小题满分练3(解析版)-2021年高考数学二轮专题突破(新高考)

小题专练04三角函数、平面向量与解三角形(B )一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:正弦定理,★)已知在△ABC 中,A=30°,a=7,则a+b+c sinA+sinB+sinC =( ).A .16B .15C .14D .13 2.(考点:两向量垂直的性质,★)已知a=(2,-1),b=(1,λ),若(3a-2b )⊥b ,则实数λ的值为( ).A .-3+√414或-3-√414 B .-3-√414 C .-3+√414 D .23.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则当|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时,实数t=( ).A .15B .12C .910D .14.(考点:三角恒等变换,★★)已知cos (π10-α)=25,则cos (9π5+2α)的值为( ).A .19B .1725C .-19D .-17255.(考点:三角函数的图象与性质,★★)将函数f (x )=sin (2x -π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g (x )的图象,且g (-x )=g (x ),则φ的一个可能值为( ).A .π6B .π4C .π3D .π12 6.(考点:平面向量的数量积,★★)已知在△ABC 中,AB=3,AC=1,∠BAC=30°,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .14-3√38 B .3√38 C .2 D .17.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=cos (2x -π6)-2√3sin (x +π4)cos x+π4,x ∈R,给出下列四个结论:①函数f (x )的最小正周期为4π;②函数f (x )的最大值为1;③函数f (x )在[-π4,π4]上单调递增;④将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g (x )=sin 2x.其中正确结论的个数是( ).A.1B.2C.3D.48.(考点:解三角形的实际应用,★★★)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为30°,沿点A向北偏东60°方向前进10 m到达点B,在点B处测得水柱顶端的仰角为45°,则水柱的高度是().A.5 mB.10 mC.10 m或5 mD.15 m二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:平面向量,★★)已知a,b是单位向量,且a+2b=(1,-2),则下列结论正确的是().A.|a+2b|=√5B.a与b垂直C.a与a-2b的夹角为π4D.|a-2b|=510.(考点:三角函数的基本性质,★★)下列命题正确的是().A.若α,β是锐角,且α>β,则tan α>tan βB.函数y=sin(π-2x)是偶函数C.y=sin|x|是周期为2π的周期函数D.函数y=cos(x+π3)的图象关于点(π6,0)成中心对称11.(考点:解三角形,★★)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值可能为().A.π6B.π3C.5π6D.2π312.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f(x)=sin2x+2sin x cos x-cos2x,x∈R,则下列结论正确的是().A.-√2≤f(x)≤√2B.f(x)在区间(π8,5π8)上只有1个零点C.2π为f(x)的一个周期D.直线x=π2为f(x)图象的一条对称轴三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:三角函数的性质,★★)函数f(x)=cos2x-2sin x的最大值为.14.(考点:平面向量的数量积,★★)若|a|=√3,|b|=4,且(a-b )⊥a ,则a 与b 的夹角的余弦值是 .15.(考点:利用正、余弦定理解三角形,★★)已知a ,b ,c 分别为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,若c=√3,b=√6,B=150°,则△ABC 的面积为 .16.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)设函数f (x )=sin 2x+2cos 2x ,则函数f (x )的最小正周期为 ;若对于任意x ∈R,都有f (x )≤m 成立,则实数m 的取值范围为 .答案解析：一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:正弦定理,★)已知在△ABC 中,A=30°,a=7,则a+b+c sinA+sinB+sinC =( ). A .16 B .15 C .14 D .13【解析】依题意,利用正弦定理可得a sinA =2R=7sin30°=14,所以a+b+c sinA+sinB+sinC=2R (sinA+sinB+sinC )sinA+sinB+sinC =2R=14.【答案】C2.(考点:两向量垂直的性质,★)已知a=(2,-1),b=(1,λ),若(3a-2b )⊥b ,则实数λ的值为( ).A .-3+√414或-3-√414 B .-3-√414 C .-3+√414 D .2【解析】由题意可得3a-2b=(4,-3-2λ),∵(3a-2b )⊥b ,∴(3a-2b )·b=(4,-3-2λ)·(1,λ)=0,即2λ2+3λ-4=0,解得λ=-3+√414或λ=-3-√414.故选A .【答案】A3.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则当|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时,实数t=( ).A .15B .12C .910D .1 【解析】由MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t (ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(3,0)+t [(0,1)-(3,0)]=(3-3t ,t ), 所以|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(3-3t )2+t 2=√10t 2-18t +9=√10(t -910)2+910,故当t=910时,|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |取到最小值. 【答案】C4.(考点:三角恒等变换,★★)已知cos (π10-α)=25,则cos (9π5+2α)的值为( ).A .19B .1725C .-19D .-1725 【解析】由题意得cos (9π5+2α)=cos (2α-π5)=cos [2(α-π10)]=2cos 2(α-π10)-1=2cos 2(π10-α)-1=-1725. 【答案】D 5.(考点:三角函数的图象与性质,★★)将函数f (x )=sin (2x -π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g (x )的图象,且g (-x )=g (x ),则φ的一个可能值为( ).A .π6B .π4C .π3D .π12【解析】由题意可得g (x )=sin (2x -2φ-π3),又g (-x )=g (x ),所以g (x )为偶函数,故-2φ-π3=k π+π2,k ∈Z,所以φ=-5π12-kπ2,k ∈Z, 所以当k=-1时,φ=π12.故选D .【答案】D6.(考点:平面向量的数量积,★★)已知在△ABC 中,AB=3,AC=1,∠BAC=30°,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .14-3√38 B .3√38 C .2 D .1【解析】由题意可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14×9-12×1-14×3×1×cos 30°=14-3√38. 【答案】 A7.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=cos (2x -π6)-2√3sin (x +π4)cos x+π4,x ∈R,给出下列四个结论:①函数f (x )的最小正周期为4π;②函数f (x )的最大值为1;③函数f (x )在[-π4,π4]上单调递增;④将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g (x )=sin 2x.其中正确结论的个数是( ).A .1B .2C .3D .4【解析】f (x )=cos (2x -π6)-√3sin (2x +π2)=cos 2x cos π6+sin 2x sin π6-√3cos 2x=12sin 2x-√32cos 2x=sin (2x -π3). f (x )的最小正周期T=2π2=π,故①错误; ∵x ∈R,∴sin (2x -π3)∈[-1,1],即f (x )的最大值为1,故②正确;当x ∈[-π4,π4]时,2x-π3∈[-5π6,π6],此时f (x )不单调,故③错误;将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g (x )=f (x +π12)=sin 2(x +π12)-π3=sin (2x -π6),故④错误.故选A .【答案】A8.(考点:解三角形的实际应用,★★★)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A 处测得水柱顶端的仰角为30°,沿点A 向北偏东60°方向前进10 m 到达点B ,在点B 处测得水柱顶端的仰角为45°,则水柱的高度是( ).A .5 mB .10 mC .10 m 或5 mD .15 m【解析】设水柱底部为点C ,顶端为点D ,CD 的高度为h m .由题意知AC=ℎtan30°=√3h ,BC=ℎtan45°=h ,∠BAC=90°-60°=30°. 在△ABC 中,由余弦定理可得BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB cos 30°,∴h 2=(√3h )2+102-2×10×√3h ×√32,即h 2-15h+50=0,解得h=10或h=5.故选C .【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:平面向量,★★)已知a ,b 是单位向量,且a+2b=(1,-2),则下列结论正确的是( ).A .|a+2b|=√5B .a 与b 垂直C .a 与a-2b 的夹角为π4D .|a-2b|=5【解析】由a+2b=(1,-2)两边平方,得|a|2+|2b|2+4a ·b=12+(-2)2=5,则|a+2b|=√5,所以A 选项正确; 因为a ,b 是单位向量,所以1+4+4a ·b=5,得a ·b=0,所以B 选项正确;|a-2b|2=|a|2+|2b|2-4a ·b=5,所以|a-2b|=√5,所以D 选项错误;cos <a ,a-2b>=a ·(a -2b )|a ||a -2b |=2√5=√55,所以a 与a-2b 的夹角不为π4,所以C 选项错误. 故选AB .【答案】AB10.(考点:三角函数的基本性质,★★)下列命题正确的是( ).A .若α,β是锐角,且α>β,则tan α>tan βB .函数y=sin(π-2x )是偶函数C .y=sin |x|是周期为2π的周期函数D .函数y=cos (x +π3)的图象关于点(π6,0)成中心对称【解析】对于选项A,y=tan x 在(0,π2)上为增函数,故选项A 正确; 对于选项B,因为y=sin(π-2x )=sin 2x 为奇函数,故选项B 不正确;对于选项C,作出函数y=sin |x|的大致图象如图所示,由图象可知,函数y=sin |x|为偶函数,图象关于y 轴对称,不具有周期性,故选项C 错误; 对于选项D,当x=π6时,x+π3=π2,所以y=cos (x +π3)=0,所以函数y=cos (x +π3)的图象关于点(π6,0)成中心对称,故选项D 正确.故选AD .【答案】AD11.(考点:解三角形,★★)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B=ac ,则角B 的值可能为( ).A .π6B .π3C .5π6D .2π3【解析】根据余弦定理可知a 2+c 2-b 2=2ac cos B ,代入化简可得2ac cos B ·sinB cosB =ac , 即sin B=12,因为0<B<π,所以B=π6或B=5π6.故选AC .【答案】AC12.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x+2sin x cos x-cos 2x ,x ∈R,则下列结论正确的是( ).A .-√2≤f (x )≤√2B .f (x )在区间(π8,5π8)上只有1个零点C .2π为f (x )的一个周期D .直线x=π2为f (x )图象的一条对称轴 【解析】对于A 项,已知f (x )=sin 2x-cos 2x=√2sin (2x -π4),x ∈R,故A 正确;对于B 项,令2x-π4=k π,k ∈Z,得x=kπ2+π8,k ∈Z,故f (x )在区间(π8,5π8)上没有零点,故B 错误;对于C 项,f (x )的最小正周期为π,所以f (x )的周期为k π,k ∈Z,故C 正确;对于D 项,当x=π2时,f (π2)=√2sin (2×π2-π4)=1,所以直线x=π2不是f (x )图象的对称轴,故D 错误.故选AC .【答案】AC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:三角函数的性质,★★)函数f (x )=cos 2x-2sin x 的最大值为 .【解析】由题意得f (x )=1-sin 2x-2sin x=-(sin x+1)2+2,因为sin x ∈[-1,1],所以当sin x=-1时,f (x )取得最大值,最大值为2.【答案】214.(考点:平面向量的数量积,★★)若|a|=√3,|b|=4,且(a-b )⊥a ,则a 与b 的夹角的余弦值是 .【解析】∵(a-b )⊥a ,∴(a-b )·a=a 2-a ·b=3-a ·b=0,即a ·b=3, ∴cos <a ,b>=a ·b|a |·|b |=√3×4=√34, ∴a 与b 的夹角的余弦值是√34.【答案】√3415.(考点:利用正、余弦定理解三角形,★★)已知a ,b ,c 分别为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,若c=√3,b=√6,B=150°,则△ABC 的面积为 .【解析】由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,即a 2+3a-3=0,解得a=-3+√212或a=-3-√212(舍去), 则△ABC 的面积S=12ac sin B=12×-3+√212×√3×12=-3√3+3√78. 【答案】-3√3+3√7816.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)设函数f (x )=sin 2x+2cos 2x ,则函数f (x )的最小正周期为 ;若对于任意x ∈R,都有f (x )≤m 成立,则实数m 的取值范围为 .【解析】f (x )=sin 2x+2cos 2 x=sin 2x+cos 2x+1=√2sin (2x +π4)+1,所以函数f (x )的最小正周期T=2π2=π; 函数f (x )的最大值f (x )max =√2+1,因为对于任意x ∈R,都有f (x )≤m 成立,所以m ≥f (x )max =√2+1,所以实数m 的取值范围为[√2+1,+∞).【答案】π [√2+1,+∞)。

小题专练01函数、导数与不等式(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:函数的定义域,★)函数f (x )=3-x+lg (2x +3)的定义域是( ).A .(-32,3)B .(-∞,3)C .(-32,+∞)D .(-3,-32)2.(考点:导数的几何意义,★)若曲线y=f (x )=12x 2+ax+b 在点(4,f (4))处的切线方程是2x-y+1=0,则( ). A . a=10,b=1B . a=-2,b=-9C . a=-2,b=9D . a=2,b=-93.(考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,★★)已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f (3x-1)<f (8)的x 的取值范围是( ). A .(-3,73)B .(-∞,-73)∪(3,+∞)C .(-73,3)D .(-∞,-3)∪(73,+∞)4.(考点:函数的图象,★★)函数f (x )=x 32x -4的图象大致为( ).5.(考点:函数的零点,★★)已知函数f (x )={2x +6,x ≤0,x 2-2x +4,x >0.若函数g (x )=f (x )-m 有三个不同的零点,则实数m 的取值范围为( ). A .(3,4)B .(-4,-3)C .[3,4]D .(3,6)6.(考点:均值不等式,★★)设a>0,b>0,若9是3a 与3b 的等比中项,则4a +1b的最小值为( ). A .4B .2C .34D .947.(考点:利用导数研究函数的单调性,★★★)若函数f (x )=kx-sin x 在区间(-π6,π3)上单调递增,则实数k 的取值范围是( ). A .[1,+∞)B .[-12,+∞)C .(1,+∞)D .(12,+∞)8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知奇函数f(x)的导函数为f'(x),当x>0时,f'(x)+2f(x)x>0.若a=1e2f(-1e),b=14f(-12),c=f(-1),则a,b,c的大小关系为().A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. a<c<b二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:不等式的综合应用,★)已知p:1x-1>1,则p成立的一个必要不充分条件可以是().A.1<x<2B.-2<x<3C.-2<x<4D.-3<x<210.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是().A.f(x)=ln(√1+4x2-2x)B.f(x)=e x+e-xC.f(x)=x2+5D.f(x)=cos x11.(考点:均值不等式,★★)已知正实数x,y满足x+2y=1,则1x +1y可能的值为().A.3B.6C.7D.912.(考点:导数的应用,★★★)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f'(x),g'(x)分别为其导函数,当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0且g(-5)=0,则使得不等式f(x)·g(x)<0成立的x的值可以是().A.-6B.-4C.4D.6三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:函数的基本性质,★★)函数f(x)=lo g12(-x2-2x+3)的单调递增区间是,值域是. 14.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数f(x)=x2+4(a+2)x+3在(-∞,4]上不是单调函数,则实数a的取值范围是.15.(考点:均值不等式,★★)函数y=log a(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,其中m, n均大于0,则1m +1n的最小值为.16.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)已知函数f(x)=13x3+2x2-5x+2的极大值为a,极小值为b,则a+b= .答案解析：函数、导数与不等式(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:函数的定义域,★)函数f (x )=√3-x+lg (2x +3)的定义域是( ).A .(-32,3)B .(-∞,3)C .(-32,+∞)D .(-3,-32)【解析】要使函数有意义,则{3-x >0,2x +3>0,即{x <3,x >-32,即-32<x<3, 所以函数的定义域为(-32,3).故选A . 【答案】A2.(考点:导数的几何意义,★)若曲线y=f (x )=12x 2+ax+b 在点(4,f (4))处的切线方程是2x-y+1=0,则( ). A . a=10,b=1B . a=-2,b=-9C . a=-2,b=9D . a=2,b=-9【解析】因为f (x )=12x 2+ax+b ,所以f'(x )=x+a ,由题可知f'(4)=2,所以a=-2. 又切点坐标(4,f (4))满足切线方程2x-y+1=0,f (4)=b ,所以8-b+1=0,解得b=9. 故选C . 【答案】C3.(考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,★★)已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f (3x-1)<f (8)的x 的取值范围是( ). A .(-3,73)B .(-∞,-73)∪(3,+∞)C .(-73,3)D .(-∞,-3)∪(73,+∞)【解析】因为f (x )是定义在R 上的偶函数, 所以f (3x-1)<f (8)等价于f (|3x-1|)<f (8). 又因为f (x )在[0,+∞)上单调递减, 所以|3x-1|>8, 所以3x-1<-8或3x-1>8, 解得x<-73或x>3,故x 的取值范围为(-∞,-73)∪(3,+∞).故选B . 【答案】B4.(考点:函数的图象,★★)函数f (x )=x 32x -4的图象大致为( ).【解析】由题意,函数f (x )=x 32x -4的定义域为{x|x ∈R,x ≠2},排除A;又f (1)<0,排除C;f (-1)>0,排除D.故选B .【答案】B5.(考点:函数的零点,★★)已知函数f (x )={2x +6,x ≤0,x 2-2x +4,x >0.若函数g (x )=f (x )-m 有三个不同的零点,则实数m 的取值范围为( ). A .(3,4)B .(-4,-3)C .[3,4]D .(3,6)【解析】函数g (x )=f (x )-m 有三个不同的零点等价于函数y=f (x )与y=m 的图象有三个不同的交点,作出函数f (x )的图象如图所示.函数y=m 的图象为水平的直线,由图象可知,当m ∈(3,4)时,两函数的图象有三个不同的交点,即函数g (x )有三个不同的零点.故选A . 【答案】A6.(考点:均值不等式,★★)设a>0,b>0,若9是3a 与3b 的等比中项,则4a +1b 的最小值为( ). A .4B .2C .34D .94【解析】因为9是3a 与3b 的等比中项, 所以3a ·3b =3a+b =92,即a+b=4, 所以4a +1b =14(a+b )(4a +1b )=54+144b a +ab≥54+14×4=94,当且仅当4b a =a b ,即a=83,b=43时,等号成立, 所以4a +1b 的最小值为94. 故选D . 【答案】D7.(考点:利用导数研究函数的单调性,★★★)若函数f (x )=kx-sin x 在区间(-π6,π3)上单调递增,则实数k 的取值范围是( ). A .[1,+∞)B .[-12,+∞)C .(1,+∞)D .(12,+∞)【解析】由题意可得f'(x )=k-cos x ,因为f (x )在(-π6,π3)上单调递增,所以f'(x )≥0在(-π6,π3)上恒成立,即f'(x )min =k-1≥0,所以k ≥1.故选A . 【答案】A8.(考点:导数的综合应用,★★★)已知奇函数f (x )的导函数为f'(x ),当x>0时,f'(x )+2f (x )x>0.若a=1e f (-1e ),b=14f (-12),c=f (-1),则a ,b ,c 的大小关系为( ). A . a<b<cB . c<b<aC . c<a<bD . a<c<b【解析】令g (x )=x 2f (x ),则g'(x )=2xf (x )+x 2f'(x ).由题意可知当x>0时,2xf (x )+x 2f'(x )>0,即当x>0时,g'(x )>0,所以函数g (x )在(0,+∞)上单调递增.又函数f (x )为奇函数,所以g (-x )=(-x )2·f (-x )=-x 2·f (x )=-g (x ),所以函数g (x )为奇函数,所以当x<0时,函数g (x )单调递增.因为-1e >-12>-1,所以g (-1e )>g -12>g (-1),所以a>b>c. 【答案】B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:不等式的综合应用,★)已知p :1x -1>1,则p 成立的一个必要不充分条件可以是( ). A .1<x<2B .-2<x<3C .-2<x<4D .-3<x<2【解析】由1x -1>1⇔x -2x -1<0⇔(x-1)(x-2)<0⇔1<x<2,所以选项A 为p 成立的充要条件,选项B 、C 、D 为p 成立的必要不充分条件. 【答案】BCD10.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是( ).A.f(x)=ln(√1+4x2-2x)B.f(x)=e x+e-xC.f(x)=x2+5D.f(x)=cos x【解析】由题意,易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为R,对于选项A,f(-x)+f(x)=ln(√1+4x2+2x)+ln(√1+4x2-2x)=0,则f(x)=ln(√1+4x2-2x)为奇函数,故选项A不符合题意;对于选项B,f(-x)=e-x+e x=f(x),即f(x)=e x+e-x为偶函数,当x∈(0,+∞)时,设t=e x(t>1),则y=t+1t,由对勾函数的性质可得,y=t+1t在t∈(1,+∞)时是增函数,又t=e x单调递增,所以f(x)=e x+e-x在(0,+∞)上单调递增,故选项B符合题意;对于选项C,f(-x)=(-x)2+5=x2+5=f(x),即f(x)=x2+5为偶函数,由二次函数的性质可知f(x)=x2+5在(0,+∞)上单调递增,故选项C符合题意;对于选项D,由余弦函数的性质可知y=cos x是偶函数,但不在(0,+∞)上单调递增,故选项D不符合题意.综上,BC正确.【答案】BC11.(考点:均值不等式,★★)已知正实数x,y满足x+2y=1,则1x +1y可能的值为().A.3B.6C.7D.9【解析】因为x,y都为正实数,所以1x +1y=x+2yx+x+2yy=3+2yx+xy≥3+2√2yx·xy=3+2√2(当且仅当2yx=xy,即x=√2y时取等号),显然6>3+2√2,7>3+2√2,9>3+2√2,故选项B,C,D符合题意.【答案】BCD12.(考点:导数的应用,★★★)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f'(x),g'(x)分别为其导函数,当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0且g(-5)=0,则使得不等式f(x)·g(x)<0成立的x的值可以是().A.-6B.-4C.4D.6【解析】∵f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),令h(x)=f(x)·g(x),则h(-x)=-h(x),故h(x)=f(x)·g(x)为定义在R上的奇函数.∵当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0,即当x<0时,h'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)<0,∴h(x)=f(x)·g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,∴奇函数h(x)在区间(0,+∞)上也单调递减,如图,∵g(-5)=0,∴g(5)=0,∴h(-5)=h(5)=0,∴当x∈(-5,0)∪(5,+∞)时,h(x)=f(x)·g(x)<0.故选BD.【答案】BD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:函数的基本性质,★★)函数f(x)=lo g12(-x2-2x+3)的单调递增区间是,值域是. 【解析】令t=-x2-2x+3,则由-x2-2x+3>0,可得-3<x<1.又因为y=lo g12t为减函数,而函数t=-x2-2x+3在区间(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.故f(x)=lo g12(-x2-2x+3)在区间(-3,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增.易知t=-x2-2x+3在区间(-3,1)上的值域为(0,4],故f(x)=lo g12t的值域为[-2,+∞).【答案】(-1,1)[-2,+∞)14.(考点:函数单调性的应用,★★)若函数f(x)=x2+4(a+2)x+3在(-∞,4]上不是单调函数,则实数a的取值范围是.【解析】由题意可得,f(x)图象的对称轴为直线x=-2(a+2),且满足-2(a+2)<4,解得a>-4.故实数a的取值范围为(-4,+∞).【答案】(-4,+∞)15.(考点:均值不等式,★★)函数y=log a(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-2=0上,其中m, n均大于0,则1m +1n的最小值为.【解析】由题意可得点A(4,2),代入mx+ny-2=0得4m+2n-2=0,即2m+n=1.所以1m +1n=(1m+1n)(2m+n)=3+nm+2mn≥3+2√nm·2mn=3+2√2,当且仅当nm=2mn,即m=1-√22,n=√2-1时等号成立.【答案】3+2√216.(考点:利用导数研究函数的极值,★★★)已知函数f(x)=13x3+2x2-5x+2的极大值为a,极小值为b,则a+b= .【解析】∵f(x)=13x3+2x2-5x+2,∴f'(x)=x2+4x-5.令f'(x)=0,解得x=-5或x=1.列表如下:∴a=f (-5)=1063,b=f (1)=-23,∴a+b=1063-23=1043.【答案】1043。

专题突破练1 常考小题点过关检测一、单项选择题1.(2021·山东潍坊一模)已知集合A={-2,0},B={x|x 2-2x=0},则下列结论正确的是( ) A.A=B B.A ∩B={0} C.A ∪B=A D.A ⊆B2.(2021·广东广州二模)已知集合P={x|-3≤x ≤1},Q={y|y=x 2+2x },则P ∪(∁R Q )=( )A.[-3,-1)B.[-1,1]C.(-∞,-1]D.(-∞,1]3.(2021·河北保定一模)设a ,b ∈R ,则“|a+b i |=|1+i |”是“a=b=1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2021·福建福州一中模拟)在复平面内,复数z=a+b i(a ∈R ,b ∈R )对应向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),设|OZ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ,以x 轴的非负半轴为始边,射线OZ 为终边的角为θ,则z=r (cos θ+isin θ).法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z n =[r (cos θ+isin θ)]n =r n (cos n θ+isin n θ),则(-1+√3i)10=( ) A.1 024-104√3i B.-1 024+1 024√3i C.512-512√3iD.-512+512√3i5.(2021·东北三校第一次联考)土楼有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型.某大学建筑系学生对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.在制定调查顺序时,要求将圆形排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则共有( )种不同的排法. A.480B.240C.384D.1 4406.(2021·河北唐山一模)记(x +12x)4展开式的偶数项之和为P ,则P 的最小值为( )A.1B.2C.3D.47.(2021·江苏南京三模)在正方形ABCD 中,O 为两条对角线的交点,E 为BC 边上的动点.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0),则2λ+1μ的最小值为( ) A.2B.5C.92D.1438.(2021·山东日照一中月考)已知f (x )=x 2+4x+1+a ,且对任意x ∈R ,f (f (x ))≥0恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A.[√5-12,+∞) B.[2,+∞) C.[-1,+∞)D.[3,+∞)二、多项选择题9.(2021·河北张家口一模)如果平面向量a =(2,-4),b =(-6,12),那么下列结论正确的是( ) A.|b |=3|a |B.a ∥bC.a 与b 的夹角为30°D.a ·b =-6010.(2021·河北唐山二模)已知a>b>0,且ab=4,则 ( )A.2a-b >1B.log 2a-log 2b>1C.2a +2b >8D.log 2a ·log 2b<111.(2021·山东临沂模拟)在下列四个条件中,能成为x>y 的充分不必要条件的是( ) A.xc 2>yc 2 B.1x<1y<0 C.|x|>|y| D.ln x>ln y12.(2021·广东茂名模拟)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现,于是留下遗言:他死后,墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.如图,设圆柱的体积与球的体积之比为m ,圆柱的表面积与球的表面积之比为n ,若f (x )=(mn x 3-1x )8,则( ) A.f (x )的展开式中的常数项是56 B.f (x )的展开式中的各项系数之和为0 C.f (x )的展开式中的二项式系数最大值是70 D.f (i)=-16,其中i 为虚数单位三、填空题13.(2021·福建厦门双十中学月考)设复数z 满足z=4i 1+i,则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第象限.14.(2021·上海嘉定二模)将(x √x)7的二项展开式的各项重新随机排列,则有理项互不相邻的概率为 .15.(2021·浙江嘉兴二模)为满足某度假区游客绿色出行需求,某电力公司在该度假区停车楼建设了集中式智慧有序充电站,充电站共建设901个充电桩,其中包括861个新型交流有序充电桩、37个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩.现有A ,B ,C ,D ,E ,F 六辆新能源大巴,需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电,每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电.若要求A ,B 两大巴不能同时在上午充电,而C 大巴只能在下午充电,且F 大巴不能在甲充电桩充电,则不同的充电方案一共有 种.(用数字作答) 16.(2021·辽宁葫芦岛一模)在边长为2的正三角形ABC 中,D 是BC 边的中点,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE 交AD 于点F.若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y= ;BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .专题突破练1 常考小题点过关检测1.B 解析: 由题设得B={0,2},所以A ≠B ,A ∩B={0},A ∪B ≠A ,A 不是B 的子集.2.D 解析: 因为Q={y|y=x 2+2x }={y|y=(x+1)2-1}={y|y ≥-1},所以∁R Q={y|y<-1}, 又P={x|-3≤x ≤1},所以P ∪(∁R Q )={x|x ≤1}.3.B 解析: ∵|a+b i |=|1+i |,∴√a 2+b 2=√12+12,即a 2+b 2=2. ∵a 2+b 2=2a=b=1,而a=b=1⇒a 2+b 2=2,∴“a 2+b 2=2”是“a=b=1”的必要不充分条件,即“|a+b i |=|1+i |”是“a=b=1”的必要不充分条件.4.D 解析: 由题意,得(-1+√3i)10=210cos (10×2π3)+isin 10×2π3=1 024cos 20π3+isin 20π3=1 024(-12+√32i)=-512+512√3i .5.A 解析: 当圆形排在第一个时,有A 55A 22=240种不同的排法.同理,当圆形排在最后一个时,有A 55A 22=240种不同的排法.综上,圆形要排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则共有480种不同的排法.6.B 解析: 由已知得x ≠0,则x 2>0,所以P=C 41x 3·12x+C 43x·(12x )3=2x 2+12x 2≥2√1=2,当且仅当2x 2=12x 2即x=±√22时等号成立. 7.C 解析: 如图所示,以A 为原点,AB ,AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系. 设正方形的边长为1,则A (0,0),B (1,0),C (1,1),D (0,1),于是可得O (12,12).设点E 的坐标为(1,m )(0≤m ≤1),则由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0),可得(1,m )=λ(1,1)+μ(12,-12)(λ>0,μ>0),所以1=λ+12μ(λ>0,μ>0),则2λ+1μ=(2λ+1μ)(λ+12μ)=2+12+μλ+λμ≥52+2√μλ·λμ=92,当且仅当{ λμ=μλ,1=λ+12μ,λ>0,μ>0,即λ=μ=23时取等号,此时2λ+1μ的最小值为92.经检验,此时m=13∈[0,1]符合题意.8.B解析: 由题意,函数f(x)=x2+4x+1+a,令t=f(x),则t=x2+4x+1+a=(x+2)2-3+a≥a-3,又对任意x∈R,f(f(x))≥0恒成立,即f(t)≥0对任意t≥a-3恒成立,当a-3≤-2时,即a≤1时,f(t)min=f(-2)=a-3≥0,解得a≥3,此时无解;当a-3>-2时,即a>1时,f(t)min=f(a-3)=a2-a-2≥0,解得a≥2或a≤-1,所以a≥2.综上可得,实数a的取值范围为[2,+∞).9.ABD解析: 因为a=(2,-4),b=(-6,12),所以b=-3a.所以|b|=3|a|,a∥b,a与b的夹角为180°,a·b=2×(-6)+(-4)×12=-60,故选项A,B,D正确,选项C错误.10.ACD解析: 因为a>b>0,且ab=4,对A,a-b>0,所以2a-b>20=1,故A正确;对B,取a=83,b=32,则log2a-log2b=log2ab=log2169<log22=1,故B错误;对C,2a+2b≥2√2a·2b=2√2a+b,当且仅当a=b时取等号,又因为a+b≥2√ab=4,当且仅当a=b=2时取等号,所以2a+2b≥2√2a+b≥2√24=8,当且仅当a=b=2时取等号,因为a>b>0,所以不能取等号,故C正确;对D,当a>1>b>0时,log2a>0,log2b<0,所以log2a·log2b<1;当a>b>1时,log2a>0,log2b>0,所以log2a·log2b≤(log2a+log2b)24=[log2(ab)]24=1,当且仅当a=b时取等号,因为a>b>0,所以不能取等号,故D正确.11.ABD解析: 对于A选项:若xc2>yc2,则c2≠0,于是x>y,而当x>y,c=0时xc2=yc2,所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件,故A符合题意;对于B选项:由1x<1y<0可得y<x<0,即能推出x>y;但x>y不能推出1x<1y<0(因为x,y的正负不确定),所以“1x<1y<0”是“x>y”的充分不必要条件,故B符合题意;对于C选项:由|x|>|y|可得x2>y2,则(x+y)(x-y)>0,不能推出x>y;由x>y也不能推出|x|>|y|(如x=1,y=-2),所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件,故C不符合题意; 对于D选项:若ln x>ln y,则x>y,而由x>y不能推出ln x>ln y,所以“ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件.故选项D符合题意.12.BC解析: 设内切球的半径为r(r>0),则圆柱的高为2r.于是m=πr2·2r43πr3=32,n=2πr2+2πr·2r4πr2=32,所以mn=1,所以f(x)=(x3-1x)8.对于A,f(x)展开式通项为T r+1=C8r x24-3r·(-1x )r=(-1)r C8r x24-4r,令24-4r=0,解得r=6,所以f(x)展开式中的常数项为(-1)6C86=28,A错误;对于B,f(1)=0,即f(x)展开式的各项系数之和为0,B正确; 对于C,f(x)展开式中二项式系数最大值为C84=70,C正确;对于D,f (i)=(i 3-1i )8=(-i +i)8=0,D 错误. 13.四 解析: 因为z=4i1+i =4i (1-i )(1+i )(1-i )=4i (1-i )2=2i(1-i)=2i -2i 2=2+2i,所以z =2-2i,所以共轭复数z 在复平面内对应的点位于第四象限.14.114解析: (x +1√x )7的展开式的通项为T r+1=C 7r x 7-r ·x -12r =C 7r x 7-32r ,当r=0,2,4,6时,对应的项为有理项,一共4项,当r=1,3,5,7时,对应的项为无理项,一共4项,要使得有理项互不相邻,采用插空法,先把无理项排好,再把有理项插到无理项的5个空档中,共有A 44A 54=2 880种情况,全部的情况有A 88=40 320种,故所求概率P=A 44A 54A 88=2 88040 320=114.15.168 解析: 先排F 大巴,第一种方案,F 大巴在上午充电,有C 21种可能情况,此时再排C大巴,C 大巴在下午充电,有C 31种可能情况,再排A ,B 大巴,又分A ,B 大巴同在下午和一个上午、一个下午两种情况,有(A 22+C 21C 21C 21)种可能情况;第二种方案,F 大巴在下午充电,有C 21种可能情况,此时再排C 大巴,C 大巴在下午充电,有C 21种可能情况,再排A ,B 大巴,只能一个上午、一个下午,有C 21C 31种可能情况.最后再排剩下的两辆大巴,有A 22种可能情况,故共有[C 21C 31(A 22+C 21C 21C 21)+C 21C 21C 21C 31]A 22=168种不同的充电方案. 16.35 -715解析: 如图,过点E 作EM ∥AD 交BC 于点M ,由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得EM=13AD ,BM=13BD ,MD=23BD ,又D 是BC 边的中点,得DC=35MC ,∴FD=35EM ,故FD=15AD ,即AF=45AD ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =45(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=45(12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −45BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =15BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故x+y=35.易知DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 由已知得BA=BC=2,<BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°,所以|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos 60°=2.所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(15BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=115BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−15BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+130BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =115×4-15×4+130×2=-715.。

小题专练05数列(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:等差数列,★)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S9=27,a15=-4,则S19=().A.9B.12C.-9D.-1922.(考点:等比数列,★)已知S n是等比数列{a n}的前n项和,a7=27a4,S4=80,则a1=().A.2B.3C.-3D.-23.(考点:等差数列与等比数列的综合,★)已知数列2,a1,a2,10成等差数列,1,b1,b2,b3,16成等比数列,则a1+a2b2的值为().A.2B.-2C.3D.-34.(考点:等比数列与传统文化,★)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天到达目的地.”则此人第三天走了().A.60里B.48里C.32里D.24里5.(考点:等差数列的性质,★)一个等差数列{a n}的前n项和为30,前2n项和为50,则前3n项和为().A.30B.60C.70D.806.(考点:等差数列,★★)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1+a5=-16,S9=-63,则使得S n取最小值的n的值为().A.17B.17或18C.18或19D.197.(考点:等差数列与均值不等式,★★)设a>0,b>0,lg 4是2lg 2a与lg 2b的等差中项,则2a +1b的最小值为().A.9 4B.74C.54D.18.(考点:等差数列的前n项和,★★★)已知数列{a n}满足a n+1-a n=1,且a6,a8,a9成等比数列.若{a n}的前n项和为S n,则S n的最小值为().A.3B.-3C.-40D.-45二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:等差数列,★★)已知数列{a n}是公差不为0的等差数列,其前n项和为S n,且满足a1+5a3=S8,则下列选项中正确的是().A.a10=0B.S7=S12C.S n的最小值为S10D.S20=010.(考点:等比数列,★★)设等比数列{a n}的公比为q,其前n项和为S n,前n项积为T n,并满足条件a1>1,a2007a2008>1,a2007-1a2008-1<0,则下列结论正确的是().A.T2007<T2008B.a2007a2009-1<0C.T2007是数列{T n}中的最大值D.数列{T n}无最大值11.(考点:数列与传统文化,★★)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是().A.此人第五天走了二十五里路B.此人第二天走的路程超过全程的14C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D.此人后三天共走了42里路12.(考点:数列的综合应用,★★★)已知等差数列{a n}的首项为3,公差为2,前n项和为S n,则下列结论成立的有( ).A .数列{Sn n }的前10项和为100B .若a 1,a 4,a m 成等比数列,则m=13C .若i=1n1a i a i+1>433,则n 的最小值为5D .若a m +a n =a 2+a 10,则1m +16n的最小值为2512三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:等比数列的前n 项和,★★)已知在等比数列{a n }中,a 1+a 2=2,a 4+a 5=-16,则{a n }的前5项和为 . 14.(考点:数列的综合应用,★★)已知数列{a n }的通项公式是a n =n 2+kn+4.若k=-5,则a n 的最小值为 ;若对于∀n ∈N *,都有a n+1>a n ,则实数k 的取值范围为 .15.(考点:数列求和,★★★)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =a ·2n -2,则{a n 2}的前n 项和为 .16.(考点:等差数列的综合,★★★)已知两等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S n T n=5n+22n+3,则a 3+a 20b 8+b 15= .答案解析：1.(考点:等差数列,★)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 9=27,a 15=-4,则S 19=( ). A .9 B .12 C .-9 D .-192【解析】由等差数列前n 项和公式可得S 9=(a 1+a 9)×92=27,∴a 1+a 9=2a 5=6,∴a 5=3.又a 15=-4,∴S 19=19(a 5+a 15)2=-192.【答案】D2.(考点:等比数列,★)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,a 7=27a 4,S 4=80,则a 1=( ). A .2 B .3 C .-3 D .-2【解析】设等比数列的公比为q ,由a 7=27a 4,即a7a 4=q 3=27,解得q=3,又由等比数列求和公式得S 4=a 1(1-34)1-3=80,解得a 1=2.【答案】A3.(考点:等差数列与等比数列的综合,★)已知数列2,a 1,a 2,10成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,16成等比数列,则a 1+a 2b 2的值为( ). A .2 B .-2 C .3 D .-3【解析】由题意得a 1+a 2=12,b 22=16,且1,b 2,16同号,所以b 2=4,所以a 1+a 2b 2=3.【答案】C4.(考点:等比数列与传统文化,★)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天到达目的地.”则此人第三天走了( ). A .60里 B .48里 C .32里 D .24里【解析】由题意可得这个人每天走的路程成等比数列,且公比q=12,n=6,S 6=378,故a 1(1-126)1-12=378,解得a 1=192,故a 3=a 1q 2=192×14=48.【答案】B5.(考点:等差数列的性质,★)一个等差数列{a n }的前n 项和为30,前2n 项和为50,则前3n 项和为( ). A .30 B .60 C .70 D .80【解析】∵S n =30,S 2n =50,∴S 2n -S n =20, 又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等差数列,∴S 3n -S 2n =10, ∴S 3n =50+10=60.【答案】B6.(考点:等差数列,★★)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 5=-16,S 9=-63,则使得S n 取最小值的n 的值为( ). A .17 B .17或18 C .18或19D .19【解析】由题意可得a 1+a 5=2a 3=-16,故a 3=-8. 因为S 9=-63,所以9a 5=-63,故a 5=-7. 所以2d=a 5-a 3=1,即d=12,所以a n =a 3+(n-3)d=-8+(n-3)×12=n 2-192.令a n =n 2-192≤0,则n ≤19,且当n=19时,a n =0,所以当n=18或n=19时,S n 取得最小值. 【答案】C7.(考点:等差数列与均值不等式,★★)设a>0,b>0,lg 4是2lg 2a 与lg 2b 的等差中项,则2a +1b 的最小值为( ). A .94 B .74 C .54 D .1【解析】∵lg 4是2lg 2a 与lg 2b 的等差中项,∴2lg 4=lg 22a +lg 2b ,即lg 24=lg(22a ·2b )=lg 22a+b ,∴2a+b=4.∴2a +1b =(2a +1b )(2a+b )×14=54+14×(2ba +2ab)≥54+1=94, 当且仅当2b a=2a b,即a=b=43时,等号成立,∴2a +1b 的最小值为94.【答案】A8.(考点:等差数列的前n 项和,★★★)已知数列{a n }满足a n+1-a n =1,且a 6,a 8,a 9成等比数列.若{a n }的前n 项和为S n ,则S n 的最小值为( ). A .3 B .-3 C .-40D .-45【解析】由题意可知{a n }为等差数列,公差d=1,由a 6,a 8,a 9成等比数列,可得a 82=a 6a 9, 所以a 82=(a 8-2)(a 8+1),解得a 8=-2.因为a 8=a 1+7d ,所以a 1=-9. 所以S n =-9n+n (n -1)2×1=12(n 2-19n )=12n-1922-3618.故当n=9或n=10时,S n 取到最小值,最小值为-45. 【答案】D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:等差数列,★★)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列,其前n 项和为S n ,且满足a 1+5a 3=S 8,则下列选项中正确的是( ). A .a 10=0 B .S 7=S 12 C .S n 的最小值为S 10D .S 20=0【解析】设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0), 由a 1+5a 3=S 8,可得a 1+9d=0,即a 10=0,故选项A 正确.因为S 12-S 7=a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=5a 10=0,所以S 7=S 12,故选项B 正确.当d>0时,S n 的最小值为S 9或S 10,当d<0时,S n 的最大值为S 9或S 10,故选项C 错误. 因为S 19=19a 10=0,a 20≠0,所以S 20≠0,故选项D 错误. 【答案】AB10.(考点:等比数列,★★)设等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项和为S n ,前n 项积为T n ,并满足条件a 1>1,a 2007a 2008>1,a 2007-1a 2008-1<0,则下列结论正确的是( ).A .T 2007<T 2008B .a 2007a 2009-1<0C .T 2007是数列{T n }中的最大值D .数列{T n }无最大值【解析】当q<0时,a 2007a 2008=a 20072q<0,不成立,当q ≥1时,a 2007>1,a 2008>1,a 2007-1a 2008-1>0,不成立,当0<q<1时,分析可知a 2007>1,且0<a 2008<1,故T 2007>T 2008,故A 错误;a 2007a 2009-1=a 20082-1<0,故B 正确;T 2007是数列{T n }中的最大值,故C 正确,D 错误. 【答案】BC11.(考点:数列与传统文化,★★)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是( ). A .此人第五天走了二十五里路 B .此人第二天走的路程超过全程的14C .此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D .此人后三天共走了42里路【解析】设此人第n 天走a n 里路,则数列{a n }是首项为a 1,公比为q 的等比数列,其中q=12,因为S 6=378,所以S 6=a 1(1-126)1-12=378,解得a 1=192.对于A 项,由于a 5=192×(12)4=12,所以此人第五天走了十二里路,故A 错误; 对于B 项,由于a 2=192×12=96,96378>14,故B 正确;对于C 项,由于378-192=186,192-186=6,所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里,故C 正确; 对于D 项,由于a 4+a 5+a 6=192×(18+116+132)=42,故D 正确. 【答案】BCD12.(考点:数列的综合应用,★★★)已知等差数列{a n }的首项为3,公差为2,前n 项和为S n ,则下列结论成立的有( ).A .数列{Snn }的前10项和为100B .若a 1,a 4,a m 成等比数列,则m=13C .若i=1n1a i a i+1>433,则n 的最小值为5D .若a m +a n =a 2+a 10,则1m +16n 的最小值为2512 【解析】由已知可得,a n =2n+1,S n =n 2+2n ,对于A 项,S n n =n+2,则数列{S n n }为等差数列,其前10项和为10×(3+12)2=75,故A 错误;对于B 项,若a 1,a 4,a m 成等比数列,则a 42=a 1·a m ,a m =27,即a m =2m+1=27,解得m=13,故B 正确; 对于C 项,因为1a i a i+1=12(12i+1-12i+3),所以 i=1n1a i a i+1=12(13-15+15-17+…+12n+1-12n+3)=n 6n+9>433,解得n>4,故n 的最小值为5,故C 正确;对于D 项,由等差数列的性质可知,m+n=12,所以1m +16n =112(1m +16n)(m+n )=112(1+n m +16m n+16)≥112×(17+2×4)=2512,当且仅当n m =16mn,即n=4m=485时取等号,因为m ,n ∈N *,所以n=4m=485不成立,故D 错误.【答案】BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:等比数列的前n 项和,★★)已知在等比数列{a n }中,a 1+a 2=2,a 4+a 5=-16,则{a n }的前5项和为 . 【解析】∵a 4+a5a 1+a 2=q 3=-8,∴q=-2,∴a 1(1+q )=2,解得a 1=-2,∴{a n }的前5项和S 5=a 1(1-q 5)1-q=-2×(1+25)1+2=-22.【答案】-2214.(考点:数列的综合应用,★★)已知数列{a n }的通项公式是a n =n 2+kn+4.若k=-5,则a n 的最小值为 ;若对于∀n ∈N *,都有a n+1>a n ,则实数k 的取值范围为 . 【解析】若k=-5,则a n=n 2-5n+4=(n -52)2-94,由二次函数的性质得,当n=2或n=3时,a n 取得最小值,其最小值为a 2=a 3=-2.由a n+1>a n ,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n =n 2+kn+4,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N *,所以-k 2<32,解得k>-3,所以实数k 的取值范围为(-3,+∞).【答案】-2 (-3,+∞)15.(考点:数列求和,★★★)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =a ·2n -2,则{a n 2}的前n 项和为 .【解析】由题意知等比数列{a n }的前n 项和为S n =a 11-q -a11-q·q n =a ·2n -2, 所以a 11-q=-2,解得a=2,q=2,a 1=2.所以a n =2n ,所以a n 2=4n , 所以{a n 2}的前n 项和为4(1-4n )1-4=4n+1-43.【答案】4n+1-4316.(考点:等差数列的综合,★★★)已知两等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S n T n=5n+22n+3,则a 3+a 20b 8+b 15= .【解析】因为数列{a n }和{b n }为等差数列,所以a 3+a 20b 8+b 15=a 1+a 22b1+b 22=(a 1+a 22)×222(b 1+b 22)×222=S 22T 22=5×22+22×22+3=11247.【答案】11247。

新高考地区小题专练03三角函数、平面向量与解三角形(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:三角函数的定义,★)若角α的终边过点(-sin 45°,cos 30°),则sin α=( ). A .√32B .√155C .-√155D .-√322.(考点:三角恒等变换,★)已知tan α=-4,则cos(π-2α)=( ). A .35 B .310 C .1517 D .3√10103.(考点:平面向量与三角函数的综合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a ⊥b ,则sin2αsinαcosα+cos α=( ).A .23 B .32 C .1 D .524.(考点:三角函数的图象与性质,★★)若函数y=3sin(3x+φ)的图象关于点(5π4,0)中心对称,则|φ|的最小值为( ). A .π3 B .π6 C .π4 D .π125.(考点:平面向量的数量积,★★)设向量a ,b 满足|a+b|=3,|a-b|=2,则a ·b=( ). A .1 B .54 C .32 D .746.(考点:三角函数的图象变换,★★)函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,为了得到y=sin (2x -π3)的图象,只需将f (x )的图象上( ).A .各点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移π6个单位长度 B .各点的横坐标变为原来的12,再向右平移π3个单位长度 C .各点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移π6个单位长度D .各点的横坐标变为原来的12,再向左平移π3个单位长度7.(考点:正、余弦定理的综合应用,★★★)已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且a=2,c cosA+a cos C=-2√33b cos B ,△ABC 的面积S=√3,则b=( ). A .√13B .√14C .2√7D .√218.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32,且f (α)=√3+1,f (β)=√3,若|α-β|的最小值是π,则下列结论正确的是( ). A .ω=1,函数f (x )的最大值为1 B .ω=12,函数f (x )的最大值为√3+1C .ω=14,函数f (x )的最大值为√3+1D .ω=12,函数f (x )的最大值为1二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为12的有( ). A .2√33sin 30°cos 30° B .cos 230°-sin 230° C .1-2cos 230° D .sin 230°+cos 230°10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a ,b 的夹角为θ,则( ). A .|a|=|b| B .a ⊥cC .b ∥cD .cos θ=6√858511.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f (x )=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是( ). A .该函数为奇函数B .该函数的最小正周期为2πC .该函数的图象关于直线x=π2对称D .该函数的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列四个命题中正确的是( ). A .若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 一定是钝角三角形B .若a cosA =b cosB =ccosC ,则△ABC 一定是等边三角形 C .若a cos A=b cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 D .若b cos C=c cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k ,5),若(a+2b )∥(4a-3b ),则k= .14.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,sin(α+β)=1213,则cos β= . 15.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC 的边长为6,平面内一点P 满足CP⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 16.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R,则f (x )的最小值为 ;单调递增区间为 .答案解析：一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:三角函数的定义,★)若角α的终边过点(-sin 45°,cos 30°),则sin α=( ). A .√32 B .√155C .-√155D .-√32【解析】由题意可知角α的终边过点(-√22,√32), 故sin α=√32√(-√22)+(√32)=√155. 【答案】B2.(考点:三角恒等变换,★)已知tan α=-4,则cos(π-2α)=( ). A .35 B .310 C .1517 D .3√1010【解析】由题意得,cos(π-2α)=-cos 2α=-cos 2α+sin 2α=-cos 2α+sin 2αsin 2α+cos 2α=-1+tan 2αtan 2α+1=-1+1616+1=1517. 【答案】C3.(考点:平面向量与三角函数的综合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a ⊥b ,则sin2αsinαcosα+cos 2α=( ).A .23 B .32 C .1 D .52【解析】因为a ⊥b ,所以a ·b=-sin α+3cos α=0,即sin α=3cos α,所以tan α=3, 故sin2αsinαcosα+cos 2α=2tanαtanα+1=32.【答案】B4.(考点:三角函数的图象与性质,★★)若函数y=3sin(3x+φ)的图象关于点(5π4,0)中心对称,则|φ|的最小值为( ). A .π3B .π6C .π4D .π12【解析】由题意可得3sin (3×5π4+φ)=0,故3×5π4+φ=k π,k ∈Z,解得φ=k π-15π4,k ∈Z,令k=4,可得|φ|的最小值为π4.【答案】C5.(考点:平面向量的数量积,★★)设向量a ,b 满足|a+b|=3,|a-b|=2,则a ·b=( ). A .1 B .54C .32D .74【解析】由题意可得,a 2+2a ·b+b 2=9,a 2-2a ·b+b 2=4, 两式相减,得4a ·b=9-4=5, 即a ·b=54. 【答案】B6.(考点:三角函数的图象变换,★★)函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,为了得到y=sin (2x -π3)的图象,只需将f (x )的图象上( ).A .各点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移π6个单位长度 B .各点的横坐标变为原来的12,再向右平移π3个单位长度 C .各点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移π6个单位长度D .各点的横坐标变为原来的12,再向左平移π3个单位长度【解析】根据函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,φ<π2)的部分图象,可得A=1,34T=7π6-(-π3)=3π2,解得T=2π, 所以ω=2πT =1.再根据五点作图法可得7π6+φ=3π2,则φ=π3, 故f (x )=sin (x +π3).则将函数y=f (x )的图象上各点的横坐标变为原来的12,得到y=sin (2x +π3)的图象,再向右平移π3个单位长度,得到y=sin (2x -π3)的图象.故选B.【答案】B7.(考点:正、余弦定理的综合应用,★★★)已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且a=2,c cosA+a cos C=-2√33b cos B ,△ABC 的面积S=√3,则b=( ). A .√13B .√14C .2√7D .√21【解析】由正弦定理可得sin C cos A+sin A cos C=-2√33sin B cos B ,即sin(A+C )=-2√33sin B cos B , 所以sin B=-2√33sin B cos B , 又sin B ≠0,所以cos B=-√32,则B=150°. 因为a=2,△ABC 的面积S=√3, 所以S=12ac sin B=12×2×c ×12=√3,解得c=2√3,所以b=√a 2+c 2-2accosB =2√7. 【答案】C8.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32,且f (α)=√3+1,f (β)=√3,若|α-β|的最小值是π,则下列结论正确的是( ). A .ω=1,函数f (x )的最大值为1 B .ω=12,函数f (x )的最大值为√3+1 C .ω=14,函数f (x )的最大值为√3+1D .ω=12,函数f (x )的最大值为1【解析】f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32=√3sin 2ωx+12sin 2ωx+√32=12sin 2ωx-√32cos 2ωx+√3=sin (2ωx -π3)+√3,由题意可得该函数的周期为π×4=4π,则2π2ω=4π,所以ω=14,则f (x )=sin (12x -π3)+√3,故f (x )的最大值为√3+1. 【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为12的有( ).A .2√33sin 30°cos 30° B .cos 230°-sin 230° C .1-2cos 230° D .sin 230°+cos 230° 【解析】A 符合,2√33sin 30°cos 30°=√33sin 60°=12; B 符合,cos 230°-sin 230°=cos 60°=12; C 不符合,1-2cos 230°=-cos 60°=-12; D 不符合,sin 230°+cos 230°=1. 故选AB . 【答案】AB10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a ,b 的夹角为θ,则( ). A .|a|=|b| B .a ⊥cC .b ∥cD .cos θ=6√8585【解析】根据题意,a+b=(5,3),a-b=(-3,1),则a=(1,2),b=(4,1), 对于A 项,|a|=√5,|b|=√17,则|a|=|b|不成立,A 错误; 对于B 项,a=(1,2),c=(-2,1),则a ·c=0,即a ⊥c ,B 正确; 对于C 项,b=(4,1),c=(-2,1),b ∥c 不成立,C 错误;对于D 项,a=(1,2),b=(4,1),则a ·b=6,|a|=√5,|b|=√17,则cos θ=a ·b|a ||b |=6√8585,D 正确.故选BD . 【答案】BD11.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f (x )=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是( ). A .该函数为奇函数B .该函数的最小正周期为2πC .该函数的图象关于直线x=π2对称D .该函数的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z【解析】当cos x ≥0时,f (x )=sin x+cos x=√2sin (x +π4), 当cos x<0时,f (x )=sin x-cos x=√2sin (x -π4),画出函数图象,如图所示.根据图象知,函数不是奇函数,A 错误;f (x+2π)=sin(x+2π)+|cos(x+2π)|=sin x+|cos x|=f (x ),故该函数的最小正周期为2π,B 正确; f (π-x )=sin(π-x )+|cos(π-x )|=sin x+|cos x|=f (x ),故该函数的图象关于直线x=π2对称,C 正确;由图象可知,在[-π2,π2]上,函数f (x )不单调,所以f (x )的单调递增区间不为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z,D 错误.故选BC . 【答案】BC12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列四个命题中正确的是( ). A .若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 一定是钝角三角形 B .若acosA =bcosB =ccosC,则△ABC 一定是等边三角形C .若a cos A=b cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形D .若b cos C=c cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 【解析】对于A,若a 2+b 2-c 2<0,由余弦定理可知cos C=a 2+b 2-c 22ab<0,角C 为钝角,故A 正确;对于B,因为acosA =bcosB =ccosC ,由正弦定理得a=2R sin A ,b=2R sin B ,c=2R sin C ,所以tan A=tan B=tan C ,所以A=B=C ,所以△ABC 一定是等边三角形,故B 正确;对于C,若a cos A=b cos B ,由正弦定理得sin 2A=sin 2B ,所以A=B 或A+B=π2,所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形,故C 错误;对于D,若b cos C=c cos B ,由正弦定理得sin B cos C=sin C cos B ,则sin B cos C-sin C cos B=0,所以sin(B-C )=0,得B=C ,所以△ABC 一定是等腰三角形,故D 正确. 故选ABD . 【答案】ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k ,5),若(a+2b )∥(4a-3b ),则k= . 【解析】由题意得a+2b=(3+2k ,12),4a-3b=(12-3k ,-7), 因为(a+2b )∥(4a-3b ), 所以(3+2k )·(-7)=12·(12-3k ), 解得k=152. 【答案】15214.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,sin(α+β)=1213,则cos β= . 【解析】由题意得sin α=2α=45,cos(α+β)=±√1-sin 2(α+β)=±513.当cos(α+β)=513时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=513×35+1213×45=6365;当cos(α+β)=-513时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-513×35+1213×45=3365.综上所述,cos β的值为6365或3365. 【答案】6365或336515.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC 的边长为6,平面内一点P 满足CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 【解析】由CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 故PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -29CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =12×18-29×36-14×36 =-8.【答案】-816.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R,则f (x )的最小值为 ;单调递增区间为 .【解析】由题意,f (x )=sin 2 x-sin 2(x -π6)=12(1-cos 2x )-12[1-cos (2x -π3)]=-14cos 2x+√34sin 2x=12sin (2x -π6),所以函数f (x )的最小值为-12;令-π2+2k π≤2x-π6≤π2+2k π,k ∈Z,则-π6+k π≤x ≤π3+k π,k ∈Z, 即f (x )的单调递增区间为[-π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z .【答案】-12 [-π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z。

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（3）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2. 已知00a b >>，，则“a b >”是“11a b b a+>+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的可加性，即可证明充分性成立；再根据作差法和不等式的性质，即可证明必要性成立. 【详解】若0a b >>，则11b a>，所以11a b b a +>+，充分性成立．若11a b b a+>+，则110a b b a +-->，即1()10a b ab ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，又00a b >>，，所以110ab+>，所以0a b ->，即a b >，必要性成立． 故“a b >”是“11a b b a+>+”的充要条件．故选:C .【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断，以及不等式性质的应用，属于基础题.3. 函数222()1x xf x x --=-的图象大致为（ ）A.B.C .D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值对选项惊喜排除，由此确定正确选项. 【详解】由210x -≠得()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，因为222222()()()11x x x xf x f x x x -----==-=----，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，D ；由题易知，图中两条虚线的方程为1x =±，则当2x =时，5(2)04f =>，排除C ，所以B 选项符合. 故选：B【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.4. 函数()()2lg 311f x x x=++-的定义域是（ ） A. 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式知10310x x ->⎧⎨+>⎩，解不等式组即可得定义域【详解】由函数()()2lg 31f x x =++，知 10310x x ->⎧⎨+>⎩解之得：113-<<x 故选：B【点睛】本题考查了函数的表示，根据函数解析式的性质求函数的定义域，属于简单题5. 若函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在[]2,1-上的最大值为4，最小值为m ，实数m 的值为（ ） A.12B.14或12C.116D.12或116【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论01a <<、1a >分别对应单调减函数、单调增函数，结合已知最值情况即可求m 的值； 【详解】函数()xf x a =在[]2,1-上：当01a <<时，()f x 单调递减：最大值为2(2)4f a --==，最小值(1)f a m ==，即有12m =； 当1a >时，()f x 单调递增：最大值为(1)4f a ==，最小值2(2)f a m --==，即有116m =； 综上，有12m =或116m =； 故选：D【点睛】本题考查了指数函数的性质，根据指数函数的单调性，结合已知最值求参数值，属于简单题. 6. .若log 2log 20a b <<，则（ ） A. 01a b <<< B. 01b a <<< C. 1a b >> D. 1b a >>【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的性质求解．【详解】∵log 2lo 1g 20log a b a <<=，∴0＜a ＜1，0＜b ＜1，∵2＞1，要使log b 2＜0 ∴0＜b ＜1，∵log 2log 20a b <<，∴a ＞b ，且0＜a ＜1，∴01b a <<<． 故选B ．【点睛】本题考查两个数的大小的比较，注意对数函数的性质的合理运用，属于基础题． 7. 已知函数21,0()1,0xx x f x a x ->⎧=⎨+≤⎩，若()13f -=，则不等式()5f x ≤的解集（ ） A. []2,1- B. []3,3-C. []22-,D. []2,3-【答案】D 【解析】 【分析】先利用已知条件求出a 的值，然后分类讨论解不等式即可. 【详解】因为(1)3f -=， 所以113a -+=， 所以12a =， 所以21,0()11,02xx x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，当0x >时，由215x -≤， 解得3x ≤， 所以03x <≤；当0x ≤时，由1215x⎛⎫ ⎪⎝⎭+≤， 解得20x -≤≤，故()5f x ≤的解集为[]2,3-． 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用分段函数解不等式的问题.属于较易题.8. 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，可以把细颗粒物进行处理．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，则每吨细颗粒物的平均处理成本最低为（ ） A. 100元 B. 200元C. 300元D. 400元【答案】B 【解析】【分析】 列出处理成本函数yx，然后由基本不等式求最小值，并得出取最小值时处理量x ． 【详解】依题意，300600x ≤≤，记每吨细颗粒物的平均处理成本为()t x ， 则21200800001800002()2002x x y t x x x x x-+===+-．∵1800004002x x +≥=，当且仅当1800002x x=，即400x =时取等号，∴当400x =时，()t x 取最小值， 最小值为400200200-=（元）. 故选：B.【点睛】本题考查基本不等式在函数中的应用，解题关键是列出函数关系式．属于较易题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 设集合1272x A x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，下列集合中，是A 的子集的是（ ） A. {}11x x -<< B. {}13x x <<C. {}12x x <<D. ∅【答案】ACD 【解析】 【分析】解不等式1272x <<，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】解不等式1272x<<，即1227x -<<，解得21log 7x -<<，则{}21log 7A x x =-<<，2222log 4log 7log 83=<<=，所以，A 、C 、D 选项中的集合均为集合A 的子集.故选：ACD.【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了指数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 10. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，当[0,3]x ∈时，2()3f x x x =-，下列等式成立的是（ ）A. (2019)(2020)(2021)f f f +=B. (2019)(2021)(2020)f f f +=C. 2(2019)(2020)(2021)f f f +=D. (2019)(2020)(2021)f f f =+【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知可得()f x 是周期为6的函数，结合奇偶性和已知解析式，即可求出函数值，逐项验证即可. 【详解】由(3)()f x f x -=-知()f x 的周期为6，(2019)(33663)(3)0f f f =⨯+==，(2020)(33762)(2)(2)2f f f f =⨯-=-=-=， (2021)(33761)(1)(1)2f f f f =⨯-=-=-=.故选:ABC.【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题. 11. 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A. x y e -= B. 3y x = C. ln y x = D. y x =【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本初等函数的基本性质可得结论.【详解】对于A 选项，101e <<，所以，函数1xx y e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭是定义域为R 的减函数；对于B 选项，函数3y x =是定义域为R 的增函数； 对于C 选项，函数ln y x =是定义域为()0,∞+的增函数； 对于D 选项，函数y x =是定义域为R 的增函数. 故选：BD.【点睛】本题考查基本初等函数定义域和单调性判断，属于基础题. 12. 下列命题中是真命题的是（ ） A. ∃x ，y ∈(0，＋∞)，lgxy＝lg x －lg yB. ∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0C. ∀x ∈R ，2x <3xD. ∃x ，y ∈R ，2x ·2y ＝2xy 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据全称命题和特称命题真假的判断方式逐一判断即可. 【详解】对于A ，由对数的运算性质可知，(),0,x y ∃∈+∞，lglg lg xx y y=-，故正确； 对于B ，241430b ac -=-=-<，故正确； 对于C ，当1x =-时，1123>－－，故错误；对于D ，由同底数幂乘积可得2x y ==时，222x y xy =，故正确． 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了全称命题和特称命题真假的判断，属于基础题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数()212,121log ,12x x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()2f a =，则a =________.【答案】72【解析】 【分析】根据1a <时，()2f a <，可知1a ≥，再解方程21()log ()22f a a =+=即可得到答案. 【详解】因为当1a <时，113()22222af a =-<-=， 所以1a ≥，所以21()log ()22f a a =+=，所以21242a +==，所以72a =. 故答案为：72【点睛】本题考查了由分段函数的函数值求参数，考查了对数式化指数式，属于基础题.14.1ln 238lg5lg 20e ++-= _________【答案】2 【解析】 【分析】根据对数的运算公式和性质即可求出结果.【详解】1ln 238lg5lg 20e 2lg10022222++-=+-=+-=. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查了对数的运算公式和性质，属于基础题.15. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1－上，(),102,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a R ∈，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是________． 【答案】25- 【解析】 【分析】利用函数的周期性得5191,2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，列方程求出a 值，再代入计算()5f a 即可. 【详解】()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上，,10()2,015x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩，∴511()()222f f a -=-=-+，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴35a =，∴()()32531(5)15f a f f ==-=-+=-. 故答案为：25-【点睛】本题考查利用函数的周期性求参数值，解答时一定要注意利用原函数的周期将所求函数值的自变量往已知区间转化. 16. 已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________． 【答案】 (1). (0,1) (2). 0或1 【解析】 【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个， 转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点，又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)． 若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=． 故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.。

小题专练13一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:集合,★)设集合A={1,2,3,6},B={x|x 2-3x ≥0},则A ∩B=( ). A .{1,2,3,6}B .{1,2,6}C .{3,6}D .{6}2.(考点:复数,★)已知i 是虚数单位,若复数z 满足z (1-i)=(1+i)2,则|z|=( ). A .1 B .√2 C .2 D .√33.(考点:等差数列,★)在等差数列{a n }中,a 4=2,a 8=6,则a 20=( ). A .17 B .18 C .19 D .204.(考点:平面向量,★★)在△ABC 中,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m+n=( ). A .56 B .23 C .12 D .135.(考点:双曲线,★★)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±43x ,则此双曲线的离心率为( ). A .53 B .43 C .54 D .√726.(考点:三角恒等变换,★★)已知tan α=340<α<π2,则cos (5π4-α)=( ). A .-3√210B .2√25C .-7√210D .3√257.(考点:函数图象的判断,★★)函数f (x )=e x +e -xx的大致图象为( ).8.(考点:三角函数的图象,★★★)定义一种运算:(a 1,a 2) (a 3,a 4)=a 1a 4-a 2a 3,将函数f (x )=(√3,sin x ) (-1,cos x )的图象向左平移m (m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( ). A .π12 B .π6 C .π3 D .5π6二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:分层抽样,★★)某中学有高中学生3000人,现采用分层抽样的方法从该校抽取部分学生参加志愿服务,已知该校高二年级1300人中抽取了130人,高一年级抽取的人数比高三年级多10人,则下列说法正确的有( ).A .每个人被抽到的概率不一定相等B .抽取的总人数为300C .高一年级共抽取了70人参加志愿服务D .该中学高三年级的人数为80010.(考点:等比数列,★★★)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1+a 2=4,S n =a n+1-12,则下列结论正确的是( ).A .a 1=1B .数列{a n }是等比数列C .a n =3n-2D .S 6=364 11.(考点:抛物线,★★★)如图,已知点F 是抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,AB 是经过点F 的弦,过点A ,B 分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为A 1,B 1,则下列结论中一定成立的是( ). A .|AB|=pB .若AB 的倾斜角为π4,则|AF|·|BF|=2p 2 C .以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 D .1|AF |+1|BF |=2p12.(考点:函数与导数的综合运用,★★★)已知函数f (x )=e x (x 3+mx 2-2x+2),则下列结论正确的是( ). A .f (x )的定义域为RB .当m=-2时,f (x )在(-∞,-3)上单调递减C .当m=-2时,f (x )的极小值为-37e -3D .若f (x )在[-2,-1]上单调递增,则实数m 的取值范围为(-∞,6] 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:二项式定理,★)(x -1x )4的展开式中的常数项为 .14.(考点:古典概型,★★)五一期间,甲、乙两人决定随机从A ,B ,C 三个景区中选择一个景区进行游玩,甲、乙两人互不影响,则甲、乙两人同去一个景区的概率为 . 15.(考点:立体几何的综合,★★★)在如图所示的正方体中,若三棱锥P-ABC 外接球的半径为√3,则球心到平面ABC 的距离为 .16.(考点:解三角形,★★★)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,D 是AC 上靠近点A 的三等分点,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∠ABD=π6,若BD=√3,则ABBC = ,△ABC 的面积为 .答案解析：1.(考点:集合,★)设集合A={1,2,3,6},B={x|x 2-3x ≥0},则A ∩B=( ). A .{1,2,3,6} B .{1,2,6}C .{3,6}D .{6}【解析】因为A={1,2,3,6},B={x|x 2-3x ≥0}={x|x ≤0或x ≥3},所以A ∩B={3,6}.故选C . 【答案】C2.(考点:复数,★)已知i 是虚数单位,若复数z 满足z (1-i)=(1+i)2,则|z|=( ). A .1 B .√2 C .2 D .√3【解析】因为z (1-i)=(1+i)2=2i,所以z=2i1-i ,故|z|=|2i ||1-i |=2=√2.【答案】B3.(考点:等差数列,★)在等差数列{a n }中,a 4=2,a 8=6,则a 20=( ). A .17 B .18 C .19 D .20【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,因为a 4=2,a 8=6,所以a 1+3d=2,a 1+7d=6,解得a 1=-1,d=1,所以a 20=a 1+19d=18,故选B . 【答案】B4.(考点:平面向量,★★)在△ABC 中,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m+n=( ). A .56 B .23 C .12 D .13 【解析】如图,因为BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故m+n=12+16=23. 【答案】B5.(考点:双曲线,★★)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±43x ,则此双曲线的离心率为( ).A .53B .43C .54D .√72【解析】因为双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±43x ,所以b a =43.又a 2+b 2=c 2,所以c 2=a 2+169a 2=259a 2,所以e=c a =53.故选A . 【答案】A6.(考点:三角恒等变换,★★)已知tan α=340<α<π2,则cos (5π4-α)=( ). A .-3√210B .2√25C .-7√210D .3√25【解析】因为tan α=34(0<α<π2),所以cos α=45,sin α=35,cos (5π4-α)=cos 5π4cos α+sin 5π4sin α=-√22×45-√22×35=-7√210. 【答案】C7.(考点:函数图象的判断,★★)函数f (x )=e x +e -xx的大致图象为( ).【解析】因为f (x )=e x +e -xx,x ≠0,所以f (-x )=e -x +e x -x=-f (x ),故函数f (x )为奇函数,排除A,C 选项.当x=1时,f (x )=e +1e >0,排除B 选项.故选D . 【答案】D8.(考点:三角函数的图象,★★★)定义一种运算:(a 1,a 2) (a 3,a 4)=a 1a 4-a 2a 3,将函数f (x )=(√3,sin x ) (-1,cos x )的图象向左平移m (m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( ). A .π12B .π6C .π3D .5π6【解析】函数f (x )=√3cos x+sin x=2sin (x +π3)的图象向左平移m 个单位长度后,得到函数y=2sin (x +π3+m)的图象,因为函数y=2sin (x +π3+m)的图象关于y 轴对称,所以函数y=2sin (x +π3+m)为偶函数,则有π3+m=k π+π2(k ∈Z),解得m=k π+π6(k ∈Z).当k=0时,m 取得最小值,最小值为π6.【答案】B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:分层抽样,★★)某中学有高中学生3000人,现采用分层抽样的方法从该校抽取部分学生参加志愿服务,已知该校高二年级1300人中抽取了130人,高一年级抽取的人数比高三年级多10人,则下列说法正确的有( ).A .每个人被抽到的概率不一定相等B .抽取的总人数为300C .高一年级共抽取了70人参加志愿服务D .该中学高三年级的人数为800【解析】分层抽样中每个人被抽到的概率是相等的,故A 错误;设抽取的总人数为x ,则x 3000×1300=130,解得x=300,故B 正确;高一年级和高三年级共抽取了300-130=170人,设高三年级抽取的人数为y ,则y+y+10=170,解得y=80,所以高一年级共抽取了90人参加志愿服务,故C 错误;高三年级的人数为3000300×80=800.故D 正确.综上,BD 正确.【答案】BD10.(考点:等比数列,★★★)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1+a 2=4,S n =a n+1-12,则下列结论正确的是( ).A .a 1=1B .数列{a n }是等比数列C .a n =3n-2D .S 6=364【解析】由题意,a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1⇒a 1=1,a 2=3,再由S n =a n+1-12,S n-1=a n -12(n ≥2)⇒a n+1-a n =2a n ⇒a n+1=3a n (n ≥2),又a 2=3a 1,所以a n+1=3a n (n ≥1),所以数列{a n }是首项为1,公比为3的等比数列,所以a n =1×3n-1=3n-1,S 6=1-361-3=364,故选ABD . 【答案】ABD 11.(考点:抛物线,★★★)如图,已知点F 是抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,AB 是经过点F 的弦,过点A ,B 分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为A 1,B 1,则下列结论中一定成立的是( ). A .|AB|=pB .若AB 的倾斜角为π4,则|AF|·|BF|=2p 2C .以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切D .1|AF |+1|BF |=2p【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=|AA 1|+|BB 1|=x 1+x 2+p ,故A 错误;若AB 的倾斜角为π4,则|AF|=p 1-cosπ4,|BF|=p1+cosπ4,|AF|·|BF|=2(√22)2=2p 2,故B 正确;设AB 的中点为M ,M 到准线的距离为d ,则d=|AA 1|+|BB 1|2=|AF |+|BF |2=|AB |2,所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切,故C 正确;当直线AB 的斜率不存在时,1|AF |+1|BF |=1|AA 1|+1|BB 1|=1x 1+p 2+1x 2+p 2=1p +1p =2p ,当直线AB 的斜率存在时,设其斜率为k ,联立抛物线的方程与直线AB 的方程,整理得k 2x 2-(k 2p+2p )x+k 2p 24=0,则x 1+x 2=2p k 2+p ,x 1x 2=p 24,所以1|AF |+1|BF |=1|AA 1|+1|BB 1|=1x 1+p 2+1x 2+p 2=x 1+x 2+px 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=2pk 2+2p p 2+p2k2=2p ,故D 正确.【答案】BCD12.(考点:函数与导数的综合运用,★★★)已知函数f (x )=e x (x 3+mx 2-2x+2),则下列结论正确的是( ). A .f (x )的定义域为RB .当m=-2时,f (x )在(-∞,-3)上单调递减C .当m=-2时,f (x )的极小值为-37e -3D .若f (x )在[-2,-1]上单调递增,则实数m 的取值范围为(-∞,6] 【解析】显然f (x )的定义域为R,故A 正确.当m=-2时,f (x )=e x (x 3-2x 2-2x+2),则f'(x )=e x (x 3-2x 2-2x+2)+e x (3x 2-4x-2) =x e x (x 2+x-6)=x (x+3)(x-2)e x ,所以当x ∈(-∞,-3)或x ∈(0,2)时,f'(x )<0,当x ∈(-3,0)或x ∈(2,+∞)时,f'(x )>0,所以f (x )在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故B 正确.当x=-3或x=2时,f (x )取得极小值,极小值分别为-37e -3和-2e 2,故C 错误. f'(x )=e x (x 3+mx 2-2x+2)+e x (3x 2+2mx-2) =x e x [x 2+(m+3)x+2m-2],因为f (x )在[-2,-1]上单调递增,所以当x ∈[-2,-1]时,f'(x )≥0,又因为当x ∈[-2,-1]时,x e x <0,所以当x ∈[-2,-1]时,x 2+(m+3)x+2m-2≤0,则{(-2)2-2(m +3)+2m -2≤0,(-1)2-(m +3)+2m -2≤0,解得m ≤4,故D 错误. 综上,AB 正确. 【答案】AB三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:二项式定理,★)(x -1x )4的展开式中的常数项为 .【解析】(x -1x)4的展开式的通项公式为T r+1=C 4r x 4-r (-1x)r=(-1)r C 4r x 4-2r,令4-2r=0,得r=2,所以展开式的常数项为T 3=(-1)2C 42=6.【答案】614.(考点:古典概型,★★)五一期间,甲、乙两人决定随机从A ,B ,C 三个景区中选择一个景区进行游玩,甲、乙两人互不影响,则甲、乙两人同去一个景区的概率为 .【解析】因为甲、乙两人去景区进行游玩的所有事件有3×3=9个,其中甲、乙两人同去一个景区的事件有3个,所以两人同去一个景区的概率为39=13.【答案】13 15.(考点:立体几何的综合,★★★)在如图所示的正方体中,若三棱锥P-ABC 外接球的半径为√3,则球心到平面ABC 的距离为 .【解析】设正方体的棱长为a ,则3a 2=(2√3)2=12,得a=2,所以AB=BC=AC=2√2. 由V P-ABC =V B-APC 得13S △ABC ·h=13S △APC ·BP ,即13×12×(2√2)2×√32×h=13×12×22×2,得h=2√33,所以球心到截面ABC 的距离d=√3-2√33=√33. 【答案】√3316.(考点:解三角形,★★★)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,D 是AC 上靠近点A 的三等分点,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∠ABD=π6,若BD=√3,则ABBC = ,△ABC 的面积为 . 【解析】如图,设CD=2x ,则AD=x.因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∠ABD=π6,所以∠ABC=2π3. 在Rt △BCD 中,CB=CD ·sin ∠CDB=2x ·sin ∠CDB. ① 在△ADB 中,由正弦定理可得ABsin∠BDA =ADsin∠DBA,则AB=AD ·sin∠BDA sin∠DBA=2x ·sin ∠ADB. ②因为∠BDA+∠CDB=π,所以sin ∠BDA=sin ∠CDB. ③联立①②③可得AB BC =1,所以△ABC 是顶角为2π3的等腰三角形,所以∠C=π6.因为BD=√3,所以BC=√3tanπ6=3,所以△ABC 的面积为12BC ·AB ·sin 2π3=9√34.【答案】1 9√34。

小题专练23一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:集合,★)已知全集U=R,A={x|(x+1)(x-2)>0},B={x|2x≤2},则(U A)∩B=().A.{x|-1<x<1}B.{x|0≤x≤1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|-2<x≤-1}2.(考点:复数,★)已知i为虚数单位,1-2i1+i在复平面内对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(考点:三角函数的图象,★★)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π2)的图象向右平移π6个单位长度后,得到一个奇函数的图象,则φ的值为().A.π6B.π4C.π3D.5π124.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,满足f(1+x)=f(1-x)且在(1,+∞)上为增函数的是().A.f(x)=cos(x-1)B.f(x)=-x2+2xC.f(x)=log2|x-1|D.f(x)=e x-1-e1-x5.(考点:充分、必要条件,★★)已知函数f(x)=2|x|,则对实数a,b,“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(考点:函数图象的判断,★★)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能是().A .f (x )=1x B .f (x )=x x 2-4C .f (x )=xx 2+1D .f (x )=x 2x 2-47.(考点:等差数列,★★)已知数列{a n }为递增的等差数列,a 1=1且a 1,a 5,3a 14成等比数列,则数列{(-1)n a n }的前50项和为( ). A .50 B .100C .500D .25008.(考点:均值不等式,★★★)若a ,b ,c ∈(0,+∞),且a+b+c=1,则下列不等式成立的是( ). A .a 2+b 2+c 2≤13B .a 2b+b 2c+c 2a≤1C .a 4+b 4+c 4≤abcD .2+b 2+2+c 22+a 2≥√2二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:抛物线,★)已知过抛物线T :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线T 于A ,B 两点,交抛物线T 的准线于点M ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB|=163,则下列说法正确的是( ). A .直线l 的倾斜角为120° B .|MB ||FB |=2C .点F 到准线的距离为4D .抛物线T 的方程为y 2=4x10.(考点:函数与导数的综合运用,★★)已知定义在R 上的函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称,且当x>0时,f'(x)>0,若f(a)>f(b),则下列不等式恒成立的是().A.log3|a|>log3|b|B.a3>b3C.sin|a|>sin|b|D.11+a2<1 1+b211.(考点:立体几何的综合运用,★★★)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1B1B是矩形, CB=1,C1B1⊥平面AA1B1B,直线A1C与B1C1所成的角的余弦值为√33,则下列说法正确的是().A.BB1⊥平面A1B1C1B.A1C=2√3C.三棱锥C-AB1B的外接球的体积为√3π2D.三棱锥C-AB1B的外接球的表面积为3π212.(考点:数列基本量的计算,★★)已知各项都为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若a3a7=256,S4-S2=12,则下列结论正确的是().A.a n=2nB.a3=a22C.S3=S22+1D.S n=2n-1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(1,2),b=(3,-3),c=(x,1).若(a-c)⊥b,则x= .14.(考点:解三角形,★★)已知圆内接四边形ABCD中,AB=2AD=4,BC=2√2,BD=2√3,则△ABC的面积为.15.(考点:排列组合,★★)某中学举行教师趣味运动会,将4名班主任和8名任课老师分成4个小组,每组3人,进行“三人四足”比赛,要求每组有1名班主任,则不同的分组方案种数是.(用数字作答)16.(考点:椭圆,★★★)已知O为坐标原点,过点T(0,-2)的直线l与曲线E:x24+y2=1相交于P,Q两点,当l⊥x轴时,PQ的长为;当l不垂直于x轴时,△OPQ的面积的最大值为.答案解析：1.(考点:集合,★)已知全集U=R,A={x|(x+1)(x-2)>0},B={x|2x≤2},则(U A)∩B=().A.{x|-1<x<1}B.{x|0≤x≤1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|-2<x≤-1}【解析】∵U A={x|(x+1)(x-2)≤0}={x|-1≤x≤2},B={x|x≤1},∴(U A)∩B={x|-1≤x≤1},故选C.【答案】C2.(考点:复数,★)已知i为虚数单位,1-2i1+i在复平面内对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】根据题意,1-2i1+i =(1-2i)(1-i)2=-1-3i2,在复平面内对应的点为(-12,-32),位于第三象限.故选C.【答案】C3.(考点:三角函数的图象,★★)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π2)的图象向右平移π6个单位长度后,得到一个奇函数的图象,则φ的值为().A.π6B.π4C.π3D.5π12【解析】根据题意,将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为y=sin[2(x-π6)+φ]=sin(2x-π3+φ),所以-π3+φ=kπ,k∈Z,所以φ=kπ+π3,k∈Z,又0<φ<π2,所以φ=π3.故选C.【答案】C4.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,满足f(1+x)=f(1-x)且在(1,+∞)上为增函数的是().A.f(x)=cos(x-1)B.f(x)=-x2+2xC.f(x)=log2|x-1|D.f(x)=e x-1-e1-x【解析】A选项中f(x)在(1,+∞)上无单调性.B选项中f(x)在(1,+∞)上为减函数.D选项中f(x)的图象关于点(1,0)对称.只有C选项符合条件.【答案】C5.(考点:充分、必要条件,★★)已知函数f(x)=2|x|,则对实数a,b,“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】∵f(x)=2|x|在[0,+∞)上单调递增,∴若a>|b|,则f(a)>f(|b|)=f(b),即充分性成立;若f(a)>f(b),则f(|a|)>f(|b|),即|a|>|b|,解得a>|b|或a<-|b|,即必要性不成立.故“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件,故选A.【答案】A6.(考点:函数图象的判断,★★)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能是().A.f(x)=1x B.f(x)=xx2-4C.f(x)=xx2+1D.f(x)=x2x2-4【解析】根据图象,x≠±2,所以排除A,C;又函数图象关于原点对称,故选B.【答案】B7.(考点:等差数列,★★)已知数列{a n}为递增的等差数列,a1=1且a1,a5,3a14成等比数列,则数列{(-1)n a n}的前50项和为().A.50B.100C.500D.2500【解析】设数列{a n}的公差为d,由题意知d>0.因为a1=1且a1,a5,3a14成等比数列,所以有a52=a1·3a14,即(1+4d)2=3(1+13d),整理得16d2-31d-2=0,解得d=2或d=-116(舍去),所以(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a49+a50)=d+d+…+d⏟25个=25×2=50.【答案】A8.(考点:均值不等式,★★★)若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则下列不等式成立的是().A.a2+b2+c2≤13B.a2b +b2c+c2a≤1C.a4+b4+c4≤abcD.√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2【解析】对于A,∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac,∴3a 2+3b 2+3c 2≥a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c )2=1,∴a 2+b 2+c 2≥13,故A 错误;对于B,∵a 2b+b ≥2a ,b 2c+c ≥2b ,c 2a+a ≥2c ,∴a 2b +b+b 2c +c+c 2a +a ≥2a+2b+2c ,即a 2b +b 2c +c 2a ≥a+b+c , ∴a 2b +b 2c +c 2a ≥1,故B 错误;对于C, ∵a 4+b 4≥2a 2b 2,a 4+c 4≥2a 2c 2,b 4+c 4≥2b 2c 2,∴a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+a 2c 2+b 2c 2, ∵a 2b 2+b 2c 2≥2√a 2b 2·b 2c 2=2ab 2c ,a 2c 2+b 2c 2≥2√a 2c 2·b 2c 2=2ac 2b , a 2c 2+b 2a 2≥2√a 2c 2·b 2a 2=2ca 2b ,∴a 2b 2+a 2c 2+b 2c 2≥abc (a+b+c )=abc ,故C 错误;对于D, ∵a 2+b 2≥2ab ,∴2(a 2+b 2)≥a 2+2ab+b 2=(a+b )2,即a 2+b 2=(a+b )22,两边开平方得√a 2+b 2≥√22|a +b |=√22(a+b ),同理可得√b 2+c 2≥√22(b+c ),√c 2+a 2≥√22(c+a ),三式相加得√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2(a+b+c )=√2,故D 正确. 【答案】D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:抛物线,★)已知过抛物线T :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线T 于A ,B 两点,交抛物线T 的准线于点M ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB|=163,则下列说法正确的是( ). A .直线l 的倾斜角为120° B .|MB ||FB |=2C .点F 到准线的距离为4D .抛物线T 的方程为y 2=4x【解析】过点A 作AH 垂直于准线,垂足为H (图略),因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|MA ||AH |=2,|MB ||FB |=|MA ||AH |=2,所以直线l 的斜率为√3或-√3,故直线l 的倾斜角为60°或120°,故A 错误,B 正确. 设直线l 的解析式为y=√3(x -p2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (-p2,-√3p),由{y =√3(x -p2),y 2=2px ,消去y 得3x 2-5px+34p 2=0,所以x 1+x 2=5p 3,x 1x 2=p 24. 所以|AB|=x 1+x 2+p=5p3+p=163,解得p=2,所以点F 到准线的距离为2,抛物线T 的方程为y 2=4x ,故D 正确,C 错误.故选BD . 【答案】BD10.(考点:函数与导数的综合运用,★★)已知定义在R 上的函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称,且当x>0时,f'(x )>0,若f (a )>f (b ),则下列不等式恒成立的是( ). A .log 3|a|>log 3|b| B .a 3>b 3 C .sin |a|>sin |b|D .11+a 2<11+b 2【解析】根据题意,f (x )为偶函数,函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,所以f (|a|)>f (|b|).故|a|>|b|,根据对数函数的性质得log 3|a|>log 3|b|,故A 的不等式恒成立;又|a|3>|b|3成立,但不能确定a 3>b 3恒成立,故B 的不等式不恒成立;根据三角函数的性质可知C 的不等式也不恒成立;因为|a|>|b|,所以a 2>b 2,所以11+a 2<11+b 2,故D 的不等式恒成立.故选AD . 【答案】AD11.(考点:立体几何的综合运用,★★★)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,四边形AA 1B 1B 是矩形, CB=1,C 1B 1⊥平面AA 1B 1B ,直线A 1C 与B 1C 1所成的角的余弦值为√33,则下列说法正确的是( ).A .BB 1⊥平面A 1B 1C 1 B .A 1C=2√3C .三棱锥C-AB 1B 的外接球的体积为√3π2D .三棱锥C-AB 1B 的外接球的表面积为3π2【解析】根据题意,因为C 1B 1⊥平面AA 1B 1B ,A 1B 1,BB 1⊂平面AA 1B 1B ,所以C 1B 1⊥A 1B 1,C 1B 1⊥BB 1,又BB 1⊥A 1B 1,C 1B 1∩A 1B 1=B 1,所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1.故平面AB 1B ,CB 1B ,ABC 两两垂直,所以三棱锥C-AB 1B 外接球的直径等于A 1C ,又B 1C 1∥BC ,所以直线A 1C 与B 1C 1所成的角等于直线A 1C 与BC 所成的角或其补角,所以BC A 1C =√33,所以A 1C=√3,所以三棱锥C-AB 1B 的外接球的表面积为4π(√32)2=3π,体积为4π3(√32)3=√3π2,故选AC .【答案】AC12.(考点:数列基本量的计算,★★)已知各项都为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3a 7=256,S 4-S 2=12,则下列结论正确的是( ).A .a n =2nB .a 3=a 22C .S 3=S 22+1D .S n =2n -1【解析】∵a 3a 7=256,∴a 52=256,解得a 5=16.又S 4-S 2=12,∴a 3+a 4=12.设等比数列{a n }的公比为q (q>0),则a 3+a 4=a 5q2+a 5q=16q2+16q=12,解得q=-23(舍去)或q=2,∴a 1=a 5q4=1624=1,等比数列{a n }的通项公式为a n =2n-1,故A 错误;a 3=4,a 2=2,故B 正确;等比数列的前n 项和S n =2n -1,故D 正确;S 3=7,S 2=3,故C 错误. 【答案】BD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(1,2),b=(3,-3),c=(x ,1).若(a-c )⊥b ,则x= . 【解析】因为a-c=(1-x ,1),(a-c )⊥b ,所以3×(1-x )+(-3)×1=0,解得x=0. 【答案】014.(考点:解三角形,★★)已知圆内接四边形ABCD 中,AB=2AD=4,BC=2√2,BD=2√3,则△ABC 的面积为 . 【解析】在△ABD 中,因为AB=4,AD=2,BD=2√3,所以cos ∠BAD=AB 2+AD 2-BD 22AB ·AD=12,所以∠BAD=60°,所以∠BCD=120°.在△BCD 中,BC=2√2,BD=2√3,由BCsin∠CDB =BDsin∠BCD,得sin ∠CDB=BCsin∠BCD BD √2sin12023=√22,则∠CDB=45°,所以∠ABC=45°,所以S △ABC =12×4×2√2×√22=4. 【答案】415.(考点:排列组合,★★)某中学举行教师趣味运动会,将4名班主任和8名任课老师分成4个小组,每组3人,进行“三人四足”比赛,要求每组有1名班主任,则不同的分组方案种数是 .(用数字作答)【解析】根据题意,将4名班主任每人分到1个小组,其余8人分到4个小组的分法有C 82C 62C 42C 22=2520种,所以不同的分法有2520种. 【答案】252016.(考点:椭圆,★★★)已知O 为坐标原点,过点T (0,-2)的直线l 与曲线E :x 24+y 2=1相交于P ,Q 两点,当l ⊥x 轴时,PQ 的长为 ;当l 不垂直于x 轴时,△OPQ 的面积的最大值为 . 【解析】当l ⊥x 轴时,|PQ |=2.当l 不垂直于x 轴时,设l :y=kx-2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),将y=kx-2代入x 24+y 2=1,得(4k 2+1)x 2-16kx+12=0, Δ=(16k )2-4×12(4k 2+1)=16(4k 2-3)>0,即k 2>34, 所以x 1+x 2=16k 4k 2+1,x 1x 2=124k 2+1.又|PQ |=2|x 1-x 2| =√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =2·√(16k4k 2+1)2-4×124k 2+1 =√1+k 2·4√4k 2-34k 2+1,点O 到直线l 的距离d=√1+k 2,所以S △OPQ =12d ·|PQ |=4√4k 2-34k 2+1. 设√4k 2-3=t ,则t>0,S △OPQ =4tt 2+4=4t+4t.因为t+4t ≥4,当且仅当t=2,即k=±√72时等号成立,且满足Δ>0, 所以△OPQ 面积的最大值为1. 【答案】2 1。

小题专练09解析几何(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:直线的斜率与倾斜角的关系,★)下列命题中,正确的是( ). A .若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大 B .若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α C .若直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是αD .当直线的倾斜角α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增2.(考点:求直线的方程,★)已知直线l 过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l 的方程是( ). A .3x+2y-1=0 B .3x+2y+7=0 C .2x-3y+5=0 D .2x-3y+8=03.(考点:椭圆的标准方程,★)“-1<m<3”是“方程x 2m+1+y 27-m=1表示椭圆”的( ).A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.(考点:求双曲线的渐近线方程,★)若双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为53,则该双曲线的渐近线方程为( ). A .y=±45x B .y=±54xC .y=±43x D .y=±34x5.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,√3),且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4√7x 的准线上,则该双曲线的方程为( ). A .x 221-y 228=1 B .x 228-y 221=1C .x 23-y 24=1D .x 24-y 23=16.(考点:求双曲线的离心率,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),以点P (b ,0)为圆心,a 为半径作圆P ,圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若∠MPN=90°,则双曲线C 的离心率为( ). A .√2B .√3C .√52 D .√727.(考点:抛物线定义的应用,★★)已知F 是抛物线x 2=6y 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=9,则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ). A .3 B .92C .4D .328.(考点:点差法的应用,★★★)已知椭圆x 236+y 29=1的一条弦被点A (4,2)平分,则此弦所在的直线方程是( ).A .x-2y=0B .x+2y=4C .2x+3y=14D .x+2y=8二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:直线方程的应用,★★)下列说法正确的是( ). A .当x 1≠x 2,y 1≠y 2时,过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为y -y 1y 2-y 1=x -x 1x2-x 1B .点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)C .直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2D .经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=010.(考点:圆的对称性的应用,★★)已知圆O 的方程为x 2+y 2-4x-1=0,则圆O ( ). A .关于点(2,0)对称 B .关于直线y=0对称 C .关于直线x+3y-2=0对称 D .关于直线x-y+2=0对称11.(考点:双曲线的简单几何性质的应用,★★)已知双曲线E :x 24-y 212=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是双曲线右支上的一点,则下列结论正确的是( ). A .|PF 1|-|PF 2|=4B .双曲线E 的离心率是√3C .|PF 1|的最小值是6D .点P 到两渐近线的距离的乘积是312.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 且斜率为√3的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点(点A 在第一象限),与抛物线的准线交于点D ,若|AF|=8,则下列结论正确的是( ). A .p=4B .DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA⃗⃗⃗⃗⃗ C .|BD|=2|BF| D .|BF|=4三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:抛物线的应用,★)已知抛物线y 2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y 2=16相切,则p 的值为 .14.(考点:直线与圆的位置关系,★★)已知a ,b 为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a )2+(y-b )2=4所得的弦长为2√2,则ab 的最大值为 .15.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线C :x 24-y 2b 2=1(b>0)的左、右顶点分别为A ,B ,点P 在双曲线C 上,且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1,则该双曲线C 的焦距为 .16.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l :y=4x+b 截抛物线C 所得的弦长为17,设点A 为抛物线C 上的动点,点B (2,6),过点A 作抛物线C 的准线l 1的垂线,垂足为D ,则p 的值为 ,|AB|+|AD|的最小值为 .答案解析：1.(考点:直线的斜率与倾斜角的关系,★)下列命题中,正确的是( ). A .若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大 B .若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α C .若直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是αD .当直线的倾斜角α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】当直线的倾斜角α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故A 错误,D 正确;当α=π2时,斜率不存在,故B 错误;只有当α∈[0,π2)∪(π2,π)时,直线的倾斜角才是α,故C 错误.故选D . 【答案】D2.(考点:求直线的方程,★)已知直线l 过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l 的方程是( ). A .3x+2y-1=0 B .3x+2y+7=0 C .2x-3y+5=0 D .2x-3y+8=0【解析】因为直线2x-3y+4=0的斜率为23,所以直线l 的斜率为-32, 所以直线l 的方程为y-2=-32(x+1),即3x+2y-1=0.【答案】A3.(考点:椭圆的标准方程,★)“-1<m<3”是“方程x 2m+1+y 27-m =1表示椭圆”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】因为方程x 2m+1+y 27-m=1表示椭圆,所以{m +1>0,7-m >0,m +1≠7-m ,解得-1<m<3或3<m<7.故“-1<m<3”是“方程x 2m+1+y 27-m=1表示椭圆”的充分不必要条件.【答案】A4.(考点:求双曲线的渐近线方程,★)若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为53,则该双曲线的渐近线方程为( ). A .y=±45x B .y=±54xC .y=±43x D .y=±34x【解析】因为双曲线的离心率为53,即e=c a =53,所以c=53a ,又c 2=a 2+b 2,所以b=43a ,所以b a =43, 所以该双曲线的渐近线方程为y=±43x.【答案】C5.(考点:求双曲线的方程,★★)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,√3),且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4√7x 的准线上,则该双曲线的方程为( ). A .x 221-y 228=1 B .x 228-y 221=1 C .x 23-y 24=1 D .x 24-y 23=1【解析】由题意可得√3=2ba. ①因为抛物线y 2=4√7x 的准线是x=-√7,所以c=√7,即a 2+b 2=c 2=7. ② 联立①②,解得{a =2,b =√3,所以双曲线的方程为x 24-y 23=1.【答案】D6.(考点:求双曲线的离心率,★★)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),以点P (b ,0)为圆心,a 为半径作圆P ,圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若∠MPN=90°,则双曲线C 的离心率为( ).A .√2B .√3C .√52D .√72【解析】设双曲线C 的一条渐近线为bx-ay=0,且与圆P 交于M ,N 两点,因为∠MPN=90°,所以圆心P 到直线bx-ay=0的距离为2√a 2+b 2=b 2c =√22a ,即2c 2-2a 2=√2ac ,因为e=ca >1,解得e=√2.【答案】A7.(考点:抛物线定义的应用,★★)已知F 是抛物线x 2=6y 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=9,则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ). A .3 B .92 C .4 D .32【解析】由题意可得F (0,32),抛物线的准线方程为y=-32.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|=y 1+y 2+3=9,解得y 1+y 2=6,∴线段AB 中点的纵坐标为3,即线段AB 的中点到x 轴的距离为3. 【答案】A8.(考点:点差法的应用,★★★)已知椭圆x 236+y 29=1的一条弦被点A (4,2)平分,则此弦所在的直线方程是( ).A .x-2y=0B .x+2y=4C .2x+3y=14D .x+2y=8【解析】设过点A 的直线与椭圆相交于E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)两点, 则有x 1236+y 129=1,x 2236+y 229=1,两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)36+(y 1-y 2)(y 1+y 2)9=0.又∵A 为弦EF 的中点,且A (4,2),∴x 1+x 2=8,y 1+y 2=4,∴836(x 1-x 2)+49(y 1-y 2)=0, ∴k EF =y 1-y 2x 1-x 2=-12,∴过点A 且被该点平分的弦所在直线的方程是y-2=-12(x-4),即x+2y-8=0.【答案】D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:直线方程的应用,★★)下列说法正确的是( ). A .当x 1≠x 2,y 1≠y 2时,过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为y -y 1y2-y 1=x -x 1x2-x 1B.点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)C.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0【解析】对于A,当x1≠x2,y1≠y2时,过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1,故A正确;对于B项,点(0,2)与(1,1)的中点坐标为(12,32),满足直线方程y=x+1,并且两点连线的斜率为-1,所以点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1),所以B正确;对于C项,直线x-y-2=0在两坐标轴上的截距分别为2,-2,故直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是12×2×2=2,所以C正确;对于D项,经过点(1,1),且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0或y=x,所以D不正确.【答案】ABC10.(考点:圆的对称性的应用,★★)已知圆O的方程为x2+y2-4x-1=0,则圆O().A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称【解析】x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5,所以圆心O的坐标为(2,0).对于A项,圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,所以A选项正确;对于B项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,所以B选项正确;对于C项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线x+3y-2=0过圆心,所以C选项正确;对于D项,圆是关于直径对称的轴对称图形,直线x-y+2=0不过圆心,所以D选项不正确.【答案】ABC11.(考点:双曲线的简单几何性质的应用,★★)已知双曲线E:x24-y212=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上的一点,则下列结论正确的是().A.|PF1|-|PF2|=4B.双曲线E的离心率是√3C.|PF1|的最小值是6D.点P到两渐近线的距离的乘积是3【解析】由双曲线E:x 24-y212=1,得a2=4,b2=12,c2=a2+b2=16,解得a=2,b=2√3,c=4,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=4,所以A正确;离心率e=c a =42=2,所以B 错误;当点P 在右顶点时,|PF 1|取得最小值,即|PF 1|min =a+c=6,所以C 正确; 因为双曲线的渐近线方程为y=±ba x=±√3x ,设点P (x 0,y 0),则x 024-y 0212=1,即3x 02-y 02=12,则点P 到直线y=√3x 和y=-√3x 的距离的乘积为|√3x 0-y 0|2×|√3x 0+y 0|2=|3x 02-y 02|4=124=3,所以D 正确.【答案】ACD12.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 且斜率为√3的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点(点A 在第一象限),与抛物线的准线交于点D ,若|AF|=8,则下列结论正确的是( ). A .p=4B .DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA⃗⃗⃗⃗⃗ C .|BD|=2|BF| D .|BF|=4 【解析】如图所示,分别过点A ,B 作抛物线C 的准线m 的垂线,垂足分别为点E ,M.抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ,则|PF|=p ,由于直线l 的斜率为√3,其倾斜角为60°,又∵AE ∥x 轴,∴∠EAF=60°,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF 为等边三角形,∴∠EFP=∠AEF=60°,则∠PEF=30°,∴|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8,解得p=4,故A 选项正确;∵|AE|=|EF|=2|PF|,又PF ∥AE ,∴F 为AD 的中点,则DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 选项正确; ∵∠DAE=60°,∴∠ADE=30°,∴|BD|=2|BM|=2|BF|,故C 选项正确; ∵|BD|=2|BF|,∴|BF|=13|DF|=13|AF|=83,故D 选项错误.【答案】ABC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:抛物线的应用,★)已知抛物线y 2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y 2=16相切,则p 的值为 . 【解析】抛物线的准线方程为x=-p2,准线与圆相切,则3+p2=4,解得p=2. 【答案】214.(考点:直线与圆的位置关系,★★)已知a ,b 为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a )2+(y-b )2=4所得的弦长为2√2,则ab 的最大值为 .【解析】由题意可得圆心(a ,b )到直线x+y+1=0的距离d=√22-(2√22)2=√2,故√2=√2.又a ,b 为正实数,故a+b=1,所以ab ≤(a+b 2)2=14,当且仅当a=b=12时取等号.【答案】1415.(考点:双曲线性质的应用,★★)已知双曲线C :x 24-y 2b =1(b>0)的左、右顶点分别为A ,B ,点P 在双曲线C 上,且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1,则该双曲线C 的焦距为 . 【解析】由双曲线方程可知A (-2,0),B (2,0), 设P (x 0,y 0),则k PA ·k PB =y 0x+2·y 0x-2=y 02x 02-4=1,即x 02-y 02=4. 又x 024-y 02b =1,∴b 2=4,∴c 2=a 2+b 2=8,∴双曲线C 的焦距2c=4√2. 【答案】4√216.(考点:抛物线定义的应用,★★★)已知过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l :y=4x+b 截抛物线C 所得的弦长为17,设点A 为抛物线C 上的动点,点B (2,6),过点A 作抛物线C 的准线l 1的垂线,垂足为D ,则p 的值为 ,|AB|+|AD|的最小值为 .【解析】抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为(p2,0),直线l 过焦点,故b=-2p ,即直线l :y=4x-2p.设直线l 与抛物线C 交点的横坐标分别为x 1,x 2,联立{y 2=2px ,y =4x -2p ,得8x 2-9px+2p 2=0,所以x 1+x 2=98p ,故x 1+x 2+p=178p=17,解得p=8,所以y 2=16x.易知点B (2,6)在抛物线外,所以|AB|+|AD|=|AB|+|AF|≥|BF|=2√10,当B ,A ,F 三点共线时等号成立. 【答案】8 2√10。

新高考2021年高三数学高考二模试题卷三第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设()f z z =，134i z =+，22i z =--，则12()f z z -等于（ ） A ．13i -B ．211i -+C ．2i -+D ．55i +2．集合2101x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，集合B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，则集合A B 等于（ ） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．()1,-+∞C ．()1,1-D ．[)1,-+∞3．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，满足(2)1f =且对于定义域内任意x ，y 都有()()f xy f x =()f y +成立，那么的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ） A ．83B ．108C ．75D ．635．若向量，满足，，且，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知直线与相交于、两点，则为钝角三角形的充要条件是（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）A ．B ．(2)(4)f f +n 2n 3n a b 2=a 1=b π,3〈〉=a b ,〈-〉=a b b 5π6π2π3π6:20l ax y +-=()()22:14C x y a -+-=A B ABC △()1,3a∈(22a ∈-()(21,23a ∈+((),223,a ∈-∞++∞()()()cos 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<()π6f x x ⎫⎛=- ⎪⎝⎭()π6f x x ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭C ．D ．8．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ）种． A ． B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知、都是定义在上的函数，且为奇函数，的图象关于直线对称，则下列说法中正确的有（ ） A ．为偶函数B ．为奇函数C ．的图象关于直线对称D ．为偶函数10．如图，在正方体中，点在线段上运动，则（ ）A ．直线平面B ．二面角的大小为C ．三棱锥的体积为定值D ．异面直线与所成角的取值范围是11．已知实数，满足，下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C 于A ，B 两点（其中A 在B 的上方），过线段的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线，，l 于点P ，Q ，N ．则（ ）()π26f x x ⎫⎛=- ⎪⎝⎭()π26f x x ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭58101214()f x ()g x R ()f x ()g x 1x =1yg f x ()y g f x =⎡⎤⎣⎦()y f g x ⎡⎤=⎣⎦1x =1yf g x 1111ABCD A BC D -P 1BC 1BD ⊥11AC D 1B CD B --π211P AC D -AP 1A D ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b ()201a ab b a -+=>4b ≥28a b +≥111a b+>274ab ≥xOy 2:4C y x =AB OA OBA ．B ．若P ，Q 是线段的三等分点，则直线的斜率为C ．若P ，Q 不是线段的三等分点，则一定有D ．若P ，Q 不是线段的三等分点，则一定有第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______． 14．如图，某湖有一半径为的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且满足，．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为___________．15．已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数________，实数________．16．已知函数，，若使关于的不等式成立，则实数的范围为___________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列的前n 项和为．（1）若为等差数列，，，求的通项公式； （2）若数列满足，求．PM NQ =MN AB MN PQ OQ >MN NQ OQ >1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭100m 200m AB AC =90BAC ∠=︒OACB AOB θ∠=y kx =xy e =ln y x m =+k =m =)22()log 221x f x x =-++x ∈R 0,2πθ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦θ(2sin cos )(42sin 2cos )2f f m θθθθ⋅+---<m {}n a ()*n S n ∈N {}n a 11165S =3828a a +={}n a {}n S 12211135222n nS S S n +++=+n S18．（12分）在平面四边形中，，与交于点，是的中点，且． （1）若，求的长；（2）若，求．19．（12分）近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为；其中对商品和服务均为好评的有80次． （1）是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量，求对商品和服务全好评的次数的分布列及其期望．（其中）．20．（12分）如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，且．（1）证明：平面平面；（2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．21．（12分）已知椭圆的一个焦点为，且过点． （1）求椭圆的方程；（2）设，，，点是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：为等腰三角形．ABCD 4AB =AD =AC BD E E BD 2AE EC =π4ABD ∠=BC 3AC =cos BAD ∠357100.14X X 2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++=n a b c d =+++S ABCD -ABCD 260ABC ∠=︒90ASD ∠=︒2SC =SAD ⊥ABCD S ABCD -B SC D --()2222:10x y C a b a b +=>>()⎛ ⎝⎭C ()1,0A a -()2,0A a ()0,B b M C 1AB 2A M P 1A M 2A B Q BPQ22．（12分）已知函数，．（1）当时，求的值域；（2）令，当时，恒成立，求的取值范围．答 案 第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】，，则， ∵，则，故选D ． 2．【答案】C 【解析】，由，得，所以，所以，故选C ．3．【答案】C 【解析】对于定义域内任意x ，y ，都有成立，令，得，，故选C ．4．【答案】D【解析】设等比数列前项和为，因为等比数列前项的和为48且不为零，则，，成等比数列， 故，故，故选D ． 5．【答案】B【解析】由题意，向量，满足，，且， 可得， 所以向量与的夹角为，故选B ． 6．【答案】C()1xf x e ax =--()2g x kx =0a >()f x 1a =()0,x ∈+∞()()()ln 1g x f x x x ≥-+k 134i z =+22i z =--1255i z z -=+()f z z =1212()55i f z z z z -=-=+12101{|1}2x A xx x x ⎧⎫=-<-=≤⎩⎭≤⎨⎬+011x <-≤01x ≤<{|01}B x x =≤<A B {|11}x x =-<<()()()f xy f x f y =+2x y ==(4)(2)(2)112f f f =+=+=(2)(4)123f f ∴+=+=3n x n 486048-60x -()4860144x -=63x =a b 2=a 1=b π,3〈〉=a b 22π()21cos 103-⋅=⋅-=⨯⨯-=a b b a b b -a b b π2【解析】圆的圆心为，半径为，由于为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则， 设圆心到直线的距离为，则，则，整理可得，解得因为直线不过圆心，则，解得， 综上所述，，故选C ．7．【答案】D【解析】由图象可知因为，所以． 又，可得， 由，所以，解得，结合选项可知，因此，故选D ． 8．【答案】A【解析】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组， 当三人组中包含小明和小李时，安装方案有种； 当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有种， 共计有种，故选A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】ACD【解析】因为为奇函数，所以，因为的图象关于直线对称，所以， A 项：，C ()1,C a 2rABC △45CAB ∠<︒C ld d =sin d CAB r ∠==<2410a a -+<22a <<l C 220a -≠1a ≠()()21,23a ∈+A =()302f =cos ϕ=0πϕ<<π6ϕ=5π3f ⎫⎛= ⎪⎝⎭()5ππ2ππ36k k ω+=+∈Z ()6152k k ω=+∈Z 12ω=()π26f x x ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭1232C A 6=22A 2=628+=()f x ()()f x f x -=-()g x 1x =()()11g x g x -=+111g fx g f x g f x则函数为偶函数，A 正确； B 项：，不是奇函数，B 错误；C 项：因为，所以，则的图象关于直线对称，C 正确； D 项：因为，所以，则函数为偶函数，D 正确，故选ACD ． 10．【答案】AC 【解析】如图，在A 中，∵，，，∴平面BB 1D 1，∴，同理，， ∵，∴直线平面，故A 正确；在B 中，由正方体可知平面不垂直平面，故B 错误； 在C 中，∵，平面，平面，∴平面， ∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，∴三棱锥的体积为定值，故C 正确；在D 中，当点P 与线段的端点重合时，异面直线与所成角取得最小值为， 故异面直线与所成角的取值范围是，故D 错误， 故选AC ． 11．【答案】AD【解析】，．1y g f x g fxgf xg f x()()11g x g x -=+11f g xf g x()y f g x ⎡⎤=⎣⎦1x =()()11g x g x -=+11f g x f g x 1yf gx 1111AC B D ⊥111AC BB ⊥1111B D BB B =11AC ⊥111AC BD ⊥11DC BD ⊥1111AC DC C =1BD ⊥11AC D 1BCD ABCD 11A D B C ∥1A D ⊂11AC D 1B C ⊄11AC D 1B C ∥11AC D P 1B C P 11AC D 11AC D △11P AC D -1BC AP 1A D π3AP 1A D [π,3π]2()201a ab b a -+=>21a b a ∴=-对于A ：， ，，，即，故A 正确； 对于B ：， ，不一定成立，故B 错误；对于C ：，故C 错误； 对于D ： ，故D 正确， 故选AD ． 12．【答案】AB【解析】抛物线的焦点为，设直线方程为，，，，由，得，，， ∴，，直线方程为，∵共线，∴，， 同理， ，， ∴，即，A 正确； 若P ，Q 不是线段的三等分点，则，，，[]22(1)1112111a ab a a a a -+===-++---1a >10a ∴->112241b a a ∴=-++≥=-4b≥1122123(1)4411a b a a a a a +=+-++=-++≥--2348+<28a b ∴+≥2211111(1)11a a b a a a-+=+=--+<232[(1)1]1(1)3(1)3111a a ab aa a a a a -+===-+-++---26(1)83(1)328(1)a a a ≥-=-++-+1527344=+=(1,0)F AB (1)y k x =-0k >11(,)A x y 22(,)B x y 2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩2222(24)0k x k x k -++=212224k x x k ++=121=x x 122212M x x x k +==+2(1)M M y k x k=-=MN 2y k =,,O P A 11P P x y x y =21111111222P P x y x y yx y ky ky k====22Q y x k=12222M P Q y y y x x k k k ++===222211M N P Q x x x x k k+=+-==+M P Q N x x x x -=-MP NQ =MN 13PQ MN =122212121(1)2233y y k k k -⎛⎫⎛⎫=+--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2124(1)3k y y k+-=又，， ∴，解得），B 正确；由，得，，∴， 又，∴， ∴， 当时，，C 错； 由图可知，而，只要，就有，D 错， 故选AB ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1215【解析】∵二项式的展开式中，所有项的系数之和为64，∴令，得，．1242M y y y k+==2212121212(1)(1)(1)4y y k x xk x x x x =--=--+=-12y y -==24(1)3k k+=k =0k >2222(24)0kx k x k -++=x =2x =22(1)y k x =-=22Q y x k ==2Q M y y k ==OQ ==122y y PQ k -==22OQ PQ -==k >OQ PQ >1NQ ≤2Q OQ y k≥=02k <<1OQ NQ >>1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭1x =264n =6n ∴=的展开式的通项公式为，令，可得，的展开式的常数项为，故答案为1215．14．【答案】 【解析】在中，，，，，即，，，令，则，“直接监测覆盖区域”面积的最大值为，故答案为． 15．【答案】，2【解析】对于，设切点为， 因为，故切线斜率，故切线方程为，由已知得切线过， 所以，故，所以． 对于，设切点为， 所以，因为切线为，得， 所以，所以切点为，代入，得，所以． 故答案为，2． 16．【答案】【解析】显然函数定义域是，61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭6336622166C 3(1)(1)C 3r r r r r r r r rr T x x x -----+=⋅⋅-⋅⋅=-⋅⋅3302r-=2r 61x ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭2246(1)C 31215-⋅=()225000m OAB △AOB θ∠=100OB =200OA =2222cos AB OB OA OB OA AOB ∴=+-⋅⋅∠AB =211sin 22OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∴=+=⋅⋅⋅+⋅△△25100sin 2cos 2OACB S θθ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭tan 2ϕ=()251002OACB S θϕ⎤=-+⎥⎦∴()225000m()225000m e xy e =(,)nn e xy e '=n k e =()nny e e x n -=-(0,0)()nne e n -=-1n =k e =ln y x m =+(,ln )c c m +1y x '=y ex =1|x c y e c='==1c e=1(,1)e ln y x m =+11ln m e =+2m =e 2m >R 2222()()log )2log )22121x x f x f x x x --+=-++-+++，∴的图象关于点对称，原不等式可化为， 即，(*) 设，，∵，，∴，∴，，，，由，得， ∴， ∴是增函数，不等式(*)化为，(**) 令，∵，∴，不等式(**)化为，， 问题转化为存在，使不等式成立， 当时，的最小值为2， ∴，故答案为．2222log )()421221xxx x x⨯⎡⎤=-++=⎣⎦++()y f x =(0,1)(2sin cos )2(42sin 2cos )f f m θθθθ<----(2sin cos )(42sin 2cos )f f m θθθθ<-+++12x x<1212)()x x x x -=-221212()()1x x x x ⎛⎫⎪=+-=-+⎪⎭1x <2x <12x x +<11-<<1212)(10)x x x x ⎛⎫⎪-=-⎪⎭<12x x <212log ))x x <1222x x <12112121x x >++12212222log )2log )22121x x x x -+<-+++()f x 2sin cos 42sin 2cos m θθθθ<-++sin cos )4πt θθθ=+=+π0,2⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦[1t ∈2142t m t -<-+2(1)2m t >-+[1t ∈2(1)2m t >-+[1t ∈2(1)2t -+2m >2m >四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）是等差数列，设公差为d ，，，，，，， ．（2），① ，②①②，得，， 当时，，综上：． 18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，，， 由正弦定理得，所以，因为，所以，所以所以，， 所以．因为，所以． 23n a n=+16,132,2n nn S n =⎧=⎨⋅≥⎩{}n a 11611165Sa ∴==615a ∴=3828a a +=5628a a ∴+=513a ∴=2d ∴=132()352n n a n =+-∴=+12211135222n n S S S n +++=+()12121111322222n n S S S n n --∴+++=+≥-()1322n nS n =≥()322nnS n ∴=⋅≥1n =116S =16,132,2n nn S n =⎧=⎨⋅≥⎩2BC =4-ABD △4AB =AD =π4ABD ∠=sin sin AB ADADB ABD=∠∠π4sinsin 1ADB ⨯∠==0πADB <∠<π2ADB ∠=BD =DE BE =AE =cos cos 5AED BEC ∠=∠=2AE EC =EC =由余弦定理得， 所以． （2）因为，，所以． 设，在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得，，解得，所以在中，由余弦定理得．19．【答案】（1）不可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）分布列见解析，．【解析】（1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：，所以，不可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关． （2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为， 且的取值可以是．其中；；222552cos 2222BC BE EC BE EC BEC =+-⋅⋅∠=+-=2BC =3AC =2AE EC =2AE =DE BE x ==ABD △22244cos x ADB +-∠=AED △2222cos x ADB +-∠=22=x =BD =ABD △222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠===⨯⨯0.18522⨯2200(16002400) 1.587 2.7061406012080K -==<⨯⨯⨯0.18022005=X 0,1,2,3,444381(0)55P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭314423216(1)C 555P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；； ，的分布列为：由于，∴．20．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）如图：取的中点，连接､和， ∵，且，又，则为正三角形，故，， 又∵，∴为直角三角形，∴， 在中，，则， 又，、平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面．（2）∵，则点在以为直径的圆上，且，设点到平面的距离为，∴， 而， 2224423216(2)C 555P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33442396(3)C 555P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭44216(4)55P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X ~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭5EX =7-AD O SO CO AC 60ADC ABC ∠=∠=︒AD DC =2AD CD ==ACD △CO AD ⊥CO =90ASD ∠=︒ASD △112SO AD ==ACS △222CO SO SC =+CO SO ⊥ADSO O =AD SO ⊂ADS CO ⊥ADS CO ⊂ABCD SAD ⊥ABCD 90ASD ∠=︒S AD 1SO =S ABCD d 13S ABCD ABCDV S h -=⋅⋅菱形1222sin 602ABCD S =⨯⨯⨯⨯︒=菱形∴当取最大值时四棱锥的体积最大， 此时平面，又由（1）可知，如图建系，则，，，， 则，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，，得；设平面的法向量为，则，即，取，则，，得， 则，设二面角的平面角为，经观察为钝角， 则， 故二面角的余弦值为． 21．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意得，解得椭圆C 的方程是． d S ABCD -SO ⊥ABCD CO AD⊥(3,2,0)B -(0,0,1)S C ()0,1,0D (BS =-(3,0,1)SC =-(0,1,1)SD =-BSC 111,(),xy z =m 00BS SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 1111120y z z ⎧++=⎪-=11x =10y =1z =(1=m SCD 222,(),x y z =n 0SC SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn 222200z y z -=-=⎪⎩21x =2y =2z(1=n cos ,⋅===⋅m n m n m n B SC D --θθcos cos ,θ=-=m n B SC D --7-2214x y +=222221314c a b c ab ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩2214x y +=（2）易得，，，，， 设直线， 联立，得， ，得，， ，直线， 联立，得； 联立，得，轴且PQ 的中点N 为， 轴，为的中线且，为等腰三角形．22．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）∵，由，得，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增．∴函数的最小值为，∴函数的值域是． （2）当时，，()12,0A -()22,0A ()0,1B 11:12A B y x =+21:12A B y x =-+()11:2,02A M y k x k k ⎫⎛=+≠±≠⎪⎝⎭()22244y k x x y ⎧=+⎨+=⎩()222241161640k x k x k +++-=2216241M k x k ∴-=-+228241M k x k -+=+2441M k y k =+2124M A M M y k x k∴==--∴()21:24A M y x k=--∴()2112y k x y x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩244,2121k k Q k k -⎫⎛ ⎪++⎝⎭∴()124112y x ky x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩242,2121k P k k -⎫⎛ ⎪++⎝⎭PQ x ∴⊥24,121k k -⎫⎛ ⎪+⎝⎭//BN x ∴BN ∴BPQ PQ BN ⊥BPQ ∴△[)ln 1,a a a --+∞(],1-∞()xf x e a '=-()0f x '=ln x a =()f x (],ln a -∞[)ln ,+∞a ()f x ()ln ln ln 1ln 1af a e a a a a a =--=--()f x [)ln 1,a a a --+∞1a =()1xf x e x =--（）， ，， 令，则， 令，则，∵，，在上单调递增， ∴，，于是在上单调递增，且，（），又由（1）知当，时，的值域是，即，所以，恒成立，∴，所以，． 即，所以，∴的取值范围是．()()()()()211ln 1ln 1g x f x f x x kx x ⎡⎤≥-⇔++≥⎣⎦+0x >()()()()221ln 11ln 1x f x x kx e x kx ⎡⎤++≥⇔-+≥⎣⎦()()()()()2ln 1111ln 11ln 1ln 1x xxx e e e x x x k x x e x x +---+===-++()1x e m x x -=()()211x x e m x x-+'=()()11xx x e ϕ=-+()xx xe ϕ'=0x >()0x ϕ'>()x ϕ()0,∞+()()00ϕϕ>=x ()0m x '>()m x ()0,∞+()0m x >0x >1a =()0,x ∈+∞()1xf x e x =--[)0,+∞()()100xf x e x f =-->=1x e x >+()ln 1x x >+()()()ln 1m x m x >+()()()1ln 1m x m x >+1k ≤k (],1-∞。