概率论与数理统计3-3-zh

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2)§2．样本空间、随机事件 (2)§4等可能概型（古典概型） (3)§5．条件概率 (4)§6．独立性 (4)第二章随机变量及其分布 (5)§1随机变量 (5)§2离散性随机变量及其分布律 (5)§3随机变量的分布函数 (6)§4连续性随机变量及其概率密度 (6)§5随机变量的函数的分布 (7)第三章多维随机变量 (7)§1二维随机变量 (7)§2边缘分布 (8)§3条件分布 (8)§4相互独立的随机变量 (9)§5两个随机变量的函数的分布 (9)第四章随机变量的数字特征 (10)§1．数学期望 (10)§2方差 (11)§3协方差及相关系数 (11)第五章 大数定律与中心极限定理 (12)§1． 大数定律 ...................................................................................... 12 §2中心极限定理 . (13)第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

概率论与数理统计知识点总结概率论与数理统计是数学的一个重要分支，主要研究各种随机现象的规律性及其数值描述。

下面将对概率论与数理统计的一些重要知识点进行总结。

一、概率论知识点总结1. 随机事件与概率- 随机事件：指在一定条件下具有不确定性的事件。

- 概率：用来描述随机事件发生的可能性大小的数值。

2. 古典概型与几何概型- 古典概型：指随机试验中，所有基本事件的可能性相等的情况。

- 几何概型：指随机试验中，基本事件的可能性不完全相等，与图形的属性有关的情况。

3. 随机变量与概率分布- 随机变量：定义在样本空间上的函数，用来描述试验结果与数值之间的对应关系。

- 离散随机变量：取有限个或可列个数值的随机变量。

- 连续随机变量：取无限个数值的随机变量。

4. 期望与方差- 期望：反映随机变量平均取值的数值。

- 方差：反映随机变量取值偏离期望值的程度。

5. 大数定律与中心极限定理- 大数定律：指在独立重复试验中，随着试验次数增加，事件发生的频率趋近于其概率。

- 中心极限定理：指在独立随机变量之和的情况下，当随机变量数目趋于无穷时，这些随机变量之和的分布趋近于正态分布。

二、数理统计知识点总结1. 抽样与抽样分布- 抽样：指对总体进行有规则地选择一部分样本进行观察和研究的过程。

- 抽样分布：指用统计量对不同样本进行计算所得到的分布。

2. 参数估计与置信区间- 参数估计：根据样本推断总体的未知参数。

- 置信区间：对于总体参数估计的一个区间估计，用来表示这个参数的可能取值范围。

3. 假设检验与统计显著性- 假设检验：用来判断统计推断是否与已知事实相符。

- 统计显著性：基于样本数据，对总体或总体参数进行判断的一种方法。

4. 方差分析与回归分析- 方差分析：用来研究因素对于某一变量均值的影响程度。

- 回归分析：通过观察变量之间的关系，建立数学模型来描述两个或多个变量间的依赖关系。

5. 交叉表与卡方检验- 交叉表：将两个或多个变量的数据按照某种方式交叉排列而形成的表格。

概率论与数理统计知识点概率论与数理统计是数学中非常重要的一门学科，它涉及到现实生活中各种不确定性的问题。

本文将探讨概率论与数理统计的一些核心知识点，包括概率、随机变量、概率分布、参数估计等内容。

概率是研究随机试验结果可能性的数学分支。

概率的计算主要有两种方法：频率法和古典概型法。

频率法是通过实际试验次数的频率来估计某个事件发生的概率。

而古典概型法是通过对试验结果的分析，利用等可能性原理来计算概率。

概率的计算公式包括加法定理、乘法定理、条件概率等。

随机变量是概率论中很重要的一个概念。

随机变量是一个函数，它把样本空间中的每个可能的结果与一个实数联系起来。

随机变量分为离散型和连续型两种。

离散型随机变量的取值是有限的或者可列的，比如扔一次硬币的结果。

而连续型随机变量的取值是无限的，比如测量某个时间段内的温度。

概率分布是随机变量的分布规律。

离散型随机变量的概率分布可以通过概率质量函数来描述，例如二项分布、泊松分布等。

连续型随机变量的概率分布可以通过概率密度函数来描述，例如正态分布、指数分布等。

概率分布具有一些特征值，如均值、方差和标准差，它们是描述变量分布的重要指标。

参数估计是根据样本估计总体的未知参数值。

参数估计有点估计和区间估计两种方法。

点估计是用样本统计量作为总体参数的估计值，如样本均值、样本方差等。

区间估计是给出一个总体参数的区间估计范围，如置信区间。

参数估计的准确性可以通过标准误差、置信水平等来衡量。

除了概率论与数理统计的基本知识点，还有一些衍生的概念和应用。

例如，假设检验是根据样本数据对总体参数提出关于总体参数的一个假设，并对这个假设进行检验的方法。

假设检验有类型I错误和类型II错误之分。

此外，回归分析是指通过建立变量之间的统计模型，用以预测和解释因变量的方法。

回归分析对于了解变量之间的关系和预测未来的趋势具有重要意义。

概率论与数理统计是现代科学和工程领域中不可或缺的工具。

无论是在自然科学、社会科学还是经济管理等领域，概率论与数理统计都得到了广泛应用。

概率论与数理统计实验实验3 参数估计假设检验实验目的实验内容直观了解统计描述的基本内容。

2、假设检验1、参数估计3、实例4、作业一、参数估计参数估计问题的一般提法X1, X2,…, Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数向量). 为F(x, )，其中为未知参数( 可以是参数估计点估计区间估计点估计——估计未知参数的值区间估计——根据样本构造出适当的区间，使他以一定的概率包含未知参数或未知参数的已知函数的真?（一）、点估计的求法1、矩估计法基本思想是用样本矩估计总体矩.令设总体分布含有个m未知参数??1 ，…，??m解此方程组得其根为分别估计参数??i ，i=1,...,m，并称其为??i 的矩估计。

2、最大似然估计法（二）、区间估计的求法反复抽取容量为n的样本,都可得到一个区间,这个区间可能包含未知参数的真值,也可能不包含未知参数的真值,包含真值的区间占置信区间的意义1、数学期望的置信区间设样本来自正态母体X(1) 方差?? 2已知, ?? 的置信区间(2) 方差?? 2 未知, ?? 的置信区间2、方差的区间估计未知时, 方差?? 2 的置信区间为（三）参数估计的命令1、正态总体的参数估计设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获得：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)此命令以alpha 为显著性水平，在数据X下，对参数进行估计。

（alpha缺省时设定为0.05），返回值muhat是X的均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值, muci是均值的区间估计,sigmaci是标准差的区间估计.例1、给出两列参数?? =10, ??=2正态分布随机数，并以此为样本值，给出?? 和?? 的点估计和区间估计命令:r=normrnd(10,2,100,2);[mu,sigm,muci,sigmci]=normfit(r);[mu1,sigm1,muci1,si gmci1]=normfit(r,0.01);mu=9.8437 9.9803sigm=1.91381.9955muci=9.4639 9.584310.2234 10.3762sigmci=1.68031.75202.2232 2.3181mu1=9.8437 9.9803sigm1=1.91381.9955muci1=9.3410 9.456210.3463 10.5043sigmci1=1.6152 1.68412.3349 2.4346例2、产生正态分布随机数作为样本值，计算区间估计的覆盖率。

概率论与数理统计第三章笔记好的，以下是为您生成的一篇“概率论与数理统计第三章笔记”，希望符合您的需求：---# 概率论与数理统计第三章笔记在学习概率论与数理统计这门课的时候，第三章的内容就像是一座神秘的城堡，充满了新奇和挑战。

这一章主要讲的是多维随机变量及其分布。

一开始，听到这个概念的时候，我的脑袋里就像是被塞进了一团乱麻。

不过，随着深入学习，我逐渐理清了其中的头绪。

先来说说多维随机变量的联合分布函数。

这玩意儿就像是一个神奇的魔法盒子，它能把多个随机变量的可能性都装在一起。

想象一下，有两个随机变量 X 和 Y，它们就像是两个调皮的小精灵，在一个大大的游乐场里到处乱跑。

而联合分布函数 F(x,y) 呢，就能告诉我们这两个小精灵同时出现在某个特定区域的概率。

比如说，X 表示今天的气温，Y 表示湿度，那 F(x,y) 就能告诉我们在气温为 x 度，湿度为 y 的情况下的可能性。

再讲讲多维离散型随机变量。

这可有意思啦！比如说，咱们来假设一个场景，有一家小杂货店，店里卖两种零食，薯片和巧克力。

每天来买零食的顾客人数是随机的，而且他们选择薯片或者巧克力的情况也是随机的。

我们把买薯片的人数设为 X，买巧克力的人数设为 Y。

那么 (X,Y) 就是一个二维离散型随机变量。

我们可以列出它们所有可能的取值以及对应的概率，就像是给这两个调皮的小家伙拍了一张张照片，记录下它们每一个瞬间的样子。

然后是多维连续型随机变量。

这就像是一条流淌不息的河流，没有明显的断点。

还是用上面那个杂货店的例子，不过这次假设每天的销售额是连续变化的。

销售额 X 受到很多因素的影响，比如客流量、顾客的购买欲望等等。

这时候，我们就得用概率密度函数 f(x,y) 来描述它。

想象一下，这个函数就像是一张地图，告诉我们销售额在不同区域的密集程度。

在学习边缘分布的时候，我可真是费了好大的劲。

边缘分布就像是从一个大蛋糕上切下来的一小块。

还是以杂货店为例，如果我们只关心买薯片的人数 X 的分布，不考虑巧克力的情况，那这就是 X 的边缘分布。

《概率论与数理统计》知识点整理概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象发生的规律以及对这些规律的推断和决策问题。

在现代科学、金融、医学、工程等领域中都有广泛的应用。

下面是《概率论与数理统计》的一些重要知识点：一、概率论：1.概率的基本概念：随机试验、样本空间、事件、概率公理化定义等。

2.条件概率与概率的乘法定理：条件概率的定义、条件概率的乘法定理、独立事件的定义与性质等。

3.全概率公式与贝叶斯公式：全概率公式的推导与应用、贝叶斯公式的推导与应用等。

4.随机变量与概率分布：随机变量的定义与分类、概率分布的基本性质、离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布等。

5.两随机变量函数的概率分布：随机变量的函数、数学期望的定义与性质、方差的定义与性质等。

6.多维随机变量及其分布：二维随机变量的概率分布、联合分布函数与边缘分布、条件分布等。

二、数理统计：1.统计数据的描述：数据的集中趋势度量（均值、中位数、众数）、数据的离散程度度量（极差、方差、标准差）、数据的分布形态度量（偏度、峰度）等。

2.参数估计：点估计的概念与方法、矩估计法、极大似然估计法、最小二乘估计法等。

3.假设检验：假设检验的基本概念、显著性水平与拒绝域、假设检验的步骤、单侧检验与双侧检验等。

4.统计分布：正态分布的性质与应用、t分布与χ²分布的概念与性质、F分布的概念与性质等。

5.方差分析与回归分析：方差分析的基本原理与应用、单因素方差分析、回归分析的基本原理与应用、简单线性回归分析等。

三、随机过程：1.随机过程的基本概念与性质：随机过程的定义、状态与状态转移概率、齐次性与非齐次性等。

2.马尔可夫链：马尔可夫链的定义与性质、状态空间的分类、平稳分布与极限等。

3.随机过程的描述：概率密度函数、概率生成函数、随机过程的矩、协方差函数等。

4.随机过程的分类：齐次与非齐次、连续与间断、宽离散与窄离散等。

概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象及其规律的数学学科，它在自然科学、工程技术、社会科学、经济金融等众多领域都有着广泛的应用。

以下是对概率论与数理统计主要知识点的详细总结。

一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。

我们通常用大写字母A、B、C 等来表示。

随机事件的关系包括包含、相等、互斥（互不相容）和对立等。

2、概率的定义概率是用来度量随机事件发生可能性大小的数值。

概率的古典定义是：如果一个试验有 n 个等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 个结果，则事件 A 发生的概率为 P(A) ＝ m ／ n 。

概率的统计定义是：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定地接近于某个常数 p，就把 p 称为事件 A 的概率。

3、概率的性质概率具有非负性（0 ≤ P(A) ≤ 1）、规范性（P(Ω) ＝ 1，其中Ω 表示样本空间）和可加性（对于互斥事件 A 和 B，有 P(A∪B) ＝ P(A) ＋P(B)）。

二、条件概率与乘法公式1、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，记作P(A|B)。

其计算公式为 P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) ，其中 P(AB) 表示事件A 和B 同时发生的概率。

2、乘法公式乘法公式有两种形式：P(AB) ＝ P(A|B)P(B) 和 P(AB) ＝P(B|A)P(A) 。

三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式设 B₁，B₂，，Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝1, 2,， n），则对于任意事件 A，有 P(A) ＝Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) 。

2、贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知 P(A) 和 P(Bᵢ)、P(A|Bᵢ)（i ＝ 1, 2,，n），则对于任意事件 Bᵢ（i ＝ 1, 2,， n），有 P(Bᵢ|A) ＝ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)／Σ P(Bₙ)P(A|Bₙ) 。

概率论与数理统计知识点概率论和数理统计是数学中的两个重要分支，研究随机现象的规律性和推断问题的方法。

概率论主要研究随机事件的概率及其计算方法，数理统计则是利用概率论的理论和方法，通过对数据进行收集、处理和分析，从中得到有关总体的参数估计和假设检验结果。

本文将介绍一些常见的概率论与数理统计的知识点。

一、随机事件与概率1. 随机事件的定义：随机事件指在一次试验中可能发生也可能不发生的事件。

2. 必然事件与不可能事件：必然事件是指在每次试验中一定发生的事件，而不可能事件则是指在每次试验中一定不会发生的事件。

3. 事件的运算：事件的运算包括并、交、补三种基本运算，分别表示两个事件的并集、交集以及一个事件的补集。

4. 概率的定义与性质：概率是度量随机事件发生可能性的数值，其范围介于0和1之间。

对于任意一个事件，其概率不小于0且不大于1，且必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。

二、概率分布1. 离散型随机变量及其概率分布：离散型随机变量的取值是可以数出来的，其概率分布由概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）给出。

2. 连续型随机变量及其概率分布：连续型随机变量的取值是连续的，其概率分布由概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）给出。

3. 常见概率分布：- 二项分布：描述了一系列独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。

- 正态分布：也称为高斯分布，是最重要的概率分布之一，常用于自然科学和社会科学的统计分析。

- 泊松分布：用于描述在一段固定时间或空间内事件发生的次数的概率分布。

- 指数分布：用于描述连续时间上事件发生的间隔时间的概率分布。

- t分布：用于小样本情况下对总体均值的推断。

三、参数估计1. 点估计与区间估计：参数估计分为点估计和区间估计两种方法。

点估计是通过样本数据直接估计出总体参数的取值，而区间估计是通过样本数据给出总体参数的一个区间估计范围。

概率论与数理统计1. 前言概率论与数理统计是数学的一个重要分支，它是研究随机现象规律性的数学学科。

概率论是研究随机现象的规律性和数量关系的学科，而数理统计则是利用数学方法研究大量数据中的规律性和趋势的学科。

本文将介绍概率论与数理统计的基本概念、方法和应用。

2. 概率论概率论是研究随机现象的规律性和数量关系的数学学科。

随机现象是指在一定条件下，每次实验的结果无法预知，但在一系列相同实验中，某些现象出现的频率具有稳定的规律性。

概率论通过概率分布、概率密度函数、条件概率等概念来描述随机现象，并提供了一系列计算概率的方法。

2.1 基本概念•样本空间：样本空间是随机现象所有可能结果的集合，常用符号为S。

例如，抛一枚硬币的样本空间为$\\{H, T\\}$，其中H表示正面，T表示反面。

•事件：事件是样本空间的一个子集，表示随机现象的一个可能结果或一组可能结果组成的集合。

如果随机事件A中包含了样本空间S中的某些结果，则称事件A发生。

•概率：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示，表示事件A发生的可能性大小。

概率的取值范围在[0,1]之间。

•概率分布：概率分布是随机变量所有可能取值及其发生的概率的描述。

常见的概率分布包括二项分布、泊松分布、正态分布等。

2.2 概率计算概率计算是概率论的核心内容之一，常用的计算方法包括加法法则、乘法法则、全概率公式和贝叶斯定理等。

这些方法可以帮助我们计算复杂事件的概率，进行概率分布的推导和分析。

3. 数理统计数理统计是利用数学方法研究大量数据中的规律性和趋势的学科。

在现代社会中，大量的数据被广泛应用于科学研究、经济分析、医学诊断等领域，而数理统计提供了一系列工具和方法来处理和分析这些数据。

3.1 基本概念•总体与样本：总体是指研究对象的全部个体或事物的集合，样本是从总体中选取的一部分个体或事物。

数理统计的目标通常是通过对样本的统计量进行分析来进行对总体的推断。

概率论与数理统计第三章章节总结
概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量及其分布、随机变量的离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容。

以下是本章的总结:
1. 随机变量及其分布
第三章第一小节介绍了随机变量的定义和性质,并介绍了离散型和连续型随机变量的区别。

然后,章节第二小节介绍了随机变量的分布,其中包括概率分布、密度函数、期望和方差的计算方法。

这些内容对于理解随机变量的分布非常重要。

2. 随机变量的离散概率和连续概率
第三章第三小节介绍了随机变量的离散概率和连续概率。

离散概率讨论的是离散型随机变量在某一范围内的取值概率,而连续概率讨论的是连续型随机变量在某一区间内的概率。

这些概念对于理解随机变量的性质和分布非常重要。

3. 期望和方差的计算
第三章第四小节介绍了期望和方差的计算方法。

期望是指一个随机变量的平均值,可以通过计算各个取值的概率和总和来实现。

方差是指一个随机变量在各个取值之间的差异,可以通过计算各个取值的差值和总和来实现。

这些内容对于计算随机变量的期望和方差非常重要。

4. 贝叶斯统计学
第三章第五小节介绍了贝叶斯统计学的原理和应用。

贝叶斯统计
学可以用来预测未来事件的概率,也可以用于概率模型的建模和优化。

这些内容对于实际应用非常有帮助。

综上所述,概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量的分布、离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容,是学习概率论和统计学的重要基础。

习题3-11. 已知随机变量X 1和X 2的概率分布分别为而且12{0}1P X X ==. 求1和2的联合分布律.解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形如于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04P X P X =⋅==≠, 所以X 1和X 2不独立.2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为(,)(6),02,24,0,.f x y k x y x y =--<<<<⎧⎨⎩其它 求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰, 得2424222204211d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰, 所以 18k =. (2) 3121,31{1,3}d (6)d 8(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<==--⎰⎰⎰⎰1322011(6)d 82y x x y=--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰321113()d 828y y =-=⎰. (3) 1.51.5{ 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞-∞-∞<==⎰⎰⎰4 1.521d (6)d 8y x y x --=⎰⎰1.542211(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 421633()d 882y y =-⎰ 2732=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)⨯的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈(,)d d Gf x y x y =⎰⎰4421d (6)d 8x y x y x -=--⎰⎰4422011(6)d 82xy x x y -=--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 42211[(6)(4)(4)]d 82y y y y =----⎰ 42211[2(4)(4)]d 82y y y =-+-⎰ 423211(4)(4)86y y =----⎡⎤⎢⎥⎣⎦23=.图3-8 第4题积分区域3. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2(,),1,01,0,f x y kxy x y x =⎧⎨⎩≤≤≤≤其它. 试确定k , 并求2{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤. 解 由2111401(,)d d d (1)d 26xk k f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰,解得6=k .因而 2112401{(,)}d 6d 3()d 4x xP X Y G x xy y x x x x ∈==-=⎰⎰⎰. 4. 设二维随机变量(X , Y )概率密度为4.8(2),01,0,(,)0,.y x x y x f x y -=⎧⎨⎩≤≤≤≤其它 求关于X 和Y 边缘概率密度.解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因而, 有24.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(2),01,0,x X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞-<<==-<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它.124.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(34),01,0,yY y x x y f y f x y x y y y y +∞-∞-<<==-+<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它. 5. 假设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量1,1,1,1,U X U --=>-⎧⎨⎩若≤若 1,1,1, 1.U Y U -=>⎧⎨⎩若≤若试求：(1) X 和Y 的联合概率分布；(2){P X Y +≤1}.解 (1) 见本章第三节三(4).(2){P X Y +≤1}1{1}P X Y =-+>1{1,1}P X Y =-==13144=-=. 习题3-21. 设(X , Y )的分布律为求: (1)在条件X =2下Y的条件分布律;{22}P X Y ≥≤.解 (1) 由于6.02.01.003.0}2{=+++==X P ,所以在条件X =2下Y 的条件分布律为216.03.0}2{}1,2{}2|1{========X P Y X P X Y P ,06.00}2{}2,2{}2|2{========X P Y X P X Y P ,616.01.0}2{}3,2{}2|3{========X P Y X P X Y P ,316.02.0}2{}4,2{}2|4{========X P Y X P X Y P ,或写成{P Y ≤2}{1}{2}P Y P Y ==+==0.10.3000.20.6++++=.而{2,2}{2,1}{2,2}{3,1}{3,2}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==≥≤0.3000.20.5=+++=.因此{2,2}{22}{2}P X Y P X Y P Y =≥≤≤≥≤0.550.66==. 2. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为(,)1,01,02,0,.f x y x y x =<<<<⎧⎨⎩其它求：(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ；(2)11{}.22P Y X ≤≤ 解 (1) 当01x <<时,20()(,)d d 2xX f x f x y y y x +∞-∞===⎰⎰;当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =. 故 2,01,()0,其它.X x x f x <<=⎧⎨⎩当0<y <2时,12()(,)d d 12y Y y f y f x y x x +∞-∞===-⎰⎰;当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.故 1,02,()20,.Y yy f y -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它(2) 当z ≤0时,()0Z F z =; 当z ≥2时,1)(=z F Z ;当0<z <2时, (){2Z F z P X Y =-≤2}(,)d d x y zz f x y x y -=⎰⎰≤2x 12202-2d 1d d 1d zxz x zx y x y =⋅+⋅⎰⎰⎰⎰24z z =-.故 1,02,()20,.()其它Z z zz f z F z -<<'==⎧⎪⎨⎪⎩(3) {}{}11311322161122442≤，≤≤≤≤P X Y P Y X P X ===⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 3. 设G 是由直线y =x , y =3,x =1所围成的三角形区域, 二维随机变量(,)X Y 在G 上服从二维均匀分布.求:(1) (X , Y )的联合概率密度；(2) {1}P Y X -≤；(3) 关于X 的边缘概率密度.解 (1)由于三角形区域G 的面积等于2, 所以(,)X Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(G y x G y x y x f (2)记区域x y y x D -=|),{(≤}1与G 的交集为0G ,则{1}P Y X -≤0011113d d (2)22224G G x y S ===-=⎰⎰. 其中0G S 为G 0的面积.(3) X 的边缘概率密度()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰. 所以,当]3,1[∈x 时, 311()d (3)22X xf x y x ==-⎰. 当1<x 或3>x 时, 0)(=x f X .因此 ⎪⎩⎪⎨⎧∈-=.,0],3,1[),1(21)(其它x x x f X习题3-31. 设X 与Y 相互独立, 且分布律分别为下表:求二维随机变量(,)X Y 的分布律.解 由于X 与Y 相互独立, 所以有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =⋅====,6,5,2,0;0,21,1=--=j i .因此可得二维随机变量(,)X Y 的联合分布律2. 设(X , Y )的分布律如下表:问,αβ为何值时X 与Y 相互独立 解 首先, 由分布律求得边缘分布律由于边缘分布满足23111,1i j i j p p ⋅⋅====∑∑, 又X , Y 相互独立的等价条件为p ij = p i . (i =1,2; j =1,2,3).故可得方程组 21,3111().939αβα++==⋅+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得29α=,19β=.经检验, 当29α=,19β=时, 对于所有的i =1,2; j =1,2,3均有p ij = p i .成立. 因此当29α=,19β=时, X 与Y 相互独立..3. 设随机变量X 与Y 的概率密度为()e (,)0,.,01,0,x y b f x y x y -+=⎧<<>⎨⎩其它 (1) 试确定常数b .(2) 求边缘概率密度()X f x , ()Y f y . (3) 问X 与Y 是否相互独立 解 (1) 由11()101(,)d d e d d e d e d (1e )x y y x f x y x y b y x b y x b +∞+∞+∞+∞-+----∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,得 111eb -=-.(2) ()(,)d X f x f x y y ∞-∞=⎰1e ,01,1e 0,xx --<<=-⎧⎪⎨⎪⎩其它.()(,)d Y f y f x y x ∞-∞=⎰e ,0,0,y y ->=⎧⎨⎩其它.(3) 由于(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，所以X 与Y 相互独立.4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为21e ,0,()20Y yy f y y ->=⎧⎪⎨⎪⎩，≤0.(1) 求X 和Y 的联合概率密度.(2) 设关于a 的二次方程为220a Xa Y ++=, 试求a 有实根的概率. 解 (1) 由题设知X 和Y 的概率密度分别为1,01,()0,X x f x <<=⎧⎨⎩其它， 21e ,0,()20,.yY y f y ->=⎧⎪⎨⎪⎩其它 因X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的联合概率密度为21e ,01,0(,)()()20,.yX Y x y f x y f x f y -<<>==⎧⎪⎨⎪⎩其它 (2) 方程有实根的充要条件是判别式大于等于零. 即244X Y ∆=-≥20X ⇔≥Y .因此事件{方程有实根}2{X =≥}Y .下面计算2{P X ≥}Y (参见图3-3).2{P X ≥}Y 2211221(,)d d e d (1e)d 2yxx Df x y xdy x y x --===-⎰⎰⎰⎰⎰2121ed 12[(1)(0)]0.1445xx πΦΦ-=-=--≈⎰.图3-3 第6题积分区域 习题3-41. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独立, 求常数a , b .解 首先, 由题设知0.40.11a b +++=. 由此得0.5a b +=. 此外,{0}0.4P X a ==+,{1}{0,1}{1,0}0.5P X Y P X Y P X Y a b +====+===+=,{0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====. 根据题意有{0,1}{0}{1}P X X Y P X P X Y =+===+=,即(0.4)0.5a a =+⨯. 解得0.4,0.1a b ==.2. 设两个相互独立的随机变量X ,Y 的分布律分别为求随机变量Z = X + Y 的分布律.解 随机变量Z = X + Y 的可能取值为7,5,3.Z 的分布律为18.06.0.03}2,1{}3{=⨯=====Y X P Z P ,{5}{1,4}{3,2}0.30.4070.60.54P Z P X Y P X Y ====+===⨯+⨯=,28.04.07.0}4,3{}7{=⨯=====Y X P Z P ,或写为3. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X 服从正态分布N (μ, σ2),Y 服从均匀分布U (-a , a )( a >0), 试求随机变量和Z =X +Y 的概率密度.解 已知X 和Y 的概率密度分别为22()2()x X f x μσ--=,),(+∞-∞∈x ;⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=).,(,0),,(,21)(a a y a a y ay f Y .由于X 和Y 相互独立, 所以22()21()()()d d 2z y a Z X Y f z f z y f y y y a μσ---+∞-∞-=-=⎰⎰=1[()()]2z μa z μa ΦΦa σσ-+---. 4. 设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形G={(x,y )|1≤x ≤3, 1≤y ≤3}上的均匀分布, 试求随机变量U=|X -Y|的概率密度f (u ).解 由题设知, X 和Y 的联合概率密度为111,3,3,(,)40,.x y f x y =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤其它记()F u 为U 的分布函数, 参见图3-7, 则有 当u ≤0时,(){||F u P X Y =-≤u }=0; 当u ≥2时,()1F u =;当0< u <2时, 图3-7 第8题积分区域||(){}(,)d d x y uF u P U u f x y x y -==⎰⎰≤≤21[42(2)]412u =-⨯- 211(2)4u =--.故随机变量||U X Y =-的概率密度为1(2),02,()20,u u p u -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它..总习题三1. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其它x x y y x f 求条件概率密度)|()|(||y x f x y f Y X X Y 和.解 首先2,01,()0,.(,)其它X x x f x f x y dy +∞-∞<<==⎧⎨⎩⎰1,01,()1,10,0,(,)≤其它.Y y y f y y y f x y dx +∞-∞-<<==+-<⎧⎪⎨⎪⎩⎰图3-9第1题积分区域当01y <<时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x <<-=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当1y -<≤0时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x -<<+=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当10<<x 时, |1,||,(|)20,Y X y x f y x x y <=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.2. 设随机变量X 与Y 相互独立, 下表列出二维随机变量(,)X Y 的分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填入表中空白处 .解 首先, 由于11121{}{,}{,}P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==,所以有11121111{,}{}{,}6824P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=.在此基础上利用X 和Y 的独立性, 有11111{,}124{}1{}46P X x Y y P X x P Y y =======.于是 2113{}1{}144P X x P X x ==-==-=.再次, 利用X 和Y 的独立性, 有12211{,}18{}1{}24P X x Y y P Y y P X x =======. 于是 312111{}1{}{}1623P Y y P Y y P Y y ==-=-==--=.最后, 利用X 和Y 的独立性, 有2222313{,}{}{}428P X x Y y P X x P Y y ======⨯=; 2323311{,}{}{}434P X x Y y P X x P Y y ======⨯=;1313111{,}{}{}4312P X x Y y P X x P Y y ======⨯=. 因此得到下表3.(34)e (,)0,.,0,0,x y k f x y x y -+=⎧>>⎨⎩其它(1) 求常数k ；(2) 求(X ,Y )的分布函数；(3) 计算{01,02}P X Y <<≤≤; (4) 计算(),x f x ()y f y ；(5) 问随机变量X 与Y 是否相互独立 解 (1)由3401(,)d d e d e d 12xy kf x y x y k x y +∞+∞+∞+∞---∞-∞===⎰⎰⎰⎰,可得12=k .(2) (X ,Y )的分布函数(,)(,)d d x y F x y f u v x y -∞-∞=⎰⎰.当x ≤0或y ≤0时,有 0),(=y x F ; 当,0>>y x 时,34340(,)12e d e d (1e )(1e )xyuv x y F x y u v ----==--⎰⎰.即 34(1e )(1e ),0,0,(,)0,.其它x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩(3) {01,02}P X Y <<≤≤38(1,2)(0,0)(1e )(1e )F F --=-=--.(4) (34)012ed ,0,()(,)d 0,其它.x y X y x f x f x y y +∞-++∞-∞⎧>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰所以 33e ,0,()0,其它.x X x f x -⎧>=⎨⎩类似地, 有44e ,0,()0,其它.y Y y f y -⎧>=⎨⎩ 显然2),(),()(),(R y x y f x f y x f Y X ∈∀⋅=, 故X 与Y 相互独立.4.解 已知),(Y X 的分布律为注意到41260}1{}1{=++====Y P X P , 而0}1,1{===Y X P ,可见P {X =1, Y =1}≠P {X =1}P {Y =1}. 因此X 与Y 不相互独立.(2) Z X Y =+的可能取值为3, 4, 5, 6, 且316161}1,2{}2,1{}3{=+===+====Y X P Y X P Z P , }1,3{}2,2{}3,1{}4{==+==+====Y X P Y X P Y X P Z P3112161121=++=, 316161}2,3{}3,2{}5{=+===+====Y X P Y X P Z P . 即Z X Y =+的分布律为(3) V =21}2,2{}1,2{}2,1{}2{===+==+====Y X P Y X P Y X P V P , 21}2{1}3{==-==V P V P . 即max(,)V X Y =的分布律为(4) min{U =}3,1{}2,1{}1{==+====Y X P Y X P U P}1,2{}1,3{==+==+Y X P Y X P 21=, 21}1{1}2{==-==U P U P .即min{,}U X Y =的分布律为(5) W U =+31}1,2{}2,1{}2,1{}3{===+=======Y X P Y X P V U P W P ,}2,2{}3,1{}4{==+====V U P V U P W P31}2,2{}1,3{}3,1{===+==+===y X P Y X P Y X P , 31}2,3{}3,2{}3,2{}5{===+=======Y X P Y X P V U P W P .5. 2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它. (1) 求P {X >2Y }; (2) 求Z = X +Y 的概率密度f Z (z ).解 (1) 1120227{2}(,)d d d (2)d 24yx yP X Y f x y x y y x y x >>==--=⎰⎰⎰⎰.(2) 方法一: 先求Z 的分布函数:()()(,)d d Z x y zF z P X Y Z f x y x y +=+=⎰⎰≤≤.当z <0时, F Z (z )<0; 当0≤z <1时, 1()(,)d d d (2)d zz yZ D F z f x y x y y x y x -==--⎰⎰⎰⎰= z 2-13z 3; 当1≤z <2时, 2111()1(,)d d 1d (2)d Z z z yD F z f x y x y y x y x --=-=---⎰⎰⎰⎰= 1-13(2-z )3; 当z ≥2时, F Z (z ) = 1. 故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()()(2),12,0,Z Z z z z f z F z z z ⎧-<<⎪'==-<⎨⎪⎩≤其它.方法二: 利用公式()(,)d :Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰2(),01,01,(,)0,x z x x z x f x z x ---<<<-<⎧-=⎨⎩其它 2,01,1,0,.z x x z x -<<<<+⎧=⎨⎩其它当z ≤0或z ≥2时, f Z (z ) = 0;当0<z <1时, 0()(2)d (2);zZ f z z x z z =-=-⎰当1≤z <2时, 121()(2)d (2).Z z f z z x z -=-=-⎰故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()(2),12,0,.Z z z z f z z z ⎧-<<⎪=-<⎨⎪⎩≤其它.6. 设随机变量(X , Y )得密度为21,01,02,(,)30,.其它x xy x y x y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩≤≤≤≤试求: (1) (X , Y )的分布函数; (2) (X , Y )的两个边缘分布密度; (3) (X , Y )的两个条件密度; (4) 概率P {X +Y >1}, P {Y >X }及P {Y <12|X <12}.解 (1) 当x ≤0或y ≤0时, φ(x , y ) = 0, 所以 F (x , y ) = 0.当0<x ≤1, 0<y ≤2时, φ(x , y ) = x 2+13xy ,所以 201(,)(,)d d [()d ]d 3x yx yF x y u v u v u uv v u -∞-∞==+⎰⎰⎰⎰ϕ32211312x y x y =+. 当0<x ≤1, y >2时,2(,)(,)d d [(,)d ]d [(,)d ]d xyx y x F x y u v u v u v v u u v v u -∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ϕϕϕ22001[()d ]d 3xu uv v u =+⎰⎰21(21)3x x =+. 当x >1, 0<y ≤2时,10(,)(,)d d [(,)d ]d xyyF x y u v u v u v v u -∞-∞==⎰⎰⎰⎰ϕϕ12001[()d ]d 3y u uv v u =+⎰⎰1(4)12y y =+. 当x >1, y >2时,122001(,)[()d ]d 13F x y u uv v u =+=⎰⎰.综上所述, 分布函数为220,00,1(),01,02,341(,)(21),01,2,31(4),1,02,121,1, 2.或≤≤≤≤≤≤x y y x y x x y F x y x x x y y y x y x y ⎧⎪⎪+<<⎪⎪⎪=+<>⎨⎪⎪+><⎪⎪>>⎪⎩(2) 当0≤x ≤1时,22202()(,)d ()d 2,33X xy x x y y x y x x ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰ 故 222,01,()30,.其它≤≤X x x x x ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩当0≤y ≤2时,12011()(,)d ()d ,336Y xy y x y x x x y ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰ 故 11,02,()360,.其它≤≤Y y y y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩(3) 当0≤y ≤2时, X 关于Y = y 的条件概率密度为2(,)62(|).()2Y x y x xyx y yyϕϕϕ+==+当0≤x ≤1时, Y 关于X = x 的条件概率密度为(,)3(|).()62X x y x yy x y x ϕϕϕ+==+(4) 参见图3-10.图3-10 第9题积分区域 图3-11 第9题积分区域1{1}(,)d d x y P X Y x y x y ϕ+>+>=⎰⎰12201165d ()d .372xx x xy y -=+=⎰⎰ 同理, 参见图3-11.{}(,)d d y xP Y X x y x y ϕ>>=⎰⎰122117d ()d .324xx x xy y =+=⎰⎰ 1111{,}(,)112222{|}1122{}()22X P X Y F P Y X P X F <<<<==<211(,)22121()534.32()d |Xy x y x x x ϕ+==⎰。