要考虑函数图像的位置。

对于一元二次函数，我们可以通过判别式来确定函数的根的情况。

判别式的计算公式为Δ = p^2 - 4ac。

根据判别式的不同情况，可以得到函数的根的性质：1. 当Δ = p^2 - 4ac = 0 时，函数有两个相等的实数根，此时函数图像与 x 轴有一个交点，开口向上。

含参绝对值不等式恒成立问题
【评注】
本题就是绝对值不等式恒成立问题的典型，将不等式左端视为新函数，求出该函数的最大值，然后转化为一元二次不等式的解法。

法1利用零点分段法，思路清晰，作出图象，直观明了；法2利用绝对值三角不等式，简洁迅速，二者殊途同归。

在小题中，提倡用法2，节约时间。

【评注】
恒成立的对立面就是无解，要使原不等式无解，只需右端比左端的最小值还小即可。

于是本题转化为左端函数的最小值问题，所用方法与例题1一致。

【评注】
本题中，应用零点分段法没有什么可说的，值得注意的是法2，对于变量系数不相同时，怎么拆分利用绝对值三角不等式，这是很多人都面临的困难，本题给出了答案。