高中数学—16—椭圆双曲线(A)-教师版

高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。

定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P2|=（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二)双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2)若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ=±③离心率为-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。

3.2.1双曲线及其标准方程教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第二节《双曲线》。

以下是本节的课时安排：第三章圆锥曲线的方程课时内容 3.2.1双曲线及其标准方程 3.2.2双曲线的简单几何性质所在位置教材第118页教材第121页新教材内容分析双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义，感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何性质做好铺垫。

通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。

核心素养培养通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对双曲线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。

通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。

教学主线双曲线的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。

本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,培养数学抽象的核心素养．2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题（一）新知导入双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。

本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。

（二）双曲线及其标准方程知识点一双曲线的定义【探究1】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．◆双曲线的定义F F？【思考1】双曲线的定义中，常数为2a，为什么2a12【提示】若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在．若a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．【思考2】双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？没有“绝对值”三个字呢？【提示】若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支．【易错辨析】设F1、F2是双曲线的焦点，a=4,c=6,点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P 到焦点F2的距离．【错解一】双曲线的a=4，由|PF1|－|PF2|＝8，即9－|PF2|＝8，得|PF2|＝1.【错解二】双曲线的a=4，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.【错因】错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解是否符合题意，这里用到双曲线的一个隐含条件：双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a，到一个焦点的距离是c－a，到另一个焦点的距离是a＋c，本题是2或10，|PF2|＝1小于2，不合题意．【正解】双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.因为|F1F2|＝12，当|PF2|＝1时，|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|，不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去．所以|PF2|＝17.知识点二双曲线的标准方程【探究2】类比推导椭圆标准方程的方法，怎样推导双曲线的标准方程？【提示】(1)建系：以经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么双曲线的焦点F1，F2的坐标分别是(－c,0)，(c,0)．(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，可得(x＋c)2＋y2－(x－c)2＋y2＝±2a.(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为x2 a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．◆双曲线的标准方程【思考3】怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？它与椭圆的区分方法有何不同？【提示】椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定.【思考4】双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？a 、b 、c 之间的关系有何不同？ 【提示】a 、b 、c 之间的关系：椭圆是222b a c -=，双曲线是222b a c += （记忆方法：椭圆的焦点在顶点之内，所有a c <；双曲线焦点在顶点之外，所有a c >）【做一做1】双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．4 2C ．3 3D ．43答案：D【做一做2】已知双曲线a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为________．解析：∵a ＝5，c ＝7，∴b ＝c 2－a 2＝24＝26， 当焦点在x 轴上时，双曲线方程为x 225－y 224＝1； 当焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 225－x 224＝1. 答案：x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1（三）典型例题1.求双曲线的标准方程例1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[分析] 可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a ，b 的方程组，求得a ，b ，从而求得双曲线的标准方程．注意对平方关系c 2＝a 2＋b 2的运用．[解析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝－16，b 2＝－9，(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. 综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)． ∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝5，b 2＝1，求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 法二∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.【类题通法】用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x 轴上；(2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0))；(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程． 【巩固练习1】已知双曲线过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．[解析] 设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．∵双曲线过M (1,1)，N (－2,5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝1，4A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝87，B ＝－17，∴双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.2.双曲线标准方程的识别例2. (1)若曲线x 2k ＋4＋y 2k －1＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．[－4,1)B ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，－4]∪[1，＋∞)(2)3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： (1)根据题意，若曲线x 2k ＋4＋y 2k －1＝1表示双曲线，则有(k ＋4)(k －1)<0，解得－4<k <1.(2)3<m <5时，m －5<0，m 2－m －6>0，方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示焦点在y 轴的双曲线；若方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线，则(m －5)(m 2－m －6)<0，所以3<m <5或m <－2，所以3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的充分不必要条件．答案：(1)C (2)A【类题通法】将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn ＜0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线.【巩固练习2】若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 解析：原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线． 答案：C3.双曲线的定义及应用例3.设双曲线x 24－y 29＝1，F 1、F 2是其两个焦点，点P 在双曲线右支上. 若∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．[分析] 用双曲线定义及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|. [解析] 由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13， 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，如图所示．由双曲线定义，有r 1－r 2＝2a ＝4，两边平方得r 21＋r 22－2r 1r 2＝16. ∵∠F 1PF 2＝90°，∴r 21＋r 22＝4c 2＝4×(13)2＝52.∴2r 1r 2＝52－16＝36，∴S △F 1PF 2＝12r 1r 2＝9.【类题通法】双曲线中的焦点三角形：双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形．令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有 (1)定义：|r 1－r 2|＝2a .(2)余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ.(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ.一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．【巩固练习3】若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．[解析] 由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝±2a ＝±6，将此式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 如图所示，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是35 3. 4. 与双曲线有关的轨迹问题例4.已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解析] 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件，得 |MC 1|＝|AC 1|＋|MA |，|MC 2|＝|BC 2|＋|MB |. ∵|MA |＝|MB |，∴|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2.这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2，且2<| C 1C 2|.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支，则2a ＝2，a ＝1，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝8.因此所求动点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤1)． 【类题通法】求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴．②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．【巩固练习4】如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．[解析]以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，即|AC |－|BC |＝|AB |2＝22<|AB |. 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >a )， ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6.即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)． （四）操作演练 素养提升1.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1(x ≤－4) B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4) D.x 29－y 216＝1(x ≥3)解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．答案：D2.方程x 22＋m －y 22－m＝1表示双曲线，则m 的取值范围为( ) A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2解析：∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.答案：A3.若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由题意知||PF 2|－3|＝6，即|PF 2|－3＝±6，解得|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．答案：B4.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1解析：由⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C.答案：C答案：1.D 2.A 3.B 4.C【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结
一、 椭圆的标准方程及其几何性质
椭圆的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数()12F F 大于的点的轨
迹叫做椭圆。

符号语言：()12222MF MF a a c +=>
将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F >时，点的轨迹是 椭圆
②.当122a F F =时，点的轨迹是 线段 ③.当122a F F <时，点的轨迹 不存在
双曲线的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于常数()12F F 小于 的点的轨迹叫做双曲线。

符号语言：()12
-222MF MF a a c =<
将定义中的常数记为a 2，则：①.当122a F F <时，点的轨迹是 双曲线
②.当122a F F =时，点的轨迹是 两条射线 ③.当122a F F >时，点的轨迹 不存在
a b y o a a
抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

椭圆、双曲线中心弦和中点弦性质及应用一、题目来源1、人教A 版选修性必修第一册第108页例3如图，设点A 、B 两点的坐标分别是），（），（05,05B A -，直线AM和直线BM 相交于点M 。

且他们的斜率之积为94-，求点M 的轨迹方程。

2、人教A 版选修性必修第一册第121页探究如图，设点A 、B 两点的坐标分别是），（），（05,05B A -，直线AM 和直线BM 相交于点M 。

且他们的斜率之积为94-，求点M 的轨迹方程，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状，与第108页例3比较，你有什么发现。

二、关于椭圆、双曲线的“12-e ”（一）椭圆和双曲线中心弦的性质：（以焦点在x 轴为例）1、椭圆：若AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心弦（过对称中心的弦），设P 点是椭圆上的任一点，若PA 、PB 的斜率均存在，则1222-==⋅e a b k k PBPA —；2、双曲线：若AB 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的中心弦（过对称中心的弦），设P点是双曲线上的任一点，若PA 、PB 的斜率均存在，则1222-==⋅e ab k k PB PA （二）椭圆和双曲线中心弦的性质：（以焦点在x 轴为例）1、椭圆：若AB 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一条不过椭圆中心的弦，设M 是线段AB的中点，O 是坐标原点，若OM 、AB 的斜率均存在，则1222-==⋅e a b k k AB OM —；2、双曲线：若AB 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条不过双曲线中心的弦，设M是线段AB 的中点，O 是坐标原点，若OM 、AB 的斜率均存在，则1222-==⋅e a b k k AB OM ；（三）中点弦和中心弦性质之间的联系：（以焦点在x 轴的椭圆为例）如图，若AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一条不过椭圆中心的弦，设M 是线段AB 的中点，O 是坐标原点，若OM 、AB 的斜率均存在，则1222-==⋅e a b k k ABOM —（中点弦性质）；连接OB ，交椭圆于点C ，易得：O 是BC 的中点，M 是AB 的中点，OM 是三角形ABC 的中位线，则：ACOM k k =，于是：1222-==⋅e a b k k ABAC —（中心弦性质）三、中心弦和中点弦性质应用1（2022年全国甲卷理科）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P 、点Q 均在椭圆上， 且关于y 轴对称，若直线AP 、AQ 的斜率乘积为14，则C 的离心率为（ ）。

圆锥曲线（2）教师版双曲线一、双曲线的定义㈠平面内到两个定点的距离差等于定值且该定值小于这两个定点的距离的点的轨迹为双曲线 ㈡符号语言: 已知FF 21,为平面上两个定点若()F F F Fa a P P2121202||<<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线注；单支双曲线的定义 已知FF 21,为x 轴上的两个定点且FF 21在左侧①若()F F F F a a P P 2121202<<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线的右支 ②若()F F F Fa a P P2112202<<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线的左支双曲线位置的判定 方程()()()N m ym x m m m m *∈=--+--22222935220113表示双曲线⑴求m⑵求双曲线焦点坐标及渐近线方程 典例求双曲线标准方程⎪⎩⎪⎨⎧轨迹方程法待定系数法几何法㈠几何法：求实半轴a 及虚半轴b注：双曲线定位条件：双曲线上点的坐标，焦点位置，渐进线方程，若题中无定位条件可以利用换轴法写方程，反之不行例已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线为y=kx （k>0）离心率为k e 5=则双曲线标准方程A 、142222=-a y a x B 、152222=-ay a xC 、142222=-b y b x D 、152222=-by b x答案：C练习：1、已知圆C ：084622=+--+y x yx ，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和定点，则适合该条件的双曲线的标准方程为答案：112422=-yx2、已知双曲线中心在原点，焦点FF 21,，离心率为2，且过点()10,4-⑴求双曲线的方程⑵若点M （3,m ）在双曲线上，求证：012=⋅→→F M F M⑶求FF M 21∆的面积答案；⑴622=-yx ,⑶63、过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为 提示：用通径算 答案：2㈡待定系数法:①已知双曲线上两个点坐标双曲线方程可设为()0122<⋅=-B A B Ay x②已知双曲线的渐近线方程为0=±By Ax 则与它对应的双曲线标准方程可设为()02222≠=-λλyB x A例1求经过点P （3,415），且一条渐近线为4x+3y=0的双曲线标准方程 答案：116922=-yx例2双曲线的渐近线方程为03=±y x ，焦点到渐进线的距离为3，求双曲线的标准方程 提示：分类讨论方法处理，找到渐进线的倾斜角直接可求c答案：19271932222=-=-xy y x 或㈢轨迹方程法（定义法） 例已知动圆M 与圆()24:221=+-yC x 外切，与圆()24:222=+-yC x 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程圆C1的圆心C1（-4,0）半径21=r,圆C 2的圆心C 2（-4,0）半径22=r设动圆的半径为r,r r CC 21218+>=故圆C 1与圆C 2外离如图所示圆M 与圆C 1外切故r Cr M 11+=,圆M 与圆C 2外切故r C r M 22-=a M M C C 22221==-∴M 点轨迹为以C C 21,为左右焦点的双曲线的右支∴()2114222≥=-x yx注：当遇到利用定义法求曲线轨迹方程涉及圆内切问题时，一定要分析两已知圆的位置关系，只有这样才能知道动圆与圆C2哪个是大圆哪个是小圆练习1：设椭圆C1的离心率是135，焦点在x 轴上且长轴长26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为,答案：191622=-yx2、双曲线116922=+yx的两个焦点为F F 21,，点P 在双曲线上，若F F P p 21⊥，则P 到x 轴的距离是提示：双曲线定义+等积法,答案：5163、F F 21,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点，P 在双曲线上，若ac F P F P F P F P 221,021==⋅→→→→（c 为半焦距），则双曲线的离心率为 答案；251+ 三、双曲线的几何性质 例F F 21,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点P ，使022=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→→→P F F O OP ，且F P F P 231→→=，则双曲线的离心率是解：根据向量加法的平行四边形法则作F O OP OM 2→→→+=显然四边形F OPM 2为菱形∴F OP 2∆为直角三角形例FF 21,是双曲线1322=-y x的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若F P F P 2413→→=，则F F P 21∆的面积等于 练习：过双曲线()012222>>=+a b bya x 的左焦点F （-c,0）（c>0）作圆ay x 222=+的切线切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若⎪⎭⎫⎝⎛+=→→→OP OF OE21（O 为坐标原点）则双曲线的离心率为 A 、5 B 、3 C 、25 D 、26显然 OE 为B FRt F'∆的中位线，∴a B F 2'=又c F F 2'=由勾股定理及b a c 222+=，则BF=2b 又由双曲线定义知b=2a 可求e由双曲线定义四、直线与双曲线的位置关系㈠从几何角度探讨直线与双曲线的位置关系问题1：直线与双曲线重合时，直线与双曲线有几个交点？问题2：直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线有几个交点？能不能出现下面几种情况？归纳：当直线与双曲线渐进线平行时，直线与双曲线有唯一交点问题3：直线与双曲线相切时，能不能出现下面两种情况？归纳：直线与双曲线相切，直线与双曲线有唯一交点问题4：直线与双曲线相交最多有几个交点？把直线方程和双曲线方程联立消元（消y ）得到的方程02=++C Bx Ax最多两个根，故直线和双曲线最多有两个交点。

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结一、椭圆的标准方程及其几何性质椭圆的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的和等于常数大于F1F21的点的轨迹叫做椭圆。

符号语言：|MF,| |MF2| 2a 2a 2c将定义中的常数记为2a,贝①.当2a卩人时，点的轨迹是椭圆_____________双曲线的标准方程及其几何性质双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的差的绝对值等于常数小于F”的点的轨迹叫做双曲线。

符号语言：MF t - MF22a 2a 2c将定义中的常数记为2a，贝①.当2a FE时，点的轨迹是双曲线_____________________ ②•当2a |吋2时，点的轨迹是两条射线③.当2a卩占时，点的轨迹不存在焦点位置不确定的双曲线方程可设为：mn 02 2与双曲线仔笃1共焦点的双曲线系方程可设为:a b2y1 ba kb kx22 2 2 2与双曲线笃 耸1共渐近线的双曲线系方程可设为： $ 爲a ba b三、抛物线的标准方程及其几何性质抛物线的定义：我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线I （I 不经过点F ）距离相等 的点的轨迹叫做AB x , x 2 p -2^（为弦AB 的倾斜角）sin直线与椭圆（或与双曲线、抛物线）相交于 A （x i ,y i ）,B x 2,y 2，则椭圆（或双曲线、抛 物线）的弦长公式：AB x , x 2| —k 2J x , x 2 2 4%卷—k22 2 2 2与椭圆負b 2 1共焦点的椭圆系方程可设为：和冷1 k b 2标准方程2y 2px (p o )图形焦点坐标(p ,0) 2 (匕0) 2 （0月2(0,上) 2准线方程x& 2x E 2 y 舟 yi范围x 0, y R x 0, y Ry 0,x Ry 0,x R对称性 关于x 轴关于y 轴顶点坐标 (0,0)焦半径M X o ,y o|MF | X 。

3.2.2双曲线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养．2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养.(1)复习椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率等性质．(2)用多媒体展示几组焦点在x轴、y轴上开口大小各不相同的双曲线，观察双曲线形状的美．(3)根据椭圆的几何性质，那么双曲线有哪些几何性质呢？1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝ca>1渐近线 y ＝±b a x y ＝±a b x思考：渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？[提示] 渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同． 2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ 2. 3．直线与双曲线的位置关系将y ＝kx ＋m 与x 2a 2－y 2b 2＝1联立消去y 得一元方程(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2kmx －a 2(m 2＋b 2)＝0.Δ的取值 位置关系交点个数 k ＝±b a 时 相交只有一个交点k ≠±b a 且Δ＞0 有两个交点k ≠±b a 且Δ＝0 相切 只有一个交点 k ≠±b a 且Δ＜0相离没有公共点1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线x 22－y 24＝1的焦点在y 轴上．( ) (2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔． ( ) (3)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线有2条． ( )[提示] (1)× (2)√ (3)×2．若等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A ．y 218－x 218＝1B ．x 218－y 218＝1C ．x 28－y 28＝1 D ．y 28－x 28＝1B [由条件知，等轴双曲线焦点在x 轴上，可设方程为x 2a 2－y 2a 2＝1，a 2＋a 2＝62，解得a 2＝18，故方程为x 218－y 218＝1.]3．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．2 [由题意知4a 2－9b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝4，得a ＝1，b ＝3，∴e ＝2.] 4．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________. 5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a >0)， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.]根据双曲线方程研究几何性质离心率和渐近线方程．[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1， ∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .1．把本例双曲线方程“9y2－4x2＝－36”改为“9y2－4x2＝36”，它的性质如何？[解]把方程9y2－4x2＝36化为标准方程为y24－x29＝1，这里a2＝4，b2＝9，c2＝13.焦点在y轴上．所以顶点坐标为(0,2)，(0，－2)，焦点坐标为(0，13)，(0，－13)，实轴长2a＝4，虚轴长2b＝6，离心率e＝ca＝132，渐近线方程为y＝±ab x＝±23x.2．把本例中方程“9y2－4x2＝－36”改为“4x2－9y2＝－4”，它的性质又如何？[解]方程4x2－9y2＝－4可化为标准方程y249－x2＝1，焦点在y轴上，这里a2＝49，b2＝1，c2＝49＋1＝139.所以顶点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，23，⎝⎛⎭⎪⎫0，－23.焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，133，⎝⎛⎭⎪⎫0，－133.实轴长2a＝43，虚轴长2b＝2.离心率e＝ca＝132.渐近线方程为y＝±ab x＝±23x.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．由几何性质求双曲线的(1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (3)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)．[思路探究] 由几何性质求双曲线方程，多是根据题设信息寻找a ，b ，c ，e 之间的关系，并通过构造方程获得问题的解(解出a ，b 或a 2，b 2的值)．[解] (1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则2b ＝8，e ＝ca ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9，故双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)由两顶点间的距离是6得2a ＝6，即a ＝3.由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是有b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1.(3)法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，(－3)2a 2－(23)2b 2＝1，解得a 2＝94，b 2＝4，所以双曲线的方程为4x 29－y 24＝1.当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝43，(23)2a 2－(－3)2b 2＝1，解得a 2＝－4，b 2＝－94(舍去)综上所得，双曲线的方程为4x 29－y 24＝1. 法二：设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)， 将点(－3,23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即4x 29－y 24＝1.1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．2．常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y ＝±n m x 的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0，m ＞0，n ＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0，A ＞0，B ＞0)．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．(4)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)共焦点的双曲线系方程可设为x 2a 2－λ－y 2λ－b 2＝1(b 2＜λ＜a 2)．[跟进训练]1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .[解] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2. 又∵焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)． 把点(－5,3)代入方程，解得a 2＝16. ∴双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1.(3)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94. 当λ＜0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.求双曲线的离心率1．双曲线的离心率的范围怎样？对双曲线的形状有什么影响？[提示] 在双曲线方程中，因为a ＜c ，所以离心率e ＝ca ∈(1，＋∞)，它的大小决定了双曲线的开口大小，e 越大，开口就越大．2．双曲线的离心率与其渐近线斜率有什么关系？[提示] e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2 当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为k ，则e ＝1＋k 2，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为k ，则e ＝1＋1k 2.【例3】 (1)已知双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，则其离心率为________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，求其离心率的值．[思路探究] (1)利用离心率c a 与ba 的关系，注意要分类讨论焦点的位置． (2)利用条件建立齐次方程求解．(1)5或52 [当焦点在x 轴上时，b a ＝2，这时离心率e ＝ca ＝1＋22＝ 5. 当焦点在y 轴上时，ab ＝2，即b a ＝12，这时离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52.] (2)[解] 因为双曲线的右焦点F (c,0)到渐近线y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0的距离为|bc |a 2＋b 2＝bc c ＝b ，所以b ＝32c ，因此a 2＝c 2－b 2＝c 2－34c 2＝14c 2，a ＝12c ，所以离心率e ＝ca ＝2.求双曲线离心率的方法(1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca 得解． (2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2得解．(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋qac ＋ra 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋qe ＋r ＝0求解．[跟进训练]2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．2＋3 [如图，F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，将点P 的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b 2＝1中，得y 2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )， 此时kPF 2＝3b c －2a ＝b a， 得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝ca ＝2＋ 3.]直线与双曲线的位置关系1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？ [提示] 可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．2．过点(0,2)和双曲线x 216－y 29＝1只有一个公共点的直线有几条？ [提示] 四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线． 【例4】 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．[思路探究] 直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的关系⇒直线与双曲线的位置关系．[解] (1)联立方程组⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，则⎩⎨⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠±1. ∴若l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为 (－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝(1＋k 2)(8－4k 2)(1－k 2)2.又∵点O (0,0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝11＋k 2，∴S △AOB ＝12·|AB |·d ＝128－4k 2(1－k 2)2＝2，即2k 4－3k 2＝0，解得k ＝0或k ＝±62. ∴实数k 的值为±62或0.直线与双曲线位置关系的判断方法 (1)方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，在a ≠0的情况下考察方程的判别式．①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． ③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a ＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． (2)数形结合思想的应用①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程．[跟进训练]3．已知双曲线x 24－y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程．[解] 法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k －1，x 24－y 2＝1，消去y ，整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝8k (3k ＋1)4k 2－1.∵A (3，－1)为MN 的中点， ∴x 1＋x 22＝3，即8k (3k ＋1)2(4k 2－1)＝3， 解得k ＝－34.当k ＝－34时， 满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN 的方程为y ＝－34x ＋54， 即3x ＋4y －5＝0.法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∵M ，N 均在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减，得x 22－x 214＝y 22－y 21，∴y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14(y 2＋y 1). ∵点A 平分弦MN ， ∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2. ∴k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14(y 2＋y 1)＝－34.经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)， 即3x ＋4y －5＝0.1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．2．与双曲线有关的其他几何性质(1)通径：过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点作垂直于焦点所在对称轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫做通径，其长度为2b 2a .(2)焦点三角形：双曲线上的点P 与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．设∠F1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积S ＝b 2tan θ2.(3)距离：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上任意一点M 到左焦点的最小距离为a ＋c ，到右焦点的最小距离为c －a .(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率相等的双曲线系方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ＞0)或y 2a 2－x 2b2＝λ(λ＞0)．(5)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线系方程为x 2a 2＋k －y 2b 2－k ＝1(－a 2＜k ＜b 2)．1．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4A [|F 1F 2|＝4，根据双曲线的定义知选A.]2．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( ) A ．31414 B ．324 C ．32 D ．43 C [由题意知a 2＋5＝9，解得a ＝2，故e ＝32.]3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．x 216－y 24＝1 [由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1.]4．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线与双曲线交于A ，B两点，则|AB |＝________.3 [双曲线的左焦点为(－2,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 方程为y ＝33(x ＋2)，即x －3y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋2＝0，x 2－y 23＝1得8y 2－123y ＋9＝0，则y 1＋y 2＝332，y 1y 2＝98. ∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(1＋3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫3322－4×98＝3.]5．直线l 与双曲线x 2－4y 2＝4相交于A ，B 两点，若点P (4,1)为线段AB 的中点，则直线l 的方程是________．x －y －3＝0 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k ，易知k 存在且k ≠0，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 又∵点P (4,1)为线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2. 代入，得(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.因此直线l 的方程是y －1＝1×(x －4)，即x －y －3＝0.]。

【即学即练1】（2023秋·四川南充高二四川省南充高级中学校考期末）设定点P 满足条件125PF PF ，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段【答案】A【详解】因为 10,2F ， 20,2F ，所以4 ，所以5PF PF F F ，所以点的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆.1(,0)F c ，2(,0)F c 1(0,)F c ，2(0,)F c 22023秋·广东广州·高二广州市第八十六中学校考期末）已知ABC 的周长为20，且顶点，则顶点A 的轨迹方程是（）故选：D【变式1】（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）的左、右焦点为12(1,0),(1,0)F F ，且过点【答案】22143x y 【详解】由题知：1c ，①3①当且仅当P 、M 、1F 三点共线时，等号成立，在2PNF 中可得：22PF PN PF 当且仅当P 、N 、2F 三点共线时，等号成立，由① ②得：123PF PF PM 由椭圆方程2212516x y 可得：225a ，即由椭圆定义可得：12210PF PF a 22435MF MF ，则8AF AF ，..题型05【典例1】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆上一点， 2,1B ，则1AB AF A ．7B ．8【详解】设椭圆的半焦距为c ，则 22,0F ，3a ，如图，连接2AF ，则12AB AF AB a AF 221AF BF ，当且仅当2,,A F B 共线且1AF 的最大值为7.由M 为椭圆C 上任意一点，则MF 又N 为圆2:3222E x y ∴ 124MN MF MN MF 当且仅当M 、N 、E 、2F 共线时等号成立故答案为：1,2101【变式1】（2023·全国·高三专题练习）则PA PF 的最小值为【答案】62 /26【变式2】（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）(1,22)A ，则||||PA PF 的最大值为【答案】423 /234【详解】设椭圆的左焦点为 1F【详解】由题意，当椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为：由题意知22x所以曲线C的方程为【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知定圆定圆1C外切和圆2C内切，求动圆圆心【典例2】（2023·长的最大值为（A ．4【答案】D【详解】解：设1F 则由椭圆的定义可得：AF BF AB 【典例3】（2023·全国·高二专题练习）设1F ,F 的直线交椭圆E 于,A B ，113AF BF ，若AB 【答案】5【详解】113AF BF ，AB 4 ，可得1AF 2ABF 的周长为16，则2AB AF 根据椭圆定义可得，121AF AF BF 16，4a ，218F AF A ，AFBF为平行四边形，则1△的周长为AF BF AB AFABF当A，B为椭圆上下顶点时等号成立故选：C【变式3】（2023·北京·101中学校考三模）已知【详解】2F 的内切圆半径为r ，112PF r，2212MPF S PF 122MF F MPF mS S △△1221122r m F F r PF r【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知若1212PF PF PF PF12，则12F PF △的面积为（A ．33B ．23【答案】A【详解】设椭圆221259x y 的长半轴为则5,3a b ，224c a b ，即1228F F c .设12,F P m F P n ，所以由椭圆的定义可得：因为121212PF PF PF PF，所以由数量积的公式可得：121cos 2,PF PF ，所以12,PF PF 在12F PF △中12π3F PF，所以由余弦定理可得：2264m n 由①②可得：12mn ，所以12F PF S 故选：A.【典例2】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知12,F F 分别是椭圆22:194x y C 的左、右焦点，圆C 在第一象限内的一点，若12PF PF ，则12tan PF F ．【答案】12/0.5【详解】由椭圆方程得：3a ，2b ，225c a b ，12225F F c ；【典例4】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆则2||PF ，12F PF 的大小为【答案】2120【详解】∵29a ，22b ，∴22927c a b ，∴1227F F ，又1||4PF ，1||PF则PQF △的周长为PQ PF QF 故选：C.故选：C7．（2023秋·高二课时练习）的最大值为（）A．2B．【答案】D可知124525,55PF c PF c，又知所以2221212PF PF F F ，则1F 由题意，点P 恰好在C 上，根据椭圆定义则122,1,1,2P PF PF a 所以1260F PF ，故B 错；1PFQ △的周长为48a ，A 正确；设21,4F Q m FQ m ，四、解答题13．（2023·全国·高三对口高考）且12F PF ．(1)求PF PF 的最大值和最小值；14．（2023·全国·高二专题练习）椭圆椭圆于,P Q 两点，且PQ PF 【答案】2214x y 【详解】由椭圆的定义得12222a PF PF 1PF ，所以有21PF PF ，2221212PF PF F F ，2222224c ，解得2c∴1．（2023春·四川达州·高二统考期末）椭圆轨迹为圆：2222x y a b ，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆得过点P 能作椭圆2213y x 的两条相互垂直的切线，则12121||||sin(π21||||sin 2DABPF F AD BD S S PF PF 椭圆22:143x y C 中，|F所以2211222F PQ PF Q F PF所以12122MPQ F PF ，所以2F PQ MPQ ，则PM PF 所以1162OQ F M，又Q 为椭圆外的动点，设椭圆的标准方程为2222x y a b。