爱智康2017七年级尖子班春季讲义第1讲平行线动点问题

平行线常用辅助线及模型模块一 平行线四大模型 知识点睛 （1）燕尾型如图，已知：AB ∥CD ,求证：∠B +∠D =∠BEDAC（2）铅笔型如图，已知：AB ∥CD ,求证：∠B +∠D +∠BED =360°AEC（3）犀牛角型已知：如图，已知：AB ∥CD ,求证：∠BED =∠B -∠DAEC（4）锄头型已知：如图，已知：AB ∥CD ,求证：∠BED =∠B -∠D 平行线中辅助线总结：逢“拐点”作平行 典型例题ACD【例1】（1）如下图，已知AB ∥CD ，∠ABF ＝∠DCE ，证明: ∠BFE ＝∠FECACD（2） 如下图，已知AB ∥CD ，求证: ∠B +∠E +∠D =360°A EB（3）如图，AB ∥CD ∥EF ，CG 平分∠ACE , ∠A =140°, ∠E =110°则∠DCG =CD【例2】已知：如图，AB ∥CD ，试解决下列问题: （1）∠1+∠2 = ；（2）∠1+∠2 +∠3= ；（3）∠1+∠2 +∠3+∠4= ；（4）试探究∠1+∠2 +∠3+∠4+...+∠n = ；F E【例3】（1）直线AB ∥CD ，∠D =23°，∠B =42°，则∠E =（ ） A ．23 ° B ．42 ° C ．65° D ．19°DBC（2）如图：AB ∥CD ，那么∠A 、∠P 、∠C 的数量关系是（ ）A ．∠A +∠P +∠C =90 °B ．∠A +∠P +∠C =180 ° C ．∠A +∠P +∠C =360 °D ．∠P +∠C =∠ADPB（3）如图，已知：AB ∥CD ，CE 分别交AB 、CD 于点F 、C ，若∠E =20 ° ，∠C =45 ° ，则∠A 的度数为（ ） A ．5 ° B ．15 ° C ．25° D ．35°BC【巩固提高】（1）已知：如图，AB ∥EF ，BC ⊥CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系是（ ） A ．∠β=∠α+∠γ B ．∠α+∠β+∠γ=180 ° C ．∠α+∠β-∠γ=90 ° D ．∠γ+∠β-∠α=90 °FBE（2）已知AB ∥CD ，∠ABE =120°，∠C =25°则∠1的度数为（ ） A ．60 ° B ．75 ° C ．85° D ．80°A（3）如图，AB ∥CD ，BF 平分∠ABE ，且BF ∥DE ，试探究：∠ABE 与∠D 之间的数量关系，并证明A能力提升 【例4】如图，一条河流的某段河水流向经B 、C 、D 三点拐弯后与原来方向相同，若∠BED =120°，∠ABE =80°，则∠CDF 的度数为A【例5】问题：已知线段AB ∥CD ，在AB 、CD 间取一点P （P 点不在直线AC 上），连接P A 、PC ，试探究∠APC 与∠A 、∠C 之间的关系 （1）端点A 、C 同向:如图1，点P 在直线AC 右侧时，∠APC -(∠A +∠C )= 度 如图2，点P 在直线AC 左侧时，∠APC +(∠A +∠C )= 度（1）端点A 、C 反向:如图3，点P 在直线AC 右侧时，∠APC 与(∠A -∠C )有怎样的关系，写出结论并证明 如图4，点P 在直线AC 左侧时，∠APC -(∠A -∠C )= 度【例6】如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，（1）如图1，若∠E =80°，求∠BFD的度数EC（2）如图2，若∠ABM =13∠ABF，∠CDM =13∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论.EC（3）若∠ABM =1n∠ABF，∠CDM =1n∠CDF，设∠E=m°，直接用n，m的代数式写出∠M=EC【例7】如图，已知直线EF ∥MN ，点A 、B 分别为EF 、AB 上的动点，且∠ACB =90°,BD 平分∠BCN 交EF 于D（1） 若∠CAD =120°,如图1，求∠MBC 的度数； （2） 在（1）的条件下，如图1，求∠EAC 的度数；（3） 延长AC 交直线MN 于G ，如图2，GH 平分∠AGB 交BD 于H ，问∠GHB 是否为定值，若是，请求值；若不是，说明理由M FGD【习题1】填空并在后面的括号中填理由如图AB ∥DE ,试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系 解：∠B +∠E =∠BCE理由：过点C 作CF ∥AB （ ） 则∠B =∠ （ ） 又∵AB ∥DE ，CF ∥AB∴ （ ） ∴∠E =∠ （ ） ∴∠B +∠E =∠1+∠2 （ ） 即∠B +∠E =∠BCEAD【习题2】已知：如图∠BAP +∠APD =180°，∠1=∠2，求证：∠E =∠FDFBC【习题3】如图：已知AB ∥CD ，∠B=40°，∠E =30°，求∠D 的度数C【习题4】如图：已知AB ∥DE ，∠ABC=70°，∠CDE =140°，求∠BCD 的度数A【习题5】如图：已知AB ∥CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，求∠F : ∠E =CA D【习题6】三个正方形连成如图的图形，则x=【习题7】如图：已知AB ∥DE ，∠BEF =70°，求∠ABE +∠EFC +∠FCD 的度数CEA D【习题8】下列各图中MA 1与NA n 平行（1）图①中的∠A 1+∠A 2= 度，图②中的∠A 1+∠A 2+∠+∠A 3= 度图③中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4= 度，图④中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4+∠A ５= 度 第⑩个图中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A 10= 度（2）第n 个图中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A n = 度.NMA 32A 2M1N M1NN1MA 2A 3A 4平行线综合题做题原则：（1）大胆设未知数：①关系较多；②数量较小（2）找条件等量关系：①利用题目里的所有已知条件②归纳总结，引用前几问的结论③注意整体思想（3）逢拐点作平行典型例题【例1】已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC，（1）如图①，若∠A=20º，∠C=40º，则∠AEC=（2）如图②，若∠A=xº，∠C=yº，则∠AEC=（4）如图③，若∠A=a，∠C=β，则α，β，∠AEC之间有何等量关系，说明理由。

平行线的判定与性质模块一 知识点睛如图所示，直线a 与直线b 只有一个公共点，称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线.相交线的性质：两直线相交只有一个交点.交点个数结论：同一平面内的n 条直线两两相交，其中无三线共点，则可得)1(21-n n 个交点. 典型例题【例1】判断正误：（1）两条直线相交不可能有两个交点（ ） （2）三条直线两两相交有三个交点（ ）（3）在同一平面内的三条直线的交点个数可能为0，1，2，3.（ ） （4）同一平面内的n 条直线两两相交，其中无三线共点，则可得)1(21-n n 个交点（ ）模块二 知识点睛 1、邻补角如图中，∠1和∠3，∠1和∠4，∠2和∠3，∠2和∠4互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。

2、对顶角（1）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角，如图中，∠1和∠2，∠3和∠4是对顶角。

（2）对顶角的性质：对顶角相等。

典型例题（2）【例2】（1）下列四个命题：（3）①如果两个角是对顶角，则这两个角相等．（4）②如果两个角相等，则这两个角是对顶角．（5）③如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等．（6）④如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角．（7）其中正确的命题有（）（8）A．1个B．2个C．3个D．4个（9）下列说法中正确的有（）①一个角的邻补角只有一个；②一个角的补角必大于这个角；③若两个互补，则这两个角一定是一个锐角、一个钝角；④互余的两个角一定都是锐角。

A.0个B.1个C.2个D.3个【例3】下列四个图中，∠ 与∠β成邻补角的是（）【例4】如图所示，直线a、b、c两两相交，∠1=2∠3，∠2=65°，求∠4的度数。

能力提升【例5】（1）如图所示，直线AB，CD相较于点O，若∠1-∠2=70°，则∠BCD= ，∠2= .（2）（3）如图，直线AB，CD相较于点O，若∠1：∠2=1：4，则∠1= ，∠3=模块三三线八角知识点睛同位角、内错角、同旁内角的感念：①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁）叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，（即分别在第三条直线的两旁），这样的一对角叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角.③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.【例6图】典型例题【例6】如图，填空：①∠1与∠2是两条直线与被第三条直线所截构成的角.②∠1与∠3是两条直线与被第三条直线所截构成的角.③∠2与∠4是两条直线与被第三条直线所截构成的角.④∠3与∠4是两条直线与被第三条直线所截构成的角.⑤∠5与∠6是两条直线与被第三条直线所截构成的角.【例7】如图，判断下列各对角的位子关系：（1）∠1与∠4；（2）∠2与∠6；（3）∠5与∠8；（4）∠4与∠BCD；（5）∠3与∠5【例8】如下图，图中与∠1成同位角的个数是（）A、2B、3C、4D、5巅峰冲刺【例9】用数字标出图中与∠1是同位角的所有角.模块四两条直线的位子关系知识点睛在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：（1）相交；（2）平行。

学科教师辅导讲义学员学校： 年 级： 七年级 课时数： 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：课 题平行线考点及考试要求1.知道平行线的定义2.会画平行线3.掌握平行线的基本性质4.理解并掌握平行线的判定定理第四节 平行线的判定知识点1.平行线：在同一平面内，__________的两条直线叫做平行线。

2.在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：__________。

相交时，对顶角相等。

3.平行线的判定：（1）同位角__________，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线__________。

（3）同旁内角__________，两直线平行。

（4）平行（或垂直）于同一直线的两直线__________。

热身练习1、平行线的判定方法① 文字表述： 几何语言：∵∴② 文字表述：几何语言：∵∴③ 文字表述： 几何语言：∵∴b ac 43212、 如图，(1) ∵∠1 = ∠D (已知)∴ ∥ ( ) (2) ∵∠B = (已知)∴AB ∥DC ( )3、 如图，∵∠1 = ∠4 (已知)∴ ∥ ( )∵∠2 = ∠3 (已知)∴ ∥ ( )∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD (已知)∴ ∥ ( ) 4、 如图，∵∠1 = ∠B (已知)∴ ∥ ( ) ∵∠1 = ∠2 ( )∠1 + ∠E = 180°(已知)∴∠2 + ∠E = 180°( )∴ ∥ ( )答案：1、①同位角相等，两直线平行； ∠1=∠2； a ∥b 。

②内错角相等，两直线平行；∠2=∠3； a ∥b 。

③同位角相等，两直线平行；∠2=∠4； a ∥b 。

名题精解1EC BDA4321FE A B D C 12C BDE FA1.如图，已知∠ABC +∠BCD +∠EDC = 360°，求证：AB ∥ED2如图，已知∠AEB = ∠CFD ，求证：BE ∥DF3.如图，已知∠2 = ∠3 = 90°，∠1 +∠2 = 180°，求证：AB ∥GD证明：略第五节 平行线的性质知识点平行线的性质：（1）经过直线外一点，有且只有________条直线与这条直线平行。

模块三 三角形四边形中角平分线与平行结合知识精讲解题思路：出现各种角平分线与等角时，大胆将等角设成未知数a 或 ，再进行倒角计算典型例题【例2】如图，△ABC ，∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点E 、D ，若∠1=130°， ∠2=110°，求∠A 的度数.21E DCBA【巩固】如图2，△ABC ，∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点D 、E ，若∠1=110°， ∠2=130°，求∠A 的度数.E D CBA12【例3】已知：如图，DE ∥BC ，∠AED =80°，CD 平分∠ACB ，求∠EDC 的度数.ED CB A【巩固】已知，如图AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥CA 交AB 于点E ，DF ∥BA 交AC 于点F ，试问∠1=∠2吗？为什么？12FECBA【例4】如图1，AB 、CD 是两条射线，P 为夹在这两条射线之间的一点，连P A 和PC ，作∠P AB 和∠PCD 的平分线相交于点Q ，图1Q P DCBA（1）旋转射线AB ，使AB ∥CD ，并调整点P 的位置，使∠APC =180°，如图2，请直接写出∠Q 的度数.图2（2）当AB ∥CD 时，再调整点P 的位置如图3，猜想并证明∠Q 与∠P 有何等量关系；图3QP DCBA（3）如图4，若射线AB ，CD 交于一点R ，其他条件不变，猜想∠P 、∠Q 和∠R 这三个角之间满足什么样的等量关系？图4RQP DCBA【巩固】我们知道，由平行线可得出“同位角相等”，“内错角相等”等结论，因此，在几何证明中，我们往往可以通过添加平行线得到一些相等的角.（1）如图1，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，请你猜想∠ACD 与∠A ， ∠B 之间的数量关系，并请你在图中通过添加平行线的方法，证明你的猜想.图1BA（2）如图2，四边形ABCD 为一个凹四边形，请你利用（1）中你猜想的结论，求证：∠BDC =∠A +∠B +∠C ；图2DCBA（3）如图c ，已知BE 平分∠ABD ，CF 平分∠ACD ，BE 与CF 相交于点P ，当∠BDC =130°，∠BAC =60°时，求∠EPC 的度数.图3P FEDCBA模块四 平行线与四边形典型例题一、长方形折叠问题【例5】（1）如图，一张长方形纸条AEFG 沿CD 折叠，若∠ABC =120°，求∠CDB 的度数.GFEDCB A（2）如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，C 点落在C ′处，D 点落在D ′处，ED ′交BC 于点G ，已知∠EFG =50°，试求∠DEG 与∠BGD ′的度数.C'D'G FEDCBA【巩固】如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 与点B 重合，点C 落在点M ，如果∠EFB =66°，求∠EBF 及∠DEF 的度数.MFEDCBA【变式】将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，求证：∠1+∠2=90°.21M H GFEDCB二、平行线与梯形【例6】如图，已知AD ∥BC ，∠DBC 与∠C 互余，BD 平分∠ABC ，∠A =112°， （1）求∠ABC 的度数； （2）求∠C 的度数；DCB A【巩固】如图，已知AD ∥BC ，EF ∥AD ，AG 平分∠BAD ，∠AGB =90°，请问BG 平分∠BAC 吗？说明理由.GF E D CBA【变式】如图，AD ∥BC ，∠D =96°，∠A =104°，BE 、CE 分别是∠ABC 和∠BCD 的角平分线，求∠BEC 的度数.EDBA三、平行线与多边形【例7】如图，已知CD ∥AF ，∠CDE =∠BAF ，AB ⊥BC ，∠C =124°，∠E =80°，求∠F 的大小.FEDCBA【巩固】如图，五边形ABCDE 中，BC ∥DE ，∠C =∠E ， （1）猜想AE 与CD 之间的位置关系，并说明理由.（2）如图2，延长AB 至F ，连接BD ，若∠1=∠2， ∠CBF =2∠3，求证：∠CBA =∠E .321图2图1FEDCBAEDCBA模块五 平行线与面积典型例题【例8】如图，AB ∥CD ，BC ⊥AB ，若AB =4cm ，S △ABC =12cm 2，求△ABD 中AB 边上的高.DCBA【巩固】如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ， （1）△ABC 与△DBC 的面积相等吗？为什么？ （2）若S △AOB =21cm 2，求S △COD ；（3）若S △AOD =10cm 2，且BO :OD =2:1，求S △ABD .ODCBA【变式】如图所示，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE =7，BD =3，△ABD 的面积为12，求△ACE 的面积.CD BEA【变式】如图，一块草地的中间有一条宽度不变的弯路，AC ∥BD ，CE ∥EF ，请给出一种方案，把道路改直，且草地的种植面积保持不变.FE D C【例9】先观察图1，直线l 1∥l 2，点A ，B 在直线l 2上，点C 1，C 2，C 3，C 4在直线l 1上，△ABC 1，△ABC 2，△ABC 3，△ABC 4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由. 现在我们来探讨以下问题：（1）若把图2的四边形ABCD 改成一个三角形，并保持面积不变，可怎样改？你有多少种不同的改法？ （2）已知四边形ABCD （如图2），若把它改成一个以AB 为一条底边的梯形或平行四边形，并保持面积不变，可怎样改？请画图说明.图1图2DCBAC 4C 3C 2C 1BAl 2l 1模块六 真题链接【2014--2015二中广雅期中】将一直角三角板与两边平行的纸条如图所置，若∠1：∠2=3：2，则∠3的度数是（ ）°A .100°B .120°C .130°D .144°321【2015--2016武昌区期中】通过添加平行线，可以得到一些相等的角（1）如图1，在三角形ABC 中，D 是BC 延长线上一点，过点A 作AE ∥BC ，则可得到哪些相等的角？∠ ACD 与∠BAC 、∠B 三者之间有何数量关系？（直接回答结论，不写理由）（2）如图2，若BD 、CD 分别平分∠ABC ， ∠ACE ，请你通过 添加平行线的方法说明∠D =12∠A 的理由（3）如图，设BP 平分∠ABE ，CP 平分∠ACE ，若∠A =70°，∠E =20°，则∠BPC 的度数是 （直接填写结果）图3图1图2ABDEABDE PED CBA【题1】如图，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B =70°，∠ACB =60°，求∠EDC 和∠BDC 的度数.ED CBA【题2】已知，如图AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥CA 交AB 于点E ，DF ∥BA 交AC 于点F ，试问∠1=∠2吗？为什么？12FECBA【题3】已知如图，点A ，B ，C 在一条直线上，AD ∥BE ，∠1=∠2，求证：∠A =∠E .12EDCBA【题4】如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE 平分∠ADB ，∠BDC =∠BCD ， （1）求证：∠1+∠2=90°；（2）若∠ABD 的平分线与CD 的延长线交于F ，且∠F =55°，求∠ABC .12EEDCB A E DBA。

第2讲平行线知识点1 平行公理及推论1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【典例】例1 （2020春•焦作期末）下列说法中正确的个数有()①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④两条直线相交，对顶角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【方法总结】本题主要考查了平行公理，垂线的性质以及垂线段的性质，对顶角的性质，解题时注意：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．【随堂练习】1．（2019春•邱县期末）下列语句：①不相交的两条直线叫平行线②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行正确的个数是()A．1B．2C．3D．42．（2019春•余姚市期末）已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是()A．如果//b a，//b cc a，那么//⊥B．如果//a b，a c⊥，那么b cC．如果b a⊥，c ab c⊥，那么//⊥D．如果b a⊥，c a⊥，那么b c知识点2 平行线的判定1. 平行线的判定方法：判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.【典例】例1 （2020春•三门峡期末）如图，CE DG∠=︒．试⊥，垂足为C，50ACEBAF∠=︒，140判断CD和AB的位置关系，并说明理由．【方法总结】本题考查平行线的判定，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．例2 （2020春•渭滨区期末）如图，已知30BCDAB DE．∠=︒，50∠=︒，试说明//B∠=︒，20D【方法总结】此题主要考查了平行线的判定，正确作出辅助线是解题关键．【随堂练习】1．（2020春•伊通县期末）已知：如图，12180a b．∠+∠=︒，求证：//2．（2020秋•官渡区校级月考）如图，点E在直线BH、DC之间，点A为BH上一点，且∠=︒-∠．求证：//BH CD．⊥，90ECG HAEAE CE知识点3 平行线的性质平行线的性质：性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.【典例】例1 （2020秋•肇州县期末）如图，将一张上、下两边平行（即//)AB CD的纸带沿直线MN 折叠，EF为折痕．（1）试说明12∠=∠；（2）已知240∠的度数．∠=︒，求BEF【方法总结】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．例2 （2020秋•安徽期中）如图，已知//∠+∠+∠=︒．（请你AB DE，求证：360A ACD D至少使用两种方法证明）【方法总结】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．【随堂练习】1．（2020秋•松北区期末）如图，已知//AB CD ，1:2:31:2:3∠∠∠=，则EBA ∠的度数为 _______．2．（2020秋•永吉县期末）如图，直线12//l l ，点A 在1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线1l ，2l 于B ，C 两点；连接AC ，BC ．若55ABC ∠=︒，则1∠的大小为 _________．3．（2020春•荔湾区校级月考）已知：如图，EF 平分DEB ∠，//AC DE ，//CD EF ，请证明：CD 平分ACB ∠．知识点4 平行线的判定与性质的综合运用两直线平行⇔同位角相等.两直线平行⇔内错角相等.同旁内角互补⇔两直线平行.“⇔”叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.【典例】例1（2020秋•南岗区期中）已知，AE∥BD，∠A＝∠D．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG 的平分线交线段AG于点H，求证：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM ⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．【方法总结】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．例2 （2020春•黄陂区期末）如图，直线AB与CD交于点F，锐角∠CDE＝α，∠AFC+α＝180°．（1）求证：AB∥DE；（2）若G为直线AB（不与点F重合）上一点，∠FDG与∠DGB的角平分线所在的直线交于点P．①如图2，α＝50°，G为FB上一点，请补齐图形并求∠DPG的度数；②直接写出∠DPG的度数为_____________（结果用含α的式子表示）．【方法总结】本题考查了平行线的判定与性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．【随堂练习】1．（2020春•宜春期末）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB ⊥EF，G为射线EC上一点，连结BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．（1）求证：∠DEF＝∠EBG；（2）若∠EBG＝∠A，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．2．（2020春•丹东期末）（1）如图1，已知射线BC，MA⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E和F，若∠BAM+∠D＝180°，请判断AB和CD的位置关系，并说明理由．（2）在（1）的条件下，连接DE，直接写出∠BAE，∠EDC，∠AED之间的数量关系．（3）如图2，AB∥CD，EF∥CG，若∠A＝32°，∠E＝60°，请求出∠C的度数．知识点5 命题、定理、证明1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.【典例】例1（2020春•博兴县期末）如图，有以下四个条件：①//DC EF，③CD平AC DE，②//分BCA∠．∠，④EF平分BED（1）若CD 平分BCA ∠，//AC DE ，//DC EF ，求证：EF 平分BED ∠．（2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给予证明．【方法总结】本题考查的是平行线性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键．例2（2020春•邳州市期末） （1） 完成下面的推理说明：已知： 如图，//BE CF ，BE 、CF 分别平分ABC ∠和BCD ∠． 求证：//AB CD ．证明：BE 、CF 分别平分ABC ∠和BCD ∠（已 知） ，112∴∠=∠ ABC ，122∠=∠ ( )．//(BE CF )， 12(∴∠=∠ )． ∴11(22ABC BCD ∠=∠ )． ABC BCD ∴∠=∠（等 式的性质） ．//(AB CD ∴ )．（2） 说出 （1） 的推理中运用了哪两个互逆的真命题 ．【方法总结】本题考查的是平行线的判定与性质的运用， 解题时注意： 平行线的判定是由角 的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量 关系 ． 命题都是由题设和结论两部分组成， 题设是已知事项， 结论是由已知 事项推出的事项 ．【随堂练习】1．（2020秋•肃州区期末）下列命题中是假命题的是( )A ．一个三角形中至少有两个锐角B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．同角的余角相等D ．一个角的补角大于这个角本身2．（2020春•泰州期末）如图，①//AB CD ，②BE 平分ABD ∠，③1290∠+∠=︒，④DE 平分BDC ∠．（1）请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由．综合运用1．（2020秋•叙州区期末）如图，下列条件：①12∠=∠，②34180∠+∠=︒，③56180∠+∠=︒，④23∠=∠，⑤723∠=∠+∠，⑥741180∠+∠-∠=︒中能判断直线//a b 的有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．（2020春•下城区期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定//AB DF 的是( )A ．1A ∠=∠B ．3A ∠=∠C ．14∠=∠D ．2180A ∠+∠=︒3．（2019春•桂平市期末）如图，//AB DC ，//ED BC ，//AE BD ，那么图中和ABD ∆面积相等的三角形（不包括)ABD ∆有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2020春•定远县期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①13∠=∠；②如果230∠=︒，则有//AC DE ；③如果230∠=︒，则有//BC AD ；④如果230∠=︒，必有4C ∠=∠．其中正确的有___________．（填序号）5．（2020春•商河县期末）填写推理理由：如图，//CD EF ，12∠=∠，求证：3ACB ∠=∠．证明：//CD EF ，2DCB ∴∠=∠______________________12∠=∠，1DCB ∴∠=∠．//GD CB ∴ ．3ACB ∴∠=∠ ．6．（2020春•青龙县期末）已知：如图，12∠=∠，3E ∠=∠．求证：//AD BE ．7．（2020春•凉山州期末）如图，已知∠1、∠2互为补角，且∠3＝∠B．（1）求证：∠AFE＝∠C；（2）若CE平分∠ACB，且∠1＝85°，∠3＝50°，求∠AFE的度数．。

初一数学春季班（教师版）平行线的性质定理知识结构模块一：平行线的性质定理知识精讲平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补．【例1】 如图，AC //DB ，56DBC ∠=o ，则ACB ∠=__________． 【难度】★ 【答案】124度．【解析】因为AC //DB （已知），所以180DBC ACB ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），因为56DBC ∠=o （已知），所以18056124ACB ︒︒︒∠=-=（等式性质） 【总结】考察平行线的性质的运用．【例2】 （1）如图，已知DE //BC ，A C ∠=∠，则与AED ∠相等的角（不包含AED ∠）有______个；（2）如图，若AB //FD ，则B ∠=____________，若AC //ED ，则DFC ∠=__________．【难度】★【答案】（1）2个；（2）3∠；∠2．【解析】（1）因为DE //BC （已知）， 所以AED C ∠=∠（两直线平行，同位角相等）， 又因为A C ∠=∠（已知），所以A C AED ∠=∠=∠（等量代换）；（2）B ∠=3∠（两直线平行，同位角相等）；2∠=∠DFC （两直线平行，内错角角相等）．【总结】考察平行线的性质的运用．【例3】 如图，直线//a b ，则x y -的值等于（ ）A ．20B ．80C ．120D ．180【难度】★ 【答案】A【解析】因为//a b ，所以ο30=x例题解析321ABCDE ABCDEFABCDO3y°30°xa b又因为3180y x +=，解得ο50=y ，故305020x y ︒-=-=． 【总结】考察平行线的性质及等式性质的综合运用．【例4】 如图，直线//a b ，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，155∠=o ，则2∠的度数是（ ） A ．35oB ．45oC ．55oD ．125o【难度】★ 【答案】A【解析】因为AB BC ⊥（已知），所以90ABC ∠=︒（垂直的意义）因为//a b （已知），所以 1CBD ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 因为155∠=o （已知）， 所以55CBD ∠=o （等量代换） 因为2180ABC CBD ∠+∠+∠=o （平角的意义） 所以2180559035︒︒︒︒∠=--=（等式性质）【总结】本题考查平行线的性质及垂直的意义的综合运用．【例5】 如图，直线//a b ，c d ⊥，则下列说法中正确的个数有（）（1）2490∠+∠=o ；（2）1490∠+∠=o ；（3）13∠=∠；（4）3490∠+∠=o ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【难度】★★ 【答案】B【解析】（1）正确：因为//a b ，所以2∠与3∠互为同位角， 又因为c d ⊥，所以3490∠+∠=︒，所以2490∠+∠=︒；（2）错误：14∠=∠（两直线平行，同位角相等）； （3）错误1390∠+∠=︒； （4）正确．所以本题选B【总结】本题考查平行线的性质以及两直线垂直的意义．【例6】 如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（ ）A ．相等或互补B ．互补C ．相等D ．相等且互余【难度】★★ 【答案】A【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A ．4321a bc d21ABC a bD【总结】本题考查平行线的基本应用，注意分类讨论． 【例7】 如图，已知//AB CD ，x ∠等于（ ）A ．75oB ．80oC ．85oD ．95o【难度】★★ 【答案】C【解析】如图可过的顶点作平行线，那么被分为上下两部分．上半部分与角B 互补；下半部分与角D 互为内错角； 所以易知(180120)2585x ︒︒︒︒∠=-+=．【总结】本题考查平行线的基本应用，老师可以让学生自己动手添加辅助线．【例8】 如图，////AB CD MP AB MN ，，平分4030AMD A D ∠∠=∠=o o ，，，则NMP ∠等于（ ） A ．10oB ．15oC ．5oD ．7.5o【难度】★★ 【答案】C【解析】因为//AB MP （已知）所以A AM P ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为//AB CD （已知）， 所以//MP CD （平行的传递性） 所以D DMP ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为AMD AMP DMP ∠=∠+∠（角的和差），4030A D ∠=∠=o o ，（已知） 所以304070AMD ∠=+=o o o （等式性质）因为MN AMD ∠平分（已知）， 所以ο35=∠=∠NMD AMN （角平分线的意义） 所以40355NMP ∠=︒-︒=︒（等式性质）【总结】本题考查平行线的基本应用，以及角平分线的性质的综合运用．【例9】 如图，//AB CD ，1(220)x ∠=+o ，2(840)x ∠=-o ，求1∠及2∠的度数． 【难度】★★【答案】140240∠=︒∠=︒，．【解析】因为//AB CD （已知），所以12∠=∠（两直线平行，同位角相等）即οο)408()202(-=+x xA BCDMNPx 25°120°ABCD21ABC DEF解得：ο10=x所以140240∠=︒∠=︒，（等式性质） 【总结】本题考查平行线的基本性质．【例10】 如图，已知140∠=o ，2140∠=o ，340∠=o ，能推断出////AB CD EF 吗？为什么？ 【难度】★★ 【答案】能；见解析．【解析】由题意，根据对顶角的性质，可知：2118023180∠+∠=︒∠+∠=︒，所以AB //CD ，CD //EF （同旁内角互补，两直线平行） 所以AB //EF ，即AB //CD //EF ，即证． 【总结】本题考查平行线的判定定理的综合运用．【例11】 已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的2倍少30°，求∠A 与∠B 的度数． 【难度】★★【答案】3030B A ∠=︒∠=︒，或70110B A ∠=︒∠=︒，．【解析】由题意可知，180A B A B ∠=∠∠+∠=︒或，又因为∠A 是∠B 的2倍少30°， 所以230A B ∠=∠-︒，即3030B A ∠=︒∠=︒，或70110B A ∠=︒∠=︒， 【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．【例12】 已知：如图，123//B AC DE ∠=∠∠=∠，，，且B 、C 、D 在一条直线上． 试说明//AE BD ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为//AC DE （已知），所以24∠=∠（两直线平行，内错角相等） 因为12∠=∠（已知），所以14∠=∠（等量代换）所以//AB CE （内错角相等，两直线平行） 所以B ECD ∠=∠（两直线平行，同位角相等）因为3B ∠=∠（已知），所以3ECD ∠=∠（等量代换） 所以//AE BD （内错角相等，两直线平行）4321A BC DE A B C D EF321NM【总结】本题主要考察平行线的性质定理和判定定理的综合运用．【例13】 已知：如图，E 、F 分别是AB 和CD 上的点，DE 、AF 分别交BC 于G 、H ，∠A =∠D ，∠1=∠2，试说明：∠B =∠C ．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】因为121AHB ∠=∠∠=∠（已知），（对顶角相等）所以2AHB ∠=∠（等量代换）， 所以//AF ED （同位角相等，两直线平行） 所以D AFC ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 因为A D ∠=∠（已知）， 所以A AFC ∠=∠（等量代换） 所以//AB CD （内错角相等，两直线平行） 所以B C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）【总结】本题主要考察平行线的性质定理和判定定理的综合运用．【例14】 如图，直线GC 截两条直线AB 、CD ，AE 是GAB ∠的平分线，CF 是ACD ∠的平分线，且//AE CF ，那么AB CD ∥吗？为什么？ 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】因为AE 是GAB ∠的平分线，CF 是ACD ∠的平分线（已知）所以GAE EAB ACF FCD ∠=∠∠=∠，（角平分线的性质）因为//AE CF （已知），所以GAE ACF ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 所以EAB FCD∠=∠（等量代换） 所以//(AB CD 同位角相等，两直线平行)【总结】本题主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【例15】 如图12∠=∠，//DC OA ，//AB OD ，那么C B ∠=∠，为什么？ 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】因为//DC OA （已知），所以COA C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）， 即1COB C ∠+∠=∠21ABCDOABCDEFG21ABCDEFGH因为//AB OD （已知）， 所以DOB B ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 即2COB B ∠+∠=∠， 又因为12∠=∠（已知），所以B C ∠=∠（等量代换） 【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．【例16】 如图，已知AD 平分BAC ∠，12∠=∠，试说明1F ∠=∠的理由．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】因为AD 平分BAC ∠（已知），所以2BAD ∠=∠（角平分线的意义）因为12∠=∠（已知）， 所以1BAD ∠=∠（等量代换） 所以//EF AD （同位角相等，两直线平行） 所以2F ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 所以1F ∠=∠（等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的运用．【例17】 已知：如图，AGH B CGH BEF ∠=∠∠=∠，，EF ⊥AB 于F ，试说明CG ⊥AB ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】因为AGH B ∠=∠（已知）所以//HG CB （同位角相等，两直线平行） 所以CGH BCG ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为CGH BEF ∠=∠（已知），所以BEF BCG ∠=∠（等量代换） 所以//EF CG （同位角相等，两直线平行） 因为EF ⊥AB （已知）， 所以CG ⊥AB ．【总结】本题主要考察平行线的判定定理、性质定理及垂直的判定的综合运用．【例18】 已知，正方形ABCD 的边长为4cm ，求三角形EBC 的面积．【难度】★★ 【答案】8平方厘米．【解析】由题意可知：三角形EBC 与正方形同底BC ，且其高即是 正方形的边DC ，故三角形面积为正方形面积的一半：24428cm ⨯÷= 【总结】本题考查三角形的面积的计算，注意三角形与正方形同底等高．ABCDEABCGE FH21ABCDEF【例19】 如图，AD //BC ，52BC AD =，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比． 【难度】★★★ 【答案】5:2．【解析】因为//AD BC （已知）所以三角形ABC 与三角形ACD 的高相等（平行线间的距离处处相等） 所以::52ABC ACD S S BC AD ∆∆==：（两三角形高相等，面积比等于底之比） 【总结】本题考查平行线距离处处相等及三角形的面积比问题．【例20】 如图，//AB GE ，//CD FG ，BE =EF =FC ，三角形AEG 的面积等于7，求四边形AEFD 的面积． 【难度】★★★ 【答案】21【解析】联结BG 、CG ．因为//AB GE （已知）所以BEG AEG S S ∆∆=（同底等高的两个三角形面积相等）因为BE =EF （已知）， 所以BEG GEF S S ∆∆=（等底等高的两个三角形面积相等） 所以AEG GEF S S ∆∆==7（等量代换）， 同理7GEF DFG S S ∆∆==． 所以77721AEG GEF DFG AEFD S S S S ∆∆∆=++=++=四边形． 【总结】本题主要考查平行线间的距离处处相等．【例21】 已知E 是平行四边形ABCD 边BC 上一点，DE 延长线交AB 延长线于F ，试说明ABE CEF S S ∆∆与相等的理由．【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】因为12ADE DCF ABCD S S S ==△△四边形，所以12CEF DCF DCEDCE ABCD S S S S S ∆∆∆=-=-△四边形， AB CDEFA BCDABCDEFG所以1122ABE ADE DCE DCE DCE ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆=--=--=-四边形四边形四边形四边形所以ABE CEF S S ∆∆=【总结】本题综合性较强，主要考查几何图形的面积关系，注意认真观察图形特征．【例22】 如图，已知AB ∥ED ，试说明：∠B +∠D ＝∠C ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】过点C 作AB 的平行线CF ，因为AB ∥ED （已知）所以////AB CF ED （平行的传递性）所以B BCF D DCF ∠=∠∠=∠，（两直线平行，内错角相等） 所以B D BCF DCF BCD ∠+∠=∠+∠=∠（等式性质） 【总结】本题考查平行线的性质及辅助线的添加．【例23】 如图所示，已知，++360A B C ︒∠∠∠=，试说明AE ∥CD ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】过点B 向右作BF //AE ，所以180A ABF ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）因为++360A B C ︒∠∠∠=（已知） 所以180FBC C ∠+∠=︒（等式性质） 所以//BF CD （同旁内角互补，两直线平行） 所以//AE CD （平行的传递性）【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意简单的辅助线的添加方法．【例24】 如图，已知：AB //CD ，试说明：∠B +∠D +∠BED =360︒（至少用三种方法）． 【难度】★★ 【答案】见解析例题解析模块二：辅助线的添加ABCD EFE CBDA F AEB【解析】方法一：连接BD则∠EBD +∠EDB +∠E =180°（三角形内角和等于180°）因为AB //CD （已知），所以∠ABD +∠BDC =180°（两直线平行，同旁内角互补） 所以∠ABD +∠EBD +∠EDB +∠BDC +∠E =360°，即∠B +∠D +∠BED =360°方法二：过点E 作EF //CD ，因为//AB CD （已知）， 所以//EF AB （平行的传递性）所以∠B +∠BEF =180°，∠D +∠DEF =180°（两直线平行，同旁内角互补） 所以∠B +∠BEF +∠D +∠DEF =360°（等式性质） 即∠B +∠D +∠BED =360°； 方法三：过点E 作//EF BA因为//AB CD （已知）， 所以//EF AB （平行的传递性）所以180180ABE BEF FED EDC ∠+∠=︒∠+∠=︒，（两直线平行，同旁内角互补） 所以∠B +∠D +∠BED =360︒（等式性质）；方法四：过点E 作EF ⊥CD 的延长线与F ，EG 垂直于AB 的延长线于G ， 则有：∠B =∠BGE +∠GEB ，∠D =∠EDF +∠DFE ，所以∠B +∠D +∠BED =∠BGE +∠DFE +∠GED =180+180=360°．【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意多种方法的归纳总结．【例25】 如图所示，在六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A =∠D ，∠B=∠E ，试说明BC ∥EF 的理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】连接AD 、BE因为AF ∥CD （已知）所以FAD ADC ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为BAF CDE ∠=∠（已知）， 所以BAD ADE ∠=∠（等式性质） 所以AB ∥DE （内错角相等，两直线平行） 所以ABE BED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为ABC FED ∠=∠（已知）， 所以EBC BEF ∠=∠（等式性质） 所以BC ∥EF （内错角相等，两直线平行）【总结】本题主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．A BCDEF【例26】 如图已知，AB //CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，求∠E 和∠F 的关系． 【难度】★★★【答案】:32E F ∠∠=：．【解析】过点E 、点F 分别作AB 的平行线EG 、FH ．因为////EG AB FH AB ，所以/////(AB EG FH CD 等量代换)所以ABF BFH ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 所以CDF DFH ∠=∠（两直线平行，内错角相等）所以BFD DFH BFH CDF ABF ∠=∠+∠=∠+∠（等量代换） 同理：BED DEG BEG ABE CDE ∠=∠+∠=∠+∠（等量代换） 因为∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE 所以22()33BFD DFH BFH CDF ABF ABE CDE BED ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠所以:32E F ∠∠=：【总结】本题考查平行线的性质定理及角的和差的综合运用，注意辅助线的添加．【例27】 如图，已知：AC //BD ，联结AB ，则AC 、BD 及线段AB 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点P 落在某个部分时，联结P A 、PB ，构成∠P AC 、∠APB 、∠PBD 三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1） 当点P 落在第①部分时，试说明：∠P AC +∠PBD =∠APB ； （2） 当点P 落在第②部分时，试说明：∠P AC +∠PBD =∠APB 是否成立?（3）当点P 落在第③部分时，全面探究∠P AC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系是__________，并写出动点P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．321321321321A CP A CA CA CABCD E F【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）过点P 作PE // AC ．//////AC BD AC PE BD 因为，所以（平行的传递性）所以PAC APE BPE PBD ∠=∠∠=∠，（两直线平行，内错角相等） 因为APB APE BPE ∠=∠+∠（角的和差） 所以APB PAC PBD ∠=∠+∠（等量代换） （2）不成立，过点P 作AC 的平行线即可证明． （3）分类讨论如下：①当动点P 在射线BA 的右侧时，结论是PBD PAC APB ∠=∠+∠； ②当动点P 在射线BA 上时，结论是0PBD PAC APB PAC PBD APB APB PAC PBD ∠=∠+∠∠=∠+∠∠=︒∠=∠或或，（任写一个即可）③当动点P 在射线BA 的左侧时，结论是APB PAC PBD ∠+∠=∠．【总结】本题综合性较强，一方面要通过添加平行线来寻找角度之间的关系，另一方面要从多个角度去讨论题目中的条件及结论．【习题1】 填空：（1） 如图（1），AB //CD ，CE 平分ACD ∠，120A ∠=o ，则ECD ∠________； （2） 如图（2），已知AB //CD ，100B ∠=o ，EF 平分BEC ∠，EG EF ⊥， 则DEG ∠=__________．【难度】★【答案】（1）30°； （2）50°．随堂检测ABCDEFGE ABCD图（1）图（2）【解析】（1）因为AB ∥CD （已知），所以180A ACD ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补）因为120A ∠=o （已知）， 所以18012060ACD ∠=-=o o o （等式性质） 又因为CE 平分∠ACD （已知）， 所以∠ECD =30°（角平分线的意义）（2）因为AB ∥CD （已知）， 所以180B BEC ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补）因为100B ∠=o （已知）， 所以18010080BEC ∠=-=o o o （等式性质） 又因为EF 平分BEC ∠（已知）， 所以∠BEF =40°（角平分线的意义） 因为EG ⊥EF （已知）， 所以90GEF ∠=o （垂直的意义） 因为180DEG GEF CEF ∠+∠+∠=（平角的意义） 所以180904050DEG ∠=--=o o o o （等式性质） 【总结】本题考查平行线的性质的运用．【习题2】 填空：（1）如图，直线//a b ，三角形ABC 的面积是422cm ，AB =6cm ，则a 、b 间的距离 为_________；（2）如图，在三角形ABC 中，点D 是AB 的中点，则三角形ACD 和三角形ABC 的面 积之比为____________． 【难度】★【答案】（1）14厘米 ；（2）12．【解析】（1）三角形ABC 的高为：422614⨯÷=，所以a 、b 间的距离为14厘米； （2）因为三角形ACD 和三角形ABC 高相等， 所以面积之比等于底之比，21==∆∆AB AD S S ABC ACD 即． 【总结】本题考查平行线间距离及同高等底的三角形面积的之比．【习题3】 如图，已知FC //AB //DE ，::2:3:4D B α∠∠∠=,则α∠、D ∠、B ∠的度数分别为______________． 【难度】★【答案】72α∠=︒，108D ∠=︒，144B ∠=︒．aCA bABCDBABC F【解析】因为FC //AB //DE （已知），所以互补）两直线平行，同旁内角(180ο=∠+∠CFB B D CFD ∠=∠（两直线平行，内错角相等）设234x D x B x α∠=∠=∠=，，，则可列方程：180423x x x -+=，解得：36x =︒ 则72α∠=︒，108D ∠=︒，144B ∠=︒．【习题4】 如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍多12°，则这两个角是()．A ．42°和138°B ．都是10°C ．42°和138°或都是10°D ．以上都不对【难度】★★ 【答案】A【解析】由题意假设这两个角分别为A 、B ，则有：180A B A B ∠=∠∠+∠=︒或，又因为∠A 是∠B 的3倍多12°，则有：312A B ∠=∠+︒， 即180********B B B A ︒-∠=∠+︒∠=︒∠=︒，解得：，． 【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．【习题5】 如图，已知QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM ，∠1+∠2=90°，那么直线PQ 、MN 的位置关系． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM （已知）所以21PQN ∠=∠，22MNQ ∠=∠（角平分线的意义） 因为∠1+∠2=90°（因为），所以∠PQN +∠MNQ =180°（等式性质） 所以PQ ∥MN （同旁内角互补，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定及角平分线意义的综合运用．【习题6】 如图，已知：AB ∥CD ，EF 和AB 、CD 相交于G 、H 两点，MG 平分∠BGH ，NH平分∠DHF ，试说明：GM ∥NH ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】//AB CD Q （已知）BGH DHF ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）Q 又MG 平分∠BGH ，NH 平分∠DHF21NM RQ P G21AB CDEMNH111,222BGH DHF ∴∠=∠∠=∠12∴∠=∠（等量代换） //GM HN ∴（同位角相等，两直线平行） 【总结】本题考查平行线的判定【习题7】 如图所示，在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AB =5，三角形内一点O 到各边的距离相等，求这个距离是多少． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】设这个距离是x ，则有：()1662ABC S AC BC AB x x ∆==++⨯=， 解得：1x =．【总结】本题可以用面积法求解比较简单．【习题8】 如图，已知AB ，CD 分别垂直EF 于B ，D ，且∠DCF =60°，∠1=30°．试说明：//BM AF ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为CD ⊥EF ， 所以90CDF ∠=o（垂直的意义）因为∠DCF =60°（已知）， 所以∠F =30°（三角形的内角和等于180°）因为∠1=30°（已知）， 所以∠1=∠F （等量代换） 所以BM ∥AF （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定及垂直的意义的综合运用．【习题9】 如图，已知直线12//l l ；（1）若1(2)x y ∠=+o ，2x ∠=o ，4(30)y ∠=+o 求1∠，2∠，4∠的度数； （2）若2x ∠=o，3y ∠=o，[]42(2)x y ∠=-o，求x 、y 的值．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】（1）因为∠1+∠2=180°（平角的意义），所以2180x y x ++=︒，即x +y =90° 因为12l l ∥ （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）ABCO 1ABCDEFM4321l 1 l 2即x = y +30， 解得：x =60°，y =30°，所以∠1=120°，∠2=60°，∠4=60°； （2）因为∠3+∠2=180°（平角的意义）， 所以x +y =180°， 因为12l l ∥ （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等） 即42x x y =-， 解得：x =72°，y =108°． 【总结】本题考查平行线的性质及角度的简单计算．【习题10】 如图，∠ADC =∠ABC ，∠1+∠FDB =180°，AD 是∠FDB 的平分线，试说明BC 为∠DBE 的平分线． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】因为∠1+∠FDB =180°（已知），又因为1ABD ∠=∠（对顶角相等） 所以180ABD BDF ∠+∠=o （等量代换） 所以//AB FD （同旁内角互补，两直线平行） 所以2ABD ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为ADC ABC ∠=∠（已知）， 所以ADB CBD ∠=∠（等式性质） 因为//AE FC （已证）， 所以EBD FDB ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 即ADB ADF CBD CBE ∠+∠=∠+∠（角的和差）因为AD FDB ∠是平分线， 所以ADB ADF CBD EBC ∠=∠=∠=∠（角平分线的意义） 即BC 为∠DBE 的平分线【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理以及角平分线的综合运用．【习题11】 如图，已知∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线，问：△ABC 与△EBC 的面积是否相等?为什么?【难度】★★★ 【答案】相等，证明见解析．【解析】因为180DAE EAC BAC ∠+∠+∠=o （平角的意义）又180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=o（三角形内角和等于180°） 所以DAE EAC ABC ACB ∠+∠=∠+∠（等式性质） 因为∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线（已知） 所以ABC ACB DAE CAE ∠=∠=∠=∠所以//AE BC （内错角相等，两直线平行）所以AE 与BC 间的距离相等（夹在平行线间的距离处处相等） 所以△ABC 与△EBC 的面积相等（同底等高的两个三角形面积相等）．21AB CDEFA BCDE F【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，同时还考查了三角形的面积问题．【作业1】 如图，AB //CD ，直线l 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分BEF ∠，若40EFG ∠=o ，则EGF ∠的度数是（）A ．60oB ．70oC ．80oD ．90o 【难度】★ 【答案】B【解析】因为AB //CD （已知），所以180BEF EFG ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补） 因为40EFG ∠=o （已知）， 所以∠BEF =140°（等式性质）因为 EG 平分BEF ∠（已知），所以1702BEG BEF ∠=∠=o（角平分线的意义）因为AB //CD （已知）， 所以BEG EGF ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 所以∠EGF =70°（等量代换）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的意义的运用．【作业2】 如图，AB //CD ，下列等式中正确的是（ ）A ．123180∠+∠+∠=oB ．12390∠+∠-∠=oC ．231180∠+∠-∠=oD ．23190∠+∠-∠=o【难度】★ 【答案】C【解析】由题意可得：(1803)(1802)1180︒-∠+︒-∠+∠=︒， 解得：231180∠+∠-∠=︒ 【总结】本题考查平行线的性质．【作业3】 若两直线被第三条直线所截，则下列说法中正确的个数有（ ）（1）一对同位角的角平分线互相平行，（2）一对内错角的角平分线互相平行， （3）一对同旁内角的角平分线互相平行，（4）一对同旁内角的角平分线互相垂直 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 【难度】★ 【答案】D【解析】（1）同位角不一定相等，×；（2）内错角不一定相等，×；课后作业A BCDEF Gl 213ABCD321FEDCBA（3）×； （4）只有当这对同旁内角互补时才成立，× 【总结】本题考查三线八角的基本运用．【作业4】 直线a c ∥，且直线a 到直线c 的距离是3；直线//b c ，直线b 到直线c 的距离为5，则直线a 到直线b 的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．8 D ．2或8【难度】★★ 【答案】D【解析】当直线a 和直线b 在直线c 的两侧时，距离为8； 当直线a 和直线b 在直线c 的同一侧时，距离为2． 【总结】本题考查平行线的性质，注意分类讨论．【作业5】 已知：如图5，∠1=∠2=∠B ，EF ∥AB ．试说明∠3=∠C ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】因为1B ∠=∠（已知）所以//DE BC （同位角相等，两直线平行） 所以2C ∠=∠（两直线平行，同位角相等）又因为//EF AB （已知）， 所以3B ∠=∠ （两直线平行，同位角相等） 所以3C ∠=∠（等量代换）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业6】 已知：∠1=60o ，∠2=60o ， AB //CD ．试说明：CD //EF ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】设∠2的对顶角为∠3，因为∠1=∠2 = 60o （已知），所以∠1=∠3（等量代换） 所以AB ∥EF （同位角相等，两直线平行）又因为AB ∥CD （已知） 所以CD ∥EF （平行的传递性） 【总结】本题主要考查平行线的判定．21A B C DEFl【作业7】 如图，已知∠4=∠B ，∠1=∠3，试说明：AC 平分∠BAD ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】因为∠4=∠B （已知）所以CD ∥AB （同位角相等，两直线平行） 所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）又因为∠1=∠3（已知）， 所以∠1=∠2（等量代换）， 所以AC 平分∠BAD （角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业8】 如图，//AD BC ，BD 平分ABC ∠，且:2:1A ABC ∠∠=，求DBC ∠的度数．【难度】★★ 【答案】30°．【解析】因为AD ∥BC （已知）所以∠A +∠ABC =180°（两直线平行，同旁内角互补） 又因为∠A ：∠ABC =2:1（已知）， 所以∠A =120°，∠ABC =60°（等式性质）又因为BD 平分ABC ∠（已知）， 所以∠DBC =30°（角平分线的意义） 【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的综合运用【作业9】 如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置．若∠AED ′＝65°，则C FB '∠的度数为___________． 【难度】★★ 【答案】65°【解析】因为翻折， 所以D EF DEF '∠=∠（翻折的性质）因为180AED D EF DEF ''∠+∠+∠=o（平角的意义） 又∠AED ′＝65°（已知）， 所以ο5.572180='∠-=∠='∠D AE DEF EF D （等式性质） 因为//AD BC （已知）， 所以180DEF EFC ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补）EFB DEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等）所以EFB ∠57.5=o ，18057.5122.5EFC ∠=-=o o o （等式性质）因为EFC EFC '∠=∠（翻折的性质） 所以65C FB EFC EFB ''∠=∠-∠=︒．EDBC′F CD ′ A2431ABCDABCD【总结】本题主要考查平行线的性质及翻折的性质的综合运用．【作业10】 如图，已知AD //BC ，AB //EF ，DC //EG ，EH 平分FEG ∠，110A D ∠=∠=o ，试说明线段EH 的长是AD 、BC 间的距离． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为AD //BC （已知）所以180A B ∠+∠=o ，180C D ∠+∠=o（两直线平行，同旁内角互补） 因为110A D ∠=∠=o （已知）， 所以∠B =∠C =70°（等式性质）因为AB //EF ，DC //EG （已知），所以∠EFG =∠B ，∠EGF =∠C （两直线平行，内错角相等）所以∠EFG = ∠EGF = 70°（等量代换）， 所以∠FEG =40°因为EH 平分FEG ∠（已知）， 所以1202FEH FEG ∠=∠=o（角平分线的意义）所以18090FHE FEH EFH ∠=-∠=∠=o o （三角形内角和等于180°） 即EH 的长是AD 、BC 间的距离．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质及三角形的内角和以及平行线间的距离．【作业11】 如图，AB l ⊥，CD l ⊥（点B 、D 是垂足），直线EF 分别交AB 、CD 于点G 、H ．如果EGB m ∠=o ，FGB n ∠=o ，且(3)EHD m n ∠=-o o ，试求出EGB ∠、BGF ∠、EHD ∠的度数． 【难度】★★★【答案】60EGB ∠=︒，120BGF ∠=︒，60EHD ∠=︒． 【解析】因为AB l ⊥，CD l ⊥（已知）所以//AB CD （垂直于同一直线的两直线平行）所以180FGB EHD ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补） EGB EHD ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 即3180n m n +-=，3m m n =-， 解得：60m =︒，120n =︒．所以60EGB ∠=︒，120BGF ∠=︒，60EHD ∠=︒． 【总结】本题主要考查平行线的性质的运用．A B C D EFGHlA BCD E F GH【作业12】 如图，已知//AB CD ，EG 、FH 分别平分AEF ∠、DFN ∠，那么90GEF DFH ∠+∠=o ，试说明理由．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为//AB CD （已知）所以AEF CFN ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 因为180CFN DFN ∠+∠=︒（平角的性质） 又因为EG 、FH 分别平分AEF ∠、DFN ∠（已知）所以180AEG GEF DFH NFH ∠+∠+∠+∠=︒（角的和差） 即2180GEF DFH ∠+∠=︒， 所以90GEF DFH ∠+∠=o ． 【总结】本题考查平行线的性质及角平分线性质的综合应用．【作业13】 如图，已知AB ∥EF ，∠B =45°，∠C =x °，∠D =y °，∠E =z °，试说明x 、y 、z之间的关系． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】由题意，过C 、D 两点分别作AB 的平行线CM 、DN因为AB ∥EF （已知）所以//////AB CM DN EF （平行的传递性）所以B BCM ∠=∠，MCD CDN ∠=∠，EDN E ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 因为∠B =45°，∠C =x °，∠D =y °，∠E =z °（已知） 所以45x y z -=-（等式性质） 即45x y z -+=．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质以及辅助线的添加，注意观察角度间的关系．ABCDEFG HNABCDEF MN。

学科教师辅导讲义学员学校： 年 级： 七年级 课时数： 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：课 题平行线考点及考试要求1.知道平行线的定义2.会画平行线3.掌握平行线的基本性质4.理解并掌握平行线的判定定理第四节 平行线的判定知识点1.平行线：在同一平面内，__________的两条直线叫做平行线。

2.在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：__________。

相交时，对顶角相等。

3.平行线的判定：（1）同位角__________，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线__________。

（3）同旁内角__________，两直线平行。

（4）平行（或垂直）于同一直线的两直线__________。

热身练习1、平行线的判定方法① 文字表述： 几何语言：∵∴② 文字表述：几何语言：∵∴③ 文字表述： 几何语言：∵∴b ac 43212、 如图，(1) ∵∠1 = ∠D (已知)∴ ∥ ( ) (2) ∵∠B = (已知)∴AB ∥DC ( )3、 如图，∵∠1 = ∠4 (已知)∴ ∥ ( )∵∠2 = ∠3 (已知)∴ ∥ ( )∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD (已知)∴ ∥ ( ) 4、 如图，∵∠1 = ∠B (已知)∴ ∥ ( ) ∵∠1 = ∠2 ( )∠1 + ∠E = 180°(已知)∴∠2 + ∠E = 180°( )∴ ∥ ( )名题精解1.如图，已知∠ABC +∠BCD +∠EDC = 360°，求证：AB ∥ED2如图，已知∠AEB = ∠CFD ，求证：BE ∥DF1EC BDA4321FE A B D C 12C BDE FA A EBCDBA3.如图，已知∠2 = ∠3 = 90°，∠1 +∠2 = 180°，求证：AB ∥GD第五节 平行线的性质知识点平行线的性质：（1）经过直线外一点，有且只有________条直线与这条直线平行。

平行线中的动点问题训练 姓名1. 如图1，直线MN 与直线AB 、CD分别交于点E 、F ，∠1与∠2互补． （1）试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ 平分∠EPK，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．2. 已知，直线AB∥CD，线段EF 分别与AB 、CD 相交于点E 、F ．（1）如图1，当∠A=40°，∠C=60°时，求∠APC 的度数； （2）如图2，当点P 在线段EF 上运动时（不包括E 、F 两点），∠A、∠C 与∠APC 之间有什么确定的相等关系？试证明你的结论；（3）当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠A、∠C 与∠APC 之间有什么确定的相等关系？试证明你的结论；3、如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P 落在某个部分时，连结P A 、PB ，构成∠P AC 、∠APB 、∠PBD 三个角.(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°)（1）当动点P 落在第①部分时，试说明∠APB ＝∠P AC ＋∠PBD 成立的理由； （2）当动点P 落在第②部分时，∠APB ＝∠P AC ＋∠PBD 是否成立(直接回答成立或不成立)？（3）当动点P 在第③部分时，全面探究∠P AC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以说明.4、如图，∠ABC ＋∠ACB ＝110°，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,EF 过点O 与BC 平行，求∠BOC 。

第一讲平行线的判定及性质【课程导航】1. 两条不同的直线，若它们只有一个交点，就可以说它们相交，即两直线相交有且只有一个交点.2. 垂直是相交的特殊情况，关于垂直有两个重要的结论：⑴过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑵直线外一点与直线上所有点连成的线段中，垂直线段最短.3. 在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

关于平行线，应理解平行公理，即过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.4. 两条直线被第三条直线所截，得到八个角，其中有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角，这就是“三线八角”.5. 在同一平面内，不重合直线的位置关系是相交或平行.【锦囊妙计】1.能熟练地找出图形中的三线八角.2.运用平行线的性质定理：⑴两直线平行，同位角相等；⑵两直线平行，内错角相等；⑶两直线平行，同旁内角互补；⑷如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直.3.运用平行线的判定定理：⑴同位角相等，两直线平行；⑵内错角相等，两直线平行；⑶同旁内角互补，两直线平行；⑷在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行；⑸在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【典型例题】例1．已知：如图，∠BED＝85°，∠B＝35°，∠D＝50°，求证：AB∥CD．思路点拨：过点E作EF∥AB，则∠BEF＝∠B＝35°，易得∠FED＝50°，所以∠FED＝∠D，即可证明EF∥CD，则AB∥CD.解答：证明：过点E作EF∥AB，∴∠BEF＝∠B＝35°（两直线平行，内错角相等），∵∠BED＝85°，∠D＝50°，∴∠FED＝50°，∴∠FED＝∠D＝50°，∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行），∴AB∥CD（同一平面内，平行于同一直线的两直线平行）．点评：此题考查平行线的判定和性质：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；同一平面内，平行于同一直线的两直线平行．要灵活应用．例2．如图，∠AEM＝∠DGN,∠1＝∠2,证明EF∥GH.思路点拨：证明两条直线平行，需找同位角或内错角相等或同旁内角互补，想办法将题目中的相等角转化成我们需要的角即可。

目录之阳早格格创做Contents第1道仄止线四大模型 (1)第2道真数三大观念 (17)第3道仄里曲角坐标系 (33)第4道坐标系取里积发端 (51)第5道二元—次圆程组进阶 (67)第6道含参没有等式（组） (79)1仄止线四大模型知识目标目标一流利掌握仄止线四大模型的道明目标二流利掌握仄止线四大模型的应用目标三掌握辅帮线的构制要领，认识仄止线四大模型的构制春季回瞅仄止线的判决取本量l、仄止线的判决根据仄止线的定义，如果仄里内的二条曲线没有相接，便不妨推断那二条曲线仄止，然而是，由于曲线无限蔓延，考验它们是可相接有艰易，所以易以间接根据定义去推断二条曲线是可仄止，那便需要更简朴易止的判决要领去判决二曲线仄止．判决要领l：二条曲线被第三条曲线所截，如果共位角相等，那么那二条曲线仄止．简称：共位角相等，二曲线仄止．判决要领2：二条曲线被第三条曲线所截，如果内错角相等，那么那二条曲线仄止．简称：内错角相等，二曲线仄止，判决要领3：二条曲线被第三条曲线所截，如果共旁内角互补，那么那二条曲线仄止．简称：共旁内角互补，二曲线仄止，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（共位角相等，二曲线仄止）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，二曲线仄止）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（共旁内角互补，二曲线仄止）．另有仄止公理推论也能道明二曲线仄止：仄止公理推论：如果二条曲线皆取第三条曲线仄止，那么那二条曲线也互相仄止．2、仄止线的本量利用共位角相等，大概者内错角相等，大概者共旁内角互补，不妨判决二条曲线仄止．反过去，如果已知二条曲线仄止，当它们被第三条曲线所截，得到的共位角、内错角、共旁内角也有相映的数量闭系，那便是仄止线的本量．本量1：二条仄止线被第三条曲线所截，共位角相等．简称：二曲线仄止，共位角相等本量2：二条仄止线被第三条曲线所截，内错角相等.简称：二曲线仄止，内错角相等本量3：二条仄止线被第三条曲线所截，共旁内角互补．简称：二曲线仄止，共旁内角互补原道进阶仄止线四大模型模型一“铅笔”模型面P正在EF左侧，正在AB、CD里里“铅笔”模型论断1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；论断2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）面P正在EF左侧，正在AB、CD里里“猪蹄”模型论断1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；论断2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭足”模型面P正在EF左侧，正在AB、CD中部“臭足”模型论断1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP大概∠P=∠CFP-∠AEP；论断2：若∠P=∠AEP-∠CFP大概∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨合”模型面P正在EF左侧，正在AB、CD中部“骨合”模型论断1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP大概∠P=∠AEP-∠CFP；论断2：若∠P=∠CFP-∠AEP大概∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.坚韧训练仄止线四大模型道明（1）已知AE // CF ,供证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2） 已知∠P =∠AEP +∠CFP ，供证AE ∥CF ．（3） 已知AE ∥CF ，供证∠P =∠AEP -∠CFP .（4） 已知∠P = ∠CFP -∠AEP ,供证AE //CF .模块一 仄止线四大模型应用例1（1）如图，a ∥b ,M 、N 分别正在a 、b 上，P 为二仄止线间一面，那么∠l +∠2+∠3= ．(2)如图，AB ∥CD ，且∠A =25°，∠C =45°，则∠E的度数是． (3)如图，已知AB ∥DE ，∠ABC =80°，∠CDE =140°，则∠BCD = .(4) 如图，射线AC ∥BD ，∠A = 70°，∠B = 40°，则∠P =．练(1)如图所示，AB ∥CD ，∠E =37°，∠C = 20°，则∠EAB 的度数为．(2) （七一中教2015-2016七下3月月考）如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C =.例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、DF 分别仄分∠ABC 、∠CDE ，供∠C 、∠F 的闭系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n 1∠FDE . (1)若n =2,间接写出∠C 、∠F 的闭系； (2)若n =3，探索宄∠C 、∠F 的闭系；(3)间接写出∠C 、∠F的闭系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB∥CD，BE仄分∠ABC，DE仄分∠ADC．供证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别仄分∠ABC、∠CDE，供∠C、∠F的闭系.例4如图，∠3==∠1+∠2，供证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016七下期中）如图，AB⊥BC，AE仄分∠BAD接BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延少线上的面，∠EAM战∠EDN的仄分线相接于面F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二仄止线四大模型构制例5如图，曲线AB∥CD，∠EFA= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM=.练如图，曲线AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，则∠AEF+ ∠CHG=.例6已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=l0°，供证：AB ∥EF ．练已知AB ∥EF ，供∠l -∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l )，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n ，∠B 1、∠B 2…∠B n -1之间的闭系．(2)如图(2)，己知MA 1∥NA 4，探索∠A 1、∠A 2、∠A 3、∠A 4，∠B 1、∠B 2之间的闭系．(3)如图(3)，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n 之间的闭系．如图所示，二曲线AB ∥CD 仄止，供∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6． 挑拨压轴题（粮道街2015—2016七下期中）如图1，曲线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一面，MN 取CD 、AB 分别接于E 、F ．(1)若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，供∠MPD 的度数；(2)当面P 正在线段EF 上疏通时，∠CPD 取∠ABP 的仄分线接于Q ,问：DPB Q ∠∠是可为定值？假如定值，哀供出定值；若没有是，道明其范畴；(3)当面P 正在线段EF 的延少线上疏通时，∠CDP 取∠ABP 的仄分线接于Q ，问DPB Q ∠∠的值足可定值，请正在图2中将图形补充完备并道明缘由．第一道仄止线四大模型（课后做业）1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450°2．（武昌七校2015-2016七下期中）若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C =.4.如图，已知曲线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E =． 5．如阁所示，AB ∥CD ，∠l =ll 0°，∠2=120°，则∠α=.6．如图所示，AB ∥DF ，∠D =116°，∠DCB =93°，则∠B =.7．如图，将三角尺的曲角顶面搁正在曲线a 上，a ∥b .∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为.8．如图，AB ∥CD ，EP ⊥FP , 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F 的度数为．9.如图，若AB ∥CD ，∠BEF =70°，供∠B +∠F +∠C 的度数.10．已知，曲线AB ∥CD ．(1)如图l ，∠A 、∠C 、∠AEC 之间有什么闭系？请道明缘由；（2）如图2，∠AEF 、∠EFC 、∠FCD 之间有什么闭系？请道明缘由；(3)如图3，∠A 、∠E 、∠F 、∠G 、∠H 、∠O 、∠C 之间的闭是.。

目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元—次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)1平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题（粮道街2015—2016 七下期中）如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第一讲 平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2．（武昌七校2015-2016七下期中）若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5．6．如阁所示，AB ∥CD ，∠l =l l 0°，∠2=120°，则∠α= .7．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .8．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .9．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．.9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；精品文档(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.精品文档。

平行线动点问题解题技巧探究平行线动点问题是数学中的一个经典问题，通常出现在几何学的相关考题中。

该问题要求解决在平行线上，一个点沿着这两条平行线移动，如何确定其轨迹或者运动路线。

在本文中，我将会探究一些解答这类问题的技巧和方法，并分享我对这个问题的观点和理解。

1. 了解基本概念在解答平行线动点问题之前，需要先了解一些基本概念。

平行线是指在同一平面上且永不相交的两条直线。

动点是指在给定条件下运动的点。

这两个概念是解决平行线动点问题的基础。

2. 分析问题并设定参数在解答平行线动点问题时，需要仔细分析问题并设定参数。

可以考虑两条平行线之间的距离、动点的起始位置以及动点的运动速度等因素。

通过设定参数，可以更清晰地理解问题并找到解决方案。

3. 利用相似三角形在解决平行线动点问题时，常常需要利用到相似三角形的性质。

相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。

通过观察和运用相似三角形的性质，可以得到一些关键的结论，帮助解决问题。

4. 使用平行线的性质平行线有一些独特的性质，可以在解答平行线动点问题时起到关键作用。

其中一条重要的性质是平行线上的对应角相等。

利用这个性质，可以得到一些与角度相关的等式，从而推导出动点的运动轨迹或运动方程。

5. 考虑特殊情况在解答平行线动点问题时，可能会遇到一些特殊情况。

这些特殊情况可能包括平行线的倾斜程度、动点的特殊位置等。

考虑这些特殊情况时，需要灵活运用已有的知识和技巧，并可能需要使用一些额外的几何知识来解决问题。

总结:通过对平行线动点问题解题技巧的探究，我们了解到了一些基本的解题思路和方法。

在解答平行线动点问题时，我们首先需要了解基本概念，然后分析问题，设定参数。

接下来，可以通过利用相似三角形和平行线的性质，得到一些关键结论。

考虑特殊情况，并灵活运用已有的知识和技巧来解决问题。

对于平行线动点问题，我认为关键在于观察和分析。

通过观察不同的角度和情况，我们可以发现一些有用的特性和关系。

坐标系中动态专题模块一课前检测【题1】如图，在平面直角坐标系中，第一象限内长方形ABCD，AD∥x轴，点E在x轴上，EC交AD于G，BF平分∠CBE交OC于F，若∠CGD=2∠OCE，则下列结论正确的是()A.∠BEC=∠BFOB.∠BEC+∠BFO=135°C.11∠BEC+∠BFO=90°D．∠BEC+∠BFO=90°22【题2】在平面直角坐标系中，点A（m，0），B(0，n），且m，n满足n=m2-4+4-m2+12若点C m-2为x轴正半轴上一点，过C作CD∥AB，E为线段AB上一点，过O作OF⊥OE交CD于F，其中∠BEH 11=∠BEO，∠FCH =∠FCO，试写出∠H与∠BOF之间的数量关系，并证明你的结论.33模块二典型动点压轴题知识点睛坐标系动点类题型经常出现在期末考试的压轴题中，其中出题套路比较清晰，通常第一问考察绝对值的非负性、解方程知识、点的平移等求解点的坐标；第二问已知面积求点坐标，通常有多个解；第三问与动点结合，考察坐标系中角度的关系，通常会涉及到平行线的4大模型和角平分线等。

同学们做此类题时要结合之前所学内容，联系模型，利用割补法，方能求得正确答案。

典型例题【例1】如图：在平面直角坐标系中，A (a ，0)，D (6，4)，将线段AD 平移到BC ，使B (0，b )，且a ，b 满足2-a +(6+b )2=0(1)求A 点、B 点的坐标；(2)设点M （-3，n ）且三角形ABM 的面积为16，求n 的值；(3)若∠DAO =150°，设点P 是x 轴上的一动点（不与点A 重合），问∠APC 与∠PCB 存在什么具体的数量关系？写出你的结论并证明．【例2】如图，平面直角坐标系中A （-1，0），B (3，0)，现同时将A 、B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到A 、B 的对应点C 、D ，连接AC 、BD(1)直接写出C 、D 的坐标：C ，D 及四边形ABCD 的面积：；(2)在y 轴负半轴上是否存在点M ，连接MA 、MB 使得S △MAB ＞S 四边形ABCD，若存在，求出M 点纵坐标的取值范围；若不存在说明理由；(3)点P 为线段BD 上一动点，连PC 、PO ，当点P 在BD 上移动（不含端点），现给出①值不变；②∠DCP +∠BOP 的∠CPO∠DCP +∠CPO 的值不变，其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求其值．∠BOP能力提升【例3]在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为A （1，a ）、B (b ，1)，且实数a ，b 满足a -3+-(4-b )2=0(1)求a ，b 的值；(2)平移线段AB 至线段PQ 处（A 的对应点为P ），使得点P 、Q 正好都在坐标轴上，求点P 、Q 的坐标；(3)点C (3，c )，c ≠0，D 是x 轴负半轴上任意一点，连接OC 、OM 平分∠DOC ，ON ⊥OM （ON 在x 轴上方），CE ⊥CO 交x 轴正半轴于点E ，当c 的值发生变化时，探究∠NOD 与∠OEC 之间的数量关系，并说明理由．【例4]如图，平面直角坐标系中，ABCD 为长方形，其中点A 、C 坐标分别为（-4，2）、（1，-4），且AD ∥x 轴，交y 轴于M 点，AB 交x 轴于N .(1)求B 、D 两点坐标和长方形ABCD 的面积；1个单位/秒的速度沿AB 向B 点运动，在P 点运动过程中，连接MP 、OP ，2请直接写出∠AMP 、∠MPO 、∠PON 之间的数量关系；(2)一动点P 从A 出发，以1(3)是否存在某一时刻t，使三角形AMP的面积等于长方形面积的？若存在，求t的值并求此时点P的坐3标；若不存在说明理由.【例5]长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，OA =5，OC=3，点B在第三象限求点B的坐标；(1)如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标；(2)如图2，M为x轴负半轴上一点，且∠CBM =∠CMB，N是x轴正半轴上一动点，∠MCN的平分线CD 交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，说明理由∠D的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请∠CNM【例6】）如图，△ABC中，A(m，n)，B（-4，-1），C（a，b），且满足条件a=-b2+2，m+2+n-3=0(1)写出A、C的坐标，并画出△ABC.(2)P为坐标轴上一点，且△PBC的面积等于6，直接写出满足条件的所有P的坐标，并根据所学过的初一、小学知识选一个P点坐标写出求解过程．(3)将AB平移到A 'B'使B'(4，0)，现让点C沿x轴负方向运动，点N从点A'出发，沿A'A方向运动，且点N的速度比点C慢．当点C到达点（-3，0）时，点C、N同时停止（自己在坐标系中完成图形）．∠BAC+∠CNB'问：点N、C在运动过程中，的值是否变化？如不变，求其值；如变化，说明理由．∠ACN+∠NB'A'模块三动点与面积及其他类典型例题【例7]如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边BC在x轴上，如果点A坐标是（-1，42），C 点坐标是(3，0)．(1)求B点和D点的坐标；(2)将这个长方形向下平移2个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？请你写出平移后四个顶点的坐标；(3)如果Q点以每秒2个单位长度的速度在长方形ABCD的边上从A出发到C点停止，沿着A→D→C的路径运动，那么当Q点的运动时间分别是1秒和4秒时，△BCQ的面积各是多少？请分别求出来.【例8】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（-1，0），(3，0)，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD .(1)求点C ，D 的坐标；(2)若在y 轴上存在点M ，连接MA ，MB ，使S △MAB =S 平行四边形ABDC，求出点M 的坐标；(3)若点P 在直线BD 上运动，连接PC ，PO .①若P 在线段BD 之间时（不与B ，D 重合），求S △CDP +S △BOP 的取值范围；②若P 在直线BD 上运动，请直接写出∠CPO 、∠DCP 、∠BOP 的数量关系．模块四真题链接【2015-2016汉阳区期中】如图所示，A (1，0)、点B 在y 轴上，将三角形OAB 沿x 轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC ，且点C 的坐标为(a ，b )，且a =b -2+2-b -3．(1)直接写出点C 的坐标；(2)直接写出点E 的坐标；(3)点P 是CE 上一动点，设∠CBP =x °，∠P AD =y °，∠BP A =z °，确定x ，y ，z 之间的数量关系，并证明你的结论．【2014-2015青山区期末】己知，在平面直角坐标系中，A (l ，a )、B (b ，1)，其中a 、b 满足2a -b -2+(a +b -7)2=0(1)求a 、b 的值(2)平移线段AB 至CD ，其中A 、B 的对应点分别为C 、D ．①若CD 所在的直线过O 点，求将线段AB 向下平移了多少个单位长度？②如图2，若C 、D 两点的坐标分别为C (0，c )、D (d ，0)，点P (m ，1)是第二象限内一点，且m 为整数，动点Q 在线段DO 上以1个单位/秒的速度从D 出发向O 运动，运动到O 点停止，若S △POQ =S △COP ，且S四边形CDOP＞2S △COP ，请求出点Q 的运动时间.课后作业【题1】平面直角坐标系中，A (a ，b )，B (2，2)，且2a +b -2+a +b -4=0(1)如图1，过点A ，作AC ⊥x 轴于C ，连接BC ，求△ABC 的面积；(2)如图2，平移线段AB ，使它的端点B 与x 轴上的点P (a ，0)对应，当线段AB 经过一次平移，扫过的平行四边形面积大于24时，求a 的取值范围。

实用标准文案平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．l：判定方法两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：ABCD（同位角相等，两直线平行）；∥若已知∠1=∠2，则ABCD（内错角相等，两直线平行）；∥1=∠3，则若已知∠ABCD（同旁内角互补，两直线平行）．4= 180°，则∥若已知∠1+ ∠另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．、平行线的性质 2 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补文档．实用标准文案本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型CDABPEF“铅笔”模型点在、右侧，在内部PFCPAEPABCD +∠=3 60+结论1：若∠∥°；，则∠CDPFCABPAEP.= 360°，则+结论2：若∠∠+∠∥M模型）模型二“猪蹄”模型（CDABPEF“猪蹄”模型在左侧，在内部、点CFPAEPPABCD +∠结论1：若∠∥，则∠；=CDABPAEPCFP. ∥结论2：若∠，则=∠+∠模型三“臭脚”模型CDEFABP“臭脚”模型、点在外部右侧，在AEPCFPPCFPCDABPAEP或∠∠=结论1：若∠∥，则∠；=∠--∠CDABCFPPAEPCFPPAEP. ∠=∠-∠∥或∠∠=，则-2结论：若∠模型四“骨折”模型CDEFABP“骨折”模型、点在外部左侧，在CFPAEPAEPCDABPCFPP -1：若∥；，则∠=∠∠-∠或∠=∠结论CDAEPAEPCFPPPCFPAB.∠：若∠结论2=∠-或∠=∠-∥，则∠文档．实用标准文案巩固练习平行线四大模型证明AECFPAEPPFC = 360°∠求证∠ +∠）（1已知 // + ,.CFAEPAEPCFP已知∠∥=∠．+∠，求证（2）CFPAEPPAECF.-=已知（3）∠∥，求证∠∠CFPAEPCFPAE .∠）（4已知∠= -∠ ,求证 //文档．实用标准文案平行线四大模型应用模块一例1lNbaMabP．3= 为两平行线间一点，那么∠2+（1）如图，∥+,、∠分别在、∠上，ABCDACE的度数是°，则∠，且∠．=25°，∠ (2)如图，=45∥ABDEABCCDEBCD= .°，则∠，∠ =140=80如图，已知(3)°，∠∥ACBDABP= ． (4) 如图，射线= 40∥°，则∠，∠°，∠= 70练ABCDECEAB的度数为．=37°，∠ (1)如图所示，= 20∥，∠°，则∠(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）ABCDBOCC= .．则∠°，∠如图，∥，∠=30=∠文档．实用标准文案例2FABDEBFDFABCCDEC.∠如图，已知的关系∥，求∠，、分别平分∠、、∠练11FBCABFABDEFDCFDE=∥∠，∠如图，已知=∠，∠. nn FnC；、∠(1)若的关系=2,直接写出∠FnC (2)若=3，试探宄∠的关系；、∠nFC. 的等式表示）的关系 (3)直接写出∠（用含、∠例3ABCDBEABCDEADCEAC) .+．求证：∠∠如图，已知∥= 2 (，平分∠∠，平分∠练ABDEBFDFABCCDECF的关系，求∠.、∠如图，己知∥，、分别平分∠、∠文档．实用标准文案例4DCAB，求证：∠+∠°．+∠= 180+∠如图，∠3==∠1+∠2练MlAEABBCAEBADBCEDE、（武昌七校 2015-2016 七下期中）如图，+⊥∠，平分∠，∠交2= 于90，⊥°，FCDNBAEAMEDNF的度数为（分别是、的延长线上的点，∠）和∠．的平分线相交于点则∠DABC . 135°°. 145° . 150. 120°平行线四大模型构造模块二例5CNPABCDFGHHMNEFA = 50如图，直线∥°，则，∠= 30°，∠= 90°，∠°，∠=30GHM= .∠练CHGFGHAEFEFGABCD= .+ ∠°，∠如图，直线∥，∠ =100 =140°，则∠文档．实用标准文案例6BBCDCDEElABEF． =∥ =25°，∠0=45°，∠ =30°，∠°，求证：已知∠练ABEFl-∠2+∠3+已知∠∥4，求∠的度数.lMANAAAABBB之间的、∠、∠、…、∠ (1)如图(，已知)，∠∥…∠，探索∠nnn-112121关系．MANAAAAABB之间的关系．，己知、∠∥，∠，探索∠、∠、∠、∠(2)(2)如图22144113MANAAAA之间的关系．∥、…、∠，探索∠、∠如图(3)(3)，已知nn211ABCD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠如图所示，两直线∥5+∠6．文档．实用标准文案挑战压轴题七下期中）（粮道街2015—2016FMNMNCDABEPABCD上的一点，．与、，是截线、分别交于如图1，直线∥MPDEDPEFB若∠(1) °，求∠=55°，∠的度数；= 30?Q QPEFCPDABP是否为定值？若是定值，请问：的平分线交于(2) 当点在线段,上运动时，∠与∠?DPB求出定值；若不是，说明其范围；?Q QEFPCDPABP的值足否定值，请在的延长线上运动时，∠与∠，问的平分线交于当点(3) 在线段?DPB中将图形补充完整并说明理由．图2文档．实用标准文案第一讲平行线四大模型（课后作业）CEHBACEHCDABEFCDHACE( ).// 等于 // , ∠⊥ +于∠ ,则∠+1.如图，DABC° . 270° . 360° . 450° . 180 2．（武昌七校2015-2016七下期中）22FECDEABEABFCDFABCD =：∠，∠∠=∠若∥．，∠，则∠=( )33DCAB3:24:3 ．3:1 ．． 2:1 ．CBDAE= .°，则∠，∠1=130°，∠3.如图3，己知∥2=30ABCDCAE= ．= 25∥，∠°，则∠ =115°，∠如图，已知直线4.ABCDlllα= .°，则∠05．如阁所示，∥°，∠，∠=2=120ABDFDDCBB= .=93°，则∠．如图所示，6∥，∠ =116°，∠文档．实用标准文案baa .3的度数为1=50°，∠7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线2 =60上，°，则∠∥.∠ABCDEPFPF的度数为°．则∠． , 已知∠1=308．如图，°，∠∥2=20，⊥ABCDBEFBFC的度数∠.+9.如图，若∠∥∠， +=70°，求∠ABCD．∥10．已知，直线lACAEC之间有什么关系？请说明理由；、∠ (1)如图，∠、∠FCDAEFEFC，∠、∠之间有什么关系？请说明理由；、∠2 （）如图2COHFAEG .之间的关是，∠如图 (3)3、∠、∠、∠、∠、∠、∠文档．。

目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元—次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)1平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n1∠ABF ，∠FDC =n 1∠FDE.(1)若n=2,直接写出∠C 、∠F 的关系；(2)若n=3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系（用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EFA= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题（粮道街2015—2016 七下期中）如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ．(1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q,问：DPBQ 是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ 的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第一讲平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF ,EH ⊥CD 于H ,则∠BAC+∠ACE +∠CEH 等于().A. 180°B. 270°C. 360°D. 450°2．（武昌七校2015-2016七下期中）若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F=()．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=.4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A= 25°，则∠E= ．5．如阁所示，AB ∥CD ，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .6．如图所示，AB ∥DF ，∠D =116°，∠DCB =93°，则∠B= .7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 . 8．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.其中专业理论知识内容包括：保安理论知识、消防业务知识、职业道德、法律常识、保安礼仪、救护知识。

坐标系中动态专题模块一 课前检测【题1】如图，在平面直角坐标系中，第一象限内长方形ABCD ，AD ∥x 轴，点E 在x 轴上，EC 交AD 于G ，BF 平分∠CBE 交OC 于F ，若∠CGD =2∠OCE ，则下列结论正确的是( )A .∠BEC =∠BFOB .∠BEC +∠BFO =135°C .21∠BEC +∠BFO =90°D ．∠BEC +21∠BFO =90°【题2】在平面直角坐标系中，点A （m ，0），B (0，n ），且m ，n 满足2124422-+-+-=m m m n 若点C 为x 轴正半轴上一点，过C 作CD ∥AB ，E 为线段AB 上一点，过O 作OF ⊥OE 交CD 于F ，其中∠BEH =31∠BEO ，∠FCH =31∠FCO ，试写出∠H 与∠BOF 之间的数量关系，并证明你的结论.模块二 典型动点压轴题知识点睛坐标系动点类题型经常出现在期末考试的压轴题中，其中出题套路比较清晰，通常第一问考察绝对值的非负性、解方程知识、点的平移等求解点的坐标；第二问已知面积求点坐标，通常有多个解；第三问与动点结合，考察坐标系中角度的关系，通常会涉及到平行线的4大模型和角平分线等。

同学们做此类题时典型例题【例1】如图：在平面直角坐标系中，A (a ，0)，D (6，4)，将线段AD 平移到BC ，使B (0，b )，且a ，b 满足0)6(22=++-b a(1)求A 点、B 点的坐标；(2)设点M （-3，n ）且三角形ABM 的面积为16，求n 的值；(3)若∠DAO =150°，设点P 是x 轴上的一动点（不与点A 重合），问∠APC 与∠PCB 存在什么具体的数量关系？写出你的结论并证明．【例2】如图，平面直角坐标系中A （-1，0），B (3，0)，现同时将A 、B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到A 、B 的对应点C 、D ，连接AC 、BD(1)直接写出C 、D 的坐标：C ，D 及四边形ABCD 的面积： ；(2)在y 轴负半轴上是否存在点M ，连接MA 、MB 使得S △MAB ＞S 四边形ABCD ， 若存在，求出M 点纵坐标的取值范围；若不存在说明理由；(3)点P 为线段BD 上一动点，连PC 、PO ，当点P 在BD 上移动（不含端点），现给出①CPO BOP DCP ∠∠+∠的值不变；②BOPCPO DCP ∠∠+∠的值不变，其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求其值．能力提升【例3]在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为A （1，a ）、B (b ，1)，且实数a ，b 满足0)4(32=--+-b a(1)求a ，b 的值；(2)平移线段AB 至线段PQ 处（A 的对应点为P ），使得点P 、Q 正好都在坐标轴上，求点P 、Q 的坐标；(3)点C (3，c )，c ≠0，D 是x 轴负半轴上任意一点，连接OC 、OM 平分∠DOC ，ON ⊥OM （ON 在x 轴上方），CE ⊥CO 交x 轴正半轴于点E ，当c 的值发生变化时，探究∠NOD 与∠OEC 之间的数量关系，并说明理由．【例4]如图，平面直角坐标系中，ABCD 为长方形，其中点A 、C 坐标分别为（-4，2）、（1，-4），且AD ∥x 轴，交y 轴于M 点，AB 交x 轴于N .(1) 求B 、D 两点坐标和长方形ABCD 的面积；(2) 一动点P 从A 出发，以21个单位/秒的速度沿AB 向B 点运动，在P 点运动过程 中，连接MP 、OP ，请直接写出∠AMP 、∠MPO 、∠PON 之间的数量关系；(3)是否存在某一时刻t ，使三角形AMP 的面积等于长方形面积的31？若存在，求t 的值并求此时点P 的坐标；若不存在说明理由.【例5]长方形OABC ，O 为平面直角坐标系的原点，OA =5，OC =3，点B 在第三象限求点B 的坐标；(1)如图1，若过点B 的直线BP 与长方形OABC 的边交于点P ，且将长方形OABC 的面积分为1：4两部分，求点P 的坐标；(2)如图2，M 为x 轴负半轴上一点，且∠CBM =∠CMB ，N 是x 轴正半轴上一动点，∠MCN 的平分线CD 交BM 的延长线于点D ，在点N 运动的过程中，CNMD ∠∠ 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由【例6】）如图，△ABC 中，A (m ，n )，B （-4，-1），C （a ，b ），且满足条件22+-=b a ，032=-++n m(1) 写出A 、C 的坐标，并画出△ABC .(2)P 为坐标轴上一点，且△PBC 的面积等于6，直接写出满足条件的所有P 的坐标，并根据所学过的初一、小学知识选一个P 点坐标写出求解过程．(3)将AB 平移到A 'B '使B '(4，0)，现让点C 沿x 轴负方向运动，点N 从点A '出发，沿A 'A 方向运动，且点N 的速度比点C 慢．当点C 到达点（-3，0）时，点C 、N 同时停止（自己在坐标系中完成图形）．问：点N 、C 在运动过程中，A B N ACN B CN BAC ''∠+∠'∠+∠的值是否变化？如不变，求其值；如变化，说明理由．模块三 动点与面积及其他类典型例题【例7]如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD 的边BC 在x 轴上，如果点A 坐标是（-1，42），C 点坐标是(3，0)．(1) 求B 点和D 点的坐标；(2)将这个长方形向下平移2个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？请你写出平移后四个顶点的坐标；(3)如果Q 点以每秒2个单位长度的速度在长方形ABCD 的边上从A 出发到C 点停止，沿着A →D →C 的【例8】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（-1，0）， (3，0)，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD .(1)求点C ，D 的坐标；(2)若在y 轴上存在点M ，连接MA ，MB ，使S △MAB =S 平行四边形ABDC ，求出点M 的坐标；(3)若点P 在直线BD 上运动，连接PC ，PO .①若P 在线段BD 之间时（不与B ，D 重合），求S △CDP +S △BOP 的取值范围；②若P 在直线BD 上运动，请直接写出∠CPO 、∠DCP 、∠BOP 的数量关系．模块四 真题链接【2015-2016汉阳区期中】如图所示，A (1，0)、点B 在y 轴上，将三角形OAB 沿x 轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC ，且点C 的坐标为(a ，b )，且322--+-=b b a ．(1)直接写出点C 的坐标 ；(2)直接写出点E 的坐标 ；(3)点P 是CE 上一动点，设∠CBP =x °，∠P AD =y °，∠BP A =z °，确定x ，y ，z 之间的数量关系，并证明你的结论．【2014-2015青山区期末】己知，在平面直角坐标系中，A (l ，a )、B (b ，1)，其中a 、b 满足0)7(222=-++--b a b a(1)求a 、b 的值(2)平移线段AB 至CD ，其中A 、B 的对应点分别为C 、D ．①若CD 所在的直线过O 点，求将线段AB 向下平移了多少个单位长度？②如图2，若C 、D 两点的坐标分别为C (0，c )、D (d ，0)，点P (m ，1)是第二象限内一点，且m 为整数，动点Q 在线段DO 上以1个单位/秒的速度从D 出发向O 运动，运动到O 点停止，若S △POQ =S △COP ，且S 四边形CDOP ＞2S △COP ，请求出点Q 的运动时间.课后作业【题1】平面直角坐标系中，A (a ，b )，B (2，2)，且0422=-++-+b a b a(1)如图1，过点A ，作AC ⊥x 轴于C ，连接BC ，求△ABC 的面积；(2)如图2，平移线段AB ，使它的端点B 与x 轴上的点P (a ，0)对应，当线段AB 经过一次平移，扫过的平行四边形面积大于24时，求a 的取值范围。