数轴上两点间的距离课件

2．通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，， 得xy＝ ＝41， ， 因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．

|P1P2|=|x1-x2| 在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2) ，那么点P1和P2的距离为：
|P1P2|=|y1-y2|
实质上，以上两种可归结为下列两类情形：
y
P1 P2
o x1
x x2
y
y2
y1
o
P2
P1
x
x1 x2 y1 y2
|P1P2|=|x1-x2|
x1 x2 y1 y2
解题策略
用解析法(坐标法)解决几何问题的基本步骤 第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数计算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
巩固练习
3.已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建立适当的 平面直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC|. 证明：以 Rt△ABC 的直角边 AB，AC 所在直线为坐标轴，建立 如图所示的平面直角坐标系．设 B，C 两点的坐标分别为(b，0)， (0，c)，斜边 BC 的中点为 M，
|AC|＝
3＋322＋0－322＝3 210.
由于∠BAC＝90°，
所以 S△ABC＝12|AB|·|AC|＝12× 210×3 210＝145. 综上可知，当 A 点的坐标为(1，－1)时，△ABC 的面积为 5，当
A 点的坐标为－23，32时，△ABC 的面积为145.
例题讲解
例3、已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，试建立适当 的直角坐标系，证明：|AC|＝|BD|.
探究新知
由此可见，已知x轴上一点P1(x0，0)和y 轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距 离为：
P2 y | P1P2 | x02 y02
o
P1 x

A 0 , 0 , B a , 0 , C b , c , D b a , c .
所以
AB a ,
2 2
2 2 2
y D (b-a, c)
C (b, c) x
AD b a c ,
AC b c,
2 2 2
O
A(0,0)
B(a,0)
2 BD b 2 a c 2 2
d(A,C)=
2 2
即|AC|=|BC|且三点不共线
所以，三角形ABC为等腰三角形。
【例3】已知 ABCD ,求证 2 2 2 2 AC BD 2 AB AD .
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A，B，C，D的坐标为
A
[题组冲关] 3．假如某爱国实业家在20世纪初需要了解全国各地商业信
息，可采用的最快捷的方式是
(
)
A．乘坐飞机赴各地了解 B．通过无线电报输送讯息 C．通过互联网 D．乘坐火车赴各地了解
解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信 息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部 邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国邮联大会 。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。 3．交通通讯变化的影响

感悟新知
总结
知2－讲
1.数轴的两个最基本的应用：
一是知点读数，二是知数画点，
知数画点
即：数
点(形)，它是最直观的数形结合体．
知点读数
2.数轴上的点与有理数的关系：
数轴上的每一个点都表示一个数，所有的有理数都可以用数
轴上的点来表示，但数轴上还有一部分点表示的不是有理数，因
此数轴上的点与有理数之间不是一一对应的关系，比如π这样的
知1－练
感悟新知
总结
知1－讲
辨认数轴，要紧扣数轴的定义，环绕数轴 的原点、正方向、单位长度三要素进行判断， 三者缺一不可．
感悟新知
1.下图所画数轴正确的是( D )
知1－练
2.画一条以50为单位长度的数轴． 解：如图.
感悟新知
3.下列各图中，所画数轴正确的是( D )
A
B
C
D
知1－练
感悟新知
(1)每对点在原点的同侧还是异侧？ (2)每对点与原点的距离具有什么关系？
容易看出：表示4和－4的点位于原点两侧，并 且到原点的距离相等，都是4个单位长度.表示2. 5和 －2. 5的点，也具有上述特点.
知3－导
感悟新知 总结
数轴上的点的距离是一个非负数.
知3－讲
感悟新知
例4 如下图，数轴上有三个点A，B，C.
感悟新知
知2－练
1. 画出数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点． －100，－50，0，200，50，325.
解：如图.
感悟新知
1 2.在数轴上表示－2，0，6.3，5
边的点有( C )
知2－练
的点中，在原点右
A．0个
B．1个
C．2个

3.2.2 两点间的距离
问题提出
1.在平面直角坐标系中，根据直线 的方程可以确定两直线平行、垂直等位 置关系，以及求两相交直线的交点坐标， 我们同样可以根据点的坐标确定点与点 之间的相对位置关系. 2.平面上点与点之间的相对位置关 系一般通过什么数量关系来反映？
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离 公式可作怎样的变形？
|P 1P 2 || x2 x1 | 1 k
2
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
1 |P 1P 2 || y2 y1 | 1 2 k
|P 1P 2 || x2 x1 | 1 k
2
1 | y2 y1 | 1 2 k
思考3:上述两个结论是两点间距离公式 的两种变形，其使用条件分别是什么？
思考4:若已知 x1 x2 和 x1 x2 ，如何 求 | x2 x1 | ？
/xiaoxue/ 数学辅导 语文补习 英语补习班
数学（汉语拼音：shù xué；希腊语：μ α θ η μ α τ ι κ ；英语：Mathematics），源自于古希腊语的μ θ η μ α （máthēma），其有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点，“学问的基础”。另外，还有个较狭隘且技术 性的意义——“数学研究”。即使在其语源内，其形容词意义凡与学习有关的，亦会被用来指数学的。其在英语的复数形式，及在法语中的复数形式+es成mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数（Mathematic

3
选取某一长度作为 单位长度，规定直线上向右的方向为 正方向
这样的直线叫做数轴。
2020/7/14
7
数轴的特征
数轴的特征
1、数轴是一条直线 原点
2、数轴的三要素 正方向 单位长度
2020/7/14
8
想一想
（1）画数轴的步骤是什么？
总结数轴的画法（见后面）
（2）根据上述实例的经验，“原点”起什么作用？
（2）数轴有“三要素” ：原点、单位长度和正 方向。
（3）“规定”是指原点 位置、正方向的选取和 单位长度的大小都根据 需要而定。
02两点应用
（1）根据有理数在数轴上 找点；
（2）根据数轴上的点读出 表示的有理数。
简单的说：一是知数画点； 二是知点读数。
03与有理数 的关系
所有的有理数都可 用数轴上的点表示出来 ，但数轴上的点表示不 一定都是有理数，两者 不是一一对应关系。
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14
课堂小练2
例3：如图，数轴上的点A、B、C、D分别表示哪个有理数？
.C
-3 -2
B. D.
-1 0
A.
12
解析：考虑两个方面：（1）点的位置：原点表示0，原点右边的 点表示正数，原点左边的点表示负数；（2）点到原点的距离是 几个单位长度。
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15
课堂小练2
例4：画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点。
c 0b a
D. a,b,表示负数，c表示正数
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知识点3：数轴上两点间的距离
想一想：如图，数轴上有三点A, B, C.
A.
B
C
..
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 3:21:39 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/192021/9/192021/9/19Sep-2119-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/192021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人源自须相信自己，这是成功的秘诀。•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/192021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月19日星期日2021/9/192021/9/192021/9/19 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/192021/9/19September 19, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/192021/9/192021/9/192021/9/19

解：(1)3－(－2)＝5，对应点之间的距离为5.
(2)4 －2
＝2
，对应点之间的距离为2.
(3)(－4)－4＝－8，对应点之间的距离为8.
(4)－5－(－2)＝－3，对应点之间的距离为3.
发现：所得的距离与这两数的差的绝对值相等．
方法总结：
1.求数轴上两点之间的距离的方法:
（1）可利用数轴求.
（2）可利用数轴上两点之间的距离公式求.
在数轴上，点A，B分别表示数，．对于下列各组数，：
① = 2， = 6；
② = 0， = 6；
③ = 2， = −6；
④ = −2， = −6.
（1）观察点A，B在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离
吗？
B
A
A
A
B
①当 = 2， = 6时， =
4
；
= 62−−26
②当 = 0， = 6时， =
6
；
= 60−−06
③当 = 2， = −6时， =
8
④当 = −2， = −6时， = 4
； = 22−− −6
−6
； = −2
−2−− −6
−6
（2）利用有理数的运算，你能用含有，的算式表示上述各
组点、之间的距离吗？
1.请说出有理数的加法法则？
(1)同号两数相加,和取相同的符号,且和的绝对值等于加数的绝
对值的和.
(2)绝对值不相等的异号两数相加,和取绝对值较大的加数的符
号,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.
互为相反数的两个数相加得0.
(3)一个数与0相加,仍得这个数.
2.请说出有理数的加法运算律？
2.数轴上两点之间的距离公式:

距离，即两点间的距离公式。
在实际生活中的应用
导航定位
在GPS定位中，需要计算 接收器与卫星之间的距离 ，这涉及到两点间的距离 公式。
通信网络覆盖范围
在规划通信网络覆盖范围 时，需要计算基站与用户 之间的距离，这涉及到两 点间的距离公式。
物流配送
在物流配送中，需要计算 配送车辆与目的地之间的 距离，这涉及到两点间的 距离公式。
更加直观易懂。
反馈与改进
学生反馈
通过收集学生的反馈意见，发现大部分学生对本课件的内容和形 式表示满意，认为课件有助于他们更好地理解知识点。
教师建议
教师们建议进一步完善课件，增加更多实例解析和练习题，以帮助 学生更好地掌握知识点。
改进措施
根据反馈意见和建议，对课件进行改进和完善，包括增加实例解析 和练习题、优化视觉效果等，以提高学生的学习效果。
05
教学方法与手段
教学方法
01
02
03
04
直观演示法
通过图形的直观演示，让学生 更好地理解两点间距离的概念
。
问题探究法
设置一系列问题，引导学生思 考，探究两点间距离的计算方
法。
小组讨论法
组织学生进行小组讨论，分享 各自对两点间距离的理解和计
算方法，促进相互学习。
案例分析法
通过分析实际生活中的案例， 让学生更好地理解两点间距离
两点间距离的定义
两点间距离是指连接两点的线段 的长度。在二维平面中，两点间 的距离可以通过勾股定理计算得 出。
定义的意义
理解两点间距离的定义是进一步 学习几何学的基础，有助于理解 空间关系和距离的概念。
两点间距离的计算方法
计算公式
两点间距离的计算公式为 $sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 分别为 两点的坐标。

D.(2,3)
练习9.已知原点O与点P(-2,4)关于直线l对称,则l在x轴上的
截距为 ( B )
A.5
B.-5
C.
5
2
D.-
5
2
点P(x0,y0)与点Q关于点M(a,b)对称，求点Q的坐标(x,y).
y
O
P
Q(2a-x0, 2b-y0)
Q
M
x
练习6 点P(1,2)与点Q关于点M(-1,3)对称，求点Q的坐标.
（-3,4）
练习7 已知点A(1,-2)与点B(a,b)关于点C(3,5)对称，则
17
a+b=_______
(2)求点关于直线的对称点坐标
如何求1 ，2 间的距离|1 2 |？
1 1 = (2 − 1 , 2 − 1 ).
|1 1 | =
|1 2 | =
(2 − 1 )2 +(2 − 1 )2
(2 − 1 )2 +(2 − 1 )2 .
两点间的距离公式
已知平面内两点1 (1 , 1 )，2 (2 , 2 )，
(0,0)，(, 0)，(, )，则( + , ).
||2 = ( + )2 + 2 ，||2 = ( − )2 + 2 ，||2 = 2 + 2 .
所以，||2 + ||2 = 2(2 + 2 + 2 )，||2 + ||2 = 2 + 2 + 2 .
点P(x0,y0)与点Q关于直线l:Ax+By+C=0对称，求点
Q的坐标(x,y).
y
①对称点连线的中点在已知直线上
Q

人A数学选择性必修第一册
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2．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b＝( A )
A．0或8
B．0或－8
C．0或6
D．0或－6
3 ． 已 知 点 A(1 ， － 5) ， B( － 3 ， － 1) ， 线 段 AB 的 中 点 M ， 则 |OM| ＝ _____1_0____.
D(－b，h)．由两点间的距离公式，得 |AC|＝ －a－b2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， |BD|＝ [a－－b]2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， 所以|AC|＝|BD|.
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对称问题(2) 1．直线关于点的对称问题 直线l关于点P对称的直线l′满足：
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(1)直线l′与直线l平行；
由距离公式，得
|AE|＝
2c＋a2＋ 23c－02＝ a2＋ac＋c2，
|CD|＝
c＋2a2＋0－ 23a2＝ a2＋ac＋c2，
所以|AE|＝|CD|.
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2.已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|. 证明：如图，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点 O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝ 2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，
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[例3] 已知点A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求： (1)直线l关于点A的对称直线l1的方程； (2)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
人A数学选择性必修第一册

A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐 标系．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．

ABFra biblioteka0b
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 3
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离为 4
（2）数轴上表示x和2的两点之间的距离表示为 |x-2|
可编辑课件PPT
4
（3）若x表示一个有理数，则|x-1|+|x+3|有最小值吗？ 若有，求出最小值；若没有，请 说明理由.
解：|x-1|+|x+3| =|x-1|+|x-（-3）| 它的几何意义： 在数轴上表示x的点与1和-3这两个点的距离和
4
-1 0 1 2 3 有最小值，是4.
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5
数轴上两点之间的距离等于对应两数之差的 绝对值。
“数轴”是数形结合的重要工具。数轴上两 点之间的距离是数轴和绝对值的巧妙结合，是由 “数”到“形”的转化。
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1数轴上表示2和5两点之间的距离是数轴上表示1和3的两点之间的距离为2数轴上表示x和2的两点之间的距离表示为x2可编辑ppt3若x表示一个有理数则x1x3有最小值吗
可编辑课件PPT
1
例1 求出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离。
解：如图示
-4
-1.5
1
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
（1）3 与 1 2 （2）3与-1.5 4.5 （3）1与-4 5 （4）4与-1.5 5.5
思考： （1）你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系？

(2)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子|x＋2|＋|x－3|进行探究： ①|x－3|＋|x＋2|的值总是一个固 定的值为：__5__． ②请你在草稿纸上画出数轴，要使|x－3|＋|x＋2|＝7，数轴上表示点的数x＝_－__3_或．4
第1章 有理数
专题2 数轴上的动点与两点之间 的距离
武汉专版·七年级上册
1．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是__3__；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是__4__； (2)若数轴上表示x和－1的两点之间的距离是2，则x的值为－__3_或_．1
2．阅读下面材料： 在数轴上5与－2所对应的两点之间的距离：|5－(－2)|＝7； 在数轴上－2与3所对应的两点之间的距离：|－2－3|＝5； 在数轴上－8与－5所对应的两点之间的距离：|(－8)－(－5)|＝3； 在数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a－b|＝|b－a|. 回答下列问题： (1)数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是__3__； 数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为_|_x－__3；| 数轴上表示数___x_和_－__2_的两点之间的距离表示为|x＋2|；
③P 点对应的数时－16或 0. 3
(1)若点C在A，B两点之间，满足AC＝BC，则C对应的数是___2_； (2)若点C在A，B两点之间，满足AC∶BC＝1∶3，则点C对应的数是_－__5_； (3)若点C在数轴上，满足AC∶BC＝1∶3，则点C对应的数是－__2_6_或；－5 (4)若点C在数轴上，满足AC＋BC＝32，则点C对应的数为－__1_4_或；18 (5)若点C在数轴上，满足AC－BC＝12，则点C对应的数为_8___． (6)若点P，Q分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是2个单位/秒，4个单位/秒， 它们运动的时间为t秒．