图形的平移与旋转--知识讲解

旋转与平移现象
知识点1 生活中的旋转现象
问题：你还见过哪些旋转现象?说说看。

讲解：拿起一架纸风车，让风车按顺时针或逆时针方向转动，观察发现风车都是绕着中间的一点转动。

像风车这样，绕着一个中心点(或一个轴)按顺时针或逆时针方向转动的现象，叫做旋转。

仔细观察图中转动的方向盘、风车、车轮、旋转座椅、开关水龙头等，用手势动作模仿这些物体是如何运动的，感知这些物体的运动都是绕着一个中心点转动的，所以这些都是旋转现象。

生活中绕一点旋转的有：钟表上转动的时针、分针，转动的电风扇的扇叶等；绕一轴转动的有：开门、关门时门板的运动等。

总结：物体绕着一个点或一个轴转动的现象叫做旋转，在旋转的过程中，图形的大小、形状不改变。

辅导要领
★结合实例及生活经验感知旋转现象，体会数学与生活的联系。

★在实际生活中，可以借助身边的物体进行旋转现象的直观感知，要指出是绕着哪个点或轴旋转的。

冰箱门和房门的转动，如图：
时针、分针和电风扇扇叶的转动，如图：
仰卧起座时上半身的运动，如图：。

北师大版数学六年级下册-打印版
在方格纸上用平移、旋转将图形的位置还原问题导入如下图，七巧板中有两个图形移动了位置。

(1)你能通过平移将图①移入七巧板相应的位置吗？
(2)你能通过平移和旋转将图②移入七巧板相应的位置吗？
过程讲解
1．观察运动前后的图形
通过观察可知，图①运动后，只是位置发生了变化，自身方向没有变化，通过向上、向左两次平移就可以将图①的位置还原；图②运动后，位置和自身方向都发生了变化，可以通过先旋转再平移或先平移再旋转将图②的位置还原。

2．将运动后的图形的位置还原
(1)将图①移入七巧板相应的位置。

将图①先向上平移4格，再向左平移10格。

(2)将图②移入七巧板相应的位置。

方法一将图②先绕直角的顶点逆时针旋转90°，再向左平移9格。

方法二将图②先向左平移9格，再绕直角的顶点逆时针旋转90°。

归纳总结
利用平移、旋转可以将图形的位置还原。

数学平移和旋转教学教案第一章：平移的概念和性质1.1 平移的定义解释平移的概念，让学生理解平移是将图形沿着某一方向移动一定的距离，而不改变图形的形状和大小。

举例说明平移的应用，如在实际生活中的平移现象。

1.2 平移的性质讨论平移的几个重要性质：平移不改变图形的形状和大小；平移的逆操作是反向的平移，即返回原来的位置；平移的合成：两个平移可以合并为一个平移。

1.3 练习题设计一些练习题，让学生巩固对平移概念和性质的理解。

第二章：平移的计算2.1 点的平移计算讲解如何计算一个点在平移变换下的坐标变化，即在平移向量的作用下，点的坐标发生的变化。

2.2 直线的平移计算讲解如何计算一条直线在平移变换下的平移，即直线上所有点的坐标变化。

2.3 练习题设计一些练习题，让学生掌握点的平移计算和直线的平移计算。

第三章：旋转的概念和性质3.1 旋转的定义解释旋转的概念，让学生理解旋转是将图形绕着一个固定点旋转一定的角度，而不改变图形的形状和大小。

举例说明旋转的应用，如在实际生活中的旋转现象。

3.2 旋转的性质讨论旋转的几个重要性质：旋转不改变图形的形状和大小；旋转的正逆操作是相反的旋转，即旋转方向相反；旋转的角度可以测量，旋转角度的单位通常是度或弧度。

3.3 练习题设计一些练习题，让学生巩固对旋转概念和性质的理解。

第四章：旋转的计算4.1 点的旋转计算讲解如何计算一个点在旋转变换下的坐标变化，即在旋转向量和旋转中心的作用下，点的坐标发生的变化。

4.2 直线的旋转计算讲解如何计算一条直线在旋转变换下的旋转，即直线上所有点的坐标变化。

4.3 练习题设计一些练习题，让学生掌握点的旋转计算和直线的旋转计算。

第五章：平移和旋转的应用5.1 平移和旋转在几何作图中的应用讲解平移和旋转在几何作图中的应用，如利用平移和旋转来构造特定的几何图形。

5.2 平移和旋转在实际生活中的应用讲解平移和旋转在日常生活中的应用，如在设计、建筑、艺术等领域中的应用。

一、复习预习(1)平移的概念（2）平移的特点(3)平移的基本性质火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动的，那么在运动的过程中这些物体的形状、大小、位置等因素中,哪些没有发生改变? 哪些发生了变化?这种运动就叫做什么？为解决这一问题，我们讲今天的内容。

二、知识讲解知识点1 平移、旋转和轴对称的区别和联系（1）区别。

①三者概念的区别：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转；在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠。

如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称。

②三者运动方式不同：平移是将图形沿某个方向移动一定的距离。

旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。

③对应线段、对应角之间的关系不同：平移变换前后图形的对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连的线段平行且相等；对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。

轴对称的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上：对应点的连线被对称轴垂直平分。

旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋转角。

④三者作图所需的条件不同：平移要有平移的方向和平移的距离，旋转要有旋转中心、旋转方向和旋转角：轴对称要有对称轴。

（2）联系。

①它们都在平面内进行图形变换②它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，因此变换前后的两个图形全等。

③都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。

知识点2 组合图案的形成（1）确定图案中的“基本图案”。

（2）发现该图案各组成部分之间的内在联系。

（3）探索该图案的形成过程：运用平移、旋转、轴对称分析各个组成部分如何通过“基本图案”演变成“形”的。

要用运动的观点、整体的思想分析“组合图案”的形成过程。

运动的观点就是要求我们不能静止地挖掘“基本图案”与“组合图案”的内在联系，头脑中应想象、再现图案形成的过程，做到心中有数，特别是有的图案含有不同的“基本图案”其形成的方式也多种多样，可以通过平移、旋转、轴对称变换中的一种或两种变换方式来实现，也可以通过同一种变换方式的重复使用来实现。

数学平移和旋转教学教案第一章：平移和旋转的概念介绍1.1 平移的定义向学生介绍平移的概念，解释物体在平面上沿着某一方向移动，所有点都按照同一方向和距离移动。

通过实际操作，让学生观察图形在平面上进行平移，并记录下移动的方向和距离。

1.2 旋转的定义向学生介绍旋转的概念，解释物体在平面上绕着一个固定点进行旋转，所有点都按照相同的角度和方向旋转。

通过实际操作，让学生观察图形在平面上进行旋转，并记录下旋转的中心点、角度和方向。

第二章：平移和旋转的性质2.1 平移的性质向学生讲解平移的性质，包括：保持图形的形状和大小不变，只改变图形的位置。

通过实际操作，让学生观察图形在平面上进行平移，并验证平移后图形的形状和大小是否发生变化。

2.2 旋转的性质向学生讲解旋转的性质，包括：保持图形的形状和大小不变，只改变图形的位置和方向。

通过实际操作，让学生观察图形在平面上进行旋转，并验证旋转后图形的形状和大小是否发生变化。

第三章：平移和旋转的图形变换3.1 利用平移进行图形变换向学生介绍如何利用平移对图形进行变换，例如：将一个三角形平移一定的距离和方向，得到一个新的三角形。

通过实际操作，让学生练习利用平移对图形进行变换，并记录下变换的过程和结果。

3.2 利用旋转进行图形变换向学生介绍如何利用旋转对图形进行变换，例如：将一个三角形绕着一个固定点旋转一定的角度，得到一个新的三角形。

通过实际操作，让学生练习利用旋转对图形进行变换，并记录下变换的过程和结果。

第四章：平移和旋转在实际应用中的例子4.1 利用平移解决实际问题向学生提供一些实际问题，例如：将一幅图片在墙上移动到合适的位置，让学生利用平移的知识解决这些问题。

通过实际操作，让学生练习利用平移解决实际问题，并记录下解决问题的过程和结果。

4.2 利用旋转解决实际问题向学生提供一些实际问题，例如：将一个玩具车旋转到正确的方向，让学生利用旋转的知识解决这些问题。

通过实际操作，让学生练习利用旋转解决实际问题，并记录下解决问题的过程和结果。

《平移和旋转》教案五篇（教案）20232024学年数学三年级下册北师大版作为一名经验丰富的教师，我深知教学的重要性在于引导学生理解并掌握知识。

下面是我根据《平移和旋转》这一课题，为北师大版三年级下册数学教案所设计的教学内容。

一、教学内容今天我们要学习的是北师大版三年级下册数学的第四章《平面几何》中的第二个主题《平移和旋转》。

我们将通过学习，了解平移和旋转的概念，掌握它们的基本性质和运用。

二、教学目标1. 了解平移和旋转的定义及其区别。

2. 能够识别和绘制简单的平移和旋转图形。

3. 理解平移和旋转对图形的影响，并能够运用平移和旋转解决实际问题。

三、教学难点与重点重点：理解平移和旋转的概念，掌握它们的性质和运用。

难点：理解平移和旋转对图形的影响，以及如何运用平移和旋转解决实际问题。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、PPT学具：练习本、彩笔五、教学过程1. 引入：通过展示一个滑滑梯的动画，让学生观察并描述滑滑梯的运动，引出平移的概念。

2. 讲解：用PPT展示平移的定义和性质，通过实例讲解平移对图形的影响。

3. 练习：让学生绘制一个简单的图形，并进行平移操作。

4. 讲解：引入旋转的概念，用PPT展示旋转的定义和性质，通过实例讲解旋转对图形的影响。

5. 练习：让学生绘制一个简单的图形，并进行旋转操作。

6. 应用：通过实际问题，让学生运用平移和旋转解决实际问题。

六、板书设计板书设计如下：平移：定义：图形在平面内沿某一方向移动一定的距离。

性质：移动后的图形与原图形形状和大小不变，位置改变。

旋转：定义：图形在平面内围绕某一点旋转一定的角度。

性质：旋转后的图形与原图形形状和大小不变，位置改变。

七、作业设计作业题目：1. 绘制一个正方形，并进行平移操作。

2. 绘制一个三角形，并进行旋转操作。

答案：1. 平移后的正方形位置改变，但形状和大小不变。

2. 旋转后的三角形位置改变，但形状和大小不变。

八、课后反思及拓展延伸课后反思：通过本节课的学习，学生是否能理解并掌握平移和旋转的概念，以及它们的性质和运用，是我课后需要反思的地方。

《平移和旋转》公开课教案第一章：平移和旋转的概念1.1 平移的定义引导学生了解平移的概念，通过实际操作，让学生感受平移的特性。

举例说明平移在实际生活中的应用，如滑滑梯、拉抽屉等。

1.2 旋转的定义引导学生了解旋转的概念，通过实际操作，让学生感受旋转的特性。

举例说明旋转在实际生活中的应用，如钟表指针的转动、风车的转动等。

第二章：平移和旋转的性质2.1 平移的性质引导学生探究平移的性质，如平移不改变图形的形状和大小，只改变位置。

通过实际操作和图形展示，让学生理解平移的规律。

2.2 旋转的性质引导学生探究旋转的性质，如旋转不改变图形的形状和大小，只改变位置。

通过实际操作和图形展示，让学生理解旋转的规律。

第三章：平移和旋转的计算3.1 平移的计算引导学生了解平移的计算方法，如平移的距离和方向。

通过实际操作和例题，让学生掌握平移的计算技巧。

3.2 旋转的计算引导学生了解旋转的计算方法，如旋转的角度和中心点。

通过实际操作和例题，让学生掌握旋转的计算技巧。

第四章：平移和旋转的应用4.1 平移的应用引导学生了解平移在实际生活中的应用，如建筑设计、游戏设计等。

通过实际操作和案例分析，让学生学会运用平移解决实际问题。

4.2 旋转的应用引导学生了解旋转在实际生活中的应用，如机械设计、舞蹈编排等。

通过实际操作和案例分析，让学生学会运用旋转解决实际问题。

第五章：平移和旋转的综合练习5.1 平移和旋转的综合练习题提供一些综合练习题，让学生运用平移和旋转的知识解决问题。

引导学生进行练习，并提供解答和解析。

第六章：平移和旋转的图形变换6.1 平移的图形变换引导学生了解平移对图形的影响，如改变图形的位置，但不改变图形的形状和大小。

通过实际操作和图形变换，让学生理解平移的规律和特点。

6.2 旋转的图形变换引导学生了解旋转对图形的影响，如改变图形的位置和方向，但不改变图形的形状和大小。

通过实际操作和图形变换，让学生理解旋转的规律和特点。

知识讲解【知识点一】平移现象观察下面的运动现象，你有什么发现？过程讲解1、观图，明确物体运动的特点(1)观光缆车和推拉门是沿水平方向的直线运动，而观光梯是沿竖直方向的直线运动。

(2)运动过程中三个物体的大小、形状和方向都没有发生变化。

(3)三个物体的位置都发生了变化。

2、明确“平移”的意义像推拉门、观光缆车和观光梯那样，无论是沿水平方向的运动，还是沿竖直方向的运动，在运动过程中，物体本身的方向不发生改变，把这种运动现象称为平移。

3、列举生活中的平移现象生活中的平移现象有很多，例如：火车站、飞机场运送行李的传送带上行李的移动；电视机在流水线上的移动；电梯的上升、下降；抽屉的推和拉……归纳总结【知识点二】通过平移能够相互重合的图形的特点移一移，下面哪几座小房子可以通过平移相互重合？这几座小房子的形状、大小完全相同，但方向不完全相同，只有①④⑤这几座小房子的方向相同。

2、找出通过平移能够相互重合的小房子根据平移的特点，物体在平移时，位置发生变化，但方向不发生改变，所以可知①④⑤这几座小房子通过上、下、左、右的平移能够相互重合。

归纳总结只有形状、大小、方向完全相同的图形通过平移才能够相互重合。

【知识点三】旋转现象观察下面的运动现象，你有什么发现？过程讲解1、观图，明确物体运动的特点风车、旋转小飞机和直升机螺旋桨的转动，都是绕着同一个点(或轴)来做圆周运动的。

2、明确“旋转”的意义像这样，物体绕着一个点或轴进行圆周运动的现象就是旋转。

3、列举生活中的旋转现象生活中的旋转现象有很多，例如：钟表上指针的转动；电风扇扇叶的转动；司机开车时方向盘的转动……归纳总结物体绕着一个点或轴进行圆周运动的现象就是旋转。

【知识点四】运用对称知识解决实际问题你能剪出像下面这样手拉手的4个小人吗？(1)剪出的4个小人形状、大小完全相同，而且是手拉手相连的。

(2)每个小人都是轴对称图形。

2、实际操作，剪一剪(1)剪1个小人的方法。

《轴对称、平移与旋转》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1.了解轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用；4.掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．要点诠释：（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．要点诠释：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．要点二、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.２．旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.３．旋转作图步骤①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.４．中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.5．中心对称作图步骤①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.要点诠释：图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.要点三、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2．轴对称变换的性质①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3．轴对称作图步骤①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的．要点四、图形的全等1. 全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.2. 全等多边形（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.3. 全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.（1）全等三角形的性质全等三角形的对应边、对应角分别相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.（2）全等三角形的判定如果两个全等三角形的边、角分别对应相等，那么这两个全等三角形全等.【典型例题】类型一、平移变换1. 阅读理解题．（1）两条直线a，b相交于一点O，如图①，有两对不同的对顶角；（2）三条直线a，b，c相交于点O，如图②，则把直线平移成如图③所示的图形，可数出6对不同的对顶角；（3）四条直线a，b，c，d相交于一点O，如图④，用（2）的方法把直线c平移，可数出对不同的对顶角；（4）n条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角；（5）2013条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角．【思路点拨】（3）画出图形，根据图形得出即可；（4）根据以上能得出规律，有n（n-1）对不同的对顶角；（5）把n=2013代入求出即可．【答案与解析】解：（3）如图有12对不同的对顶角，故答案为：12．（4）有n（n-1）对不同的对顶角，故答案为：n（n-1）；（5）把n=2013代入得：2013×（2013-1）=4050156，故答案为：4050156．【总结升华】本题考查了平移与对顶角的应用，关键是能根据题意得出规律．2．操作与探究：对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是-3，则点A′表示的数是________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是_____；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是__________．【思路点拨】（根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解；【答案】0；3；3 2 .【解析】解：点A′：-3×13+1=-1+1=0，设点B表示的数为a，则13a+1=2，解得a=3，设点E表示的数为b，则13b+1=b，解得b=32；故答案为：0；3；32.【总结升华】耐心细致的读懂题目信息是解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移距离是边BC长的两倍，则图中四边形ACED的面积为（）A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．无法确定【答案】B.四边形ABED是平行四边形且S四边形ABED=S四边形ACFD，而S四边形ACED=S四边形ABED-S△ABC．类型二、旋转变换3．正方形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，F是OB上一点，且OE=OF，回答下列问题：（1）在图中1，可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法，使△OAF变到△OBE的位置．请说出其变化过程．（2）指出图（1）中AF和BE之间的关系，并证明你的结论．（3）若点E、F分别运动到OB、OC的延长线上，且OE=OF（如图2），则（2）中的结论仍然成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明你的理由．【思路点拨】（1）根据图形特点即可得到答案；（2）延长AF交BE于M，根据正方形性质求出AB=BC，∠AOB=∠BOC，证△AOF≌△BOE，推出AF=BE，∠FAO=∠EBO，根据三角形内角和定理证出即可；（3）延长EB交AF于N，根据正方形性质推出∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，得到∠ABF=∠BCE，同法可证△ABF≌△BCE，推出AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可．【答案与解析】解：（1）旋转，以点O为旋转中心，逆时针旋转90度．（2）图（1）中AF和BE之间的关系：AF=BE；AF⊥BE．证明：延长AF交BE于M，∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OB，∴∠AOB=∠BOC=90°，在△AOF和△BOE中∴△AOF≌△BOE（SAS），∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，∵∠EBO+∠OEB=90°，∴∠FAO+∠OEB=90°，∴∠AME=90°，∴AF⊥BE，即AF=BE，AF⊥BE．（3）成立；证明：延长EB交AF于N，∵正方形ABCD，∴∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，∵∠ABF+∠ABD=180°，∠BCE+∠ACB=180°，∴∠ABF=∠BCE，∵AB=BC，BF=CE，∴△ABF≌△BCE，∴AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°，∴∠E+∠FAB=45°，∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°，∴∠ANE=180°-90°=90°，∴AF⊥BE，即AF=BE，AF⊥BE．【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，旋转的性质等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．4. 如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是BA延长线上一点，且AE=12 AB．①你认为可以通过平移、轴对称、旋转中的哪一种方法使△ABF变到△ADE的位置？若是旋转，指出旋转中心和旋转角．②线段BF和DE之间有何数量关系？并证明．【思路点拨】（1）把△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ADE；（2）根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAF=∠EAD，又F是AD的中点，AE=12AB，则AE=AF，根据旋转的定义得到△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD，AF旋转到AE，于是有BF=DE．【答案与解析】解：（1）可以通过旋转使△ABF变到△ADE的位置，即把△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ADE；（2）线段BF和DE的数量关系是相等．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠EAD，∵F是AD的中点，AE=12 AB，∴AE=AF，∴△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD，AF旋转到AE，即F点与E点重合，B点与D点重合，∴BF与DE为对应线段，∴BF=DE．【总结升华】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质．举一反三：【变式】如下图，等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是；平移的距离是；△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是；旋转角度是度．【答案】解：等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是水平向右；平移的距离是AB或BD；△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是B；旋转角度是120度．类型三、轴对称变换5．现有如图①的瓷砖若干块．（l）用两块这样的瓷砖拼成一个长方形，使拼成的图案呈轴对称图形，请在图②的两个长方形中各画出一种拼法（要求两种拼法不同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）；（2）用四块如图①的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图③的三个正方形中各画出一种拼法，要求同（1）；（3）在第（1）题中，请你计算用如图①的瓷砖拼成的所有长方形中，是轴对称图形的成功率是多少？【思路点拨】（1）根据用两块这样的瓷砖拼成一个长方形，使拼成的图案呈轴对称图形，利用轴对称图形的性质拼凑即可；（2）利用轴对称图形的性质拼凑即可；（3）根据所有是轴对称图形的个数，以及拼凑总数即可求出是轴对称图形的成功率．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）∵所有拼凑图形是16种，是轴对称图形的个数是4种，∴是轴对称图形的成功率为：41 164．【总结升华】此题考查了利用轴对称设计图案的知识，同时考查了学生的动手实践能力和逻辑思维能力．趣味性强，便于操作，是一道好题．举一反三：【变式】（2015秋•睢宁县期中）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．解：如图所示：蓝色正方形位置都能使此图形是轴对称图形，类型四、图形的全等6. （2016春•蓝田县期中）如图，在下列4个正方形图案中，与左边正方形图案全等的图案是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断，对选择项逐个与原图对比验证．【答案】C．【解析】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形．A、B、D图案均与题干中的图形不重合，所以不属于全等的图案，C中的图案旋转180°后与题干中的图形重合．故选C．【总结升华】本题考查的是全等图形的识别，主要根据全等图形的定义做题．。