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高中数学仿射变换一、引言仿射变换是高中数学中的重要概念之一，它在几何变换和线性代数中有着广泛的应用。
本文将介绍仿射变换的基本概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、基本概念1. 定义：仿射变换是指保持直线平行性质的变换。
简单来说，它是由平移、旋转、缩放和投影四种基本变换组成的变换。
2. 仿射变换的代数表示：设二维平面上有一个点P(x, y)，经过仿射变换后得到点P'(x', y')，则有如下代数表示：x' = a*x + b*y + cy' = d*x + e*y + f其中a、b、c、d、e、f为常数。
三、性质1. 保直线性质：仿射变换保持直线的性质，即直线经过仿射变换后仍然是直线。
例如，一条直线上的三个点经过仿射变换后仍然共线。
2. 保平行性质：仿射变换保持平行线的性质，即平行线经过仿射变换后仍然平行。
例如，两条平行线经过仿射变换后仍然平行。
3. 保比例性质：仿射变换保持线段的比例关系。
例如，一条线段上的两个点经过仿射变换后线段上的其他点的比例关系仍然成立。
四、应用1. 几何变换：仿射变换在几何变换中有着广泛的应用，可以用来描述平面上的旋转、缩放、平移等操作。
例如，我们可以利用仿射变换来实现图片的旋转、缩放和平移。
2. 图像处理：仿射变换在图像处理中也有着重要的应用，可以用来进行图像的扭曲、校正和纠正等操作。
例如，我们可以利用仿射变换来对图像进行透视校正，使得图像中的平行线在处理后仍然保持平行关系。
3. 计算机图形学：仿射变换在计算机图形学中扮演着重要的角色，可以用来进行三维物体的平面投影、旋转和缩放等操作。
例如，我们可以利用仿射变换来实现计算机图形学中的三维模型的投影效果。
五、总结通过本文的介绍，我们了解了高中数学中的仿射变换的基本概念、性质以及应用。
仿射变换作为一种保持直线平行性质的变换，在几何变换、图像处理和计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
空间直角坐标转换之仿射变换一、仿射变换仿射变换是空间直角坐标变换的一种，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直线”和“平行性”，其可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括平移(Translation)、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切(Shear)。
此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。
该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：[x'] [m00 m01 m02] [x] [m00*x+m01*y+m02][y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12][1 ] [ 0 0 1 ] [1] [ 1 ]如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式，则其代数式如下：x’= m00*x+m01*y+m02；y’= m10*x+m11*y+m12；其示意图如下：几种典型的仿射变换：1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：[ 1 0 tx ][ 0 1 ty ][ 0 0 1 ]（译注：平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。
同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。
）2.public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：[ sx 0 0 ][ 0 sy 0 ][ 0 0 1 ]3.public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)剪切变换，变换矩阵为：[ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 0 1 ]相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合[ 1 0 0 ][ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 1 0 ][ 0 0 1 ][ 0 0 1 ]（译注：“剪切变换”又称“错切变换”，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边小商店那种铁拉门都见过吧？想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。
一、简介Halcon是一种功能强大的机器视觉软件，广泛应用于工业自动化、医疗影像、安防监控等领域。
在Halcon中，仿射变换是一种常见的图像处理技术，用于实现图像的旋转、缩放、平移等操作。
二、仿射变换的基本原理1. 仿射变换是一种线性变换，可以通过矩阵运算来描述。
给定一个二维坐标系下的点P(x, y)，经过仿射变换后，其坐标变为P'(x', y')，可以表示为：x' = a*x + b*y + cy' = d*x + e*y + f其中a、b、d、e为线性变换矩阵的元素，c、f为平移向量的偏移量。
2. 仿射变换可以实现图像的平移、旋转、缩放、错切等操作，是图像处理中常用的技术之一。
三、 Halcon中的仿射变换1. 在Halcon中，可以通过使用affine_trans_image函数来实现图像的仿射变换。
该函数接受输入图像、变换矩阵以及插值方式等参数，可以对图像进行指定的仿射变换操作。
2. 通过设置不同的变换矩阵，可以实现图像的不同变换效果。
通过调整平移向量的偏移量，可以实现图像的平移操作；通过调整线性变换矩阵的元素，可以实现图像的旋转、缩放等操作。
3. Halcon还提供了inverse_affine_trans_image函数，用于实现仿射变换的逆变换操作。
通过逆变换，可以将经过仿射变换后的图像还原到原始状态，实现图像的修正和恢复。
四、仿射变换在机器视觉中的应用1. 仿射变换在机器视觉中具有重要的应用价值。
在工业自动化领域，通过对图像进行仿射变换，可以实现对产品进行检测、定位和识别；在医疗影像领域，可以通过仿射变换对医学图像进行修正和分析；在安防监控领域，可以实现对监控图像的处理和分析等。
2. 通过使用Halcon中的仿射变换技术，可以实现对图像的精准操作和处理，为机器视觉系统的性能和效果提供有力支持。
五、总结1. 仿射变换是图像处理领域常用的技术之一，通过线性变换和平移操作，可以实现图像的平移、旋转、缩放等操作。
新高考数学大一轮复习第28讲 仿射变换一、问题综述设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，作变换:x x ayy b ϕ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得单位圆22:1C x y '''+=，记点1122(,),(,)A x y B x y 在变换ϕ下的对应点分别为1122(,),(,)A x y B x y ''''，设直线AB 和A B ''的斜率分别为,k k '（斜率存在且非零），AOB ∆和A OB '''∆的面积分别为,S S '．则变换ϕ有以下性质：性质1：共线结合性，即AB AC A B A C λλ''''=⇔=；1212////l l l l ''⇔；A C A C '∈⇔∈．性质2：b k k a'=或k bk a ='．证明：21212121()()y y b y y b k k x x a x x a ''--'===''--．性质3：线段AB 中点E 变成线段A B ''中点E '． 性质4：直线与曲线的位置关系保持不变．性质5：直线AB 上线段成比例，则变成直线A B ''上对应的线段仍成比例． 性质6：S abS '=或Sab S ='， 证明：因为122112211122S x y x y ab x y x y abS '''''=-=-=，即证之． 性质7：设线段AB 在伸缩变换ϕ下的像为A B ''，显然在伸缩变换下线段的长度关系不具有确定的关系，但是我们可以利用斜率的不变关系（性质2）寻找,AB A B ''的关系：即设线段AB 所在直线斜率为k，则A B A BAB x x A B x x -===''''-二、典例分析类型1：取值范围型【例1】设直线1y kx =-和椭圆2214x y m +=有且仅有一个公共点，求k 和m 的取值范围．解析：令2xx y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=，则已知椭圆和直线变为相应的圆22:1O x y '''+=和直线210kx ''-=，要使已知的直线与椭圆有且仅有一个公共点，只要相应的直线与圆相切．1=，即214m k =-，故得01m <≤， 即20141k <-≤，解得1122k -<<．【方法小结】转化到直线与圆相切，建立参数关系式，利用二次函数最值求解．类型2：三角形面积最值型【例2】若,,A B C 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上的三点，求ABC ∆面积的最大值．解析：对椭圆()222210x y a b a b +=>>做伸缩变换x x ayy b ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，椭圆就变成圆221x y ''+=．此时椭圆的内接ABC ∆就变成圆的内接A B C '''∆， 而圆的内接三角形以内接正三角形面积最大， 从而A B C S '''∆， 还原到椭圆中，由伸缩变换对应多边形面积比的不变性可知，ABCS ∆． 【例3】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，面积为2ab 的椭圆内接四边形有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：对椭圆()222210x y a b a b +=>>做伸缩变换x x ayy b ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，椭圆就变成圆221x y ''+=，此时相应的椭圆内接四边形就变成圆的内接四边形， 当椭圆的内接四边形的面积2ab 时， 其对应的圆内接四边形的面积就是122ab ab⨯=， 由平面几何知识知圆的内接正方形的面积为2， 而这样的内接正方形有无数个，还原到椭圆可知对应的椭圆内接四边形也有无数个，【例4】（2014年高考全国新课标1卷理第20题）已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程． 解析：（Ⅰ）椭圆E 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）由伸缩变换:2xx y y ϕ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，椭圆2214x y +=（如下图）变成了单位圆221x y ''+=， ()0,2A -变为()0,2A '-，设直线P Q ''的方程为2y kx ''=-．原点O '到直线P Q ''的距离为21d k =+圆与直线相交，则需要满足1d <， 从而易得23k >，则2222223211211k P Q d k k ⎛⎫-''=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭则2222221213222112324332142O P Q SP Q d k k k k k k '''''=-=⋅++-==--≤= 23k -=7k =()1S=，此时直线l 的斜率为72b k a ±=±，且()()()maxmaxmax21OPQ O P Q O P Q Sab SS''''''===．又直线l 过点()0,2A -， 所以直线l 的方程为722y x =-或722y x =--． 【方法小结】对于求三角形面积和直线方程问题，可以用性质2和6求解．类型3：四边形面积型【例5】（2013年高考全国新课标2卷理科第20题）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>右焦点的直线30x y +-=交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．（Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形的最大值． 解析： 在伸缩变换:x x ay y b ϕ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩下，椭圆（如下图）变成圆，（Ⅰ）由伸缩变换性质知,2A B AB O P OP a a a ak k k k b b b b''''==-==， 又在椭圆中P 为AB 的中点，则在单位圆中P '为A B ''的中点， 则O P A B ''''⊥，故2212A B O P a k k b''''=-=-，即222a b =，又因为直线30x y +过椭圆的右焦点， 则3c ，于是6,3a b = 则椭圆M 的方程为221x y +=．（Ⅱ）由CD AB ⊥知1CD k =，则在单位圆中，A B AB C D CD k k ''''===设AB '与C D ''间的夹角为α，则tanα==则sinα=又直线AB 变换为直线A B ''10y ''+-=，则O '到直线A B ''的距离d==， 则A B ''=又1sin 2A B C D S A B C D D α''''''''''=≤当CD ''为圆的直径时取等号， 由伸缩变换的性质知， ABCD A B C D A B C D S abS ''''''''==≤． 【方法小结】对于四边形面积问题，在单位圆中利用三角函数的有界性和性质6求解．类型4：距离型【例6】在椭圆22147x y +=上求一点，使它到直线:32160l x y --=的距离最短，并求此距离．解析：作仿射变换2xx y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，则已知椭圆和直线l 变为相应的圆221x y ''+=和直线:6160l x '''--=，从而所求问题变为：在圆221x y ''+=上求一点到直线:6160l x '''--=的距离的最短问题， 由平面几何知识可知，过圆221x y ''+=的圆心()0,0O 作直线l '的垂线段，交圆于点(),P x y '''， 点P '到垂足的距离最短，由直线l '的垂线:OP y '''=和圆221x y''+=相交， 解方程可求得点P '为3,⎛ ，则相应椭圆所求的点P 为37,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，所求最短距离为()22373216813241332⨯+⨯-=+-． 【方法小结】距离最短，转化为单位圆中的垂线段最短，联立方程后得到点的坐标，用点到直线的距离求解即可．类型5：证明型【例7】如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>（其中）与过点()()2,0,0,1A B 的直线有只且只有1个公共点T ，且椭圆的离心率32e =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设12,F F 分别为椭圆的焦点，M 为线段2AF 的中点，求证：1ATM AFT ∠=∠． 解析： （Ⅰ）如下图利用伸缩变换x x ayy b ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，椭圆上的点,,A T B 变换为圆,,A T B '''上的点，因为切线AB 的方程为12x y +=，所以切线A B ''的方程为12ax by ''+=， 由点O '到切线A B ''距离22112d a b ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得2244a b +=，又32c e a ==，解得2212,2a b ==， 从而椭圆方程为22212x y +=．因为,O A O B O T A B ''''''''=⊥， 所以12A T AB ''''=． 由性质2可知1522AT AB ==， 在椭圆中易得1661,242AM AF =-=+， 从而21AT AF AM =，即1AT AM AF AT=，又1TAF M AT ∠=∠，从而1TAF MAT ，得1ATM AFT ∠=∠．【方法小结】用坐标伸缩变换将椭圆问题化作圆处理，解答过程完全退去了代数运算的成分，而是通过图形的几何性质进行解答，化繁为简，事半功倍类型6：相切轨迹型【例8】（2014年广东省数学高考理科试题第20题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为53． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆的两条切线互相垂直，求点P 的轨迹方程． 解析：（Ⅰ）22194x y +=（Ⅱ）如图，设点,,A P B 在伸缩变换32xx yy ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩下的像分别为,,A P B '''，可知00,32x y P ⎛⎫' ⎪⎝⎭，339224P A P B PA PB k k k k ''''==-，直线,P A PB ''与圆O '相切，设过点P 的圆的切线方程为0023y x y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即0066320kx y y kx -+-=， 从而圆心O '到切线的距离为1d ==，即()2220000436129360xk x y k y --+-=，根据韦达定理知， 202093694436P A P B y k k x ''''-==--， 化简得22013x y +=， 故点的轨迹方程为2213x y +=．【方法小结】在单位圆中得到切线方程，用点到直线的距离建立二次方程，用韦达定理得到202093694436P A P B y k k x ''''-==--，即可求得轨迹方程为2213x y +=．类型7：定值型【例9】（2011年重庆卷理科第20题） 如题（20）图，椭圆的中心为原点O，离心率e =，一条准线的方程为x =（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；(Ⅱ) 设动点P 满足：2OP OM ON =+，其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在两个定点12,F F ，使得12PF PF +为定值？若存在，求12,F F 的坐标；若不存在，说明理由． 解析：（Ⅰ）所求椭圆的方程为22142x y +=（Ⅱ）在伸缩变换2x x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩的作用下（如下图）椭圆22142x y +=变为圆：221x y ''+=，12OM ON k k =-变为1O M O N k k ''''⋅=-，点,,M N P 变为点,,M N P '''．在圆中，由1O M O N k k ''''=-，知O M O N ''''⊥，设()(),,cos ,sin ,cos ,sin 22P x y M N ππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''''++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()sin ,cos N αα'-，因为2O P O M O N ''''''=+， 所以cos 2sin sin 2cos x y αααα'=-⎧⎨=+⎩，两式平方相加，得225x y ''+=， 即点P '的轨迹为圆225x y ''+=， 由伸缩变换知，在椭圆中，点P 的轨迹为椭圆2212010x y +=，所以存在两个定点())1210,0,10,0F F -，使得1245PF PF +=【方法小结】利用单位圆的参数方程得到点P '的轨迹为圆225x y ''+=，通过伸缩变换得到点P 的轨迹为椭圆2212010x y +=，所以存在两个定点()()1210,0,10,0F F -，使得125PF PF +=三、巩固练习1.（2014年浙江省数学高考理科试题第21题）如图，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．（Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标；（Ⅱ）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 距离的最大值为a b -．2、（2011年江苏卷理科第18题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，,M N 分别是椭圆22142x y +=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于,P A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ． （Ⅰ）当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； （Ⅱ）当2k =时，求点P 到直线AB 的距离d ； （Ⅲ）对任意0k >，求证：PA PB ⊥．3.（2013年山东高考理文科第22题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长是2． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)A ，B 是椭圆C 上满足三角形AOB的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP tOE =，求实数t 的值.(第21题图)参考答案：1.第1小题的伸缩变换解法如下：解析：（Ⅰ）如图，设切点()00,P x y ，在伸缩变换x x a y y b ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩的作用下，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>变换为圆221x y ''+=，椭圆上的点()00,P x y 变换为圆上的点0,x y P a b ⎛⎫' ⎪⎝⎭，过点P 的切线l 变换为过点P '的切线l '，且l l a ak k k b b '==，由点P '在圆221x y ''+=上得2200221x ya b += ①，由O P l '''⊥得1O P l k k '''=-， 从而001ay ak bx b=-，即2002a kyx b =-，代入①式可得点22222222,a k b P a k b a k b ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭．2.解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略．（Ⅲ）在伸缩变换2:2xx y y ϕ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩的作用下，椭圆22142x y +=（如图）变成了单位圆221x y ''+=，()()0011,,,P x y B x y 变为,P B ''，在圆中，由21P A B A B A P B k k k k ''''''''=⎧⎨=-⎩，得2P A P B k k ''''=-， 得001001222y y y x x x '''-=-'''-，00122222=-⋅-， 即0010011y yy x x x -⋅=--，即1PA PB k k =-，故PA PB ⊥．3. 解析：(Ⅰ)略(Ⅱ)将椭圆2212x y +=伸缩变换成221x y +=，设,,,,O A B E P 分别对应于点,,,,O A B E P '''''， 考虑到1,2AOB A B B A S x y x y =-则12A O B A B B A S x y x y '''''''=-由OP tOE =，有OP tOE ''=， 设A O E α'''∠=，由于2O E A π'''∠=， 故1O E O E O A O P t α''''==''''cos =又1=11sin 22A O B S α'''⨯⨯⨯=故sin 2α=，又2α为三角形内角， 故2=3πα或23π，则=6πα或3π，综上，1cos t α==或2，即，t =2t =．。
相似变换和仿射变换相似变换和仿射变换是几何中的两个重要概念，它们在图形变换中起着非常重要的作用。
本文将从定义、性质、应用等多个方面进行详细介绍。
一、相似变换1.1 定义相似变换是指在平面或空间中，保持两个图形之间的每一对对应点之间的距离比不变的变换。
简单来说，就是将一个图形按照比例因子进行缩放、旋转和平移后得到的新图形与原图形相似。
1.2 性质（1）保持距离比不变；（2）保持角度不变；（3）保持面积比不变。
1.3 应用相似变换在实际生活中有着广泛的应用。
例如地图缩放、建筑设计等都需要利用相似性进行计算和设计。
二、仿射变换2.1 定义仿射变换是指在平面或空间中，保持两个图形之间的每一对对应点之间的距离比和直线上点之间的距离比不变的线性变换。
简单来说，就是将一个图形通过平移、旋转、缩放和错切等操作得到一个新图形。
2.2 性质（1）保持距离比不变；（2）保持角度不变；（3）保持平行线仍为平行线。
2.3 应用仿射变换在计算机图形学中有着广泛的应用。
例如图像处理、计算机视觉等都需要利用仿射变换进行处理和分析。
三、相似变换与仿射变换的区别相似变换和仿射变换是两个重要的几何概念，在定义和性质上有所不同，可以通过以下几点进行区分：（1）相似变换只能进行缩放、旋转和平移操作，而仿射变换还包括错切操作；（2）相似变换只能保持距离比不变，而仿射变换还能保持直线上点之间的距离比不变；（3）相似变换只能将一个图形按照比例因子进行缩放、旋转和平移后得到一个新图形与原图形相似，而仿射变换可以将一个图形通过平移、旋转、缩放和错切等操作得到一个新图形。
四、总结相似变换和仿射变换是几何中的两个重要概念，它们在实际生活中和计算机图形学中都有着广泛的应用。
相似变换只能进行缩放、旋转和平移操作，而仿射变换还包括错切操作；相似变换只能保持距离比不变，而仿射变换还能保持直线上点之间的距离比不变；相似变换只能将一个图形按照比例因子进行缩放、旋转和平移后得到一个新图形与原图形相似，而仿射变换可以将一个图形通过平移、旋转、缩放和错切等操作得到一个新图形。
仿射变换公式仿射变换公式是数学中一种常见的变换公式，使用它可以对一个坐标系中的原点进行变换，从而将它转化为另一个坐标系下的点。
它有助于解决不同的图形学问题、实现图形的转换，也可以用于将两个不同的坐标系之间的数据进行转换。
仿射变换公式的定义如下：设A、B、C是三个二维空间的仿射变换，那么ABC的变换公式为：XA=XB+XC，YA=YB+YC。
其中XA、YA是原坐标系中点P的横纵坐标，XB、YB是原坐标系中点P’的横纵坐标，XC、YC是新坐标系中点P’的横纵坐标（新坐标系相对于原坐标系的平移量）。
仿射变换公式的另一种表示形式为：XA=AXB+BYC，YA=CXB+DYC。
其中XA、YA是原坐标系中点P的横纵坐标，XB、YB是原坐标系中点P’的横纵坐标，XC、YC是新坐标系中点P’的横纵坐标（新坐标系相对于原坐标系的平移量），A、B、C、D是四个不同的仿射变换系数。
仿射变换公式可以用来实现一些基本的图形变换，例如平移、旋转、缩放、拉伸及剪切等。
它也可以用于将两个不同的坐标系之间的数据进行转换，以统一处理某个问题。
例如，在机器视觉中，经常需要将输入的图像从一个坐标系转换到另一个坐标系中进行处理，这就要求把原始图像仿射变换到目标坐标系中。
此外，仿射变换公式还可以用于自然图像的空间变换或是像素点之间的坐标变换。
仿射变换公式的应用非常广泛，它极大地方便了图形学领域中的许多应用，也提供了图形学问题求解的一种重要方法。
例如，多层次变换（MLT）是一种常用的图形学变换技术，它可以用仿射变换公式表示为：XMLT=XL+TR，YMLT=YL+TR，其中XL、YL是原始图像的坐标，TR是与仿射变换相关的参数，XMLT、YMLT是MLT变换后的结果。
仿射变换是一种有效的图形变换手段，它的应用范围很广，在图形学、机器人控制、图像处理等领域都有重要的应用。
它可以用来实现两个不同坐标系之间的数据转换，也可以用于像素点之间的坐标变换，是一种非常重要的变换公式，也是图形学问题求解中不可或缺的工具。
仿射变换方程怎么解以仿射变换方程怎么解引言：仿射变换是一种常见的几何变换方法，可以用于对图像进行旋转、平移、缩放和错切等操作。
本文将介绍仿射变换方程的解法，帮助读者更好地理解和应用仿射变换。
一、什么是仿射变换？仿射变换是指在平面上对点进行旋转、平移、缩放和错切等操作的变换方式。
它可以通过一个线性变换和一个平移向量来表示。
具体而言，对于平面上的点 (x, y)，经过仿射变换后的点 (x', y') 可以通过以下公式计算得出：x′=xx+xx+xx′=xx+xx+x其中，a、b、c、d、e 和 f 是仿射变换的参数。
二、仿射变换方程的解法1.已知三对点坐标的情况下当给定三对点的坐标时，我们可以利用这些已知点来求解仿射变换方程的参数。
假设已知的点分别为 (x1, y1) -> (x1', y1')，(x2, y2) -> (x2', y2') 和 (x3, y3) -> (x3', y3')，则可以得到以下三个方程：x1′=xx1+xx1+xx1′=xx1+xx1+xx2′=xx2+xx2+xx2′=xx2+xx2+xx3′=xx3+xx3+xx3′=xx3+xx3+x通过解这个方程组，我们可以求解出a、b、c、d、e 和f 的值，从而得到仿射变换的参数。
2.已知变换矩阵的情况下除了通过已知点来求解仿射变换方程的参数，我们还可以通过已知变换矩阵的方式来解方程。
假设已知的变换矩阵为 M，即[x′1 x′1] = [x1 x1 1] x其中，[x′1 x′1] 是经过仿射变换后的点的坐标，[x1 x1 1] 是原始点的齐次坐标。
则根据仿射变换的定义，可以得到以下方程：x′1=x1x+x1x+xx′1=x1x+x1x+x通过解这个方程组，我们可以求解出仿射变换的参数。
三、应用实例仿射变换在计算机图形学和计算机视觉领域有着广泛的应用。
仿射变换————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:第四章保距变换和仿射变换本章教学目的：通过本章的学习,使学生掌握保距变换和仿射变换这两类重要的几何变换,从而深化几何学的研究，并掌握解决几何问题的一个有效方法。
本章教学重点：(1）保距变换和仿射变换的定义和性质;(2）仿射变换的基本定理；(３）保距变换和仿射变换的变换公式;(４)图形的仿射分类与仿射性质。
本章教学难点：仿射变换的性质和基本定理;仿射变换的变换公式的求法。
本章教学内容：§1 平面的仿射变换与保距变换1.1――对应与可逆变换集合X到集合Y的一个映射f:X→Ｙ是把X中的点对应到Y中的点的一个法则,即∀ｘ∈X,都决定Y中的一个元素f(ｘ)，称为点ｘ在ｆ下的像。
对X的一个子集A,记f(Ａ)={ｆ（a)|ａ∈A}，它是Y的一个子集，称为A在f下的像。
对Y的一个子集Ｂ,记f-1(B）={x∈Ｘ|f(ｘ)∈Ｂ｝，称为B在F下的完全原像,它是X的子集。
如果f是X到Y的映射,ｇ上Y到Z的映射,则它们的复合上X到Z的映射,记作gｆ: Ｘ→Ｚ，规定为g f(x)=g(f(ｘ）),∀ｘ∈Ｘ.对A⊂X，gｆ(A)＝ｇ(f(A));对C⊂Z，（g f)-1(C）＝f－１（g－1(C)).映射的复合无交换律，但有结合律。
映射f: X→X称为X上的一个变换，iｄX: X→X,∀x∈X，ｉd X（x）＝x,称为X的恒同变换。
对映射f: X→Y，如果有映射g：Y→X,使得g f＝ idＸ：X→X,fｇ=ｉdＹ:Y→Y,则说ｆ是可逆映射，称ｇ是f的逆映射。
如果在映射f： X→Y下X的不同点的像一定不同,则称ｆ是单射。
如果f(Ｘ）=Ｙ，则称f是满射。
如果映射f: X→Ｙ既是单射,又是是满射，则称f为——对应。
此时∀f－1f=ｉd X,, ｆf-1= ｉdＹ,于是f是可逆映射,并且ｆ的逆映射是f-1。
一个集合X到自身的可逆映射称为X上的可逆变换。
1．2平面上的变换群平移取定平行于平面的一个向量u,规定π的变换P u：π→π为:∀Ａ∈π，令P u AP（A）=u的点。
称P u为π上的一个平移，称向量u是P u的平移量。
（Ａ）是使得u旋转取定π上一点O,取定角θ。
规定π的变换ｒ：π→π为：∀A∈π,令ｒ（Ａ）是Ａ饶O转角θ所得的点。
称变换r是π上的一个旋转，称O是其旋转中心,θ为转角,r是可逆变换,r－1也是以O为中心的旋转，转角为-θ。
θ=1８0°时，称ｒ为关于中心O点的中心对称，此时r－1=ｒ。
反射取定上的一条直线a,做π的变换f a：π→π为:∀A∈π，fａ（A）是A关于a 的对称点.称f a为π上的一个反射,称a是它的反射轴.也fａ是可逆变换，f a－１=ｆa.正压缩取定π上一条直线和一个正数k,做π的变换:ｇ：π→π为：∀A∈π,令g(Ａ）是下列条件决定的点:（1)Pg（A）与ａ垂直；(2）g(Ａ)到ａ的距离d(g（A),a）=ｋd（A,a)；（３)g（A)与A在的同一侧，称变换g为π上的一个正压缩，称a为压缩轴。
称k为压缩系数,ｇ也是可逆变换。
并且g-１也是以a为压缩轴的压缩变换，压缩系数为k-１.定义4.1一个集合G，如果它的元素都是π上的可逆变换,并且满足条件:（1)Ｇ中任何元素的逆也在Ｇ中;（２）G中任何两个元素的复合也在Ｇ中,则称G是π上的一个变换群。
1．3 保距变换定义４.2平面π上的一个变换f如果满足:对π上的任意两点A,B，总有ｄ(f(A),ｆ（B))=ｄ(A，Ｂ),则称f是π上的一个保距变换。
命题４．1保距变换是可逆变换．证明略保距变换f的逆f-1也是保距变换,于是平面π上的全体保距变换构成一个交换群，称为保距变换群。
１.４仿射变换定义4.3平面(空间）的一个可逆变换,如果把共线点组变为共线点组,则称为平面(空间)的一个仿射变换。
我们把平面间保持点组共线性的可逆映射称仿射映射。
位似变换取定平面π上一点O和一个不为0的实数k,规定π上的变换f：π→π为：∀P∈π令f(Ｐ)是由等式Of(P）=k O(P）决定的点。
称f是一个位似变换,称O为它的位似中心，k为位似系数。
相似变换平面的一个变换f：π→π称为相似变换，如果存在正数k，使得对π上任意两点A,B都有d(f（Ａ)，f（B)）=kｄ(A,B),称k为f的相似比。
错切变换取定平面π上的一条直线ａ，并取定ａ的一个单位法向量ｎ以及与ａ平行的一个向量ｕ,规定变换f：π→π为: ∀Ｐ∈π令f(P)是满足等式Pf(P）=(M P.n)u的点，其中Ｍ0是ａ上一点,称此变换为以a为错切轴的一个错切变换。
命题4.2在仿射变换下,不共线三点的像也不共线。
推论仿射变换把直线变为直线，并保持直线的平行性.§2 仿射变换基本定理2.1 仿射变换决定的向量变换定义4.3 设f是平面π上的仿射变换，则对于任何平行于π的向量ａ,规定ff A f B,这里A,B是π上的点，使得（a)=()()AB＝a这样，就得到全体平行于π的向量集合上的一个变换,称它为f决定的向量变换,仍记作f．从定义容易看出:ａ=0 〈═〉f(a)=0.定理4．1仿射变换决定的向量变换具有线性性质，即(1)∀向量a,b,f （a+b）= f(a)+f(b）,f(ａ－ｂ）=f(a）-f(b)．(2）∀向量ａ,∀π∈Ｒ,πa）＝πｆ(a)．ｆ（πa)= ｔｆ(a)则对任何非零向量ｂ，都有f（πb）引理(1）如果对ａ≠0和实数π，f (=ｔf(b）（2)对任何a≠0，如果π>0,则t >０.推论仿射变换保持共线三点的简单比.2.2仿射变换基本定理定理4．２（仿射变换基本定理)设π是一张平面．（1）如果f:π→π是仿射变换,I＝[Ｏ；ｅ１,e2 ]是π上的一个仿射坐标系,则1I= .[f（Ｏ)；f(e1），ｆ（e2)]也是π的仿射坐标系,并且∀P∈π,Ｐ在I中的坐标和f(P)在Ｉ’中的坐标相同;（2）任取π上两个仿射坐标系Ｉ= [O; e1，ｅ２]和1I=[ O’; ｅ1’; e2’］规定f：π→π如下,∀P∈π,设P在I中的坐标是(x，y）,令f(Ｐ)是在Ｉ’中的坐标为(x,ｙ)的点，则ｆ是仿射变换.2.3关于保距变换命题 4.3如果平面π上两个三角形ABC和EFG全等,则把ABC变为EFG (每个顶点变为对应顶点)的仿射变换是保距变换.推论任何保距变换都可分解为平移旋转及反射的复合.2.4二次曲线在仿射变换下的像命题 4.４ 平面π上两条二次曲线Ⅰ与1I (不是空集）是同类二次曲线的充分必要条件是，存在仿射变换ｆ，使得 f(Ⅰ）＝Ⅰ′.2．5仿射变换的变积系数命题 4.５ 在同一仿射变换f:π→π下，π上不同的图形(可计面积的)面积的变化率相同,即存在由变换ｆ决定的常数k ，使得任一图形S 的像f （S)的面积是S 面积的k 倍．这个常数k 称为f 的变积系数.引理1 如果仿射变换h ：π→π把某一个圆周S 变为等半径的圆周,则f 是保距变换.引理2 每个仿射变换都可分解为一个保距变换和两个正压缩的乘积.§３ 用坐标法研究仿射变换3.１ 仿射变换的变换公式 设f:π→π是一个仿射变换.取定π上的一个仿射坐标系I ＝[O ； ｅ1 ,ｅ２ ] ,记1I =[f （O); ｆ(e1) ,ｆ(e 2)设P在I 中的坐标为（ｘ，y ）则由基本定理知道，f(P)在I ’中的坐标也是(ｘ,y).于是可通过坐标变换公式来求ｆ(P)在I 中的坐标.记I 到I ’的过渡矩阵为 Ａ=11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭,f(O)在Ｉ中的坐标为（ｂ1 ,ｂ2)，则由第三章中点的坐标变换公式(3.2b ），f(Ｐ）在Ｉ中的坐标(1,x 1y）为111121121222x y x x a a b y a a b ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩, （4.３)称此公式为仿射变换ｆ在坐标系Ｉ中的点(坐标的)变换公式，称矩阵A 为ｆ在坐标系Ｉ中的变换矩阵．类似可得仿射变换在坐标系Ｉ中的向量(坐标的)变换公式:1111212122x y x yx a a y a a ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ ,(4.4)也可用矩阵乘积形式给出11x y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 其中(x,y ）是一个向量α在I 中的坐标,(1,x 1y）是f(α）的坐标.设一条曲线Γ在I 中的方程为F(α）＝0，求其像f(Γ)的方程方法为：从公式（4.3)反解出x ， ｙ用1,x 1y表示的函数式,代入F （ｘ，y ）＝０,就得到f （Γ）的方程.例4.1 已知在仿射坐标系Ｉ中，仿射变换f 的点变换公式为11435322x y x y x y ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩ 直线ａ的方程为３x+ｙ-1=0,求f(a)的方程.解 方法1.从变换公式反解出111123163423x y y x y x ⎧=-+-⎪⎨⎪=-+-⎩代入a 的方程:３(-21x+31y－1６)＋(-31x+41y－2３)-1=０整理后得91x －１31y+7２=0,于是ｆ（a ）的方程为９x-１3y ＋72=0.方法2（待定系数法)．设ｆ(a)的方程为Ａｘ+Ｂy+Ｃ＝0,用变换公式(4.5）代人得到A 的方程A(4x-3y-5)+Ｂ(3x-2y+2）＋C=0.它与3x+y-1＝0都是ａ的方程,于是433A B +=321A B --521A B C-++- 从上式左边等式解出1３A+9Ｂ＝０.即A: Ｂ=9: 1３，再由右边的等式求出Ａ: Ｃ=1: 8.取A ＝9则B =－１3，C=72，得ｆ（A ）的方程：９x －13y+72=０3.２ 变换矩阵的性质 引理 设1I和2I是平面π上的两个仿射坐标系,他们分别北仿射变换f 变为11I 和22I，则I到阵.1推论仿射变换ｆ把坐标系Ｉ变为1I，则f在1I中的变换矩阵就是f在I中的变换矩阵.命题4.6如果仿射变换ｆ,g在仿射坐标系I中的变换矩阵分别为A和Ｂ,则它们的乘积g f在I中的变换矩阵为ＢA.f-在Ｉ中的推论如果仿射变换ｆ在仿射坐标系I中的变换矩阵为A，则它的逆变换1A-.变换矩阵为1命题4．7设仿射变换ｆ在仿射坐标系I中的变换矩阵为A，I到仿射坐标1I的过渡矩H-AH.阵为H，则f在1I中的变换矩阵为1推论一个仿射变换f在不同坐标系中的变换矩阵的行列式相等.命题4．8仿射变换的变积系数等于它的变换矩阵的行列式所绝对值.3.３仿射变换的不动点和特征向量设f：π→π是仿射变换.∀Ｐ∈π，如果P在f下不动,即f(P)=Ｐ,就称P为ｆ的一个不动点.如果非零向量u与ｆ(u)平行,则称u为ｆ的一个特征向量；此时有唯一实数λ,使得ｆ(u)=λu,称λ为ｕ的特征值.不动点和特征向量都是应用中常见的概念．3.4 保距变换的变换公式命题4.9 平面上第一类保距变换或是旋转,或是平移.命题4.10 第二类保距变换或是反射，或是滑反射§4图形的仿射分类与仿射性质4．1平面上的几何图形的仿射分类和度量分类定义4.４设Γ和1Γ是平面π上的两个几何图形，如果存在一个仿射变换ｆ：π→π,使得f(Γ)=1Γ,则称Γ和1Γ是仿射等价的；如果存在一个保距变换ｆ:π→π,使得ｆ(Γ)=1Γ，则称Γ和1Γ是度量等价的.仿射等价和度量等价都是平面上的几何图形的集合中的一个“等价关系”,即它满足下列三个性质(１) 自反性. 即任何图形和自己仿射等价.(2)对称性. 即如果图形Γ和1Γ仿射等价，则1Γ和Γ也仿射等价．(3)传递性．即如果Γ和1Γ仿射等价,1Γ和2Γ仿射等价，则Γ和2Γ也仿射等价.4．２仿射概念与仿射性质几何学中有些概念是在仿射变换下不会改变的,我们把这种概念称为仿射概念.类似地，把在保距变换下不会改变的概念称为度量概念．几何图形的某种性质如果是用仿射概念刻画的，从而在仿射变换中保持不变。
