高一下学期尖刀班第一次周考数学试题

湖北省荆州市某校高一（下）第一周周考数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在选择题答题卡内．1. 300∘是 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角2. 已知点P(3, y)在角α的终边上，且满足y <0,cos α=35，则tan α的值等于（ ） A.−34 B.−43C.43D.343. 向量(AB →+MB →)+(BO →+BC →)+OM →化简后等于（ ） A.BC →B.AB →C.AC →D.AM →4. 函数y =5tan (2x +1)的最小正周期为（ ） A.π4 B.π2C.πD.2π5. 已知sin α+cos α=13，则sin 2α＝（ ） A.−89 B.−12C.12D.896.sin 47∘−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=( )A.−√32B.−12C.12D.√327. 将函数y =cos (2x +4π5)的图象向右平行移动π2个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的3倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ） A.y =3cos (4x −π5) B.y =3cos (x −π5) C.y =3sin (4x +π5) D.y =3sin (x +π5)8. 在△ABC 中，A =15∘，则√3sin A −cos (B +C)的值为（ ）A.√22B.√32C.√2D.29. 若向量e 1→，e 2→是夹角为60∘的两个单位向量，则a →=2e 1→+e 2→，b→=−3e 1→+2e 2→的夹角为( ) A.30∘ B.60∘ C.120∘ D.150∘10. 在△ABC 中，C >90∘，则tan A ⋅tan B 与1的关系为（ ）A.tan A ⋅tan B >1B.tan A ⋅tan B <1C.tan A ⋅tan B =1D.不能确定二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上计算：sin 80∘cos 55∘+cos 80∘cos 35∘=________．已知向量b →=(−1,0)，a →=(1,√3)，c →=(−√3,k)．若b →−2a →与c →共线，则k =________．已知向量a →和b →的夹角为120∘，|a →|=1，|b →|=3，则|5a →−b →|=________．若cos α=−45，α是第三象限的角，则sin (α+π4)=________．求值tan 20∘+tan 40∘+√3tan 20∘tan 40∘=________． 三、解答题（共6小题，满分75分）设α，β均为锐角，cos α=17，cos (α+β)=−1114，求cos β的值． 化简 （1）cos (α−π2)sin (5π2+α)sin (α−π)cos (2π−α)；（2）1sin 10∘−√3cos 10∘．（1）已知a →=(1, 0)，b →=(1, 1)，λ为何值时，a →+λb →与a →垂直； （2）已知|a →|=4，|b →|=2，a →与b →的夹角为1200，求(a →+2b →)•(a →−3b →)．已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(x ∈R , ω>0, 0<φ<π2)部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)的单调递增区间．已知向量a →=(−1,cos x)，b →=(32,sin x)． （1）当a → // b →时，求2cos 2x −sin 2x 的值；（2）求f(x)=(a →+b →)⋅b →在[−π2，0]上的最大值．已知函数f(x)=sin (x +7π4)+cos (x −3π4)，x ∈R（1）求f(x)的最小正周期和最小值；（2）已知cos (β−α)=45，cos (β+α)=−45.0<α<β≤π2，求证：[f(β)]2−2=0．参考答案与试题解析湖北省荆州市某校高一（下）第一周周考数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在选择题答题卡内． 1.【答案】 D【考点】象限角、轴线角 【解析】直接由270∘<300∘<360∘得答案． 【解答】解：∵ 270∘<300∘<360∘， ∴ 300∘是第四象限角． 故选：D ． 2.【答案】 B【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】由题意可得角α的终边落在第四象限，故有sin α<0，根据同角三角函数的基本关系求出sin α=−45，再由tan α=sin αcos α求出结果． 【解答】解：已知点P(3, y)在角α的终边上，且满足y <0,cos α=35，则角α的终边落在第四象限，故有sin α<0， ∴ sin α=−45，∴ tan α=sin αcos α=−43，故选B ． 3. 【答案】 C【考点】向量的加法及其几何意义 【解析】把要求的式子展开重新组合，利用向量加法的三角形法则：AB →+BC →=AC →，化简所给的式子，得出结果． 【解答】解：(AB →+MB →)+(BO →+BC →)+OM →=AB →+BO →+OM →+MB →+BC →=AO →+OM →+MB →+BC →=AM →+MB →+BC →=AB →+BC →=AC →． 故选C ． 4.【答案】 B【考点】正切函数的周期性 【解析】直接利用正切函数的周期的求法，求解即可． 【解答】 解：T =π|ω|=π2，故选B 5.【答案】 A【考点】二倍角的三角函数 【解析】条件两边平方，结合二倍角公式即可求解． 【解答】∵ sin a +cos a =13， ∴ (sin a +cos a)2=19， ∴ 1+2sin a cos a =19， ∴ sin 2a =−89． 6.【答案】 C【考点】两角和与差的三角函数 【解析】将原式分子第一项中的度数47∘=17∘+30∘，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值． 【解答】sin 47∘−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=sin (17∘+30∘)−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=sin 17∘cos 30∘+cos 17∘sin 30∘−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=sin 30∘=12．7.【答案】 A【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】根据函数y =A sin (ωx +φ)的图象变换规则对函数的解析式进行变换即可． 【解答】解：由题意将函数y =cos (2x +4π5)的图象向右平行移动π2个单位长度， 得到函数y =cos [2(x −π2)+4π5]=cos (2x −π5)的图象，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数y =cos (4x −π5)的图象， 再把纵坐标伸长为原来的3倍，得到函数y =3cos (4x −π5)的图象，故选A8.【答案】 C【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解析：√3sin A −cos (B +C)=√3sin A +cos A =2sin (A +30∘)=2sin 45∘=√2． 9.【答案】 C【考点】数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积的运算 【解析】由已知中e →1，e →2是夹角60∘的两个单位向量，我们可求出e →12=e →22=1，e →1⋅e →2=12，结合a →=2e →1+e →2与b →=−3e →1+2e →2，及向量的数量积和向量的模公式，我们可以求出a →⋅b →，|a →|，|b →|，代入cos θ=|a →|⋅|b →|˙，求出a →与b →的夹角θ的余弦值，进而可求出a →与b →的夹角θ． 【解答】解：∵ e 1→，e 2→是夹角为60∘的两个单位向量， ∴e 1→2=e 2→2=1，e 1→⋅e 2→=12.又∵ a →=2e 1→+e 2→，b →=−3e 1→+2e 2→，∴ a →⋅b →=(2e 1→+e 2→)⋅(−3e 1→+2e 2→) =−6e 1→2+2e 2→2+e 1→⋅e 2→=−72.∵ |a →|=|2e 1→+e 2→|=√4+4×12+1=√7， |b →|=|−3e 1→+2e 2→|=√9−12×12+4=√7， 设向量a →与b →的夹角为θ， ∴ cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−727=−12.∵ 0∘≤θ≤180∘， ∴ θ=120∘. 故选C . 10.【答案】 B【考点】 弦切互化 【解析】直接利用钝角三角形的性质，确定sin A <cos B ，利用切化弦化简tan A tan B ，即可得到选项． 【解答】解：因为三角形是钝三角形，所以A +B <π2；即：0<A <π2−B <π2，所以sin A <cos B ，同理sin B <cos A ， tan A tan B =sin A sin Bcos A cos B<1故选B二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上 【答案】√22【考点】求两角和与差的正弦 【解析】把要求的式子利用诱导公式化为cos 10∘cos 55∘+sin 10∘sin 55∘，再利用两角差的余弦公式化简求得结果． 【解答】解：sin 80∘cos 55∘+cos 80∘cos 35∘=cos 10∘cos 55∘+sin 10∘sin 55∘=cos (55∘−10∘)=cos 45∘=√22，故答案为 √22．【答案】 −2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】由向量的坐标运算易得b →−2a →的坐标，由向量共线的充要条件可得关于k 的方程，解之即可． 【解答】解：由题意可得b →−2a →=(−1, 0)−2(1, √3)=(−3, −2√3)， 又b →−2a →与c →共线，则(−√3)(−2√3)−(−3)k =0， 解得k =−2． 故答案为：−2 【答案】 7【考点】 向量的模 【解析】根据向量的数量积运算公式得|5a →−b →|2=(5a →−b →)2，化简后把已知条件代入求值． 【解答】解：由题意得，|5a →−b →|2=(5a →−b →)2=25a →2−10a →⋅b →+b →2 =25×12−10×1×3×(−12)+32=49，∴ |5a →−b →|=7． 故答案为：7． 【答案】−7√210 【考点】同角三角函数间的基本关系 两角和与差的三角函数 【解析】根据同角三角函数的关系算出sin α=−√1−cos 2α=−35，再利用两角和的正弦公式，即可算出sin (α+π4)的值． 【解答】∵ cos α=−45，α是第三象限的角，∴ sin α=−√1−cos 2α=−35，因此，sin (α+π4)=sin αcos π4+cos αsin π4=−35×√22+(−45)×√22=−7√210【答案】√3【考点】两角和与差的三角函数 两角和与差的正切公式【解析】利用60∘＝20∘+40∘，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值． 【解答】解：tan 60∘=tan (20∘+40∘)=tan 20∘+tan 40∘1−tan 20∘tan 40∘=√3，√3−√3tan 20∘tan 40∘=tan 20∘+tan 40∘， tan 20∘+tan 40∘+√3tan 20∘tan 40∘=√3. 故答案为：√3.三、解答题（共6小题，满分75分） 【答案】解：因为α，β均为锐角，cos α=17，所以sin α=√1−(17)2=4√37，由cos (α+β)=−1114，得到sin (α+β)=√1−(−1114)2=5√314， 则cos β=cos [(α+β)−α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=−1114×17+5√314×4√37=12【考点】两角和与差的余弦公式 【解析】由α，β为锐角，根据cos α=17，cos (α+β)=−1114，利用同角三角函数间的基本关系求出sin α和sin (α+β)的值，然后把β变为(α+β)−α，利用两角差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值． 【解答】解：因为α，β均为锐角，cos α=17，所以sin α=√1−(17)2=4√37，由cos (α+β)=−1114，得到sin (α+β)=√1−(−1114)2=5√314， 则cos β=cos [(α+β)−α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=−1114×17+5√314×4√37=12【答案】解：（1）原式=sin αcos α⋅(−sin α)cos α=−sin 2α；（2）原式=cos 10∘−√3sin 10∘sin 10∘cos 10∘=2(12cos 10∘−√32sin 10∘)12⋅2sin 10∘cos 10∘=2cos 70∘12sin 20∘=4sin 20∘sin 20∘=4．【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数基本关系的运用【解析】（1）原式利用诱导公式化简，约分即可得到结果；（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的正弦函数公式化简，约分即可得到结果． 【解答】解：（1）原式=sin αcos α⋅(−sin α)cos α=−sin 2α； （2）原式=cos 10∘−√3sin 10∘sin 10∘cos 10∘=2(12cos 10∘−√32sin 10∘)12⋅2sin 10∘cos 10∘=2cos 70∘12sin 20∘=4sin 20∘sin 20∘=4．【答案】解：(1)a →+λb →=(1, 0)+λ(1, 1)=(1+λ, λ)． ∵ a →+λb →与a →垂直，∴ (a →+λb →)⋅a →=0， ∴ 1+λ=0，解得λ=−1． ∴ λ=−1，a →+λb →与a →垂直；（2）∵ |a →|=4，|b →|=2，a →与b →的夹角为1200， ∴ a →⋅b →=4×2×cos 120∘=−4．∴ (a →+2b →)•(a →−3b →)=a →2−6b →2−a →⋅b →=42−6×22−(−4)=−4．【考点】平面向量数量积的运算 【解析】（1）利用向量垂直与数量积的关系即可得出； （2）利用数量积的定义及其运算性质即可得出． 【解答】解：(1)a →+λb →=(1, 0)+λ(1, 1)=(1+λ, λ)． ∵ a →+λb →与a →垂直，∴ (a →+λb →)⋅a →=0， ∴ 1+λ=0，解得λ=−1． ∴ λ=−1，a →+λb →与a →垂直；（2）∵ |a →|=4，|b →|=2，a →与b →的夹角为1200， ∴ a →⋅b →=4×2×cos 120∘=−4．∴ (a →+2b →)•(a →−3b →)=a →2−6b →2−a →⋅b →=42−6×22−(−4)=−4． 【答案】解：(1)由图象可知，周期T =2(11π12−5π12)=π， ∴ ω=2ππ=2 ∵ 点(5π12, 0)在函数图象上，∴ A sin (2×5π12+φ)=0.∴ sin (5π6+φ)=0，∴ 5π6+φ=π+kπ，即φ=kπ+π6，k ∈Z . ∵ 0<φ<π2，∴ φ=π6.∵ 点(0, 1)在函数图象上，∴ A sin π6=1，A =2，∴ 函数f(x)的解析式为f(x)=2sin (2x +π6).(2)g(x)=2sin [2(x −π12)+π6]−2sin [2(x +π12)+π6] =2sin 2x −2sin (2x +π3) =2sin 2x −2(12sin 2x +√32cos 2x) =sin 2x −√3cos 2x=2sin (2x −π3)， 由−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ，得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12， ∴ 函数g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)的单调递增区间为[kπ−π12, kπ+5π12]k ∈Z .【考点】两角和与差的正弦公式由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式复合三角函数的单调性【解析】（1）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的值，再将点(5π12, 0)和(0, 1)代入解析式，分别解得φ和A 的值，最后写出函数解析式即可；（2）先利用三角变换公式将函数g(x)的解析式化为y =A sin (ωx +φ)型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g(x)的单调增区间【解答】解：(1)由图象可知，周期T =2(11π12−5π12)=π，∴ ω=2ππ=2∵ 点(5π12, 0)在函数图象上，∴ A sin (2×5π12+φ)=0.∴ sin (5π6+φ)=0， ∴ 5π6+φ=π+kπ，即φ=kπ+π6，k ∈Z .∵ 0<φ<π2， ∴ φ=π6.∵ 点(0, 1)在函数图象上，∴ A sin π6=1，A =2，∴ 函数f(x)的解析式为f(x)=2sin (2x +π6).(2)g(x)=2sin [2(x −π12)+π6]−2sin [2(x +π12)+π6] =2sin 2x −2sin (2x +π3) =2sin 2x −2(12sin 2x +√32cos 2x) =sin 2x −√3cos 2x=2sin (2x −π3)，由−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ， 得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12， ∴ 函数g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)的单调递增区间为[kπ−π12, kπ+5π12]k ∈Z .【答案】解：（1）∵ a → // b →，32cos x +sin x =0∴ tan x =−32∴ 2cos 2x −sin 2x =2cos 2x−2sin x cos x sin 2x+cos 2x =2−2tan x 1+tan 2x =2013 （2）∵ a →+b →=(12, cos x +sin x)，∴ f(x)=(a →+b →)⋅b →=12×32+(cos x +sin x)sin x=12sin 2x −12cos 2x +54=√22sin (2x −π4)+54∵ −π2≤x ≤0，∴ −5π4≤2x −π4≤−π4 ∴ −1≤sin (2x −π4)≤√22， ∴ −√22+54≤f(x)≤74，∴ f(x)max =74【考点】平面向量数量积平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】（1）由平行关系易得tan x =−32，然后化要求的式子为正切函数，代入可得；（2）结合三角函数的运算公式易得函数为f(x)=√22sin (2x −π4)+54，逐步由x 的范围可得．【解答】解：（1）∵ a → // b →，32cos x +sin x =0∴ tan x =−32∴ 2cos 2x −sin 2x =2cos 2x−2sin x cos x sin 2x+cos 2x =2−2tan x 1+tan 2x =2013 （2）∵ a →+b →=(12, cos x +sin x)，∴ f(x)=(a →+b →)⋅b →=12×32+(cos x +sin x)sin x =12sin 2x −12cos 2x +54=√22sin (2x −π4)+54∵ −π2≤x ≤0，∴ −5π4≤2x −π4≤−π4 ∴ −1≤sin (2x −π4)≤√22， ∴ −√22+54≤f(x)≤74，∴ f(x)max =74【答案】解：（1）f(x)=sin(x+7π4)+cos(x−3π4)=sin(x−π4)+sin(x−π4)=2sin(x−π4)∴T=2π，最小值为−2（2）∵cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=45，cos(β+α)=cosβcosα−sinβsinα=−45，两式相加得2cosβcosα=0，∵0<α<β≤π2，∴β=π2∴[f(β)]2−2=4sin2π4−2=0【考点】求两角和与差的正弦运用诱导公式化简求值三角函数的周期性及其求法【解析】（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的周期性和值域求解．（2）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得β的值，代入函数解析式中求得答案．【解答】解：（1）f(x)=sin(x+7π4)+cos(x−3π4)=sin(x−π4)+sin(x−π4)=2sin(x−π4)∴T=2π，最小值为−2（2）∵cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=45，cos(β+α)=cosβcosα−sinβsinα=−45，两式相加得2cosβcosα=0，∵0<α<β≤π2，∴β=π2∴[f(β)]2−2=4sin2π4−2=0。

2020-2021下学期高一年级第一次周考数学试题考试范围：必修四第一章三角函数 考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．sin 600°＋tan 240°的值是( )A ．－32 B.32C ．－12＋ 3 D.12＋32．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π43．已知tan α＝34，α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则cos α的值是( ) A ．±45 B.45 C ．－45 D.354．已知sin(2π－α)＝45，α∈(3π2，2π)，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( )A.17 B ．－17C ．－7D ．7 5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，则φ可能取值是( )A.π2 B ．－π4 C.π4 D.3π46．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2 D.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π 7．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )8．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度9．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5 AB ．5AC ．5 3 AD ．10 A10．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π411．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A.23 B.43 C.32D ．3 12．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________．14．方程s in πx ＝14x 的解的个数是________．15．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π12)＝________.16．给出下列命题：(1)函数y ＝sin |x |不是周期函数；(2)函数y ＝tan x 在定义域内为增函数；(3)函数y ＝|cos 2x ＋12|的最小正周期为π2；(4)函数y ＝4sin(2x ＋π3)，x ∈R 的一个对称中心为(－π6，0)．其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分) 已知cos(15°＋α)＝35，α为锐角，求tan (435°－α)＋sin (α－165°)cos (195°＋α)·sin (105°＋α)的值．18.(12分)求函数y ＝3－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， （1）求该函数单调递增区间;（2）当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6求该函数的最大值、最小值及相应的x 值；19．(12分)已知设函数()tan()23x f x =-π.(1)求函数()f x 的定义域、最小正周期、单调区间及图像的对称中心；(2)求不等式1()f x -≤≤.20．(12分)已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．21．(12分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0且ω>0,0<φ<π2)的部分图象，如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．下学期高一年级数学第一次考试试题1．B 2.D 3.C4．A [sin(2π－α)＝－sin α＝45，∴sin α＝－45.又α∈(3π2，2π)，∴cos α＝35.∴sin α＋cos αsin α－cos α＝17，故选A.] 5．C [检验f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ是否取到最值即可．] 6．B [sin α－cos α>0且tan α>0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2或α∈⎝⎛⎭⎫π，54π.] 7．D [当a ＝0时f (x )＝1，C 符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，A 符合， 当|a |>1时T <2π，B 符合． 排除A 、B 、C ，故选D.]8．B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －23π＝cos2⎝⎛⎭⎫x －π3.] 9．A [由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴T ＝150，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． (1300，10)为五点中的第二个点， ∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6.∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100秒时，I ＝－5 A ，故选A.]10．A [∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，∴θ＝π2.∵图象与直线y ＝2的两个交点横坐标为x 1，x 2， |x 2－x 1|min ＝π，即T min ＝π， ∴2πω＝π，ω＝2，故选A.] 11．C [由函数向右平移43π个单位后与原图象重合，得43π是此函数周期的整数倍．又ω>0，∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝32.] 12．D [∵a ＝sin 5π7＝sin(π－5π7)＝sin 2π7.2π7－π4＝8π28－7π28>0. ∴π4<2π7<π2. 又α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，sin α>cos α.∴a ＝sin 2π7>cos 2π7＝b .又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin α<tan α. ∴c ＝tan2π7>sin 2π7＝a . ∴c >a .∴c >a >b .] 13．(6π＋40) cm 解析 ∵圆心角α＝54°＝3π10，∴l ＝|α|·r ＝6π. ∴周长为(6π＋40) cm. 14．7解析 在同一坐标系中作出y ＝sin πx 与y ＝14x 的图象观察易知两函数图象有7个交点，所以方程有7个解． 15．0解析 方法一 由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3，∴ω＝2πT ＝3.∴y ＝2sin(3x ＋φ)，将(π4，0)代入上式sin(3π4＋φ)＝0. ∴3π4＋φ＝k π，k ∈Z ，则φ＝k π－3π4. ∴f (7π12)＝2sin(7π4＋k π－3π4)＝0.方法二 由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3.又由正弦图象性质可知，若f (x 0)＝f (x 0＋T 2)＝0，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝f (π4)＝0.16．(1)(4)解析 本题考查三角函数的图象与性质．(1)由于函数y ＝sin |x |是偶函数，作出y 轴右侧的图象，再关于y 轴对称即得左侧图象，观察图象可知没有周期性出现，即不是周期函数；(2)错，正切函数在定义域内不单调，整个图象具有周期性，因此不单调；(3)由周期函数的定义f (x ＋π2)＝|－cos 2x ＋12|≠f (x )，∴π2不是函数的周期；(4)由于f (－π6)＝0，故根据对称中心的意义可知(－π6，0)是函数的一个对称中心，故只有(1)(4)是正确的．17.解：原式＝tan (360°＋75°－α)－sin (α＋15°)cos (180°＋15°＋α)·sin[180°＋(α－75°)]＝tan (75°－α)－sin (α＋15°)－cos (15°＋α)·[－sin (α－75°)]＝sin (75°－α)cos (75°－α)[－cos (15°＋α)sin (75°－α)]－sin (α＋15°)－cos (15°＋α)sin (75°－α)＝－1cos (15°＋α)·sin (15°＋α)＋sin (α＋15°)cos (15°＋α)·cos (15°＋α).∵α为锐角，即0°<α<90°，∴15°<α＋15°<105°，又cos(15°＋α)＝35，∴sin(15°＋α)＝45，∴原式＝－135×45＋4535×35＝536.18解：(1)令2223k x k ≤+≤+∈Z ππππ ,k 得63k x k -≤≤+∈Z ππππ,k (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，从而－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，即x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1.当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，即x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝5. 19.（1）定义域 23x k ≠+∈Z 5ππ,k 最小正周期 2π 单调区间 令2232x k k -+≤-≤+∈Z πππππ ,k 得2233k x k -+≤≤+∈Z π5πππ,k 则递增区间为2233k k ⎛⎫-++∈Z ⎪⎝⎭π5ππ , π,k .无单调递减区间 .对称中心 令232x -=∈Z πk π,k 得 3x k =+∈Z 2ππ,k 则对称中心,03k ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭2ππ,k （3）令4233x k k -+≤-≤+∈Z πππππ ,k得2263k x k +≤≤+∈Z π4πππ,k 该不等式的解集2263x kx k ⎧⎫I +≤≤+∈Z ⎨⎬⎩⎭π4πππ,k 20 解：(1)∵sin A ＋cos A ＝15①，∴①式两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225.(2)由(1)sin A cos A ＝－1225，且A ∈(0，π)，可得sin A >0，cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75 ②，∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝－43.21．解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6， 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．22．解 (1)由图象易知函数f (x )的周期为T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π6－2π3＝2π，A ＝1，所以ω＝1.方法一 由图可知此函数的图象是由y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位得到的，故φ＝π3，所以函数解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 方法二 由图象知f (x )过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，则sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0，∴－π3＋φ＝k π，k ∈Z . ∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )与y ＝a 的图象在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个交点，在图中作y ＝a 的图象，如图为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫0，5π3上的图象，当x ＝0时，f (x )＝32，当x ＝5π3时，f (x )＝0，由图中可以看出有两个交点时，a ∈⎝⎛⎭⎫32，1∪(－1,0)．。

高一下学期第一次阶段测试数学试题一、单选题1．的值是（ ）19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭A ． B ．CD ． 1212-【答案】A【分析】根据三角函数诱导公式即可求解.【详解】解：．19191sin sin sin 3sin 66662πππππ⎛⎫⎛⎫-=-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A ．2．已知，则（ ） 11cos 22cos()παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+2sin cos sin cos αααα-=+A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】D【分析】利用三角函数诱导公式和齐次式弦化切即可解答。

【详解】由题意，则． sin tan 2cos ααα-==--2sin cos 2tan 15sin cos tan 1αααααα--==++故选：D ﹒ 3．设，，则“”是“”的（ ） π02α<<02βπ<<sin2sin2αβ=αβ=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合正弦函数在上图像的性质，先推出的等价关系，然后判断其和[0,π]sin2sin2αβ=的关系后进行分析.αβ=【详解】，，则，，由，结合正弦函数图像π02α<<02βπ<<02πα<<02βπ<<sin2sin2αβ=在上的性质可知，或，所以不一定推出，但可[0,π]22αβ=22παβ+=sin2sin2αβ=αβ=αβ=以推出，于是“”是“”的必要不充分条件. sin2sin2αβ=sin2sin2αβ=αβ=故选：B4．若函数是奇函数，且在区间是减函数，则的值可以是()2sin 23f x x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦φA ．B ．C ．D ．3π-23π53π3π【答案】B【详解】因为函数是奇函数，所以，，则，故排()2sin 23f x x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3πφ+πk =Z k ∈ππ3k φ=-除选项D ，又因为在区间是减函数，所以，解得，即0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦π5ππ3π[,[,]3622φφ++⊆π2π63φ≤≤；故选B.2π3φ=点睛：判定三角函数的奇偶性时，往往与诱导公式进行结合，如： 若为奇函数，则； sin()y x ωϕ=+π,Z k k ϕ=∈若为偶函数，则；sin()y x ωϕ=+ππ+,Z 2k k ϕ=∈若为偶函数，则； cos()y x ωϕ=+π,Z k k ϕ=∈若为奇函数，则.cos()y x ωϕ=+ππ+,Z 2k k ϕ=∈5．已知x ∈[0，π]，f (x )＝sin(cos x )的最大值为a ，最小值为b ，g (x )＝cos(sin x )的最大值为c ，最小值为d ，则( ) A ．b <d <a <c B ．d <b <c <a C ．b <d <c <a D ．d <b <a <c【答案】A【详解】 [][][][][]0,,cos 1,1,sin 0,1,sin(cos )sin1,sin1,cos(sin )cos1,1x x x x x π∈∈-∈∈-∈，又，则 sin1,sin1,1,cos1a b c d ==-==14π>cos1sin1<<则b<d<a<c6．将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标保持不变，得到()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12函数的图象，若，则的最小值为( )()y g x =()()()12121g x g x x x =-≠122x x+A ．B ．C ．D ．3π23π12π6π【答案】D【分析】求出g (x )解析式，作出g (x )图像，根据图像即可求解﹒【详解】由题得，，，()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()max 1g x =()min 1g x =-∵，∴＝1且＝－1或且＝1， ()()()12121g x g x x x =-≠()1g x ()2g x ()11g x =-()2g x 作的图象，()g x∴的最小值为＝， 122x x +512122ππ-＋6π故选：D ．7．如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将()()cos f x A x ωϕ=-0A >0ω>2πϕ<图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函()y f x =328π数的图象，则（ ）()y g x =A ．函数在上单调递减B ．点为图象的一个对称中心()g x 513,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ3,08π⎛⎫⎪⎝⎭()g x C ．直线为图象的一条对称轴D ．函数在上单调递增2x π=()g x ()g x 3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先由函数的图象求出的解析式，再结合题意求出，结合正弦函数的图()f x ()2sin 2g x x =象性质即可求解【详解】由图象知，2A =又，所以的一个最低点为， 2563212πππ+=()f x 5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭而的最小正周期为， ()f x 22033T ππ=-=所以 23Tπω==又，则， 2cos 35512122f ππϕ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝= ⎪⎭⎛⎫⎝⎭2os 315c 1ϕπ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭所以,即， ()524k k Z ϕπππ-=+∈()24k k Z πϕπ=-∈又，所以，2πϕ<4πϕ=所以，()2cos 34⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x π将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得的图象，()y f x =322cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再把所得曲线向右平移个单位长度得，8π2cos 22sin 22⎛⎫=-= ⎪⎝⎭y x x π即. ()2sin 2g x x =由得，()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以在上单调递增，()g x ,44k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈在上单调递减， 3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈当时，可知在递增，在递减，所以错误； 513,2424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x 5,244ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A因为 3332sin 22sin 884g p p pæöç÷=´=ç÷èø所以不是图象的一个对称中心，故B 错误；3,08π⎛⎫⎪⎝⎭()g x 因为， 2sin 22s 2i 02n g p p p æöç÷=´==ç÷èø所以直线不是图象的一条对称轴，故C 错误；2x π=()g x 因为在上单调递增，()g x 35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以函数在上单调递增，故正确；()g x 3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 故选：.D 8．如图所示，设点是单位圆上的一定点，动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点A P A 所旋转过的的长为，弦的长为，则函数的图象大致是（ ） P APl AP d ()d f l =A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】取的中点为，设，在直角三角形求出的表达式，根据弧长公式求出的AP D DOA θ∠=d l 表达式，再用表示，再根据解析式得答案. l d 【详解】取的中点为，设，AP D DOA θ∠=则，， 2sin d θ=22l R θθ==所以，即，根据正弦函数的图象知，C 中的图象符合解析式. 12l θ=⋅2sin 2ld =故选：C.【点睛】本题考查正弦函数的图象，考查弧长公式，其中表示出弦长和弧长的解析式是解题的d l 关键，属于基础题.二、多选题9．下列不等关系成立的是（ ）． A ． B ． tan1sin1cos1>>tan1cos1sin1>>C ． D ．tan 4sin 4cos 4>>tan 4cos 4sin 4>>【答案】AD【分析】.AB 选项，由，结合571602284240o o o o <<⇒<<1451o t an t an >=单调性可判断；CD 选项，由，结合单sin ,cos y x y x ==4044t an si n ,cos >>sin ,cos y x y x ==调性可判断.【详解】.571602284240o o o o <<⇒<<AB 选项，因为在上单调递增，所以.tan y x =π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭1451o t an t an >=因为在上单调递增，在上单调递减，sin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦cos y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以. 145451o o si n si n cos cos >=>综上，，故A 正确，B 错误；tan1sin1cos1>>CD 选项，，则. 342ππ,⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭4044t an si n ,cos >>因为在上单调递减，在上单调递增， sin y x =32ππ,⎡⎫⎪⎢⎣⎭cos y x =32ππ,⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以. 42252254o o si n si n cos cos <=<综上，，故D 正确，C 错误. tan 4cos 4sin 4>>故选：AD.10．给出的下列命题中正确的是（ ）． A ．函数是奇函数3πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．若，是第一象限角，且，则αβαβ<tan tan αβ<C ．在区间上的最小值是 32sin 2y x =ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2-D ．是函数的一条对称轴π8x =5sin 2π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】A 选项，由奇函数定义可判断选项正误；B 选项，由，即可判断选项正2361o o t an t an >误；C 选项，，则，后由单调性可判断选项正误；D 选项，将ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦3π3π,224x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦cos y x =代入，验证其是否等于，即可判断选项正误.π8x =52π4x +2ππ,Z k k +∈【详解】A 选项，设，则，()3πcos 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()3sin 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由，且可知，函数是奇函数，故A 正确；()()f x f x -=-x ∈R 3πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B 选项，均为第一象限角，但，故B 错误；2361o o ,2361o o t an t an >C 选项，，则，因为在上递增，在上单调递ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦3π3π,224x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin y x =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π3π,24⎡⎤⎢⎣⎦减，所以，，故C 错误； max π2sin 22y ==322224m i n ππmi n si n ,si n y ⎧⎫⎛⎫=-=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭D 选项，由可知，是函数的一条对称轴，故D 正确.532842πππ⨯+=π8x =5sin 2π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：AD.11．已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t （s ）时离开平衡位置的位移s （cm ）满足函数关系式．给出的下列说法中正确的是（ ）．π2sin 4s t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．小球开始时在平衡位置上方2cm 处 B ．小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm 处 C ．经过小球重复振动一次 2π s D ．小球振动的频率为 12π【答案】BCD【分析】A 选项，即判断时，s 的值是否为2； 0=t B 选项，即判断s 的最小值是否为；2-CD 选项，由周期，频率计算公式可判断选项正误.【详解】A 选项，时，cm 处，故A 错0=t π2sin 4s ⎛⎫== ⎪⎝⎭误；B 选项，由题可知s 的最小值为，即小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm 处，故B 正确； 2-C 选项，由题可知，最小正周期为，即经过小球重复振动一次，故C 正确； 2π2π sD 选项，由C 选项分析可知周期为，则振动的频率为，故D 正确. 2π12π故选：BCD12．函数的部分图象如图所示，点P ，Q ，R 在函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭()f x 的图象上，坐标分别为，，，是以PR 为底边的等腰三角形，将函数()1,A --()1,0()0,0x PQR 的图象向右平移5个单位后，得到函数的图象，则下列关于的说法中正确的是()f x ()g x ()g x （ ）．A ．是偶函数()g x B ．在区间上是减函数 ()g x []0,4C ．的图象关于直线对称 ()g x 2x =D ．在上的最小值为()g x []1,3-【答案】ABD【分析】由函数的部分图像求出函数解析式，写出的解析式，判断选项中的命题是否正()f x ()g x 确.【详解】由函数的部分图象知，()()sin f x A x =+ωϕ，所以，解得；24T =2π8ω=π4ω=,作轴于点，4PQ QR == PH x ⊥H则，时，，，2QH =A \=1x =0x ωϕ+=π4ϕ∴=-，，()ππ44⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭f x x ()()()πππ55444⎛⎫∴=-=--= ⎪⎝⎭g x f x x x 根据余弦函数的性质可知是偶函数，A 正确； ()g x 时，，是单调减函数，B 正确； []0,4x ∈[]ππ40,∈x ()g x ∴时，，的图象不关于直线对称，C 错误； 2x =()π022==g ()g x 2x =时，，，，D 正确； []13,x ∈-ππ3π444,⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x πc os 14⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ()⎡∈⎣∴g x故选：ABD.三、填空题13．已知，且为第四象限角，则______．()1cos 553α-=-α()sin 125α+=【分析】先求出，再求的值. ()sin 55α-= ()sin 125α+【详解】因为，且为第四象限角，()1cos 5503α-=-<α所以是第三象限角，55α- 所以()sin 55α-==所以．()()()sin 125sin 18055sin 55ααα⎡⎤+=+-=--=⎣⎦【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．函数______． y 【答案】()πππππ+,π+π+,π+Z 4332k k k k k ⎡⎫⎛⎫⋃∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】根据函数定义域的求法进行求解即可.【详解】根据题意，得，()tan 1πtan 06πππZ 62x x x k k ⎧⎪≥⎪⎪⎛⎫+≠⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+≠+∈⎪⎩解得，()()()ππππZ 42ππZ 6ππZ 3k x k k x k k x k k ⎧+≤<+∈⎪⎪⎪≠-+∈⎨⎪⎪≠+∈⎪⎩所以函数的定义域为.()πππππ+,π+π+,π+Z 4332k k k k k ⎡⎫⎛⎫⋃∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭故答案为：.()πππππ+,π+π+,π+Z 4332k k k k k ⎡⎫⎛⎫⋃∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭15．已知，则______．()()ππsin 24n f n n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ()()()()1232023f f f f ++++= 【答案】【分析】利用正弦函数的周期性，诱导公式，求得式子的值.【详解】，()()ππsin 24+⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭ n f n n N 的周期为，()f n ∴2π4π2=， ()()()()12340+++== f f f f 则()()()()1232023f f f f ++++()()()()()()()5051234202120222023=⨯++++++⎡⎤⎣⎦f f f f f f f()()()123=++==f f f 故答案为：.16．某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半，(单位：)，则三个圆之间空隙部分的面积为______.1+31cm 2cm 【答案】【分析】由已知可得,,得到，，求出，AB =2BC =4AC cm ==2B π∠,63A C ππ∠=∠=ABC S A中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，然后用三角形的面积减去三BC 个扇形的面积即可得到答案. 【详解】如图，的半径为cm, 的半径为cm, 的半径为cm,A )1+B)1-C (3,,11AB ∴==132cm BC =+=, ,134AC cm =+=222=2AB BC AC B π∴+∠=，又,可得,2AC BC =,63A C ππ∠=∠=， )2112cm 22ABC S BC AB =⋅=⨯⨯= 中的小扇形的面积为，A ()2211)cm 26π⨯⨯+=中的小扇形的面积为，B ()2211)cm 22π⨯⨯-=中的小扇形的面积为，C(()221(32cm 23ππ⨯⨯=则三个圆之间空隙部分的面积为(()22cm π-=故答案为：【点睛】本题考查圆与圆相切的性质，考查扇形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题.四、解答题17．已知是第三象限角，且.α()()()()()sin cos 5tan 2cos tan 2f αππαπααπαπα----=⎛⎫--- ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)若，求的值. ()tan 2πα-=-()f α【答案】(1) ()αcos αf =-(2)()f α【分析】（1）直接利用诱导公式可化简；()f α（2）利用同角三角函数的基本关系可求得的值，即可得出的值. cos α()f α【详解】（1）解：为第三象限角，则αQ .()()()()()sin cos tan sin cos cos sin tan sin f παπααααααααα---==-=--（2）解：，所以，，()tan tan 2παα-=-=- tan 2α=由已知可得，解得22sin tan 2cos sin cos 1cos 0αααααα⎧==⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩cos α=()cos f αα=-=18．已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，再从()2cos()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭2π条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知．条件①：函数的图象关于直线()f x 对称；条件②：函数的图象关于点对称；条件③：对任意实数x ，3x π=-()f x ,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立．5()6f x f π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭(1)求出的解析式； ()f x (2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根()f x 12π()y g x =()g x a =2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求的值及的取值范围．αβαβ+a 【答案】(1)；()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)，76παβ+=2a -<≤【分析】（1）通过相邻对称中心的距离可得周期，进而可得，若选条件①可得ω，则可求出，则的解析式可得；选条件②，将代入解析式，可ππ2π122k ϕ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭ϕ()f x ,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭得，解出，即得答案；选条件③，可知，解出，即得答案； π2π6k ϕ⨯+=ϕ526k πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ϕ（2）先根据平移变换求出，再通过整体法，利用正弦函数的图象和性质可得的()y g x =()y g x =最小值，则实数的取值范围可求.m 【详解】（1）解：因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，()2cos()f x x ωϕ=+2π所以，即周期，所以．所以． 22T π=T π=22T πω==()2cos(2)f x x ϕ=+若选择①：因为函数的图象关于直线轴对称，()f x 3x π=-所以，，即，．23k πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈因为，所以．||2ϕπ<3πϕ=-所以函数的解析式为．()y f x =()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭若选择②，函数的图象关于点对称，所以，()f x ,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭()2cos 2()01212f ππϕ⎡⎤-=⨯-+=⎢⎥⎣⎦所以，，即，．2+122k ππϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈因为，所以．||2ϕπ<3πϕ=-所以函数的解析式为．()y f x =()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭若选③：对任意实数x ，恒成立，所以，，即5()6f x f π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭526k πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭Z k ∈53k πϕπ=+，． Z k ∈因为，所以．||2ϕπ<3πϕ=-所以函数的解析式为．()y f x =()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）解：将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，所以， ()f x 12π()y g x =()2cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦672,66x πππ⎡⎤⎢⎣⎦-∈当时，有最小值且关于对称，所以，26x ππ-=()g x 2-712x π=772126ππαβ+=⨯=，．6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭2a ∴-<≤19．设函数()()2cos 2103f x a x a π⎛⎫=++≠ ⎪⎝⎭．（1）求函数的对称轴方程；()f x （2）若时，的最大值为3，求a 的值．02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 【答案】（1）；（2）或.,6x k k Z ππ=-+∈1a =-2a =【分析】（1）利用整体代入法，令，即解得对称轴的方程；22,3x k k Z ππ+=∈（2）先计算时，，再讨论和时的最大值，令其等于02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0a >a<0()f x 3，解方程即得结果. 【详解】解：（1）令，解得，22,3x k k Z ππ+=∈,6x k k Z ππ=-+∈故函数的对称轴方程为；()f x ,6x k k Z ππ=-+∈（2）时，，故，02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故时，时，，解得，0a >1cos 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()max 12132f x a =⨯+=2a =时，时，，解得， a<0cos 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()max 213f x a =-+=1a =-综上可知，或.1a =-2a =20．已知定义在上单调减函数使得对一切实数x 都成立，(],3-∞()f x ()()21sin 2cos f x f a x +≤-求a 的范围． 【答案】1a ≤-【分析】由题可得对一切实数成立，则222cos 32cos 31sin 2cos 1sin 2cos a x a x x a x a x x-≤≤+⎧⎧⇒⎨⎨+≥-≤++⎩⎩.{}22312m i n cos ,si n cos a x x x ≤+++【详解】因定义在上单调减函数使得对一切实数x 都成(],3-∞()f x ()()21sin 2cos f x f a x +≤-立，则对一切实数成立.对于，当222cos 32cos 31sin 2cos 1sin 2cos a x a x x a x a x x-≤≤+⎧⎧⇒⎨⎨+≥-≤++⎩⎩23cos x +时，其有最小值，2π+π,Z x k k =∈1故要使对一切实数成立，需；23cos a x ≤+1a ≤设， ()()222122213si n cos cos cos cos g x x x x x x =++=-++=--+则当，即时，有最小值，为， cos 1x =-2π+π,Z x k k =∈()g x 1-故要使对一切实数成立，需. 21sin 2cos a x x ≤++1a ≤-综上可知，.1a ≤-21．游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心距离地面，半径（示意图如O 40.5m 40m 下），游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，30(1)求出其与地面的距离与时间的函数关系的解析式；h t(2)若距离地面高度超过时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大205m .约有多少“最佳观景时间”？【答案】(1)；()()40sin 40.53002h t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝≥⎭(2). 40min【分析】（1）设，根据已知条件求出、、的值，可得出()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>A ωϕ函数的解析式；()h t （2）解不等式，即可得解.()20.5h t >【详解】（1）解：设，则，， ()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>40A =40.5b =所以，()()()40sin 40.50h t t ωϕω=++>第一次到最高点旋转了半周期，所以 ()260min /min 30T rad T ππω=⇒==游客从最低点登上，所以，故2πϕ=-()()40sin 40.53002h t t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝≥⎭（或）.()40cos40.530h t t π=-+()0t ≥（2）解：令，则，()20.5h t >40sin 40.520.5302t ππ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭1sin 3022t ππ⎛⎫⇒->- ⎪⎝⎭（或），1cos 302t π<所以， 72263026k t k ππππππ-+<-<+()5223303k t k k πππππ⇒+<<+∈Z ，()10605060k t k k ⇒+<<+∈Z 所以，()()5060106040min k k +-+=因此，在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有有最佳观景时间.40min 22．已知函数的图像两相邻对称轴之间的距离是.若将()()()sin 0,0πf x x b ωϕωϕ=+-><<π2的图像先向右平移为奇函()f x π6()g x 数.(1)求的解析式；()f x (2)求图像的对称轴及的单调区间；()f x ()f x(3)若对任意，恒成立，求实数m 的取值范围.0,3x π⎡⎤∈⎢⎣⎦()()()2220f x m f x m -+++≤【答案】(1)()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)对称轴为直线，，增区间为，减区间为ππ122k x =+Z k ∈()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()π7ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3) ⎛-∞ ⎝【分析】（1）由正弦函数的周期公式求得，再根据函数是奇函数求得b ，得函数的解ω()g x ()f x 析式； （2）令，，，，ππ2π32x k +=+Z k ∈πππ2π22π232k x k -+≤+≤+Z k ∈ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+，，分别求解可得答案；Z k ∈（3）根据正弦函数的性质求得再将问题转化为恒()11f x -≤-≤()()111m f x f x ≤+--成立.令，，由函数的单调性求得的范围，由此求得()1t f x =-1y t t =+1y t t=+()()111f x f x +--的范围.m 【详解】（1）解：因为，所以，所以. 2ππ22ω=⨯2ω=()()sin 2f x x b ϕ=+-又因为，()πsin 26g x x b ϕ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0πϕ<<所以且，又， ()π+32k k Z πϕπ-+=∈0b -=0πϕ<<所以，， π3ϕ=b所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）解：令，，得；ππ2π32x k +=+Z k ∈ππ,Z 122k x k =+∈令，，得； πππ2π22π232k x k -+≤+≤+Z k ∈5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈令，，得，. ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+Z k ∈π7πππ1212k x k +≤≤+Z k ∈所以函数图像的对称轴为直线，. ()f x ππ122k x =+Z k ∈函数的增区间为，减区间为. ()f x ()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()π7ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）解：因为，所以，所以，所以π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π233x ππ≤+≤π0sin 213x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭()1f x ≤≤，所以()11f x -≤-≤要使恒成立，即恒成立.()()()2220f x m f x m -+++≤()()111m f x f x ≤+--令，，则在上单调递增， ()1t f x =-1y t t =+1y t t=+()1-∞-，又，即()11f x -≤-≤(()()1111f x f x -≤+-≤-()()111f x f x ≤+-≤-所以 m ≤即m 的取值范围是. ⎛-∞ ⎝。

2021年高一下学期第一次检测数学试题 Word 版含答案一、填空题1.2.函数+2最小正周期为____________3.空间两点的距离为，则4.求过两点且圆心在直线上的圆的标准方程________5.已知圆与轴相切，则实数6.已知角的终边经过点，则7.函数的图象向右平移个单位后，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得图象的函数解析式为_____8.函数的单调减区间为______________9.函数的值域___________________10.化简11.已知直线与圆的交点关于直线对称，则12.设集合)0(},)1()1(|),{(},4|),{(22222>≤-+-=≤+=r r y x y x N y x y x M ，当，则的最小值为_________13.定义在区间上的函数的图象与的图像的交点为，过点作轴于点，直线与的图象交于点，则线段的长为___114.在平面直角坐标系中，已知圆C ： 0654)26(222=-+---+m m my x m y x ，直线经过点若对任意的实数，直线被圆C 截得的弦长都是定值，则直线的方程为_________ 二、解答题15.（本题满分14分）1.已知，（1）求的值 （2）求的值2.证明：16.（本题满分14分）：已知直线与圆C ：相交于两点，弦的中点为。

（1）实数的取值范围以及直线方程（2）若弦，求圆的方程217.（本题满分15分） 已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕϕ<>>+=w A wx A x f 的图像（如下图）所示，（1）求函数的解析式；写出函数取得最小值时的取值集合；（2）求函数的单调增区间；（3）若在上恒成立，求的取值范围18.（本题满分15分） 用一根长为10的绳索围成一个圆心角为，半径不超过2的扇形场地，设扇形的半径为，面积为。

（1）写出关于的表达式，并求出此函数的定义域（2）当半径和圆心角分别是多少时，所围成的扇形场地的面积最大，并求最大面积319.（本题满分16分）已知半径为的圆的圆心在上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切（1）求圆的方程（2）设直线与圆相交于两点，求实数的取范围（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由。

南县一中2021年下学期高一数学第一次周考 数学试题 考试时间：2021年9月28日 时量：90分钟 满分：150分 命题：彭松兵 审题：高一数学备课组一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()U M N ⋃=（ A ） A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4 2．命题：0x R ∃∈，2010x +<的否定是（ B ）A ．x R ∀∈，210x +<B ．x R ∀∈，210x +≥C ．x R ∃∉，210x +<D ．x R ∃∉，2010x +≥3．已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ D ） A ．∅ B ．S C ．ZD ．T 4．有下列四个命题： ①{0}是空集 ②集合2{|210}A x R xx =∈-+=中含有两个元素； ③若a N ∈，则a N -∉； ④集合6B x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集.其中正确命题的个数是（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要不充分条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知对于集合A 、B ，定义{|}A B x x A x B -=∈∉，且，()()A B A B B A ⊕=-⋃-.设集合{123456}M =，，，，，，集合{}45678910N =，，，，，，，则M N ⊕中元素个数为（ D ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（ B ）A ．42%B ．47%C ．55%D ．63%8．函数()2(0)g x ax a =+>，2()2f x x x =-，对{}112x x x ∀∈-≤≤，{}012x x x ∃∈-≤≤，使10()()g x f x =成立，则a 的取值范围是（ C ）A ．103a <≤B ．12a ≤<C ．102a <≤D ．13a ≥ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．给出以下几组集合，其中是相等集合的有（ BD ）A ．(){}5,3M =-，{}5,3N =-B ．{}1,3M =-，{}3,1N =-C ．M =∅，{}0N =D ．{}2320M x x x =-+=，{}2320N y y y =-+= 10．下列说法正确的是（ AB ）A ．命题“梯形的对角线相等”是全称量词命题B ．“x y ，中至少有一个小于零”是“0x y +<”的必要不充分条件C ．命题“x ∃∈R ，210x x -+=”是真命题D ．“1x ≠”是“21x ≠”的充分不必要条件11．设集合{|11A x a x a =-<<+，}x R ∈，{|15B x x =<<，}x R ∈，则下列选项中，满足A B ⋂=∅的实数a 的取值范围可以是（ CD ）A ．{|06}a aB ．{|2a a 或4}aC ．{|0}a aD ．{|8}a a12．命题“{}|13x x x ∀∈≤≤，20x a -”为真命题的一个充分不必要条件可以是( AC )A ．9a >B ．9aC ．10aD ．10a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．用列举法表示集合12|,1M m N m Z m ⎧⎫=∈∈=⎨⎬+⎩⎭________；【答案】{}0,1,2,3,5,11 14．设全集{}8,I x x x N =≤∈，{}2,8U A C B =，{}1,5,6U U C A C B =，{}3,7U C A B =，则集合A =______，B =______.【答案】{}0,2,4,8 {}0,3,4,715．已知:p 方程2210ax x ++=的解集中只含有一个元素，:1q a =，则p 是q的 .（用“充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件”作答）【答案】必要不充分条件16．已知k 为合数，且1100k <<，当k 的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为k 的“衍生质数”．（1）若k 的“衍生质数”为2，则k = ； （2）设集合()(){}|A P k P k k =为的"衍生质数"，(){}|B k P k k =为的"衍生质数"，则集合A B 中元素的个数是_____ ．【答案】20， 30．【详解】试题分析：（1）依题设()*10,k a b a N b N =+∈∈，则2a b +=，又*,a N b N ∈∈则2a =，0b =，故应填入20；（2）由（1）知“衍生质数”为2的合数有20，同理可推“衍生质数”为3的合数有12、21、30，“衍生质数”为5的合数有14、32、50，“衍生质数”为7的合数有16、25、34、52、70，“衍生质数”为11的合数有38、56、65、74、92，“衍生质数”为13的合数有49、58、76、85、94，“衍生质数”为17的合数有98，所以A 有7个元素，B 有23个元素，故应填入30．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设集合{}(3)()0x x x A a -=-=，{}(4)1()0x x x B -=-=（1）当=1a 时，求A ∩B ，A ∪B ；（2）记C =A ∪B ，若集合C 的子集有8个，求实数a 的取值集合．【解析】 (1)由集合{}(3)()0x x x A a -=-=，{}(4)1()0x x x B -=-=∴当=1a 时，A ={1,3}，B ={1,4}，∴A ∩B ={1}，A ∪B ={1,3,4} 5分(2)∵C =A ∪B ，集合C 的子集有8个，所以集合C 中有3个元素，而1,3,4∈C ，故a 的取值集合为{1,3,4}. 10分18．(12分)已知集合{}{}34,211A x x B x m x m =-≤<=-≤≤+（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.（2）命题q ：“x A ∃∈，使得x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围.．解：（1）①当B 为空集时，121,2m m m +<->成立. 2分①当B 不是空集时，①B A ⊆，12121314m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩，①12m -≤≤ 5分综上①①，1m ≥-. 6分（2）x A ∃∈，使得x B ∈，①B 为非空集合且,121,2A B m m m ≠∅+≥-≤.7分当A B =∅时2142m m -≥⎧⎨≤⎩，无解 9分 或132m m +<-⎧⎨≤⎩，4m <-， 11分 ①,[4,2]A B m ≠∅∈-. 12分19.（12分）判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，如果是，写出这些命题的否定；如果不是全称量词命题和存在量词命题，则不用写出否命题，只需判断命题真假，并给出证明.（1）有一个奇数不能被3整除.（2）方程28100x x --=的每一个根都不是奇数.（3）若1x >，则215x +>.（4）若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等.（5）若0ab ≠，则1a b +=的充要条件是2220a b ab a b ++--=.【解析】 （1）该命题是存在量词命题，该命题的否定是：所有奇数都能被3整除 2分（2）该命题是全称命题，该命题的否定是：方程28100x x --=至少有一个根是奇数 4分（3）该命题是全称量词命题该命题的否定是：存在一个实数x ，满足1x >，215x +≤. 7分（4）该命题是全称命题该命题的否定是：存在一个四边形，它为等腰梯形，但它的的对角线不相等. 9分 （5）该命题既不是全称量词命题又不是存在量词命题，该命题是假命题.证明：当2220a b ab a b ++--=时，有2b ab b +=，则2(1)b a b +=，又因为0ab ≠，可知0a ≠且0b ≠1a b +=即1a b -=-故由2220a b ab a b ++--=推不出1a b +=，由此即可判断1a b +=的充要条件是2220a b ab a b ++--=是假命题. 12分20．（12分）已知命题：“{}|11x x x ∃∈-≤<，使等式20x m -=成立”是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设集合{}2,N a x a a R a <-=∈<，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．【解析】 (1) 由题意知，方程20x m -=在11x -≤<上有解，即2m x =，易得{}|22M m m =-≤< 5分(2) 因为x N ∈是x M ∈的必要条件，所以M N ⊆ 6分当2a a ≥-时，即：1a ≥，解集为空集，不满足题意 7分 当时，即：，则222a a <-⎧⎨-≥⎩，得 2a <-，综上{}|2a a <- 12分21.（12分）已知集合{1,2,}A a =,{}2,1B a a =+(1)当1a =-时,求A B .(2)是否存在实数a ,使得{0}AB =,说明你的理由; (3)记{}2|,C y y x x A ==∈若B C ⋃中恰好有3个元素,求所有满足条件的实数a 的值.【解析】解:(1)当1a =-时,{1,2,1}A =-,{}1,0B =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-. 3分 (2)不存在实数a ,使得{0}AB =, 证明:若{0}A B =,则0{1,2,}A a ∈=,且{}20,1B a a ∈=+,所以0a =,则{1,2,0}A =,{}0,1B =，则{0,1}A B =,与{0}A B =矛盾, 故不存在实数a ,使得{0}A B =; 7分(3)因为{}2|,C y y x x A ==∈,{1,2,}A a =所以C 含有21,4,a ，{}2,1B a a =+,B C ⋃含有21,4,,1a a +， 又因为B C ⋃中恰好有3个元素,由集合元素的互异性知，1,2a a ≠≠当11a +=时,0a =, {}1,4,0B C ⋃=,当14a +=,3a =,{}1,4,9B C ⋃=,符合当21a =时，则1a =-时，{}0,1B =，{}1,4C = 符合当24a =时，易得2a =-时，{}1,4B =-，{}1,4C = ，符合所以满足条件的实数a 的值有0a =,3a =，2a =-，1a =- 12分22．（12分）已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈ （1）若集合{}1,3A =，直接写出集合S ，T .（2）若集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+ （3）若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S ，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.【解析】（1）根据题意，由{}1,3A =，则{}2,4,6S =，{}0,2T =； 4分 （2）由于集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含四个元素，即{}2131410,,,T x x x x x x =---， 剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+； 8分 （3）设{}12,,k A a a a =⋅⋅⋅满足题意，其中12k a a a <<⋅⋅⋅<，则11213223122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<⋅⋅⋅<+<+<+<⋅⋅⋅<+<， 21S k ∴≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<⋅⋅⋅<-，T k ∴≥， S T ⋂=∅，31S T S T k ⋃=+≥-，S T 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，21k S T a ∴⋃≤+，()*31214041k k a k N ∴-≤+≤∈，1347k ≤， 实际上当{}674,675,676,,2020A =⋅⋅⋅时满足题意，证明如下：设{},1,2,,2020A m m m =++⋅⋅⋅，m N ∈，则{}2,21,22,,4040S m m m =++⋅⋅⋅，{}0,1,2,,2020T m =⋅⋅⋅-，依题意有20202m m -<，即16733m >， 故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多， 即{}674,675,676,,2020A =⋅⋅⋅时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347 12分。

高一下学期数学第一次周练试题（尖子班、重点班）一选择题（共10题；共50分）1．按数列的排列规律猜想数列2468,,,3579--的第2017项是（ ）A. 20172018-B. 20172018C. 40344035D. 40344035-2．已知数列{}n a 满足()1112n n n a a +++-=，则其前100项和为（ ）A. 250B. 200C. 150D. 1003．已知等差数列{}n a 中， 163,13a a ==，则{}n a 的公差为( ) A.53B. 2C. 10D. 13 4．在等差数列{}n a 中， 11a =， 345632a a a a +++=,则72a a -=( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5．在等差数列中，若3453a a a ++=， 88a =，则12a 的值是( )A. 15B. 30C. 31D. 646．在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A. 95 B. 100 C. 135 D. 807．公差不为0的等差数列{}n a 中，已知14a =且27110a a a =⋅，其前n 项和n S 的最大值为（ ） A. 25 B. 26 C. 27 D. 288．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 9445,31n S a -==，若198n S =，则n =（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若，则13141516a a a a +++=（ ）A. 12B. 8C. 20D. 1610．(文科做）等差数列{}n a 中， 39a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是（ ） A .5 B. 6 C.5 或6 D.9 10．(理科做）设{}n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时的n 值为（ ）A. 18B. 19C. 20D. 21 •••二、填空题（共4题；共20分）第11题图 11.根据下列5个图形及相应圆圈的个数的变化规律，猜测第n 个图形中有_____个圆圈. 12．已知11a =，且111(2)n n a n a -=+≥，那么6a = _________ . 13.数列{}n a 的通项公式为错误!未找到引用源。

湖北省荆州市沙市某校高一（下）第一次周练数学试卷一．选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分；每小题的四个选项中只有一个是正确的.）1. 为了得到函数y =lgx+310的图象，只需把函数y =lg x 的图象上所有的点（ ）A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2. sin 163∘sin 223∘+sin 253∘sin 313∘等于（ ） A.−12 B.12C.−√32D.√323. 已知sin (30∘+α)=√32，则cos (60∘−α)的值为（ ） A.12 B.−12C.√32D.−√324. 下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A.y =sin x B.y =√2sin x cos x C.y =tan x2D.y =cos 4x5. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是DC 的中点，F 是EC 的中点，若AB →=a →，AC →=b →，则AF →=( )A.14a →+34b →B.14a →−34b → C.18a →+78b →D.18a →−78b →6. 设函数f(x)=a sin x −b cos x 在x =π3处有最小值−2，则常数a ，b 的值分别为( ) A.−1,√3 B.1,−√3C.√3，−1D.−√3，17. 在△ABC 中，AB =5，BC =7，AC =8，则AB →⋅BC →的值为（ ） A.79 B.69 C.5 D.−58. 函数y =√35cos 2x −35sin 2x +2的单调递减区间为（ ）A.[−π6+2kπ, π3+2kπ]，k ∈Z B.[π3+2kπ, 5π6+2kπ]，k ∈ZC.[−π6+kπ, π3+kπ]，k ∈Z D.[π3+kπ, 5π6+kπ]，k ∈Z9. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定10. 已知非零实数a ，b 满足关系式a sin π5+b cosπ5a cos π5−b sinπ5=tan 8π15，则ba 的值是（ ）A.√33B.−√33C.√3D.−√311. 在△ABC 中，若b =2√2，a =2，且三角形有解，则A 的取值范围是（ ） A.0∘<A <30∘ B.0∘<A ≤45∘ C.0∘<A <90∘ D.30∘<A <60∘12. 如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO →⋅BC →的值（ ）A.−8B.−1C.1D.8二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分.）化简求值log 2.56.25+ln (e √e)+log 2(log 216)−(116)−12=________．已知方程log 3x ＝6−x 的解所在区间为(k, k +1)(k ∈N ∗)，则k ＝________．已知y =f(x)在定义域(−1, 1)上是减函数，且f(1−a)<f(2a −1)，则a 的取值范围是________．在等腰三角形 ABC 中，已知sin A:sin B =1:2，底边BC =10，则△ABC 的周长是________．已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积S =a 2+b 2−c 24，则角C =________．函数f(x)=sin 2x +2√3cos 2x −√3，函数g(x)=m cos (2x −π6)−32m +2(m >0)，若对任意x 1∈[0, π4]，总存在x 2∈[0, π4]，使得g(x 1)=f(x 2)成立，则实数m 的取值范围是________．给出下列五个命题：①函数y =2sin (2x −π3)的一条对称轴是x =5π12；②若sin (2x 1−π4)=sin (2x 2−π4)，则x 1−x 2=kπ，其中k ∈Z ； ③正弦函数在第一象限为增函数； ④函数y =tan x 的图象关于点(π2, 0)对称．以上四个命题中正确的有________（填写正确命题前面的序号）三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）函数已知向量a →，b →的夹角为2π3，|a →|=2，|b →|=3，设m →=3a →−2b →，n →=2a →+kb →（1）若m →⊥n →，求实数k 的值；（2）是否存在实数k ，使得m → // n →，说明理由．已知函数f(x)=log a (1−x)+log a (x +3)，其中0<a <1. (1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为−4，求a的值.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π)，在同一周期内，当x=π12时，f(x)取得最大值3；当x=712π时，f(x)取得最小值−3．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)若x∈[−π3,π6]时，函数ℎ(x)=2f(x)+1−m有两个零点，求实数m的取值范围．已知向量a→=(1, cos x2)与b→=(√3sin x2+cos x2, y)共线，且有函数y=f(x)．（1）若f(x−π6)=1，x∈(0, 2π)，求x的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2a cos C+c=2b，求函数f(B)的取值范围．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若m→=(−cos A2, sin A2)，n→=(cos A2, sin A2)，a=2√3，且m→⋅n→=12．（1）若△ABC的面积S=√3，求b+c的值．（2）求b+c的取值范围．在边长为a正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD:AB的值．参考答案与试题解析湖北省荆州市沙市某校高一（下）第一次周练数学试卷一．选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分；每小题的四个选项中只有一个是正确的.）1.【答案】C【考点】函数的图象变换【解析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．【解答】=lg(x+3)−1，解：∵y=lg x+310∴只需把函数y=lg x的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度.故选C．2.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值两角和与差的三角函数【解析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．【解答】原式＝sin163∘⋅sin223∘+cos163∘cos223∘＝cos(163∘−223∘)＝cos(−60∘)=1．23.【答案】C【考点】运用诱导公式化简求值【解析】，从而可得答案．利用诱导公式可得cos(60∘−α)=sin(30∘+α)=√32【解答】，解：cos(60∘−α)=sin[90∘−(60∘−α)]=sin(30∘+α)=√32故选：C．【答案】 B【考点】三角函数的周期性及其求法 【解析】直接求出各个函数的周期，判断满足题意选项即可． 【解答】解：y =sin x 的最小正周期为2π，不满足题意；y =√2sin x cos x 的最小正周期是π，满足题意；y =tan x2的最小正周期是2π，不满足题意；y =cos 4x 的最小正周期是π2不满足题意；故选：B ． 5.【答案】 C【考点】向量加减混合运算及其几何意义 【解析】利用向量间的预算关系：CB →=AB →−AC →=a −b ，AF →=AC →+CF →=AC →+18CB →． 【解答】解：由题意可得 CB →=AB →−AC →=a −b ， ∵ D 是BC 的中点，∴ CD →=12CB →=12(a −b)，同理，CE →=12CD →=14(a −b)，CF →=12CE →=18(a −b)，∴ AF →=AC →+CF →=b +18(a −b)=18a +78b ． 故选 C ． 6.【答案】 D【考点】求两角和与差的正弦 正弦函数的定义域和值域 【解析】利用辅助角公式可将f(x)=a sin x −b cos x 转化为f(x)=√a 2+b 2(sin x −φ)，依题意可知√a 2+b 2=2，φ=5π6+2kπ，k ∈Z ，从而可求得a ，b 的值．【解答】解：∵ f(x)=a sin x −b cos x 转化为f(x)=√a 2+b 2sin (x −φ)，（其中tan φ=ba ）， ∴ 由题意知，√a 2+b 2=2，π3−φ=2mπ−π2，∴ f(x)=2sin (x −5π6)=2sin x cos (−5π6)+2cos x sin (−5π6)=−√3sin x −cos x ，∴ a =−√3，b =1． 故选D ． 7. 【答案】 D【考点】 余弦定理平面向量数量积【解析】由三角形的三边，利用余弦定理求出cos B 的值，然后利用平面向量的数量积的运算法则表示出所求向量的数量积，利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值． 【解答】解：由AB =5，BC =7，AC =8，根据余弦定理得： cos B =52+72−822×5×7=17，又|AB →|=5，|BC →|=7，则AB →⋅BC →=|AB →|⋅|BC →|cos (π−B)=−|AB →|⋅|BC →|cos B =−5×7×17=−5． 故选D 8.【答案】 C【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】运用两角和的余弦公式，注意逆用，得到y =2√35cos (2x +π3)+2．再由余弦函数的单调递减区间，令2kπ≤2x +π3≤2kπ+π，k 为整数．解出x 即可． 【解答】 解：函数y =√35cos 2x −35sin 2x +2=2√35(12cos 2x −√32sin 2x)+2 =2√35cos (2x +π3)+2．令2kπ≤2x +π3≤2kπ+π，k 为整数． 则kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k 为整数．即有单调递减区间为[kπ−π6, kπ+π3]，k ∈Z ．9.【答案】A【考点】余弦定理三角形的形状判断【解析】先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a，b，c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x，b+x，c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而(a+x)2+(b+x)2−(c+x)2=x2+2(a+b−c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦(a+x)2+(b+x)2−(c+x)22(a+x)(b+x)>0，则最大角为锐角，那么新的三角形为锐角三角形．故选A.10.【答案】C【考点】两角和与差的正切公式【解析】已知等式左边分子分母利用辅助角公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，右边角度变形，确定出θ，所求式子即为tanθ，即可求出解．【解答】解：√a2+b2sin(π5+θ)√a2+b2cos(π5+θ)=tan(π5+θ)=tan8π15=tan(π5+π3)（其中sinθ=√a2+b2，cosθ=√a2+b2），∴θ=kπ+π3，k∈Z，∴ba =tanθ=tan(kπ+π3)=tanπ3=√3．故选：C．11.【答案】B【考点】正弦定理的应用判别式△≥0，解得 cos A ≥√22，得0<A ≤45∘．【解答】解：在△ABC 中，A 为锐角，由余弦定理可得4=8+c 2−4√2c ×cos A ，即 c 2−4√2c ×cos A +4=0有解，∴ 判别式△=32cos 2A −16≥0，∴ cos A ≥√22，∴ 0<A ≤45∘，故选B ． 12. 【答案】 D【考点】平面向量数量积的运算 【解析】如图所示，过点O 作OD ⊥BC 交BC 于点D ，连接AD ．则D 为BC 的中点，OD →⋅BC →=0.AD →=12(AC →+AB →)．又AO →=AD →+DO →，BC →=AC →−AB →．即可得出AO →⋅BC →=(AD →+DO →)⋅BC →=AD →⋅BC →． 【解答】解：如图所示，过点O 作OD ⊥BC 交BC 于点D ，连接AD ．则D 为BC 的中点，OD →⋅BC →=0． ∴ AD →=12(AC →+AB →)．又AO →=AD →+DO →，BC →=AC →−AB →． ∴ AO →⋅BC →=(AD →+DO →)⋅BC →=AD →⋅BC →=12(AC →+AB →)⋅(AC →−AB →) =12(AC →2−AB →2) =12(52−32) =8．二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分.） 【答案】32【考点】对数的运算性质 【解析】利用对数和指数的性质和运算法则求解． 【解答】 解：log 2.56.25+ln (e √e)+log 2(log 216)−(116)−12=2+32+2−4=32．故答案为：32．【答案】 4【考点】函数零点的判定定理 【解析】令f(x)＝log 3x −6+x ，由f(4)<0，>0，f(4)⋅f(5)<0，可得函数f(x)的零点所在的区间为(4, 5)，由此可得k 的值． 【解答】令f(x)＝log 3x −6+x ，f(4)＝log 34−6+4＝log 34−2<0，f(5)＝log 35−6+5＝log 35−1>0，∴ f(4)⋅f(5)<0，故函数f(x)的零点所在的区间为(4, 5)，即方程log 3x ＝6−x 的解所在区间为(4, 5)，故k ＝4， 【答案】0<a <23【考点】函数单调性的性质 【解析】根据f(1−a)<f(2a −1)，严格应用函数的单调性．要注意定义域． 【解答】解：∵ f(x)在定义域(−1, 1)上是减函数， 且f(1−a)<f(2a −1)，∴ {−1<1−a <1，−1<2a −1<1，1−a >2a −1，∴ 0<a <23. 2【答案】50【考点】三角形求面积【解析】先利用正弦定理，将角的正弦之比转化为边长之比，求得AC长，从而由等腰三角形性质得AB长，最后三边相加即可得△ABC的周长【解答】解：设BC=a，AB=c，AC=b∵sin A:sin B=1:2，由正弦定理可得：a:b=1:2，∵底边BC=10，即a=10，∴b=2a=20∵三角形ABC为等腰三角形，且BC为底边，∴b=c=20∴△ABC的周长是20+20+10=50故答案为50【答案】45∘【考点】余弦定理的应用【解析】先利用余弦定理，将面积化简，再利用三角形的面积公式，可得cos C=sin C，根据C 是△ABC的内角，可求得C的值．【解答】解：由题意，S=a 2+b2−c24=2ab cos C4=ab cos C2∵S=ab sin C2∴cos C=sin C∵C是△ABC的内角∴C=45∘故答案为：45∘【答案】[0, 1]【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】由x1∈[0, π4]，x2∈[0, π4]，可求得f(x)∈[1, 2]，g(x)∈[−m+2, −12m+2]，进而由对任意x1∈[0, π4]，总存在x2∈[0, π4]，使得g(x1)=f(x2)成立，可得到关于m的不等式组，解之可求得实数m的取值范围．【解答】解：∵f(x)=sin2x+2√3cos2x−√3=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，当x∈[0, π4]，2x+π3∈[π3, 5π6]，∴ 2sin (2x +π3)∈[1, 2]，∴ f(x)∈[1, 2]，对于g(x)=m cos (2x −π6)−32m +2(m >0)，2x −π6∈[−π6, π3]， m cos (2x −π6)∈[m2, m]，∴ g(x)∈[−m +2, −12m +2]，若对任意x 1∈[0, π4]，总存在x 2∈[0, π4]，使得g(x 1)=f(x 2)成立，则−m +2≥1，−12m +2≤2，解得实数m 的取值范围是：[0, 1]， 故答案为：[0, 1] 【答案】 ①④ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】①结合图象可知，正弦函数在对称轴处取得最值，因此只需验证此时是否取得最值即可；②这实际上是函数y =sin (2x −π4)的两函数值相等时，结合y =sin x 图象可知，2x 1−π4=2x 2−π4+2kπ或2x 2−π4=π−(2x 1−π4)+2kπ，k ∈Z ；③第一象限的角不只是一个区间上的角，是多个区间的并集，故③不对； ④结合正切函数的图象观查可以判断． 【解答】解：①由图象可知，正弦函数在对称轴处取得最值，将x =5π12代入原函数得y =2sin π2=2，是最大值，故①是真命题；②结合y =sin x 图象可知，若sin (2x 1−π4)=sin (2x 2−π4)，则2x 1−π4=2x 2−π4+2kπ或2x 2−π4=π−(2x 1−π4)+2kπ，k ∈Z ，即x 1+x 2=34π+kπ，故②错； ③取第一象限的角π4<9π4，但sin π4=sin 9π4，所以③错；④结合正切函数的图象可知，该函数关于点(π2, 0)对称，故④正确．故答案为①④三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 【答案】解：（1）∵ 向量a →，b →的夹角为2π3，|a →|=2，|b →|=3，设m →=3a →−2b →，n →=2a →+kb →，m →⊥n →， ∴ m →⋅n →=(3a →−2b →)(2a →+kb →) =6a →2+(3k −4)a →⋅b →−2kb →2 =24+6(3k −4)cos 2π3−18k =0，解得k =43． （2）∵ m → // n →， ∴ 32=−2k ，解得k =−43．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平行向量的性质 【解析】（1）由已知得m →⋅n →=(3a →−2b →)(2a →+kb →)=0，由此能求出k =43． （2）由m → // n →，得32=−2k，由此能求出k ．【解答】解：（1）∵ 向量a →，b →的夹角为2π3，|a →|=2，|b →|=3， 设m →=3a →−2b →，n →=2a →+kb →，m →⊥n →， ∴ m →⋅n →=(3a →−2b →)(2a →+kb →) =6a →2+(3k −4)a →⋅b →−2kb →2 =24+6(3k −4)cos 2π3−18k =0，解得k =43． （2）∵ m → // n →， ∴ 32=−2k ，解得k =−43．【答案】解：(1)要使函数有意义，则有{1−x >0,x +3>0解得−3<x <1,∴ 函数的定义域为(−3, 1).(2)f(x)=log a (1−x)+log a (x +3)=log a (1−x)⋅(x +3)=log a [−(x +1)2+4]， ∵ x ∈(−3, 1),∴ 0<−(x +1)2+4≤4. ∵ 0<a <1,∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4， 即f(x)的最小值为log a 4， ∴ log a 4=−4，即a =√22. 【考点】对数函数的值域与最值 函数的定义域及其求法【解析】（1）根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于自变量x 的不等式组，解得函数f(x)的定义域D ；（2）利用对数的运算性质，化简函数的解析式，并根据二次函数的图象和性质，可分析出函数f(x)的最小值为−4时，a 的值 【解答】解：(1)要使函数有意义， 则有{1−x >0,x +3>0解得−3<x <1,∴ 函数的定义域为(−3, 1).(2)f(x)=log a (1−x)+log a (x +3)=log a (1−x)⋅(x +3)=log a [−(x +1)2+4]， ∵ x ∈(−3, 1),∴ 0<−(x +1)2+4≤4. ∵ 0<a <1,∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4， 即f(x)的最小值为log a 4， ∴ log a 4=−4，即a =√22. 【答案】解：(1)由题意可得A =3， 周期T2=7π12−π12=πω， ∴ ω=2．由2×π12+φ=2kπ+π2，k ∈Z ， 以及−π<φ<π， 可得 φ=π3，故函数f(x)=3sin (2x +π3).(2)由2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，解得：kπ+π12≤x≤kπ+7π12，故函数的减区间为[kπ+π12, kπ+7π12]，k∈Z.(3)∵x∈[−π3,π6]时，函数ℎ(x)=2f(x)+1−m有两个零点，故sin(2x+π3)=m−16有2个实数根．即函数y=sin(2x+π3)的图象和直线y=m−16有2个交点．再由2x+π3∈[−π3, 2π3]，结合函数y=sin(2x+π3)的图象，可得m−16∈[√32, 1)，解得m∈[3√3+1, 7)，即实数m的取值范围是[3√3+1, 7)．【考点】由函数零点求参数取值范围问题由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的单调性【解析】(1)由题意可得A＝3，根据周期T＝2(7π12−π12 )=2πω，求得ω＝2．由2×π12+φ＝2kπ+π2，k∈z，以及−π<φ<π，可得φ的值，从而求得函数的解析式．(2)由2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．(3)函数y＝sin(2x+π3)的图象和直线y=m−16在[−π3,π6]上有2个交点，再由2x+π3∈[−π3, 2π3]，y＝sin(2x+π3)的图象可得m−16∈[√32, 1)，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：(1)由题意可得A =3， 周期T2=7π12−π12=πω，∴ ω=2． 由2×π12+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，以及−π<φ<π， 可得 φ=π3，故函数f(x)=3sin (2x +π3). (2)由 2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得：kπ+π12≤x ≤kπ+7π12，故函数的减区间为[kπ+π12, kπ+7π12]，k ∈Z .(3)∵ x ∈[−π3,π6]时，函数ℎ(x)=2f(x)+1−m 有两个零点， 故 sin (2x +π3)=m−16 有2个实数根．即函数y =sin (2x +π3)的图象和直线y =m−16有2个交点．再由 2x +π3∈[−π3, 2π3]，结合函数y =sin (2x +π3)的图象， 可得m−16∈[√32, 1)， 解得 m ∈[3√3+1, 7)，即 实数m 的取值范围是[3√3+1, 7)． 【答案】解（1）∵ 向量a →=(1, cos x2)与b →=(√3sin x2+cos x2, y)共线， ∴ y =cos x2(√3sin x2+cos x2) =√32sin x +12(1+cos x)=sin (x +π6)+12，∵ f(x −π6)=1，∴ f(x)=sin x +12=1， 即sin x =12，x =π6，5π6（2）已知2a cos C +c =2b ，由正弦定理得： 2sin A cos C +sin C =2sin B =2sin (A +C)2sin A cos C +sin C =2sin A cos C +2cos A sin C∴ cos A =12，∴ 在△ABC 中∠A =π3.f(B)=sin (B +π6)+12∵ ∠A =π3∴ 0<B <2π3，π6<B +π6<5π6，∴ 12<sin (B +π6)≤1，1<f(B)≤32 ∴ 函数f(B)的取值范围为(1,32]． 【考点】 正弦定理求两角和与差的正弦 【解析】（1）通过向量共线，以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，利用f(x −π6)=1，x ∈(0, 2π)，即可求x 的值；（2）利用正弦定理化简2a cos C +c =2b ，求出A 的大小，结合B 的范围，即可求函数f(B)的取值范围． 【解答】解（1）∵ 向量a →=(1, cos x2)与b →=(√3sin x2+cos x2, y)共线， ∴ y =cos x2(√3sin x2+cos x2)=√32sin x +12(1+cos x)=sin (x +π6)+12，∵ f(x −π6)=1， ∴ f(x)=sin x +12=1， 即sin x =12，x =π6，5π6（2）已知2a cos C +c =2b ，由正弦定理得： 2sin A cos C +sin C =2sin B =2sin (A +C)2sin A cos C +sin C =2sin A cos C +2cos A sin C∴ cos A =12，∴ 在△ABC 中∠A =π3.f(B)=sin (B +π6)+12∵ ∠A =π3∴ 0<B <2π3，π6<B +π6<5π6，∴ 12<sin (B +π6)≤1，1<f(B)≤32∴ 函数f(B)的取值范围为(1,32]． 【答案】解：（1）∵ m →=(−cos A2, sin A2)，n →=(cos A2, sin A2)，且m →⋅n →=(−cos A2, sin A2)•(cos A2, sin A2)=−cos 2A2+sin 2A2=−cos A =12， 即−cos A =12，又A ∈(0, π)，∴ A =2π3…． 又由S △ABC =12bc sin A =√3，所以bc =4．由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cos 2π3=b 2+c 2+bc ，∴ 16=(b +c)2，故b +c =4．…（2）由正弦定理得：bsin B =csin C =asin A =2√3sin 2π3=4，又B +C =π−A =π3，∴ b +c =4sin B +4sin C =4sin B +4sin (π3−B)=4sin (B +π3)， ∵ 0<B <π3，则π3<B +π3<2π3，则√32<sin (B +π3)≤1， 即b +c 的取值范围是(2√3, 4]． … 【考点】解三角形 【解析】（1）利用两个向量的数量积公式求出−cos A =12，又A ∈(0, π)，可得A 的值，由三角形面积及余弦定理求得b +c 的值．（2）由正弦定理求得b +c =4sin (B +π3)，根据B +π3的范围求出sin (B +π3)的范围，即可得到b +c 的取值范围． 【解答】解：（1）∵ m →=(−cos A2, sin A2)，n →=(cos A2, sin A2)，且m →⋅n →=(−cos A 2, sin A 2)•(cos A 2, sin A 2)=−cos 2A 2+sin 2A 2=−cos A =12， 即−cos A =12，又A ∈(0, π)，∴ A =2π3…． 又由S △ABC =12bc sin A =√3，所以bc =4．由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cos 2π3=b 2+c 2+bc ，∴ 16=(b +c)2，故b +c =4．…（2）由正弦定理得：bsin B =csin C=asin A=2√3sin2π3=4，又B+C=π−A=π3，∴b+c=4sin B+4sin C=4sin B+4sin(π3−B)=4sin(B+π3)，∵0<B<π3，则π3<B+π3<2π3，则√32<sin(B+π3)≤1，即b+c的取值范围是(2√3, 4]．…【答案】解：按题意，设折叠后A点落在边BC上的P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再设AD=x，∴DP=x．在△ABC中，∠APB=180∘−∠ABP−∠BAP=120∘−θ，由正弦定理知：BPsin BAP =ABsin APB．∴BP=a sinθsin(120∘−θ)在△PBD中，DPsin DBP =BPsin BDP，所以BP=x⋅sinθsin60∘，从而a sinθsin(120∘−θ)=x sin2θsin60∘，∴x=a sinθ⋅sin60∘sin2θ⋅sin(120∘−θ)=√3a2sin(60∘+2θ)+√3．∵0∘≤θ≤60∘，∴60∘≤60∘+2θ≤180∘，∴当60∘+2θ=90∘，即θ=15∘时，sin(60∘+2θ)=1，此时x取得最小值√3a2+√3=(2√3−3)a，即AD最小，∴AD:DB=2√3−3．【考点】正弦定理的应用正弦定理【解析】设折叠后A点落在边BC上改称P点，设∠BAP=θ，由正弦定理知：BPsin BAP =ABsin APB．求出BP，在△PBD中，求出x，通过求解θ=15∘时，求解√3a2+√3的最小值，即可得到AD:DB=2√3−3．【解答】解：按题意，设折叠后A点落在边BC上的P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再设AD=x，∴DP=x．在△ABC中，∠APB=180∘−∠ABP−∠BAP=120∘−θ，由正弦定理知：BPsin BAP =ABsin APB．∴BP=a sinθsin(120∘−θ)在△PBD中，DPsin DBP =BPsin BDP，所以BP=x⋅sinθsin60∘，从而a sinθsin(120∘−θ)=x sin2θsin60∘，∴x=a sinθ⋅sin60∘sin2θ⋅sin(120∘−θ)=√3a2sin(60∘+2θ)+√3．∵0∘≤θ≤60∘，∴60∘≤60∘+2θ≤180∘，∴当60∘+2θ=90∘，即θ=15∘时，sin(60∘+2θ)=1，此时x取得最小值√3a2+√3=(2√3−3)a，即AD最小，∴AD:DB=2√3−3．。

一中2021年春季学期第一次考试高一年级数学试卷一、单项选择题：此题一共12小题，每一小题4分，一共48分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求的.1.与终边一样的角是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】终边一样的角相差了360°的整数倍，由α＝2021°+k•360°，k∈Z，令k＝﹣6，即可得解．【详解】终边一样的角相差了360°的整数倍，设与2021°角的终边一样的角是α，那么α＝2021°+k•360°，k∈Z，当k＝﹣6时，α＝﹣141°．应选：D．【点睛】此题考察终边一样的角的概念及终边一样的角的表示形式．属于根本知识的考察．2.一个扇形的面积是，它的半径是，那么该扇形圆心角的弧度数是〔〕A. B. 1 C. 2 D.【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得弧长，然后求解圆心角的弧度数即可.【详解】设扇形的弧长为，由题意可得：,那么该扇形圆心角的弧度数是.此题选择C选项.【点睛】此题主要考察扇形面积公式，弧度数的定义等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.3.假设角的终边经过点，那么的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，结合三角函数的定义求解三角函数值，然后求解两者之和即可.【详解】由三角函数的定义可得：，，那么.此题选择C选项.【点睛】此题主要考察三角函数的定义与应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.4.，那么〔〕A. B. 6 C. D.【答案】B【解析】【分析】先由诱导公式化简，然后分子分母同除转化为.【详解】解：化简所以应选：B.【点睛】此题考察了诱导公式，同角三角函数的根本关系，齐次弦化切的应用.5.点位于第二象限，那么角所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】通过点所在象限，判断三角函数的符号，推出角所在的象限．【详解】点位于第二象限，可得，，可得，，角所在的象限是第三象限．应选：C．【点睛】此题考察三角函数的符号的判断，是根底题．第一象限所有三角函数值均为正，第二象限正弦为正，其它为负，第三象限正切为正，其它为负，第四象限余弦为正，其它为负.6.，假设角的终边经过点，那么的值是〔〕A. B. C. 4 D. -4【答案】A【解析】【分析】先通过终边上点的坐标求出，然后代入分段函数中求值即可.【详解】解：因为角的终边经过点所以所以所以应选：A.【点睛】此题考察了任意角三角函数的定义，分段函数的计算求值，属于根底题.7.函数的最小正周期为，假设将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，那么的解析式为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的周期求出ω＝2，结合三角函数的平移关系进展求解即可．【详解】∵函数〔ω＞0〕的图象中，最小正周期为π，∴即周期T，那么ω＝2，那么f〔x〕＝sin〔2x〕，将函数f〔x〕的图象向右平移个单位，得到函数g〔x〕，那么g〔x〕＝sin[2〔x〕]＝sin〔2x〕＝sin2x，应选：D．【点睛】此题主要考察三角函数解析式的求解，根据周期公式求出ω的值，以及利用三角函数的平移法那么是解决此题的关键．8.函数，〔，且〕的图象是以下图中的〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】代入和判断函数值得正负即可排除选项，选出答案.【详解】解：当时，，排除B、D；当时，，排除A应选：C.【点睛】此题考察了三角函数的图像的判断，代值排除法会比拟快速.9.函数是R上的偶函数，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】是偶函数说明函数关于对称，也就是当时，函数取最大或者最小值.【详解】解：因为函数是R上的偶函数所以时，所以所以又因为所以应选：C.【点睛】此题考察了的图像与性质，属于根底题.10.化简的结果为〔〕A. －3B. －1C. 1D. 3【答案】A【解析】【分析】先由同角的根本关系化简，结合角所在的象限判断正负处理运算即可.【详解】解：因为所以原式应选：A.【点睛】此题考察了同角的根本关系，三角函数的符号的判断，属于根底题.11.同时具有性质：①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦、余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确即可.【详解】函数的最小正周期为，不满足①，排除A；函数的最小正周期为，满足①，时，获得最大值，是的一条对称轴，满足②；又时，单调递增，满足③，满足题意；函数在，即时单调递减，不满足③，排除C；时，不是最值，不是的一条对称轴，不满足②，排除D，应选B.【点睛】此题主要考察三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.12.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】分别作出两个函数的图象，根据图象的对称性求得所有交点横坐标的和．【详解】在同一坐标系内作出函数y与函数y＝3sinπx〔﹣4≤x≤2〕的图象，如下图，那么函数y的图象关于点〔﹣1，0〕对称，同时点〔﹣1，0〕也是函数y＝2sinπx〔﹣4≤x≤2〕的对称中心；由图象可知，两个函数在[﹣4，2]上一共有4个交点，且两两关于点〔﹣1，0〕对称；设对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，那么x1+x2＝2×〔﹣1〕＝﹣2，∴4个交点的横坐标之和为2×〔﹣2〕＝﹣4．应选：A．【点睛】此题主要考察了两个函数交点横坐标求和的计算问题，根据函数图象的性质，利用数形结合是解题的关键．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分13.__．【答案】-1；【分析】利用诱导公式及特殊角三角函数值求解即可.【详解】因为=故答案为-1.【点睛】此题考察了诱导公式的应用，考察了特殊角的三角函数值，属于根底题.14.，那么__．【答案】【解析】分析：先对弦化切，再代入求结果.详解：因为，所以点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑〞.(2)变名：通过变换函数名称到达减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦〞、“升幂与降幂〞等.(3)变式：根据式子的构造特征进展变形，使其更贴近某个公式或者某个期待的目的，其手法通常有：“常值代换〞、“逆用变用公式〞、“通分约分〞、“分解与组合〞、“配方与平方〞等.15.，那么__．【答案】【解析】。

县中学2021-2021学年高一数学第一次周练试题〔潜能班、特长班，无答案〕班级___________ 姓名___________ 学号___________ 总分___________一、选择题 (每一小题4分,一共40分)1．全集(}.7,5,3,1{},6,4,2{},7.6,5,4,3,2,1{ A B A U 则===B C U 〕等于 〔 〕A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C ．{2，4，5}D ．{2，5}2．设集合{}21≤≤-=x x A ，{}40≤≤=x x B ，那么=⋂B A 〔 〕A 、{}20≤≤x xB 、{}21≤≤x xC 、{}40≤≤x xD 、{}41≤≤x x3、如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，那么阴影局部所表示的集合是 〔〕 A 、 ()M P S B 、 ()M P SC 、 ()u M P C SD 、 ()u M P C S4.以下集合中，结果是空集的为〔 〕A 、{}042=-∈x R xB 、 {}39<>x x x 或C 、(){}0,22=+y x y xD 、 {}39<>x x x 且5． 假设集合A 、B 、C ，满足A B A =⋂，C C B =⋃，那么A 与C 之间的关系为〔 〕A 、B 、C 、D 、6.满足{}b a ,M {}e d c b a ,,,,的集合M 的个数为〔 〕A 、6B 、 7C 、 8D 、9.7.设集合{}21<≤-=x x M ，{}0≤-=k x x N ，假设MN M =，那么k 的取值范围〔 〕A 、21<<-kB 、2≥kC 、2>kD 、21≤≤-k8. 集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，那么m 的值是〔 〕 A ．1B ．—1C ．1或者—1D ．1或者—1或者09. 以下集合中，表示方程组的解集的是〔 〕A ．{}1,2B ．{}1,2==y xC ．(){}1,2D ．(){}2,110. 设全集{}5,4,3,2,1=U ，假设{}2=⋂Q P ，(){}4=⋂Q P C U ，()(){}5,1=⋂Q C P C U U ，那么以下结论正确的选项是〔 〕A ．Q P ∉∉33且B ．Q P ∉∈33且C ．Q P ∈∉33且D ．Q P ∈∈33且二、填空题(每一小题4分,一共16分)11. 设全集{}9,7,5,3,1=U ，{}9,5,1-=a A ，{}7,5=A C U ，那么a 的值是 . 12. 用描绘法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为__________________13. 50名学生做的物理、化学两种实验，物理实验做的正确得有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，那么这两种实验都做对的有 人.14. 集合A =｛1，2｝，B =｛x x A ⊆｝，那么集合B= .三、解答题15(8分).(){}33,1,222++++=a a a a A , 假设A ∈1, 求a 的值。

河北省保定市某校高一（下）第一次周练数学试卷一、填空题（共14小题，每小题0分，满分0分）1. 一个三角形的两个内角分别为30∘和45∘，如果45∘角所对的边长为8，那么30∘角所对的边长是________．2. 若三条线段的长分别为7，8，9，则用这三条线段组成________三角形．3. 在△ABC中，∠A．∠B．∠C的对边分别是a、b、c，若a=1，b=√3，∠A=30∘，则△ABC的面积是________．4. 在三角形ABC中，若sin A：sin B：sin C=2：3：√19，则该三角形最大内角等于________．5. 锐角三角形中，边a，b是方程x2−2√3x+2=0的两根，且c=√6则角C=________．6. 钝角三角形ABC的三边长为a，a+1，a+2(a∈N)，则a=________．7. △ABC中，a(sin B−sin C)+b(sin C−sin A)+c(sin A−sin B)=________．8. 在△ABC中，若acos A2=bcos B2=ccos C2，那么△ABC是________三角形．9. 在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，cos2A2=b+c2c，则△ABC的形状为________．10. 在△ABC中，若lgsin A−lgcos B−lgsin C=lg2，则△ABC的形状是________．11. 在△ABC中，若tan Atan B =2c−bb，则A=________．12. 海上有两个小岛A，B相距10海里，从A岛望B岛和C岛成60∘的视角，从B岛望C岛和A岛成75∘的视角，则B，C两岛之间的距离是________海里．13. 某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A处获悉后，测得该货轮在北偏东45∘方向距离为10海里的C处，并测得货轮正沿北偏东105∘的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢．我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救；则护卫舰靠近货轮所需的时间是________小时．14. △ABC中，已知a=x，b=2，B=45∘若解此三角形有两解，则x的取值范围________．二、解答题（共6小题，满分0分）在△ABC中，∠A．∠B．∠C的对边分别是a、b、c，求证：a2sin2B+b2sin2A=2ab sin C．．如图，在△ABC中，AC=2，BC=1，cos C=34（1）求AB的值；（2）求sin(2A+C)的值．2003年伊拉克战争初期，美英联军为了准确分析战场形势，有分别位于科威特和沙特的军事基地C和D测得伊拉克两支精锐部队分别在A处和B处，且的两个距离为√3a2∠ADB=30∘，∠BDC=30∘，∠DCA=60∘，∠ACB=45∘，如图所示，求伊军这两支精锐部队的距离．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且b2+c2=a2+bc．(1)求∠A的大小；(2)若a=√3，b+c=3，求b和c的值．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b sin A(Ⅰ)求B的大小；(Ⅱ)求cos A+sin C的取值范围．△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式：S＝c2−(a−b)2且a+b＝2，求面积S的最大值．参考答案与试题解析河北省保定市某校高一（下）第一次周练数学试卷一、填空题（共14小题，每小题0分，满分0分） 1.【答案】 4√2【考点】 正弦定理 【解析】设30∘角所对的边长是x ，由正弦定理可得 x 12=√22，解方程求得x 的值．【解答】解：设30∘角所对的边长是x ， 由正弦定理可得 x 12=√22，解得 x =4√2， 故答案为 4√2． 2.【答案】 锐角 【考点】 余弦定理 【解析】根据余弦定理，判断三角形的最大值对应的最大角的大小即可得到结论． 【解答】解：三角形的最大边长为9，则由余弦定理可得9对应的对角θ的余弦值为cos θ=72+82−922×7×8=27>0，则θ为锐角，即三角形为锐角三角形， 故答案为：锐角 3. 【答案】√34或√32 【考点】 正弦定理 【解析】根据正弦定理，求出角B 的大小，结合三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵ 若a =1，b =√3，∠A =30∘， ∴ 由正弦定理得asin A =bsin B ， 即1sin 30∘=√3sin B ，即sin B =√32，则B =60∘或120∘，则C=90∘或30∘，若C=90∘，则△ABC的面积S=12ab=12×1×√3=√32，若C=30∘，则△ABC的面积S=12ab sin C=12×1×√3×12=√34，故答案为：√34或√32．4.【答案】120∘【考点】余弦定理正弦定理【解析】根据正弦定理化简已知的比例式得到a:b:c的比值，根据比例设出a，b及c，然后根据大边对大角判断得到C为最大角，然后利用余弦定理表示出cos C，把设出的a，b及c代入即可求出cos C的值，由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出最大角C的度数．【解答】解：由正弦定理asin A =bsin B=csin C，得到a:b:c=sin A：sin B：sin C=2：3：√19，故a=2k，b=3k，c=√19k，根据余弦定理cos C=a 2+b2−c22ab得：cos C=4k2+9k2−19k212k2=−12，又C∈(0, 180∘)，∴C=120∘，则该三角形最大内角等于120∘．故答案为：120∘5.【答案】60∘【考点】余弦定理【解析】利用一元二次方程的根与系数的关系、余弦定理即可得出．【解答】解：边a，b是方程x2−2√3x+2=0的两根，∴a+b=2√3，ab=2．∴cos C=a2+b2−c22ab =(a+b)2−2ab−c22ab=12−4−62×2=12，∵△ABC是锐角三角形，∴C=60∘．故答案为：60∘．6.【答案】2【解析】由于a+2>a+1>a，△ABC为钝角三角形，可知；边a+2所对的角是钝角，设为A．l利用余弦定理可得：cos A=a2+(a+1)2−(a+2)22a(a+1)<0，再利用组成三角形三边的大小关系即可得出．【解答】解：由a+(a+1)>a+2，解得a>1．∵a+2>a+1>a，△ABC为钝角三角形，∴边a+2所对的角是钝角，设为A．则cos A=a 2+(a+1)2−(a+2)22a(a+1)<0，解得−1<a<3，又∵a∈N，a>1．∴a=2．故答案为：2．7.【答案】【考点】正弦定理【解析】直接利用正弦定理a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C代入即可求值【解答】解：a(sin B−sin C)+b(sin C−sin A)+c(sin A−sin B)=2R sin A sin B−2R sin A sin C+2R sin B sin C−2R sin B sin A+2R sin C sin A−2R sin C sin B =0故答案为：08.【答案】等边【考点】正弦定理【解析】根据正弦定理以及正弦函数的倍角公式即可得到结论．【解答】解：根据正弦定理可得sin Acos A2=sin Bcos B2=sin Ccos C2，即2sin A2cos A2cos A2=2sinB2cos B2cos B2=2sinC2cos C2cos C2，即sin A2=sin B2=sin C2，则A2=B2=C2，即A=B=C，则三角形为等边三角形，故答案为：等边．9.【考点】余弦定理【解析】由cos2A2=b+c2c，利用倍角公式可得1+cos A2=b+c2c，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵cos2A2=b+c2c，∴1+cos A2=b+c2c，∴c(1+b2+c2−a22bc)=b+c，化为b2+a2=c2．∴C=90∘．∴△ABC的形状为直角三角形．10.【答案】等腰三角形【考点】两角和与差的正弦公式对数的运算性质【解析】利用对数函数的运算法则，对原式整理；利用两角和公式进一步化简求得sin B cos C= cos B sin C，进而利用同角三角函数关系推断出tan B=tan C，得出B=C的结论．【解答】解：∵lgsin A−lgcos B−lgsin C=lg sin Acos B⋅sin C=lg2，∴sin Acos B⋅sin C=2，即sin A=2cos B sin C，∵sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C，∴sin B cos C+cos B sin C=2cos B sin C，∴sin B cos C=cos B sin C∴sin Bcos B =sin Ccos C，即tan B=tan C，∴B=C，∴△ABC的形状是等腰三角形．故答案为：等腰三角形．11.【答案】60∘【考点】正弦定理三角函数中的恒等变换应用【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、正弦定理求得cos A=12，求得A的值．【解答】解：∵在△ABC中，若tan Atan B =2c−bb，根据正弦定理得sin A cos Bcos A sin B=2sin C−sin Bsin B．化简可得sin A cos B+sin B cos A=2sin C cos A，∴sin(A+B)=2sin C cos A，∴sin C=2sin C cos A，∴cos A=12，∴A=60∘，故答案为：60∘．12.【答案】5√6【考点】解三角形的实际应用【解析】先根据∠A和∠B求出∠C，进而根据正弦定理求得BC．【解答】解：∠C=180∘−60∘−75∘=45∘根据正弦定理得BCsin A =ABsin C，∴BC=ABsin Csin A=√22√32=5√6，故答案为：5√613.【答案】23【考点】解三角形的实际应用【解析】可先根据题意，画出图形，得出∠ACB=120∘，已知了海军护卫舰和货轮的速度，可设时间，并用时间表示出AB，BC的长，已知了AC的长为10，可根据余弦定理来求出时间的值．【解答】解：(1)设靠近渔船所需的时间为t小时，那么AB=21t（海里），BC=9t（海里）．根据余弦定理可得：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cos120∘即(21t)2=100+(9t)2−2×10×9t×(−12)化简得：36t2−9t−10=0解得：t=23或t=−512（不合题意舍去）故答案为：23．14.【答案】2<x<2√2【考点】解三角形【解析】利用余弦定理，构建方程，根据解此三角形有两解，可得方程有两个不等的正根，从而可求x的取值范围【解答】解：由余弦定理可得：4=c2+x2−2cx×cos45∘，∴c2−√2xc+x2−4=0，∵解此三角形有两解，∴方程有两个不等的正根，∴Δ=2x2−4(x2−4)>0，且x2−4>0，√2x>0，∴x2−8<0，且x2−4>0，x>0，∴2<x<2√2.故答案为：2<x<2√2.二、解答题（共6小题，满分0分）【答案】证明：在△ABC中，由正弦定理可得asin A =bsin B=csin C=2R，可得a2sin2B+b2sin2A=2R2(2sin22A sin2B+2sin2B sin2A)=2R2[2(1−cos2A)sin2B+(1−cos2A)sin2A]=2R2[sin2B+sin2A−(sin2B cos2A+cos2B sin2A)]=2R2[sin2B+sin2A−sin(2A+2B)]=2R2[2sin(A+B)cos(A−B)−2sin(A+B)cos(A+B)]=4R2sin(A+B)[cos(A−B)−cos(A+B)]=4R2sin(A+B)[2sin A sin B]=8R2sin A sin B sin C=2ab sin C，故原题得证．【考点】正弦定理【解析】由条件利用正弦定理、三角恒等变换化简等式的左边为8R2sin A sin B sin C，利用正弦定理化简等式的右边也等于8R2sin A sin B sin C，从而得出结论．【解答】证明：在△ABC中，由正弦定理可得asin A =bsin B=csin C=2R，可得a2sin2B+b2sin2A=2R2(2sin22A sin2B+2sin2B sin2A)=2R2[2(1−cos2A)sin2B+(1−cos2A)sin2A]=2R2[sin2B+sin2A−(sin2B cos2A+cos2B sin2A)]=2R2[sin2B+sin2A−sin(2A+2B)]=2R2[2sin(A+B)cos(A−B)−2sin(A+B)cos(A+B)]=4R2sin(A+B)[cos(A−B)−cos(A+B)]=4R2sin(A+B)[2sin A sin B]=8R2sin A sin B sin C=2ab sin C，故原题得证．【答案】解：（1）由余弦定理，AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cos C=4+1−2×2×1×34=2．那么，AB=√2（2）解：由cos C=34，且0<C<π，得sin C=√1−cos2C=√74．由正弦定理，ABsin C=BCsin A，解得sin A=BC sin CAB =√148．所以，cos A=5√28．由倍角公式sin2A=2sin A⋅cos A=5√716，且cos2A=1−2sin2A=916，故sin(2A+C)=sin2A cos C+cos2A sin C=3√78．【考点】余弦定理求两角和与差的正弦求二倍角的余弦【解析】（1）利用余弦定理把AC=2，BC=1，cos C=34．即可求得AB．（2）由cos C求得sin C，在由正弦定理求得sin A，进而根据同角三角函数的基本关系求得cos A，用倍角公式求得sin2A和cos2A，进而利用两角和公式求得答案．【解答】解：（1）由余弦定理，AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cos C=4+1−2×2×1×34= 2．那么，AB=√2（2）解：由cos C=34，且0<C<π，得sin C=√1−cos2C=√74．由正弦定理，ABsin C=BCsin A，解得sin A=BC sin CAB =√148．所以，cos A=5√28．由倍角公式sin2A=2sin A⋅cos A=5√716，且cos2A=1−2sin2A=916，故sin(2A+C)=sin2A cos C+cos2A sin C=3√78．【答案】解：在△BCD中，DC=√3a2，∠DBC=180∘−30∘−60∘−45∘=45∘，∠BDC=30∘，∴√32asin45∘=BCsin30∘，∴BC=√64a在等边三角形ACD中，AC=AD=CD=√3a2在△ABC中，AC=√3a2，BC=√64a，∠ACB=45∘∴AB2=34a2+38a2−2⋅√3a2⋅√64a⋅cos45∘=38a2，∴AB=√64a．【考点】解三角形的实际应用【解析】先在△BCD中，求得BC的长，再求得AC的长，最后在△ABC中利用余弦定理，即可求得AB的长，从而可得结论．【解答】解：在△BCD中，DC=√3a2，∠DBC=180∘−30∘−60∘−45∘=45∘，∠BDC=30∘，∴√32asin45∘=BCsin30∘，∴BC=√64a在等边三角形ACD中，AC=AD=CD=√3a2在△ABC中，AC=√3a2，BC=√64a，∠ACB=45∘∴AB2=34a2+38a2−2⋅√3a2⋅√64a⋅cos45∘=38a2，∴AB=√64a．【答案】解：(1)∵△ABC中，b2+c2=a2+bc∴根据余弦定理，得cos A=b2+c2−a22bc =12∵A∈(0, π)，∴A=π3．(2)由(1)得b2+c2−bc=a2=3，配方可得(b +c)2−3bc =3.∵ b +c =3，∴ 32−3bc =3，可得bc =2， 由{b +c =3bc =2，解得{b =2c =1或{b =1c =2.【考点】 余弦定理 【解析】(1)根据题中等式，结合余弦定理算出cos A =12，而A ∈(0, π)，可得A =π3．(2)由a =√3和b 2+c 2=a 2+bc ，配方得(b +c)2−3bc =3，结合b +c =3算出bc =2，再联解的方程组，即可得到b 和c 的值． 【解答】解：(1)∵ △ABC 中，b 2+c 2=a 2+bc ∴ 根据余弦定理，得cos A =b 2+c 2−a 22bc=12∵ A ∈(0, π)，∴ A =π3．(2)由(1)得b 2+c 2−bc =a 2=3， 配方可得(b +c)2−3bc =3.∵ b +c =3，∴ 32−3bc =3，可得bc =2， 由{b +c =3bc =2，解得{b =2c =1或{b =1c =2.【答案】（1）由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ， 所以sin B =12，由△ABC 为锐角三角形得B =π6．(2)cos A +sin C =cos A +sin (π−π6−A)=cos A +sin (π6+A)=cos A +12cos A +√32sin A =√3sin (A +π3)．由△ABC 为锐角三角形知，0<A <π2，0<5π6−A <π2，∴ π3<A <π2，2π3<A +π3<5π6，所以12<sin (A +π3)<√32． 由此有√32<√3sin (A +π3)<32，所以，cos A +sin C 的取值范围为(√32, 32)． 【考点】正弦定理正弦函数的定义域和值域【解析】（1）先利用正弦定理求得sin B的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cos A+sin C中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cos A+sin C的取值范围．【解答】（1）由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B=12，由△ABC为锐角三角形得B=π6．(2)cos A+sin C=cos A+sin(π−π6−A)=cos A+sin(π6+A)=cos A+12cos A+√3 2sin A=√3sin(A+π3)．由△ABC为锐角三角形知，0<A<π2，0<5π6−A<π2，∴π3<A<π2，2π3<A+π3<5π6，所以12<sin(A+π3)<√32．由此有√32<√3sin(A+π3)<32，所以，cos A+sin C的取值范围为(√32, 32 )．【答案】由余弦定理c2＝a2+b2−2ab cos C及面积公式S=12ab sin C代入条件得S＝c2−(a−b)2＝a2+b2−2ab cos C−(a−b)2，即12ab sin C＝2ab(1−cos C)，∴1−cos Csin C =14，令1−cos C＝k，sin C＝4k(k>0)由(1−k)2+(4k)2＝cos2C+sin2C＝1，得k=217，∴sin C＝4k=817∵a>0，b>0，且a+b＝2，∴S=12ab sin C=417ab≤417⋅(a+b2)2=417，当且仅当a＝b＝1时，S max=417．【考点】余弦定理【解析】利用余弦定理及三角形的面积公式化简S＝c2−(a−b)2后，利用同角三角函数间的基本关系求出sin C的值，然后根据a+b＝2，利用基本不等式即可求出面积S的最大值．【解答】由余弦定理c2＝a2+b2−2ab cos C及面积公式S=12ab sin C代入条件得S＝c2−(a−b)2＝a2+b2−2ab cos C−(a−b)2，即12ab sin C＝2ab(1−cos C)，∴1−cos Csin C =14，令1−cos C＝k，sin C＝4k(k>0)由(1−k)2+(4k)2＝cos2C+sin2C＝1，得k=217，∴sin C＝4k=817∵a>0，b>0，且a+b＝2，∴S=12ab sin C=417ab≤417⋅(a+b2)2=417，当且仅当a＝b＝1时，S max=417．。