2021届高考数学一轮复习第四章数列考点测试29数列的概念与简单表示法(含解析)新人教版B版

2021年高考数学大一轮总复习 6.1 数列的概念与简单表示法高效作业理 新人教A 版学号：________ 得分：________ 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·海口调研)已知数列{a n }满足a 1＞0，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列D ．不确定解析：∵a n ＋1a n ＝12＜1.又a 1＞0， 则a n ＞0，∴a n ＋1＜a n ， ∴{a n }是递减数列．故应选B. 答案：B2．(xx·苏、锡、常、镇四市第二次情况调查)下列说法正确的是( ) A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同数列C ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1kD ．数列0,2,4,6，…可记为{2n } 解析：由数列定义可知A 、B 错误；数列{n ＋1n }的第k 项为k ＋1k ＝1＋1k，故C 正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为a n ＝2n －2，故D 错，综上可知，应选C.答案：C3．(xx·东北三校联考)在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中x 的值是( ) A ．10 B ．11 C ．12D ．13解析：所给数列观察可知，从第三项起，每一起都等于其前两项的和，故x ＝5＋8＝13，故选D.答案：D4．(xx·沈阳第二次质量监测)如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1) B ．a n ＝3·2nC ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝2·3n解析：由关系式S n ＝32a n －3易得：a 1＝6，a 2＝18，由此可排除A 、B 、C ，故选D.答案：D5．(xx·辽宁重点中点协作体一模)已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则下列结论正确的是( )A ．数列a 2，a 3，…，a n ，…是等比数列B ．数列{a n }是等比数列C ．数列a 2，a 3，…，a n ，…是等差数列D ．数列{a n }是等差数列 解析：∵S n ＝a n ＋13，由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n ＋13－a n3得a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又∵a 1＝1，a 2＝3，∴a 2，a 3，…，a n ，…是等比数列．故选A. 答案：A6．(xx·漳州一模)数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2010＝( )A.40202011 B.40182010 C.20102011D.20092010解析：令m ＝1得a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，于是a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，上述n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，因此1a n ＝2nn ＋1＝2(1n －1n ＋1)，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2010＝2(1－12＋12－13＋…＋12010－12011)＝40202011. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(xx·安徽皖南八校第二次联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＋1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1]＝2n －1.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝12n －1n ≥28．(xx·卫辉月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1＝3,4S n ＝6a n －a n －1＋4S n －1，则a n ＝________.解析：n ≥2时，4S n －4S n －1＝4a n ＝6a n －a n －1，∴a n a n －1＝12， ∴a n ＝a 1·(12)n －1＝3·21－n.答案：3·21－n9．(xx·北京西城抽样测试)已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________；a 2 014＝________.解析：a 2 009＝a 503×4－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0. 答案：1；010．(xx·安徽)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．解析：令S △OA 1B 1＝m (m ＞0)，因为所有A n B n 平行且a 1＝1，a 2＝2，所以S 梯形A n B n B n ＋1A n＋1＝3m ，当n ≥2时，a n a n －1＝OA nOA n －1＝a ＋n －1×3aa ＋n －2×3a ＝3n －23n －5，故a 2n ＝3n －23n －5a 2n －1，a 2n －1＝3n －53n －8a 2n －2，a 2n －2＝3n －83n －11a 2n －3，……，a 22＝41a 21，以上各式累乘可得：a 2n ＝(3n －2)a 21，因为a 1＝1，所以a n ＝3n －2.答案：a n ＝3n －2三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(xx·山东青岛质检)正项数列{a n }中，前n 项和为S n ，a 1＝2，且a n ＝22S n －1＋2(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．解：由a n＝22S n－1＋2(n≥2)，得S n－S n－1＝22S n－1＋2(n≥2)，∴S n＝S n－1＋2·2·S n－1＋2＝(S n－1＋2)2，∴S n－S n－1＝2(n≥2)，又S1＝a1＝2，∴{S n}是首项为2，且公差也为2的等差数列．∴S n＝2＋(n－1)×2＝2n，∴S n＝2n2，∴n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2.又n＝1时，a1＝S1＝2符合上式，故a n＝4n－2.12．(xx·天津十二区县重点中学第一次联考)已知数列{a n}的前n项和为S n，并满足a1＝2，na n＋1＝S n＋n(n＋1)．(1)求{a n}的通项公式；(2)令T n＝(45)n S n，问是否存在正整数m，对一切正整数n，总有T n≤T m，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解：(1)令n＝1，由a1＝2及na n＋1＝S n＋n(n＋1)①得a2＝4，故a2－a1＝2.当n≥2时，有(n－1)a n＝S n－1＋n(n－1)②①－②得：na n＋1－(n－1)a n＝a n＋2n.整理得，a n＋1－a n＝2(n≥2)．当n＝1时，a2－a1＝2，所以数列{a n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，故a n＝2＋(n－1)×2＝2n.(2)由(1)得S n＝n(n＋1)，所以T n＝(45)n S n＝(45)n(n2＋n)．故T n＋1＝(45)n＋1[(n＋1)2＋(n＋1)]，令⎩⎪⎨⎪⎧T n ≥T n ＋1T n ≥T n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧45nn 2＋n ≥45n ＋1[n ＋12＋n ＋1]45n n 2＋n ≥45n －1[n －12＋n －1]，即⎩⎪⎨⎪⎧n ≥45n ＋245n ＋1≥n －1，解得8≤n ≤9.故T 1＜T 2＜…＜T 8＝T 9＞T 10＞T 11＞… 故存在正整数m 对一切正整数n ， 总有T n ≤T m ， 此时m ＝8或m ＝9.13．(xx·华师附中一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{b n }中，b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－1，则a 1＝2.当n ≥2时，由S n ＝32a n －1(n ∈N *)①得S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)②由①－②，得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，则a n ＝3a n －1，又a 1≠0，故a n －1≠0，∴a na n －1＝3知数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，则a n ＝2·3n －1.(2)可得b n ＋1＝b n ＋2·3n －1，则当n ≥2时，b n ＝b n －1＋2·3n －2，……b 3＝b 2＋2·31， b 2＝b 1＋2·30，以上各式相加，得b n＝b1＋2×(3n－2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n－11－3＝3n－1＋4.当n＝1时，31－1＋4＝5＝b1.所以b n＝3n－1＋4.Y29190 7206 爆31784 7C28 簨{_137142 9116 鄖139290 997A 饺t21600 5460 呠g1V26958 694E 楎。

2021年高考数学一轮复习第1讲数列的概念与简单表示法同步检测文一、选择题1．数列{a n}：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A．a n＝(－1)n＋12n－1n2＋n(n∈N＋)B．a n＝(－1)n－12n＋1n3＋3n(n∈N＋)C．a n＝(－1)n＋12n－1n2＋2n(n∈N＋)D．a n＝(－1)n－12n＋1n2＋2n(n∈N＋)解析观察数列{a n}各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D.答案 D2．把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是( )．A．27 B．28 C．29 D．30解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.答案 B3．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－1(n∈N*)，则a5＝( )．A．－16 B．16 C．31 D．32解析当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1，又S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝a n ＝2(a n －a n －1)． ∴a n a n －1＝2.∴a n ＝1×2n －1，∴a 5＝24＝16. 答案 B4．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a 2 014－5＝( )．A ．2 020×2 012B ．2 020×2 013C ．1 010×2 012D ．1 010×2 013解析 结合图形可知，该数列的第n 项a n ＝2＋3＋4＋…＋(n ＋2)．所以a 2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.故选D. 答案 D5．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是 ( )． A ．103B.8658C.8258D ．108解析 根据题意并结合二次函数的性质可得：a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n 2－292n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋3＋8418， ∴n ＝7时，a n 取得最大值，最大项a 7的值为108. 答案 D6．定义运算“*”，对任意a ，b ∈R ，满足①a *b ＝b *a ；②a *0＝a ；(3)(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(c *b )．设数列{a n }的通项为a n ＝n *1n*0，则数列{a n }为( )．A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列解析 由题意知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n *1n *0＝0]n ·1n ＋(n *0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0]1n )＝1＋n ＋1n ，显然数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列；又函数y ＝x ＋1x在[1，＋∞)上为增函数，所以数列{a n }为递增数列． 答案 C 二、填空题7．在函数f (x )＝x 中，令x ＝1,2,3，…，得到一个数列，则这个数列的前5项是________． 答案 1，2，3，2， 58．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a 2＝________；a n ＝________. 解析 由a n ＝n (a n ＋1－a n )，可得a n ＋1a n ＝n ＋1n， 则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n ，∴a 2＝2，a n ＝n . 答案 2 n9．已知f (x )为偶函数，f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ≤0时，f (x )＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f (n )，则a 2 013＝________.解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )， ∴f (x ＋2)＝f (2－x )＝f (x －2)． 故f (x )周期为4，∴a 2 013＝f (2 013)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12.答案1210．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 的值为________． 解析 ∵S n ＝n 2－9n ，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，a 1＝S 1＝－8适合上式，∴a n ＝2n －10(n ∈N *)，∴5＜2k －10＜8，得7.5＜k ＜9.∴k ＝8. 答案 8 三、解答题11．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16，即150是这个数列的第16项． (3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)， ∴从第7项起各项都是正数．12．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12n －1＝n －1－n 2n n －1＝－12n n －1.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.13．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n， 即S n ＋1＝2S n ＋3n，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n)，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n}是首项为a －3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，当n ＝1时，a 1＝a 不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，2×3n －1＋a －32n －2，n ≥2.a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．14．在等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m.解(1)因为{a n}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28.设数列{a n}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．(2)对m∈N*，若9m＜a n＜92m，则9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1，故得b m＝92m－1－9m－1.于是S m＝b1＋b2＋b3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)＝9×1－81m1－81－1－9m1－9＝92m＋1－10×9m＋180.32633 7F79 罹`O>22641 5871 塱+ 33079 8137 脷921470 53DE 叞J33357 824D 艍33441 82A1 芡。

5n－4[由a1＝1＝5×1－4、a2＝6＝5×2－4、a3＝11＝5×3－4、…、归纳a n＝5n－4.]考点1由数列的前几项求数列的通项公式考点2 由a n 与S n 的关系求通项公式已知S n 求a n 的3个步骤(1)利用a 1＝S 1求出a 1.(2)当n ≥2时、利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求出a n 的表达式．(3)看a 1是否符合n ≥2时a n 的表达式、如果符合、则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式、即a n ＝⎩⎨⎧S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n 、则a n ＝ .(2)(20xx·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1、则S 6＝ . (3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n 、则a n ＝ .C ．a n ＝n2D ．a n ＝n22B [∵a1＋a2＋…＋an ＝错误!、 ∴a1＋a2＋…＋an－1＝错误!(n ≥2)、 两式相减得an ＝错误!－错误!＝n (n ≥2)、 ∴a n ＝n 2(n ≥2)、① 又当n ＝1时、a1＝1×22＝1、a 1＝1、适合①式、 ∴a n ＝n 2、n ∈N *.故选B.]2．已知数列{a n }的前n 项和为S n 、a 1＝1、S n ＝2a n ＋1、则S n ＝ . ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-1 [因为S n ＝2a n ＋1、所以当n ≥2时、S n －1＝2a n 、所以a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)、即an＋1an ＝32(n ≥2)、 又a 2＝12、所以a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-2 (n ≥2)．当n ＝1时、a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32-1＝13、所以a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-2，n ≥2，所以S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-1.]考点3 由递推关系式求数列的通项公式 累加法——形如a n ＋1－a n ＝f (n )、求a n利用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ f (n －1)＋ f (n －2)＋…＋ f (1)＋a 1求解．＝.又a1＝1适合上式、故a n＝.＝Aa n待定系数法——形如a n＋1＋B(A≠0且A≠1、B≠0)、求a n求此类数列的通项公式、通常采用待定系数法将其转化为(a n＋x)＝A(a n＋x)、先求出x、再借助等比数列{a n＋1＋x }求解．C[∵a n＋1＝an1＋3an 、两边取倒数得1an＋1－1an＝3、又a1＝1所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1an表示首项为1、公差为3的等差数列、所以1an＝1＋(n－1)×3＝3n－2、即a n＝13n－2、所以a10＝13×10－2＝128、故选C.]考点4数列的性质数列的周期性及应用解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项、确定数列的周期、再根据周期性求值．令an＋1an>1、解得n <2； 令an＋1an＝1、解得n ＝2； 令an＋1an<1、解得n >2. 又a n >0、故a 1<a 2＝a 3、a 3>a 4>a 5>…>a n 、 所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3、 且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A.(2)由a n ＋1＞a n 知该数列是一个递增数列、 又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4、 ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4＞n 2＋kn ＋4、 即k ＞－1－2n 、又n ∈N *、 ∴k ＞－3.]。

2021年高考数学一轮复习 5.1 数列的概念及简单表示法课时作业理（含解析）新人教A版必修5一、选择题1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2(a n－1)，则a2等于( )A．4 B．2C．1 D．－2解析：由题可知S n＝2(a n－1)，所以S1＝a1＝2(a1－1)，解得a1＝2.又S2＝a1＋a2＝2(a2－1)，解得a2＝a1＋2＝4.答案：A2．按数列的排列规律猜想数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A．－1617B．－1819C．－2021D．－2223解析：所给数列呈现分数形式，且正负相间，容易归纳出数列{a n}的通项公式，a n＝(－1)n＋1·2n2n＋1，故a10＝－2021.答案：C3．数列{a n}的前n项积为n2，那么当n≥2时，a n＝( ) A．2n－1 B．n2C.n＋12n2D.n2n－12解析：设数列{a n}的前n项积为T n，则T n＝n2，当n≥2时，a n＝TT n－1＝n2n－12.答案：D4．数列{a n}满足a n＋a n＋1＝12(n∈N*)，a2＝2，S n是数列{a n}的前n项和，则S21为( )A．5 B.7 2C.92D.132解析：∵a n＋a n＋1＝12(n∈N*)，∴a1＝12－a2＝12－2，a2＝2，a3＝12－2，a4＝2，…，故a2n＝2，a2n－1＝12－2.∴S21＝10×12＋a1＝5＋12－2＝72.答案：B5．(xx·河南高三检测)已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p＋q＝a p＋a q，且a2＝－6，那么a10等于( )A．－165 B．－33C．－30 D．－21解析：法一：赋值法：令q＝2，则a p＋2＝a p＋a2，a2＝－6，故数列{a n}的所有偶数项、所有奇数项分别成等差数列．∴a10＝a2＋4×(－6)＝－30，故选C.法二：a10＝a8＋2＝a8＋a2＝a6＋2＋a2＝a6＋2a2＝…＝5a2＝－30.答案：C6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10……这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为( )①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36A．③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①②③⑤解析：这些三角形数的规律是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是对的．答案：A二、填空题7．(xx·浙江温州八校期初联考)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．解析：由图可知，第一条“金鱼”需火柴棒a 1＝8，第二条“金鱼”需火柴棒a 2＝14，依次类推a 3＝20条，a n 比a n －1多6条，∴a n －a n －1＝6，∴a n ＝a 1＋6(n －1)＝6n ＋2.答案：6n ＋28．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________. 解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8. 答案：89．已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________. 解析：由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋1.则S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n，n ＝1时不适合a n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，2n， n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，2n， n ≥2.三、解答题10．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)． ∴从第7项起各项都是正数．11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， ∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)．∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1. 当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1，∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列．∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式． (2)求n 为何值时a n 最小．解：(1)由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6得， (a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2n －6. ∴b n ＋1－b n ＝2n －6.当n ≥2时，b n －b n －1＝2(n －1)－6b n －1－b n －2＝2(n －2)－6⋮b 3－b 2＝2×2－6 b 2－b 1＝2×1－6累加得b n －b 1＝2(1＋2＋…＋n －1)－6(n －1)＝n (n －1)－6n ＋6 ＝n 2－7n ＋6. 又b 1＝a 2－a 1＝－14， ∴b n ＝n 2－7n －8(n ≥2)，n ＝1时，b 1也适合此式，故b n ＝n 2－7n －8. (2)由b n ＝(n －8)(n ＋1)得a n ＋1－a n ＝(n －8)(n ＋1)，∴当n <8时，a n ＋1<a n . 当n ＝8时，a 9＝a 8. 当n >8时，a n ＋1>a n .∴当n ＝8或n ＝9时，a n 的值最小． [热点预测]13．(1)已知数列{a n }中，a 2＝102，a n ＋1－a n ＝4n ，则数列{a n n}的最小项是( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项 D ．第9项(2)已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a 2＝2，a n a n ＋1a n ＋2＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2，且a n ＋1a n ＋2≠1，则a 1＋a 2＋a 3＝________，S 2 013＝________.(3)(xx·江西八校联考)将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a 2 014－5＝( )A ．2 020×2 014 B．2 020×2 013 C ．1 010×2 014 D．1 010×2 013解析：(1)根据a n ＋1－a n ＝4n ，得a 2－a 1＝4，故a 1＝98，由于a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝98＋4×1＋4×2＋…＋4×(n －1)＝98＋2n (n －1)，所以a n n＝98n＋2n －2≥298n·2n －2＝26，当且仅当98n＝2n ，即n ＝7时等号成立．(2)由1×2×a 3＝1＋2＋a 3，得a 3＝3，a 1＋a 2＋a 3＝6.继续依据递推关系得到a 4＝1，a 5＝2，a 6＝3，…，故该数列是周期为3的数列，S 2 013＝6×2 0133＝4 026. (3)因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，a 1＝5，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(n ＋2)＋(n ＋1)＋…＋4＋5 ＝n －1n ＋2＋42＋5所以a n ＝5＋n ＋6n －12，所以a 2 014－5＝1 010×2 013.答案：(1)B (2)6 4 026 (3)D 37975 9457 鑗m U727875 6CE3 泣WF34403 8663 虣-34041 84F9 蓹B40292 9D64 鵤,32255 7DFF 緿。

第01节 数列的概念与简洁表示法班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.） 1． 已知数列：2，0，2，0，2，0， ．前六项不适合．．．下列哪个通项公式( ) A ．n a ＝()111n ++- B ．n a ＝2|sin2n π| C ．n a ＝()11n-- D ．n a ＝2sin 2n π 【答案】D故选D.2．【改编题】已知数列{}n a ，则“11n n a a +>-”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意，若“数列{}n a 为递增数列”，则11n n n a a a +>>-，但11n n a a +>-不能推出1n n a a +>，如11, 1.5n n a a +==，则不能推出“数列{}n a 为递增数列”，所以“11n n a a +>-”是“数列{}n a 为递增数列”的必要而不充分条件.故选B.3． 【改编题】已知数列}{n a 的前n 项和为nS ，且)1(2+=n n a S ，则5a = （ ）A ．16-B ．32-C ．32D ．64-【答案】B ． 【解析】当1n =时，111122,2a S a a ==+∴=-．当2n ≥时，由22n n S a =+得1122n n S a --=+，两式作差得：12n n a a -=，∴数列{}n a 是以2-为首项，2为公比的等比数列，∴452232a =-⨯=-，故选B ．4．【山西晋城市2022届高三下学期第三次模拟考试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足111,2nn n a a a +==,则20S =（ ）A ．3066B ．3063C ．3060D ．3069 【答案】D 【解析】5．【太原市2022年高三班级模拟试题（三）】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值为（ ）A ．27B ．36C ．45D ．54 【答案】D 【解析】试题分析：由6726a a =+得641=+d a ,故54)4(92899119=+=⨯+=d a d a S ,故应选D. 6．【太原市2022年高三班级模拟试题（三）】已知{}n a 满足11a =，*11()()4n n n a a n N ++=∈，21123444n n n S a a a a -=++++，则54n n n S a -=（ ）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n 【答案】B 【解析】试题分析：由*11()()4n n n a a n N ++=∈得:1441=++n n n n a a ,取n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=,得到n 个等式并两边相加得:n a a a a a a a n nn n =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++)444()4444(132233221,由于21123444n n n S a a a a -=++++,则n a S S n n n n =+-++)41(41,而n n n n a a 4141-=+,所以n a S n n n =-45,应选B.7．【原创题】已知函数()f x 满足：(1)3,(2)6,(3)10,(4)15,f f f f ====，则(12)f 的值为（ ）A ．54B ．65C ．77D ．91【答案】D ．故选D ．8．【2022年安庆市高三二模】数列{}n a 满足：11n n a a λ+=-（n *∈Ν,λ∈R 且0λ≠）,若数列{}1n a -是等比数列,则λ的值等于（ ）A ．1B ．1-C ．12D ．2 【答案】D【解析】由11n n a a λ+=-,得1212()n n n a a a λλλ+-=-=-.由于数列{1}n a -是等比数列,所以21λ=,得2λ=.故选D.9．【浙江省杭州外国语学校高三上学期期中考试】已知函数()f x =⎩⎨⎧>+-≤-)0(,1)1()0(,12x x f x x ,把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的挨次排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ）A ．2)1(-=n n a nB ．1-=n a nC ．)1(-=n n a nD ．22-=n n a【答案】B 【解析】试题分析：当(]0,∞-∈x 时，由()()012=--=-=x x x f x g x，得12+=x x，令x y 2=，1+=x y ，在同一个坐标系内作出两函数在区间(]0,∞-上的图象，由图象易知交点为()1,0，故得到函数的零点为0=x .当(]1,0∈x 时，(]0,11-∈-x ，()()11211211--=+-=+-=x x x f x f ，由()()021=-=-=-x x x f x g x ，得x x =-12，令12-=x y ，x y =，在同一个坐标系内作出两函数在区间(]1,0上的图象，由图象易知交点为()1,1，故函数的零点为1=x .当(]2,1∈x 时，(]1,01∈-x ，10．【2022年江西省四校高三一模测试】已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1611161133,7a a a b b b π⋅⋅=-++=,则3948tan 1b b a a +-⋅的值是（ ）A.1B. 22 C . 22- D. 3【答案】D 【解析】试题分析：数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，，且1611161133,7a a a b b b π⋅⋅=-++=(3366667,3,37,3,3a b a b ππ∴=-=∴=-=,3948tan 1b b a a +-⋅6262tan1b a =-()2723tan13π⨯=-7tantan 2tan 3333ππππ⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭11.【2022年江西师大附中鹰潭一中联考】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是（ ）A ．6SB ．7SC ．8SD ．15S 【答案】B【解析】由95S S =,得()67897820a a a a a a +++=+=,由01>a 知,0,087<>a a ,所以7S 最大，故B 正确. 12．【浙江省桐乡第一等四校高三上学期期中理考】已知函数()121f x x =--，[0,1]x ∈.定义：1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，……，1()(())n n f x f f x -=，2,3,4,n =满足()n f x x =的点[0,1]x ∈称为()f x 的n 阶不动点.则()f x 的n 阶不动点的个数是（ ）A.2n 个B.22n 个 C.2(21)n -个 D.2n 个【答案】D. 【解析】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【2022年河北石家庄高三二模】数列{}n a 满足：1132,51++⋅=-=n n n n a a a a a ，则数列{}1+⋅n n a a 前10项的和为______.【答案】1021【解析】令2n =,23232a a a a -=⋅,解得213a =,令1n =,则12122a a a a -=⋅,解得11a =,对112n n n n a a a a ++-=⋅两边除以1n n a a +⋅,得1112n na a +-=,故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,公差为2的等差数列,所以()()111111121,,21212122121n n n n n a a a a n n n n n +⎛⎫=-=⋅==- ⎪--⋅+-+⎝⎭,故其前10项的和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 14．【2022年江西九江高三模拟】已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且112,1+==n n n a a S a ，则=n S ______.【答案】2)1(+n n15．【陕西省西安长安区一中高三上学期第三次质检】把正整数按肯定的规章排成了如图所示的三角形数表．124357681012911131517141618202224设(),ij a i j N +∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如5211a =．则87a = ．【答案】38【解析】试题分析由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，故87a 表示第8行的第7个数字，即第2+4+6+7=19个正偶数．故8721938a =⨯=.16．【2022年4月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试】已知数列{}n a 的首项11a =，且对任意*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b -+=的两实根，则21n b -= .【答案】(31)(32)n n -- 【解析】三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． 【湖南省2022届高考冲刺卷数学（理）试题（三）】（本小题满分10分）已知数列{}n a 中,()111,3nn n a a a n N a *+==∈+.（1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列, 并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足()312nn n n n b a =-,数列{}nb 的前n 项和为n T ,若不等式()112n n n n T λ--<+对一切n N *∈恒成立, 求λ的取值范围. 【答案】（1）231n n a =-（2）()2,3- 【解析】试题分析：（1）证明等比数列，一般从定义动身，即证相邻项的比值是一个与项数无关的非零常数，即1311122=3111122n n n n n a a a a a ++++=++，由112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭通项11133,22n n a -+=⨯得231n n a =-（2）先代入化简得12n n nb -=，所以用错位相减法求和1242n n n T -+=-，对不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，由于有符号数列，所以分类争辩：若n 为偶数, 则min 12(4)32n λ-<-=；若n 为奇数, 则min 12(4)222n λλ--<-=⇒>-，因此求交集得λ的取值范围试题解析：（1）由数列{}n a 中, ()111,3nn n a a a n N a *+==∈+,可得1131311111,322n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫+==+∴+=+ ⎪⎝⎭,112n a ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭是首项为32,公比为3的等比数18．【2022届高三班级第四次四校联考】（本小题满分12分） 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)(12*∈-=N n S n n(1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 若1232212+⨯-=+nn nn b ，且数列{n b }的前n 项和为n T ，求证：1<n T 。

2021年高考数学一轮复习专题七——数列7.1 数列的概念与简单表示1、数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．2、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．注意：（1）并不是所有的数列都有通项公式；（2）同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.3、数列的递推公式如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式．4、S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意数列均成立．5、数列的分类突破点一 数列的通项公式例1 1、数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝12a n －1，则a 5的值为________．2、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.233、数列{a n }的前几项为12，3，112，8，212，…，则此数列的通项可能是( )A ．a n ＝5n －42B ．a n ＝3n －22C ．a n ＝6n －52D ．a n ＝10n －92突破点二 数列的性质例2（数列的单调性）4、已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1，那么这个数列是_ __(填递增或递减)．5、设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是________．6、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于______．[方法技巧] 求数列最大项或最小项的方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项．(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项． (3)比较法：①若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )>0( 或a n >0时，a n ＋1a n >1 )，则a n ＋1>a n ，即数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；②若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )<0( 或a n >0时，a n ＋1a n <1 )，则a n ＋1<a n ，即数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例3（数列的周期性）7、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，则a 2 020的值为( )A ．2B ．－3C ．－12 D.138、若数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，则a 2 021＝( )A ．1B ．－2C ．3D ．－3突破点三 利用a n 与S n 的关系求通项 （难点）数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，通过纽带：a n ＝S n－S n －1(n ≥2)，根据题目已知条件，消掉a n 或S n ，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．例4 9、已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是____________．10、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式a n ＝________.11、已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，则a n ＝________.12、已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n成等差数列，则a n ＝____________.[方法技巧] 已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．突破点四 利用递推关系求通项 （难点）例5 13、（累加法）在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求数列{a n }的通项公式．14、（累乘法）在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．15、（构造法）在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．16、（构造法）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．[方法技巧] 典型的递推数列及处理方法1°形如“”，利用待定系数法求解。

课时限时检测(二十九) 数列的概念与简单表示法(时间：60分钟 满分：80分)命题报告1．如图5－1－1，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )图5－1－1A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n n －2 C ．a n ＝n n ＋2D ．a n ＝n n ＋2【解析】 观察所给图案知，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.【答案】 C2．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．103 B.8658C.8258D ．108【解析】 ∵a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋2×29216＋3，∴n ＝7时，a n 最大．a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108. 【答案】 D3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，则a 10＝( ) A ．1 024 B ．1 023 C ．2 048D ．2 047【解析】 ∵a n ＋1＝a n ＋2n， ∴a n －a n －1＝2n －1(n ≥2)，∴a 10＝(a 10－a 9)＋(a 9－a 8)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝29＋28＋…＋2＋1＝210－1＝1 023. 【答案】 B4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n【解析】 ∵a n ＝n (a n ＋1－a n )， ∴a n ＋1a n ＝n ＋1n， ∴a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×32×21×1＝n . 【答案】 D5．(2014·海淀模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44B ．3×44＋1 C ．45D ．45＋1【解析】 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，n ∈N *， ∴3S n ＝S n ＋1－S n ，则S n ＋1＝4S n ，又S 1＝a 1＝1， ∴数列{S n }是公比为4的等比数列． ∴S n ＝1·4n －1＝4n －1，从而a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44.【答案】 A6．(2014·长沙模拟)对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 充分性成立．理由如下： ∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1＞|a n |≥a n ， ∴{a n }为递增数列．必要性不成立．如数列－2,0,1，… 显然a 2＞|a 1|不成立．综上可知，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件． 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n(n ≥2)，则a 16＝________.【解析】 由题意知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，a 16＝a 3×5＋1＝a 1＝12.【答案】 128．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.【解析】 由题意知：a 1·a 2·a 3…a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116.【答案】61169．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1＜S k ＜9(k ∈N *)，则a 1的值为________，k 的值为________．【解析】 当n ＝1时，a 1＝23a 1－13，∴a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1－13＝23a n －23a n －1，∴a na n －1＝－2， ∴数列{a n }是首项为－1，公比为－2的等比数列， ∴a n ＝－(－2)n －1，S n ＝－23×(－2)n －1－13.由1＜－23×(－2)k －1－13＜9得－14＜(－2)k －1＜－2，又k ∈N *，∴k ＝4. 【答案】 －1 4三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2012·大纲全国卷改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式． 【解析】 (1)∵S n ＝n ＋23a n ，且a 1＝1，∴S 2＝43a 2，即a 1＋a 2＝43a 2，得a 2＝3.由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，得a 3＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1， 于是a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n a n －1＝n ＋1n －1，以上n －1个式子的两端分别相乘，得a n a 1＝n n ＋2，∴a n ＝n n ＋2，n ≥2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝n n ＋2，n ∈N *.11．(12分)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．【解】 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝，1n ，n(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＜0，∴{c n }是递减数列．12．(13分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝6n ＋2，点(a n n，b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上，{b n }的最小项为b 3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求m 的取值范围．【解】 (1)∵a n ＋1－a n ＝6n ＋2， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝6n －4.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(6n －4)＋(6n －10)＋…＋8＋2 ＝n －＋n －2＋2＝3n 2－3n ＋2n －2＋2 ＝3n 2－n ，显然a 1也满足a n ＝3n 2－n ， ∴a n ＝3n 2－n .(2)∵点(a n n，b n )在y ＝x 3＋mx 的图象上， ∴b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)．∴b 1＝8＋2m ，b 2＝125＋5m ，b 3＝512＋8m ，b 4＝1 331＋11m . ∵{b n }的最小项是b 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧8＋2m ≥512＋8m ，125＋5m ≥512＋8m ，1 331＋11m ≥512＋8m ，∴－273≤m ≤－129.∵b n ＋1＝(3n ＋2)3＋m (3n ＋2)，b n ＝(3n －1)3＋m (3n －1)，∴b n ＋1－b n ＝3[(3n ＋2)2＋(3n －1)2＋(3n ＋2)(3n －1)]＋3m ＝3(27n 2＋9n ＋3＋m )， 当n ≥4时，27n 2＋9n ＋3＞273，∴27n 2＋9n ＋3＋m ＞0， ∴b n ＋1－b n ＞0，∴n ≥4时，b n ＋1＞b n . 综上可知－273≤m ≤－129， ∴m 的取值范围为[－273，－129]．。

第1讲数列的概念及简单表示法一、知识梳理 1．数列的有关概念 (1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列的分类数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． 2．数列的通项公式 (1)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．常用结论1．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，3，…，n }上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 二、教材衍化1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A ．32B ．53C ．85D ．23解析：选D ．a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23. 2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________．答案：5n －4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)所有数列的第n 项都能使用通项公式表示．( ) (3)数列{a n }和集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }是一回事．( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( ) (5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( )(6)若数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＝S n －S n －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N *或其子集{1，2，…，n }；(2)根据S n 求a n 时忽视对n ＝1的验证．1．在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2中，0.08是它的第________项．解析：依题意得n －2n 2＝225，解得n ＝10或n ＝52(舍)．答案：102．已知S n ＝2n ＋3，则a n ＝________．解析：因为S n ＝2n ＋3，那么当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋3＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n＋3－(2n －1＋3)＝2n －1(*)．由于a 1＝5不满足(*)式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2考点一 由数列的前几项求通项公式(基础型)复习指导| 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法和通项公式法)．核心素养：逻辑推理1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－(n －1) B ．a n ＝n 2－1 C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n －1)2解析：选C ．观察数列1，3，6，10，…可以发现1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，…第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以a n ＝n (n ＋1)2.2．数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________．解析：数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.答案：2n ＋1n 2＋13．数列3，7，11，15，…的一个通项公式是________．解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a 2n －a 2n －1＝4，所以a 2n ＝3＋(n －1)×4＝4n －1，所以a n ＝4n －1.答案：a n ＝4n －14．已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是________．解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…故其通项公式可以为a n ＝(－1)n·2n －32n .答案：a n ＝(－1)n·2n －32n解决此类问题，需抓住下面的特征：(1)各项的符号特征，通过(－1)n或(－1)n＋1来调节正负项．(2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．(3)相邻项(或其绝对值)的变化特征．(4)拆项、添项后的特征．(5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律．[注意]根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的！考点二由a n与S n的关系求a n(基础型)复习指导|由S n与a n的关系求a n.利用a n＝S n－S n－1(n≥2)，求出当n≥2时a n的表达式．(1)(2020·湖南三市联考)设数列{a n}的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1的值为( )A ．12B ．14C ．18D ．116(2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a 1＝________，{a n }的通项公式为________．【解析】 (1)因为S n ＝a 1(4n －1)3，a 4＝32，所以S 4－S 3＝255a 13－63a 13＝32，所以a 1＝12，故选A ．(2)数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)， 所以(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1. 当n ＝1时，a 1＝2，上式也成立． 所以a n ＝22n －1.【答案】 (1)A (2)2 a n ＝22n －1(1)已知S n 求a n 的三个步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1；②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系式，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；③注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． (2)S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解； ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥22．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________．解析：由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，所以a 1＝1，所以{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －1考点三 由递推关系求通项公式(基础型)复习指导| 由数列的递推关系求通项公式常利用构造法、累加法、累乘法等．分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n (n ∈N *)； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．【解】 (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2，所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2.(2)由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘， 得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2，故a n ＝2n (n －1)2，所以数列的通项公式为a n ＝2n (n －1)2.(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以该数列的通项公式为a n ＝2·3n－1－1.由递推关系求数列的通项公式的常用方法1．在数列{a n}中，若a1＝2，a n＋1＝a n＋2n－1，则a n＝________．解析：a1＝2，a n＋1＝a n＋2n－1⇒a n＋1－a n＝2n－1⇒a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，则a n＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1＝1－2n－11－2＋2＝2n－1＋1.答案：2n－1＋12．若a1＝1，na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，则数列{a n}的通项公式a n＝________．解析：由na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，得a na n－1＝nn＋1(n≥2)．所以a n＝a na n－1·a n－1a n－2·a n－2a n－3·…·a3a2·a2a1·a1＝nn＋1·n－1n·n－2n－1·…·34×23×1＝2n＋1，(*)又a1也满足(*)式，所以a n＝2n＋1.答案：2 n＋1考点四数列的函数特征(综合型)复习指导|通过实例，了解数列是一种特殊函数．核心素养：逻辑推理角度一数列的单调性已知数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋k2n，若数列{a n}为递减数列，则实数k的取值范围为()A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)【解析】 因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k2n ＋1＜0，所以k ＞3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．故选D ．【答案】 D(1)解决数列单调性问题的三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断；③结合相应函数的图象直观判断． (2)求数列最大项或最小项的方法①可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；②利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．角度二 数列的周期性设数列{a n }满足：a n ＋1＝1＋a n1－a n，a 2 020＝3，那么a 1＝( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3【解析】 设a 1＝x ，由a n ＋1＝1＋a n1－a n ，得a 2＝1＋x1－x，a 3＝1＋a 21－a 2＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x1－x ＝－1x ，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－1x 1＋1x ＝x －1x ＋1，a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ＝a 1，所以数列{a n }是周期为4的周期数列． 所以a 2 020＝a 505×4＝a 4＝x －1x ＋1＝3.解得x ＝－2.【答案】 A解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．1．等差数列{a n}的公差d＜0，且a21＝a211，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n的值为()A．5 B．6C．5或6 D．6或7解析：选C．由a21＝a211，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，因为d＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.因为d＜0，所以{a n}是递减数列，所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C．2．(2020·辽宁重点中学协作体联考)在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1－a n＝sin (n＋1)π2，记S n为数列{a n }的前n 项和，则S 18＝( )A ．0B ．18C ．10D ．9解析：选C ．因为a n ＋1－a n ＝sin(n ＋1)π2， 所以a n ＋1＝a n ＋sin (n ＋1)π2.因为a 1＝1，所以a 2＝a 1＋sin π＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝0，a 4＝a 3＋sin 4π2＝0，a 5＝a 4＋sin 5π2＝1，a 6＝a 5＋sin6π2＝1，a 7＝a 6＋sin 7π2＝0， a 8＝a 7＋sin 8π2＝0，…，故数列{a n }为周期数列，周期为4.所以S 18＝4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＝10.故选C ．3．已知数列{a n }满足a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析：因为数列{a n }是递增数列，所以a n ＋1＞a n ，所以(n ＋1－λ)2n ＋1＞(n －λ)2n ，化为λ＜n ＋2，对∀n ∈N *都成立．所以λ＜3.答案：(－∞，3)[基础题组练]1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项D ．第22项解析：选C ．数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n ＝5＋6(n －1)＝6n －1，令6n －1＝55，得n ＝21.2．已知数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A ．132B ．116C ．14D ．12解析：选A ．因为数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，所以a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18.那么a 5＝a 3·a 2＝132.故选A ．3．在数列{a n }中，“|a n ＋1|＞a n ”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ．“|a n ＋1|＞a n ”⇔a n ＋1＞a n 或－a n ＋1＞a n ，充分性不成立，数列{a n }为递增数列⇔|a n ＋1|≥a n ＋1＞a n 成立，必要性成立，所以“|a n ＋1|＞a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B ．4．(多选)已知数列{a n }满足a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，且a 1＝2，则( )A ．a 3＝－1B ．a 2 019＝12C ．S 3＝32D ．S 2 019＝2 0192解析：选ACD ．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，可得a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝12，…所以a n －3＝a n ，数列的周期为3.a 2 019＝a 672×3＋3＝a 3＝－1.S 3＝32，S 2 019＝2 0192.5．(2020·广东广州天河毕业班综合测试(一))数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝( )A ．9998B ．2C ．9950D ．99100解析：选C ．由a n ＋1＝1＋a n ＋n ，得a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋1＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2n (n ＋1)＝2n －2n ＋1， 则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝2×[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫199－1100]＝2×⎝⎛⎭⎫1－1100＝9950.故选C ．6．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)， 当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n (n ＋1)，故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *7．(2020·黑龙江大庆一中模拟)数列{a n }的前n 项和S n 满足a 2＝2，S n ＝12n 2＋An ，则A＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n ＝________．解析：因为a 2＝S 2－S 1＝(2＋2A )－⎝⎛⎭⎫12＋A ＝2，所以A ＝12. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋12n －⎣⎡⎦⎤12(n －1)2＋12(n －1)＝n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，所以a n ＝n .所以1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：：12 nn ＋18．(2020·重庆(区县)调研测试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，2S n ＝(n ＋1)a n ，则a n ＝________．解析：由2S n ＝(n ＋1)a n 知，当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，所以2a n ＝2S n －2S n －1＝(n ＋1)a n－na n －1，所以(n －1)a n ＝na n －1，所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11＝1，所以a n ＝n .答案：n9．已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； (2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解：(1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝ (－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)， 又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)． (2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2. 10．(2020·衡阳四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…，所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4(a n ＋1)a n ＋1＝4.[综合题组练]1．(2020·安徽江淮十校第三次联考)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n n ＝2，a 1＝20，则a nn的最小值为( )A ．4 5B ．45－1C ．8D ．9解析：选C ．由a n ＋1－a n ＝2n 知a 2－a 1＝2×1，a 3－a 2＝2×2，…，a n －a n －1＝2(n －1)，n ≥2，以上各式相加得a n －a 1＝n 2－n ，n ≥2，所以a n ＝n 2－n ＋20，n ≥2， 当n ＝1时，a 1＝20符合上式， 所以a n n ＝n ＋20n－1，n ∈N *，所以n ≤4时a n n 单调递减，n ≥5时a nn 单调递增，因为a 44＝a 55，所以a n n 的最小值为a 44＝a 55＝8，故选C ．2．(多选)在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n，则数列{a n }中的最大项可以是( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项D ．第9项解析：选AB ．假设a n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，即⎩⎨⎧(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n ≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n ＋1，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n≥n ·⎝⎛⎭⎫78n －1，所以⎩⎨⎧n ＋1≥78(n ＋2)，78(n ＋1)≥n ，即6≤n ≤7，所以最大项为第6项或第7项．3．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，若S n －22n ＋1＋1＝n ，则数列{b n }的通项公式为b n ＝________．解析：因为S n －22n ＋1＋1＝n ，所以S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.所以当n ≥2时，S n －1＝(n －2)2n ＋2，两式相减，得a n b n ＝n ·2n ，所以b n ＝n ；当n ＝1时，a 1b 1＝2，所以b 1＝1.综上所述，b n ＝n ，n ∈N *.故答案为n .答案：n4．(2020·新疆一诊)数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，A n 表示{a n }的前n 项之积，则A 2 019＝________．解析：由a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝1－1a n，又a 1＝3，则a 2＝1－1a 1＝23，a 3＝1－1a 2＝1－32＝－12，a 4＝1－1a 3＝1－(－2)＝3，则数列{a n }是周期为3的周期数列，且a 1a 2a 3＝3×⎝⎛⎭⎫23×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，则A 2 019＝(a 1a 2a 3)·(a 4a 5a 6)·…·(a 2017a 2 018a 2 019)＝(－1)673＝－1.答案：－15．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2； 同理a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .6．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解：(1)依题意得S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. (2)由(1)可知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n－2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎡⎦⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3，所以，当n ≥2时， a n ＋1≥a n ⇒12⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a 2＝a 1＋3＞a 1，a ≠3.所以，所求的a 的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。

2021年高考数学一轮复习专题6.1数列的概念与简单表示法讲内容要求备注A B C数列数列的概念√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.等差数列√等比数列√题组一常识题1．数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是__________________．2．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝1＋1a n－1(n≥2)，则a5＝________．【解析】由题意可知，a1＝1，a2＝1＋1a1＝2，a3＝1＋1a2＝32，a4＝1＋1a3＝53，a5＝1＋1a4＝85.3．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋3，则数列{a n}是________数列(填“递增”或“递减”)．【解析】由数列{a n}的通项公式，得a n＋1－a n＝[2(n＋1)＋3]－(2n＋3)＝2>0，所以{a n}是递增数列．题组二常错题4．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n－1n＋1，则该数列的第5项是________．【解析】由数列{a n}的通项公式为a n＝n－1n＋1，得a5＝5－15＋1＝46＝23，即数列{a n}的第5项是23. 5．已知数列2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项．【解析】∵a 1＝2，a 2＝5，a 3＝8，a 4＝11，∴a 5＝14，a 6＝17，a 7＝20＝25，即25是该数列的第7项．6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为______________． 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5.显然当n ＝1时，不满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，该实数a 的取值范围是________．【解析】∵数列{a n }是递增数列，且a n ＝f (n )，n ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f （8）>f （7）⇒2<a <3.题组三 常考题8． 若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________．9． 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________．【解析】由题易知a 8＝11－a 7＝2，得a 7＝12；a 7＝11－a 6＝12，得a 6＝－1；a 6＝11－a 5＝－1，得a 5＝2，于是可知数列{a n }具有周期性，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.10． 设数列{a n }满足a 1＝0，且a n －a n －1＝n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为____________. 【解析】由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，以上各式相加，得a n－a 1＝2＋3＋…＋n ＝（n －1）（n ＋2）2＝n 2＋n －22(n ≥2)．因为a 1＝0满足上式，所以a n ＝n 2＋n －22.【知识清单】考点1数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的分类3．数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.4.数列的通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.考点2由前项和公式推导通项公式，即与的关系求通项1. 数列的前项和：2．数列的前项和和通项的关系：考点3由递推公式推导通项公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式． 考点4 数列的性质的应用数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．【考点深度剖析】江苏新高考对数列知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、不等式、平面解析几何知识结合考查.【重点难点突破】考点1数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式 【题组全面展示】【1-1】数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于________． 【答案】32【1-2】已知函数满足：(1)3,(2)6,(3)10,(4)15,f f f f ====，则的值为_______．【答案】【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值从第二次开始后一个式子的右端值等于前一个式子的值与自变量的值加1的和，(2)(1)3,(3)(2)4,(4)(3)5,,(12)(11)13f f f f f f f f ∴-=-=-=-=，()()[][][]1314121(2)(1)(3)(2)(12)(11)33413123413912f f f f f f f f ⨯∴=+-+-++-=++++=+++++==．【1-3】已知数列的前几项为,,,,…，则数列的一个通项公式为 . 【答案】.【解析】这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式.【1-4】已知数列的前几项为9,99,999,9 999，…，则数列的一个通项公式为 . 【答案】【解析】这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一个通项公式.【1-5】按数列的排列规律猜想数列，，，，…的第10项是_______．【答案】－综合点评：根据数列的前几项求数列的通项公式,做这一类题需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:分式中分子,分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项符号特征.并以此进行归纳,联想.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含著“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证，对于正负符号变化，可用或来调整．【方法规律技巧】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.【新题变式探究】【变式一】将石子摆成如图的梯形形状．称数列为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第项与的差，即_______．【答案】【变式二】已知数列{a n }中，对于任意若对于任意正整数，在数列中恰有个出现，则 ． 【答案】【解析】由题意数列就是如图数阵.确定的值，就是确定数列第个数在数阵中第几行.因为(1)63(631)62(621)12,2016,1953,222n n n ++++++===所以在数阵中第行，所以 12,23,3,34,4,4,45,5,5,5,5【综合点评】试题一是一个根据定义求数列的通项公式，做这一类题要注意观察每一项的特点，观察出项与之间的关系、规律，从而得数列的通项公式.试题二是一个根据数列的规律找通项公式，可根据数列的变化规律，找出在数阵中的位置，从而可求出的值. 考点2由前项和公式推导通项公式，即与的关系求通项 【题组全面展示】【2-1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝_______． 【答案】16【解析】当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1， 又S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝a n ＝2(a n －a n －1)． ∴a n a n －1＝2.∴a n ＝1×2n －1，∴a 5＝24＝16. 【2-2】数列的前项和为不等于的常数)，则_______. 【答案】【解析】由可得当时，)(11---=-∴n n n n a a r S S ， ∴，∴ ∵ ∴，∵， ∴是公比为的等比数列． 又当时，，∴，∴．【2-3】已知数列的前n 项和为S n ＝3n－1，则它的通项公式为a n ＝________. 【答案】2·3n －1【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n－1－(3n －1－1)＝2·3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2也满足a n ＝2·3n －1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －1.【2-4】已知数列的前项和，则_______. 【答案】【解析】时，，时，221(21)[(1)2(1)1]21n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+，将代入得，所以.【2-5】数列满足*12211131,333n n a a a n n N +++=+∈,则 . 【答案】综合点评：这些题都是由与前项和的关系来求数列的通项公式，可由数列的通项与前项和的关系是，注意：当时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示． 【方法规律技巧】已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 【新题变式探究】【变式一】数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式________. 【答案】3n【解析】a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n. 【变式二】已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝9－6n ，则数列{a n }的通项公式________．【答案】()()231322n n n a n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩【综合点评】这两个题都是与的关系求通项型，利用转化，解决递推公式为与的关系式：数列{a n }的前项和与通项的关系，通过纽带： ，根据题目求解特点，消掉一个或然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解．如需消掉，可以利用已知递推式，把换成()得到新递推式，两式相减即可．若要消掉，只需把a n ＝S n －S n －1代入递推式即可．不论哪种形式，需要注意公式成立的条件.考点3由递推公式推导通项公式 【题组全面展示】【3-1】已知数列满足111,2(2)n n a a a n n -==⨯≥，则_______． 【答案】192【解析】∵，∴，∴，，，又因为，所以，【3-2】 已知数列满足112356n n n a a a +=+⨯=，，则数列的通项公式 . 【答案】【3-3】已知数列满足=1，= ()，则数列的通项公式 . 【答案】=.【解析】构造新数列，其中p为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列即= 整理得：=使之满足= ∴p=1即是首项为=2，q=2的等比数列∴= =.【3-4】在数列中，=1， (n=2、3、4……) ，则数列的通项公式 .【答案】 ().【解析】∵21324312123.......1n nn a aa aa aa a n-≥-=⎫⎪-=⎪⎪-=⎬⎪⎪-=-⎪⎭时,这n-1个等式累加得：112...na a-=+++（n-1）= 故21(1)222nn n n na a--+=+=且也满足该式∴ ().【3-5】已知数列满足则数列的通项公式 .【答案】综合点评：这些题都是由递推公式推导通项公式，由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”、“构造等比数列”、“迭代”等方法．【方法规律技巧】1. 数列的递推关系是相邻项之间的关系，高考对递推关系的考查不多，填空题中出现复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究．在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量来求解．2. 由递推公式推导通项公式（1）对于型，求，迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法），由已知关系式得，给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项.也可用迭代，即用111221()()()n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-++-的方法.（2）对于型，求，迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法），由已知关系式得，给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项. 也可用迭代，即用321121nn n a a a a a a a a -=⨯⨯⨯⨯的方法. （3）对于型，求，一般可以利用待定系数法构造等比数列，其公比为注意数列的首项为，不是对新数列的首项要弄准确.(4)形如的递推数列可以用倒数法求通项． 【新题变式探究】【变式一】已知数列满足,(),则取得最小值的的值为_____. 【答案】7【变式二】已知，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则的表达式为________. 【答案】 【解析】111()1111x x f x x x x+-===-+++，，，，，即，当且仅当时取等号，当时，，当时， ，11()111()()()n n n n f x f x f x f x ++∴==+，即数列是以为首项，以1为公差的等差数列11111(1)1(1)1()()1n nxn n x f x f x x x+∴=+-⨯=+-⨯=+，，当时，，，. 【综合点评】这两个题都是由由递推关系式求数列的通项公式，第一题与不等式结合，第二题与函数结合，第一题首先由叠乘法求出通项公式，然后代入有基本不等式可得，第二题由函数的性质找出递推关系，从而找出，即可得出的表达式.考点4 数列的性质的应用【题组全面展示】【4-1】已知，则数列的最大项是_______．【答案】【解析】是关于的二次函数.【4-2】设函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，数列满足,且数列为递增数列,则实数a 的取值范围为_______．【答案】(2,3)【4-3】在数列中，前项和为，，则当最小时，的值为_______．【答案】6【解析】令，得，故当时，；当时，，故当时，最小.【4-4】若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为_______．【答案】7【4-5】已知数列的首项，其前项和为，且满足.若对任意的，恒成立，则的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：由条件得，两式相减得，故，两式再相减得，由得， ，从而；得2721321=++++a a a a a ，，从而，由条件得⎪⎩⎪⎨⎧-++<+-+-<-+-<a n a n a n a n a a 26)1(6236236266212，解之得.综合点评：这些题都是数列的函数特征的应用，做这一类题，一是利用函数的性质，同时注意数列的性质，抓住试题的关键，灵活应用.【方法规律技巧】1.数列中项的最值的求法数列中或的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列或的特征，再进一步判断数列的单调性，从而得到最值．要注意的细节是只能取正整数．数列中最大项和最小项的求法求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.前项和最值的求法(1)先求出数列的前项和，根据的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若，且，则最大；若，且，则最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.2． 在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．3.数列中恒等关系和有解问题主要是建立关于数列中基本量或相关参数的方程，再进一步论证该方程是否有整数解问题，其中对方程的研究是关键，一般可从奇偶数、约数、有理数、无理数等方面论证，也可以先利用参数范围，代入相关的整数研究．4．数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似，同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等式，不同类型的比较一般要构造函数来解决．5．数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． 注意：对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大．解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．【新题变式探究】【变式一】已知数列的通项公式为，前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，则常数所能取得的最大整数为 .【答案】5【变式二】定义在R 上的函数满足1)1()(,0)0(=-+=x f x f f ，，且当时，，则 ．【答案】【综合点评】这些题都是数列函数特征的应用，第一题利用函数恒成立问题，转化为求最小值；第二个题利用数列的增减性，采用赋值法，来确定函数值.【易错试题常警惕】易错典例：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________．易错分析：忽略考虑时情况.正确解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，6n －5，n ≥2.温馨提醒：a n 与S n 关系不清致误：在数列问题中，数列的通项a n 与其前n 项和S n 之间存在下列关系：，这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n ＝1和n ≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点．。