八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.1矩形1矩形的性质教案新版华东师大版

19.3 正方形教学目标【知识与技能】1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.【过程与方法】经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.【情感态度】通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．【教学重点】正方形的判定方法.【教学难点】正方形的判定方法.教学过程一、情境导入,初步认识1.在我们的生活中，除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？2.出示正方形图片，学生观察它们有什么共同特征？【教学说明】学生回答后，再举例.使学生感受生活中到处存在数学，激发其学习热情.【归纳结论】有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.二、思考探究，获取新知1.正方形是我们熟悉的图形，它是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？2.正方形有哪些性质？正方形可以看成哪些图形？【归纳结论】正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.正方形可以看成是：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形.3.议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？【教学说明】小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感受变化过程，更清晰地了解各种四边形之间的联系与区别.三、运用新知，深化理解1.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A.12B.13C.26D.30分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．解：设AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对．故选C．2.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为________和________．（只写一组）分析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标．解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），∴AD∥x轴，CD∥y轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别为：C（1，0），D（1，1）．或C(-1,0),D(-1,1).(写其中一组即可)3.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，求∠EAF度数.分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；所以可求∠EAF=45°解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠AGF=90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF=∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；即∠EAF=∠EAG+∠FAG=12∠DAG+12∠BAG=12∠DAB=45°，故∠EAF=45°.4.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）求证：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度数；分析：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG．利用正方形的性质，证明△A′BG≌△ADF，△FAE≌△GAE，得出DF+BE=EF；（2）根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数；解：（1）延长EB至G，使BG=DF，连结AG∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，∵BG=DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∠GAB=∠DAF.∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，∵AE=AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；（2）∵△AGE≌△AFE，∴∠AFE=∠AGE=75°，∵∠DFA=90°-∠DAF=75°，∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，∴∠EFC=305.已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F.且BF=CE.（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．分析：先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC 是等腰三角形；由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，又∵BD=CD，BF=CE，∴Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠B=∠C．故△ABC是等腰三角形；（2）解：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四边形AFDE是正方形．6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由题意易得AO=OC.又∵△AEC是等边三角形.∴BE⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=2∠DAO=90°，∴四边形ABCD是正方形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC（三线合一）∴四边形ABCD是菱形．（2）从上易得：△AOE是直角三角形，∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO=60°，∴∠AED=30°∵∠AED=2∠EAD∴∠EAD=15°，∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD=2∠DAO=90°∴平行四边形ABCD是正方形．【教学说明】由学生独立完成以培养学生的独立意识.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾正方形有哪些性质？2.师生共同回顾正方形有哪些判定定理？3.通过本节课的学习，你还有哪些疑惑？请与同伴交流. 课后作业1.布置作业:教材“习题19.3”中第1、2、3题.2.完成本课时对应练习.。

19.1.2 矩形的判定(二)一、教学目标：1．理解并掌握矩形的判定方法．2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力二、重点、难点1．重点：矩形的判定．2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．三、例题的意图分析本节课的三个例题都是补充题，例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的．四、课堂引入1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？通过讨论得到矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）五、例习题分析例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（×）（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（√）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（√）（4）对角线相等的四边形是矩形；（×）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（×）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（√）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（×）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)指出：（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．例2 （补充）已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．分析：首先根据△AOB 是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD 是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AO=21AC ，BO=21BD ． ∵ AO=BO ，∴ AC=BD ． ∴ ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 在Rt△ABC 中，∵ AB=4cm ，AC=2AO=8cm ， ∴ BC=344822=-（cm ）．例3 （补充） 已知：如图（1），ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．分析：要证四边形EFGH 是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥BC ．∴ ∠DAB ＋∠ABC=180°．又 AE 平分∠DAB ，BG 平分∠ABC ，∴ ∠EAB ＋∠ABG=21×180°=90°． ∴ ∠AFB=90°．同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．∴ 四边形EFGH 是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．六、随堂练习1．（选择）下列说法正确的是（ ）．（A ）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B ）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 （C ）对角线互相平分的四边形是矩形 （D ）对角互补的平行四边形是矩形2．已知：如图 ，在△ABC 中，∠C ＝90°， CD 为中线，延长CD 到点E ，使得 DE ＝CD ．连结AE ，BE ，则四边形ACBE 为矩形．七、课后练习1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB ＝CD ，EF ＝GH ；⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ；⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是：；2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．第十四章整式的乘法与因式分解基础过关满分120分时间100分钟一．选择题（每题3分，共计30分）1．（2019 •郑州期末）下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（2a）3＝6a3C．a9÷a3＝a3D．（﹣2a）2•a3＝4a5【答案】D【解答】A、a2+a2＝2a2，不符合题意；B、（2a）3＝8a3，不符合题意；C、a9÷a3＝a6，不符合题意；D、（﹣2a）2•a3＝4a5，符合题意；故选：D．2．（2020•卫辉市期末）已知3a＝1，3b＝2，则3a+b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．27【答案】B【解答】∵3a×3b＝3a+b∴3a+b＝3a×3b＝1×2＝2故选：B．3．（2019 •贵池区期中）计算（）2017×（﹣1.5）2018×（﹣1）2019的结果是（）A． B． C．D．【答案】D【解答】（）2017×（﹣1.5）2018×（﹣1）2019＝（）2017×（）2018×（﹣1）．故选：D．4．计算（x﹣2）x＝1，则x的值是（）A．3 B．1 C．0 D．3或0【答案】D【解答】∵（x﹣2）x＝1，当x﹣2＝1时，得x＝3，原式可以化简为：13＝1，当次数x＝0时，原式可化简为（﹣2）0＝1，当底数为﹣1时，次数为1，得幂为﹣1，故舍去．故选：D．5．（2020•河东区期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（）A．a＝5，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝1，b＝﹣6【答案】D【解答】已知等式整理得：x2+x﹣6＝x2+ax+b，则a＝1，b＝﹣6，故选：D．6．（2019•新蔡县期中）如果一个三角形的底边长为2x2y+xy﹣y2，底边上的高为6xy，那么这个三角形的面积为（）A．6x3y2+3x2y2﹣3xy3B．6x2y2+3xy﹣3xy2C．6x2y2+3x2y2﹣y2D．6x2y+3x2y2【答案】A【解答】三角形的面积为：（2x2y+xy﹣y2）×6xy＝6x3y2+3x2y2﹣3xy3．故选：A．7．（2020•广安期末）如果代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项，那么m的值为（）A．2 B．C．﹣2 D．【答案】A【解答】（x﹣2）（x2+mx+1）＝x3+mx2+x﹣2x2﹣2mx﹣2＝x3+（m﹣2）x2+（1﹣2m）x﹣2，因为不含x2项，所以m﹣2＝0，解得：m＝2，故选：A．8．（2020•息县期末）若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6 B．4 C．6或4 D．﹣6【答案】A【解答】∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴m+1＝±5，解得：m＝4或m＝﹣6，故选：A．9．（2020•北碚区模拟）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解答】移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选：C．9．（2019•北京期末）10如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b【答案】A【解答】由题可知，9张卡片总面积为4a2+4ab+b2，∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，∴大正方形边长为2a+b．故选：A．二．填空题（每题3分，共计15分）11．（2020•新乡期末）分解因式（2a﹣1）2+8a＝．【答案】（2a+1）2【解答】原式═4a2+4a+1＝（2a）2+4a+1＝（2a+1）2，故答案为：（2a+1）2．12．（2020•宁都县期末）计算：2020×2018﹣20192＝．【答案】-1【解答】2020×2018﹣20192＝（2019+1）（2019﹣1）﹣20192＝20192﹣12﹣20192＝﹣1故答案为：﹣1．13．（2020•偃师市期末）如果（x﹣2）（x2+3mx﹣m）的乘积中不含x2项，则m为．【答案】【解答】（x﹣2）（x2+3mx﹣m）＝x3+3mx2﹣mx﹣2x2﹣6mx+2m＝x3+（3m﹣2）x2﹣7mx+2m∵乘积中不含x2项，∴3m﹣2＝0，解得m．故答案为：．14．（2020•魏都区期中）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10，则a＝；b＝．【答案】﹣5，﹣2【解答】∵甲抄错了第一个多项式中a的符号∴甲计算的式子是（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x+ab＝6x2+11x﹣10∴2b﹣3a＝11①∵乙漏抄了第二个多项式中x的系数∴乙计算的式子是（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10∴2b+a＝﹣9②由①②得：a＝﹣5，b＝﹣2故答案为：﹣5，﹣2．15．（2020•伊犁州期末）对于实数a，b，c，d，规定一种运算ad﹣bc，如1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当27时，则x＝22 ．【答案】22【解答】∵27，∴（x+1）（x﹣1）﹣（x+2）（x﹣3）＝27，∴x2﹣1﹣（x2﹣x﹣6）＝27，∴x2﹣1﹣x2+x+6＝27，∴x＝22；故答案为：22．三．解答题（共75分）16．（8分）（2020中原区月考）因式分解：（1）4（a﹣b）2﹣16（a+b）2；（2）（a﹣b）2+3（a﹣b）（a+b）﹣10（a+b）2．解：（1）原式＝4[（a﹣b）2﹣4（a+b）2]＝4[（a﹣b）+2（a+b）][（a﹣b）﹣2（a+b）]＝4（3a+b）（﹣a﹣3b）＝﹣4（3a+b）（a+3b）；（2）原式＝[（a﹣b）﹣2（a+b）][（a﹣b）+5（a+b）]＝（﹣a﹣3b）（6a+4b）＝﹣2（a+3b）（3a+2b）．17．（9分）（2020 •新泰市期中）已知多项式（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的结果中不含x3项和x2项，求p和q的值．解：∵（x2+px+q）（x2﹣3x+2）＝x4﹣3x3+2x2+px3﹣3px2+2px+qx2﹣3qx+2q＝x4﹣（3﹣p）x3+（2﹣3p+q）x2+2px﹣3qx+2q由多项式（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的结果中不含x3项和x2项，∴3﹣p＝0，2﹣3p+q＝0，解得：p＝3，q＝7．18．（9分）（2019•普兰店区期末）已知：a+b＝5，ab＝4．（1）求a2+b2的值；（2）若a＞b，求a﹣b的值；（3）若a＞b，分别求出a和b的值．解：（1）∵a+b＝5，ab＝4，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；（2）∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝17﹣8＝9，∴a﹣b＝±3，又∵a＞b，∴a﹣b＝3；（3）由（2）得a﹣b＝3，解方程组，解得．19．（9分）（2020•兰考县期中）有两根同样长的铁丝，一根围成正方形，另一根围成长为2x，宽为2y的长方形．（1）用代数式表示正方形与长方形的面积之差，并化简结果；（2）若x≠y，试说明正方形与长方形面积哪个大．解：（1）长方形的周长为2（2x+2y）＝4（x+y）．∵两根同样长的铁丝，一根围成正方形，另一根围成长为2x，宽为2y的长方形．∴正方形的边长为x+y，∴正方形与长方形的面积之差为（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2．答：正方形与长方形的面积之差为（x﹣y）2．（2）∵x≠y，∴（x﹣y）2＞0，∴正方形的面积大于长方形面积．20．（9分）（2018•镇平县期中）如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板．一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块正方形以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形．问大正方形的面积是多少？解：设小正方形的边长为x，依题意得1+x+2＝4+5﹣x，解得x＝3，∴大正方形的边长为6厘米，∴大正方形的面积是36平方厘米，答：大正方形的面积是36平方厘米．21．（10分）（2020•兰考县期末）阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．②所以c2＝a2+b2．③所以△ABC是直角三角形．④请据上述解题回答下列问题：（1）上述解题过程，从第步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为；（2）请你将正确的解答过程写下来．解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误，错的原因为：忽略了a2﹣b2＝0的可能；（2）正确的写法为：c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），移项得：c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，因式分解得：（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，则当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2＝c2；所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．故答案为：③，忽略了a2﹣b2＝0的可能．22．（10分）（2020•连山区期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴．解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．解：设另一个因式为（x+a），得2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a∴解得：a＝4，k＝20故另一个因式为（x+4），k的值为2023．（11分）（2020 •江阴市期中）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1）（1）（1）…（1）（1）解：（1）∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，剩余部分面积为a2﹣b2；图（2）长方形面积为（a+b）（a﹣b）；∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）故答案为：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，且x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）（1）（1）（1）…（1）（1）＝（1）（1）（1）（1）…（1）（1）第3课时 分式方程的应用1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用． 2．使学生经历“实际问题—分式方程模型—求解—解释解的合理性”的过程． 3．学会举一反三，进一步提高分析问题与解决问题的能力．重点能将实际问题中的等量关系用分式方程表示． 难点寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法．一、复习导入1．解分式方程有哪些步骤？2．解分式方程： x ＋1x －1－4x 2－1＝1.3．列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？ 二、探究新知1．课件出示教材第129页“做一做”．处理方式：小组讨论，教师巡回指导，师生共同总结． 解：(1)等量关系：①第二年每间房屋的租金＝第一年每间房屋的租金＋500元． ②第一年租出的房屋间数＝第二年租出的房屋间数．③出租房屋的间数＝所有出租房屋的租金÷每间房屋的租金． (2)①求出租房屋的总间数；②分别求这两年每间房屋的租金． (3)方法一：解：设第一年每间房屋的租金为x 元，第二年每间房屋的租金为(x ＋500)元．第一年出租的房屋为96 000x 间，第二年出租的房屋为102 000x ＋500间，根据题意，得96 000x＝102 000x ＋500.解得x ＝8 000.经检验，x ＝8 000是原分式方程的解，也符合题意． x ＋500＝8 500(元)．所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元． 方法二：解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为96 000x元，第二年每间房屋的租金为102 000x 元，根据题意，得102 000x ＝96 000x＋500.解这个方程，得x ＝12.经检验，x ＝12是原方程的解，也符合题意． 所以每年各有12间房屋出租．102 000÷12＝8 500(元)，96 000÷12＝8 000(元)． 所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元． (教师强调：解分式方程应用题时一定要检验．) 三、举例分析例 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13.小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格．处理方式：审清题意，找出题中的等量关系．思考：列分式方程解应用题的一般步骤有哪些？处理方式：先引导学生思考这个问题，小组交流，学生回答并相互补充，教师多媒体展示．(1)审：分析题意，找出数量关系和相等关系．(2)设：选择恰当的未知数，注意单位和语言完整．(3)列：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程．(4)解：认真仔细．(5)验：有两次检验．(6)答：注意单位和语言完整．四、练习巩固1．某化肥厂计划在x天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是( )A.120x＋3＝180xB.120x＋3＝180xC.120x＝180x＋3D.120x＝180x＋32.全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传，全程共10千米，自行车队的速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车队晚到了2小时，如果设长跑队跑步的速度为x千米/时，那么根据题意可列方程为( )A.10x＋2＝102.5x＋12B.102.5x－10x＝2－0.5C.10x－102.5x＝2－0.5 D.10x－102.5x＝2＋0.5五、课堂小结通过本堂课的学习，你学到了哪些知识？你学会了哪些数学方法？六、课外作业1．教材第129页“随堂练习”．2．教材第130页习题5.9第1、2、3题．本节课教学列分式方程解决实际问题，这个内容是在学生已经认识了解分式方程、列一元一次方程解决实际问题的基础上进行教学的．教学列分式方程解决实际问题，需要引导学生在解决问题的过程中，进一步掌握分式方程的解法，积累分析数量关系以及把实际问题抽象为方程的经验，进而适时地把获得的知识和方法应用于解决其他一些类似的问题．。

第１９章ꢀ矩形、菱形与正方形１９．１ꢀ矩形１９．１．１ꢀ矩形的性质•知识点❶：矩形的性质定理1——矩形的四个角都是直角•1．如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为(ꢀꢀ)C•A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在矩形ABCD中，E为BC边的中点，∠AEC的平分线交AD边于点F，若AB ＝3，AD＝8，则FD的长为(ꢀꢀ)C•A．1B．2C．3D．43．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED＝90°，AD＝10，则AB的长为___5_____．4．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.易证△BEF≌△CFD(ASA)，∴BF＝CD知识点❷：矩形的性质定理2——矩形的对角线相等•5．(练习2变式)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(ꢀꢀB )•A．30°B．60°C．90°D．120°6．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是____4____个．7．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝__1_5___度．8．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE＝CF.易证△OBE≌△OCF(SAS)，∴BE＝CF9．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于(ꢀꢀ)C •A．70°•B．65°•C．50°•D．25°10.(教材P101T3变式)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(ꢀꢀ)A •A．4.8ꢀꢀꢀB．5ꢀꢀꢀC．6ꢀꢀꢀD．7.211．如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是(ꢀBꢀ)•A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD•C．AB＝AF D．BE＝AD－DF12．如图，四边形ABCD是矩形，△PBC 和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．•(1)求∠PCQ的度数；•(2)求证：∠APB＝∠QPC.•(1)∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB＝60°，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝90°，∴∠DCP＝30°，同理∠QCB ＝30°，∠ABP＝30°，∴∠PCQ＝30°ꢀ•(2)易证△PBA≌△PCQ(SAS)，∴∠APB＝∠QPCꢀ13．(2018·连云港)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连结AC，DF.•(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；•(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量明理由．(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE(ASA)，∴CD＝FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形ꢀ(2)BC＝2CD.证明：∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝45°，∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰三角形，∴CD＝DE，∵E是AD的中点，∴AD＝2CD，∵AD＝BC，∴BC＝2CDꢀ14．如图，在矩形ABCD中，BC＝10，CD ＝5，若点M，N分别是线段BD，BC上的两个动点，则CM＋MN的最小值为_____8___．15．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE 折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．•(1)求证：四边形AECF是平行四边形；•(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．(1)∵由折叠的性质知AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝∠CME＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠FAN＝∠ECM，AM＝CN，∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM，∴△ANF≌△CME(ASA)，∴AF＝CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形•(2)∵AB＝6，AC＝10，∴BC＝8，设CE＝x，则EM＝BE ＝8－x，CM＝10－6＝4，在Rt△CEM中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，∴四边形AECF的面积为EC·AB＝5×6＝30•方法技能：•1．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，它的特殊性就是四个角都是直角和对角线相等．•2．矩形的两条对角线将矩形分为两对全等的等腰三角形，在解题的时候常用到等腰三角形的性质．•3．矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴．易错提示：•对矩形的性质理解不透，导致出错．。

19.3.1 正方形及其性质一、教学目的1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．二、重点、难点1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系的灵活运用．三、例题的意图分析本节课安排了三个例题，例1是教材P119的例1，例2是补充的题目．在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．四、课堂引入1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等．．．．．叫做正方．．．．．．．的平行四边形．．．．．．并且有一个角是直角形．指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）2．【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．五、例习题分析例1（教材P119的例1）略例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．又 DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．∴∠EAO=∠FDO．∴△AEO ≌△DFO．∴ OE=OF．六、随堂练习1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．2．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．3．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．七、课后练习1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．ABC D E F。

19.2.1 菱形及其性质一、研读教材，解读目标：1、 叫做菱形。

菱形是 的平行四边形。

2、探究菱形的性质，并用模式表述菱形的特殊性质：3、解析教材110页思考与111页例题1与112页例2、113页例3二、知识梳理有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.与一般平行四边形相比，菱形具有哪些性质？定理： （菱形的边） （菱形的角） 定理： ______________ （菱形的对角线）三、定理证明：（小组合作，先交流命题证明方法和步骤，然后自己完成证明再与组长交流）ODC BA四、典型例题例如图，3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A 、E 、F 、C 、G 、H 是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离(比如AC 两点可以自由上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B 、M 处固定，则B 、M 之间的距离是多少？五、合作交流1.证明：菱形的面积是它两条对角线长的乘积的一半.2.已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是菱形ABCD 各边的中点，求证：OE=OF=OG=OH.A BC DE FGHO六、小结菱形的边和对角线有不同于一般的平行四边形的性质，有关菱形的几何计算问题可以化为_______三角形（_____三角形、等腰三角形），利用特殊三角形的性质来计算。

七、课堂练习1.己知：如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB ＝4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为 .ABCD EF2.已知四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，AC=8cm ，DB=6cm ，这个菱形的边长是________cm.3.已知菱形的边长是5cm ，一条对角线长为8cm ，则另一条对角线长为______cm.4.四边形ABCD 是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm ，则∠ABD 的度数为____ ， ∠DAB 的度数为______；对角线BD=_______，AC=_______；菱形ABCD 的面积为_______. 八、目标达成训练1.下列图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A.等边三角形 B.菱形C.等腰梯形D.平行四边形2.如图，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC 等于（ ） A.20 B.15 C.10 D.53.如图3，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A.10cm 2 B.20cm 2 C.40cm 2D.80cm 2第3题图 第5题图 第6题图 第7题图 4.菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的面积为________，周长为_________。

华师大版八下数学19.1.2《矩形的判定》教学设计一. 教材分析《矩形的判定》是华师大版八下数学19.1.2的教学内容，本节课主要让学生掌握矩形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

教材通过引入矩形的定义和性质，引导学生探索矩形的判定方法，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

本节课的内容是学生进一步学习几何图形的基础，对于学生形成完整的几何知识体系具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了矩形的定义和性质，具备了一定的几何知识基础。

同时，学生通过之前的学习，已经掌握了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

然而，学生在运用矩形的判定方法解决实际问题时，仍然存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，深入理解矩形的判定方法，提高学生的解题能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握矩形的判定方法，能够运用矩形的判定方法解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主探究、合作交流，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队协作精神和自主学习能力。

四. 教学重难点1.教学重点：矩形的判定方法。

2.教学难点：运用矩形的判定方法解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

2.自主探究法：引导学生通过自主学习，探索矩形的判定方法，培养学生的自主学习能力。

3.合作交流法：学生进行小组讨论，促进学生之间的思维碰撞，提高学生的团队协作能力。

4.案例教学法：通过分析典型例题，引导学生运用矩形的判定方法解决问题，提高学生的解题能力。

六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生的学习状况，设计教学方案。

2.学生准备：预习相关知识点，了解矩形的定义和性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如“判断一个四边形是否为矩形”，激发学生的学习兴趣，引导学生思考矩形的判定方法。