必修四三角函数和三角恒等变换知识点与题型分类总结

三角恒等变换题型归纳梳理一、知识点总结：1、同角三角函数的基本关系式 ：①22sin cos 1θθ+=，②tan θ=θθcos sin ， 2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3、和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=. ααααcos sin 21)cos (sin 2±=±ϕ由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 4、二倍角公式及降幂公式sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-. 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+== 5、三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+， (A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=； 函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 二、重难点题型突破：1、两角和与差的余弦公式的应用cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=例1．（1）（2019·山东高一期末）（ ）A B ． C ．D ． 10208020cos cos cos sin ︒-︒︒=1212-【解析】由诱导公式，所以选择A （2）．已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】为锐角，且，.为第三象限角，且，，.故选A. 【变式训练】（1）（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考）cos80cos 200sin100sin340+=（ ）A ．12B ．2C ．12-D【详解】()()()cos80cos 200sin100sin340cos80cos 18020sin 18080sin 36020+=++--()cos80cos 20sin80sin 20cos80cos 20sin80sin 20=--=-+()1cos 8020cos602=--=-=-.故选：C.（2）（2018·徐汇区·上海中学高三月考）1cos(2)9αβ-=-，2sin(2)3αβ-=，且α、02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()cos αβ+=________102080201020sin1020cos cos cos sin cos cos sin︒-︒︒=︒-︒︒1020sin1020cos(1020)cos302cos cos sin ︒-︒︒=︒+︒=︒=αβ12cos 13α=3sin 5β=-()cos αβ-6365-3365-63653365α12cos 13α=5sin 13α∴==β3sin 5β=-4cos 5β∴==-()12453cos cos cos sin sin 135135αβαβαβ⎛⎫⎛⎫∴-=+=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6365=-【详解】由,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得：2,2παβπ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，2,2παβπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又1cos(2)09αβ-=-<，2sin(2)03αβ-=>，所以2,2παβπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，20,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin(2)αβ-=，cos(2)αβ-=，又因为(2)(2)αβαβαβ+=---，所以 ()[]cos cos (2)(2)αβαβαβ+=---cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)αβαβαβαβ=--+--1293=-+=. 二、两角和与差的正弦公式的应用sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±例2．（1）（2021·江苏高一）sin11cos19cos11cos71︒︒+︒︒的值为（ ）A B ．12C D 【详解】sin11cos19cos11cos71︒︒+︒︒sin11cos19cos11sin19=︒︒+︒︒()1sin 1119sin 302=︒+︒=︒=.故选：B. （2）（2020·湖南省平江县第一中学高三月考）若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=，5cos()13αβ+=，则sin β的值为（ ）A ．1665-B ．3365C ．5665D ．6365【详解】因为,αβ为锐角，且4cos 5α=，5cos()13αβ+=， 所以312sin ,sin()513ααβ=+=，所以故sin sin[()]βαβα=+-124533313513565=⨯-⨯=，故选：B.【变式训练】．（1）（2020·全国高一课时练习）sin152sin 30cos15+=__．【详解】sin152sin 30sin152sin(4515)cos15cos15++-=sin15cos15sin151cos15+-==．答案为：1． （2）（2021·浙江宁波市·高一期末）已知35sin ,cos ,0,,,51322ππαβαβπ⎛⎫⎛⎫==-∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ+=________.【详解】30,,sin 25παα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则4cos 5α=，5,,cos 213πβπβ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭，则12sin 13β= ()3541233sin sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：3365三、 两角和与差的正切公式的应用tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=例3．（1）（2020·全国高一单元测试）已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247-B ．7-C ．247D ．1731【详解】由题意，利用任意角的三角函数的定义可得44tan 33α-==-， 所以41tan 13tan 7441tan 13πααα++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-.故选：B . （2）．已知，，那么（ ）()2tan 5αβ+=1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．【解析】因为，所以，故选:C【变式训练】（1）（2019·山东菏泽市·高一期中）已知α，β为锐角，3sin 5α=，12cos 13β=，则()tan αβ+的值为（ ）A ．5633B ．1663C ．3356D ．6316【详解】因为α，β为锐角，3sin 5α=，12cos 13β=，所以4cos 5α=，5sin 13β=.所以3tan 4α=，5tan 12β=. 所以()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-⋅5633.故选：A.（2）（2020·上海）()()()()1tan11tan 21tan31tan 44︒︒︒︒++++的值为（ ）． A ．222B ．232C ．112D ．122【详解】因为()tan1tan 44tan 45tan 14411tan1tan 44+=+==-，所以tan1tan 441tan1tan 44+=-，所以()()1tan11tan 441tan1tan 44tan1tan 44︒︒︒︒++=+++11tan1tan 44tan1tan 442︒=+-+=.同理：()()()()1tan 21tan 431tan31tan 42︒︒︒︒++=++()()1tan 221tan 232︒︒==++=所以，()()()()1tan11tan 21tan31tan 44︒︒︒︒++++13181322322518()44ππααββ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭()()()tan tan 34tan tan 44221tan tan 4παββππααββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦++- ⎪⎝⎭()()()()()()1tan11tan 441tan 21tan 431tan 221tan 23︒︒︒︒︒︒⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⋅++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦222=.故选：A.四、二倍角公式的应用sin 2sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-；221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+== 例4．（1）（2020·昆明市官渡区第一中学高一开学考试）已知cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．45B ．25C ．45±D ．25±【详解】cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,24cos 2=2cos 1245ππαα⎛⎫⎛⎫∴++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即4sin 25α-=-, 所以4sin 25α=.故选:A . （2）.（2020·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中高一期末（文））已知tan 34πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A ．34-B ．43-C ．34D ．43【详解】tantan 1tan 4tan 341tan 1tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-，解得1tan 2α=， 因此，22122tan 42tan 21tan 3112ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D 【变式训练】（1）（2020·新疆生产建设兵团第五师高级中学高一开学考试）已知α是锐角，1sin 233πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．3B ．3-C ．3D ．3-【详解】设12x πα=-，则12x πα=-，则1sin 2sin 2sin 2cos 2312323x x x ππππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 02πα<<，5121212πππα∴-<-<，即51212x ππ-<<，所以，cos 0x >，21cos 22cos 13x x ∴=-=，22cos 3x ∴=，因此，cos 3x =.故选：A. （2）（2020·江西高三月考（文））已知3tan 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．817B ．817-C ．1517D ．1517-【详解】设6παθ+=，则223παθ+=，3tan tan 65παθ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，2222sin cos 2tan 15sin 22sin cos cos sin 1tan 17θθθθθθθθθ∴====-++．故选：D. 五、辅助公式的应用例5.（1）（2020·恩施清江外国语学校高二期末）函数())cos()2f x x x ππ=-+-的单调增区间为（ ） A ．5[2,2],66k k k Z ππππ-++∈ B ．2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈ C ．5[2,2],66k k k Z ππππ-++∈ D ．2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈【详解】())cos()2f x x x ππ=-+-cos x x =-2sin()6x π=-令22262k x k πππππ-+≤-≤+，解得：22233k x k ππππ-+≤≤+ 所以函数()f x 的单调递增区间为：2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈，故选：D（2）（2020·全国高三专题练习（理））已知向量()sin cos a x x x =-，()sin ,cos b x x =，函数()f x a b =⋅．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．【详解】（1）向量()sin cos a x x x =-，()sin ,cos b x x =，()()222sin cos cos cos sin cos f x a b x x x x x x x x∴=⋅=+-=+-2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，解不等式()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.因此，函数()y f x =的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，()12f x ∴-≤≤. 因此，函数()y f x =在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-.【变式训练】（1）（2020·忻州实验中学校月考）函数21()sin cos )2f x x x x =+-最小正周期为（ ） A ．2B ．1C ．2πD ．π【详解】21sin 21cos 21()sin cos )2222x x f x x x x +⎫=+-=+-⎪⎭1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，22T ππ∴==.故选：D（2）（2020·邵阳市第二中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ）A ．13B ．23C ．43D ．83【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈，0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 三、课后训练1．（2020·莆田第七中学高二期中）sin 45cos15cos 45sin15⋅+⋅的值为（ ）A ．B ．12-C ．12D ．2【详解】3sin 45cos15cos 45sin15sin(4515)sin 60⋅+⋅=+==，故选：D.2.（2020·蚌埠第一中学高三期中）已知sin α=，()sin 10αβ-=-，,αβ均为锐角，角β等于（ ）A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6【详解】因为,αβ均为锐角，所以22ππαβ-<-<.又()sin αβ-=，所以()cos αβ-=.又sin α=，所以cos α=. 所以()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦=5105102⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭.所以π4β=.故选：C . 3．（2020·全国高二）已知α、β为锐角，3cos 5α=，()1tan 3βα-=，则tan β=（ ） A ．139B ．913C ．3D ．13【详解】α为锐角，则24sin 1cos 5αα，所以，sin 4tan cos 3ααα==， ()()()14tan tan 33tan tan 3141tan tan 133βααββααβαα+-+∴=-+===⎡⎤⎣⎦---⨯.故选：C. 4.（2020·广西桂林十八中高三月考（文））已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ）A ．23B ．29C ．13-D ．49-【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=， 所以221cos22cos1133αα=-=-=-.故选：C. 5．（2020·林芝市第二高级中学高一期末）计算sin15sin30sin75的值等于（）AB C ．18D ．14【详解】原式111sin15cos15sin30248===．故选C 6．（2021·全国高三专题练习）要得到函数2sin 2y x x =+-2sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位【详解】依题意2ππsin 22sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位.所以选C.7．（2020·邵阳市第二中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ）A ．13B ．23C ．43D ．83【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C.8.（2020·杭州市西湖高级中学高一月考）在ABC ∆中，若()sin sin sin 2A B C C +-=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【详解】()sin sin sin 2A B C C +-=，()()sin sin sin 2B C B C C ∴++-=，化简得sin cos sin cos B C C C =，即()cos sin sin 0C B C -=.cos 0C ∴=或sin sin 0B C -=，即2C π=或b c =.因此，ABC ∆为等腰三角形或直角三角形.故选：D.9．（2019·河北邢台市·邢台一中高一期末）已知()tan αβ1+=，()tan αβ7-=，则tan2β=______．【详解】()()()()()()tan tan 173tan2tan 1tan tan 1174αβαββαβαβαβαβ+---⎡⎤=+--===-⎣⎦++-+⨯,故答案为34- 10.（2020·浙江高一单元测试）已知15sin 17α=，5cos 13β=-，且 ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos()αβ+，sin()αβ-.【详解】∵15sin 17α=，∴ 8cos 17α==±，∵ ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ 8cos 17α=-，∵ 5cos 13β=-，∴ 12sin 13β==±，∵ ,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ 12sin 13β=， ∴ 851512cos()cos cos sin sin ()140()17131713221αβαβαβ+=-=-⨯---⨯=； 155812sin()sin cos cos sin ()()1713121227113αβαβαβ-=-=⨯---⨯=. 11．（2020·长沙市·湖南师大附中高二月考）设函数()ππsin sin 62f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<，已知π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在区间π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【详解】（1）因为()ππ1sin sin sin cos cos 6222f x x x x x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3cos 223f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以0663f πππω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,63k k Z ππωπ-=∈， 所以62,k k Z ω=+∈，又03ω<<，所以2ω=，所以22T ππ==；（2）因为()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向左平移π4个单位可得()4312g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为π3π,44x ⎡∈⎤-⎢⎥⎣⎦，所以π2π,1233x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()min 332g x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此时4πx =-， 所以()g x 的最小值为32-.12．（2020·天津南开区·南开中学高三月考）已知函数2()sin cos cos 22f x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若α为锐角且7129f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，β满足()3cos 5αβ-=，求sin β．【详解】（Ⅰ）()22sin cos 22f x x x x x =-+1sin 2cos 222x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以()f x 的最小正周期T π=，令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得51212x k k ππππ-+≤≤，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）得7sin 2cos 21229f ππααα⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 227cos 22cos 112sin 9ααα=-=-=-因为α为锐角，所以1cos 3α=，sin 3α=， 又因为()3cos 5αβ-=，所以()4sin 5αβ-=±，所以()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=⋅--⋅-=⎡⎤⎣⎦。

第三章 三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sinsin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒221cos 2cos1cos 2sin22αααα+=-=，⇒2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．⑶22tan tan 21tan ααα=-．三、辅助角公式：()sin cos α+=+a x b x x，cos sin ϕϕϕ==其中由决定四、三角变换方法：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；②2304560304515o ooooo=-=-=；③()ααββ=+-；④()424πππαα+=--； ⑤2()()()()44ππααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

知识点总结 51 三角函数概念及三角恒等变换一．角的概念的推广：1.定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2.角的分类：{按旋转方向的不同分类{正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；零角：没有旋转；按终边位置不同分类{象限角：角的终边在第几象限，就是第几象限的角；轴线角：角的终边在坐标轴上。

3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 4.几种特殊位置的角的集合 (1)象限角的集合：①第一象限角：{α|2kπ<α<2kπ+π2 ,k ∈Z}；②第二象限角：{α|2kπ+π2<α<2kπ+π ,k ∈Z}； ③第三象限角：{α|2kπ+π<α<2kπ+3π2,k ∈Z}；④第四象限角：{α|2kπ+3π2<α<2kπ+2π ,k ∈Z}；(2)轴线角的集合:①终边在x 轴非负半轴上的角的集合：{α|α=2kπ ,k ∈Z }. ②终边在x 轴非正半轴上的角的集合：{α|α=2kπ+π ,k ∈Z }. ③终边在x 轴上的角的集合：{α|α=kπ ,k ∈Z }. ④终边在y 轴上的角的集合：{α|α=kπ+π2 ,k ∈Z}.⑤终边在坐标轴上的角的集合：{α|α=k ∙π2 ,k ∈Z}. (3)终边在特殊直线上：①终边在y ＝x 上的角的集合：{α|α=kπ+π4 ,k ∈Z}.②终边在y ＝－x 上的角的集合：{α|α=kπ−π4 ,k ∈Z}.③终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：{α|α=k ∙π4 ,k ∈Z}. 二．弧度制：1.弧度的角：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示.2.正角、负角和零角的弧度数一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3.角度制与弧度制的换算(1)1°＝π180 rad. (2)1 rad ＝(180π)°4.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr 相关公式：(1)扇形的弧长公式：l ＝nπr180＝|α|r . (2)扇形的面积公式：S ＝12lr ＝nπr 2360＝12|α|r 2. 三．三角函数概念(1)利用单位圆定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： sin α＝y . cos α＝x . tan α＝yx (x ≠0).(2)利用终边上的点定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边过点P (x ，y )，|OP |=r 那么： sin α＝yr. cos α＝xr. tan α＝yx(x ≠0).(3)符号法则：一全二正三切四余 (4)特殊角的三角函数值四．三角恒等变形 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：sinαcosα＝tan α(α≠kπ+π2,k ∈Z)． 变形：(1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α=1±sin2α，(2)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； (3)cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (4)sin α＝tan αcos α(α≠kπ+π2,k ∈Z)．2.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

高中数学苏教版必修4 三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ；（5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。

来判断3α所在的象限（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl=||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αs in ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ； 如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系：。

高中数学 必修4———三角恒等变换一、知识归纳1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：(1)sin 22sin cos ααα=． （2）21sin 2(sin cos )ααα±=± (3)2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．（4）万能公式：a 、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A ． b 、22tan sin 21tan ααα=+；221tan cos 21tan ααα-=+；22tan tan 21tan ααα=- 【类型题】2．若ABC △的内角A 满足322sin =A ，则=+A A cos sin （ ） A ．315 B ．315- C ．35 D ．35- 3．函数1)12(sin )12(cos )(22-++-=ππx x x f 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数4．若412sin =α，且)24(ππα，∈，则ααsin cos -的值是（ ） A ．23 B ．43 C ．23- D ．43- 5．已知31tan =α，21tan =β，则)2tan(βα+等于（ ） A ．34 B ．3 C ．31 D ．2- 9．函数x x x f cos 3sin )(-=（[]π，0∈x ）的单调递增区间是 。

三角函数知识点总结1、任意角：正角： ；负角： ；零角： ；2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、 叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ．7、弧度制与角度制的换算公式：8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l= ．S=9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：(1) ;(2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=．(2)2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-．公式的变形：()βαβαβαtan tan 1)tan(tan tan •±=±，2cos 12cosαα+±=；αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=辅助角公式()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB=A． 万能公式万能公式其实是二倍角公式的另外一种变形：2tan 12tan2sin 2ααα+=，2tan 12tan 1cos 22ααα+-=，2tan 12tan2tan 2ααα-=14、函数sin y x =的图象上所有点 得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．15.函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x B ωϕ=A ++，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．。

三角函数知识点总结1、任意角：正角： ；负角： ；零角： ；2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、 叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ．7、弧度制与角度制的换算公式：8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l= ．S=9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：．12、同角三角函数的基本关系：(1) ;(2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=．(2)2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-．公式的变形：()βαβαβαtan tan 1)tan(tan tan μ•±=±，辅助角公式()22sin cos sin αααϕA +B =A +B +，其中tan ϕB =A． 14、函数sin y x =的图象平移变换变成函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 15.函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．16．图像正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：三角函数题型分类总结一．求值1、sin330︒= tan690° = o585sin =2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α= （2）（09北京文）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，21)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ+= 3、(1) (07陕西) 已知5sin ,5α=则44sin cos αα-= . (2)（04全国文）设(0,)2πα∈，若3sin 5α=，则2cos()4πα+= .（3）（06福建）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+= 4（07重庆）下列各式中，值为23的是( ) （A ）2sin15cos15︒︒ （B ）︒-︒15sin 15cos 22（C ）115sin 22-︒（D ）︒+︒15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+oooo= (2)（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167o o o o+= 。

三角函数与三角恒等变换（知识点）1．⑴ 角度制与弧度制的互化：π弧度180=o ，1180π=o 弧度，1弧度180()π=o '5718≈o .⑵ 弧长公式：||l R α=；扇形面积公式：211||22S R Rl α==. 2．三角函数定义：⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x ,y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin α；x 叫作α的余弦，记作cos α；yx叫作α的正切，记作tan α. ⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ，设||OP r =，则：sin ,cos ,y x r r αα==tan yxα=.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3．三角函数线：正弦线：MP ； 余弦线：OM ； 正切线： AT . 4．诱导公式：六组诱导公式统一为“()2k Z α±∈”，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+=（平方关系）；sin tan cos ααα=（商数关系）.6．两角和与差的正弦、余弦、正切：①sin()sin coscos sin αβαβαβ±=±；② cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ； ③ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m .7．二倍角公式：① sin22sin cos ααα=；② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-； ③ 22tan tan 21tan ααα=-. 变形：21cos2sin 2αα-=；21cos2cos 2αα+=. （降次公式）8．化一：sin cos )y a x b x x x =+)x ϕ+. 9. 物理意义：物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ωϕ=+∈+∞，其中0,0A ω>>. 振幅为A ，表示物体离开平衡位置的最大距离；周期为2T πω=，表示物体往返运动一次所需的时间；频率为12f T ωπ==，表示物体在单位时间内往返运动的次数；x ωϕ+为相位；ϕ为初相.11. 正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的性质及研究思路：① 最小正周期2T πω=，值域为[,]A A -.② 五点法图：把“x ωϕ+”看成一个整体，取30,,,,222x ππωϕππ+=时的五个自变量值，相应的函数值为0,,0,,0A A -，描出五个关键点，得到一个周期内的图象.③ 三角函数图象变换路线：sin y x =ϕ−−−−−→左移个单位sin()y x ϕ=+ ω−−−−−→1横坐标变为倍sin()y x ωϕ=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+. 或：sin y x = ω−−−−−→1横坐标变为倍sin y x ω=ϕω−−−−−→左移个单位sin ()y x ϕωω=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+. ④ 单调性：sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的增区间，把“x ωϕ+”代入到sin y x =增区间[2,2]()22k k k Z ππππ-++∈，即求解22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈.⑤ 整体思想：把“x ωϕ+”看成一个整体，代入sin y x =与tan y x =的性质中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间时，或取最大值与最小值时的自变量取值.。

高中数学苏教版必修4 三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。

来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

高一必修4数学三角恒等变换知识点总结
高一必修4数学三角恒等变换知识点
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值;(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;(3)分式中的分母尽量不含根式等.
1.求值中主要有三类求值问题：
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看
是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，
要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角
的三角函数而得解.
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些
角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种
关系.
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单
调区间求得角.
2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：
(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等.
(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α=(α+β)+(α-β)，
α=(α+β)-β，α=(α-β)+β，α+β2=α-β2+β-α2，α2是
α4的二倍角等.
(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式.
(4)消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.。