三角函数恒等变换_题型总结(学生用书)

三角函数的恒等变换总结三角函数的恒等变换，是运用三角公式，变换三角表达式中的函数、角度和结构，把一个表达式变换成另一个与它等价的表达式．三角恒等变换是代数式恒等变换的推广和发展，进行三角恒等变换，除了要熟练运用代数恒等变换的各种方祛，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握下列最基本最常见的变换：（1）公式变换三角公式是三角恒等变换的基础，必须深刻理解公式、抓住公式的特点，熟练地将三角公式正向、逆向、变形和综合使用。

①正确理解公式中和、差、倍的相对性例如单角可以看成是和角的差，又可以看成与角的和，可以看成是的半角，又可以看成是的倍角这样我们在三角恒等变换的过程中，就能整体地把握角之间的关系，灵活使用公式。

③抓住公式中角、函数、结构的特点．例如在公式中，角减半则函数次数翻倍．第一种变形便于和因式分解相联系，后两种变形直接地将用的余弦或正弦表示出。

又如在公式中，涉及到、的和与积，这个公式常常和韦达定理联用．③公式的正向使用要特别注意一个三角函数式的多种表达形式和几个三角公式的联用。

例如：④公式的逆向使用．如⑤公式的变形使用．如：，，，（2）角度变换角度变换是三角函数恒等变换的首选方法。

在进行三角恒等变换时，对角之间关系必须进行认真的分析。

①分析角之间的和、差、倍、分关系。

如，，，②在数值角的三角函数式化简中，要特别注意是否能够产生特殊角。

③熟悉两角互余、互补的各种形式，如，，正确使用诱导公式。

④引入辅助角进行角的变换。

如其中辅助角在哪个象限，由、的符号确定，的值由确定。

下列特殊情况必须熟记：；；；（3）函数变换函数变换是指“弦化切”法和“切化弦”法。

在同角三角函数变换中，弦切互化主要是应用公式；在非同角三角变换中，函数变换往往依赖于角度变换。

（4）1的变换。

如：，，，，，（5）幂的变换公式，常用来升幂和降幂，所便根据需要将三角函数式按一定方向进行变形。

三角恒等变换的基本题型三角恒等变换主要包括求值、化简、证明．（1）求值常见的有给用求值、给值求值、给值求角．①给角求值的关键是正确地分析角间关系，准确地选用公式，要注意产生特殊角，同时把非特殊角的三角函数值相约或相消，从而求出三角函数式的值；③给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值；③给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次判断该角对应函数的单调区间，最后求出角．（2）化简化简有两种常见的形式①未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式②根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．（3）证明它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．①无条件恒等式的证明．证明时要认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．③有附加条件的恒等式的证明/证明的关键是恰当地利用附加条件，要认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．消元法即用代入加减、乘除、平方后相加减等手段消去某些量；基本量方法就是适当选择其中可以独立取值的量作为基本量，把其它的量都用基本量表示出来，从而将问题归结为研究这些量之间的关系．。

三角恒等变换【知识分析】1、本章网络结构2、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。

（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如是的半角，是的倍角等。

（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。

（4）求值的类型：①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。

②“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。

③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

（5）灵活运用角和公式的变形，如：，等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。

（6）合一变形（辅助角公式）把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的形式。

，其中．（7）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。

（8）三角恒等变换方法观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）① “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，如α=(α+β)－β=(α－β)+β, 2α=(α+β)+ (α－β), 2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·,= (α－)－(－β)等.②“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦），③“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。

考点01 三角函数及三角恒等变换三角函数及三角恒等变换，是近几年高考的高频考点，无论是全国卷（包括新高考）还是自主命题省份，都有考查。

例如：2020年山东高考[28],2020年浙江高考[18],2021年天津高考[16]，2021年浙江高考[18]，2022年天津高考[16]，2022年北京高考[16]，2022年全国乙卷（文）[17]等都对三角函数的图像与性质及三角恒等变换进行了考查。

〔1〕二倍角公式：αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；ααα2tan 1tan 22tan -=。

由二倍角公式，经过推导，我们还可以得到：2)cos (sin 2sin 1ααα+=+；2)cos (sin 2sin 1ααα-=-。

〔2〕半角公式：2cos 12sinαα-±=；2cos 12cos αα+±=； αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=。

〔3〕三倍角公式：ααα3sin 4sin 33sin -=；αααcos 3cos 43cos 3-=；αααα23tan 31tan tan 33tan --=。

〔4〕万能公式：2tan 12tan2sin 2ααα+=；2tan 12tan 1cos 22ααα+-=；2tan 12tan2tan 2ααα-=；（其中ππα+≠k 2，且2ππα+≠k ，Z k ∈）〔5〕辅助角公式：)sin()sin cos cos (sin cos sin 2222ϕϕϕ++=++=+=x b a x x b a x b x a y ；（其中角ϕ的终边所在的象限由a ，b 的符号确定，角ϕ的值由ab=ϕtan 来求）；常见的辅助角公式有：)4sin(2cos sin π±=±x x x ；)4cos(2sin cos πx x x =±；)3sin(2cos 3sin π±=±x x x ；)3cos(2sin 3cos π x x x =±；)6sin(2cos sin 3π±=±x x x ；)6cos(2sin cos 3πx x x =±。

第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式❖ 基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．❖ 常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.考点一 三角函数公式的直接应用[典例](1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429C.229D.429[解析] (1)因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.[答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________． 解析：因为sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋7350考点二 三角函数公式的逆用与变形用[典例](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. (2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3.[答案] (1)－12 (2) 3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b . 2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45.答案：453.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45， 得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案] －5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． [题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45. 3．已知sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π， ∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )A ．1B.12C.32 D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12. 2．若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( )A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79. 3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1. 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B. 2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718. 6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________． 解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－1 11．已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. B 级1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ， 又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14，∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157. 答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35， 所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45， 可得cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125. 答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.第六节 简单的三角恒等变换考点一 三角函数式的化简[典例](1)sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α(2)化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．[解] (1)选D 原式＝－sin 2α·cos 2α2cos 2α(－sin α)＝－2sin αcos α·cos 2α2cos 2α(－sin α)＝cos α.(2)原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.[题组训练]1．化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.解析：原式＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α.答案：22cos α2．化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α.解：原式＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.考点二 三角函数式的求值考法(一) 给角求值 [典例]cos 10°(1＋3tan 10°)cos 50°的值是________．[解析] 原式＝cos 10°＋3sin 10°cos 50°＝2sin (10°＋30°)cos 50°＝2sin 40°sin 40°＝2.[答案] 2[解题技法] 三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．考法(二) 给值求值[典例] 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求：(1)cos α的值；(2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值． [解] (1)由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210， 得sin αcos π4＋cos αsin π4＝210，化简得sin α＋cos α＝15，①又sin 2α＋cos 2α＝1，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π② 由①②解得cos α＝－35.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－35，∴sin α＝45， ∴cos 2α＝1－2sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝－17250.[解题技法] 三角函数给值求值问题的基本步骤(1)先化简所求式子或已知条件；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 考法(三) 给值求角 [典例] 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4[解析] ∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π， ∵sin 2α＝55，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π. ∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2且cos 2α＝－255. 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2， ∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010， ∴cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010×55＝22，又∵α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4. [答案] A[解题技法] 三角函数给值求角问题的解题策略(1)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．[题组训练]1．求值：cos 20°cos 35°1－sin 20°＝( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析：选C 原式＝cos 20°cos 35°|sin 10°－cos 10°|＝cos 210°－sin 210°cos 35°(cos 10°－sin 10°)＝cos 10°＋sin 10°cos 35°＝2⎝⎛⎭⎫22cos 10°＋22sin 10°cos 35°＝2cos (45°－10°)cos 35°＝2cos 35°cos 35°＝ 2.2．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 法一：因为sin α＋cos α＝33，所以(sin α＋cos α)2＝13，即2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23. 又因为α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， 所以sin α>0，cos α<0，cos α－sin α<0，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－ sin α)<0. 所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫－232＝－53. 法二：由cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，且α为第二象限角，得cos α－sin α<0， 因为sin α＋cos α＝33， 所以(sin α＋cos α)2＝13＝1＋2sin αcos α，得2sin αcos α＝－23，从而(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝53，则cos α－sin α＝－153，所以cos 2α＝33×⎝⎛⎭⎫－153＝－53. 3．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4C.π4D ．2k π＋π4(k ∈Z)解析：选C 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角， 可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.考点三 三角恒等变换的综合应用[典例] (2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值． [解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为1， 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.[解题技法]三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． [题组训练]1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32的最小正周期为π，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度可得函数g (x )＝cos 2x 的图象D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－32 解析：选D 因为f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3，所以T ＝2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.对于A ，因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，所以不正确；对于B ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，7π12时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减，故不正确；对于C ，将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度所得图象对应的函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，所以不正确；对于D ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1，故正确．故选D. 2．已知函数f (x )＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )图象的对称轴和对称中心． 解：(1)f (x )＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． 令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z)． (2)令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)．令2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)．[课时跟踪检测]A 级1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．0解析：选B ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α， 即⎝⎛⎭⎫32－12sin α＝⎝⎛⎭⎫12－32cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1.2．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( )A ．1 B. 3 C. 2D ．2解析：选C 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2.3．(2018·唐山五校联考)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－1010B.1010C ．－31010D.31010解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，所以⎩⎨⎧sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝－55，sin α＝－255，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－255×22－55×22＝－31010. 4．(2019·咸宁模拟)已知tan(α＋β)＝2，tan β＝3，则sin 2α＝( )A.725B.1425C ．－725D ．－1425解析：选C 由题意知tan α＝tan [(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β＝－17，所以sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝－725.5．已知cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ的值为( ) A.13 B ．±13C ．－19D.19解析：选B ∵cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79， ∴cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2θ ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－79， 解得sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝19，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝±13. 6．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．7 B.17C ．－7D ．－17解析：选B ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，∴cos α＝－45.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. 7．化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos2α2＝________.解析：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α8．(2018·洛阳第一次统考)已知sin α＋cos α＝52，则cos 4α＝________. 解析：由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝54，所以sin 2α＝14，从而cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫142＝78. 答案：789．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________. 解析：由已知可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π310．函数y ＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最小正周期是________． 解析：y ＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝12sin x cos x －32sin 2x ＝14sin 2x －32·1－cos 2x 2＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－34，故函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π11．化简：(1)3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)； (2)cos 2α1tan α2－tan α2.解：(1)原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24° ＝23(sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°)sin 24°cos 24° ＝43sin (12°－60°)sin 48°＝－4 3. (2)法一：原式＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2 αcos 2 α2－sin 2 α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2 α2－sin 2 α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α ＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α. 法二：原式＝cos 2αtan α21－tan 2 α2＝12cos 2α·2tan α21－tan 2 α2 ＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α. 12．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． 解：(1)因为f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，1＋32.故f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32. B 级1．(2018·大庆中学期末)已知tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，且3π<α<7π2，则cos α＋sin α＝( )A. 3B. 2 C ．－ 2 D ．－ 3解析：选C ∵tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两个实根，∴tan α＋1tan α＝k ，tan α·1tan α＝k 2－3.∵3π<α<7π2，∴k >0，∴k ＝2， ∴tan α＝1，∴α＝3π＋π4， 则cos α＝－22，sin α＝－22，∴cos α＋sin α＝－ 2. 2．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13，则sin A ＝________. 解析：∵sin(C －A )＝1，∴C －A ＝90°，即C ＝90°＋A ，∵sin B ＝13， ∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin(90°＋2A )＝cos 2A ＝13， 即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝33. 答案：333．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1. ∵0≤x ≤2π3， ∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1， 故函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。

第四讲 三角恒等变形一、三角恒等变形知识点总结1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m 。

2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。

（2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

三角恒等变换一、两角和、差的三角函数公式βα-C cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin ββα+C cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β.βα+S sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin ββα-S sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin ββα+T tan （α＋β）＝tan tan 1tan tan αβαβ＋－βα-T tan （α－β）＝tan tan 1tan tan αβαβ－＋二、二倍角公式cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＝2sin αcos αtan 2α＝22tan 1tan αα－变形公式：cos 2α＝1－2sin 2α＝2cos 2α－1cos 2α＝1－2sin 2α2sin 2α＝1－cos 2αsin 2α＝1cos 22α－.降幂公式cos 2α＝2cos 2α－12cos 2α＝cos 2α＋1cos 2α＝cos 212α＋.降幂公式sin 2α半角公式cos 2α半角公式ααααcos 1cos 12cos 2sin 2tan +-±==αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=三、辅助角公式a sin x ±b cos x （x ±ϕ），其中tan ϕ＝ba 四、万能公式ααα2tan 1tan 22sin +=ααα22tan 1tan 12cos +-=ααα2tan 1tan 22tan -=五、同角的三大关系①倒数关系tan α•cot α=1②商数关系sin cos αα=tan α；cos sin αα=cot α③平方关系22sin cos 1αα+=六、积化和差与和差化积积化和差)]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.和差化积2cos 2sin 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=-七、方法总结1、三角恒等变换方法、三变（变角、变名、变式）（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，.（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αααααα==），（3）“变式’形公式展开和合并等。

高考数学热点：简单的三角恒等变换【考点梳理】1、两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ−=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−−=+ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=− 2、二倍角公式sin 22sin cos ααα= 22cos2cos sin ααα=− 2cos22cos 1αα=−2cos212sin αα=− 22tan tan 21tan ααα=−3、辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 4、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα−=【典型题型讲解】 考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα−=（ ）A ．-1B ．0C ．12D【答案】B 【详解】∵πsin (,π)22αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α−== 故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABC．D．【答案】B 【详解】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 422252510πααα⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−， 整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论. 【变式训练】 1.已知5π1tan()45−=α，则tan =α__________． 【答案】32【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα−−⎛⎫−=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 2.（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫−=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________. 【答案】17【详解】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫−=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以cos α=，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα−+−=+−===⎡⎤⎣⎦+++⨯又 故答案为：173.（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−【答案】C 【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++−=−, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ−++=， 即：()()sin cos 0αβαβ−+−=, 所以()tan 1αβ−=−, 故选：C 4.已知sin α=()cos αβ−=304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A．35BC．35D．35【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=−−，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ−，分别在()sin 5αβ−=和5−两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果. 【详解】2sin 72α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴−<−<，()sin 5αβ∴−=±.当()sin 5αβ−=时，()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=−−=−−−57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ−=sin β.综上所述：sin β= 故选：A .5.已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒−=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒−︒−=︒−⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒−=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭，则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒−=−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒−=︒−−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒−︒−⎣⎦ ()1cos 303α=︒−=，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若2sin 3α=，则cos2α=___________. 【答案】19【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2221cos212sin 1239αα⎛⎫=−=−⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：19.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________． 答案】18−【详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )442sin 22sin cos ⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααααααααα222sin cos 2sin cos tan 12tan 14sin cos 4tan 8−−+−−+===−ααααααααα．故答案为：18−例3.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则tan α=（ ）ABCD【答案】A 【详解】cos tan 22sin ααα=−2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===−−，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=−−，解得1sin 4α=， cos 4α∴=sin tan cos 15ααα∴==. 故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】．B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知 1sin cos 5αα+=，则()2tan 12sin sin 2πααα++=+（ ）A ．17524−B ．17524C ．2524−D ．2524【答案】．C【详解】由题知1sin cos 5αα+=，有242sin cos 25αα=−，所以()2tan 12sin sin 2πααα+++()tan 12sin sin cos αααα+=+()sin cos 1cos 2sin sin cos αααααα+=⨯+1252sin cos 24αα==−， 故选：C ．3.（2022·广东佛山·二模）已知sin πα43⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】59【详解】sin sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫−=−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭所以225sin 2cos 2cos 212sin 122449πππαααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−=−⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 故答案为：594.（2022·广东肇庆·二模）若sin cos 5θθ+=−，则sin 2θ=______． 【答案】45【详解】∵sin cos θθ+= ∴()29sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=， 所以4sin 22sin cos 5θθθ==． 故答案为：45.5．（2022·广东深圳·二模）已知tan 3α=，则cos 2=α__________． 【答案】45−【详解】解：由题意可知：2214cos 22cos 121tan 15ααα=−=⨯−=−+ .6.若3sin 5α=−，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα−=+（ ）A ．12B ．12−C ．2D ．−2【答案】D 【详解】3sin 2sincos225ααα==−，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==−++， 可解得1tan23α=−或tan 32α=−，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=−，故1tan 221tan2αα−=−+， 故选：D7．已知1sin 64x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．78−B ．78C．4−D．4【答案】B 【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=−−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.8．已知,22ππα⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B． C ．12D【答案】D 【详解】 因为22ππα−<<，所以3444πππα−<−< 又1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以43ππα−=−，所以12πα=−所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=−==⎪⎝⎭故选：D9．已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325−C D ．5−【答案】B 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=⨯−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．10．已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（ ）A ．2425B ．2425−C ．725D ．725−【答案】B 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==−，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯−=− ⎪⎝⎭。

三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。

来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。

三角恒等变换专题一、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、⇒（后两个不用判断符号，更加好用）4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A． 5．（1）积化和差公式 sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α·sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α·sin β= -21[cos(α+β)-cos(α-β)] （2）和差化积公式sin α+sin β= 2cos 2sin 2βαβα-+ sin α-sin β=2sin 2cos 2βαβα-+ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :222αααααα万能公式+-=+=cos α+cos β=2cos 2cos 2βαβα-+ cos α-cos β= -2sin 2sin 2βαβα-+ tan α+ cot α=ααα2sin 2cos sin 1=⋅ tan α- cot α= -2cot2α 1+cos α=2cos22α 1-cos α=2sin 22α 1±sin α=(2cos 2sin αα±)2 6。

三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。

来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。

三角函数知识点总结1、任意角：正角：；负角：；零角：；2、角的顶点与重合，角的始边与重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在 x 轴上的角的集合为终边在 y 轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角的集合为4、已知是第几象限角，确定n* 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，n再从 x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．5、n叫做 1弧度．6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为 l，则角的弧度数的绝对值是．7、弧度制与角度制的换算公式：8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则l=．S=9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是 x, y ，它与原点的距离是 r r x2y20 ，则sin y， cosx， tan y x0 ．r r x10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：．12、同角三角函数的基本关系：(1);(2);(3)13、三角函数的诱导公式：1 sin 2k sin，cos 2k cos，tan 2k tan k．2 sin sin，cos cos，tan tan．4 sin sin，cos cos，tan tan．5 sin cos，cos sin．226 sin cos，cos sin．22口诀：奇变偶不变，符号看象限．重要公式⑴ cos cos cos sin sin；⑵ cos cos cos sin sin；⑶ sin sin cos cos sin；⑷ sin sin cos cos sin；⑸ tantan tan（tan tan tan1tan tan）；1 tan tan⑹ tantan tan（tan tan tan1tan tan）．1 tan tan二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos．(2)cos2 cos2sin22cos2 1 1 2sin2（ cos2cos21， sin 2 1 cos 2）．⑶ tan22tan．221tan2公式的变形：tan tan tan() ? 1 tan tan，辅助角公式sin cos22 sin，其中 tan．14、函数y sin x 的图象平移变换变成函数y sin x的图象．15. 函数 y sin x0,0 的性质：① 振幅：；②周期：2；③频率： f1；④相位： x；⑤初相：．216 ．图像正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：三角函数题型分类总结一．求值1、 sin330 ==sin 585 o=tan690 °2、（ 1） (07 全国Ⅰ )是第四象限角， cos12，则 sin13（ 2）（ 09 北京文）若 sin4, tan 0 ，则 cos.512（ 3）（ 09 全国卷Ⅱ文）已知 △ABC 中， cot A.，则 cosA15(4)是第三象限角， sin()cos =cos(5) =，则223、 (1) (07 陕西 ) 已知 sin5, 则 sin 4cos 4 =.5(2) （ 04 全国文）设(0,3 ，则 2 cos() = .) ，若 sin254（ 3）（ 06 福建）已知( , ),sin 3, 则 tan() =2544（ 07 重庆） 下列各式中，值为3的是 ( )2（ A ） 2sin15 cos15 （ B ） cos 2 15 sin 2 15 （ C ） 2 sin 2 15 1（ D ） sin 2 15 cos 2 155. (1)(07 福建 ) sin15 o cos75o cos15o sin105 o =(2)（ 06 陕西） cos43o cos77 osin 43o cos167o =。

必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类总结三角函数知识点总结１、任意角: 正角:;负角：;零角:; ２、角得顶点与重合,角得始边与重合，终边落在第几象限,则称为第几象限角、第一象限角得集合为第二象限角得集合为第三象限角得集合为第四象限角得集合为终边在轴上得角得集合为终边在轴上得角得集合为终边在坐标轴上得角得集合为３、与角终边相同得角得集合为4 4 、已知就就是第几象限角，确定所在象限得方法: : 先把各象限均分等份, , 再从轴得正半轴得上方起, , 依次将各区域标上一、二、三、四, , 则原来就就是第几象限对应得标号即为终边所落在得区域、5、叫做弧度、6、半径为得圆得圆心角所对弧得长为,则角得弧度数得绝对值就就是、７、弧度制与角度制得换算公式:8 、若扇形得圆心角为, 半径为，弧长为, 周长为，面积为, 则l＝、S=９、设就就是一个任意大小得角,得终边上任意一点得坐标就就是,它与原点得距离就就是，则,,、10、三角函数在各象限得符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正，第三象限正切为正,第四象限余弦为正、1１、三角函数线：、12 、同角三角函数得基本关系：(1)；(2); ; （３) )1３、三角函数得诱导公式: ,,、,，、，,、，,、，、,、口诀: : 奇变偶不变, , 符号瞧象限、重要公式⑴；⑵；⑶;⑷; ⑸(); ⑹（）、二倍角得正弦、余弦与正切公式: ⑴、(2)(,）、⑶、公式得变形: :, 辅助角公式,其中、1４、函数得图象平移变换变成函数得图象、1５、函数得性质：① 振幅：; ② 周期:; ③ 频率:; ④ 相位:; ⑤ 初相:、16、图像正弦函数、余弦函数与正切函数得图象与性质:三角函数题型分类总结一．求值１、===2、(1)7 (07 全国Ⅰ) ) 就就是第四象限角，,则(2)(０9 北京文)若,则、(3)(09 全国卷Ⅱ文）已知△AＢC 中,,则、(4) 就就是第三象限角，,则=＝3 3 、(1））（（7 07 陕西) ) 已知则=、(２）（０４全国文）设,若,则=、(3)(06 福建）已知则=4 4 （0 0 ７重庆) )下列各式中,值为得就就是(）(Ａ) (B)(C)(D) 5、(1 ）(0 ７福建) ) =（2)（0６陕西)＝。

简单的三角恒等变换一、考点、热点回顾模块一、两角和与差的三角函数要点一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-要点二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路①巧变角：()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等②三角函数名互化：切割化弦③公式变形使用：tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±， 1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sinα·cosα=（sinα±cosα）2 ④三角函数次数的降升：降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=；升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-= ⑤常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+tan sin 42ππ===等模块二、简单的三角恒等变换 要点三、半角公式：sin α2＝cos 2α= tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-=+ 要点四、三角函数的积化和差公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--记忆口诀：前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差。

三角恒等变换知识点总结一、基本内容串讲1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。

2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式常用。

3.辅助角公式：sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫±=± ⎪⎝⎭()sin cos a x b x x ρ+=+.4.简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。

（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。

（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。

（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。

5.常用知识点：（1）基本恒等式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应用，求函数值时注意角的范围）；（2）三角形中的角：A B C π++=，sinA sin(B ),cosA cos(B C)C =+=-+；（3）向量的数量积：cos ,a b a b a b =， 1212a b x x y y =+ ，12120a b x x y y ⊥⇔+= 1221//0a b x y x y ⇔-= ； 二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin 20cos 40cos 20sin 40+ 的值等于（ ）2、若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） 3、若3,4παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值是________． 考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式5、cos5πcos52π的值等于（ ） (提示:构造分子分母) 6、cos 20cos 40cos60cos80= （ ） 7、 已知322A ππ<<，且3cos 5A =，那么sin 2A 等于（ ） 考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换8、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4tan(πα+的值等于（ ） 9、已知,31cos cos ,21sin sin =+=+βαβα则)cos(βα-值等于（）10、函数22()cos ()sin ()11212f x x x ππ=-++-是（ ）（A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数（C ）周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数4、常见题型及解题技巧（另外总结）（一）关于辅助角公式：()sin cos a x b x x ρ+=+.其中cos ϕϕ==）如：1.若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是____________. 2.2cos 3sin 2y x x =-+的最大值与最小值之和为_____________.7．若2tan(),45πα+=则tan α=________. （二）三角函数式的化简与求值[例1] 1.0000cos15sin15cos15sin15-+； 2.00sin50(1);3. 求tan 70tan 5070tan 50+ 值;4.△ABC 不是直角三角形，求证：C B A C B A tan tan tan tan tan tan ∙∙=++ （三）三角函数给值求值问题1. 已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是_____________;2. 已知54cos(),cos ,,135αββαβα+==均为锐角，求sin 的值。