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同济大学高等数学第六版第七章微分方程-PPT精品文档

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高数第六版7.7.ppt

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那么，y C1 y1 C2 y2就是微分方程(1)的通解.
当r为常数时，指数函数y erx和 它 的 各 节 导 数 都 只 相 差一 个 常 数 因 子 ，
由于指数函数有这个特点，因此我们用y erx来尝试， 看能否选取适当的r，使y erx满足方程(1).
设 y erx ,
y re rx , y r 2erx
[(C0 C1 x Ck1 xk1 )cosx (D0 D1 x Dk1 xk1 )sinx]ex
注意
n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数.
y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例5 求方程 y(5) y(4) 2 y(3) 2 y y y 0 的通解.
2
特征方程有两个不相等的实根 p2 4q 0
特征根为r1 p
p2 4q ,
2
p r2
p2 4q ,
2
r1
r2 ,
y2 y1
e r2 x e r1x
e(r2 r1 ) x
常数，
两个线性无关的特解 y1 e r1x , y2 er2x ,
得齐次方程的通解为 y C1e r1x C2e r2 x
例3 求微分方程y 2 y 3 y 0的通解.
解 所给微分方程的特征方程为
r 2 2r 3 0
特征根为：r1 1, r2 3是两个不等实根，
因此所求方程的通解为 y C1e x C2e3 x
例4
求
方
程d 2s dt 2
2
ds dt
s
0
满足初始条件s |t0 4, s |t0 2的特解.
(见下表)
y py qy 0 r 2 pr q 0

高等数学同济件 微分方程总结PPT课件

高等数学同济件 微分方程总结PPT课件

2.求微分方程 y 4 y 3 y 0 的积分曲线方程, 使其在点(0,2)与直线x-y+2=0相切.
第14页/共21页
四、设f(x)是二阶可微函数，且 f ( x) f ( x) f ( x) 0
证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0， 则f(x)在该两点之间恒为零。
设x1, x2使f ( x1 ) f ( x2 ) 0
第7页/共21页
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0
(1)
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f ( x) (2)
定理3 设y*是非齐次线性方程(2)的特解， Y是齐次线性方程(1)的通解, 则 y=Y+y* 是非齐次线性方程(2)的通解。
第9页/共21页
定理2：若 y1( x)与 y2( x)是方程
y p( x) yq( x) y 0 (1)的两个线性无关
的特解, 则 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解. 五、二阶常系数线性微分方程的解法
第10页/共21页
一、填空题
综合练习
1.曲线族 y Cx2 所满足的一阶微分方程是_x_y__ 2 y
f ( x) f ( x) f ( x) 0 ( x1 x x2 )
r2 r 1 0
r1,2
1 (1 2
5)
第15页/共21页
故f ( x) C1er1x C2er2x f ( x1) f ( x2 ) 0 C1er1x1 C2er2x1 0
C1er1x2 C2er2x2 0 C1 C2 பைடு நூலகம் 故f(x)=0
第8页/共21页
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) (3) y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f2( x) (4) 定理4 设 y1* , y2* 分别是方程(3)与(4)的特解, 则 y1* y2* 是方程 y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) f2( x) 的特解。

同济大学《高等数学》第六版：D7_4一阶线性微分方程共20页PPT

同济大学《高等数学》第六版：D7_4一阶线性微分方程共20页PPT
同济大学《高等数学》第六 版：D7_4一阶线性微分方
程
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

(整理)第七章 微分方程 (2)

(整理)第七章 微分方程 (2)

第七章 微分方程§ 1 微分方程的基本概念1、由方程x 2-xy+y 2 ）的解。

A. (x-2y)y ''=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2y=Cx+C 2 ) 所满足的微分方程 （ ）'+y '2 B.y=Cx+y '2 C. xy '+y '2=C D. y '=xy '+y '23y=(C 1+C 2x)e 2x , y|x=0=0 , y '|x=π=1，则C 1,C 2的值为（ ）1=0 , C 2=1 B. C 1=1 , C 2=0 C. C 1=π , C 2=0 D. C 1=0 , C 2=π4.微分方程y '=yx 21-写成以y 为自变量，x 为函数的形式为（ ）A.y x 21dx dy -=B.yx 21dy dx -='=2x-y D. y '=2x-y 5. 已知某初值问题的解为y=C 1sin(x-C 2) y|x=π=1,y '|x=π=0, 确定C 1, C 2 解：y=C 1sin(x-C 2), y '=C 1cos(x-C 2)代入y|x=π=1,y '|x=π=0得C 1=1,C 2=2k π+2π6 .设物体A 从点(0,1)出发，以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动。

物体B 从点 (-1,0)与A 同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向A ，试建立物体B 的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件。

解：设在时刻t ，物体B 位于(x,y)处，则 x)vt 1(y dx dy +-=整理可得：dxdtv dx y d x 22-= ○1 而dt dx dx dy 1dt ds v 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+== 有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy 1v 21dx dt ○2 其中s 表示B 的运动轨迹的曲线的弧长。

《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数

《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数

2．函数的单调性:
x1,x2I, 当 x1 x2时,
若 f(x1)f(x2),称f (x)为I上的单调增加函数； 若 f(x1)f(x2),称f (x)为I上的单调减少函数；
如 yx,yx3 单增
yx2?
精选课件ppt
21
3．函数的奇偶性:
设 D关于原, 对 点 于 对 xD 称 , 有
f(x)f(x)
o
x
精选课件ppt
27
（2）单值函数的反 一函 定数 是不 单值函数
如y ： x2
反函数x： y. （3）若y f(x)单调增（减），
其反函数也单调增（减 ）。
精选课件ppt
28
六、基本初等函数
1.幂函数
yx (是常)数
y
y x2
yx
1
y x (1,1)
o1
x
y 1 x
精选课件ppt
29
2.指数函数 yax (a0,a1) y e x
（1）子集； （ 2）集合相等； （3）空集；
精选课件ppt
2
（ 4）集合运算： 如A B {xx A 且 x B }
AB{xxA 或x者 B }
3、常用数的集合：
N----自然数集
Z----整数集
Q----有理数集
数集间的关系:
R----实数集
N Z ,Z Q ,Q R .
精选课件ppt
第一节 映射与函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
精选课件ppt
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性}质

同济高等数学第六版-D7_7常系数齐次线性微分方程-精选文档

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小结:
y p y q y 0( p , q 为常数 )
2 特征方程: r p r q 0 , 特征根 :r ,r 1 2
特征根
通
解
r 1 r 2 实根
p r r 1 2 2
r i 1 , 2
r x r x 1 2 y C e C e 1 2 r x 1 y ( C C x ) e 1 2 x y e ( C cos x C sin x ) 1 2
x x ( t) . 速度为 v 0, 求物体的运动规律
解: 由第六节例1 (P323) 知, 位移满足 因此定解问题为
dx 2 2 n k x 0 2 dt dt d x x t 0 x 0, t 0 v0 dt
d x
2
O x
x
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1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )

k 1 ( D D x D x sin x ] 1 2 k )
பைடு நூலகம்
(以上 C ) i, D i 均为任意常数
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例1. 求方程 的通解. y 2 y 3 y 0 2 1 , r 3 , 解: 特征方程 r 2 r 3 0 ,特征根: r 1 2
2
1 x y ( y y ) e cosx 1 2 1 2 1 x e sinx y ( y y ) 2 2 2 i 1
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:


因此原方程的通解为 y p y q y 0( p , q 为常数 ) x 2( y e C cos x C sin x ) 1 2 特征方程 r p r q 0

高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件

具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点

同济大学高等数学第六版第七章第二节可分离变量的微分方程


3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 )
(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
机动
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结束
思考与练习
求下列方程的通解 :
y x dy dx 提示: (1) 分离变量 2 2 1 y 1 x (2) 方程变形为 y 2 cos x sin y y ln tan 2 sin x C 2
解
dy dy 分离变量 P( x)dx, 两端积分 P( x)dx, y y
P ( x ) dx 即： | y | P ( x)dx c1 y c1e ln
P ( x ) dx y ce
其中c为任意常数.
注：此解的形式很重要，请留意。
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
机动
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作业
P 304 1; 2；6
第三节 目录
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结束
1 与路径无关, 其中 F C , F (0 ,1) 0 , 求由 F ( x, y ) 0
备用题 已知曲线积分 L F ( x, y ) [ y sin xdx cos x d y ]
确定的隐函数 y f (x) . 解: 因积分与路径无关 , 故有 [ F ( x, y ) cos x ] [ F ( x, y ) y sin x] x y 即 Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x
14 5 10 利用初始条件, 得 C 0.62 2 g 15

o hdh

同济大学高等数学第六版第七章第九节欧拉方程


x2 即 y , 2 C2 1 2 3 所给欧拉方程的通解为 y C1 C 3 x x . x 2
1 代入原方程，得 b . 2
二、小结
欧拉方程解法思路 变系数的线 性微分方程
变量代换
x e t 或 t ln x
常系数的线 性微分方程
注意：欧拉方程的形式．
第九节 欧拉方程
欧拉方程
x y
n ( n)
第七章
p1 x
n 1 ( n 1)
y
pn 1 x y pn y f ( x)
( pk 为常数 )
令 x et , 即 t ln x
常系数线性微分方程
一、欧拉方程
形如
x n y ( n ) p1 x n1 y ( n1) pn1 xy pn y f ( x )
的方程(其中 p1 , p2 pn 为常数) 叫欧拉方程.
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同． 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
作变量变换
x e t 或 t ln x,
将自变量换为 t ,
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt

一般地， x k y ( k ) D( D 1)( D k 1) y.
将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量
的常系数 线性微分方程. 求出这个方程的解后，
把 t 换为 ln x ， 即得到原方程的解. 例 求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 3 x 2 的通解．
3 2 3 2
(1)
方程(1)所对应的齐次方程为

同济大学高等数学第六版第七章第三节齐次方程

第三节 齐次方程
(homogeneous equation)
一、齐次方程
*二、可化为齐次方程
第七章
第一页，编辑于星期六：十四点 十三分。
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
解法: 令 u y , x
代入原方程得 u x d u (u)
dx
分离变量:
du dx
(u) u x
可分离变量的方程
第二十四页，编辑于星期六：十四点 十三分。
【线性齐次和线性非齐次】
当我们把：a(x),b(x)称为系数，把c(x)称为自由项， 那么f(u,v)=a(x)u+b(x)v+c(x)关于u,v线性的， 当c(x)=0时，f(u,v)=a(x)u+b(x)v关于u,v线性的，齐次的。
当c(x)≠0时，f(u,v)=a(x)u+b(x)v+c(x)关于u,v线性的,非齐次的。
y2 C2
2y v C
1
( y v)2 1 v2 C
得 y2 2C ( x C ) (抛物线)
故反射镜面为旋转抛物面.
2
第十一页，编辑于星期六：十四点 十三分。
说明:
y2
2C
(
x
C 2
)
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
顶到底的距离为 h , 则将
代入通解表达式得 C d 2 8h
这时旋转曲面方程为
若f(x,y)为0次齐次函数，则称 y'=f(x,y)是一阶齐次型方程。
对于代数线性方程au+bv+c=0,称a，b为系数，c为自由项。设 f(u,v)=au+bv+c, 那么当c=0时，f(tu,tv)=tf(u,v)，称au+bv=0是齐次方程； 当c≠0时，f(tu,tv)≠tf(u,v)，称au+bv+c=0是“非”齐次方程。
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说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
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一、微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
分类
常微分方程 (本章内容)
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
( n ) F ( x , y , y , , y ) 0
第七章
第七章 微分方程
— 积分问题 已知 y f ( x ) , 求 y
推广
已知含 y及其若干阶导数的方程 ,求 y — 微分方程问题
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第七章
第一节 微分方程的基本概念 与一阶微分方程解法
引例
几何问题
物理问题
一阶微分方程的基本概念与解法
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引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
故有 即 解得
2 1 u sin u
2 sec u d u d x
tan u x C
( C 为任意常数 ) x y 1 ) x C 所求通解: tan(
y ln 2 ln C 两边积分得 ln x 1
即
2 y x 1C ( C 为任意常数 )
1
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
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2
例3. 求下述微分方程的通解:
2 y sin ( x y 1 ) x y 1 , 则 解: 令 u u 1 y
解法：可分离变量方程的解法: g ( y ) d y f ( x ) d x 两边积分, 得
则有
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x g(y)dy f (x)d
G( y)
F ( x)
G ( y ) F ( x ) C
称为方程的隐式通解.
d y 2 的通解. 例1. 求微分方程 3x y dx dy 解: 分离变量得 3x2 dx 说明: 在求解过程中 y 每一步不一定是同解 dy 变形, 因此可能增、 两边积分 3x2 dx y 减解. 或 3 ln y x C 得 1
或
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( n ) ( n 1 ) ( n 阶显式微分方程) y f ( x , y , y , , y )
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 其图形称为积分曲线族. 特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线. 定解条件 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): ( n 1 ) ( n 1 ) y ( x ) y , y ( x ) y , , y ( x ) y 0 0 0 0 0 0 引例1 通解:
X x y y x y y x ,即 y y 2 x 0
P
Q o xx
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二、一阶微分方程的解法
1、可分离变量微分方程 形如
dy f1(x) f2(y) 或 g ( y ) d y f ( x ) d x dx
的微分方程称为 可分离变量方程。
dy dx
2x
d2y
y x 12
y x2 C y x2 1
引例2
特解:
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ds st 0 , dt t0 20 0 2 s 0 . 2 t C t C 1 2 2
dx
2
0.4
s 0 . 2 t 20 t
例1. 验证函数 x C cos k t C sin k t ( C ,C 为常数 ) 1 2 1 2 d2 x 2 的解, 并求满足初始条件 是微分方程 k x 0 2 d t dx 0 的特解 . x t0 A, dt t 0 d 2x 2 2 解: C k k t C k cos k t 2 sin 1 2 d t 2 2 k ( C sin k t C cos k t ) k x 1 2 这说明 x 是方程的解 . C cos k t C sin k t 1 2
即
y e
x3 C 1
e e
C 1
3 C 1 x
令 C e
3 ln y x ln C
y Ce
x3
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
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例2. 解初值问题
2 x y d x ( x 1 ) d y 0
y ( 0 ) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1x
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x dx y x 12 (C为任意常数) 由 ① 得 y2
2 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 yx 1 .
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引例2. 列车在平直路上以 20m s的速度行驶, 制动时 2 获得加速度 a 0 . 4 m s ,求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) . 2 d s 0 .4 2 已知 dt ds 20 st 0 , 0 dt t 0 2 由前一式两次积分, 可得 s 0 . 2 t C t C 1 2 利用后两式可得 C 20 ,C 0 1 2 2 s 0 . 2 t 20 t 因此所求运动规律为
C 1 ,C 2 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得: C ,C 2 0, 故所求特解为 1 A
x A cos k t
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例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为 1 (Xx ) Yy y y 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标