第十六节 数列的综合应用
[自我反馈]
1．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2
n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( )
A ．－1或2
B ．0或2
C ．2
D ．1
解析：选C 由题意可知，a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ， 解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)， 又b n ＋1b n －1＝b 2
n ＝2b n (n ≥2)，
所以b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2.
2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝?????
a n 2
，当a n 为偶数时，
3a n ＋1，当a n 为奇数时.
若a 6＝
1，则m 所有可能的取值为( )
A ．{4,5}
B ．{4,32}
C ．{4,5,32}
D ．{5,32}
解析：选C a n ＋1＝?????
a n 2
，当a n 为偶数时，
3a n ＋1，当a n 为奇数时，
注意递推的条件是a n (而不是n )为偶
数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32.
3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．
解析：由题意知等差数列{a n }的公差d ＝
a 3－a 1
2
＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加的数为x ，
依题意有(8＋x )2
＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11.
答案：－11
4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *
)等于________．
解析：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得
2
1－2n
1－2
≥100，即2n
≥51，
而25＝32,26＝64，n ∈N *
，所以n ≥6. 答案：6
5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2
，数列{b n }为等比数列，且首项b 1＝1，b 4
＝8.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)若数列{c n }满足c n ＝ab n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2
－(n －1)2
＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1亦满足上式， 故a n ＝2n －1(n ∈N *
)．
又数列{b n }为等比数列，设公比为q ， ∵b 1＝1，b 4＝b 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴b n ＝2
n －1
(n ∈N *
)．
(2)c n ＝ab n ＝2b n －1＝2n
－1.
T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)
＝(21
＋22
＋ (2)
)－n ＝
2
1－2n
1－2
－n .
所以T n ＝2
n ＋1
－2－n .
考向一 等差数列与等比数列的综合问题
【典例1】(2016·济南模拟)已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }是等比数列.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式. (2)求数列{b n }的前n 项和.
【母题变式】
1.若本例题条件“{b n -a n }是等比数列”变为“{b n -a n }是等差数列”,其他条件不变,求数列{b n }的通项公式.
2.若本例题条件“b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }是等比数列” 变为“a n +2a n-1=
n b 1 ”,求数列{b n }的通项公式.
【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序. (2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果 等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可 能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一 个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的. 提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分 类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合. 【变式训练】(2016·天津模拟)已知等差数列{a n }的
公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则
159
23
a a a
a a
++
+
= ( )
【加固训练】
1.等比数列{a n}的公比为q,前n项和为S n,若S
n+1,S n,S n+2成等差数列,则公比q为( )或1 或-1
2.(2016·泰安模拟)已知数列{a n}是公差大于零的等
差数列,数列{b n}为等比数列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,
a3+b3=13.
(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式.
(2)设c n=a n a n+1,求数列
n
1
c
??
??
??
的前n项和T n.
因为d>0,所以d=2,q=2,a n=1+2(n-1)=2n-1,b n=2×
2n-1=2n,
即a n=2n-1(n∈N*),b n=2n(n∈N*).
考向二数列中的图表问题
【典例2】(1)(2016·德州模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
……………
按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________.
(2)(2016·太原模拟)下表是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.
a1,1a1,2a1,3a1,4…
a2,1a2,2a2,3a2,4…
a3,1a3,2a3,3a3,4…
a4,1a4,2a4,3a4,4…
……………
求数列{a n,2}的通项公式.
【解题导引】(1)求出第n行(n≥3)从左向右的第3个数为原数列的第几项,再求解.(2)构造方程组求出等差数列的公差与等比数列的公比.
(2)设第一行组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0),
则a2,3=qa1,3=q(1+2d)?q(1+2d)=6,
a3,2=q2a1,2=q2(1+d)?q2(1+d)=8,
解得d=1,q=,2=2?a n,2=2×2n-1=2n.
【规律方法】数列中常见的图表问题及解题关键
(1)分组型:数列的通项公式已知,将其按照一定的规则排列而成.解决这类问题的关键是找出图表或数阵中的项在原数列中的位置.
(2)混排型:图表或数阵中的行与列分别对应不同的数列.解决这类问题的关键是找出各个数列,将所求问题所在行或列的基本量求出.
(3)递推公式型:图表或数阵是按某种递推关系得到的,解决这类问题的关键是求出递推公式,再由递推公式求出通项公式.
【变式训练】(2016·青岛模拟)下面给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i 行第j 列数为a ij (i,j ∈N *
),则a 43=______.
14112
43334816
????
，，，
【加固训练】
1.(2016·北京模拟)已知a n
=( 13
)n
,把数列{a n
}的各项
排列成如下的三角形形状. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 ………………………
记A(m,n)表示第m 行的第n 个数,则A(10,12)= ( )
9392 94112
11 A.() B.(
)
33
11
C.()
D.()
33
2.(2016·合肥模拟)正整数按下列方法分组:{1},{2,3,
4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,记第n
组中各数之和为A n;由自然数的立方构成下列数组:{03,
13},{13,23},{23,33},{33,43},…,记第n组中后一个数
与前一个数的差为B n,则A n+B n=______.
【解析】由题意知,前n组共有1+3+5+…+(2n-1)=n2个数,所以第n-1组的最后一个数为(n-1)2,第n组的第一个数为(n-1)2+1,第n组共有2n-1个数,所以根据等差数列的前n项和公式可得
3.(2016·保定模拟)将数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1
a2a3
a4a5a6
a7a8a9 a10
……
记表中的第一列数a 1,a 2,a 4,a 7,…构成的数列为{b n }, b 1=a 1=1. S n 为数列{b n }的前n 项和,且满足
n
2
n n
n
2b b S S -
=1(n ≥2). (1)证明数列
n 1S ??????
成等差数列,并求数列{b n
}的通项公 式.
(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的 顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a 81=
491
- 时,求上表中第k(k ≥3)行所有项的和.
考向三数列的实际应用问题
【典例3】(2016·日照模拟)某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购车,银行贷款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元
【规范解答】设每年还款x元,需10年还清,那么各年还款利息情况如下:
第10年付款x元,这次还款后欠款全部还清;
第9年付款x元,过1年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)元;
第8年付款x元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)2元;
…
第1年付款x元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)9元.
10年后应还款总数为20000(1+10%)10.
【一题多解】第1次还款x元之后欠银行
20000(1+10%)-x=20000×,
第2次还款x 元后欠银行
[20000(1+10%)-x](1+10%)-x=20000×…
【规律方法】解答数列实际应用问题的步骤
(1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表:
(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确.
(3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.
易错提醒:解决数列应用问题,要明确问题属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,是求a n 还是S n ,特别是要弄清项数.
【变式训练】某市2015年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低
数列模型 基本特征 等差数列 均匀增加或者减少
等比数列 指数增长,常见的是增产率问题、存款复利问题
简单递推 数列
指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为20%,每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销,即数列{a n }满足a n+1=
价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2015年为累
计的第一年)将首次不少于4750万平方米
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的
比例首次大于85%(参考数据:≈,≈
,≈
答:到2024年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房的面积构成数列{b n},由题意可知,{b n}
是等比数列,其中b1=400,q=,则b n=400×.
由题意可知a n>,
有250+(n-1)×50>400××.
当n=5时,a5<,当n=6时,a6>,
即满足上述不等式的最小正整数n为6.
答:到2020年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【加固训练】
1.(2016·成都模拟)《张丘建算经》卷上第22题为:今
有女善织,日益功疾,且从第2天起,每天比前一天多织
相同量的布,若第1天织5尺布,现在一月(按30天计)共
织390尺布,则每天比前一天多织______尺布. ( )
181616A. B. C. D.2152931
2.某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求,进行减排治污.现以降低SO 2的年排放量为例,原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少万吨,已知该城市2011年SO 2的年排放量约为万吨. (1)按原计划,“十二五”期间该城市共排放SO 2约多少万吨
(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召,决定加大减排力度.在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下,自2013年起,SO 2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p,为使2020年这一年SO 2的年排放量控制在6万吨以内,求p 的取值范围.
98
22(0.950 60.955 9)33
≈≈参考数据：，
答:按原计划,“十二五”期间该城市共排放SO 2约为万吨.
答:SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为%,1).
考向四数列与函数、不等式的综合问题【考情快递】
【考题例析】
命题方向1:数列与函数的综合问题
【典例4】(2014·陕西高考)设f n(x)=x+x2+…+x n-1,n∈N,n≥2.
命题方向2:数列与不等式的综合问题
【典例5】(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1. (1)证明
n 1{a }
2
+ 是等比数列,并求{a n }的通项公式. (2)证明:
12n 1113.a a a 2
++?+<
【技法感悟】
1.解决函数与数列的综合问题的基本思路
(1)数列是一类特殊的函数,它的图象是一群孤立的点;因此可考虑借助数形结合的思想思考数列问题.
(2)可将数列问题转化为函数问题,借助函数的知识,如单调性、最值来解决.
2.数列中不等式的处理方法
(1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式.
(2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.
(3)比较方法:作差或者作商比较.
【题组通关】
1.(2016·济南模拟)已知等比数列{a n}的首项a1=2014,
1
,记b n=a1a2a3…a n,则b n达到最大值时,n的值
公比为q=
2
为( )
D.不存在
2.(2016·青岛模拟)已知函数f(x)=
()x 63a x 3(x 7)a (x 7),
-?--≤????,＞
若数列{a n }满足a n =f(n)(n ∈N *
),且{a n }是递增数列,则 实数a 的取值范围是__________.
3.(2016·滨州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1= 1,a n+1=2S n +1(n ∈N *
),等差数列{b n }中b 2=5,且公差d=2. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式.
(2)是否存在正整数n,使得a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n >60n 若存 在,求出n 的最小值,若不存在,请说明理由. 【解析】(1)a 1=1,a n+1=2S n +1, 所以当n ≥2时,a n =2S n-1+1,相减得: a n+1=3a n (n ≥2),又a 2=2a 1+1=3,所以a 2=3a 1,
所以数列{a n }是以1为首项,3为公比的等比数列,a n = 3n-1
.
又b 2=b 1+d=5,所以b 1=3,b n =2n+1. (2)a n ·b n =(2n+1)·3n-1
,
令T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =3×1+5×3+7×32
+…+(2n-1) ×3n-2
+(2n+1)×3n-1
①,
3T n=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n②,
①-②得:-2T n=3×1+2(3+32+…+3n-1)-(2n+1)×3n,
所以T n=n×3n,
所以n×3n>60n,即3n>60,当n≤3时,3n<60,
当n≥4时,3n>60,
所以存在n的最小值为4.
课时提升作业
1.(2014·北京高考)设{a n}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{a n}为递增数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件【解析】选D.当a1<0,q>1时,{a n}是递减数列;
当{a n}为递增数列时,a1<0,0
因此,“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.
【加固训练】(2016·南昌模拟)在公差不为0的等差数列{a n}中,2a3-+2a11=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= ( )
B.4
【解析】选D.因为{a n}是等差数列,所以a3+a11=2a7,所以2a3-+2a11=4a7-=0,解得a7=0或4,因为{b n}为等比数列,所以b n≠0,
所以b7=a7=4,b6b8==16.
2.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于( )
(2n+3) (n+4)
(2n+3) (n+4)
【解析】选 A.由题意可设f(x)=kx+1(k≠0),则(4k+1)2=(k+1)×(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=2n2+3n=n(2n+3).
3.(2016·聊城模拟)已知a,1,c成等差数列,a2,1,c2成等比数列,则log(a+c)(a2+c2)= ( )
或log26 或log26
【解析】选B.由条件得ac=±1,所以log(a+c)(a2+c2)=log2(4-2ac)=1或log26.
4.(2016·烟台模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,问最小的一份为( )
A. B. C. D.
【解析】选 A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以a=20,
由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,解得d=,
所以最小1份为a-2d=20-=.
5.(2016·济宁模拟)已知a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则+等于( )
B.3
【解析】选C.由题意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,则+==
==2.
【一题多解】解答本题,还有以下解法:
特殊值法:选C.因为a,b,c成等比数列,
所以令a=2,b=4,c=8,
又a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,
则m==3,n==6,
因此+=+=2.
6.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=4(n≥1),且a1=9,其前n项和为S n,则满足不等式|S n-n-6|<
的最小整数n的值为( )
B.6
【解析】选C.由已知式子变形得3(a n+1-1)=-(a n-1),则{a n-1}是以8为首项,-为公比的等比数列,则|S n-n-6|=|a n-1+a n-1-1+…+a1-1-6|==6×<,化简得
3n-1>250,故满足条件的最小整数n的值为7.
7.(2016·烟台模拟)学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选A菜的,下星期一会有20%改选B菜;而选B菜的,下星期一会有30%改选A菜,用a n表示第n个星期一选A菜的人数,如果a1=428,则a4的值为( )
B.316
【解析】选B.依题意有:a n=a n-1+(500-a n-1)=a n-1+150(n≥2,n∈N*),
即a n-300=(a n-1-300)(n≥2,n∈N*),a n=128·+300,
因此a4=128·+300=316.
【加固训练】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S n(单位:万件)近似地满足S n=(21n-n2-5)(n=1,2,…,12).按此预测,在本年度内,需求量超过万件的月份是( )
月,6月月,7月
月,8月月,9月
【解析】选 C.设第n个月的需求量为a n,因为从年初开始的n个月内累积的需求量为S n(n=1,2,3,…,12).
所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=(21n-n2-5)-[21·(n-1)-(n-1)2-5]
=(-n2+15n-9).
当n=1时,a1=S1=,适合上式,综上可知,a n=(-n2+15n-9).
数列的综合应用 导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用． 自主梳理 1．数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会． (1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法． (2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题． (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的． (4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n 求a n 时，要对______________进行分类讨论． 2．数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型． (1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n 还是求S n . (2)分期付款中的有关规定 ①在分期付款中，每月的利息均按复利计算； ②在分期付款中规定每期所付款额相同； ③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值； ④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和． 自我检测 1．(原创题)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为 ( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44 2．(2017·汕头模拟)在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6 a 16 等于 ( ) A.23 B.32 C ．－16 D ．－56 3．若{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，把{a n }的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，设{b n }的前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，下列结论正确的是 ( ) A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝1 2(3n －1) B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝1 2(3n －1) C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝1 2(3n －1)－2n D ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝1 2 (3n －1)－2n
江苏省淮安中学高二数学学案 一、考点要求：抓住基本数列的关系，使所求与已知建立联系，将未知向已知转化，灵活运用公式与性质，解决一些问题。 二、课前检测 1、互不相等的三个数，a 、b 、c 成等差数列，x 是a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，则222,,x b y 三个数 （1）、成等差非等比数列 （2）、 成等比非等差数列 （3）、成等差又成等比数列 （4）、既不成等差又不成等比数列 2、已知a ，b ，a+b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列,且0＜ log m ab ＜1，则m 的取值范围为 3、在等差数列{a n }中，若a 10＝0 ，则有等式12n a a a +++ ＝1219n a a a -++ （n ＜19 ,n∈N +)成立，类比以上性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1 ，则有 成立。 三、 典型例题 例题1、已知数列｛a n ｝，其中a 1=1,a n =3n-1a n-1((n≥2，n∈N *)，数列｛b n ｝的前n 项和S n =log 3( 9 n n a )( n∈N *). （1）求数列｛a n ｝的通项公式； （2）求数列｛b n ｝的通项公式； （3）求数列｛|b n |｝的前n 项和T n . 例题2、已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 。 例题3、 121()2OP OP OP =+ 若,且P 点的横坐标为12，设函数()x f x =的图象上两点111222(,),(,)P x y p x y （1）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个值；
1.2.3 数列的综合应用 1．已知数列{a n }为等差数列，满足OA →＝a 3OB →＋a 2 013OC → ，其中A ，B ，C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 015的值为( ) A.2 0152 B.2 015 C.2 016 D.2 013 解析：依题意有a 3＋a 2 013＝1， 故S 2 015＝a 3＋a 2 013 2·2 015＝2 015 2 .故选A. 答案：A 2．(2019·葫芦岛一模)数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q ＞1，且a 5＝b 5，则( ) A ．a 3＋a 7＞b 4＋b 6 B.a 3＋a 7≥b 4＋b 6 C ．a 3＋a 7＜b 4＋b 6 D.a 3＋a 7＝b 4＋b 6 解析：数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q ＞1， 由a 3＋a 7＝2a 5＝2b 5，b 4＋b 6≥2b 4b 6＝2b 5， a 3＋a 7≤ b 4＋b 6， 由于q ＞1可得a 3＋a 7＜b 4＋b 6，故选C. 答案：C 3．(2019春·龙凤区校级月考)在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 9＞0，S 10＜0，则在S 1a 1，S 2a 2，…，S 9a 9 中最大的是( ) A.S 1a 1 B.S 8a 8 C.S 5a 5 D.S 9a 9 解析：依题意，数列{a n }是等差数列，其前n 项和是S n ， S 9＞0，S 10＜0，所以? ?? ?? 9a 5＞0， a 5＋a 6＜0， 所以a 5＞0，a 6＜0，所以公差d ＜0， 所以当6≤n ≤9时S n a n ＜0，当1≤n ≤5时S n a n ＞0. 又因为当1≤n ≤5时，S n 单调递增，a n 单调递减，
第十六节 数列的综合应用 [自我反馈] 1．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2 n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( ) A ．－1或2 B ．0或2 C ．2 D ．1 解析：选C 由题意可知，a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ， 解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)， 又b n ＋1b n －1＝b 2 n ＝2b n (n ≥2)， 所以b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2. 2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝????? a n 2 ，当a n 为偶数时， 3a n ＋1，当a n 为奇数时. 若a 6＝ 1，则m 所有可能的取值为( ) A ．{4,5} B ．{4,32} C ．{4,5,32} D ．{5,32} 解析：选C a n ＋1＝????? a n 2 ，当a n 为偶数时， 3a n ＋1，当a n 为奇数时， 注意递推的条件是a n (而不是n )为偶 数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32. 3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________． 解析：由题意知等差数列{a n }的公差d ＝ a 3－a 1 2 ＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加的数为x ， 依题意有(8＋x )2 ＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11. 答案：－11 4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N * )等于________． 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得 2 1－2n 1－2 ≥100，即2n ≥51，
数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 二、典例讲解 1．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11 +=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和 为n B ，求证：2 1 ③．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证： 1 1213-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中， 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数）， 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的 逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++ 专题限时训练 (小题提速练) (建议用时：45分钟) 一、选择题 1．设数列{}a n 满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2 a n ＋1 (n ∈N *)，若数列{}a n 是常数列，则a ＝( ) A ．－2 B.－1 C.0 D.(－1)n 解析：因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2 －2 a ＋1 ，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.故选A. 答案：A 2．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1 n B.a n ＝ 2n ＋1 C ．a n ＝2 n ＋2 D.a n ＝3n 解析：由已知2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2， 可得 1 a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1 ， 所以??????1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1 a 1 ＝2－1＝1 的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1 n . 答案：A 3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，若S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B.9 C.10 D.11 解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，∴S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100， 解得n ＝10. 答案：C 4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1 3(a 5＋a 7＋a 9)＝( ) A ．－5 B.－15 C.5 D.15 解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . 数列的综合应用教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 11 =+ 1、等差数列{}n a 中,若124a a +=, 91036a a +=,则10S =______. 2. 设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若 11a =,21179 d -<<-, 则当n S 取最大值时,n 的值为_ __. 3.在等差数列{}n a 中，S n 是它的前n 项的和，且8776,S S S S ><，给出下列命题：①此数列公差0 6.5数列的综合应用 考点一 等差数列与等比数列的综合问题 『典例』 (2011·江苏高考)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________． 『解析』 因为a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，又a 1＝1，所以a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3.因为a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，所以a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2. 法一： 因为1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，所以???? ? 1≤a 2≤a 3≤a 4，a 4≤a 5≤a 6， a 7≥a 6， 即???? ? a 2 ≤q ≤a 2 ＋1， a 2 ＋1≤q 2 ≤a 2 ＋2，解得 33≤q ≤ 3，故q 的最小值为 3 3. q 3 ≥a 2 ＋2， 法二： a 6＝a 2＋2≥3，即a 6的最小值为3.又a 6≤a 7，所以a 7的最小值为3即q 3≥3，解得a ≥ 3 3.故q 的最小值为3 3. 『答案』 33 『备课札记』 『类题通法』 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解． 『针对训练』 在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ， 数列的综合运用 考纲要求 能运用数列的等差关系式或等比关系解决实际问题. 考情分析 1.数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式． 2.常与其他知识的交汇命题，考查学生的转化化归能力如与函数、不等式、解析几何等交汇考查． 3.各种题型都有可能出现. 教学过程 基础梳理 1．等比数列与等差数列比较表 2. (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 3．数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n＋1的递推关系，还是S n与S n＋1之间的递推关系． 双基自测 1．某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是 ( ) A．800 B．820 C．840 D．860 2．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌 在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( ) A．6秒钟B．7秒钟 C．8秒钟D．9秒钟 3．若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的个数为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．不能确定 4．5·12汶川大地震后，山东天成书业公司于2008年8月向北川中学捐赠《三维设计》系列丛书三万册，计划以后每年比上一年多捐5 000册，则截至到2012年，这5年共捐________万册． 5．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为2π 3 ，公差为 π 36 ，则这个 多边形的边数为________． 典例分析考点一、等差数列与等比数列的综合应用 [例1] (2010·福建高考)数列{a n}中，a1＝1 3 ，前n项和S n满足S n＋1－S n＝ ? ? ? ? ?1 3 n+1(n ∈N*) (1)求数列{a n}的通项公式a n以及前n项和S n； (2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值． 变式1．(2012·北京东城区综合练习)在等比数列{a n}中，a n>0(n∈N*)，公比q ∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{a n}的通项公式； (2)设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，当S1 1 ＋ S2 2 ＋ S3 3 ＋…＋ S n n 最大时，求n 的值． 【巩固练习】 一、选择题 1．已知函数2 2 ()n n f n n n =-???当为奇数时当为偶数时 ，且()(1)n a f n f n ＝＋＋ ，则123100a a a a ?＋＋＋＋等于( ) A ．0 B ．100 C ．－100 D ．10200 2．如果数列{}n a 满足12=2=1a a ，，且()11 11 2n n n n n n a a a a n a a -+-+--=≥，则这个数列的第10项等于( ) A. 101 2 B. 912 C.110 D.1 5 3．数列{}n a 中，1(1)n a n n =+，其前n 项和为9 10 ，则在平面直角坐标系中，直线(1)=0n x y n +++在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a ＞，80a ＜，则下列结论正确的是( ) A ．78S S ＜ B ．1516S S ＜ C ．130S ＞ S 13＞0 D ．150S ＞ 5．数列{}n a 是等差数列，若11 10 1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n ＝( ) A ．11 B ．17 C ．19 D ．21 二、填空题 6. 已知数列{}n a 中22n n a =+，求前n 项和n S = . 7．求数列 114?，147 ?，…，1(32)(31)n n -+，…的前n 项和n S = . 8．已知函数()232f x x x ＝ －，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，n S )(n∈N * )均在函数f(x)的图象上，13n n n b a a += ，T n 是数列{}n b 的前n 项和，则使得20 n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m 等于________． 9．设函数()21123n n f x a a x a x a x -?＝＋＋＋＋，若已知1 (0)2 f =，且数列{a n }满足()2*1()n f n a n ∈N ＝，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝________. 10．已知函数()2log f x x ＝，若数列{}n a 的各项使得()()()1222+4n f a f a f a n ，，，，， 成等差数列，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝________. 三、解答题 11. 求下列各数列的前n 项和n S ： ⑴ 12，34，5 8 ，…，212n n -，； ⑵ 1，3a ，25a ，…，()1(21)n n a a --∈R ，； ⑶ 222212...1(2)3(4)(1)n n ----，，，，，， . 数列的综合运用（一） 一、选择题 1.已知数列{}n a 中，1(1)21n n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前12和12S =（ ） A.76 B.78 C.80 D.82 2.在 ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，若b =，则a c +的最大值为（ ） A. 3 2 B.3 C. D.9 二、填空题 3.在等差数列{}n a 中，12a =，36a =，若将1a ，4a ，5a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 . 4.已知数列{}n a 中，11a =，22a =，122(3)n n n a a a n --=+≥，则1260a a a +++= . 三、解答题 5.在数1和2之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记为n A ，令2log n n a A =，n ∈N +. （1）求数列{}n A 的前n 项和n S ； （2）求2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=?+?++? 的值. 6.已知数列1 {2 }n n a -?的前n 项和12n n S =- . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设||n n a b n =，求数列1 {}n b 的前n 项和. 7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-；正项数列{}n b 满足11n n n n b b b b ---=（2n ≥，n ∈n ∈N +），11b =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 8.若数列{}n a 满足11a =，13(n n a a n +=∈N +). （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知等差数列{}n b 的各项均为正数，其前n 项和为n T ，且315T =，又11a b +，22a b +， 33a b +成等比数列，求n T . 9.已知等比数列{}n a 满足13223a a a +=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2 1l o g n n n b a a =+，12n n S b b b =+++ ，求使1 2470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值. 数列的综合应用 数列综合应用题型分类: 一、数列与函数的综合; 二、数列与不等式的综合； 三、数列与平面解析几何的综合； 四、数列与极限、数学归纳法、导数等知识的综合。 数列与函数的综合应用 ——数列的综合应用之一 一、典例培析 1、已知函数2*1 ()(,,)ax f x a b N c R bx c += ∈∈+是奇函数，在区间(0,)+∞上()(1)f x f ≥恒成立，且(1)1f ≥ （1）求函数()f x 的解析式； （2）是否存在这样的区间D ：①D 是()f x 定义上的一个子区间；②对任意12,,x x D ∈当 1212120,|()||()|x x x x f x f x ><<且时有，若存在，求出区间D ；若不存在，说明理由。 （3）若数列{}n a ，{}n b 满足关系：111 ,()12n n n n n b a a f a b ++==-，当13a =时，求数列{} n b 的通项公式，且当{}n b 的前n 项之积1 128 n T ≥时，求n 的最大值。 2 、已知函数()2)f x x = <- （1）求()f x 的反函数1 ()f x -； （2）设1*11 1 1,()()n n a f a n N a -+==-∈，求n a ； （3）设22 2121, n n n n n S a a a b S S +=+++=- 是否存在最小正整数m ，使得对任意* n N ∈，都有25 n m b <成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由。 3、定义：称 12n n p p p +++ 为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”。若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 1 21 n +， （1）求{}n a 的通项公式； （2）设21 n n a C n =+，试判断并说明*1()n n C C n N +-∈的符号； （3）设函数2()421 n a f x x x n =-+-+是否存在最大的实数λ，当x λ≤时，对一切* n N ∈， 都有()0f x ≤成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。 4、设数列{},{}n n a b 满足：1122336,4,3a b a b a b ======且数列1{}n n a a +-是等差数列，{2}n b -是等比数列。 （1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）是否存在* k N ∈，使1 02 k k a b <-< ？若存在，求出k ；若不存在，说明理由。 5、已知函数()log (01)a f x x a a =>≠且，若数列*122,(),()(),24()n f a f a f a n n N +∈ 成等差数列， （1）求{}n a 的通项公式； （2）若01a <<，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求lim n n S →∞ ； (3)记n m S →表示这个数列的第n 项到第m 项共1m n -+项的和，求证： ,,n n m p p m S S →+→+*(2,,,)r r m S p r n m n p r N →+=+∈且成等比数列； （4）若2a =，设()n n n b a f a =?对任意* n N ∈，都有1()n b f t ->，求t 的范围。 6、已知*111 1()23n S n N n =++++∈ ，设211()n n f n S S ++=-，试确定实数m 的取值范围，使得对于任意2n ≥，不等式：2 2111()[log (1)][log ]20 m m f n m m ->--恒成立。 高考数学第一轮复习19数列的综合应用 19．数列的综合应用 班级 姓名 一.选择题： 1.在100与500之间能被9整除的所有数之和为 （ ） (A)12699 （B ）13266 （C ）13832 （D ）1450 2.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为 （ ） （A ）251- （B ） 2 252- （C ） 2 15- （D ） 2 252+ 3.设数列{a n }的前n 项和为S n ，令n S S S T n 21n +++= ， 称T n 为数列a 1,a 2,…,a n 的“理想数”，已知数列a 1,a 2,…,a 500的“理想数”为2004,那么数列2，a 1,a 2,…,a 500的“理想数”为 （ ） （A ）2002 （B ）2004 （C ）2006 （D ）2008 4．已知f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=2，则 f(1)+f(2)+…+f(n)不能等于 （ ） （A ）f(1)+2f(1)+…+nf(1) （B ）]2)1n (n [f + （C ）n(n+1) （D ）n(n+1)f(1) 5．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿，比上年增长7.3%”，如果“十五”期间（2001年-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为 （ ） （A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元 二．填空题： 6．若等比数列{a n }的前n 项和S n =3n +a ，则a 的值为 . 7．等差数列{a n }为1，3，5，7，…，若数列{b n }满足b 1=3，且) N n (,a b n b 1 n *+∈=，则{b n }的一个通项 公式是 . 8．已知数列{a n }满足a 1=24，且a n+1-a n =2n ，那么a 45的值是 . 第十一讲 数列的综合应用 【复习要求】 灵活运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题． 【复习重难点】 掌握一些简单的递推数列、子数列问题的处理方法及一些数列证明题的证明方法． 一、【基础训练】 1． 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________． 答案：56n 2－76 n 解析：由条件得 ???S 6＝6a 1＋6× 52d ＝23，S 9＝9a 1 ＋9×82d ＝57，即???a 1＝－13，d ＝53，故a n ＝56n 2 －76n ． 2．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和．若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________． 答案：64 解析：a 22＝a 1a 5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，所以d ＝2，故S 8＝8＋8×72 ×2＝64． 3． 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足关 系式S n ＝n 90 (21n －n 2－5)(n ＝1，2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是________． 答案：7、8 解析：由S n 解出a n ＝130 (－n 2＋15n －9)， 再解不等式130 (－n 2＋15n －9)>1．5，得6 高考专题训练十二 等差数列、等比数列、数列的综合应用 班级______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分______ 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上． 1．(2011·上海)设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)．则{A n }为等比数列的充要条件是( ) A ．{a n }是等比数列 B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列 C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列 D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同 解析：依题意有A i ＝a i a i ＋1 ∴A n ＝a n a n ＋1，∴A n ＋1＝a n ＋1a n ＋2 {A n }为等比数列?A n ＋1A n ＝q (q >0)，q 为常数 ∵A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q . ∴a 1，a 3，a 5…a 2n ＋1…和a 2，a 4…a 2n …都成等比数列且公比相同． 答案：D 2．如果等差数列{a n }中a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 解析：本小题主要考查等差数列的性质，前n 项和的求法以及转化的数学思想． 由等差数列的性质知，a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12?a 4＝4，故a 1＋a 2 ＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28. 答案：C 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 9＝45，则数列{a n }的公差为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D.1 2 解析：记等差数列{a n }的公差为d ，依题意得，S 9＝9a 1＋9×8 2d ＝9＋36d ＝45，解得d ＝1，选B. 答案：B 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则 S n ＋64 a n 的最小值为( ) A ．7 B.152 C ．8 D.172 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋d ＝4,10a 1＋10×9 2d ＝ 110，∴a 1＝d ＝2，于是a n ＝2n ，S n ＝n 2＋n ， ∴S n ＋64a n ＝12? ????n ＋64n ＋12≥8＋12＝172(当且仅当n ＝8时取 “＝”)，选D. 答案：D 5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.令b n ＝1 n (a 1＋a 2＋…＋ 第四章 数列 §4.3数列的综合应用 一、知识导学 1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型. 2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求S n 还是求a n .一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q. 二、疑难知识导析 1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问题， 转化为解不等式? ?? ? ? ????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或解决； 2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公 式时，勿忘分类讨论思想； 3.等差数列中, a m =a n + (n －m)d, n m a a d n m --=; 等比数列中，a n =a m q n-m ; m n m n a a q =- 4.当m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈+N ）时，对等差数列｛a n ｝有：a m +a n =a p +a q ；对等比数列｛a n ｝有：a m a n =a p a q ； 5.若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n +bb n }(k 、b 是非零常数)是等差数列；若{a n }、{b n }是等比数列，则｛ka n ｝、{a n b n }等也是等比数列； 6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a 1+a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9…）仍是等差（或等比）数列； 7.对等差数列｛a n ｝,当项数为2n 时，S 偶-S 奇＝nd ；项数为2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中（n ∈+N ）； 8.若一阶线性递推数列a n =ka n －1+b （k ≠0,k ≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1 (11-+=-+-k b a k k b a n n (n ≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式； 三、经典例题导讲 [例1]设{}n a 是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和.证明： 12 12 2 12 1log 2 log log +++n n n S S S ＞。 第5讲 数列的综合应用 【2013年高考会这样考】 1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题． 2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力． 【复习指导】 1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算． 2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等． 3 ．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法． 基础梳理 1．等比数列与等差数列比较表 不同点 相同点 等差数列 (1)强调从第二项起每 一项与前项的差； (2)a 1和d 可以为零； (3)等差中项唯一 (1)都强调从第二项起每一项与前项的关系； (2)结果都必须是同一个常数； (3)数列都可由a 1，d 或a 1，q 确定 等比数列 (1)强调从第二项起每 一项与前项的比； (2)a 1与q 均不为零； (3)等比中项有两个值 2.解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 3．数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加 (或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化 而变化时，应考虑是a n与a n ＋1的递推关系，还是S n与S n ＋1 之间的递推关系． 一条主线 数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解． 两个提醒 (1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题． (2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注． 三种思想 (1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)． (2)数列与不等式结合时需注意放缩． (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为()． A．－4 B．－6 C．－8 D．－10 解析由题意知：a23＝a1a4.则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得：a2＝－6. 答案 B 2．(2011·运城模拟)等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等 第五节 数列的综合应用 题型一 数列在数学文化与实际问题中的应用 [典例] (1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( ) A ．60里 B ．48里 C ．36里 D ．24里 (2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元 的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元． [解析] (1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为1 2的等比数列{a n }， 设等比数列的首项为a 1，则a 1() 1－1 26 1－ 12＝378， 解得a 1＝192，所以a 4＝192×18＝24，a 5＝24×1 2＝12， 则a 4＋a 5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里． (2)2022年1月1日可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4] 1－(1＋p ) ＝a p [(1＋p )5－(1＋p )] ＝a p [(1＋p )5－1－p ]． [答案] (1)C (2)a p [(1＋p )5－1－p ] [方法技巧] 1．数列与数学文化解题3步骤 1．在我国古代著名的数学名著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( ) A ．9日 B ．8日 C ．16日 D ．12日 解析：选A 由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－0.5.设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋ m (m －1)×13 21-2-2 数列递推关系综合应用 解析版
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