一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分.最全版

2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷Ⅱ)文 科 数 学第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =( ) A ．∅ B. {}2 C. {0} D. {2}- 【答案】：B ． 【解析】：∵2{2,0,2},{|20}{1,2}A B x x x =-=--==-，∴{2}A B =．2．131ii+=-（ ） A ．12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i -- 【答案】：B ． 【解析】：化简可得====﹣1+2i3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D. p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】：C ． 【解析】：函数3()f x x =的导数为2()3f x x '=，由2()30f x x '==，得00x =，但此时函数()f x 单调递增，无极值,充分性不成立．根据极值的定义和性质，若0x x =是()f x 的极值点，则0()0f x '=成立，即必要性成立，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件， 4．设向量a ,b 满足10+=a b ，6-=a b ，则⋅a b =( )A. 1B. 2C. 3D. 5 【答案】：A ． 【解析】：∵10+=a b ，6-=a b ，∴分别平方两式相减得44⋅=a b ，即1⋅=a b . 5．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =( )A. (1)n n +B. (1)n n -C. (1)2n n +D. (1)2n n -【答案】：A ．【解析】：由题意可得2428a a a =，即2448(4)(4)a a a =-+，解得48a =，∴14322a a =-⨯=,∴1(1)(1)22(1)22n n n d n n S na n n n --⨯=+=+=+． 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，学科网则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A.2717 B.95 C.2710 D.31【答案】：C ． 【解析】：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3，高为2；一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：22322434πππ⨯+⨯=．底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：23654ππ⨯=．切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：5434105427πππ-=．7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为( ) A ．3 B ．32 C ．1 D ．32【答案】：C ．【解析】：∵正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 中点，∴底面11B DC B 1DC 1的面积：12332⨯⨯=，A 到底面的距离就是底面正三角形的高：3．三棱锥11A B DC -的体积为：13313⨯⨯=．8．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】：D ．【解析】：若2x t ==，则第一次循环，12≤成立，则1221M =⨯=，235S =+=，2k =，第二次循环，22≤成立，则2222M =⨯=，257S =+=，3k =，此时32≤不成立，输出7S =，9．设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1 【答案】：B ．【解析】：作出不等式对应的平面区域，由2z x y =+，得122z y x =-+，平移直线122z y x =-+，由图象可知当直线122z y x =-+经过点A 时，直线122zy x =-+的截距最大，此时z 最大．由10,330,x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得3,2,x y =⎧⎨=⎩，即(3,2)A ，此时z 的最大值为3227z =+⨯=．10．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =( )A ．303 B ．6 C ．12 D ．73 【答案】：C ．【解析】：由2=3y x 得其焦点3(,0)4F ，准线方程为34x =-．则过抛物线2=3y x 的焦点F 且倾斜角为30︒的直线方程为333tan 30()()434y x x =︒-=-．代入抛物线方程，消去y ，得 21616890x x -+=．设11(,)A x y ，22(,)B x y 则1216821162x x +==，所以1233||1244AB x x =+++=．11．若函数()f x kx lnx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(],2-∞- B ．(],1-∞- C ．[)2,+∞ D ．[)1,+∞ 【答案】：D ．【解析】：函数()f x kx lnx =-在区间()1,+∞单调递增，∴当1x >时，1()0f x k x'=-≥，10k ∴-≥，1k ∴≥，故选：D12．设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是( )A ．[1,1]--B ．11[,]22-C ．[2,2]-D ．22[,]22-【答案】：A ．【解析】：由题意画出图形如图：∵点()0,1M x ，∴若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，∴圆上的点到MN 的距离的最大值为1，要使1MN =，才能使得45OMN ∠=︒，图中M '显然不满足题意，当MN 垂直x 轴时，满足题意，∴0x 的取值范围是[1,1]--．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．甲，乙两名运动员各自等可能地从红、网白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______. 【答案】：．【解析】：所有的选法共有339⨯=种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为3193=.14．函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.【答案】：1． 【解析】：∵x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=sin cos cos sin 2sin cos sin cos sin cos sin()x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ=+-=-=-． ()f x ∴的最大值为1．15．偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________.【答案】：3． 【解析】：因为偶函数)(x f y =的图象关于直线2=x 对称，所以(2)(2)(2)f x f x f x +=-=-，即(4)()f x f x +=，则(1)(14)(3)3f f f -=-+==.16． 数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a n n ，则=1a ________.【答案】：．【解析】：由题意得，111n na a +=-，82a =， 令7n =代入上式得，8711a a =-，解得712a =；令6n =代入上式得，7611a a =-，解得61a =-；令5n =代入上式得，6511a a =-，解得52a =；根据以上结果发现，求得结果按2,12,1-循环,832÷=……2，故112a =.三、解答题：17．（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . (Ⅰ)求C 和BD ；(Ⅱ)求四边形ABCD 的面积.【解析】：(Ⅰ)由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ① 2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD =．(Ⅱ)四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯23=18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的重点. (Ⅰ)证明：PB //平面AEC ；(Ⅱ)设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.【解析】：(Ⅰ)设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又 E 为PD 的中点，所以EO//PB. EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC, 所以PB//平面AEC.(Ⅱ)V 1366PA AB AD AB =⋅⋅=.由34V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H ．由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC ． 又PA AB AH PB ⋅=31313=. 所以A 到平面PBC 的距离为31313. 19．（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：(Ⅰ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (Ⅲ)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙学科网两部门的评价. 【解析】：(Ⅰ)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75 ．50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66,68，故样本中位数为6668672+=，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67. (Ⅱ)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为50.150=，80.1650=，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16. （Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差较大．（注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分．） 20．（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .(Ⅰ)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(Ⅱ)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .【解析】：(Ⅰ)根据22c a b =-及题设知22(,),23b M c b ac a=将222b a c =-代入223b ac =，解得1,22c ca a==-（舍去）故C 的离心率为12.(Ⅱ)由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF //y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a = ①由15MN F N =得112DF F N =．设11(,)N x y ，由题意知10y <，则112()22c x c y --=⎧⎨-=⎩，即113,21x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 代入C 的方程，得2229114c a b+=．将①及22c a b =-代入②得229(4)1144a a a a-+= 解得27,428a b a ===，故7,27a b ==.21．（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. (Ⅰ)求a ；(Ⅱ)证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点. 【解析】：（I ）'()f x =236x x a -+，'(0)f a =.曲线()y f x =在点（0,2）处的切线方程为2y ax =+．由题设得22a-=-，所以1a =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，32()32f x x x x =-++，设()g x ()2f x kx =-+323(1)4x x k x =-+-+，由题设知10k ->.当x ≤0时，'()g x 23610x x k =-+->，()g x 单调递增，(1)10g k -=-<，(0)4g =， 所以()g x =0在(],0-∞有唯一实根．当0x >时，令32()34h x x x =-+，则()g x ()(1)()h x k x h x =+->．2'()363(2)h x x x x x =-=-，()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增， 所以()()(2)0g x h x h >≥=，所以()0g x =在(0,)+∞没有实根.综上，()g x =0在R 有唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点． 请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 学科网于点E .证明： (Ⅰ)BE EC =；(Ⅱ)22AD DE PB ⋅= ．【解析】：(Ⅰ)连结AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA∠PAD=∠BAD+∠PAB ∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD ，从而BE EC =． 因此BE=EC.(Ⅱ)由切割线定理得2PA PB PC =⋅．因为PA=PD=DC ，所以DC=2PB,BD=PB ． 由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅， 所以22AD DE PB ⋅=.23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.(Ⅰ)求C 得参数方程；(Ⅱ)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定D 的坐标. 【解析】：(Ⅰ)C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤. 可得C 的参数方程为： 1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t x ≤≤） (Ⅱ)设(1cos ,sin )D t t +.由(Ⅰ)知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3,3t t π==.故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即33(,)22．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数1()||||(0)f x x x a a a=++->(Ⅰ)证明：()2f x ≥；(Ⅱ)若(3)5f <，求a 的取值范围.【解析】：（I ）由0a >，有()f x 111|||||()|2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥.所以()2f x ≥.(Ⅱ)1(3)|3||3|f a a=++-.当时3a >时，(3)f =1a a +，由(3)5f <得52132a +<<．当03a <≤时，(3)f =16a a -+，由(3)5f <得1532a +<≤. 综上，a 的取值范围是15521(,)22++.。

2022-2021学年山东省威海市乳山一中高三（上）其次次自主练习数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．设U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则下列结论中正确的是（）A．A⊆B B．A∩B={2}C．A∪B={1，2，3，4，5} D．A∩∁U B={1}2．（若a=0.53，b=30.5，c=log30.5，则a，b，c，的大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞b＞a3．下列命题中，假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∃x∈R，sinx=C．∀x∈R，x2﹣x+1＞0 D．∃x∈R，lgx=24．f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=（）A．log2x B ．C ．D．2x﹣26．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=|x|，则y=f（x）与y=log7x 的交点的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．78．若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣4，+∞）D．[﹣4，+∞）9．曲线y=e x在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A ．e2B．2e2C．e2D ．e210．设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a） C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）二、填空题：（本大题5小题，每小题5分，共25分）11．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）是幂函数，且在区间（0，+∞）上为减函数，则实数m 的值为．12．= ．13．函数f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]既有极大值又有微小值，则a的取值范围是．14．已知函数f（x）=若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为．15．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，下面是关于函数f（x）的推断：①f（x）的图象关于点P（，0）对称；②f（x）的图象关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（2）=f（0）．其中正确的推断有．（把你认为正确的推断都填上）三、解答题：（本大题共6题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x|x＜a}．（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；（2）若全集U={x|x≤4}，a=﹣1，求∁U A及A∩（∁U B）．17．已知a∈R，设命题p：函数f（x）=a x是R上的单调递减函数；命题q：函数g（x）=lg（2ax2+2ax+1）的定义域为R．若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．18．已知函数（1）争辩函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，求a的取值范围．19．已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）推断f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．20．有两个投资项目A，B，依据市场调查与猜测，A项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙．（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A，B两个投资项目的利润表示为投资B={x|x＜a}（万元）的函数关系式；（2）现将x（0≤x≤10）万元投资A项目，10﹣x万元投资B项目．h（x）表示投资A项目所得利润与投资B 项目所得利润之和．求h（x）的最大值，并指出x为何值时，h（x）取得最大值．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．四、附加题22．已知函数f（x）=x3﹣x﹣．（Ⅰ）推断的单调性；（Ⅱ）求函数y=f（x）的零点的个数；（Ⅲ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围．2022-2021学年山东省威海市乳山一中高三（上）其次次自主练习数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．设U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则下列结论中正确的是（）A．A⊆B B．A∩B={2}C．A∪B={1，2，3，4，5} D．A∩∁U B={1}考点：补集及其运算；交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合的补集，看出两个集合的公共元素，做出两个集合的交集，得到结果．解答：解：∵∁U B={1，5}，A={1，2，3}，∴A∩∁U B={1}故选D．点评：本题考查两个集合之间的运算，是一个基础题，本题解题的关键是先写出集合的补集，在求两个集合的交集．2．（若a=0.53，b=30.5，c=log30.5，则a，b，c，的大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得到．解答：解：∵0＜a=0.53＜1，b=30.5＞1，c=log30.5＜0，∴b＞a＞c．故选：A．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．3．下列命题中，假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∃x∈R，sinx=C．∀x∈R，x2﹣x+1＞0 D．∃x∈R，lgx=2考点：特称命题；全称命题；命题的真假推断与应用．专题：简易规律．分析： 1．先理解特称命题与全称命题及存在量词与全称量词的含义，再进行推断．2．用符号“∀x”表示“对任意x”，用符号“∃x”表示“存在x”．含有全称量词的命题就称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题．解答：解：由指数函数y=2x的图象与性质易知，∀x∈R，2x﹣1＞0，故选项A为真命题．由正弦函数y=sinx的有界性知，﹣1≤sinx≤1，所以不存在x∈R，使得sinx=成立，故选项B为假命题．由x2﹣x+1=≥＞0知，∀x∈R，x2﹣x+1＞0，故选项C为真命题．由lgx=2知，x=102=100，即存在x=100，使lgx=2，故选项D为真命题．综上知，答案为B．点评： 1．像“全部”、“任意”、“每一个”等量词，常用符号“∀”表示；“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词，常用符号“∃”表示．全称命题的一般形式为：∀x∈M，p（x）；特称命题的一般形式为：∃x0∈M，p（x0）．2．推断全称命题为真，需由条件推出结论，留意应满足条件的任意性；推断全称命题为假，只需依据条件举出一个反例即可．推断特称命题为真，只需依据条件举出一个正例即可；推断特称命题为假，需由条件推出冲突才行．4．f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：依据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果．解答：解：依据函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选B．点评：本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．5．若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=（）A．log2x B ．C ．D．2x﹣2考点：反函数．专题：计算题．分析：求出y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数即y=f（x），将已知点代入y=f（x），求出a，即确定出f（x）．解答：解：函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数是f（x）=log a x，又f（2）=1，即log a2=1，所以，a=2，故f（x）=log2x，故选A．点评：本题考查指数函数与对数函数互为反函数、考查利用待定系数法求函数的解析式．6．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观看其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．解答：解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选：D．点评：本题主要考查函数的图象，娴熟把握函数的求导与函数单调性的关系，是解答的关键．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=|x|，则y=f（x）与y=log7x 的交点的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：函数的周期性；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：先依据函数的周期性画出函数f（x）的图象，再画出对数函数y=log7x 的图象，数形结合即可得交点个数．解答：解：∵f（﹣x+2）=f（﹣x），可得 f（x+2）=f（x），即函数f（x）为以2为周期的周期函数，又∵x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|，∴函数f（x）的图象如图，函数y=log7x的图象如图，数形结合可得交点共有6个．故选：C．点评：本题考查了数形结合的思想方法，函数周期性及对数函数图象的性质，解题时要精确推理，认真画图，属于中档题．8．若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣4，+∞）D．[﹣4，+∞）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由复合函数为增函数，且外函数为增函数，则只需内函数在区间[2，+∞）上单调递增且其最小值大于0，由此列不等式组求解a的范围．解答：解：令t=x2+ax﹣a﹣1，∵函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，又外层函数y=lgt为定义域内的增函数，∴需要内层函数t=x2+ax﹣a﹣1在区间[2，+∞）上单调递增，且其最小值大于0，即，解得：a＞﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．故选：A．点评：本题考查了复合函数的单调性，关键是留意真数大于0，是中档题．9．曲线y=e x在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A ．e2B．2e2C．e2D ．e2考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最终求出切线的方程，从而问题解决．解答：解析：依题意得y′=e x，因此曲线y=e x在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y﹣e2=e2（x﹣2），当x=0时，y=﹣e2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S=×e2×1=．故选D．点评：本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数争辩曲线上某点切线方程等基础学问，考查运算求解力量．属于基础题．10．设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a） C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）考点：导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数，设F（x）=f（x）﹣g（x），由于函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可导，并且F′（x）＜0，得到函数的单调性，利用单调性得到F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），得到选项．解答：解：设F（x）=f（x）﹣g（x），由于函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可导，并且F′（x）＜0，所以F（x）在[a，b]上是减函数，所以F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）；故选B．点评：本题考查了函数的单调性，关键构造函数，利用求导推断函数的单调性．二、填空题：（本大题5小题，每小题5分，共25分）11．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）是幂函数，且在区间（0，+∞）上为减函数，则实数m 的值为 2 ．考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：依据幂函数的定义，令幂的系数为1，列出方程求出m的值，将m的值代入f（x），推断出f（x）的单调性，选出符和题意的m的值．解答：解：f（x）=（m2﹣m﹣1）xm2﹣2m﹣3是幂函数∴m2﹣m﹣1=1解得m=2或m=﹣1当m=2时，f（x）=x﹣3在x∈（0，+∞）上是减函数，满足题意．当m=﹣1时，f（x）=x0在x∈（0，+∞）上不是减函数，不满足题意．故答案为：2．点评：解决幂函数有关的问题，常利用幂函数的定义：形如y=xα（α为常数）的为幂函数；幂函数的单调性与指数符号的关系．是基础题．12．= ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质把要求的式子化为 lg，进一步运算求得结果．解答：解：∵=lg﹣lg+lg=lg﹣lg2=lg﹣2lg2=lg=lg=lg=lg10=，故答案为：．点评：本题主要考查对数的运算性质的应用，属于基础题．13．函数f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]既有极大值又有微小值，则a的取值范围是{a|a＜﹣1或a＞2} ．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：由已知得f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），由题意知△=36a2﹣36（a+2）＞0，由此能求出a的取值范围．解答：解：∵f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]，∴f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），由题意知△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}．点评：本题考查函数的极大值和微小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，留意导数性质的合理运用．14．已知函数f（x）=若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为2＜a≤3 ．考点：函数单调性的性质．专题：常规题型．分析：让两段均为增函数且两段的端点值须满足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值即可解答：解：∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增∴须⇒2＜a≤3，故答案为：2＜a≤3点评：分段函数在定义域内递增，须每一段递增，且前一段的最大值小于或等于后一段的最小值．15．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，下面是关于函数f（x）的推断：①f（x）的图象关于点P（，0）对称；②f（x）的图象关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（2）=f（0）．其中正确的推断有①、②、④．（把你认为正确的推断都填上）考点：奇偶函数图象的对称性．专题：规律型；函数的性质及应用．分析：由f（﹣x）=f（x），f（x+1）=﹣f（x）可得f（1+x）=﹣f（﹣x），则可求f（x）图象关于点对称；f（x）图象关于y轴（x=0）对称，可得x=1也是图象的一条对称轴，故可推断①②；由f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上是减函数；由f（x+1）=﹣f（x）可得f（2+x）=﹣f（x+1）=f（x），故f（2）=f（0）．解答：解：由f（x）为偶函数可得f（﹣x）=f（x），由f（x+1）=﹣f（x）可得f（1+x）=﹣f（﹣x），则f （x）图象关于点对称，即①正确；f（x）图象关于y轴（x=0）对称，故x=1也是图象的一条对称轴，故②正确；由f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上是减函数，即③错；由f（x+1）=﹣f（x）可得f（2+x）=﹣f（x+1）=f（x），∴f（2）=f（0），即④正确故答案为：①②④点评：本题考查函数的对称性，函数的单调性，函数奇偶性的应用，考查同学分析问题解决问题的力量，是基础题．三、解答题：（本大题共6题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x|x＜a}．（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；（2）若全集U={x|x≤4}，a=﹣1，求∁U A及A∩（∁U B）．考点：函数的定义域及其求法；交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：（1）首先求出集合A，依据A⊆B，利用子集的概念，考虑集合端点值列式求得a的范围；（2）直接运用补集及交集的概念进行求解．解答：解：（1）要使函数f（x）=有意义，则，解得：﹣2＜x≤3．所以，A={x|﹣2＜x≤3}．又由于B={x|x＜a}，要使A⊆B，则a＞3．（2）由于U={x|x≤4}，A={x|﹣2＜x≤3}，所以C U A={x|x≤﹣2或3＜x≤4}．又由于a=﹣1，所以B={x|x＜﹣1}．所以C U B={﹣1≤x≤4}，所以，A∩（C U B）=A={x|﹣2＜x≤3}∩{﹣1≤x≤4}={x|﹣1≤x≤3}．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了交集和补集的混合运算，求解集合的运算时，利用数轴分析能起到事半功倍的效果，此题是基础题．17．已知a∈R，设命题p：函数f（x）=a x是R上的单调递减函数；命题q：函数g（x）=lg（2ax2+2ax+1）的定义域为R．若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；简易规律．分析：本题考查的学问点是复合命题的真假判定，解决的方法是先推断组成复合命题的简洁命题的真假，再依据真值表进行推断．命题p为真命题时，指数函数f（x）=a x的底数0＜a＜1，命题q为真命题时，对数函数g（x）=lg（2ax2+2ax+1）的真数2ax2+2ax+1＞0在R上恒成立，求得0≤a＜2．p∨q是真命题，p∧q是假命题，所以p，q一真一假，分类争辩即可．解答：解：当命题p为真命题时，由于函数f（x）=a x是R上的单调递减函数，所以0＜a＜1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当命题q为真命题时，由于函数g（x）=lg（2ax2+2ax+1）的定义域为R所以2ax2+2ax+1＞0在R上恒成立当a=0时，1＞0在R上恒成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）当所以，当命题q为真命题时，0≤a＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由于p∨q是真命题，p∧q是假命题，所以p，q一真一假当﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）综上所述a的取值范围是1≤a＜2或a=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：解题关键是由p∨q是真命题，p∧q是假命题，得p，q一真一假18．已知函数（1）争辩函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，求a的取值范围．考点：函数奇偶性的推断；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：（1）先推断函数的定义域关于原点对称，再利用奇偶函数的定义，留意对参数进行争辩；（2）函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，可转化为导函数大于等于0在x∈[3，+∞）上恒成立，从而可解．解答：解：（1）函数的定义域关于原点对称，①当a=0时，函数为偶函数；②当a≠0时，函数非奇非偶．（2）∵函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数∴在x∈[3，+∞）上恒成立∴∴点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，考查恒成立问题，关键是把握定义，利用导数解决恒成立问题．19．已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）推断f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（0）=0，解得b的值，再依据f （）=﹣，解得a的值，从而求得f（x）的解析式．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，求得f（x1）﹣f（x2）=＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，可得函数f（x）在（﹣1，1）上是减函数．（3）由不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，可得f（t﹣1）＜f（﹣t），可得，由此求得t的范围解答：解：（1）由奇函数的性质可得f（0）=0，解得b=0，∴f（x）=．再依据f （）===﹣，解得a=﹣1，∴f（x）=．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，∵f（x1）﹣f（x2）=﹣==，而由题设可得 x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，∴＞0，故 f（x1）﹣f（x2）＞0，故函数f（x）在（﹣1，1）上是减函数．（3）由不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，可得f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），∴，解得＜t＜1，故t 的范围为（，1）．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题．20．有两个投资项目A，B，依据市场调查与猜测，A项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙．（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A，B两个投资项目的利润表示为投资B={x|x＜a}（万元）的函数关系式；（2）现将x（0≤x≤10）万元投资A项目，10﹣x万元投资B项目．h（x）表示投资A项目所得利润与投资B 项目所得利润之和．求h（x）的最大值，并指出x为何值时，h（x）取得最大值．考点：函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意，设，代入求出参数值即可，（2）化简，利用换元法可得y=．从而求最值．解答：解：（1）设投资为x万元，A项目的利润为f（x）万元，B项目的利润为g（x）万元．由题设．由图知．又∵，∴．从而．（2）令=．当，答：当A项目投入3.75万元，B项目投入6.25万元时，最大利润为万元．点评：本题考查了同学将实际问题转化为数学问题的力量及换元法与配方法求函数的最值，属于中档题．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．考点：函数单调性的性质．专题：分类争辩；转化思想．分析：（1）由函数f（x）在[1，2]上是减函数得在[1，2]上恒成立，即有h（x）=2x2+ax﹣1≤0成立求解．（2）先假设存在实数a ，求导得=，a在系数位置对它进行争辩，结合x∈（0，e]分当a≤0时，当时，当时三种状况进行．解答：解：（1）在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，得（6分）（2）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，=（7分）当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），∴g（x）无最小值．当时，g（x ）在上单调递减，在上单调递增∴，a=e2，满足条件．（11分）当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），∴f（x）无最小值．（13分）综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．（14分）点评：本题主要考查转化化归、分类争辩等思想的应用，函数若为单调函数，则转化为不等式恒成立问题，解决时往往又转化求函数最值问题．四、附加题22．已知函数f（x）=x3﹣x ﹣．（Ⅰ）推断的单调性；（Ⅱ）求函数y=f（x）的零点的个数；（Ⅲ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）化简，并求导数，留意定义域：（0，+∞），求出单调区间；（Ⅱ）运用零点存在定理说明在（1，2）内有零点，再说明f（x）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）对g（x）化简，并求出导数，整理合并，再设出h（x）=x2﹣（2+a）x+1，说明h（x）=0的两个根，有一个在（0，）内，另一个大于e，由于h（0）=1，通过h （）＞0解出a即可．解答：解：（Ⅰ）设φ（x）==x2﹣1﹣（x＞0），则φ'（x）=2x+＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）∵φ（1）=﹣1＜0，φ（2）=3﹣＞0，且φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）在（1，2）内有零点，又f（x）=x3﹣x ﹣=x•φ（x），明显x=0为f（x）的一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）g（x）=+lnx=lnx+，则g'（x）==，设h（x）=x2﹣（2+a）x+1，则h（x）=0有两个不同的根x1，x2，且有一根在（0，）内，不妨设0＜x1＜，由于x1x2=1，即x2＞e，由于h（0）=1，故只需h （）＜0即可，即﹣（2+a ）+1＜0，解得a＞e+﹣2，∴实数a的取值范围是（e+﹣2，+∞）．点评：本题主要考查导数在函数中的综合运用：求单调区间，求极值，同时考查零点存在定理和二次方程实根的分布，是一道综合题．。

高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题（满分：150分；考试时间：100分钟）一、选择题（本大题共10小题. 每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的） 1．指数函数y=a x 的图像经过点（2，16）则a 的值是 （ ）A ．41 B ．21C ．2D ．4 2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果 （ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．在区间),0(+∞上不是增函数的是 ( )A.2x y =B.x y log 2=C.xy 2= D.122++=x x y 4．式子82log 9log 3的值为 ( ) A .23 B .32C .2D .3 5．已知0ab >，下面四个等式中：①lg()lg lg ab a b =+； ②lg lg lg a a b b=-；③b ab a lg )lg(212= ；④1lg()log 10ab ab =．其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知2log 0.3a =，0.32b =，0.20.3c =，则c b a ,,三者的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a b c >> 7．已知函数)(x f y =的反函数)21(log )(211-=-x x f，则方程1)(=x f 的解集是（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{4} 8．图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =， l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ）A. 0<a <b <1<d<cB. 0<b<a <1<c<dC. 0<d<c<1<a<bD. 0<c<d <1<a<bx9．函数y= | lg （x-1）| 的图象是 （ ）10．给出幂函数①f (x )=x ；②f (x )=x 2；③f (x )=x 3；④f (x )=x ；⑤f (x )=1x ．其中满足条件f 12()2x x + ＞12()()2f x f x + (x 1＞x 2＞0)的函数的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（.每小题5分，共20分） 11．函数21()log (2)f x x =-的定义域是 ．12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .13．函数)x 2x (log y 221-=的单调递减区间是_________________．14．关于函数21()lg (0,R)||x f x x x x +=≠∈有下列命题：①函数()y f x =的图象关于y 轴对称；②在区 间(,0)-∞上，函数()y f x =是减函数；③函数()y f x =的最小值为lg 2；④在区间(1,)+∞上，函 数()y f x =是增函数．其中正确命题序号为_______________． 三、解答题（6小题，共80分）15．（本小题满分12分）4160.2503432162322428200549-⨯+--⨯--（）（）（）（）16． （本小题满分12分）设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨>⎩，求满足()f x =41的x 的值．C17．（本小题满分14分）已知()2xf x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．18．（本小题满分14分）若0≤x ≤2，求函数y=523421+⨯--x x 的最大值和最小值．19．（本小题满分14分）光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为x 块玻璃后强度为y .（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下? ( lg30.4771)≈20．（本小题满分14分）已知定义域为R 的函数12()22x x b f x +-+=+是奇函数.（1）求b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性；（3）若对任意的R t ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题参考答案及解析一、选择题1．D 解析：由a 2=16且a ＞0得a =42．C 解析：原式a ab ba9990653121612132-=-=-=-+-+3．C 解析：根据反比例函数的性质4．A 解析：因log 89=22232log 32log 3log 23=，故原式=23 5．B 解析：ab ＞0，故a 、b 同号；当a 、b 同小于0时，①②不成立；当ab =1时，④不成立，故只有③对。

单元综合测试五(期末综合测试)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22 C.2 D ．2 【答案】B【解析】 本题考查复数的运算和复数的模． ∵z ＝1i －1＝－12－12i ，∴|z |＝(－12)2＋(－12)2＝22.故选B. 2．已知复数z ＝2－i ，则z ·z －的值为( ) A ．5 B. 5 C ．3 D. 3 【答案】A【解析】 ∵z ＝2－i ，∴z ＝2＋i ，∴z ·z ＝(2＋i)(2－i)＝4－(－1)＝5.3．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b ∈R )”，其反设正确的是( ) A ．a 、b 至少有一个不为0 B ．a 、b 至少有一个为0 C ．a 、b 全不为0 D ．a 、b 中只有一个为0 【答案】A【解析】 对“全为0”的否定是“不全为0”，故选A.4．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zac ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca ＝1 D ．ax ＋by ＋zc ＝1 【答案】A【解析】 由类比推理可知，方程为x a ＋y b ＋zc＝1.5．阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A ．S <8B ．S <9C ．S <10D ．S <11 【答案】B【解析】 本题考查了程序框图的循环结构．依据循环要求有i ＝1，S ＝0；i ＝2，S ＝2×2＋1＝5；i ＝3，S ＝2×3＋2＝8；i ＝4，S ＝2×4＋1＝9，此时结束循环，故应为S <9.6．对a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，大前提 x ＋1x≥2x ·1x，小前提 所以x ＋1x≥2.结论以上推理过程中的错误为( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．无错误 【答案】B【解析】 小前提错误，应满足x >0.7．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．7 【答案】C【解析】 本题考查程序框图中的循环结构．i ＝1，s ＝1→s ＝1＋(1－1)＝1，i ＝2→s ＝1＋(2－1)＝2，i ＝3→s ＝2＋(3－1)＝4，i ＝4→输出s .8．甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，则其中恰有1人击中目标的概率是( )A ．0.49B ．0.42C ．0.7D ．0.91 【答案】B【解析】 两人都击中概率P 1＝0.49，都击不中的概率P 2＝0.09，∴恰有一人击中的概率P ＝1－0.49－0.09＝0.42.9．将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为( )1 3 5 7 17 15 13 11 9 19 21 23 25 27 29 31A ．1 915B ．1 917C ．1 919D ．1 921 【答案】B【解析】 如题图，第1行1个奇数，第2行3个奇数，第3行5个奇数，归纳可得第31行有61个奇数，且奇数行按由大到小的顺序排列，偶数行按由小到大的顺序排列．又因为前31行共有1＋3＋…＋61＝961个奇数，则第31行第1个数是第961个奇数即是1 921，则第3个数为1 917.10．已知x >0，y >0，2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2－2m 恒成立，则实数m 的取值X 围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2 【答案】C【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋x y ≥4＋4＝8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝4，y ＝2时取等号．∴m 2－2m <8，即m 2－2m －8<0，解得－2<m <4. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________(用a ＋b i 的形式表示，a ，b ∈R )．【答案】4－4i【解析】 i ＋2i 2＋3i 3＋4i 4＋5i 5＋6i 6＋7i 7＋8i 8＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝______.【答案】4【解析】 本题考查程序框图的循环结构． i ＝1，A ＝2，B ＝1； i ＝2，A ＝4，B ＝2； i ＝3，A ＝8，B ＝6； i ＝4，A ＝16，B ＝18； 此时A <B ，则输出i ＝4.13．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x )＝1＋f (x －2)1－f (x －2)，若f (1)＝2＋3，则f (2 009)＝________.【答案】2＋ 3【解析】 ∵f (x )＝1＋f (x －2)1－f (x －2)，∴f (x －2)＝1＋f (x －4)1－f (x －4).代入得f (x )＝1＋1＋f (x －4)1－f (x －4)1－1＋f (x －4)1－f (x －4)＝2－2f (x －4)＝－1f (x －4).∴f (x )＝f (x －8)，即f (x )的周期为8. ∴f (2 009)＝f (251×8＋1)＝f (1)＝2＋ 3.14．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21，…，叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为________．【答案】59【解析】 设数1,3,6,10,15,21，…各项为a 1，a 2，a 3，…， 则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，即数列{a n ＋1－a n }构成首项为2，公差为1的等差数列． 利用累加法得a 28＝a 1＋(2＋3＋…＋28)， a 30＝a 1＋(2＋3＋…＋28＋29＋30)， ∴a 30－a 28＝29＋30＝59.15．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中，如图，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．【答案】AE EB ＝S △ACDS △BCD三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16．实数m 为何值时，复数z ＝m 2(1m ＋5＋i)＋(8m ＋15)i ＋m －6m ＋5.(1)为实数； (2)为虚数； (3)为纯虚数； (4)对应点在第二象限？【解析】 z ＝m 2＋m －6m ＋5＋(m 2＋8m ＋15)i ，(1)z 为实数⇔m 2＋8m ＋15＝0且m ＋5≠0， 解得m ＝－3.(2)z 为虚数⇔m 2＋8m ＋15≠0且m ＋5≠0， 解得m ≠－3且m ≠－5. (3)z 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＋5＝0m 2＋8m ＋15≠0，解得m ＝2.(4)z 对应的点在第二象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＋5<0m 2＋8m ＋15>0，解得m <－5或－3<m <2.17．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论．【解析】 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33， 并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝3 3.18．已知f(x)＝－x3－x＋1(x∈R)．(1)求证：y＝f(x)是定义域上的减函数；(2)求证满足f(x)＝0的实数根x至多只有一个．【证明】(1)∵f′(x)＝－3x2－1＝－(3x2＋1)<0(x∈R)，∴y＝f(x)是定义域上的减函数．(2)假设f(x)＝0的实数根x至少有两个，不妨设x1≠x2，且x1，x2∈R，f(x1)＝f(x2)＝0.∵y＝f(x)在R上单调递减，∴当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，当x1>x2时，f(x1)<f(x2)，这与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，故假设不成立，所以f(x)＝0至多只有一个实数根．19．如图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图：根据此流程图可回答下列问题：(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？(2)哪些环节可能导致废品的产生，二次加工产品的来源是什么？(3)该流程图的终点是什么？【解析】 (1)一件屏幕成品经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序；也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．20．已知数学、英语的成绩分别有1,2,3,4,5五个档次，某班共有60人，在每个档次的人数如下表：(1)求m ＝4，n ＝3(2)求在m ≥3的条件下，n ＝3的概率；(3)若m ＝2与n ＝4是相互独立的，求a ，b 的值． 【解析】 本题为条件概率和相互独立事件的概率． (1)m ＝4，n ＝3时，共7人，故概率为P ＝760.(2)m ≥3时，总人数为35.当m ≥3，n ＝3时，总人数为8，故概率为P ＝835.(3)若m ＝2与n ＝4是相互独立的， 则P (m ＝2)·P (n ＝4)＝P (m ＝2，n ＝4)． ∴1＋b ＋6＋0＋a 60×3＋0＋1＋b ＋060＝b 60.故总人数为60，知a ＋b ＝13. ∴13×(4＋b )＝b .∴a ＝11，b ＝2.21．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2P (χ2≥k )0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828(注：此公式也可以写成χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ))【解析】 (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名． 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结构共有7种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(15×25－15×45)2 60×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．。

山东省临沂市沂水二中北校区2021届高三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜4}2．（5分）设x∈R ，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．103．（5分）在△ABC中，设命题p ：==，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．（5分）已知函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，则a的最大值是（）A．0B．1C．2D．36．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．27．（5分）函数y=sin（x ﹣）的一条对称轴可以是直线（）A．x =B．x =πC．x=﹣πD．x=8．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b ，则=（）A．2B．C．D．19．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D ．10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为（）A．13 B．8C．9D．10二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．（5分）在数列{a n}中，a1=15，3a n+1=3a n﹣2（n∈N+），则该数列中相邻两项的乘积是负数的为．12．（5分）向量=（1，sinθ），=（1，cosθ），若•=，则sin2θ=．13．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．14．（5分）设f1（x）=cosx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）=f′n（x）n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=，则sin2A的值是．15．（5分）给出下列命题：①函数y=cos（2x ﹣）图象的一条对称轴是x=②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；④存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为（写出全部正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16．（12分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（Ⅰ）求集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．17．（12分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，假如p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点P（1，2cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且．（1）求cos2θ；（2）求P，Q的坐标并求sin（α+β）的值．19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b2+c2）=3a2+2bc．（Ⅰ）若，求tanC的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积，且b＞c，求b，c．20．（13分）定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．山东省临沂市沂水二中北校区2021届高三上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜4}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：直接求出集合B，然后求出A∩B即可．解答：解：由于集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}={x|2＜x＜4}，所以A∩B={x|2＜x＜3}．故选B．点评：本题考查对数函数的基本性质，集合的基本运算，考查计算力量．2．（5分）设x∈R ，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．10考点：平面对量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．解答：解：由于x∈R ，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），所以|+|=，故选B．点评：本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算力量．3．（5分）在△ABC中，设命题p ：==，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：依据正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行推断即可得到结论．解答：解：由正弦定理可知，若===t，则，即a=tc，b=ta，c=bt，即abc=t3abc，即t=1，则a=b=c，即△ABC是等边三角形，若△ABC是等边三角形，则A=B=C=，则===1成立，即命题p是命题q的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，利用正弦定理是解决本题的关键．4．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较；不等式比较大小．分析：依据指数函数和对数函数的单调性推断出abc的范围即可得到答案．解答：解：∵a=20.1＞20=10=ln1＜b=ln＜lne=1c=＜log31=0∴a＞b＞c故选A．点评：本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．5．（5分）已知函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，则a的最大值是（）A．0B．1C．2D．3考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：计算题．分析：依据f（x）在区间[1，+∞）上单调递减，可得f'（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，建立等量关系，求出参数a最大值即可．解答：解：∵f（x）=ax﹣x3∴f′（x）=a﹣3x2∵函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，∴f′（x）=a﹣3x2≤0在区间[1，+∞）上恒成立，∴a≤3x2在区间[1，+∞）上恒成立，∴a≤3．故选D．点评：本小题主要考查运用导数争辩函数的单调性及恒成立等基础学问，考查综合分析和解决问题的力量．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数奇偶性的性质结合函数图象即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，故选：B点评：本题主要考查函数值的计算，依据函数的奇偶性以及函数图象进行转化时解决本题的关键．7．（5分）函数y=sin（x ﹣）的一条对称轴可以是直线（）A．x =B．x =πC．x=﹣πD．x=考点：正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用正弦函数的对称性可求得其对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z），从而可得答案．解答：解：由x ﹣=kπ+（k∈Z）得：x=kπ+（k∈Z），∴函数y=sin（x ﹣）的对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z），当k=1时，x=π，∴方程为x=π的直线是函数y=sin（x ﹣）的一条对称轴，故选：B．点评：本题考查正弦函数的对称性，求得其对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z）是关键，属于中档题．8．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b ，则=（）A．2B．C．D．1考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，进而利用两角和公式对等号左边进行化简求得sinA和sinB的关系，进而利用正弦定理求得a和b的关系．解答：解：∵bcosC+ccosB=2b，∴sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA=2sinB，∴=2，由正弦定理知=，∴==2，故选：A．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．考查了同学分析和运算力量．9．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D ．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分别画出y=2x，y=x2的图象，由图象可以函数与x轴有三个交点，且当x＜﹣1时，y＜0，故排解BCD，问题得以解决．解答：解：y=2x﹣x2，令y=0，则2x﹣x2=0，分别画出y=2x，y=x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，∴函数y=2x﹣x2的图象与x轴有3个交点，故排解BC，当x＜﹣1时，y＜0，故排解D故选：A．点评：本题主要考查了图象的识别和画法，关键是把握指数函数和幂函数的图象，属于基础题．10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为（）A．13 B．8C．9D．10考点：函数的零点；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=f（x），知函数y=f（x）（x∈R）是周期为2的函数，进而依据f（x）=1﹣x2与函数g（x）=的图象得到交点为9个．解答：解：由于f（x﹣2）=f（x），所以函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数．由于x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，所以作出它的图象，利用函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数，可作出y=f（x）在区间[﹣5，6]上的图象，如图所示：故函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为9，故选C．点评：本题的考点是函数零点与方程根的关系，主要考查函数零点的定义，关键是正确作出函数图象，留意把握周期函数的一些常见结论：若f（x+a）=f（x），则周期为a；若f（x+a）=﹣f（x），则周期为2a；若f（x+a）=，则周期为2a，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．（5分）在数列{a n}中，a1=15，3a n+1=3a n﹣2（n∈N+），则该数列中相邻两项的乘积是负数的为a23•a24．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：把等式3a n+1=3a n﹣2变形后得到a n+1﹣a n等于常数，即此数列为首项为15，公差为﹣的等差数列，写出等差数列的通项公式，令通项公式小于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的最小正整数解，即可得到从这项开头，数列的各项为负，这些之前各项为正，得到该数列中相邻的两项乘积是负数的项．解答：解：由3a n+1=3a n﹣2，得到公差d=a n+1﹣a n=﹣，又a1=15，则数列{a n}是以15为首项，﹣为公差的等差数列，所以a n=15﹣（n﹣1）=﹣n+，令a n=﹣n+＜0，解得n ＞，即数列{a n}从24项开头变为负数，所以该数列中相邻的两项乘积是负数的项是a23a24．故答案为：a23•a24点评：此题考查同学机敏运用等差数列的通项公式化简求值，把握确定一个数列为等差数列的方法，是一道综合题．12．（5分）向量=（1，sinθ），=（1，cosθ），若•=，则sin2θ=．考点：平面对量的综合题．专题：计算题．分析：由==可求解答：解：∵==∴sin2θ=故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，三角函数的二倍角公式的应用，属于基础试题13．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．解答：解：∵二次函数f （x）=x2+mx ﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．（5分）设f1（x）=cosx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）=f′n（x）n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=，则sin2A的值是．考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：由已知分别求出f2（x），f3（x），f4（x），f5（x），可得从第五项开头，f n（x）的解析式重复消灭，每4次一循环，结合f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=求出cosA，进一步得到sinA，则答案可求．解答：解：∵f1（x）=cosx，∴f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，f5（x）=f4′（x）=cosx，…从第五项开头，f n（x）的解析式重复消灭，每4次一循环．∴f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=0．∴f2021（x）=f4×503+1（x）=f1（x）=cosx．∵f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=．∴cosA=．∵A为三角形的内角，∴sinA=．∴sin2A=2sinAcosA=．故答案为：．点评：本题考查了导数及其运算，关键是找到函数解析式规律性，是中档题．15．（5分）给出下列命题：①函数y=cos （2x﹣）图象的一条对称轴是x=②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；④存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为①②（写出全部正确命题的序号）．考点：命题的真假推断与应用．专题：计算题；简易规律．分析：①由x=时，y=﹣1，可得结论；②利用函数图象，求解；③依据图象的平移规律可得结论；④依据sinx+cosx=sin（x+）≤＜，可以推断．解答：解：①函数y=cos（2x ﹣），x=时，y=﹣1，所以函数y=cos（2x ﹣）图象的一条对称轴是x=，正确；②在同一坐标系中，画出函数y=sinx和y=lgx的图象，所以结合图象易知这两个函数的图象有3交点，正确；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin[2（x ﹣）+]，即y=sin（2x ﹣）的图象，故不正确；④sinx+cosx=sin（x+）≤＜，故不存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；故答案为：①②．点评：本题利用三角函数图象与性质，考查命题的真假推断与应用，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16．（12分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（Ⅰ）求集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系推断及应用．专题：集合．分析：（I）解指数不等式求出A，解二次不等式求出B，进而可得集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B ，则，解不等式组可得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由2x＜8，得2x＜23，x＜3．（3分）解不等式x2﹣2x﹣8＜0，得（x﹣4）（x+2）＜0，所以﹣2＜x＜4．（6分）所以A={x|x＜3}，B={x|﹣2＜x＜4}，所以A∩B={x|﹣2＜x＜3}．（9分）（Ⅱ）由于C⊆B，所以（11分）解得﹣2≤a≤3．所以，实数a的取值范围是[﹣2，3]．（13分）点评：本题考查的学问点是集合的包含关系推断及应用，集合的交集运算，解不等式，难度不大，属于基础题．17．（12分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，假如p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易规律．分析：易得p：k＞0，q ：或，由p∧q是假命题，p∨q是真命题，可得p，q一真一假，分别可得k的不等式组，解之可得．解答：解：∵函数y=kx+1在R上是增函数，∴k＞0，又∵曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，∴△=（2k﹣3）2﹣4＞0，解得或，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q 假，则，∴；②若p假q 真，则，解得k≤0，综上可得k的取值范围为：（﹣∞，0]∪[，]点评：本题考查复合命题的真假，涉及不等式组的解法和分类争辩的思想，属基础题．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点P（1，2cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且．（1）求cos2θ；（2）求P，Q的坐标并求sin（α+β）的值．考点：两角和与差的正弦函数；平面对量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（1）利用向量数量积运算得出sin2θ﹣2cos2θ=﹣1，再利用二倍角余弦公式求出cos2θ．（2）由（1）可以求出P，Q的坐标，再利用任意角三角函数的定义求出α，β的正、余弦值．代入两角和的正弦公式计算．解答：解（1）=（1，2cos2θ），=（sin2θ，﹣1），∵，∴sin2θ﹣2cos2θ=﹣1，∴，∴．（2）由（1）得：，∴，∴∴，，由任意角三角函数的定义，，同样地求出，，∴点评：本题考查向量的数量积运算、任意角三角函数的定义、利用三角函数公式进行恒等变形以及求解运算力量．19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b2+c2）=3a2+2bc．（Ⅰ）若，求tanC的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积，且b＞c，求b，c．考点：余弦定理的应用．专题：综合题；解三角形．分析：（Ⅰ）由3（b2+c2）=3a2+2bc，利用余弦定理，可得cosA ，依据，即可求tanC的大小；（Ⅱ）利用面积及余弦定理，可得b、c的两个方程，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）∵3（b2+c2）=3a2+2bc，∴=∴cosA=，∴sinA=∵，∴∴∴∴tanC=；（Ⅱ）∵ABC 的面积，∴，∴bc=①∵a=2，∴由余弦定理可得4=b2+c2﹣2bc ×∴b2+c2=5②∵b＞c，∴联立①②可得b=，c=．点评：本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查同学的计算力量，属于中档题．20．（13分）定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求切线方程，就是求k=f′（1），f（1），然后利用点斜式求直线方程，问题得以解决；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，转化为求最值问题．解答：解：（1）∵f（x）=x2+x∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，∴f′（1）=3，∴所求切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣2x+m﹣x2﹣x=x3﹣3x+m﹣x2∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，当﹣4＜x＜﹣1时，h′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，h′（x）＜0，当3＜x＜4时，h′（x）＞0，要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，而h（﹣1）=，h（4）=m ﹣，∵m+，∴，即m．点评：导数再函数应用中，求切线方程就是求某点处的导数，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题．21．（14分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用三角函数的定义求出φ的值，由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的周期，从而可求ω，进而可求函数f（x）的解析式；（2）利用正弦函数的单调增区间，可求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x ）恒成立，等价于，由此可求实数m的取值范围．解答：解：（1）角φ的终边经过点，∴，…（2分）∵，∴．…（3分）由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，得，即，∴ω=3…..（5分）∴…（6分）（2）由，可得，…（8分）∴函数f（x ）的单调递增区间为k∈z…（9分）（3 ）当时，，…（11分）于是，2+f（x）＞0，∴mf（x）+2m≥f（x ）等价于…（12分）由，得的最大值为…（13分）∴实数m 的取值范围是．…（14分）点评：本题考查函数解析式的确定，考查三角函数的性质，考查分别参数法的运用，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．。

2022-2021学年安徽省亳州市涡阳四中高二（上）其次次质检数学试卷（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（）A． a n=2n﹣1 B．C． D．2．命题“任意x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．任意x∈R，x2+2x+2≤0 B．不存在x∈R，x2+2x+2＞0C．存在x∈R，x2+2x+2≤0 D．存在x∈R，x2+2x+2＞03．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A． a3＞b3 B．＜ C． a2＞b2 D． 0＜b﹣a＜14．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n+1）则a5的值为（）A． 80 B． 40 C． 20 D． 105．已知实数x，y 满足，则2x﹣y的最大值为（）A． B． 0 C．﹣1 D．6．下列结论中正确的是（）A．命题p是真命题时，命题“P且q”定是真命题B．命题“P且q”是真命题时，命题P肯定是真命题C．命题“P且q”是假命题时，命题P肯定是假命题D．命题P是假命题时，命题“P且q”不肯定是假命题7．下列函数中，最小值为4的函数是（）A． B．C． y=e x+4e﹣x D． y=log3x+log x818．设S n是等差数列{a n}的前n 项和，若=（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．9．在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a，则cosB 的值为（）A． B． C． D．10．将形如M=m n（m、n∈N*）的正整数表示成各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M 的m项分划”．例如，将4表示成4=22=1+3，称作“对4的2项分划”，将27表示成27=33=7+9+11，称作“对27的3项分划”．那么对256的16项分划中，最大的数是（）（）A． 19 B． 21 C． 31 D． 39二.选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在△ABC中，已知a=，b=2，B=45°，则角A= ．12．若1、a、b、c 、9成等比数列，则b= ．13．设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a 4+a9= ．14．若m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是．15．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（写出全部正确命题的序号）．①cosC＜1﹣cosB；②△ABC的面积为S△ABC=••tanA；③若acosA=ccosC，则△ABC肯定为等腰三角形；④若A是△ABC中的最大角，则△ABC为钝角三角形的充要条件是﹣1＜sinA+cosA＜1；⑤若A=，a=，则b的最大值为2．三.解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．17．设命题p：≤1，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若“q⇒p”为真命题，求实数a的取值范围．18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．19．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．20．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx满足条件：①f（0）=f（1）；②f（x）的最小值为﹣．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=（）f（n），求数列{a n}的通项公式；（3）在（2）的条件下，若5f（a n）是b n与a n的等差中项，试问数列{b n}中第几项的值最小？求出这个最小值．2022-2021学年安徽省亳州市涡阳四中高二（上）其次次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（）A． a n=2n﹣1 B．C． D．考点：数列的概念及简洁表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：把数列{a n}中1，﹣3，5，﹣7，9，…符号与通项的确定值分别考虑，再利用等差数列的通项公式即可得出．．解答：解：由数列{a n}中 1，﹣3，5，﹣7，9，…可以看出：符号正负相间，通项的确定值为1，3，5，7，9…为等差数列{b n}，其通项公式b n=2n﹣1．∴数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为a n=（﹣1）n+1（2n﹣1）．故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．2．命题“任意x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．任意x∈R，x2+2x+2≤0 B．不存在x∈R，x2+2x+2＞0C．存在x∈R，x2+2x+2≤0 D．存在x∈R，x2+2x+2＞0考点：命题的否定．专题：简易规律．分析：利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解答：解：由于全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是：存在x∈R，x2+2x+2≤0．故选：C．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本学问的考查．3．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A． a3＞b3 B．＜ C． a2＞b2 D． 0＜b﹣a＜1考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由0＜a＜b＜1，可得0＜b﹣a＜1．即可得出．解答：解：∵0＜a＜b＜1，∴0＜b﹣a＜1．故选：D．点评：本题考查了不等式的性质，属于基础题．4．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n+1）则a5的值为（）A． 80 B． 40 C． 20 D． 10考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由于S n表示数列的前n项的和，所以a5表示数列前5项的和减去数列前4项的和，进而可得到答案．解答：解：由题意可得：a5=S5﹣S4，由于S n=2n（n+1），所以S5=10（5+1）=60，S4=8（4+1）=40，所以a5=20．故选C．点评：解决此类问题的关键是把握S n表示的意义是数列前n项的和，并且加以正确的计算．5．已知实数x，y 满足，则2x﹣y的最大值为（）A． B． 0 C．﹣1 D．考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先依据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过y轴的截距最小，即z最大值，从而求解．解答：解：先依据约束条件画出可行域，目标函数z=2x﹣y，z在点A （，）处取得最大值，可得z max=2×﹣=，故最大值为，故选A．点评：本题主要考查了简洁的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．下列结论中正确的是（）A．命题p是真命题时，命题“P且q”定是真命题B．命题“P且q”是真命题时，命题P肯定是真命题C．命题“P且q”是假命题时，命题P肯定是假命题D．命题P是假命题时，命题“P且q”不肯定是假命题考点：复合命题的真假．专题：综合题．分析：据题意，由P，q同真时，“P且q”是真命题，命题“p且q”是假命题我们可以命题p与命题q中至少存在一个假命题，由此对四个答案逐一进行分析即可得到答案．解答：解：对于A，P，q同真时，“P且q”是真命题，故A错；对于B，明显成立；对于C，命题“P且q”是假命题时，命题q可以是假命题，故C错；P，q同真时，“P且q”是真命题，故D错．故选B．点评：复合命题的真假推断，娴熟把握真值表是关键．7．下列函数中，最小值为4的函数是（）A． B．C． y=e x+4e﹣x D． y=log3x+log x81考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式可得=4，留意检验不等式使用的前提条件．解答：解：∵e x＞0，4e﹣x＞0，∴=4，当且仅当e x=4e﹣x，即x=ln2时取得等号，∴y=e x+4e﹣x的最小值为4，故选C．点评：本题考查基本不等式求函数的最值，利用基本不等式求函数最值要留意条件：“一正、二定、三相等”．8．设S n是等差数列{a n}的前n 项和，若=（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．9．在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c，sinA、sinB、sinC成等比数列，且c=2a，则cosB 的值为（）A． B． C． D．考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：利用等比数列的性质，结合正弦定理可得b2=ac，再利用c=2a ，可得，利用cosB=，可得结论．解答：解：∵sinA、sinB、sinC成等比数列，∴sin2B=sinAsinC，∴由正弦定理可得b2=ac，∵c=2a ，∴，∴cosB===．故选B．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查等比数列的性质，考查同学的计算力量，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．10．将形如M=m n（m、n∈N*）的正整数表示成各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M 的m项分划”．例如，将4表示成4=22=1+3，称作“对4的2项分划”，将27表示成27=33=7+9+11，称作“对27的3项分划”．那么对256的16项分划中，最大的数是（）（）A． 19 B． 21 C． 31 D． 39考点：进行简洁的合情推理．专题：推理和证明．分析：首先结合对256的16项分划，可以设第一项为x，然后，求其和为256，得到首项的值为1，从而得到最大项．解答：解：依据“对M的m项分划”的概念，得对256的16项分划为：256=x+（x+2）+（x+4）+…+（x+30），解得 x=1，所以，最大项为31．故选：C．点评：本题重点考查了数列的求和、合情推理等学问，属于中档题．二.选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在△ABC中，已知a=，b=2，B=45°，则角A= 30°．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由a ，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，即可确定出A的度数．解答：解：∵在△ABC中，a=，b=2，B=45°，∴由正弦定理=得：sinA===，∵a＜b，∴A＜B，则A=30°．故答案为：30°点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，娴熟把握正弦定理是解本题的关键．12．若1、a、b、c、9成等比数列，则b= 3 ．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依据等比数列的定义和性质可得b＞0，且ac=b2=1×9=9，即可求出的值．解答：解：若1、a、b、c、9成等比数列，则b＞0，且ac=b2=1×9=9，∴b=3．故答案为：3．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，推断b＞0，且ac=b2=1×9=9是解题的关键．13．设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9= 24 ．考点：等差数列的性质．分析：先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．解答：解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24点评：本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．14．若m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是1＜m＜3 ．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：设最大边m+2对的钝角为α，利用余弦定理表示出cosα，将三边长代入表示出cosα，依据cosα小于0求出m的范围，再依据三边关系求出m范围，综上，即可得到满足题意m的范围．解答：解：∵m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，且最大边m+2对的钝角为α，∴由余弦定理得：cosα==＜0，解得：0＜m＜3，∵m+m+1＞m+2，∴m＞1，则实数m的范围是1＜m＜3．故答案为：1＜m＜3点评：此题考查了余弦定理，以及三角形的三边关系，娴熟把握余弦定理是解本题的关键．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是④⑤（写出全部正确命题的序号）．①cosC＜1﹣cosB；②△ABC的面积为S△ABC=••tanA；③若acosA=ccosC，则△ABC肯定为等腰三角形；④若A是△ABC中的最大角，则△ABC为钝角三角形的充要条件是﹣1＜sinA+cosA＜1；⑤若A=，a=，则b的最大值为2．考点：命题的真假推断与应用．专题：解三角形．分析：①利用正弦定理与两角和的正弦可得sin（B+C）=sinA＜sinA，可推断①；②当A=时，tanA无意义可推断②；③利用正弦定理与二倍角的正弦可推断③；④若A为钝角，利用三角恒等变换可得﹣1＜sinA+cosA＜1，可推断④；⑤利用正弦定理可得b=≤==2，可推断⑤．解答：解：对于①，在△ABC 中，∵cosC＜1﹣cosB，∴bcosC+ccosB＜a，由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB＜sinA，即sin（B+C）=sinA＜sinA，故①错误；对于②，当A=时，tanA无意义，故②错误；对于③，若acosA=ccosC，则sin2A=sin2C，所以A=C或A+C=，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故③错误；对于④，若A为钝角，则A+∈（，），∴sin（A+）∈（﹣，），∴sin（A+）∈（﹣1，1），即（sinA+cosA）∈（﹣1，1），∴△ABC为钝角三角形的充要条件是﹣1＜sinA+cosA＜1，④正确；对于⑤，若A=，a=，则由=得：b=≤==2，即b的最大值为2，故⑤正确．故答案为：④⑤．点评：本题考查解三角形，着重考查正弦定理的应用，考查两角和的正弦与正弦函数的单调性质的综合应用，考查转化思想，是易错题．三.解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）依据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）依据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．解答：解：（Ⅰ）由a=2bsinA，依据正弦定理得sinA=2sinBsinA ，所以，由△ABC 为锐角三角形得．（Ⅱ）依据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形中正余弦定理应用的很广泛，肯定要娴熟把握公式．17．设命题p ：≤1，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若“q⇒p”为真命题，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：先求出关于p，q的不等式，结合“q⇒p”为真命题，从而得到a的范围．解答：解：由≤1，得x＜﹣1或x≥2，∴p：x＜﹣1或x≥2，由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，得a≤x≤a+1，因此q：a≤x≤a+1，∵q⇒p．∴{x|a≤x≤a+1}⊆{x|x＜﹣1或x≥2}，∴a+1＜1或a≥2，解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）．点评：本题考查了充分必要条件，考查了命题之间的关系，是一道基础题．18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：（Ⅰ）先求出sinB=，再利用正弦定理求sinA的值；（Ⅱ）由△ABC的面积S△ABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值．解答：解：（Ⅰ）∵cosB=∴sinB=，∵a=2，b=4，∴sinA===；（Ⅱ）S△ABC =4=×2c ×，∴c=5，∴b==．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．19．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．考点：等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再依据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，依据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n 的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后依据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n =．（Ⅱ）b n =++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n 项和为﹣．点评：此题考查同学机敏运用等比数列的通项公式化简求值，把握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．20．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．考点：等差数列的通项公式；数列的求和．专题：综合题．分析：（I）依据等差数列的通项公式化简a2=0和a6+a8=﹣10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，依据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①﹣②后，利用a n的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列{}的前n项和的通项公式．解答：解：（I）设等差数列{a n}的公差为d ，由已知条件可得，解得：，故数列{a n}的通项公式为a n=2﹣n；（II）设数列{}的前n项和为S n，即S n=a1++…+①，故S1=1，=++…+②，当n＞1时，①﹣②得：=a1++…+﹣=1﹣（++…+）﹣=1﹣（1﹣）﹣=，所以S n =，综上，数列{}的前n项和S n =．点评：此题考查同学机敏运用等差数列的通项公式化简求值，会利用错位相减法求数列的和，是一道中档题．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx满足条件：①f（0）=f（1）；②f（x ）的最小值为﹣．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=（）f（n），求数列{a n}的通项公式；（3）在（2）的条件下，若5f（a n）是b n与a n的等差中项，试问数列{b n}中第几项的值最小？求出这个最小值．考点：函数解析式的求解及常用方法；数列的函数特性；等比数列的通项公式．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由已知中二次函数f（x）=ax2+bx满足条件：①f（0）=f（1）；②f（x ）的最小值为﹣结合二次函数的性质，我们构造关于a，b的方程，解方程求出a，b的值，即可求出函数f（x）的解析式；（2）由已知中T n=（）f（n），依据a n =，我们可以求出n≥2时，数列的通项公式，推断a1=T1=1是否符合所求的通项公式，即可得到数列{a n}的通项公式；（3）依据等差中项的定义，及5f（a n）是b n与a n的等差中项，我们易推断数列{b n}的单调性，进而求出数列{b n}的最小值，及对应的项数．解答：解：（1）由题知：，解得，故f（x）=x2﹣x．…（4分）（2）T n=a1•a2•…•a n =，T n﹣1=a1•a2•…•a n﹣1=（n≥2）∴a n ==（n≥2），又a1=T1=1满足上式．所以a n =．…（9分）（验证a11分）（3）若5f（a n）是b n与a的等差中项，则2×5f（a n）=b n+a n，从而=b n+a n，b n=5a n2﹣6a n =．由于a n =是n的减函数，所以当a n ≥，即n≤3时，b n随n的增大而减小，此时最小值为b3；当a n ＜，即n≥4时，b n随n的增大而增大，此时最小值为b4．又|a3﹣|＜|a4﹣|，所以b3＜b4，即数列{b n}中b3最小，且b3=﹣．…（16分）点评：本题考查的学问点是函数解析式的求解及常用方法，数列的函数特性，等比数列的通项公式，其中娴熟把握数列问题的处理方法，如a n =，等差中项，是解答本题的关键．。

四川省双流中学2021-2022学年度高一（下）入学考试数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷2共4页，共4页．满分150分．考试时间120分钟．务必将选择题和填空题答案写在答题卷的相应位置．第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案务必写在答题卷的相应位置．1．若sin 0α<，且tan 0α<，则α是（A ）第一象限角 （B ）其次象限角 （C ）第三象限角 （D ）第四象限角2．函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π3．设函数21,1()2,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则((3))f f =（A ）15 （B ）3 （C ）23 （D ）1394．已知3=a ，2=b ，若3⋅=-a b ，则a 与b 的夹角为（A ）3π （B ）4π（C ）23π （D ）34π5．如图所示，向量OA =a ，OB =b ，OC =c ， 若3AC CB =-，则（A ）1322=-+c a b （B ）3122=-c a b（C ）2=-+c a b （D ）2=+c a b6．三个实数2334222()()log 333p q r ===，，的大小关系正确的是（A ）p q r >> （B ） q r p >> （C ） r p q >>（D ） p r q >>7．依据表格中的数据，可以判定方程20xe x --=的一个根所在的区间为x1-0 123 x e0.371 2.72 7.3920.09 2x + 1 2345（A ）(1,0)- （B ）(0,1) （C ）(1,2) （D ）(2,3)8．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化的状况：一种是即时曲线()y f x = ， 另一种平均价格曲线()y g x =，如(2)3f =表示股票开头买卖后2小时的即时价格为3元；(2)3g =表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示()y f x =，虚线表示()y g x =，其中可能正确的是（A ） （B ） （C ） （D ）9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断削减，这种现象称为衰变．假设在某放射性元素的衰变过程中，其含量M 与时间t （单位：年）满足函数关系：0()ktM t M e -=（0,M k均为非零常数，e 为自然对数的底数），其中0M 为0t =时该放射性元素的含量，若经过5年衰变后还剩余90%的含量，则该放射性元素衰变到还剩余40%，至少需要经过（参考数据：ln0.2 1.61≈-，ln0.40.92≈-，ln0.90.11≈-）AOB（A ）40年 （B ）41年 （C ）42年 （D ）43年10．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，当0>x 时，121,02()1(2),22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程26[()]()10f x f x --=的实数根的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．答案务必写在答题卷的相应位置．11.已知()4,2a =，()6,y b =，且//a b ，则y = ．12.已知4cos 5α=，(0,)απ∈，则tan α= ．13.已知向量,,a b c 彼此不共线，且,,a b c 两两所成的角相等，若1=a ，1=b ，3=c ，则=a +b+c ．14.已知偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-上函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是_____________．15.设a ，b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是 ①若a 与b 的夹角为60︒，则==-a b a b；②若==-a b a b ，则a 与a +b 的夹角为60︒； ③若+=-a b a b，则存在非零实数λ，使得λ=b a ；④若存在非零实数λ，使得λ=b a ，则+=-a b a b；⑤若a 与b 共线且同向，则⋅=a b a b．其中的正确的结论是 （写出全部正确结论的序号）．数学答题卷一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题：（每小题5分，共25分）11.________________. 12.________________. 13.________________.14.________________. 15.________________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） （Ⅰ）计算lg83lg5+；（Ⅱ）计算11203217(0.027)()(2)1)79----+-．17．（本小题满分12分）已知角α的终边经过点43(,)55P - （Ⅰ）求sin α的值；（Ⅱ）求sin()tan()2sin()cos(3)πααππαπα--⋅+-的值．18．（本小题满分12分）已知函数()sin(2)3f x x π=-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值. ． 19．（本小题满分12分）已知函数21()21x xf x -=+ （Ⅰ）试推断函数的单调性并加以证明；（Ⅱ）当a x f <)(恒成立时，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）某电力公司调查了某地区夏季居民的用电量y （万千瓦时）是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，记作()y f t =，下表是某日各时的用电量数据：经长期观看()y f t =的曲线可近似地看成函数sin()(0,0)y A t B A ωϕϕπ=++><<． （Ⅰ）依据以上数据，求出函数sin()(0,0)y A x B A ωϕϕπ=++><<的解析式；（Ⅱ）为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高高峰时期的电价，同时降低低峰时期的电价，鼓舞企业在低峰时用电．若居民用电量超过2.25万千瓦时，就要提高企业用电电价，请依据（Ⅰ）的结论，推断一天内的上午8:00到下午18：00，有几个小时要提高企业电价？21.(本小题满分14分)对于函数(),(),()f x g x x ϕ 假如存在实数,a b 使得()()()x a f x b g x ϕ=⋅+⋅，那么称()x ϕ为(),()f xg x 的线性组合函数.如对于()1f x x =+，2()2g x x x =+，2()2x x ϕ=-，存在2,1a b ==-，使得()2()()x f x g x ϕ=-，此时()x ϕ就是(),()f x g x 的线性组合函数.（Ⅰ）设222()1,(),()23f x x g x x x x x x ϕ=+=-=-+，试推断()x ϕ是否为(),()f x g x 的线性组合函数？并说明理由；（Ⅱ）设212()log ,()log ,2,1f x xg x x a b ====，线性组合函数为()x ϕ，若不等式23()2()0x x m ϕϕ-+<在4x ⎤∈⎦上有解，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）设()91(),()1x f x x g x x ==≤≤，取,01a b =>，线性组合函数()x ϕ使()x b ϕ≥ 恒成立，求b 的取值范围．参考答案二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.3. 12. 34. 13.2. 14.1(0,]4. 15. ③⑤. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）3．…………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）45-．……………………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）35-．…………………………………………………………………………6分（Ⅱ）54．…………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）令222()232k x k k ππππ-≤-≤π+∈Z 解得()1212k x k k π5ππ-≤≤π+∈Z 所以函数sin(2)3y x π=-的单调增区间为5[,]()1212k kk πππ-π+∈Z ……………6分（Ⅱ）由于[0,]2x π∈，所以2[0,]x ∈π，(2)[,]333x ππ2π-∈- 所以当233x ππ-=-，即0x =时，in(2)3y s x π=-取得最小值2-； 当232x ππ-=，即12x 5π=时，sin(2)3y x π=-取得最大值1 ……………12分 19．解析：（Ⅰ）函数122)(+-=x x xx f 的定义域为R ，函数)(x f 在R 上是增函数，设21,x x 是R 内任意两个值，并且21x x <则12122212)()(221121+--+-=-x x x x x f x f )12)(12()12)(12()12)(12(211221+++--+-=x x x x x x )12)(12()22(22121++-=x x x x ……………………………………………………………………5分 21x x < 2122x x <∴.0)12)(12()22(2)()(212121<++-=-∴=x x x x x f x f 即)()(21x f x f <∴ )(x f ∴是R 上的增函数．……………………………………………………………7分（Ⅱ）12211212)(+-=+-=x x x x f02>x 112>+∴x 22120<+>∴x02122<+<-∴x 121211<+-<-∴x即1)(1<<-x f ………………………………………………………………………10分 当1,)(≥<a a x f 恒成立时…………………………………………………………12分 20．解析：（Ⅰ）由表中数据，知12T =，6πω=．由 2.51.5A B A B +=⎧⎨-+=⎩，得0.5A =，2B = ∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)． 代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=． 故所求函数解析式为0.5sin()262y x ππ=++．…………………………………………5分 （Ⅱ）由题意知，0.5sin()2 2.2562x ππ++>．∴0.5sin()0.2562x ππ+>即1cos 62x π>． ∴22363k t k πππππ-+<<+（k ∈Z ）．∴212212k t k -+<<+（k ∈Z ）．………………………………………………………10分 ∵024t ≤≤，故可令0,1,2k =，得02t ≤<或1014t <<或2224t <≤．∴在一天内的上午8:00到下午18：00，有4个小时要提高企业电价．………………13分 22.(本小题满分14分)。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。

A ．()0,1fx ∂∂不存在，()0,1f y ∂∂存在B ．()0,1fx ∂∂存在，()0,1f y ∂∂不存在C ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均存在 D ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均不存在 【答案】A【解析】f （0，1）＝0，由偏导数的定义()()()()0000,1ln 1sin1,10,1lim lim sin1lim x x x x x f x f fx x xx →→→+-∂===∂，因为0lim 1x x x +→=，0lim 1x x x -→=-，所以()0,1fx ∂∂不存在，()()()1110,10,0,1ln 1lim lim lim 1111y y y f y f f y y y y y y →→→-∂-====∂---，所以()0,1fy ∂∂存在.2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（ ）。

A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D【解析】当x ≤0时，()(1d ln f x x x C ==+⎰当x ＞0时，()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x ＝0处(110lim ln x x C C -→++=，()220lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰，综合选项，令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩.3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。

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专题力量提升练(四)(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2021·淄博一模)某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线相互垂直，则该几何体的体积是( )A.56B.34C.12D.16【解析】选A.由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的体积为1，四棱锥的体积为：13×1×1×12=16，故组合体的体积V=1-16=56.2.如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为(瓶壁厚度忽视不计)( ) A.8+π B.8+4π C.16+π D. 16+4π【解析】选C.几何体为圆柱体和长方体的组合体，所以V=π+2×4×2=16+π.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别是A1B1，BB1的中点，过M，N，C1的截面截正方体所得的几何体如图所示，那么该几何体的侧视图是( )【解析】选B.依据题意得：该几何体的侧视图是点A，D，D1，A1，在平面BCC1B1上的投影，且NC1是被拦住的线段，应为虚线；所以符合条件的是B选项.4.(2021·枣庄二模)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A.35πcm 3B.1063πcm 3 C.70πcm 3 D.2123πcm 3【解题提示】由已知的三视图可得：该几何体是一个圆台与半球的组合体，分别计算半球与圆台的体积，相加可得答案.【解析】选D.由已知的三视图可得：该几何体是一个圆台与半球的组合体，球的半径与圆台的下底面半径均为4cm ，故半球的体积为：12×43×π×43=1283π(cm 3)，圆台的上底面半径为2cm ，高为3cm ，故圆台的体积为：13π(42+4×2+22)×3=843π(cm 3)，故组合体的体积V=1283π+843π=2123π(cm 3).5.(2021·郑州一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.24C. 30D. 48【解析】选B.由三视图可知其直观图如图所示，其由三棱柱截去一个三棱锥所得，三棱柱的体积V=12×4×3×5=30，三棱锥的体积V 1=13×12×4×3×3=6，故该几何体的体积为24.6.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A.α∥β且l ∥αB.α⊥β且l ⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l【解析】选D.由m ⊥平面α，直线l 满足l ⊥m ，且l ⊄α，所以l ∥α，又n ⊥平面β，l ⊥n ，l ⊄β，所以l ∥β.又直线m ，n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，则α与β相交.否则，若α∥β，则推出m ∥n ，与m ，n 异面冲突.故α与β相交，且交线平行于l .7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.3B.103C.113D.83【解题提示】几何体是直三棱柱截去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和截去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.【解析】选B.由三视图知：几何体是直三棱柱截去一个三棱锥，如图：直三棱柱的体积为12×2×2×2=4.截去的三棱锥的体积为13×12×2×1×2=23，所以几何体的体积V=4-23=10 3.8.(2021·青岛二模)某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为( )A.1403π+4√13π B.36π+2√13πC.32π+2√13πD.44π+2√13π【解题提示】首先依据三视图把该几何体的直观图整理出来，进一步利用立体图的相关的数据求出结果. 【解析】选D.依据三视图得知：该几何体是由下面是一个半径为4的半球，上面是一个底面半径为2，高为3的圆锥构成的组合体.首先求出上面圆锥的侧面开放面的半径r=√13，圆锥的底面周长为l=4π，所以圆锥的侧面面积为：S1=12·4π·√13=2√13π，剩余的侧面面积为：S2=2π·16+16π-4π=44π，所以组合体的表面积为：S=S1+S2=44π+2√13π.9.(2021·烟台二模)某几何体在网格纸上的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )A.4π3B.5π3C.7π3D.8π3【解析】选A.由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和四分之一球组成的组合体，圆柱底面半径和球的半径R均为1，故四分之一球的体积为：14×43πR3=13π，圆柱的高h=1，故圆柱的体积为：πR2h=π，故组合体的体积V=13π+π=4π3. 10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2√3，点A，B，C，D在球O上，球O 与BA1的另一个交点为E，与CD1的另一个交点为F，AE⊥BA1，则球O的表面积为( )A.6πB.8πC.12πD.16π【解题提示】连结EF，DF，说明三棱柱ABE-DCF是球O的内接直三棱柱，求出球的半径，即可求解球的表面积.【解析】选B.连结EF，DF，易证得BCFE是矩形，则三棱柱ABE-DCF是球O的内接直三棱柱，由于AB=2，AA1=2√3，所以tan∠ABA1=√3，即∠ABA1=60°，又AE⊥BA1，所以AE=√3，BE=1，所以球O的半径R=12√22+12+(√3)2=√2，所以球O的表面积为：4πR2=4π(√2)2=8π.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2021·日照一模)若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是. 【解题提示】画出几何体的直观图，然后利用三视图的数据求解几何体的体积即可.【解析】由三视图知此几何体为边长为2的正方体截去一个三棱锥(如图)，所以此几何体的体积为：2×2×2-13×12×1×2×2=223.答案：22312.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.【解析】由已知的三视图可以推断该几何体是一个底面如正视图所示的六棱柱，由俯视图可得棱柱的高h=2，由割补法，可得棱柱的底面面积S=2·3=6，故棱柱的体积V=2·6=12.答案：1213.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是.【解题提示】由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，先确定最大的面，再求其面积.【解析】由三视图可知，该几何体有两个面是直角三角形，如图，底面是正三角形，最大的面是VAB，其边长分别为：2，√22+22=2√2，√22+22=2√2，故其面积为：12×2×√8−1=√7.答案：√7【方法技巧】与三视图有关问题的解题技巧：(1)留意长宽高的关系：三视图中长对正，高平齐，宽相等.(2)由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图.14.(2021·德州一模)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的四个表面中，面积最大的值为. 【解析】如图所示：该三棱锥是P-ABC，其中PA⊥底面ABC，PA=2，其底面为顶角∠BAC=120°的等腰三角形，BC=2√3.取BC的中点D，连接AD，可得AD=1.其面积最大的表面是侧面△PBC.由于PD=√PA2+AD2=√5.所以S△PBC=12BC·PD=12×2√3×√5=√15.答案：√1515.如图，用一边长为√2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢外形保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为.【解析】由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的体积为43π，故鸡蛋(球)的半径为1，故球心到截面圆的距离为√1−(12)2=√32， 而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为√32+1+12=√32+32.答案：3+√32三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)如图所示是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧(左)视图、俯视图.已知CF=2AD ，侧(左)视图是边长为2的等边三角形，俯视图是直角梯形，有关数据如图所示.求该几何体的体积.【解析】取CF 中点P ，过P 作PQ ∥CB 交BE 于Q ，连接PD ，QD ，则AD ∥CP ，且AD=CP .所以四边形ACPD 为平行四边形， 所以AC ∥PD.又BC ∥PQ ，易知平面PDQ ∥平面ABC.该几何体可分割成三棱柱PDQ-CAB 和四棱锥D-PQEF ，所以V=V 三棱柱PDQ-CAB +V D-PQEF =12×22sin60°×2+13×(1+2)×22×√3=3√3.17.(12分)如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=√2. (1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)求三棱柱ABD-A 1B 1D 1的体积.【解析】(1)由于四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=√2，由棱柱的性质可得BB 1和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等.而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，所以BD ∥平面CB 1D 1.同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1.而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.(2)由题意可得A 1O 为三棱柱ABD-A 1B 1D 1的高.三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O=√A 1A 2−AO 2=√2−1=1，所以三棱柱ABD-A 1B 1D 1的体积V=S △ABD·A1O=AB22·A 1O=22×1=1.【误区警示】解答本题易消灭以下三种错误：一是对棱柱的性质不生疏，造成思路受阻；二是对面面平行的判定的理解不彻底，造成证明不严谨失分；三是对棱柱的体积公式记忆不准或计算错误而失分.18.(12分)(2021·日照二模)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上.(1)求证：BC⊥平面ACFE.(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论.【解题提示】(1)由已知，若证得AC⊥BC，则据面面垂直的性质定理即可.转化成在平面ABCD 中，能否有AC⊥BC，易证成立.(2)设AC∩BD=N，则面AMF∩平面BDF=FN，只需AM∥FN即可.而CN∶NA=1∶2.故应有EM∶FM=1∶2.【解析】(1)在梯形ABCD中，由于AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA=∠BAC=30°，∠DCB=120°，所以∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°，所以AC⊥BC.又由于平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，所以BC⊥平面ACFE. (2)当EM=√33a时，AM∥平面BDF，在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接FN，则CN∶NA=1∶2，由于EM=√33a，而EF=AC=√3a，所以EM∶MF=1∶2，所以MF AN，所以四边形ANFM是平行四边形，所以AM∥NF，又由于NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，所以AM∥平面BDF.19.(12分)(2021·淄博二模)有一个全部棱长均为a的正四棱锥P-ABCD，还有一个全部棱长均为a的正三棱锥，将此三棱锥的一个面与正四棱锥的一个侧面完全重合在一起，得到一个如图所示的多面体.(1)证明：P，E，B，A四点共面.(2)求三棱锥A-PDE的体积.(3)在底面ABCD内找一点M，使EM⊥平面PBC，指出M的位置，并说明理由.【解题提示】(1)取PB的中点F，连接AF，EF，CF，AC，由已知得∠AFC为二面角A-PB-C的平面角，∠EFC为二面角E-PB-C的平面角，由余弦定理得cos∠AFC=-13，cos∠EFC=13，从而∠AFC+∠EFC=π，由此能证明P，E，B，A四点共面.(2)由已知得AP∥BE，BE∥平面APD，从而V A-PDE=V B-APD=V P-ABD，由此能求出三棱锥A-PDE的体积.(3)ME⊥平面PBC，交平面PBC于点H，又PB=PC=BC，则H为△PBC的重心，从而得H为△ACE的重心，从而求出M为线段AC的中点.【解析】(1)取PB的中点F，连接AF，EF，CF，AC，所以AF⊥PB，EF⊥PB，CF⊥PB，且AF=CF=√32a，所以∠AFC为二面角A-PB-C的平面角，∠EFC为二面角E-PB-C的平面角，在△AFC中，由余弦定理得：cos∠AFC=AF2+CF2−AC22AF·CF =-13，在△EFC中，由余弦定理得：cos∠EFC=EF2+CF2−EC22EF·CF =13，所以∠AFC+∠EFC=π，所以P，E，B，A四点共面.(2)由于P，E，B，A四点共面，∠PAB=60°，∠ABE=120°，所以AP∥BE，BE∥平面APD，所以V A-PDE=V B-APD=V P-ABD=13×12×a×a×√22a=√212a3.(3)连接AC，取AC的中点M，M即为所求点.由于ME⊥平面PBC，交平面PBC 于点H，易知H是△PBC的垂心，又PB=PC=BC，则H为△PBC的重心，在△ACE中，由于CHHF =21，所以点H为△ACE的重心，所以M为线段AC的中点，即M即为所求点.20.(13分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，点G为BC的中点.(1)求证：直线OG∥平面EFCD.(2)求证：直线AC⊥平面ODE. 【证明】(1)由于四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，所以点O是BD的中点，由于点G为BC的中点，所以OG∥CD，又由于OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，所以直线OG∥平面EFCD.(2)由于BF=CF，点G为BC的中点，所以FG⊥BC，由于平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD=BC，FG⊂平面BCF，FG⊥BC，所以FG⊥平面ABCD，由于AC⊂平面ABCD，所以FG⊥AC，由于OG∥AB，OG=12AB，EF∥AB，EF=12AB，所以OG∥EF，OG=EF，所以四边形EFGO为平行四边形，所以FG∥EO，由于FG⊥AC，FG∥EO，所以AC⊥EO，由于四边形ABCD是菱形，所以AC⊥DO，由于AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO=O，EO，DO在平面ODE 内，所以AC⊥平面ODE.21.(14分)如图甲，☉O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CBA=∠DAB=π3.沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面相互垂直(如图乙)，F为BC的中点，E为AO的中点.依据图乙解答下列各题：(1)求证：CB⊥DE.(2)求三棱锥C-BOD的体积.(3)在劣弧BD⏜上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由.【解题提示】(1)利用等边三角形的性质可得DE⊥AO，再利用面面垂直的性质定理即可得到DE⊥平面ABC，进而得出结论.(2)由(1)知DE⊥平面ABC，利用转换底面的方法，即可求三棱锥的体积.(3)存在，G为劣弧BD⏜的中点.连接OG，OF，FG，通过证明平面OFG∥平面ACD，即可得到结论.【解析】(1)在△AOD中，由于∠OAD=π3，OA=OD，所以△AOD为正三角形，又由于E为OA的中点，所以DE⊥AO，由于两个半圆所在平面ACB与平面ADB相互垂直且其交线为AB，所以DE⊥平面ABC.又CB⊂平面ABC，所以CB⊥DE.(2)由(1)知DE⊥平面ABC，所以DE为三棱锥D-BOC的高.由于D为圆周上一点，且AB为直径，所以∠ADB=π2，在△ABD中，由AD⊥BD，∠BAD=π3，AB=2，得AD=1，DE=√32.由于S△BOC=12S△ABC=12×12×1×√3=√34，所以V C-BOD=V D-BOC=13S△BOC·DE=13×√34×√32=18.(3)存在满足题意的点G，G为劣弧BD⏜的中点.证明如下：连接OG，OF，FG，易知OG⊥BD，又AD⊥BD，所以OG∥AD，由于OG⊄平面ACD，所以OG∥平面ACD.在△ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，所以OF∥AC，OF⊄平面ACD，所以OF∥平面ACD，由于OG∩OF=O，所以平面OFG∥平面ACD.又FG⊂平面OFG，所以FG∥平面ACD. 关闭Word文档返回原板块。

2014-2015学年某某省某某市罗湖区翠圆中学高二（下）期末数学复习试卷（文科）（二）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知集合A={x|x+1＞0}，B={x|x2﹣x＜0}，则A∪B=（）A． {x|x＞﹣1} B． {x|﹣1＜x＜1} C． {x|0＜x＜1} D． {x|﹣1＜x＜0}2．角α的终边过点（﹣1，2），则cosα的值为（）A． B． C．﹣ D．﹣3．（文）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的几何体是（）A． B． C．D．5．一个容量为 n 的样本，分成若干组，已知某组频数和频率分别为 36 和0.25，则n=（） A． 9 B． 36 C． 72 D． 1446．已知函数y=xlnx，则其在点x=1处的切线方程是（）A． y=2x﹣2 B． y=2x+2 C． y=x﹣1 D． y=x+17．已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥，则实数k等于（）A． B． 3 C．﹣7 D．﹣28．已知等差数列{a n}的公差为﹣2，且a2，a4，a5成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D． 89．若函数f（x）=x2+2x+3a没有零点，则实数a的取值X围是（）A． B． C． D．10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分，其中11-13题是必做题，14-15题是选做题，考生只能选做一题，两题都答的，只计算前一题得分）11．若函数y=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期是，则ω=．12．定义运算，复数z满足，则复数z=．13．在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=．类比到空间，在长方体中，一条对角线与从某一顶点出发的三条棱所成的角分别是α，β，γ则有正确的式子是．【极坐标与参数方程选做题】14．在极坐标系中，ρ=4sinθ是圆的极坐标方程，则点A（4，）到圆心C的距离是．【几何证明选讲选做题】15．（几何证明选讲选做题）如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M=30°，切线AP长为，则圆O的直径长为．三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须出文字说明、证明过程和演算步骤）16．设函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1将函数f（x）的图象向左平移a个单位，得到函数y=g（x）的图象．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若0＜a＜，且g（x）是偶函数，求a的值．17．已知集合A={﹣2，0，1，3}，在平面直角坐标系中，点M的坐标（x，y）满足x∈A，y ∈A．（Ⅰ）请列出点M的所有坐标；（Ⅱ）求点M不在y轴上的概率；（Ⅲ）求点M正好落在区域上的概率．18．如图（1）所示，正△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点．现将△ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD⊥平面BCD（如图（2）），（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥C﹣DEF的体积．19．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2+y2﹣4x+2y=0的圆心C．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．20．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）的零点．21．数列{a n}的前n项和为S n，已知．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}满足，求数列{}的前n项和T n．（Ⅲ）X三同学利用第（Ⅱ）题中的T n设计了一个程序流程图，但李四同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意李四同学的观点？请说明理由．2014-2015学年某某省某某市罗湖区翠圆中学高二（下）期末数学复习试卷（文科）（二）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知集合A={x|x+1＞0}，B={x|x2﹣x＜0}，则A∪B=（）A． {x|x＞﹣1} B． {x|﹣1＜x＜1} C． {x|0＜x＜1} D． {x|﹣1＜x＜0}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的并集即可．解答：解：由A中不等式解得：x＞﹣1，即A={x|x＞﹣1}，由B中不等式变形得：x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即B={x|0＜x＜1}，则A∪B={x|x＞﹣1}，故选：A．点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．角α的终边过点（﹣1，2），则cosα的值为（）A． B． C．﹣ D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：先求出 x=﹣1，y=2，r=，利用cosα的定义，求出cosα的值．解答：解：∵角α的终边过点（﹣1，2），∴x=﹣1，y=2，r=，cosα===﹣，故选D．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用．3．（文）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：不等关系与不等式；充要条件．专题：计算题．分析：根据由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），从而得到结论．解答：解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），故a＞1是＜1 的充分不必要条件，故选 B．点评：本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．4．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的几何体是（）A． B． C．D．考点：由三视图还原实物图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，B、D两项的视图中都应该有对角线为虚线的矩形，故不符合题意；C项的正视图矩形的对角线方向不符合，也不符合题意，而A项符合题意，得到本题答案．解答：解：对于A，该几何体的三视图恰好与已知图形相符，故A符合题意；对于B，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是虚线，故不符合题意；对于C，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是从左上到右下的方向，故不符合题意；对于D，该几何体的侧视图的矩形中，对角线应该是虚线，不符合题意故选：A点评：本题给出三视图，要求我们将其还原为实物图，着重考查了对三视图的理解与认识，考查了空间想象能力，属于基础题．5．一个容量为 n 的样本，分成若干组，已知某组频数和频率分别为 36 和0.25，则n=（） A． 9 B． 36 C． 72 D． 144考点：频率分布表．专题：计算题．分析：根据一个容量为n的样本，某组频数和频率分别为 36 和0.25，写出这三者之间的关系式，得到关于n的方程，解方程即可．解答：解：∵一个容量为n的样本，某组频数和频率分别为 36 和0.25，∴0.25=∴n=144故选D．点评：本题考查频率分布表，本题解题的关键是知道频率，频数和样本容量之间的关系，这三者可以做到知二求一．6．已知函数y=xlnx，则其在点x=1处的切线方程是（）A． y=2x﹣2 B． y=2x+2 C． y=x﹣1 D． y=x+1考点：导数的几何意义．分析：运用求导公式计算x=1时的斜率，再结合曲线上一点求出切线方程．解答：解：y=xlnx y'=1×lnx+x•=1+lnx y'（1）=1 又当x=1时y=0∴切线方程为y=x﹣1 故选C．点评：此题主要考查导数的计算，比较简单．7．已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥，则实数k等于（）A． B． 3 C．﹣7 D．﹣2考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：先根据+=（1，k），⊥，求出坐标，再代入+=（1，k），即可求出k值．解答：解：设=（x，y），则=（2+x，1+y）=（1，k），∴2+x=1，1+y=k∵，∴=0，即2x+y=0，∴y=2，∴k=3故选B点评：本题考查向量加法的坐标运算，以及向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题．8．已知等差数列{a n}的公差为﹣2，且a2，a4，a5成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D． 8考点：等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列与等比数列的通项公式与性质，列出方程，求出且a2的值．解答：解：等差数列{a n}的公差为﹣2，且a2，a4，a5成等比数列，∴=a2•a5，即=a2•（a2﹣6），解得a2=8．故选：D．点评：本题考查了等差与等比数列的通项公式与应用问题，是基础题目．9．若函数f（x）=x2+2x+3a没有零点，则实数a的取值X围是（）A． B． C． D．考点：函数的零点；二次函数的性质．专题：计算题．分析：函数f（x）=x2+2x+3a没有零点，等价于方程x2+2x+3a=0无解，由根的判别式能求出结果．解答：解：∵函数f（x）=x2+2x+3a没有零点，∴x2+2x+3a=0无解，∴△=4﹣12a＜0，∴a＞．故选C．点评：本题考查函数的零的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由△ABF2是等腰直角三角形可知|AF1|=|F1F2|，即=2c，由此推导出这个椭圆的离心率．解答：解：由△ABF2是等腰直角三角形可知|AF1|=|F1F2|，∴=2c又∵c2=a2﹣b2∴a2﹣c2﹣2ac=0∴e2+2e﹣1=0解之得：e=﹣1或e=﹣﹣1 （负值舍去）．故选C点评：题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中a，b，c和e的关系．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分，其中11-13题是必做题，14-15题是选做题，考生只能选做一题，两题都答的，只计算前一题得分）11．若函数y=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期是，则ω= 6 ．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，可得结论．解答：解：函数y=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期是=，则ω=6，故答案为：6．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．12．定义运算，复数z满足，则复数z= 2﹣i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：新定义．分析：根据给出的定义把化简整理后，运用复数的除法运算求z．解答：解：由，得．故答案为2﹣i．点评：本题考查了复数的代数形式的乘除运算，复数的除法采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．13．在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β= 1 ．类比到空间，在长方体中，一条对角线与从某一顶点出发的三条棱所成的角分别是α，β，γ则有正确的式子是cos2α+cos2β+cos2γ=1 ．考点：类比推理．专题：探究型．分析：本题考查的知识点是类比推理，由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，我们根据平面性质可以类比推断出空间性质，我们易得答案．解答：解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，我们楞根据平面性质可以类比推断出空间性质，即在长方体中，一条对角线与从某一顶点出发的三条棱所成的角分别是α，β，γ，则有cos2α+cos2β+cos2γ=1．故答案为：1，cos2α+cos2β+cos2γ=1点评：本题考查的知识点是类比推理，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质，或是将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．【极坐标与参数方程选做题】14．在极坐标系中，ρ=4sinθ是圆的极坐标方程，则点A（4，）到圆心C的距离是2．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标化为直角坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．解答：解：由ρ=4sinθ化为ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，化为x2+（y﹣2）2=4，可得圆心C （0，2）．点A（4，）化为A．∴点A到圆心C的距离d==2．故答案为：2．点评：本题考查了把极坐标化为直角坐标、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【几何证明选讲选做题】15．（几何证明选讲选做题）如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M=30°，切线AP长为，则圆O的直径长为 4 ．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：计算题；压轴题；直线与圆．分析：连接PN，由题设条件推导出△MPN中，ON=r，PM=2，MN=2r，∠MPN=90°，由此能求出圆O的直径长．解答：解：连接PN，∵MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A，∠M=30°，切线AP长为，∴∠MPN=∠APO=90°，∠PNO=∠PON=60°，∴∠A=30°，PM=2，∴△MPN中，ON=r，PM=2，MN=2r，∠MPN=90°，∴（4r）2=r2+（2）2，解得r=2．∴圆O的直径长为4．故答案为：4．点评：本题考查与圆有关的比例线段的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须出文字说明、证明过程和演算步骤）16．设函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1将函数f（x）的图象向左平移a个单位，得到函数y=g（x）的图象．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若0＜a＜，且g（x）是偶函数，求a的值．考点：三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；综合题．分析：（1）利用降次以及两角和的正弦，化简为一个角的一个三角函数的形式，求函数f （x）的最小正周期；（2）0＜a＜，化简g（x）利用它是偶函数，根据0＜a＜，求a的值．解答：解：（1）∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=sin（2x+）∴f（x）的最小正周期T==π（2）g（x）=f（x+a）=sin[2（x+α）+]=sin（2x+2α+）g（x）是偶函数，则g（0）=±=sin（2α+）∴2α+=kπ+，k∈Zα=（ k∈Z）∵0＜a＜，∴α=点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，函数奇偶性的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．17．已知集合A={﹣2，0，1，3}，在平面直角坐标系中，点M的坐标（x，y）满足x∈A，y ∈A．（Ⅰ）请列出点M的所有坐标；（Ⅱ）求点M不在y轴上的概率；（Ⅲ）求点M正好落在区域上的概率．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据题意，依次列举符合条件的M即可，（Ⅱ）由（Ⅰ）列举的结果，分析可得在y轴的点有4个，即可得不在y轴上的点的个数，由等可能事件的概率公式，计算可得答案；（Ⅲ）由（Ⅰ）列举的结果，验证可得符合不等式组的点的个数，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：（Ⅰ）根据题意，符合条件的点M有：（﹣2，﹣2）、（﹣2，0）、（﹣2，1）、（﹣2，3）、（0，﹣2）、（0，0）、（0，1）、（0，3）、（1，﹣2）、（1，0）、（1，1）、（1，3）、（3，﹣2）、（3，0）、（3，1）、（3，3）；共16个；（Ⅱ）其中在y轴上，有（﹣2，0）、（0，0）、（1，0）、（3，0），共4个，则不在y轴的点有16﹣4=12个，点M不在y轴上的概率为=；（Ⅲ）根据题意，分析可得，满足不等式组的点有（1，1）、（1，3）、（3，1），共3个；则点M正好落在区域上的概率为．点评：本题考查等可能事件的概率计算，关键是用列举法得到符合条件的点的个数，注意（Ⅲ）中是古典概型，而不是几何概型．18．如图（1）所示，正△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点．现将△ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD⊥平面BCD（如图（2）），（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥C﹣DEF的体积．考点：平面与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题．分析：（1）判断：AB∥平面DEF，再由直线与平面平行的判定定理进行证明．（2）过点E作EM⊥DC于点M，由面ACD⊥面BCD，面ACD∩面BCD=CD，而EM⊂面ACD，知EM是三棱锥E﹣CDF的高，由此能求出三棱锥C﹣DEF的体积．解答：解：（1）判断：AB∥平面DEF，（2分）证明：因在△ABC中，E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB，（5分）又因AB⊄平面DEF，∴EF⊂平面DEF，（6分）所以AB∥平面DEF，（7分）（2）过点E作EM⊥DC于点M，∵面ACD⊥面BCD，面ACD∩面BCD=CD，而EM⊂面ACD故EM⊥平面BCD 于是EM是三棱锥E﹣CDF的高，（9分）又△CDF的面积为S△CDF====，EM=，（11分）故三棱锥C﹣DEF的体积==．点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．19．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2+y2﹣4x+2y=0的圆心C．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．考点：椭圆的标准方程；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：（1）把圆C的方程化为标准方程，进而求得圆心和半径，设椭圆的标准方程，根据题设得方程组求得a和b，则椭圆的方程可得．（2）跟椭圆方程求得焦点坐标，根据两点间的距离求得|F2C|小于圆的半径，判断出F2在圆C内，过F2没有圆C的切线，设直线的方程，求得点C到直线l的距离进而求得k，则直线方程可得．解答：解：（1）圆C方程化为：（x﹣2）2+（y+）2=6，圆心C（2，﹣），半径r=设椭圆的方程为=1（a＞b＞0），则所以所求的椭圆的方程是：=1．（2）由（1）得到椭圆的左右焦点分别是F1（﹣2，0），F2（2，0），|F2C|==＜∴F2在C内，故过F2没有圆C的切线，设l的方程为y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0点C（2，﹣）到直线l的距离为d=，由d=得=解得：k=或k=﹣，故l的方程为x﹣5y+2=0或x+y+2=0点评：本题主要考查了椭圆的标准方程．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．20．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）的零点．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．分析：（1）当x＞时，对函数f（x）求导，令导函数大于0求x的X围；当x≤时根据二次函数的图象和性质可得答案．（2）当x＞时根据函数的单调性与极值点可求出零点；当x≤时对函数判别式进行分析可得答案．解答：解（1）当x＞时，f′（x）=1﹣=由f′（x）＞0得x＞1．∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．当x≤时，f（x）=x2+2x+a﹣1=（x+1）2+a﹣2，∴f（x）在上是增函数∴f（x）的递增区间是（﹣1，）和（1，+∞）．（2）当x＞时，由（1）知f（x）在（，1）上递减，在（1，+∞）上递增且f′（1）=0．∴f（x）有极小值f（1）=1＞0，此时f（x）无零点．当x≤时，f（x）=x2+2x+a﹣1，△=4﹣4（a﹣1）=8﹣4a．当△＜0，即a＞2时，f（x）无零点．当△=0，即a=2时，f（x）有一个零点﹣1．当△＞0，且f（）≥0时，即∴时f（x）有两个零点：x=或x=，即x=﹣1+或x=﹣1﹣当△＞0且f（）＜0，即∴a＜﹣时，f（x）仅有一个零点﹣1﹣点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数零点的求法．属中档题．21．数列{a n}的前n项和为S n，已知．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}满足，求数列{}的前n项和T n．（Ⅲ）X三同学利用第（Ⅱ）题中的T n设计了一个程序流程图，但李四同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意李四同学的观点？请说明理由．考点：数列的求和；等差数列的前n项和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用，a1=S1；当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1可求（Ⅱ）根据题意需要分类讨论：当n为偶数和n为奇数两种情况，结合等差数列与等比数列的求和公式可求（Ⅲ）记d n=T n﹣P，结合（II）中的求和可得d n，进而可判断d n的单调性，分n为偶数，奇数两种情况讨论d n的X围，结合所求d n可判断其循环规律，从而可知判断解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2；当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n+1，则（Ⅱ）当n为偶数时，当n为奇数时，n﹣1为偶数，则（Ⅲ）记d n=T n﹣P当n为偶数时，．所以从第4项开始，数列{d n}的偶数项开始递增，而且d2，d4，…，d10均小于2012，d12＞2012，则d n≠2012（n为偶数）．当n为奇数时，．所以从第5项开始，数列{d n}的奇数项开始递增，而且d1，d3，…，d11均小于2012，d13＞2012，则d n≠2012（n为奇数）．故李四同学的观点是正确的．点评：本题以程序框图为载体综合考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及数列的和的求解，体现了分类讨论思想的应用，。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。

1.【题设】设集合,Z为整数集,则中元素的个数是（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】C【解析】试题分析：由题意，，故其中的元素个数为5，选C。

考点:集合中交集的运算。

2。

【题设】设i为虚数单位,则的展开式中含x4的项为（A)－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4【答案】A考点：二项展开式，复数的运算.3。

【题设】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】试题分析:由题意，为得到函数,只需把函数的图像上所有点向右移个单位,故选D。

考点:三角函数图像的平移。

4。

【题设】用数字1，2,3,4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(A)24 （B）48 （C)60 （D)72【答案】D【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数,则个位数应该为1、3、5,其他位置共有，所以其中奇数的个数为，故选D。

学科。

网考点：排列、组合5. 【题设】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入。

若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据:lg 1.12≈0。

05,lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年【答案】B考点：等比数列的应用。

6。

【题设】秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。

如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为(A）9 （B）18 （C）20 （D）35【答案】B考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史。

山东省临沂市2022-2021学年高二下学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求。

1．复数的虚部是( )A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：依据复数的基本运算和有关概念进行化简即可．解答：解：===+i，故复数的虚部为1，故选：B点评：本题主要考查复数的基本运算，比较基础．2．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={1，2}，B={﹣2，1，2}，则A∪（∁U B）等于( )A．∅B．{1} C．{1，2} D．{﹣1，0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先求出集合B的补集，再依据两个集合的并集的意义求解即可．解答：解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={1，2}，B={﹣2，1，2}，∴C U B={﹣1，0}，A∪（C U B）={﹣1，0，1，2}，故选：D．点评：本题主要考查了交、并、补集的混合运算，是集合并集的基础题，也是2021届高考常会考的题型．3．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是( )A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．其它推理考点：类比推理．专题：常规题型．分析：从直线想到平面，从圆想到球，即从平面类比到空间．解答：解：从直线类比到平面，从圆类比到球，即从平面类比到空间．用的是类比推理．故选C点评：本题主要考查同学的学问量和对学问的迁移类比的力量．4．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是( )A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数考点：反证法与放缩法．专题：常规题型．分析：本题考查反证法的概念，规律用语，否命题与命题的否定的概念，规律词语的否定．依据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．解答：解：依据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．点评：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“全部的”的否定：“某些”．5．已知函数f（x）=，若f（a）=，则a的值为( )A．﹣2或B ．C．﹣2 D ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（a）=得到关于a 的两个等式，在自变量范围内求值．解答：解：由于f（a）=，所以，或者，解得a=或者a=﹣2；故选B．点评：本题考查了分段函数的函数值；只要由f（a）=得到两个方程，分别解之即可；留意解得的自变量要在对应的自变量范围内．6．命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R ，，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：简易规律．分析：分别推断出p，q的真假，再推断出复合命题的真假即可．解答：解：命题p：∀x∈R，2x＜3x；当x=0时，不成立，是假命题，￢p是真命题；命题q：∃x∈R ，，画出图象，如图示：，函数y=和y=有交点，即方程有根，是真命题；故选：B．点评：本题考查了复合命题的推断问题，考查对数函数、指数函数的性质，是一道基础题．7．按流程图的程序计算，若开头输入的值为x=3，则输出的x的值是( )A．6 B．21 C．156 D．231考点：程序框图．专题：图表型．分析：依据程序可知，输入x，计算出的值，若≤100，然后再把作为x，输入，再计算的值，直到＞100，再输出．解答：解：∵x=3，∴=6，∵6＜100，∴当x=6时，=21＜100，∴当x=21时，=231＞100，停止循环则最终输出的结果是231，故选D．点评：此题考查的学问点是代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．8．设p：ω=1，q：f（x）=sin （）（ω＞0）的图象关于点（﹣，0）对称，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：依据充分必要条件的定义结合三角函数的性质，推断即可．解答：解：ω=1时，f（x）=sin（x+），由x+=kπ，得：x=kπ﹣，当k=0时，x=﹣，∴图象关于点（﹣，0）对称，是充分条件，反之不成立，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，娴熟把握三角函数的性质是解题的关键，本题属于基础题．9．已知函数y=f（x）和函数y=g（x）的图象如下：则函数y=f（x）g（x）的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：可以先推断函数y=f（x）和函数y=g（x）的奇偶性，由图象知y=f（x）为偶函数，y=g（x）为奇函数，所以y=f（x）g（x）为奇函数，排解B．利用函数的定义域为{x|x≠0}，排解D．当x→+∞，y=f（x）g （x）＞0，所以排解B，选A．解答：解：由图象可知y=f（x）为偶函数，y=g（x）为奇函数，所以y=f（x）g（x）为奇函数，排解B．由于函数y=g（x）的定义域为{x|x≠0}，所以函数y=f（x）g（x）的定义域为{x|x≠0}，排解D．当x→+∞，f（x）＜0，g（x）＜0，所以y=f（x）g（x）＞0，所以排解B，选A．点评：本题考查了函数图象的识别和推断，要充分利用函数图象的特点和函数的性质进行推断．当函数图象无法直接推断时，可以实行极限思想，让x→+∞或x→﹣∞时，函数的取值趋向，进行推断．10．若sinx+cosx≤ke x 在上恒成立，则实数k的最小值为( )A．3 B．2 C．1 D ．考点：利用导数争辩函数的单调性．分析：由题意可得k ≥在上恒成立．令g（x）=，再利用导数求得g（x ）在上为减函数，故函数g（x）的最大值为g（0）=1，可得k≥1，由此求得k的最小值．解答：解：∵sinx+cosx=sin（x+），∴由题意可得函数y=f（x）=ke x ﹣sin（x+）≥0 在上恒成立，即k ≥在上恒成立．令g（x）=，可得g′（x）====在上小于零，故函数g（x ）在上为减函数，故函数g（x）的最大值为g（0）=1，∴k≥1，故实数k的最小值为1，故选：C．点评：本题主要考查三角恒等变换，利用导数争辩函数的单调性，函数的恒成立问题，属于中档题．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(文科)全解析广东佛山南海区南海中学 钱耀周一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A ={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B ={参加北京奥运会比赛的男运动员}。

集合C ={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是A.A ⊆BB.B ⊆CC.A ∩B =CD.B ∪C =A【解析】送分题呀!答案为D.2.已知0＜a ＜2，复数z a i =+(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是B. (1,C.(1,3)D.(1,5) 【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z ,选B.3.已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（ ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--【解析】排除法:横坐标为2(6)4+-=-,选B.4.记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ）A 、2B 、3C 、6D 、7【解析】4224123S S S d d --==⇒=,选B.5.已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数 【解析】222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224x f x x x x x x -=+===,选D. 6.经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ）A 、10x y ++=B 、10x y +-=C 、10x y -+=D 、10x y --=【解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=,选C.(或由图形快速排除得正确答案.)7.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.8. 命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <”的逆否命题是（ ）A 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数B 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数C 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数D 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数【解析】考查逆否命题,易得答案A.9、设a R ∈，若函数x y e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（ ）A 、1a <-B 、1a >-C 、1a e <-D 、1a e>-【解析】题意即0x e a +=有大于0的实根,数形结合令12,x y e y a ==-,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得11a a ->⇒<-,选A.10、设,a b R ∈，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）A 、0b a ->B 、330a b +<C 、220a b -< D 、0b a +>【解析】利用赋值法:令1,0a b ==排除A,B,C,选D.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11-13题）11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是 .【解析】20(0.06510)13⨯⨯=,故答案为13.12.若变量x ，y 满足240,250,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z =3x +2y 的最大 值是________。

2022年全国硕士研究生招生考试数学一一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1.设1()lim1ln x f x x→=，则（ ）.A. (1)0f =B. 1lim ()0x f x →= C. (1)1f '= D.1lim ()1x f x →'=【答案】B. 【解析】由于1()lim1ln x f x x→=，所以1lim ()0x f x →=.故选B.2. 设()f u 可导，()y z xyf x=，若(ln ln )z zxy xy y x x y∂∂+=-∂∂,则( ) A.1(1),(1)02f f '== B.1(1)0,(1)2f f '== C.(1)1,(1)0f f '==D.1(1)0,(1)2f f '==【答案】D 【解析】2z y y y y f xf x x x x '∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦,1z y y x f yf y x x x '∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则2ln .z z y y xy xyf xy x y x x ∂∂⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭因此2ln y y f x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1()ln 2f u u =. 故1(1)0,(1).2f f '== 3. 设22n x ππ-≤≤，则（ ）A ．若()lim cos sin n n x →∞存在，则lim n n x →∞存在.B ．若()limsin cos n n x →∞存在，则lim n n x →∞存在.C ．若()lim cos sin n n x →∞存在且limsin n n x →∞存在，则lim n n x →∞不一定存在.D ．若()limsin cos n n x →∞存在且limcos n n x →∞存在，则lim n n x →∞不一定存在.【答案】D.【解析】对选项A ，B,若11n n x n ⎧=⎨-⎩，为奇数，，为偶数， limcos(sin )n n x →∞，limsin(cos )n n x →∞均存在，但lim n n x →∞不存在，故排除A ，B,.对于选项C ，由于函数sin y x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调增加且连续，故limsin n n x →∞存在时，lim n n x →∞一定存在，选项C 错误，故选D.4. 1102(1cos )x I dx x =+⎰, 120ln(1)1cos x I dx x +=+⎰, 13021sin xI dx x =+⎰,则A. 123.I I I <<B. 312.I I I <<C. 213.I I I <<D. 213.I I I <<【答案】A.【解析】由于01x <<，ln(1)21x xx x,x<<+<+ 所以 ln(1)222(1cos )1cos 1cos 1cos 1sin x x x x xx x x x x+<<<<+++++，123I I I <<5. 下列是33A ⨯可对角化的充分而非必要条件是（ ） A. A 有3个不同特征值 B. A 有3个无关的特征向量 C. A 有3个两两无关的特征向量 D. A 不同特征值对应的特征向量正交 【答案】A【解析】A 有3个不同的特征值，则A 有3个线性无关的特征向量，此时A 可对角化，由于矩阵可对角化的充要条件是线性无关特征向量个数等于矩阵阶数，因此选项A.符合题意 6. 设矩阵,A B 均为n 阶方阵，若0Ax =与0Bx =同解，则（ ）.A. 0A O x E B ⎛⎫= ⎪⎝⎭仅有零解 B. 0AB B x O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭仅有零解 C. 0A B x O B ⎛⎫= ⎪⎝⎭与0B A x O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭同解 D. 0AB B x OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭与0BA A x OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭同解【答案】C 【解析】设12⎛⎫=⎪⎝⎭x y x ，这里(1,2)i i =x 是n 维列向量.若⎛⎫= ⎪⎝⎭0A B y O B 与⎛⎫= ⎪⎝⎭0B A y O A 同解即12⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x A B x O B 与12⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x BA x O A 同解.由于=0Ax 与=0Bx 同解，若=0Ax (1,2)i i =x ，则i =0Bx (1,2)i =，反之亦然.因此12⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x AB x O B 等价于12⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0x BA x O A ，所以C.选项符合题意.7. 设123421111,,1,11λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα，若123,,ααα与124,,ααα等价，则λ∈( ).A.{|}λλ∈B.{|,1}λλλ∈≠-C.{|,1,2}λλλλ∈≠-≠-D.{|,2}λλλ∈≠- 【答案】C【解析】由于3212311|,,|1132(1)(2)11λλλλλλλ==-+=-+ααα， 4222124211|,,|121(1)(1)11λλλλλλλλ==-+=-+ααα.当1λ=时，1234111⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭αααα，此时123,,ααα与124,,ααα等价.当2λ=-时，1231242(,,)(,,)3r r =<=αααααα ,123,,ααα与124,,ααα不等价.当1λ=-时，1231243(,,)(,,)1r r =>=αααααα ,123,,ααα与124,,ααα不等价.因此当2λ=-或1λ=-时，123,,ααα与124,,ααα不等价等价，所以λ的取值范围为{|,1,2}λλλλ∈≠-≠-.8. 设(0,3),(2),Cov(,)1X U Y P X Y =-,求(21)D X Y -+=( ).A. 10B. 9C. 1D. 0 【解析】由(0,3),(2)XU YP 知，3(),()24D X D Y ==,故(21)(2)4()()4Cov(,)D X Y D X Y D X D Y X Y -+=-=+-342494=⋅++=.9. 设12,n X X X ⋯独立同分布，(),ki k E X μ=用切比雪夫不等式估计111?n i i P x n με=⎧⎫-≥≤⎨⎬⎩⎭∑ A. 2224-εμμnB. 2224-εμμn C. 2212-εμμnD. 2212-εμμn 【答案】C. 【解析】易知11ni i X X n ==∑，1()()i E X E X μ==，22111111()()()n nn i i i i i i D X D X D X D X n nn ===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑，22221()()[()]i i i D X E X E X μμ=-=-，故2221212()()n D X n nμμμμ-=-=，由切比雪夫不等式得22112211()n i i D X P X n n μμμεεε=⎧⎫--≥≤=⎨⎬⎩⎭∑. 故选 C. 10. 设(0,1)XN ，在X x =的条件下，(,1)Y N x ，则X 与Y 的相关系数为（ ）.A. 1B.12C.3 D.2【答案】D【解析】由(0,1)XN 得，()0E X =,()1D X=,22(),x X f x x -=-∞<<+∞,又在X x =的条件下，(,1)YN x，则2()2|(|),y x Y X f y x y --=-∞<<+∞，所以22()2|1(,)()(|)e ,,2xy x X Y X f x y f x f y x x y π+--=⋅=-∞<<+∞-∞<<+∞.从而22222()224411()(,)d e d ee d 22y x y x y y x Yf y f x y x x x ππ⎛⎫+---+∞+∞+∞---⎪⎝⎭-∞-∞-∞====⎰⎰⎰，即(0,2)YN ，则()0E Y =,()2D Y =,故XY ρ===其中22()21()(,)d d e d d 2x y x E XY xyf x y x y xy x y π+-+∞+∞+∞+∞--∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰22()22d d x y x x y -+∞+∞---∞-∞=⎰⎰222d x x x +∞--∞=⎰2()1E X ==,所以XY ρ== D.. 二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上. 11．22(,)2f x y x y =+在(0,1)处最大的方向导数为__________. 【答案】4. 【解析】由已知可得2fx x∂=∂，4f y y ∂=∂，故(0,1)(0,4)=grad ，综上max4f l ∂==∂.12.2e 1x =⎰. 【答案】4.【解析】2222e e e e11112ln 2)x x x x ⎤==-⎥⎦⎰⎰⎰222e e e21112)2e x x x ⎫⎤=-=-⎪⎥⎦⎭⎰⎰222e e112)22e 4x x ⎤⎛⎫=-=-= ⎪⎥⎦⎝⎭⎰13. 设0,0,x y ≥≥22x yx y ke ++≤恒成立，则k 的最小值为_____.【分析】由已知可得22x y x y k e ++≥，问题转化为计算2222()(,)()x y x yx y f x y x y e e-+++==+在0,0x y ≥≥上得最大值.【解】0,0x y >>时，令2222()(,)()x y x yx y f x y x y e e-+++==+，则 ()22(2)x y fe x x y x-+∂=--∂，()22(2)x y f e y x y y -+∂=--∂， 令0,0f fx y∂∂==∂∂，解得驻点为(0,0),(1,1). 2()222(24)x y f e x x y x-+∂=-++∂， 2()22(22)x y fe x y x y x y-+∂=--++∂∂， 2()222(24)x y f e y x y x-+∂=-++∂， 对驻点(0,0)，2,0,2A B C ===，20,0AC B A ->>，(0,0)为极小值点，及(0,0)0f f ==极小值.对驻点(1,1)，20,2,0A B e C -==-=，20AC B -<，(1,1)不为极值点.当0x =，2(0,)(0)y f y y e y -=>，则2(0,)20yy f y yey e --'=-=，得2y =为驻点，又2(0,)(42)y f y y y e -''=-+，2(0,2)20f e -''=-<，2(0,2)4f e -=为最大值同理可得2(2,0)4f e -=也为最大值. 综上可得24(,)k f x y e≥=最大. 14.级数1!n xn n n e n ∞--=∑的收敛域为(,)a +∞，则a =__________. 1-.【解析】令!()e nxn nn u x n -=，则 (1)111(1)!e ()1(1)lim lim e lim e 1!()1e 1n xn x x n n n n n nx n n n u x n n u x n n -++---+→∞→∞→∞-++===<⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 解得1x >-，故1a =-.15. 设,-A A E 可逆，若B 满足1(())---=E A E B A ，则-=B A ___________。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i 为虚数单位，607i =（ ） A ．i B ．-i C ．1 D ．-1 【答案】A 【解析】试题分析：i i i i -=⋅=⨯31514607,选 B . 考点：复数概念.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 【答案】B 【解析】试题分析：依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B. 考点：用样本估量总体.3.已知(1)n x +的开放式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A.122B ．112 C ．102 D ．92 【答案】D考点：1.二项式系数，2.二项式系数和. 4.设211(,)XN μσ，222(,)YN μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C考点：正态分布密度曲线. 5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】试题分析：对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ； 对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立；②当0≠n a 时，依据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a 成等比数列， 所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.考点：1.等比数列的判定，2.柯西不等式，3.充分条件与必要条件.6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】试题分析：由于()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，由于1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.考点：1.符号函数，2.函数的单调性.7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为大事“12x y +≥”的概率，2p 为大事“1||2x y -≤”的概率，3p 为大事“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<【答案】B（1） （2） （3） 考点：几何概型.8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C 【解析】试题分析：由于集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点（除去四个顶点），即45477=-⨯个.考点：1.集合的相关学问，2.新定义题型.10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】 B考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答．题卡对应题号．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB •=. 【答案】9 【解析】试题分析：由于OA AB ⊥，||3OA =，所以OA OB •=93||||)(222===•+=+•OA OB OA OA AB OA OA . 考点：1.平面对量的加法法则，2.向量垂直， 3.向量的模与数量积. 12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.13．如图，一辆汽车在一条水平的大路上向正西行驶，处处A 时测得大路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =m.【答案】6100 【解析】试题分析：依题意，30=∠BAC ，105=∠ABC ，在ABC ∆中，由180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以45=∠ACB ，由于600=AB ，由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m ， 在BCD Rt ∆中，由于30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CD BC CD == ，所以6100=CD m. 考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理. 14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），。

高二数学下学期期末考试试题(文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i 是虚数单位，ii -1= A.i 2121+ B.i 2121+- C.i 2121- D. i 2121-- 2.设集合A={-1,0,1},B={x|x>0}，则A B=A.{-1,0}B.{-1}C.{0,1}D.{1}3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f （x ），若0)(0='x f ，则x=0x 是函数f （x ）的极值点，由于f （x ）=3x 在x=0处的导数值为0，所以x=0是f （x ）=3x 的极值点，以上推理中（ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确4.用反证法证明命题：“已知a 、b 是自然数，若a+b ≥3，则a 、b 中至少有一个不小于2”提出的假设应当是（ ）A.a 、b 至少有二个不小于2B.a 、b 至少有一个不小于2C.a 、b 都小于2D. a 、b 至少有一个小于25．已知x 、y 的值如图所示，假如y 与x 呈现线性相关且回归直线方程为y=bx+27，则b=A.21-B.21C.101-D. 1016. 函数f （x ）的导函数()x f '，满足关系式()x x f x x x f ln 3)(2-'+=，则)2(f '的值为A.47 B.-47 C.49 D.-49 7.执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为A.7B.6C.5D.48. 某班主任对全班50名同学进行了作业量调查，数据如下表；依据表中数据得到k=059.526242327981518502≈⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯）（，由于P(024.52≥k )=0,025 则认为宠爱玩电脑玩耍与认为作业量的多少有关系的把握大约为A.97.5％B.95％C.90％D.无充分依据9. 甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话。

高中数学概率综合检测题（北师大版有解析）第三章概率(时刻120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是()A．假如一事件发生的概率为一百万分之一，说明此事件不可能发生B．假如一事件发生的概率为310，那么在10次试验中，该事件发生了3次C．假如某奖券的中奖率是10%，则购买一张奖券中奖的可能性是10% D．假如一事件发生的概率为99.999 999 9%，说明此事件必定发生【解析】某一事件发生的概率专门小或专门大，都还说明此事件是随机事件，概率描述刻画了该事件发生可能性大小，因此A，D均不正确，B不正确，C正确，故选C.【答案】C2．从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2个球，下列情形是互斥而不对立的两个事件是()A．至少有一个红球，至少有一个白球B．恰有一个红球，差不多上白球C．至少有一个红球，差不多上白球D．至多有一个红球，差不多上红球【解析】A中，“至少有一个红球”可能为一红一白，“至少有一个白球”，可能为一白一红，两事件可能同时发生，故不是互斥事件．B中“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“差不多上白球”是互斥事件，而任选两球还有两球差不多上红球的情形，故不是对立事件．C为对立事件，D 为对立事件．【答案】B3．(2021吉安检测)取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一颗豆子，则豆子落在正方形外的概率为()A.2B.C.2D.4【解析】设圆的半径为a，则S圆＝a2，S正方形＝(2a)2＝2a2，故豆子落在正方形外的概率为a2－2a2a2＝.【答案】B图14．如图1所示，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△P BC的面积大于S4的概率是()A.14B.12C.34D.23【解析】作PEBC，ADBC，垂足分别为E，D.当△PBC的面积刚好等于S4时，PE＝14AD，要想S△PBC14S，则PB14AB，故概率为P＝34 ABAB＝34.【答案】C5．设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为()A.23B.13C.12D.512【解析】若方程有实根，则a2－80.a的所有取值情形共6种，满足a 2－80的有4种情形，故P＝46＝23.【答案】A6．在一个袋子中装有分别标注着数字1,2,3,4,5,6的六个小球，这些小球除标注的数字外，完全相同．现从中随机地一次取出两个小球，则取出的小球标注的数字之和为5或6的概率是()A.215B.15C.415D.13【解析】用(x，y)表示取出两球上标注的数字，则所有的差不多事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共有15个．数字之和为5或6包含的差不多事件有：(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，共有4个．则所求概率为415.【答案】C7．(2021九江检测)在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为()A.120B.115C.15D.16【解析】在三棱锥的六条棱中任意选择两条直线共有15种情形，其中异面的情形有3种，则两条棱异面的概率为P＝315＝15.【答案】C8．甲、乙两人玩猜数字，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b{1,2,3,4,5,6}，若|a－b| 1.就称甲乙“心有灵犀”，现任意找两人玩那个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A.19B.29C.718D.49【解析】由于a，b{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5, 4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种．而依题意得差不多事件的总数有3 6种．故P＝1636＝49.【答案】D9．从装有4粒相同的玻璃球的瓶中，随意倒出若干粒玻璃球(至少1粒)，记倒出奇数粒玻璃球的概率为P1，倒出偶数粒玻璃球的概率为P2，则()A．P1＜P2 B．P1＞P2C．P1＝P2 D．P1，P2大小不能确定【解析】我们将4粒玻璃球编号为1、2、3、4号，倒出1粒有4种情形，倒出2粒有6种情形，倒出3粒有4种情形，倒出4粒有1种情形，我们可认为差不多事件总数为4＋6＋4＋1＝15，则倒出奇数粒玻璃球的概率为815，倒出偶数粒玻璃球的概率为715.【答案】B10．(2021安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A.23B.25C.35D.910【解析】由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝910.【答案】D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)11．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点p的坐标，则点p落在圆x2＋y2＝25外的概率是________．【解析】易知p(x，y)共有36种，其中p落在x2＋y2＝25外的有(1, 5)，(5,1)，(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(3,6)，(6, 3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)共有21种，P＝2136＝712.【答案】71212．在正方形ABCD内任取一点P，则使90的概率是________．【解析】如图所示，以AB为直径作半圆，当点P落在AB上时，A PB＝90，因此使90的点落在图中的阴影部分．设正方形的边长为1，“在正方形ABCD内任取一点P，则使90”为事件A，则＝1，A＝1－12(12)2＝1－8，P(A)＝1－8.【答案】1－813．先后2次抛掷一枚骰子，所得点数分别为x，y，则xy是整数的概率是________．【解析】先后两次抛掷一枚骰子，得到的点数分别为x，y的情形一共有36种，其中xy是整数的情形有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6)共14种．故xy是整数的概率为718.【答案】718图214．如图2，一只蚂蚁在一直角边长为1 cm的等腰直角三角形ABC(B 为直角)的边长爬行，则蚂蚁距A点不超过1 cm的概率为________．【解析】该问题属于几何概型，蚂蚁沿△ABC的边爬行的总长度为2＋2，其中距A点不超过1 cm时的长度为1＋1＝2，依照几何概型概率运算公式得P＝22＋2＝2－2.【答案】2－215．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n 上”为事件Cn(25，nN)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为___ _____．那个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（福建卷及详解）一.选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数()sin cos f x x x =最小值是A ．-1 B.12-C.12D.12.已知全集U=R ，集合2{|20}A x x x =->，则C U A 等于A ．{x ∣0≤x ≤2}B {x ∣0<x<2}C ．{x ∣x<0或x>2}D {x ∣x ≤0或x ≤2}3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于A ．1B53C.-2D 34.22(1cos )x dx ππ-+⎰等于A ．π B.2C.π-2D.π+25.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB.()f x =2(1)x -C .()f x =xe D()ln(1)f x x =+6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A ．2B .4C.8D .167.设m ，n 是平面α内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β内的两条相交直线，则α//β的一个充分而不必要条件是A.m //β且l //α B.m //l 且n //l 2C.m//β且n //βD.m//β且n //l 28.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。

现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。

经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A ．0.35B 0.25C 0.20D 0.159.设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，若a ⊥c 且∣a∣=∣c∣,则∣b •c∣的值一定等于A ．以a ，b 为两边的三角形面积B 以b ，c 为两边的三角形面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D 以b ，c 为邻边的平行四边形的面积10.函数()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。