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![[精]高三第一轮复习全套课件3数列：数列的综合应用](https://uimg.taocdn.com/3eccd40a4a7302768e993947.webp)
数列的综合应用要点梳理1.解答数列应用题的基本步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.2.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. (3)分期付款模型：设贷款总额为a ，年利率为r,等额还款数为b,分n 期还完，则b= 基础自测1.数列{a n }是公差不为0的等差数列且a 7、a 10、a 15是等比数列{b n }的连续三项，若等比数列{b n }的首项b 1=3,则b 2等于（ ） A. B.5 C.2 D. 2.一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为13 958，则出齐这套书的年份是 （ ） A.1994 B.1996 C.1998 D.2000 3.等差数列{a n }的公差不为零,首项a 1=1,a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列{a n }的前10项之和是 （ ） A.90 B.100 C.145 D.1904.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 （ ）A.6秒B.7秒C.8秒D.9秒5.已知数列{a n }中，a 1=2，点（a n-1,a n ） (n ＞1且n ∈N)满足y=2x-1，则a 1+a 2+…+a 10= .题型分类 深度剖析题型一 等差数列与等比数列的综合应用【例1】数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=1,a n+1=2S n +1 (n ≥1).（1）求{a n }的通项公式；（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3=15，又a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列，求T n .知能迁移1 设等差数列{a n }的前n项和为S n ,公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ,(1).(1)1nn r r a r ++-24595已知a 1=1,b 1=3,a 3+b 3=17,T 3-S 3=12,求{a n },{b n }的通项公式.题型二 数列与函数的综合应用【例2】已知f(x)=log a x(a ＞0且a ≠1)，设f(a 1),f(a 2),…,f(a n ) (n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列.（1）设a 为常数，求证：{a n }是等比数列；（2）若b n =a n f(a n ),{b n }的前n 项和是S n ,当,求S n .知能迁移2 设等比数列{a n }的前n 项和S n ，首项a 1=1,公比q=f ( ≠-1,0). （1）证明：S n =（1+ ）- a n ；（2）若数列{b n }满足b 1= ,b n =f(b n-1) (n ∈N *,n ≥2),求数列{b n }的通项公式;（3）若 =1,记c n =a n ,数列{c n }的前n 项和为T n ,求证:当n ≥2时,2≤T n <4.题型三 数列的实际应用【例3】假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)()λ1λλ=+λλλ121(1)nb -λ知能迁移3 某市2008年共有1万辆燃油型公交车,有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,试问:(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车? (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ?(lg 657=2.82,lg 2=0.30, lg 3=0.48)一、选择题1.各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2， a 3，a 1成等差数列，则 的值为 （ ） A.B.C.或 2.数列{a n }中,a n =3n-7 (n ∈N *), 数列{b n }满足b 1= ,b n-1=27b n (n ≥2且n ∈N *),若a n +log k b n 为常数,则满足条件的k 值 （ ）A.唯一存在,且为B.唯一存在,且为3C.存在且不唯一D.不一定存在 3.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是 （ ）A.4B.5C.6D.74.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为 元(n ∈N *), 使用它直至报废最合算（所谓报 废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少）为止,一共使用了 （ ）A.800天B.600天C.1 000天D.1 200天5.2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾.大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且当天人均捐款数比前一天多5元，则截止到第5天（包括第5天）捐款总数将达到 （ ）A.4 800元B.8 000元C.9 600元D.11 200元6.已知数列{a n },{b n }满足a 1=1,且a n ,a n+1是函数f(x)=x 2-b n x+2n 的两个零点，则b 10等于 （ ）A.24B.32C.48D.64二、填空题 7.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=-2,a n+2=- ,则该数列前26项的和为 .8.将全体正整数排成一个三角形数 阵：1312454a a a +121212-134910n +1n a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10¡¡¡¡¡¡¡¡按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 .9.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 .三、解答题10.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.（1）以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；（2）因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？（保留一位小数）参考数据：0.910≈0.35.11.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且（3-m ）S n +2ma n =m+3（n ∈N *）.其中m 为常数，m ≠-3,且m ≠0.（1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比满足q=f(m)且b 1=a 1,b n =f(b n-1)(n ∈N *,n ≥2),求证： 为等差数列,并求b n .12.一辆邮政车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A 和终点站B ），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列{a k } (k=1,2,3,…,n).试求：（1）a 1,a 2,a 3;（2）邮政车从第k 站出发时，车内共有邮袋数多少个？（3）求数列{a k }的前k 项和S k .1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭。
《数列综合应用举例》教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
3. 通过对数列的综合应用举例，使学生理解数列在数学和自然科学领域中的重要性。
二、教学内容：1. 等差数列的应用举例：例如计算工资、利息等问题。
2. 等比数列的应用举例：例如计算复利、人口增长等问题。
3. 数列的求和公式及应用：例如求等差数列、等比数列的前n项和等问题。
4. 数列的通项公式的应用：例如求等差数列、等比数列的第n项等问题。
5. 数列在函数中的应用：例如数列与函数的关系、数列的函数性质等问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的基本概念、性质和求和公式。
2. 教学难点：数列的通项公式的理解和应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习数列知识。
2. 利用多媒体课件，直观展示数列的应用实例，提高学生的学习兴趣。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。
五、教学安排：1. 第一课时：等差数列的应用举例。
2. 第二课时：等比数列的应用举例。
3. 第三课时：数列的求和公式及应用。
4. 第四课时：数列的通项公式的应用。
5. 第五课时：数列在函数中的应用。
6. 剩余课时：进行课堂练习和课后作业的辅导。
六、教学目标：1. 深化学生对数列求和公式的理解，能够熟练运用求和公式解决复杂数列问题。
2. 培养学生运用数列知识进行数据分析的能力，提高学生的数学素养。
3. 通过对数列图像的观察，使学生理解数列与函数之间的关系。
七、教学内容：1. 数列图像的绘制与分析：学习如何绘制数列图像，并通过图像观察数列的特点。
2. 数列与函数的联系：探讨数列与函数之间的关系，理解数列可以看作是函数的特殊形式。
3. 数列在数据分析中的应用：例如，利用数列分析数据的变化趋势，预测未来的数据。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：数列图像的绘制方法，数列与函数的关系，数列在数据分析中的应用。
第5讲数列的综合应用一、考点、热点回顾1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题。
2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力。
【复习指导】1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算。
2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等。
3．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法。
基础梳理1．等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意。
(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么。
(3)求解——求出该问题的数学解。
(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中。
3．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差。
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比。
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n ＋1的递推关系，还是S n与S n＋1之间的递推关系。
一条主线数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解。
两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)数列与不等式结合时需注意放缩．(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2的值为( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10解析 由题意知：a 23＝a 1a 4.则(a 2＋2)2＝(a 2－2)(a 2＋4)，解得：a 2＝－6. 答案 B 2．(·运城模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则S 4＝( )． A ．7 B ．8 C ．15 D ．16解析 设数列{a n }的公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，∴q ＝2.∴S 4＝1－241－2＝15. 答案 C3．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定 解析 记等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝2b 7，又数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6)＝a 6⎝⎛⎭⎫1＋q 6q 3＝b 7⎝⎛⎭⎫1＋q 6q 3，又1＋q 6q 3＝1q 3＋q 3≥2(当且仅当q ＝1时，等号成立)，∴a 3＋a 9≥2b 7，即a 3＋a 9≥b 4＋b 10. 答案 B4．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )． A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4解析 由c ，a ，b 成等比数列可将公比记为q ，三个实数a ，b ，c ，待定为cq ，cq 2，c .由实数a 、b 、c 成等差数列得2b ＝a ＋c ，即2cq 2＝cq ＋c ，又等比数列中c ≠0，所以2q 2－q －1＝0，解一元二次方程得q ＝1(舍去，否则三个实数相等)或q ＝－12，又a ＋3b ＋c ＝a ＋3aq ＋a q ＝－52a ＝10，所以a ＝－4.答案 D 5．(·苏州质检)已知等差数列的公差d ＜0，前n 项和记为S n ，满足S 20＞0，S 21＜0，则当n ＝________时，S n 达到最大值．解析 ∵S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)＞0， S 21＝21a 11＜0，∴a 10＞0，a 11＜0， ∴n ＝10时，S n 最大． 答案 10考向一 等差数列与等比数列的综合应用【例1】►在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)令b n ＝2a n －10，证明：数列{b n }为等比数列．[审题视点] 第(1)问列首项a 1与公差d 的方程组求a n ；第(2)问利用定义证明． (1)解 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10.(2)证明 由(1)，得b n ＝2a n －10＝22n＋10－10＝22n ＝4n ，∴b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4.∴{b n }是首项是4，公比q ＝4的等比数列．对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．【训练1】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15， 又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1. (2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9， 由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d 1＝2，d 2＝－10.∵等差数列{b n }的各项为正，∴d ＞0，∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .考向二 数列与函数的综合应用【例2】►等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[审题视点] 第(1)问将点(n ，S n )代入函数解析式，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，得到a n ，再利用a 1＝S 1可求r . 第(2)问错位相减求和．解 (1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1·(b －1)，由于b ＞0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1.T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， ∴T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等．【训练2】 (·福建)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．解 (1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33)1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1. 又0＜φ＜π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 考向三 数列与不等式的综合应用【例3】►(·惠州模拟)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn＜k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由．[审题视点] 第(1)问由等比数列的性质转化为a 3＋a 5与a 3a 5的关系求a 3与a 5；进而求a n ；第(2)问先判断数列{b n }，再由求和公式求S n ；第(3)问由S n n 确定正负项，进而求S 11＋S 22＋…＋S nn的最大值，从而确定k 的最小值．解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×⎝⎛⎭⎫12n －1＝25－n. (2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1，b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴S n ＝n (9－n )2.(3)由(2)知S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n2.当n ≤8时，S n n ＞0；当n ＝9时，S nn ＝0；当n ＞9时，S nn＜0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn ＝18最大．故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn＜k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19.解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理． 【训练3】 (·岳阳模拟)已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值．(1)解 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28， 可得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32. 又∵数列{a n }单调递增，所以q ＝2，a 1＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)因为b n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ，所以S n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )，2S n ＝－[1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1]， 两式相减，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1.要使S n ＋n ·2n ＋1＞50，即2n ＋1－2＞50，即2n ＋1≥52.易知：当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32＜50；当n ≥5时，2n ＋1≥26＝64＞50.故使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值为5.难点突破14——数列与解析几何、三角的交汇问题从近几年新课标高考试题可以看出，不同省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握．数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决． 一、数列与解析几何交汇 【示例】► (·陕西)如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n .记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.二、数列与三角交汇【示例】►(·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作T n，再令a n＝lg T n，n≥1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝tan a n·tan a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n.。
数列综合应用1————用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中, 是历年高考命题的热点,这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法,而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩,二是先放缩再求和．二、典例讲解1．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足 12+=n n a S ,试求：1数列{}n a 的通项公式；2设11+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和 为n B ,求证：21<nB 2. 先放缩再求和①．放缩后成等差数列,再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 且22n n n a a S +=.1 求证：2214n n n a a S ++<； 2<⋅⋅⋅< ②．放缩后成等比数列,再求和例3．1设a ,n ∈N ,a ≥2,证明：n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2；2等比数列{a n }中,112a =-,前n 项的和为A n , 且A 7,A 9,A 8成等差数列．设nn n a a b -=12,数列{b n } 前n 项的和为B n ,证明：B n ＜13．③．放缩后为差比数列,再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ,)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证： 11213-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消,再求和例5．在mm ≥2个不同数的排列P 1P 2…P n 中, 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j 即前面某数大于后面某数, 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ,如排列21的逆序数11=a ,排列321的 逆序数63=a ．1求a 4、a 5,并写出a n 的表达式；2令nn n n n a a a a b 11+++=,证明： 32221+<++<n b b b n n ,n =1,2,….高考真题再现：1.06浙江卷已知函数32()f x x x =+,数列{}n x n x ＞0的第一项1x ＝1,以后各项按如下方式取定： 曲线()y f x =在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过0,0和n x ,()n f x 两点的直线平行如图求证：当*n N ∈时,Ⅰ221132n n n n x x x x +++=+； Ⅱ21)21()21(--≤≤n n n x ;2.06福建卷已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈I 求数列{}n a 的通项公式；II 证明：*122311...().232n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈3.07浙江已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -， 是关于x 的方程023)23(2=⋅++-k k k x k x 的两个根,且212(123)k k a a k-=≤，，，． I 求1a ,2a ,3a ,7a ；II 求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；Ⅲ记sin 1()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, (2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…, 求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．4.07湖北已知m n ，为正整数,I 用数学归纳法证明：当1x >-时, (1)1m x mx ++≥；II 对于6n ≥,已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭, 求证1132m m m n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,12m n =，，，； III 求出满足等式34(2)(3)n n n m n n ++++=+ 的所有正整数n ．5. 08辽宁在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==, 且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. ⑴求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项 公式,并证明你的结论;⑵证明:1122111512n n a b a b a b +++<+++.数列综合应用1————用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中, 是历年高考命题的热点,这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法,而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩,二是先放缩再求和．二、典例讲解1．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足 12+=n n a S ,试求：1数列{}n a 的通项公式；2设11+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和 为n B ,求证：21<nB2. 先放缩再求和①．放缩后成等差数列,再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 且22n n n a a S +=.1 求证：2214n n n a a S ++<；2<⋅⋅⋅<②．放缩后成等比数列,再求和例3．1设a ,n ∈N ,a ≥2,证明：n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2；2等比数列{a n }中,112a =-,前n 项的和为A n , 且A 7,A 9,A 8成等差数列．设nn n a a b -=12,数列{b n } 前n 项的和为B n ,证明：B n ＜13．③．放缩后为差比数列,再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ,)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证： 11213-++-≥>n n n n a a④．放缩后为裂项相消,再求和例5．在mm ≥2个不同数的排列P 1P 2…P n 中, 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j 即前面某数大于后面某数, 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ,如排列21的逆序数11=a ,排列321的 逆序数63=a ．1求a 4、a 5,并写出a n 的表达式；2令nn n n n a a a a b 11+++=,证明： 32221+<++<n b b b n n ,n =1,2,….高考真题再现：1.06浙江卷已知函数32()f x x x =+,数列{}n x n x ＞0的第一项1x ＝1,以后各项按如下方式取定： 曲线()y f x =在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过0,0和n x ,()n f x 两点的直线平行如图求证：当*n N ∈时,Ⅰ221132n n n n x x x x +++=+； Ⅱ21)21()21(--≤≤n n n x ;2.06福建卷已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈I 求数列{}n a 的通项公式；II 证明：*122311...().232n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈3.07浙江已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -， 是关于x 的方程023)23(2=⋅++-k k k x k x 的两个根,且212(123)k k a a k-=≤，，，． I 求1a ,2a ,3a ,7a ；II 求数列{}n a 的前2n 项和2n S ； Ⅲ记sin 1()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, (2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…, 求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．4.07湖北已知m n ，为正整数,I 用数学归纳法证明：当1x >-时, (1)1m x mx ++≥；II 对于6n ≥,已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭, 求证1132m m m n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,12m n =，，，； III 求出满足等式34(2)(3)n n n m n n ++++=+ 的所有正整数n ．5. 08辽宁在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==, 且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. ⑴求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; ⑵证明:1122111512n n a b a b a b +++<+++.。
第四章 数列§4.3数列的综合应用一、知识导学1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求S n 还是求a n .一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.二、疑难知识导析1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n na a a a 或解决；2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公式时，勿忘分类讨论思想； 3.等差数列中, a m =a n + (n －m)d, nm a a dn m --=; 等比数列中，a n =a m q n-m ; mn mn a a q=-4.当m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈+N ）时，对等差数列｛a n ｝有：a m +a n =a p +a q ；对等比数列｛a n ｝有：a m a n =a p a q ；5.若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n +bb n }(k 、b 是非零常数)是等差数列；若{a n }、{b n }是等比数列，则｛ka n ｝、{a n b n }等也是等比数列；6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a 1+a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9…）仍是等差（或等比）数列；7.对等差数列｛a n ｝,当项数为2n 时，S 偶-S 奇＝nd ；项数为2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中（n ∈+N ）；8.若一阶线性递推数列a n =ka n －1+b （k ≠0,k ≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1(11-+=-+-k b a k k b a n n(n ≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；三、经典例题导讲[例1]设{}n a 是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和.证明：12122121l o g 2l o g l o g +++n n n S S S ＞。
2020年高考数学（理）总复习：数列的求和及综合应用题型一 数列求和 【题型要点】(1)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．(2)裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n ＝f (n ＋1)－f (n )的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如1+n n a a c(其中{a n }是各项均不为0的等差数列，c 为常数)的数列等．(3)错位相减法：形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．(4)倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．(5)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .(6)归纳猜想法：通过对S 1，S 2，S 3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出S n ，然后用数学归纳法给出证明．【例1】已知各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，若S 3＝b 5＋1，b 4是a 2和a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)∵数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，∴b 5＝6，b 4＝4，设各项为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0， ∵S 3＝b 5＋1＝7，∴a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，① ∵b 4是a 2和a 4的等比中项，∴a 2·a 4＝a 23＝16，解得a 3＝a 1q 2＝4，②由①②得3q 2－4q －4＝0，解得q ＝2，或q ＝－23(舍)，∴a 1＝1，a n ＝2n －1.(2)当n 为偶数时，T n ＝(1＋1)·20＋2·2＋(3＋1)·22＋4·23＋(5＋1)·24＋…＋[[(n －1)＋1]·2n－2＋n ·2n －1＝(20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1)＋(20＋22＋…＋2n －2)，设H n ＝20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1，①2H n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ，② ①－②，得－H n ＝20＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，∴H n ＝(n －1)·2n ＋1，∴T n ＝(n －1)·2n＋1＋1－4·2n 1－4＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-32n ·2n ＋23.当n 为奇数，且n ≥3时，T n ＝T n －1＋(n ＋1)·2n －1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-35n ·2n －1＋23＋(n ＋1)·2n －1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-322n ·2n －1＋23，经检验，T 1＝2符合上式， ∴T n ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--为偶数为奇数n n n n n n ,32232,3223221【反思总结】(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列． (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．题组训练一 数列求和已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n ＝3n ＋1＋a (a ∈N *)．(1)求a 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)(log 3a n ＋2)2(log 3a n ＋1)2，求{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)∵等比数列{a n }满足6S n ＝3n ＋1＋a (a ∈N *)，n ＝1时，6a 1＝9＋a ；n ≥2时，6a n ＝6(S n －S n －1)＝3n ＋1＋a －(3n ＋a )＝2×3n .∴a n ＝3n －1，n ＝1时也成立，∴1×6＝9＋a ，解得a ＝－3，∴a n ＝3n －1.(2)b n ＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)(log 3a n ＋2)2(log 3a n ＋1)2＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)n 2(n ＋1)2＝(－1)n －1()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n当n 为奇数时，T n ＝+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+222231212111()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n ＝1＋1(n ＋1)2； 当n 为偶数时，T n ＝+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+222231212111()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n ＝1－1(n ＋1)2. 综上，T n ＝1＋(－1)n－11(n ＋1)2. 题型二 数列与函数的综合问题 【题型要点】数列与函数的综合问题主要有以下两类：(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若点(b n ，a n )在函数y ＝log 2x 的图象上，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋2n －[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＝4×1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n .(2)由点{b n ，a n }在函数y ＝log 2x 的图象上得a n ＝log 2b n ，且a n ＝4n ，∴b n ＝2an ＝24n ＝16n ，故数列{b n }是以16为首项，公比为16的等比数列．T n ＝16(1－16n )1－16＝16n ＋1－1615.题组训练二 数列与函数的综合问题已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n (n ∈N *)． (1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛na 1，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式． 【解】 (1)由f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝2n ，得b ＝2n ，又f (x )的图象过点(－4n,0)，所以16n 2a －4nb ＝0，解得a ＝12.所以f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)．(2)由(1)知f ′(x )＝x ＋2n (n ∈N *)， 所以1a n ＋1＝1a n ＋2n ，即1a n ＋1－1a n＝2n .所以1a n －1a n －1＝2(n －1), 1a n －1－1a n －2＝2(n －2)，…1a 2－1a 1＝2，以上各式相加得1a n －14＝n 2－n ，所以a n ＝1n 2－n ＋14，即a n ＝4(2n －1)2(n ∈N *)． 题型三 数列与不等式的综合问题 【题型要点】(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性求解．(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，常利用放缩法或单调性法证明．(3)当已知数列关系时，需要知道其范围时，可借助数列的单调性，即比较相邻两项的大小即可．【例3】设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎪⎭⎫⎝⎛32,0内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13n⎪⎭⎫ ⎝⎛32.(1)【解】 方法一 由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1，所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n －1，①则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ，②由①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )2n －1， 所以f n ′(2)＝(n －1)2n ＋1.方法二 当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，则f n ′(x )＝[1－(n ＋1)x n ](1－x )＋(x －x n ＋1)(1－x )2，可得f n ′(2)＝－[1－(n ＋1)2n ]＋2－2n ＋1(1－2)2＝(n －1)2n ＋1.(2)[证明] 因为f n (0)＝－1＜0，f n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32＝32132132-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n－1＝1－2×n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32≥1－2×232⎪⎭⎫ ⎝⎛＞0，所以f n (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0内至少存在一个零点，又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0，所以f n (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0内单调递增，因此f n (x )在⎪⎭⎫⎝⎛32,0内有且仅有一个零点a n ，由于f n (x )＝x －x n ＋11－x －1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23，所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×132+⎪⎭⎫ ⎝⎛n ＝13n⎪⎭⎫ ⎝⎛32. 题组训练三 数列与不等式的综合问题1.已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝10·4n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2a n .(1)求b n ，S n ；(2)设c n ＝b n ＋12，证明：c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1(n ∈N *)．【解】 (1)解 由题意知a 2＋a 1＝10，a 2＋a 3＝40，设{a n }的公比为q ，则a 2＋a 3a 1＋a 2＝q (a 1＋a 2)a 1＋a 2＝4，∴q ＝4.则a 1＋a 2＝a 1＋4a 1＝10，解得a 1＝2，∴a n ＝2·4n －1＝22n －1.∴b n ＝log 222n －1＝2n －1.∴S n ＝n (b 1＋b n )2＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)证明 法一∵c n ＝b n ＋12＝2n －1＋12＝n ，∴S n ＋1＝(n ＋1)2.要证明c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1，即证1×2＋2×3＋…＋n ×(n ＋1)<12(n ＋1)2，①当n ＝1时，1×2<12×(1＋1)2＝2成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立， 即1×2＋2×3＋…＋k ×(k ＋1)<12(k ＋1)2，则当n ＝k ＋1(k ∈N *)时，要证1×2＋2×3＋…＋k ×(k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)<12(k ＋2)2，即证(k ＋1)(k ＋2)<12(k ＋2)2－12(k ＋1)2，即(k ＋1)(k ＋2)<k ＋32，两边平方得k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋94显然成立，∴当n ＝k ＋1(k ∈N *)时，不等式成立． 综上，不等式成立．法二 ∵c n ＝b n ＋12＝2n －1＋12＝n ，S n ＋1＝(n ＋1)2，由基本不等式可知n (n ＋1)≤n ＋n ＋12＝n ＋12，故1×2<1＋12，2×3<2＋12，…，n (n ＋1)≤n ＋12，∴1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)<(1＋2＋3＋…＋n )＋n 2＝n 2＋2n 2<n 2＋2n ＋12＝(n ＋1)22，即不等式c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1(n ∈N *)成立．2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a 2n，n ∈N *，记S n ，T n 分别是数列{a n }，{a 2n }的前n 项和．证明：当n ∈N *时，(1)a n ＋1<a n ； (2)T n ＝1a 2n ＋1－2n －1；(3)2n －1<S n <2n .【证明】 (1)由a 1＝1及a n ＋1＝a n1＋a 2n 知，a n >0，故a n ＋1－a n ＝a n 1＋a 2n －a n ＝－a 3n1＋a 2n <0， ∴a n ＋1<a n ，n ∈N *. (2)由1a n ＋1＝1a n ＋a n ，得1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n ＋2，从而1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n ＋2＝1a 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋2×2＝…＝1a 21＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＋2n ，又∵a 1＝1，∴T n ＝1a 2n ＋1－2n －1，n ∈N *. (3)由(2)知，a n ＋1＝1T n ＋2n ＋1，由T n ≥a 21＝1，得a n ＋1≤12n ＋2，∴当n ≥2时，a n ≤12n ＝22n <2n ＋n －1＝2(n －n －1)，由此S n <a 1＋2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)]＝1＋2(n －1)<2n ，n ≥2，又∵a 1＝1，∴S n <2n .另一方面，由a n ＝1a n ＋1－1a n ，得S n ＝1a n ＋1－1a 1≥2n ＋2－1>2n －1.综上，2n －1<S n <2n .【专题训练】1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8, S n ＝a n ＋12－n －1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2×3na n a n ＋1的前n 项和T n .【解】 (1)因为S n ＝a n ＋12－n －1，故当n ＝1时，a 1＝a 22－1－1＝2；当n ≥2时，2S n ＝a n ＋1－2n －2,2S n －1＝a n －2(n －1)－2，两式相减可得a n ＋1＝3a n ＋2； 经检验，当n ＝1时也满足a n ＋1＝3a n ＋2，故a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，故数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，故a n ＋1＝3n ，即a n ＝3n －1.(2)由(1)可知，2×3n a n a n ＋1＝2×3n(3n －1)(3n ＋1－1) ＝13n－1－13n ＋1－1， 故T n ＝131－1－132－1＋132－1－133－1＋…＋13n －1－13n ＋1－1＝12－13n ＋1－1.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝log 2a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .【解析】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋2，∴当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，两式相减得，a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，则a n ＋1＝2a n ，所以a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，∵a 1＝2，∴a 2＝S 1＋2＝4，满足a 2a 1＝2，∴数列{a n }是以2为公比、首项为2的等比数列，则a n ＝2·2n －1＝2n ；(2)由(1)得，b n ＝log 2a n ＝log 22n ＝n ， ∴1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 3．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2,4S n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，求证：n 4n ＋4<T n <12.【解析】 (1)∵4S n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *， ∴4a 1＝a 1·a 2，又a 1＝2，∴a 2＝4.当n ≥2时，4S n －1＝a n －1·a n ，得4a n ＝a n ·a n ＋1－a n －1·a n .由题意知a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝4. ①当n ＝2k ＋1，k ∈N *时，a 2k ＋2－a 2k ＝4，即a 2，a 4，…，a 2k 是首项为4，公差为4的等差数列， ∴a 2k ＝4＋(k －1)×4＝4k ＝2×2k ； ②当n ＝2k ，k ∈N *时，a 2k ＋1－a 2k －1＝4，即a 1，a 3，…，a 2k －1是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a 2k －1＝2＋(k －1)×4＝4k －2＝2(2k －1)． 综上可知，a n ＝2n ，n ∈N *.(2)证明：∵1a 2n ＝14n 2>14n (n ＋1)＝14⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111n n ，∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n>14⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n ＝141－1n ＋1＝n 4n ＋4. 又∵1a 2n ＝14n 2<14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--121121n n ，∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n <12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-+-12112171515131311n n ＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211n <12. 即得n 4n ＋4<T n <12.4．已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立．(1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＜13成立，求正实数b 1的取值范围；(3)若a 1＝2，b n ＝2n ，是否存在两个互不相等的整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t成等差数列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由． 【解】 (1)因为A n ＝n 2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2－(n －1)2，n ≥2， 即a n ＝2n －1，故b n ＋1－b n ＝12(a n ＋1－a n )＝1，所以数列{b n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以B n ＝n ·2＋12·n ·(n －1)·1＝12n 2＋32n . (2)依题意B n ＋1－B n ＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1b n＝2， 所以数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝B n ＝1－2n1－2×b 1＝b 1(2n －1)， 所以b n ＋1a n a n ＋1＝2nb 1(2n －1)·(2n ＋1－1)， 因为b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+1211211n n 所以b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+12112111n ，所以1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+12112111n ＜13恒成立，即b 1＞3⎪⎭⎫ ⎝⎛--+12111n ，所以b 1≥3.(3)由a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )得：a n ＋1－a n ＝2n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋23＋22＋2＝2n ＋1－2， 当n ＝1时，上式也成立，所以A n ＝2n ＋2－4－2n ， 又B n ＝2n ＋1－2，所以A n B n ＝2n ＋2－4－2n 2n ＋1－2＝2－n 2n －1， 假设存在两个互不相等的整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t 成等差数列，等价于121－1，s 2s －1，t 2t －1成等差数列， 即2s 2s－1＝121－1＋t 2t －1，即2s 2s －1＝1＋t 2t －1，因为1＋t 2t －1＞1，所以2s 2s －1＞1，即2s ＜2s ＋1，令h (s )＝2s －2s －1(s ≥2，s ∈N *)，则h (s ＋1)－h (s )＝2s －2＞0所以h (s )递增， 若s ≥3，则h (s )≥h (3)＝1＞0，不满足2s ＜2s ＋1，所以s ＝2，代入2s 2s －1＝121－1＋t 2t －1得2t －3t －1＝0(t ≥3)，当t ＝3时，显然不符合要求； 当t ≥4时，令φ(t )＝2t －3t －1(t ≥4，t ∈N *)，则同理可证φ(t )递增，所以φ(t )≥φ(4)＝3＞0，所以不符合要求．所以，不存在正整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t成等差数列．。
2025新高考数学：数列新定义与综合应用目录题型一斐波那契数列 1题型二差数列及阶差数列 3题型三平方数列与类平方数列 7题型四数列的单调性 8题型五数列的凹凸性 11题型六数列的周期性 18题型七数列的新概念 26题型八数列的新性质 35好题训练 40高考真题训练 69斐波那契数列1.(2024·黑龙江大庆·模拟预测)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,⋯，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列a n称为“斐波那契数列”，则a21+a22+a23+⋯+a22024a2024是斐波那契数列中的第项．2.(2024·贵州遵义·模拟预测)(多选)数列F n：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即F n+2=F n+1+F n(n∈N*)，则下列选项正确的是()A.F10=55B.F1+F3+F5+F7+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+F23=F24C.F2+F4+F6+F8+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+F2024=F2025D.F21+F22+F23+F24+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+F2n=F n⋅F n+13.(23-24高三上·河北廊坊·期末)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即a n+2=a n+1+a n n∈N*，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为a n=151+52n-1-52n，设n是不等式log2(1+5)n-(1-5)n>n+6的正整数解，则n的最小值为()A.6B.7C.8D.94.(2024·河南·模拟预测)我们把由0和1组成的数列称为0-1数列，0-1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列F n(F1=F2=1，F n+2=F n+F n+1)中的奇数换成0，偶数换成1可得到0-1数列a n，若数列a n的前n项和为S n，且S k=100，则k的值可能是()A.100B.201C.302D.3995.(24-25高二上·山东青岛·阶段练习)在数学上，斐波纳契数列a n 定义为：a 1=1，a 2=1，a n +2=a n +a n +1，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据a n +2=a n +a n +1可得a n =a n +2-a n +1，所以a 1+a 2+⋯+a n =a 3-a 2 +a 4-a 3 +⋯+a n +2-a n +1 =a n +2-a 2=a n +2-1，类比这一方法，可得a 21+a 22+⋯a 210=()A.714 B.1870 C.4895 D.48966.(2024·山东·模拟预测)(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用F n n ∈N * 表示斐波那契数列的第n 项，则数列F n 满足：F 1 =F 2 =1，F n +2 =F n +1 +F n .则下列说法正确的是()A.F 10 =34B.3F n =F n -2 +F n +2 n ≥3C.F 1 +F 2 +⋅⋅⋅+F 2023 =F 2025 -1D.F 1 2+F 2 2+⋅⋅⋅+F 2023 2=F 2023 ⋅F 2024差数列及阶差数列7.(23-24高二上·云南昆明·期末)数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列a n ，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则a n +1n +1的最小值为．8.(23-24高三下·重庆·阶段练习)定义：满足a n +2a n +1:a n +1a n=q q 为常数，n ∈N *)的数列a n 称为二阶等比数列，q 为二阶公比.已知二阶等比数列∣a n 的二阶公比为2,a 1=1,a 2=2，则使得a n >2024成立的最小正整数n 为()A.7 B.8 C.9 D.109.(2024·全国·模拟预测)给定数列a n ，称{a n -a n -1}为a n 的差数列(或一阶差数列)，称数列{a n -a n -1}的差数列为a n 的二阶差数列⋯⋯(1)求{2n }的二阶差数列；(2)用含m 的式子表示{2n }的m 阶差数列，并求其前n 项和．10.(2024·四川自贡·一模)南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3,7,13,23,39,63,97，则该数列的第8项()A.131 B.139 C.141D.14311.(2024·四川南充·三模)对于数列a n ，规定Δa n 为数列a n 的一阶差分，其中Δa n =a n +1-a n n ∈N * ，规定Δk a n 为数列a n 的k 阶差分，其中Δk a n =Δk -1a n +1-Δk -1a n n ∈N * ．若a n =n (n -1)(2n -1)6，则Δ2a 6=()A.7 B.9 C.11 D.1312.(2024·吉林长春·模拟预测)对于数列a n ，称Δa n 为数列a n 的一阶差分数列，其中Δa n =a n +1-a n n ∈N * .对正整数k k ≥2 ，称Δk a n 为数列a n 的k 阶差分数列，其中Δk a n =ΔΔk -1a n =Δk -1a n +1-Δk -1a n 已知数列a n 的首项a 1=1，且Δa n +1-a n -2n 为a n 的二阶差分数列.(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =12n 2-n +2 ,x n 为数列b n 的一阶差分数列，对∀n ∈N *，是否都有n i =1x i C i n =a n 成立？并说明理由；(其中C i n 为组合数)(3)对于(2)中的数列x n ，令y n =t x n +t -x n 2，其中12<t <2.证明：ni =1y i <2n -2-n 2.平方数列与类平方数列13.(23-24高三上·四川绵阳·阶段练习)若数列c n 满足c n +1=c 2n 则称c n 为“平方递推数列”.已知数列a n 是“平方递推数列”，且a 1>0，a 1≠1，则()A.lg a n 是等差数列B.lg a n +1-lg a n 是等差数列C.a n a n +1 是“平方递推数列”D.a n +1+a n 是“平方递推数列”14.(2024·海南·模拟预测)(多选)已知数列a n 满足：①a i ∈Z ；②∀i ∈N ∗，i ≤n ，a i +i =k 2，k ∈N ∗，则称数列a n 为“类平方数列”，若数列b n 满足：①数列b n 不是“类平方数列”；②将数列b n 中的项调整一定的顺序后可使得新数列成为“类平方数列”，则称数列b n 为“变换类平方数列”，则()A.已知数列a n =n 1≤n ≤7,n ∈N ∗ ，则数列a n 为“类平方数列”B.已知数列a n 为：3，5，6，11，则数列a n 为“变换类平方数列”C.已知数列a n 的前n 顶和为43n 3+32n 2+16n ，则数列a n 为“类平方数列”D.已知a n =sin n π2，n =1,2,3,4.则数列a n 为“变换类平方数列”题型四数列的单调性15.(2024·江西新余·模拟预测)我们规定：若数列k n 为递增数列且k n n也为递增数列，则k n 为“X -数列”.(1)已知：a n =32 n，b n =log 32n ，c n =n 32，数列a n ,b n ,c n 中其中只有一个X -数列，它是：；请从另外两个数列中任选一个证明其不是X -数列.(2)已知数列a n 满足：n a n +1-a n =a n +a 1，a 1=1，S n 为a n 的前n 项和，试求a n 的通项并判断数列S n n是否为X -数列并证之.(3)已知数列a n 、b n 均为X -数列，且a 1>0，b 1>0，求证：数列c n =a n ⋅b n 也为X -数列.16.(24-25高三上·河南·开学考试)若数列a n 的相邻两项或几项之间的关系由函数f x 确定，则称f x 为a n 的递归函数．设a n 的递归函数为f x =-x 2+x ．(1)若0<a 1<1，a n +1=f a n (n ∈N *)，证明：a n 为递减数列；(2)若a n +1=f a n +5a n +a 2n ，且a 1=53，a n 的前n 项和记为S n ．①求S n ；②我们称g x =x 为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过x 的最大整数，例如 1.2 =1，-1.3 =-2．若T n =∑n i =13a 1S i -a 1+1，求∑2024i =1g T i ．17.(2024·广东深圳·模拟预测)已知a n 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于k ∈N *，定义集合B k =i ∈N *∣a i <k ，设b k 为集合B k 中的元素个数，特别规定：若B k =∅时，b k =0．(1)若a n =2n ，写出b 1，b 2及b 10的值；(2)若数列b n 是等差数列，求数列a n 的通项公式；(3)设集合S =s s =n +a n ,n ∈N * ，T =t t =n +b n ,n ∈N * ，求证：S ∪T =N *且S ∩T =∅．数列的凹凸性18.(2024·安徽池州·模拟预测)定义：若对∀k∈N*,k≥2,a k-1+a k+1≤2a k恒成立，则称数列a n为“上凸数列”．(1)若a n=n2-1，判断a n是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．(2)若a n为“上凸数列”，则当m≥n+2m,n∈N*时，a m+a n≤a m-1+a n+1．(ⅰ)若数列S n为a n的前n项和，证明：S n≥n2a1+a n；(ⅱ)对于任意正整数序列x1,x2,x3,⋯,x i,⋯,x n(n为常数且n≥2,n∈N*)，若ni=1x2i-1≥n i=1x i-λ2-1恒成立，求λ的最小值．19.(24-25高三上·安徽亳州·开学考试)已知数列a n，对于任意的n∈N*，都有a n+a n+2>2a n+1，则称数列a n为“凹数列”．(1)判断数列a n=2n是否为“凹数列”，请说明理由；(2)已知等差数列b n，首项为4，公差为d，且b nn为“凹数列”，求d的取值范围；(3)证明：数列c n为“凹数列”的充要条件是“对于任意的k,m,n∈N*，当k<m<n时，有c m-c km-k<c n-c mn-m”．20.(24-25高二上·上海·阶段练习)已知数列a n，对于任意的正整数n，都有a n+a n+2>2a n+1则称数列{a n}是严格凹数列．(1)若数列a n，b n的通项公式分别为a n=-n2,b n=3n，判断数列{a n}，{b n}是否为严格凹数列，无需说明理由；(2)证明：“对于任意正整数的k,m,n，当k<m<n时，有c m-c km-k<c n-c mn-m”是“数列c n为严格凹数列”的充要条件；(3)函数y=f x 是定义在正实数集上的严格增函数，f1 =0且数列f(n)是严格凹数列，严格增数列x1,x2,⋯,x N(正整数N为常数且N≥2)各项均为互不相等的正整数，若Ni=1f x i<fNi=1x i-λ恒成立，求实数λ的取值范围．数列的周期性21.(2024·上海青浦·二模)若无穷数列{a n}满足：存在正整数T，使得a n+T=a n对一切正整数n成立，则称{a n}是周期为T的周期数列．(1)若a n=sinπnm +π3(其中正整数m为常数，n∈N,n≥1)，判断数列{a n}是否为周期数列，并说明理由；(2)若a n+1=a n+sin a n(n∈N,n≥1)，判断数列{a n}是否为周期数列，并说明理由；(3)设{b n}是无穷数列，已知a n+1=b n+sin a n(n∈N,n≥1)．求证：“存在a1，使得{a n}是周期数列”的充要条件是“{b n}是周期数列”．22.(2024·广东珠海·一模)对于数列a n，若存在常数T，n0T,n0∈N*，使得对任意的正整数n≥n0，恒有a n+T=a n成立，则称数列a n是从第n0项起的周期为T的周期数列．当n0=1时，称数列a n为纯周期数列；当n0≥2时，称数列a n为混周期数列．记x 为不超过x的最大整数，设各项均为正整数的数列a n满足：a n+1=a n2,a n为偶数a n-12+2log2a n,a n为奇数 .(1)若对任意正整数n都有a n≠1，请写出三个满足条件的a1的值；(2)若数列a n是纯周期数列，请写出满足条件的a1的表达式，并说明理由；(3)证明：不论a1为何值，总存在m,n∈N*使得a n=2m-1．23.(2024·湖南长沙·一模)对于数列a n ，如果存在正整数T ，使得对任意n n ∈N * ，都有a n +T =a n ，那么数列a n 就叫做周期数列，T 叫做这个数列的周期.若周期数列b n ,c n 满足：存在正整数k ，对每一个i i ≤k ,i ∈N * ，都有b i =c i ，我们称数列b n 和c n 为“同根数列”.(1)判断数列a n =sin n π、b n =1,n =13,n =2b n -1-b n -2,n ≥3是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；(2)若a n 和b n 是“同根数列”，且周期的最小值分别是m +2和m +4m ∈N * ，求k 的最大值.24.(24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习)对于数列{a n }，若存在常数T ，n 0(T ,n 0∈N *)，使得对任意的正整数n ≥n 0，恒有a n +T =a n 成立，则称数列{a n }是从第n 0项起的周期为T 的周期数列．当n 0=1时，称数列{a n }为纯周期数列；当n 0≥2时，称数列{a n }为混周期数列．记x 为不超过x 的最大整数，设各项均为正整数的数列{a n }满足：a n +1=a n 2,a n 为偶数a n -12+2log 2a n ,a n 为奇数.(1)若对任意正整数n 都有a n ≠1，请写出三个满足条件的a 1的值；(2)若数列{a n }是常数列，请写出满足条件的a 1的表达式，并说明理由；(3)证明：不论a 1为何值，总存在m ,n ∈N *使得a n =2m -1．25.(23-24高三上·北京丰台·期末)对于数列{a n}，如果存在正整数T，使得对任意n(n∈N*)，都有a n+T=a n，那么数列{a n}就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期．若周期数列{b n}，{c n}满足：存在正整数k，对每一个i(i≤k,i∈N*)，都有b i=c i，我们称数列{b n}和{c n}为“同根数列”．(1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；①a n=sin nπ；②b n=1,n=1,3,n=2,b n-1-b n-2,n≥3.(2)若{a n}和{b n}是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：k≤6；(3)若{a n}和{b n}是“同根数列”，且周期的最小值分别是m+2和m+4(m∈N*)，求k的最大值．数列的新概念26.(2024·江苏南通·模拟预测)定义：已知数列a nn∈N*的首项a1=1，前n项和为S n.设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有S 1kn+1-S1k n=λa1k n+1成立，则称此数列为“λ&k”数列.若数列a nn∈N*是“33&2”数列，则数列{a n}的通项公式a n=()A.3×4n-2B.1(n=1)3×4n-2(n≥2)C.4×3n-2D.1(n=1)4×3n-2(n≥2)27.(23-24高三下·湖南长沙·阶段练习)对于无穷数列c n，若对任意m,n∈N*，且m≠n，存在k∈N*，使得c m+c n=c k成立，则称c n为“G数列”.(1)若数列b n的通项公式为b n=2n，试判断数列b n是否为“G数列”，并说明理由；(2)已知数列a n为等差数列，①若a n是“G数列”，a1=8,a2∈N*，且a2>a1，求a2所有可能的取值；②若对任意n∈N*，存在k∈N*，使得a k=S n成立，求证：数列a n为“G数列”.28.(2024·辽宁·三模)若实数列a n满足∀n∈N*，有a n+a n+2≥2a n+1，称数列a n为“T数列”.(1)判断a n=n2,b n=ln n是否为“T数列”，并说明理由；(2)若数列a n为“T数列”，证明：对于任意正整数k,m,n，且k<m<n，都有a n-a mn-m≥a m-a km-k(3)已知数列a n为“T数列”，且2024i=1a i=0.令M=max a1 ,a2024，其中max a,b表示a,b中的较大者.证明：∀k∈1,2,3,⋯,2024，都有-20252023M≤a k≤M.29.(2024·福建泉州·模拟预测)若无穷数列a n满足：对于∀n∈N*，a2n+1-a2n=p，其中p为常数，则称数列a n为P数列．(1)若一个公比为q的等比数列x n为“P数列”，求q的值；(2)若a1=1，p=2，y n是首项为1，公比为3的等比数列，在y k与y k+1之间依次插入数列a2n中的k项构成新数列c n:y1,a21,y2,a22,a23,y3,a24,a25,a26,y4,⋅⋅⋅⋅⋅⋅，求数列c n中前30项的和S30．(3)若一个“P数列"a n满足a1=2,a2=22,a n>0，设数列1a n的前n项和为Tn．是否存在正整数m,k，使不等式T n>mn+k-1对一切n∈N∗都成立？若存在，求出m,k的值；若不存在，说明理由．30.(2024·北京东城·二模)设无穷正数数列a n，如果对任意的正整数n，都存在唯一的正整数m，使得a m= a1+a2+a3+⋯+a n，那么称a n的伴随数列，则()为内和数列，并令b n=m，称b n为a nA.若a n为内和数列为等差数列，则a nB.若a n为内和数列为等比数列，则a nC.若内和数列a n为递增数列，则其伴随数列b n为递增数列D.若内和数列a n为递增数列为递增数列，则a n的伴随数列b n31.(2024·湖北荆州·三模)“H数列”定义：数列a n的前n项和为S n，如果对于任意的正整数n，总存在正整数m使S n=a m,则称数列a n是“H数列”.(1)若数列b n是“H数列”；的前n项和为T n=2n,求证：数列b n(2)已知数列c n的通项公是首项为1，公差小于0的等差数列，求数列c n是“H数列”，且数列c n式；(3)若数列d n的前n项和D n.满足：d n=b n c n,求数列d n32.(2024·黑龙江·二模)如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“G型数列”．(1)若数列a n满足2a n=S n+1，判断a n是否为“G型数列”，并说明理由；(2)已知正项数列a n为“G型数列”，a1=1，数列b n满足b n=a n+2，n∈N*，b n是等比数列，公比为正整数，且不是“G型数列”，求数列a n的通项公式．33.(2024·全国·模拟预测)定义：若对于任意的n∈N*，数列a n满足a n+1-a n>1，则称这个数列是“T数列”．(1)已知首项为1的等差数列a n是“T数列”，且a1+a2+⋅⋅⋅+a n<n2+n恒成立，求a2的取值范围．(2)已知各项均为正整数的等比数列a n是“T数列”，数列a n2不是“T数列”．记bn=a n+1n，若数列b n是“T数列”．①求数列b n的通项公式．②是否存在正整数r,s,t r<s<t，使1b r,1b s,1b t成等差数列？若存在，求出r,s,t的所有值；若不存在，请说明理由．数列的新性质34.(2024·山东青岛·三模)(多选)若有穷整数数列A n:a1,a2,⋯a n n≥3满足：a i+1-a i∈-1,2i=1,2,⋯,n-1，且a1=a n=0，则称A n具有性质T.则()A.存在具有性质T的A4B.存在具有性质T的A5C.若A10具有性质T，则a1,a2,⋯,a9中至少有两项相同D.存在正整数k，使得对任意具有性质T的A k，有a1,a2,⋯,a k-1中任意两项均不相同35.(2024·河南·三模)已知数列a n的前n项和为S n，若存在常数λ(λ>0)，使得λa n≥S n+1对任意n∈N*都成立，则称数列a n具有性质P(λ)．(1)若数列a n具有性质P(3)；为等差数列，且S3=-9,S5=-25，求证：数列a n(2)设数列a n具有性质P(λ)．的各项均为正数，且a n①若数列a n是公比为q的等比数列，且λ=4，求q的值；②求λ的最小值．36.(23-24高二下·安徽六安·期末)如果无穷数列a n 满足“对任意正整数i ,j i ≠j ，都存在正整数k ，使得a k =a i ⋅a j ”，则称数列a n 具有“性质P ”.(1)若等比数列a n 的前n 项和为S n ，且公比q >1,S 2=12,S 4=120，求证：数列a n 具有“性质P ”；(2)若等差数列b n 的首项b 1=1，公差d ∈Z ，求证：数列b n 具有“性质P ”，当且仅当d ∈N ；(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列c n 具有“性质P ”，且213,512,415,1012四个数中恰有两个出现在数列c n 中，求c 1的所有可能取值之和.37.(2024·湖北·模拟预测)若项数为m m ≥3 的数列a n 满足两个性质：①a 1=1,a i ∈N *i =2,3,⋯,m ；②存在n ∈2,3,⋯,m -1 ，使得a k +1a k ∈1,2 ,1≤k ≤n -11,12 ,n ≤k ≤m -1，并记M =max i a i 是数列a k 的最大项，1≤k ≤n ．则称数列a n 具有性质Ω．(1)若m =4,a 4=2，写出所有具有性质Ω的数列a n ；(2)数列a n 具有性质Ω,若m =2025,a 2025=16，求a n 的最大项的最大值；(3)数列a n 具有性质Ω,若a M =22025,a m =1，且a n 还满足以下两条性质：(ⅰ)对于满足1≤s <t ≤M 的项a s 和a t ，在a n 的余下的项中，总存在满足1≤p <q ≤M 的项a p 和a q ，使得a s ⋅a t =a p ⋅a q ；(ⅱ)对于满足M ≤s <t ≤m 的项a s 和a t ，在a n 的余下的项中，总存在满足M ≤p <q ≤m 的项a p 和a q ，使得a s ⋅a t =a p ⋅a q ．求满足上述性质的m 的最小值．好题训练一、填空题1.(2023·陕西铜川·一模)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列a n 是等和数列，且a 1=-1，公和为1，那么这个数列的前2024项和S 2024=.2.(2024·北京通州·三模)若数列{b n }、{c n }均为严格增数列，且对任意正整数n ，都存在正整数m ，使得b m ∈[c n ,c n +1]，则称数列{b n }为数列{c n }的“M 数列”．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中正确的是．①存在等差数列{a n }，使得{a n }是{S n }的“M 数列”②存在等比数列{a n }，使得{a n }是{S n }的“M 数列”③存在等差数列{a n }，使得{S n }是{a n }的“M 数列”④存在等比数列{a n }，使得{S n }是{a n }的“M 数列”3.(2024·全国·模拟预测)将正整数n 分解为两个正整数k 1，k 2的积，即n =k 1k 2，当k 1，k 2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如12=1×12=2×6=3×4，其中3×4即为12的最优分解，当k 1，k 2是n 的最优分解时，定义f n =k 1-k 2 ，则数列f 2n 的前2024项的和为()A.21011-1 B.21011 C.21012-1 D.210124.(2024·江苏镇江·三模)若对项数为n 的数列a n 中的任意一项a i ，1a i也是该数列中的一项，则称这样的数列为“R (n )可倒数数列”.已知正项等比数列b n 是“R (5)可倒数数列”，其公比为q ，所有项和为314，写出一个符合题意的q 的值.5.(2024·江苏南通·模拟预测)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M ~数列”.已知数列b n (n ∈N *)的前n 项和为S n ，且满足b 1=1，1S n =2b n -2b n +1.设m 为正整数.若存在“M ~数列”c n (n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k +1成立，则m 的最大值为.二、多选题6.(2024·江苏南通·模拟预测)在数列a n 中，若对∀n ∈N *，都有a n +2-a n +1a n +1-a n=q (q 为常数)，则称数列a n 为“等差比数列”，q 为公差比，设数列a n 的前n 项和是S n ，则下列说法一定正确的是()A.等差数列a n 是等差比数列B.若等比数列a n 是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同C.若数列S n 是等差比数列，则数列a n +1 是等比数列D.若数列an 是等比数列，则数列S n 等差比数列7.(23-24高三上·上海普陀·期末)对于无穷数列{a n }，给出如下三个性质：①a 1<0；②对于任意正整数n ,s ，都有a n +a s <a n +s ；③对于任意正整数n ，存在正整数t ，使得a n +t >a n 定义：同时满足性质①和②的数列为“s 数列”，同时满足性质①和③的数列为“t 数列”，则下列说法正确的是()A.若{a n }为“s 数列”，则{a n }为“t 数列”B.若a n =-12 n ，则{a n }为“t 数列”C.若a n =2n -3，则{a n }为“s 数列”D.若等比数列{a n }为“t 数列”则{a n }为“s 数列”8.(2024·河北承德·二模)对于给定的数列a n ，如果存在实数p ,q ，使得a n +1=pa n +q 对任意n ∈N *成立，我们称数列a n 是“线性数列”，则下列说法正确的是()A.等差数列是“线性数列”B.等比数列是“线性数列”C.若p ≠1且a 1=q ，则a n =q 1-p n -1 1-pD.若p ≠1且a 1=q ，则a n 是等比数列qp n -1 的前n 项和9.(2024·湖南衡阳·模拟预测)在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价格的变化来确保自己的风险，这种变化的价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有a n ≤M ，则称a n 为有界数列，数列收敛指数列有极限，我们把极限存在(不含无穷大)的数列称为收敛数列，如数列a n =1n ，显然对一切正整数n 都有a n ≤1，而1n的极限为0，即数列a n 既有界也收敛.如数列b n =(-1)n ，显然对一切正整数n 都有b n ≤1，但不存在极限，即数列b n 有界但不收敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列有()A.a n =sin n π+π2B.a n =cos n π+π2C.a 1=2,a 2=3,a n =a n -1a n -2 D.a n =sin n π+π2 n10.(2024·河南·一模)对于数列a n (a n ∈N +)，定义b k 为a 1，a 2，⋯，a k 中最大值(k =1,2,⋅⋅⋅,n )(n ∈N +)，把数列b n 称为数列a n 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则()A.若数列a n 是递减数列，则b n 为常数列B.若数列a n 是递增数列，则有a n =b nC.满足b n 为2，3，3，5，5的所有数列a n 的个数为8D.若a n =-2 n -1(n ∈N +)，记S n 为b n 的前n 项和，则S 100=23(2100-1)三、解答题11.(2024·内蒙古包头·二模)已知数列a n为有穷数列，且a n∈N*，若数列a n满足如下两个性质，则称数列a n为m的k增数列：①a1+a2+a3+⋯+a n=m；②对于1≤i<j≤n，使得a i<a j的正整数对i,j有k个.(1)写出所有4的1增数列；(2)当n=5时，若存在m的6增数列，求m的最小值.12.(23-24高二下·广东深圳·阶段练习)若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第n n∈N*次得到的数列的所有项之和记为a n.(1)设第n次构造后得的数列为1,x1,x2,⋯,xλ,2，则a n=3+x1+x2+⋯+x k，请用含x1,x2,⋯,x k的代数式表达出a n+1，并推导出a n+1与a n满足的关系式；(2)求数列a n的通项公式a n；(3)证明：1a1+1a2+1a3+⋯+1a n<1313.(2024·贵州贵阳·二模)给定数列a n，若满足a1=a(a>0且a≠1)，对于任意的n,m∈N∗，都有a n+m=a n⋅a m，则称数列a n为“指数型数列".(1)已知数列a n满足a1=1,a n=2a n a n+1+3a n+1n∈N*，判断数列1a n+1是不是“指数型数列"？若是，请给出证明，若不是，请说明理由;(2)若数列a n是“指数型数列”，且a1=a+2a+3a∈N*，证明:数列a n中任意三项都不能构成等差数列.14.(2024·湖北·模拟预测)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数(包括1)的个数，记作φ(n)，例如φ(4)=2，φ(5)=4．(1)求φ(6)，φ3n，φ4n；(2)设a n=φ3nφ3n+1+2⋅φ3n+2，n∈N*，求数列a n的前n项和S n；(3)设b n=12φ4n-1，n∈N*，数列b n的前n项和为T n，证明：T n<49，15.(23-24高三下·云南昆明·阶段练习)a ,b 表示正整数a ，b 的最大公约数，若|x 1,x 2,⋯x k |⊆|1,2,⋯m |(k ,m ∈N *)，且∀x ∈x 1,x 2⋯x k ，x ,m =1，则将k 的最大值记为φm ，例如：φ1 =1，φ5 =4．(1)求φ2 ，φ3 ，φ6 ；(2)设a n =φ2n ．(i )求数列a n 的通项公式，(ii )设b n =n 2+2n -1 ⋅a n ，求数列b n 的前n 项和T n ．16.(2024·全国·模拟预测)设满足以下两个条件的有穷数列a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 为n n =2,3,4,⋅⋅⋅ 阶“曼德拉数列”：①a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n =0；②a 1 +a 2 +a 3 +⋅⋅⋅+a n =1.(1)若某2k k ∈N * 阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项a n (1≤n ≤2k ，用k ,n 表示)；(2)若某2k +1k ∈N * 阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项a n (1≤n ≤2k +1，用k ,n 表示)；(3)记n 阶“曼德拉数列”a n 的前k 项和为S k k =1,2,3,⋅⋅⋅,n ，若存在m ∈1,2,3,⋅⋅⋅,n ，使S m =12，试问：数列S i i =1,2,3,⋅⋅⋅,n 能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.17.(2024·广东梅州·二模)已知a n 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为M n ，即M n =max a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n ；前n 项的最小值记为m n ，即m n =min a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n ，令p n =M n -m n (n =1,2,3,⋅⋅⋅)，并将数列p n 称为a n 的“生成数列”．(1)若a n =3n ，求其生成数列p n 的前n 项和；(2)设数列p n 的“生成数列”为q n ，求证：p n =q n ；(3)若p n 是等差数列，证明：存在正整数n 0，当n ≥n 0时，a n ，a n +1，a n +2，⋅⋅⋅是等差数列．18.(2024·山东潍坊·二模)数列a n 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列a n +1-a n 称为a n 的一阶差数列，记为a 1 n ，依此类推，a 1 n 的一阶差数列称为a n 的二阶差数列，记为a 2 n ，⋯．如果一个数列a n 的p 阶差数列a p n 是等比数列，则称数列a n 为p 阶等比数列p ∈N * ．(1)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n +1．(ⅰ)求a 1 1，a 1 2，a 1 3；(ⅱ)证明：a n 是一阶等比数列；(2)已知数列b n 为二阶等比数列，其前5项分别为1,209,379,789,2159，求b n 及满足b n 为整数的所有n 值．19.(2024·贵州·模拟预测)若给定一个数列a n ，其连续两项之差构成一个新数列：a 2-a 1，a 3-a 2，a 4-a 3，⋯，a n +1-a n ，⋯，这个数列称为原数列a n 的“一阶差数列”，记为b n ，其中b n =a n +1-a n .再由b n 的连续两项的差得到新数列b 2-b 1，b 3-b 2，b 4-b 3，⋯，b n +1-b n ，⋯，此数列称为原数列a n 的“二阶差数列”，记为c n ，其中c n =b n +1-b n .以此类推，可得到a n 的“p 阶差数列”.如果数列a n 的“p 阶差数列”是非零常数数列，则称a n 为“p 阶等差数列”.(1)证明由完全立方数13,23,33,⋯,n 3,⋯,n ∈N * 组成的数列a n 是“3阶等差数列”；(2)若a n =n k (k ≥3且k ∈Z ，n ∈N *)，证明数列a n 是“k 阶等差数列”，并且若将a n 的“k 阶差数列”记作a k n ，则a k n =k !=1×2×3×⋯×k n ∈N * .20.(2024·河南郑州·模拟预测)设任意一个无穷数列a n 的前n 项之积为T n ，若∀n ∈N ∗，T n ∈a n ，则称a n 是T 数列．(1)若a n 是首项为-2，公差为1的等差数列，请判断a n 是否为T 数列？并说明理由；(2)证明：若a n 的通项公式为a n =n ⋅2n ，则a n 不是T 数列；(3)设a n 是无穷等比数列，其首项a 1=5，公比为q (q >0)，若a n 是T 数列，求q 的值．21.(2024·广东佛山·模拟预测)定义：一个正整数n称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列a1,a2,...,a k，满足①②：①a1<a2<...<a k-1<a k=n k≥2；②1a1+1a2+...+1a k=1．(1)写出最小的“漂亮数”；(2)若n是“漂亮数”，证明：n3是“漂亮数”；(3)在全体满足k=4的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”n，求n-1是质数的概率．22.(24-25高三上·河南焦作·开学考试)对于一个正项数列a n，若存在一正实数λ，使得∀n∈N*且n≥2，有a1+a2+⋯+a n-1≥λa n，我们就称a n是λ-有限数列.(1)若数列a n满足a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2n≥3，证明：数列a n为1-有限数列；(2)若数列a n是λ-有限数列，∃M>0，使得∀n∈N*且n≥2，a n≤M，证明：ni=11 a2i≥1a21+λ2 M1a1-1a1+a2+⋯+a n .23.(2024·北京门头沟·一模)已知数列a n :a 1,a 2,⋯,a M ，数列b n :b 1,b 2,⋯,b M ，其中M >2，且a i ,b i ∈1,2,⋯,M ，i =1,2,⋯,M ．记a n ，b n 的前n 项和分别为S n ，T n ，规定S 0=T 0=0．记S =S j -S i i =0,1,2,⋯,M ;j =1,2,⋯,M ，且i <j ，T =T j -T i i =0,1,2,⋯,M ;j =1,2,⋯,M ，且i <j .(1)若a n :2,1,3，b n :1,3,3，写出S ,T ；(2)若S =2,3,5,6,8 ，写出所有满足条件的数列a n ，并说明理由；(3)若a i ≤a i +1,b i ≤b i +1i =1,2,⋯,M -1 ,a 2>b 2，且S =T ．证明：∃i ∈2,⋯,M ，使得b i =a M -a 1．24.(2024·湖北荆州·三模)对于数列x n，如果存在一个正整数m，使得对任意n n∈N*，都有x n+m=x n成立，那么就把这样的一类数列x n称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列x n的最小正周期，简称周期.(1)判断数列x n=sin nπ和y n=2,n=13,n=2y n-1-y n-2+1,n≥3是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.(2)设(1)中数列y n前n项和为S n，试问是否存在p,q，使对任意n∈N*，都有p≤(-1)n⋅S nn≤q成立，若存在，求出p,q的取值范围，若不存在，说明理由.(3)若数列a n和b n满足b n=a n+1-a n，且b1=1,b2=ab n+2=b n+1b nn≥1,n∈N，是否存在非零常数a，使得a n是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数a；若不存在，请说明理由.25.(2024·安徽芜湖·三模)若数列a n的各项均为正数，且对任意的相邻三项a t-1,a t,a t+1，都满足a t-1a t+1≤a2t，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项a t-1,a t,a t+1，都满足a t-1+a t+1≤2a t则称该数列为“凸数列”．(1)已知正项数列c n是一个“凸数列”，且a n=e c n，(其中e为自然常数，n∈N*)，证明：数列a n是一个“对数性凸数列”，且有a1a10≤a5a6；(2)若关于x的函数f x =b1+b2x+b3x2+b4x3有三个零点，其中b i>0i=1，2，3，4．证明：数列b1,b2, b3,b4是一个“对数性凸数列”：(3)设正项数列a0,a1，⋯,a n是一个“对数性凸数列”，求证：1n+1ni=0a i1n-1n-1j=1a j≥1 n n-1i=0a i1n nj=1a j26.(2024·新疆·二模)我们把满足下列条件的数列a n称为m-L数列：①数列a n的每一项都是正偶数；②存在正奇数m，使得数列a n的每一项除以m所得的商都不是正偶数．(1)若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是3-L数列；(2)若数列b n满足对任意正整数p，q，恒有b p+q=1p+1qb p b q，且b1=8，判断数列b n n 是否是7-L数列，并证明你的结论；(3)已知各项均为正数的数列c n共有100项，且对任意1≤n≤100，恒有c1+c2+⋯+c n=c31+c32+⋯+c3nk4+kc31+kc32+⋯+kc3n+k2k∈N*，若数列c n为111-L数列，求满足条件的所有两位数k值的和．27.(2024·浙江·模拟预测)已知正整数m，设a1，a2，⋯，a2m，b1，b2，⋯，b2m是4m个非负实数，S=∑2ma i=i=1∑2mb i>0.若对于任意i=1,2,⋅⋅⋅,2m，取a2m+1=a1，a2m+2=a2，b2m+1=b1，都有a i a i+2≥b i+b i+1，则称这i=14m个数构成S,m-孪生数组.(1)写出8个不全相等的数，使得这8个数构成8,2-孪生数组；(2)求最小的S，使得a1，a2，⋯，a6，b1，b2，⋯，b6构成S,3-孪生数组；(3)若m≥4，且a1，a2，⋯，a2m，b1，b2，⋯，b2m构成16,m的最大值.-孪生数组，求a i i=1,2,⋅⋅⋅,2m 参考公式：(i)x1+x2+x3，当且仅当x1=x2=x3时取等；(ii)当正偶数n≥4时， 2≥3x1x2+x2x3+x3x1设n=2k k∈N*；当正奇数n>4时，设x2+x4+⋅⋅⋅+x2k，有x1x2+x2x3+⋅⋅⋅+x n x1≤x1+x3+⋅⋅⋅+x2k-1n=2k+1k∈N*.，有x1x2+x2x3+⋅⋅⋅+x n x1≤x1+x3+⋅⋅⋅+x2k+1x2+x4+⋅⋅⋅+x2k28.(2024·吉林·模拟预测)对于数列x n，若∃M>0，对任意的n∈N*，有x n ≤M，则称数列x n是有界的.当正整数n无限大时，若x n无限接近于常数a，则称常数a是数列x n的极限，或称数列x n收敛于a，记为limn→+∞x n=a.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.(1)证明：对任意的x≥-1，n∈N*，1+xn≥1+nx恒成立；(2)已知数列a n，b n的通项公式为：a n=1+1 nn，b n=1+1nn+1，n∈N*.(i)判断数列a n，b n的单调性与有界性，并证明；(ii)事实上，常数e=limn→+∞a n=limn→+∞b n，以e为底的对数称为自然对数，记为ln x.证明：对任意的n∈N*，n k=11 k+1<ln n+1<nk=11k恒成立.29.(2024·广东江苏·高考真题)设m为正整数，数列a1,a2,...,a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i和a j i<j后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列．(1)写出所有的i,j，1≤i<j≤6，使数列a1,a2,...,a6是i,j-可分数列；(2)当m≥3时，证明：数列a1,a2,...,a4m+2是2,13-可分数列；(3)从1,2,...,4m+2中任取两个数i和j i<j，记数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的概率为P m，证明：P m>1 8．。
第十六节 数列的综合应用 [自我反馈] 1．已知正项等差数列{an}满足：an＋1＋an－1＝a2n(n≥2)，等比数列{bn}满足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，则log2(a2＋b2)＝( ) A．－1或2 B．0或2 C．2 D．1 解析：选C 由题意可知，an＋1＋an－1＝2an＝a2n， 解得an＝2(n≥2)(由于数列{an}每项都是正数)， 又bn＋1bn－1＝b2n＝2bn(n≥2)， 所以bn＝2(n≥2)，log2(a2＋b2)＝log24＝2.
2．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝ an2，当an为偶数时，3an＋1，当an为奇数时.若a6＝1，则m所有可能的取值为( ) A．{4,5} B．{4,32} C．{4,5,32} D．{5,32}
解析：选C an＋1＝ an2，当an为偶数时，3an＋1，当an为奇数时，注意递推的条件是an(而不是n)为偶数或奇数．由a6＝1一直往前面推导可得a1＝4或5或32. 3．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．
解析：由题意知等差数列{an}的公差d＝a3－a12＝2，则a4＝8，a5＝10，设所加的数为x，依题意有(8＋x)2＝(2＋x)(10＋x)，解得x＝－11. 答案：－11 4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________． 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，
所以由题意可得21－2n1－2≥100，即2n≥51， 而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6. 答案：6 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，b4
＝8.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＝abn，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝1亦满足上式， 故an＝2n－1(n∈N*)． 又数列{bn}为等比数列，设公比为q， ∵b1＝1，b4＝b1q3＝8，∴q＝2. ∴bn＝2n－1(n∈N*)． (2)cn＝abn＝2bn－1＝2n－1. Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)
＝(21＋22＋…＋2n)－n＝21－2n1－2－n. 所以Tn＝2n＋1－2－n. 考向一 等差数列与等比数列的综合问题 【典例1】(2016·济南模拟)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式. (2)求数列{bn}的前n项和. 【母题变式】 1.若本例题条件“{bn-an}是等比数列”变为“{bn-an}是等差数列”,其他条件不变,求数列{bn}的通项公式.
2.若本例题条件“b1=4,b4=20,且{bn-an}是等比数列” 变为“an+2an-1= nb1”,求数列{bn}的通项公式.
【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序. (2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果 等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可 能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一 个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的. 提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分 类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合. 【变式训练】(2016·天津模拟)已知等差数列{an}的 公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则 15923aaaaa = ( )
【加固训练】 1.等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则公比q为 ( )
或1 或-1
2.(2016·泰安模拟)已知数列{an}是公差大于零的等 差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1, a3+b3=13. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式. (2)设cn=anan+1,求数列 n1c 的前n项和Tn. 因为d>0,所以d=2,q=2,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=2× 2n-1=2n, 即an=2n-1(n∈N*),bn=2n(n∈N*).
考向二 数列中的图表问题 【典例2】(1)(2016·德州模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … … … … 按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________. (2)(2016·太原模拟)下表是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8. a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 … a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 … a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 … a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 … … … … … … 求数列{an,2}的通项公式. 【解题导引】(1)求出第n行(n≥3)从左向右的第3个数为原数列的第几项,再求解.(2)构造方程组求出等差数列的公差与等比数列的公比.
(2)设第一行组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0), 则a2,3=qa1,3=q(1+2d)⇒q(1+2d)=6, a3,2=q2a1,2=q2(1+d)⇒q2(1+d)=8, 解得d=1,q=,2=2⇒an,2=2×2n-1=2n. 【规律方法】数列中常见的图表问题及解题关键 (1)分组型:数列的通项公式已知,将其按照一定的规则排列而成.解决这类问题的关键是找出图表或数阵中的项在原数列中的位置. (2)混排型:图表或数阵中的行与列分别对应不同的数列.解决这类问题的关键是找出各个数列,将所求问题所在行或列的基本量求出. (3)递推公式型:图表或数阵是按某种递推关系得到的,解决这类问题的关键是求出递推公式,再由递推公式求出通项公式. 【变式训练】(2016·青岛模拟)下面给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列数为aij(i,j∈N*),则a43=______. 1411243334816
，，，
【加固训练】 1.(2016·北京模拟)已知an=( 13)n,把数列{an}的各项 排列成如下的三角形形状. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ……………………… 记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)= ( ) 939294112
11A.() B.()
33
11C.() D.()
33
2.(2016·合肥模拟)正整数按下列方法分组:{1},{2,3, 4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,记第n 组中各数之和为An;由自然数的立方构成下列数组:{03, 13},{13,23},{23,33},{33,43},…,记第n组中后一个数 与前一个数的差为Bn,则An+Bn=______. 【解析】由题意知,前n组共有1+3+5+…+(2n-1)=n2个数,所以第n-1组的最后一个数为(n-1)2,第n组的第一个数为(n-1)2+1,第n组共有2n-1个数,所以根据等差数列的前n项和公式可得
3.(2016·保定模拟)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …… 记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn}, b1=a1=1. Sn为数列{bn}的前n项和,且满足n2nnn2bbSS
=1(n≥2). (1)证明数列 n1S 成等差数列,并求数列{bn}的通项公
式. (2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的 顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a81=491
时,求上表中第k(k≥3)行所有项的和. 考向三 数列的实际应用问题 【典例3】(2016·日照模拟)某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购车,银行贷款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元 【规范解答】设每年还款x元,需10年还清,那么各年还款利息情况如下: 第10年付款x元,这次还款后欠款全部还清; 第9年付款x元,过1年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)元; 第8年付款x元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)2元; … 第1年付款x元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)9元. 10年后应还款总数为20000(1+10%)10.
【一题多解】第1次还款x元之后欠银行
