爱智康2017七年级尖子班寒假讲义第1讲平行线的判定与性质

·一对一辅导教案学生姓名 性别年级初一学科数学 授课教师上课时间 年 月 日第（ ）次课 共（ ）次课课时： 课时教学课题平行线的性质和判定教学目标 平行线的性质和判定教学重点与难点平行线的性质和判定5.2.1平行线1、 平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

5、平行线的基本性质（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

（2）平行推理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

如右图所示5.2.2平行线的判定 1、平行线的判定方法：（1）判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

简称： 同位角相等，两直线平行（2）判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

简称： 内错角相等，两直线平行（3）判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

简称： 同旁内角互补，两直线平行（4）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。

（垂直于同一条直线的两条直线平行）【例1】如图1―2―4，直线a ∥b ，则∠A CB ＝________【例2】 如图1―2―5，AB ∥CD ，直线EF 分别交A B 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠B EF ，交CD 于点G ，∠1=5 0○求∠2的度数．abc【课堂练习】：1．如图1－2－6，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．l个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列说法中正确的个数是（）（1）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（2）在同一平面内不平行的两条直线必相交；（3）两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等；（4）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行。

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．如果两个角的一边在同一条直线上，另一条边互相平行，那么这两个角只能（）A．相等 B．互补C．相等或互补D．相等且互补4．如图l－2－7。

1平行的性质及判定模块一平行的定义、性质及判定知识导航定义平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“ ∥”表示．平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．示例剖析a ∥b ， AB ∥ CD 等．31a24b若 a ∥ b ，则1 2 ；若 a ∥ b ，则23；若 a ∥ b ，则34180 ．1a4 3 2b若12，则 a∥ b ；若23，则 a∥ b ；若34180，则 a ∥ b ．Ab (c)a过直线 a 外一点A做 b ∥ a ，c∥a，则 b 与c重合．cba若 b ∥ a ，c∥ a ，则b∥c．1第二级（上）·第 1 讲·基础 - 提高 - 尖子班·教师版夯实基础【例 1】⑴两条直线被第三条直线所截，则（）A ．同位角相等B．内错角相等C．同旁内角互补D．以上都不对⑵1和 2 是同旁内角，若 1 45 ，则 2 的度数是（）A ．45B．135C．45或135 D. 不能确定⑶ 如图，下面推理中，正确的是（）A ．∵A D，∴180°AD ∥ BCB ．∵C D180°，∴ AB∥ CDC．∵A D180°，∴ AB∥ CDD ．∵A C180°，∴ AB∥ CD⑷如图，直线a∥ b，若∠ 1＝ 50°，则∠ 2＝（）A DB C( 北京三帆中学期中)1aA ．50°B． 40°C． 150 °D． 130 °2b(北京 101 中期中 )⑸如图，直线 AB∥ CD ， EF CD ， F 为垂足，如果A 1BGEF20°，则1的度数是（）EA ．20°B．60° C．70° D ．30°CG FD ( 北京八中期中 )⑹ 如图，直线a ∥b ，点B在直线b上，且AB BC，，则2的度数为 ______1 55°1aA C2bB( 北京八十中期中)⑺如图，1和 2 互补，那么图中平行的直线有（）a bc2A ．a∥bB ．c∥d C．d∥e D．c∥e de21( 北京十三分期中 )⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①1 2 ；② 3 4 ；③2；④5，其中正确的个数（）4 90°4180°13524A ． 1B ． 2C． 3 D ． 4( 北京十三分期中 )⑼如图，直线 l1∥ l 2，AB CD ， 1 34°，那么 2 的度数是．AD2l 11l2C B( 北京一六一中期中 )⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果1，那么2等于．64°21( 北京一六一中期中)【解析】⑴ D；⑵D ；⑶ C ；⑷ D ；⑸ C ；⑹ 35°；⑺ D ；⑻ D ；⑼ 56°；⑽ 52°.【例 2】⑴如图，AB∥CD , B D ,请说明 1 2 ，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵ AB∥ CD ，∴BAD D（）．180°A BB D ，∵1∴BAD（等量代换）．2180°D C ∴（同旁内角互补，两直线平行）．∴1 2 （）．（北京市海淀区期末）⑵填空，完成下列说理过程 .如图， DP 平分ADC 交 AB 于点 P ， DPC90，如果∠ 1＋∠ 3＝ 90°，那么∠ 2 和∠ 4 相等吗？说明理由 .A D解：∵ DP 平分ADC ，34∴∠ 3＝∠（）1P23第二级（上）·第 1 讲·基础 - 提高 - 尖子班·教师版B C∵APB =°，且DPC 90，∴∠ 1＋∠ 2＝ 90°.又∵∠ 1＋∠ 3＝ 90°，∴∠ 2＝∠ 3.（）∴∠ 2＝∠ 4.（北京市朝阳区期末）⑶如图 , 已知DE∥AC，DF∥AB，求A BC 度数．AEF4132B D C解：∵ DE ∥ AC （），∴C（），3（）又∵ DF ∥ AB（）∴B（）A（）∴A 3 （）∴A B C1 2 3BDC（）【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°．【解析】⑴ 依次填：两直线平行，同旁内角互补； B ； AD ∥ BC ；两直线平行，内错角相等⑵ 4，角平分线定义， 180，同角的余角相等⑶ 已知；1；两直线平行，同位角相等； 4 ；两直线平行，内错角相等；已知； 2 ；两直线平行，同位角相等；4；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；平角定义．能力提升E【例 3】⑴如图，已知直线AB ∥ CD ，C，，则115° A 25°E的度数为度．A FBC D图3A⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB∥ AC 的E条件：.D B C⑶如图，点 E 在 AC 的延长线上，给出下列条件：① 1 2 ；② 3 4；③A DCE ；B3D④D DCE ；⑤A ABD；1180°2⑥；⑦.4A ACD180°AB CD A EC4能说明 AC∥ BD 的条件有.⑷ 如图，直线EF 分别与直线AB 、 CD 相交于点 G 、 H ，已知1，平分HGB交直线CD于点M．2 60° GM则 3 （）A ．60°B ．65°C．70° D ．130°【解析】⑴ ∵ AB ∥ CD ，C115°（已知），∴BFC 65°（两直线平行，同旁内角互补）∴AFE BFC65°（对顶角相等）．∵ A 25°（已知），∴ E 90°（三角形内角和）．EA G1BH 2 3 MC DF⑵EBD ACB （EBA BAC ）等（答案不唯一）⑶②④⑤；⑷ A ．【例 4】⑴已知：如图1，CD 平分ACB，DE ∥ BC，AED，求EDC．80°⑵已知：如图2，C 1 ， 2 和 D 互余， BE FD 于 G ．求证： AB ∥ CD ．( 北京八中期中 )AA F BD E2GC1DB EC图 1图2【解析】⑴ ∵ DE ∥ BC∴EDC DCB ， ACB AED 80∵CD 平分ACB∴EDC DCB 140ACB2⑵证明：∵C 1 （已知）∴BE ∥CF （同位角相等，两直线平行）又∵ BE FD （已知）∴CFDEGD 90 （两直线平行，同位角相等）∴ 2 BFD 90 （平角定义）又∵2 D 90 （已知）∴BFD D （等量代换）∴ AB ∥ CD （内错角相等，两直线平行）【例 5】如图，已知：AB∥CD，直线EF 分别交 AB 、 CD 于点 M 、 N ，MG 、 NH 分别平分AME 、CNE .求证： MG ∥ NH ．从本题我能得到的结论是：GEA BMHC N DF5第二级（上）·第 1 讲·基础 - 提高 - 尖子班·教师版【解析】∵ AB∥ CD ，∴ AME CNE又∵ MG 、 NH 分别平分AME 、CNE11CNM HNE ，∴MG∥NH∴GME AME22从本题我能得到的结论是：两直线平行，同位角的角分线平行.引导学生举一反三，可得：两直线平行，内错角的角分线平行；两直线平行，同旁内角的角分线互相垂直.模块二基本模型中平行线的证明知识导航模型示例剖析a12ba1b23若 a∥ b ，则12若 a∥ b∥ c ，则1 2 ， 13 180ac21若 a∥ b ，则123b3a123b若 a∥ b ，则12 3 360夯实基础【例 6】已知：如图AB ∥ CD ,点 E 为其内部任意一点，求证：BED B D ．【解析】过点 E 作 EF ∥ AB ,∵EF ∥ AB , AB ∥ CD （已知）∴ EF ∥ CD （平行于同一条直线的两直线平行）A BECDA BE F CD6∵ EF ∥ AB , （已知） ∴ BBEF （两直线平行，内错角相等） ∵ EF ∥ CD , （已知）∴ D DEF （两直线平行，内错角相等）∵ BEDBEF DEF∴BEDBD （等量代换）能力提升【例 7】 如图，已知 AB ∥ DE ， ABC 80 ， CDE 140 ，求 BCD 的度数．【解析】 过点 C 作 CF ∥ AB ．∵ AB ∥ DE 且 CF ∥ AB （已知）∴ CF ∥ AB ∥ DE （平行于同一条直线的两直线平行） ∵ AB ∥ CF 且 ABC 80 （已知）∴ BCFABC 80 （两直线平行，内错角相等）∵ DE ∥ CF 且 CDE 140 （已知）A BDECABD ECF∴ DCF 180 CDE 180 140 40 （两直线平行，同旁内角互补）∴ BCDBCFDCF8040 40探索创新DC【例 8】 如图，已知 3DCB 180o， 12 ，1MCME : GEM4:5 ，求 CME 的度数．GE B2 【解析】 如图延长 CM 交直线 AB 于点 NA3∵ 3 DCB180o ，（已知）3 ABC （对顶角相等）∴ ABCDCB 180o （等量代换） DC∴ AB ∥ CD ，（同旁内角互补，两直线平行）1M∴ 14 （两直线平行，内错角相等）G124EB∵ ，（已知）2 ∴2 4 （等量代换）NA3∴ GE ∥ CM ，（同位角相等，两直线平行）∴ CME GEM 180o （两直线平行，同旁内角互补） ∵CME : GEM 4:5 ，∴ CME 80o【点评】通过辅助线将相关角联系起来.7第二级（上）·第 1 讲·基础 - 提高 - 尖子班·教师版判断对错：图中 1与 2 为同位角（ ）12【解析】 ×_ 1和 2 不是被同一条直线所截判断对错：垂直于同一条直线的两直线互相平行（）【解析】 ×_易忘记大前提“在同一平面内”实战演练题号12345678班次基础班 √ √ √ √√提高班 √√ √√√尖子班√√√√ √知识模块一 平行的定义、性质及判定 课后演练【演练 1】 已知如图，1 C ， 2B ， MN 与 EF 平行吗？为什么？MAN1E 2FBC【解析】 ∵ 1 C （已知）， ∴ MN ∥ BC （内错角相等，两直线平行）∵ 2 B （已知）， ∴ EF ∥ BC （同位角相等，两直线平行）∴ MN ∥ EF （平行于同一条直线的两直线平行）【演练 2】 ⑴ 如图 1， AB ∥ CD ， AD AC ，，则CAB 的度数是．ADC 32°⑵ 如图 2，直线l 与直线 a ，b 相交．若a ∥b ，1 ，则2的度数是．70°8⑶如图 3，直线m∥ n ，1，，则3的度数为（）55°245°A ．80°B ．90°C．100°D．110°A B1l2a1mC D 2b3图 1图 2图3n图2【解析】⑴；⑵；⑶ C．122°110°【演练 3】⑴根据右图在（）内填注理由：①∵B CEF（已知）∴AB∥ CD （）②∵B BED（已知）∴ AB∥ CD （）③∵B CEB（已知）180°∴ AB∥ CD （）⑵ 如图：已知1 2 ， A C ，求证：① AB∥ DC证明：∵12（）∴（）∥（）（）∴C CBE （）又∵C A （）∴A（）∴（）∥（）（）⑶ 如图，∵E 3 （已知），12 （已知）又∵（）∴（）∴ AB∥ CE （）【解析】⑴① 同位角相等，两直线平行；② 内错角相等，两直线平行；③ 同旁内角互补，两直线平行．A BCE DF（北京市东城区期末）②AD ∥ BCD1CA2EB图1AD 1 2 F E3B C图3⑵已知， AB ， CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE ；等量代换； AD ， BC ；同位角相等，两直线平行．⑶ 2； 3；对顶角相等；1；E；等量代换；内错角相等，两直线平行．【演练 4】⑴已知：如图 1，D，，2，求证：3B．110°EFD70°1(北京三帆中学期中 )证明：∵D，EFD（已知）110°70°∴D EFD180°A1D∴ AD ∥（）E3F 又∵1 2 （已知）∴∥（）B 2∴∥（）图1C9第二级（上）·第 1 讲·基础 - 提高 - 尖子班·教师版∴3 B （）⑵如图 2，EF ∥ AD ，12，BAC．将求AGD的过程填写完整．70°(北京四中期中 )解：∵ EF ∥ AD ，∴2（）C又∵12D G∴13（）1F∴ AB ∥（）∴BAC（）23180°B A又∵BAC70°E∴AGD．图 2【解析】⑴EF ；同旁内角互补，两直线平行；AD ； BC ；内错角相等，两直线平行；EF ； BC ；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．⑵ 3 ；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG ；内错角相等，两直线平行；AGD ;两直线平行，同旁内角互补；110°．【演练 5】如图，已知DA AB ， DE平分ADC ， CE 平分BCD ，A D12，求证：BC AB．1 90°【解析】∵ DE 平分ADC ， CE 平分BCD ，1290°E2∴ADC，∴AD ∥ BC，∴DAB ABC180°BCD 180° B C∵DA AB ，∴ABC，即BC AB90°【演练 6】如图，已知12180o，3 B ，试判断AED 与ACB 的大A 小关系，并对结论进行证明．D3E【解析】法一：∵ 12180o，∴2DFE21F∴ AB ∥ EF ，∴3ADE B C∵3 B ，∴B ADE∴ DE ∥ BC ，∴AED ACB法二：延长 EF ，找2的同位角，证出AB ∥ EF ，再找3的内错角，证出DE ∥ BC 即可．知识模块二基本模型中平行线的证明课后演练22B A【演练 7】如图，已知 AB∥ CD ，ABF CDF CDE ，ABE ，33F 则 F :E.ED C 【解析】分别过点E ，F 做 AB 和 CD 的平行线，易得： F :E2:3 .【演练 8】已知：如图，点 E 为其内部任意一点，BEDB D .求证： AB∥CD .10A BECD 【解析】如图过点E 做 EF ∥ AB ,∵EF ∥ AB∴BBEF ,∵BED BEF DEF B DEF BED B D∴DEF D∴EF ∥ CD又∵ EF ∥ AB∴AB∥ CDA BE FCD11第二级（上）·第 1 讲·基础 - 提高 - 尖子班·教师版。

第一讲平行线的判定及性质【课程导航】1. 两条不同的直线，若它们只有一个交点，就可以说它们相交，即两直线相交有且只有一个交点.2. 垂直是相交的特殊情况，关于垂直有两个重要的结论：⑴过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑵直线外一点与直线上所有点连成的线段中，垂直线段最短.3. 在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

关于平行线，应理解平行公理，即过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.4. 两条直线被第三条直线所截，得到八个角，其中有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角，这就是“三线八角”.5. 在同一平面内，不重合直线的位置关系是相交或平行.【锦囊妙计】1.能熟练地找出图形中的三线八角.2.运用平行线的性质定理：⑴两直线平行，同位角相等；⑵两直线平行，内错角相等；⑶两直线平行，同旁内角互补；⑷如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直.3.运用平行线的判定定理：⑴同位角相等，两直线平行；⑵内错角相等，两直线平行；⑶同旁内角互补，两直线平行；⑷在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行；⑸在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【典型例题】例1．已知：如图，∠BED＝85°，∠B＝35°，∠D＝50°，求证：AB∥CD．思路点拨：过点E作EF∥AB，则∠BEF＝∠B＝35°，易得∠FED＝50°，所以∠FED＝∠D，即可证明EF∥CD，则AB∥CD.解答：证明：过点E作EF∥AB，∴∠BEF＝∠B＝35°（两直线平行，内错角相等），∵∠BED＝85°，∠D＝50°，∴∠FED＝50°，∴∠FED＝∠D＝50°，∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行），∴AB∥CD（同一平面内，平行于同一直线的两直线平行）．点评：此题考查平行线的判定和性质：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；同一平面内，平行于同一直线的两直线平行．要灵活应用．例2．如图，∠AEM＝∠DGN,∠1＝∠2,证明EF∥GH.思路点拨：证明两条直线平行，需找同位角或内错角相等或同旁内角互补，想办法将题目中的相等角转化成我们需要的角即可。

目录Contents第讲平行线四大模型.....................................................................11 第讲实数三大概念........................................................................172 第讲平面直角坐标系.....................................................................333 第讲坐标系与面积初步..................................................................514 第讲二元—次方程组进阶...............................................................675 第讲含参不等式（组） (796)平行线四大模型1知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．、平行线的性质 2 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．：1性质．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等2：性质.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等称：两直线平行，内错角相等简：性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型内部AB、CD点P在EF右侧，在“铅笔”模型；°∠AEP+∠PFC=3 60P结论1：若AB∥CD，则∠+ ∥°，则ABCD.∠结论2：若∠P+AEP+∠PFC= 360模型二“猪蹄”模型（模型）MCD内部侧，在AB、P点在EF左“猪蹄”模型；CFPP=∠AEP+∠CD1结论：若AB∥，则∠. AB∥CDCFP∠2结论：若∠P=AEP+∠，则模型三“臭脚”模部CD、侧，在EFP点在右AB外“臭脚”模型∠AEP；或∠P=∠CFP-∠结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-CFP. ∥CD，则∠CFP-∠AEPABP 结论2：若∠=∠AEP-∠CFP或∠P=模型四“骨折”模型部CD外EF左侧，在AB、点P在“骨折”模型；AEP-∠CFP∠∠CFP-∠AEP或P=∠P结论1：若AB∥CD，则∠=AB∥CD.P=∠AEP-∠CFP，则CFP结论2：若∠P=∠-∠AEP或∠巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.CF．CFP∠，求证AE∥（2）已知∠P=∠AEP+（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP..CF //AE证求,AEP∠-CFP∠= P∠已知）4（．平行线四大模型应用模块一例1 一点，b在a、上，P为两平行线间那么∠l+∠2+∠3= ．分别,，（1）如图a ∥bM、N(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2.F的关系、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠AB如图，已知∥DE，BF练11=，∠FBC∠FDE.如图，已知AB∥DE，∠ABF∠FDC=nn；的关系FC=2(1)若n,直接写出∠、∠n(2)若=3，试探宄∠C、∠F的关系；n（用含的等式表示）.F 写出∠(3)直接C、∠的关系例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4 C+∠D= 180°．B如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠+∠练°，2= 90l+∠AE平分∠BAD交BC于E，⊥DE，∠AE（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，）．则∠F的度数为（点M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM 和∠EDN的平分线相交于F. 145°D. 150°°. 135 C°A. 120 B平行线四大模型构造模块二例5 = 50°，则= 90= 30°，∠FGH°，∠HMN=30°，∠CNPA∥如图，直线ABCD，∠EF∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例 6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA∥NA，探索∠A、∠A、…、∠A，∠B、∠B…∠B之间的-11n122n1n关系．(2)如图(2)，己知MA∥NA，探索∠A、∠A、∠A、∠A，∠B、∠B之间的关系．21244311(3)如图(3)，已知MA∥NA，探索∠A、∠A、…、∠A之间的关系．nn112如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题七下期中）（粮道街2015—2016．AB分别交于E、F与∥1，直线ABCD，P是截线MN上的一点，MNCD、如图EDP= 30°，求∠MPD的度数；(1) 若∠EFB=55°，∠?Q是否为定值？若是定的平分线交于ABPQ,值，请问：∠在线段(2) 当点PEF上运动时，CPD与∠?DPB求出定值；若不是，说明其范围；?Q的值足否定值，请QABP运动时，∠CDP与∠的平分线交于，问上EF在点(3) 当P线段的延长线?DPB整并说明完理由．中将图形补充在图2第一讲平行线四大模型（课后作业）).∠ACE +∠CEH等于( 则，1.如图AB // CD // EF , EH⊥CD于H,∠BAC+. 450°D°A. 180°B. 270°C. 360七下期中）2015-20162．（武昌七校22 )．∥若ABCD，∠CDF∠=ABE，则∠E：∠F∠=( CDEABF，∠=3323:D．:3 1 B．3:C．4 ．A2:1.1=130.3如图3，己知AE∥BD，∠°，∠2=30°，则∠C=4.如图，已知直线AB∥CD，∠C =115°，∠A= 25°，则∠E= ．5．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .6．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .b7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥.∠8．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；；FCD之间有什么关系？请说明理由AEF、∠EFC、∠（2）如图2，∠.之间∠G、∠，∠(3)如图3A、∠EF、∠、∠H、O、∠C的关是。

目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元—次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)1平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题（粮道街2015—2016 七下期中）如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第一讲 平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2．（武昌七校2015-2016七下期中）若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5．6．如阁所示，AB ∥CD ，∠l =l l 0°，∠2=120°，则∠α= .7．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .8．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .9．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．.9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；精品文档(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.精品文档。

实用标准文案平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．l：判定方法两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：ABCD（同位角相等，两直线平行）；∥若已知∠1=∠2，则ABCD（内错角相等，两直线平行）；∥1=∠3，则若已知∠ABCD（同旁内角互补，两直线平行）．4= 180°，则∥若已知∠1+ ∠另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．、平行线的性质 2 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补文档．实用标准文案本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型CDABPEF“铅笔”模型点在、右侧，在内部PFCPAEPABCD +∠=3 60+结论1：若∠∥°；，则∠CDPFCABPAEP.= 360°，则+结论2：若∠∠+∠∥M模型）模型二“猪蹄”模型（CDABPEF“猪蹄”模型在左侧，在内部、点CFPAEPPABCD +∠结论1：若∠∥，则∠；=CDABPAEPCFP. ∥结论2：若∠，则=∠+∠模型三“臭脚”模型CDEFABP“臭脚”模型、点在外部右侧，在AEPCFPPCFPCDABPAEP或∠∠=结论1：若∠∥，则∠；=∠--∠CDABCFPPAEPCFPPAEP. ∠=∠-∠∥或∠∠=，则-2结论：若∠模型四“骨折”模型CDEFABP“骨折”模型、点在外部左侧，在CFPAEPAEPCDABPCFPP -1：若∥；，则∠=∠∠-∠或∠=∠结论CDAEPAEPCFPPPCFPAB.∠：若∠结论2=∠-或∠=∠-∥，则∠文档．实用标准文案巩固练习平行线四大模型证明AECFPAEPPFC = 360°∠求证∠ +∠）（1已知 // + ,.CFAEPAEPCFP已知∠∥=∠．+∠，求证（2）CFPAEPPAECF.-=已知（3）∠∥，求证∠∠CFPAEPCFPAE .∠）（4已知∠= -∠ ,求证 //文档．实用标准文案平行线四大模型应用模块一例1lNbaMabP．3= 为两平行线间一点，那么∠2+（1）如图，∥+,、∠分别在、∠上，ABCDACE的度数是°，则∠，且∠．=25°，∠ (2)如图，=45∥ABDEABCCDEBCD= .°，则∠，∠ =140=80如图，已知(3)°，∠∥ACBDABP= ． (4) 如图，射线= 40∥°，则∠，∠°，∠= 70练ABCDECEAB的度数为．=37°，∠ (1)如图所示，= 20∥，∠°，则∠(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）ABCDBOCC= .．则∠°，∠如图，∥，∠=30=∠文档．实用标准文案例2FABDEBFDFABCCDEC.∠如图，已知的关系∥，求∠，、分别平分∠、、∠练11FBCABFABDEFDCFDE=∥∠，∠如图，已知=∠，∠. nn FnC；、∠(1)若的关系=2,直接写出∠FnC (2)若=3，试探宄∠的关系；、∠nFC. 的等式表示）的关系 (3)直接写出∠（用含、∠例3ABCDBEABCDEADCEAC) .+．求证：∠∠如图，已知∥= 2 (，平分∠∠，平分∠练ABDEBFDFABCCDECF的关系，求∠.、∠如图，己知∥，、分别平分∠、∠文档．实用标准文案例4DCAB，求证：∠+∠°．+∠= 180+∠如图，∠3==∠1+∠2练MlAEABBCAEBADBCEDE、（武昌七校 2015-2016 七下期中）如图，+⊥∠，平分∠，∠交2= 于90，⊥°，FCDNBAEAMEDNF的度数为（分别是、的延长线上的点，∠）和∠．的平分线相交于点则∠DABC . 135°°. 145° . 150. 120°平行线四大模型构造模块二例5CNPABCDFGHHMNEFA = 50如图，直线∥°，则，∠= 30°，∠= 90°，∠°，∠=30GHM= .∠练CHGFGHAEFEFGABCD= .+ ∠°，∠如图，直线∥，∠ =100 =140°，则∠文档．实用标准文案例6BBCDCDEElABEF． =∥ =25°，∠0=45°，∠ =30°，∠°，求证：已知∠练ABEFl-∠2+∠3+已知∠∥4，求∠的度数.lMANAAAABBB之间的、∠、∠、…、∠ (1)如图(，已知)，∠∥…∠，探索∠nnn-112121关系．MANAAAAABB之间的关系．，己知、∠∥，∠，探索∠、∠、∠、∠(2)(2)如图22144113MANAAAA之间的关系．∥、…、∠，探索∠、∠如图(3)(3)，已知nn211ABCD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠如图所示，两直线∥5+∠6．文档．实用标准文案挑战压轴题七下期中）（粮道街2015—2016FMNMNCDABEPABCD上的一点，．与、，是截线、分别交于如图1，直线∥MPDEDPEFB若∠(1) °，求∠=55°，∠的度数；= 30?Q QPEFCPDABP是否为定值？若是定值，请问：的平分线交于(2) 当点在线段,上运动时，∠与∠?DPB求出定值；若不是，说明其范围；?Q QEFPCDPABP的值足否定值，请在的延长线上运动时，∠与∠，问的平分线交于当点(3) 在线段?DPB中将图形补充完整并说明理由．图2文档．实用标准文案第一讲平行线四大模型（课后作业）CEHBACEHCDABEFCDHACE( ).// 等于 // , ∠⊥ +于∠ ,则∠+1.如图，DABC° . 270° . 360° . 450° . 180 2．（武昌七校2015-2016七下期中）22FECDEABEABFCDFABCD =：∠，∠∠=∠若∥．，∠，则∠=( )33DCAB3:24:3 ．3:1 ．． 2:1 ．CBDAE= .°，则∠，∠1=130°，∠3.如图3，己知∥2=30ABCDCAE= ．= 25∥，∠°，则∠ =115°，∠如图，已知直线4.ABCDlllα= .°，则∠05．如阁所示，∥°，∠，∠=2=120ABDFDDCBB= .=93°，则∠．如图所示，6∥，∠ =116°，∠文档．实用标准文案baa .3的度数为1=50°，∠7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线2 =60上，°，则∠∥.∠ABCDEPFPF的度数为°．则∠． , 已知∠1=308．如图，°，∠∥2=20，⊥ABCDBEFBFC的度数∠.+9.如图，若∠∥∠， +=70°，求∠ABCD．∥10．已知，直线lACAEC之间有什么关系？请说明理由；、∠ (1)如图，∠、∠FCDAEFEFC，∠、∠之间有什么关系？请说明理由；、∠2 （）如图2COHFAEG .之间的关是，∠如图 (3)3、∠、∠、∠、∠、∠、∠文档．。

学科教师辅导讲义年级：初一科目：数学课时数：3课题平行线的判定1.了解平行线的概念，掌握平行线的判定方法，会用三角尺和直尺过直线外一点画已教学目的知直线的平行线．2.会依据平行线的判定进行说理，初步感知逻辑推理的过程及其表达．3．能将平行线的知识应用于生活中，提高解决实际问题的能力．教学内容【知识点梳理】1．平行线的概念同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．【注意】①“在同一平面内”是定义的首要前提条件，不可缺少，因为在空间里，还存在两条直线既不相交，也不平行的情况；②“不相交”是说两条直线向两个方向怎样延长都不会相交；③平常所说的两条射线或线段平行，实质上是指它们所在的直线平行；④在同一平面内，两条不重合的直线只有两种位置关系：平行与相交．2．平行线的表示方法平行线符号“∥”表示．如AB平行于CD表示为AB∥CD．3．平行线的基本性质(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理及其推论是整个初中平面几何的基石，是其他公理、定理的基础，它们的作用十分重要．平行公理及其推论在说明直线平行时，经常用到．【注意】这条性质与垂线的性质很相似，但过任意一点都可以画垂线，而画平行线，只能是过直线外一点才可以．4．平行线的三种判定方法(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简单地说，同位角相等，两直线平行．(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错角相等，两直线平行．(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简单地说，同旁内角互补，两直线平行．基本图形如图所示：(1)如果∠1=∠2，那么l//l；12(2)如果∠3=∠2，那么l//l；12(3)如果∠2+∠4=180︒，那么l//l．12【注意】①平行线的判定，实质上是同位角、内错角、同旁内角的识别，对于它们的识别，一要注意它们的位置特征，二要注意它们的图形特征．②判定两直线平行应根据所给条件，适当选用三种方法中的一种．③判定两直线平行还可以根据定义和平行的传递性（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．【典型例题讲解】【例1】如图所示，∠BAF=46︒,∠ACE=136︒，且CE⊥CD．问：CD与AB平行吗？为什么？【分析】要说明CD与AB是否平行，先要分析∠ACD与∠CAB是否相等，可以通过角度的计算得到∠ACD与∠CAB的关系．【解析】CD∥AB．理由如下：因为∠BAF+∠BAC=180︒，∠BAF=46︒，所以∠BAC=134︒．又因为CE⊥CD，所以∠DCE=90︒．又因为∠DCE+∠DCA+∠ACE=360︒，∠ACE=136︒，所以∠DCA=134︒．所以∠DCA=∠BAC所以CD∥AB(内错角相等，两直线平行)．【方法总结】本题利用“内错角相等，两直线平行”判定直线C D与AB平行，这个公理的条件是“内错角相等”，所以应先判定直线AB、CD被直线FC所截，形成的内错角∠DCA与∠BAC相等．【借题发挥】1．如图所示，已知∠1+∠3=180︒,∠2+∠3=180︒，试判断AB和CD的关系并说明理由．【分析】观察图形可直观地判断AB∥CD，为此只需说明∠1=∠2或∠A=∠D．【解析】因为∠1+∠3=180︒,所以∠1=180︒-∠3.又因为∠2+∠3=180︒所以∠2=180︒-∠3所以∠1=∠2.所以AB∥CD【方法总结】观察——猜想——验证是解决开放性问题的一般思路．2．如图所示，已知BE⊥MN，DF⊥MN，∠1=∠2，直线AB与CD平行吗？为什么？【分析】本题产生错解：因为∠1=∠2，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．误认为∠1与∠2是同位角、实质上∠1与∠2不是两条直线被第三条直线所截得的角，应由已知推出∠ABM=∠CDB，再由同位角相等，两直线平行判定AB∥CD．【解析】因为BE⊥MN，DF⊥MN所以∠EBM=∠FDM=90︒（垂直的定义），又∠1=∠2，所以∠EBM-∠1=∠FDM-∠2,即∠ABM=∠CDB,所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．【方法总结】找同位角、内错角或同旁内角时，必须确定它们是不是两条直线被第三条直线所截得的角．【例2】有一辆车两次拐弯后，仍按原方向前进，这两次拐弯的角度可能是()(A)第一次向左拐30︒，第二次向右拐30︒(B)第一次向左拐30︒，第二次向右拐150︒(C)第一次向左拐30︒，第二次向左拐30︒(D)第一次向左拐30︒，第二次向左拐150︒【分析】如图所示，∠1=∠2=30︒，则两次拐弯后，仍按原方向前进，故选A．【方法总结】利用所学平行线的知识，结合实际，提高生活中对问题的解决能力．【例3】如图所示，已知∠B=25︒,∠BCD=45︒,∠CDE=30︒,∠E=10︒，试说明AB∥EF的理由．【分析】要说明AB∥EF，需分析直线AB、EF被第三奈直线所截所形成的同位角相等或内错角相等，而图中没有第三条直线，这就需要作出相应的辅助线帮助我们解决问题．【解法一】如图甲所示，在∠BCD内部作∠BCM=25︒，在∠CDE内部作∠EDN=10︒，因为∠B=25︒,∠E=10︒，所以∠B=∠BCM,∠E=∠EDN．所以AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)．又因为∠BCD=45︒,∠CDE=30︒，所以∠DCM=20︒,∠CDN=20︒，所以∠DCM=∠CDN，所以C M∥DN(内错角相等，两直线平行)．因为AB∥CM，EF∥DN．所以AB∥EF(平行tR一备莹线的两条直线平行)，【解法二】如图乙所示．分别延长线段CD、DC,变EF于点M、交AB于点N．因为∠BCD=45︒，所以∠NCB=135︒．因为∠B=25︒，所以∠CNB=180︒-∠NCB-∠B=20︒（三角形的内角和等于180︒）．又因为∠CDE=30︒，所以∠EDM=150︒，又因为∠E=10︒，所以∠EMD=180︒-∠EDM-∠E=20︒（三角形的内角和等于180︒）．所以∠CNB=∠EMD．所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．【方法总结】利用辅助线的目的是把AB、EF联系起来，分析和说明这两条直线被其他直线所截所形成的；内错角之间的关系（相等关系），从而依据平行线的判定方法判定这两条直线平行．【例4】如图所示，已知直线a，b，c被直线d所截，∠1=∠3,∠3+∠4=180︒那么a∥c吗？为什么？【分析】本题应从已知条件出发，及邻补角、对顶角等角的关系，利用平行线的判定来解决【解析】方法一：因为∠1=∠3（已知），所以a∥b（同位角相等，两直线平行）．又因为∠3+∠4=180︒（已知），而∠3+∠5=180︒（邻补角定义）．所以∠4=∠5（同角的补角相等），所以b∥c（同位角相等，两直线平行），所以a∥c（平行线的传递性）方法二：因为∠1+∠7=180︒（邻补角定义），又因为∠3+∠4=180︒（已知），∠1=∠3（已知）．所以∠7=∠4（等角的补角相等）．所以a∥c（同位角相等，两直线平行）．方法三：因为∠3+∠4=180︒（已知），又因为∠1=∠3（已知），所以∠1+∠4=180︒（等量代换）．因为∠1=∠6,∠4=∠8（对顶角相等），所以∠6+∠8=180︒（等量代换）．所以a∥c（同旁内角互补，两直线平行）．【例5】如图所示，直线EF交直线AB、CD于G、H，GP平分∠AGE，HQ平分∠DHF，∠1=∠2，说明AB∥CD的理由．【分析】要说明两直线平行，可用平行线的判定方法．(1)可考虑同位角相等，两直线平行；(2)可考虑内错角相等，两直线平行；(3)可考虑同旁内角互补，两直线平行【解法一】因为GP平分∠AGE(已知)．所以∠AGE=2∠1（角的平分线的意义）．因为HQ平分(已知)，所以∠DHF=2∠2（角的平分线的意义）又∠1=∠2（已知），所以∠AGE=∠DHF．而∠BGH=∠AGE(对顶角相等)．所以∠DHF=∠BGH(等量代换)．所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）【解法二】因为GP平分∠AGE（已知）．所以∠AGE=2∠1（角的平分线的意义）．因为HQ平分(已知)，所以∠DHF=2∠2（角的平分线的意义）又∠1=∠2（已知），所以∠AGE=∠DHF．因为∠DHF+∠DHG=180︒(平角的定义)；∠AGE=∠HGB（对顶角相等），所以∠HGB+∠DHG=180︒（等量代换），所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．还可尝试用“内错角相等，两直线平行”进行说理．【方法总结】一道题目有多种解法，这叫做一题多解，在较多的解法中，你可选择最简单的方法解题；当你的思路受阻时，可尝试另一种方法解决．【借题发挥】如图所示，已知，∠1:∠2:∠3=2:3:4,∠AEF=60︒,∠BDF=120︒，问D F与AB,EF与BC的位置关系怎样？为什么？【分析】本题关键是求出∠2的度数，由∠1:∠2:∠3=2:3:4．可设每一份为未知数x，再由∠1+∠2+∠3=180︒，解关于x的方程，进而得出∠2的度数．【解析】DF∥AB，EF∥BC．因为∠1:∠2:∠3=2:3:4（已知），可设∠1＝2x，∠2＝3x，∠3＝4x,因为∠1+∠2+∠3=180︒（平角定义），所以2x+3x+4x=180︒（等量代换），得x=20︒．所以∠1=40︒,∠2=60︒,∠3=80︒，因为∠AEF=60︒（已知），所以∠AEF=∠2=60︒（等量代换），所以DF∥AB（内错角相等，两直线平行）．因为∠BDF=120︒,∠2=60︒（已知），得∠BDF+∠2=180︒，所以EF∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．【方法总结】本题借助代数方法解决几何问题，是学习几何知识常用的方法之一．【例6】如图所示，在铺设铁轨时，两条铁轨必须是平行的．已知∠2是直角，那么再测量图中的那个角（仅限图中已标出的），就可以判断图中的两条铁轨是否平行？为什么？【分析】图中∠2=∠3，两条铁轨AB、CD被枕木所截，形成角的关系为：∠3与∠5是同旁内角，∠3与∠6是内错角，∠3与∠7是同位角．所以只要测量出∠5、∠6、∠7中任何一个角的度数，都能够判断图中的两条铁轨是否平行．【解析】只要再测量出∠5或∠6或∠7的度数，如果它们是直角，就可判断图中的两条铁轨是平行的，如果这几个角中测量的结果不是直角，就可以判断两条铁轨不平行，需重新调整．理由如下：困为∠2=∠3=90︒，①如果∠5=90︒，则∠3+∠5=180︒，所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；②如果∠6=90︒，则∠5=90︒．所以∠3+∠5=180︒．所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)；③如果∠7=90︒，则∠5=90︒，所以∠3+∠5=180︒．所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．【方法总结】平行线的判定是工程施工中经常见到的数学操作活动，判定平行线应在具体的实物中找出同位角、内错角以及同旁内角，从这些角之间的关系上判断是否存在平行线．【借题发挥】如图所示，现有一块不规则的木料，只有AB一边成直线，木工师傅想在这块木料上截出一块有一组对边平行的木板，用角尺在MN处画了一条直线，然后又用角尺在EF处丽了一条直线．画完后用锯子沿MN、E F锯开，就截出了一块有一组对边平行的木板．木工师傅这样做的道理是什么？【分析】要说明MN∥EF，既可以利用“同位角相等，两直线平行”，又可以利用“同旁内角互补，两直线平行”，同时要明确利用角尺画出的线(MN、EF)与边沿线(AB)相互垂直的事实．【解析】因为MN⊥AB,EF⊥AB，所以∠MNA=90︒，∠EFA=90︒，所以∠MNA=∠EFA．所以MN∥EF(同位角相等，两直线平行)．【方法总结】在日常生活中要善于发现数学、应用数学，发现数学现象，用数学知识解释生活中的有关现象，能够进一步巩固数学基础知识，不断提高数学学习水平．【随堂练习】1．如图所示，解答下列问题．(1)若∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？(2)若∠1=∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？(3)若∠1=∠C，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？(4)若∠2+∠3=180︒，可以判定哪两条直线平行？根据是什么?．【分析】由三线八角的位置得∠1与∠M．∠1与∠2都是内错角，它们分别是AM、CE被直线DM所截，BF、CE被直线DM所截；∠1与∠C是同位角，是MD、AC被直线CE所截；∠2与∠3是同旁内角，是MD、AC被直线BF所截．【解析】(1)因为∠1=∠2，所以BF∥CD(内错角相等，两直线平行)．(2)因为∠1=∠M，所以AM∥CD(内错角相等，两直线平行)．(3)因为∠1=∠C，所以AC∥MD(同位角相等，两直线平行)．(4)因为∠2+∠3=180︒，所以AC∥MD(同旁内角互补，两直线平行)．【方法总结】结合三线八角的位置特征，灵活应用平行线的识别方法解决问题．2．如图所示，A B⊥EF于G，C D⊥EF于H，G P平分∠EGB．HQ平分∠CHF．试找出图中有哪些平行线？并说明理由．【分析】求平行需根据平行线的识别寻找条件，因为AB⊥EF、CD⊥EF．可以考虑，垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB∥CD．由图知∠2=∠4=90︒，又因为PG平分∠BGE,HQ平分∠CHF，所以11∠1=∠BGE,∠3=∠CHF，即∠1=∠3=45︒，所以∠PGH=∠QHG=90︒+45︒=135︒．再由内错角相等22两直线平行得PG∥HQ．【解析】AB∥CD，PG∥HQ．理由如下：∵AB⊥EF，CD⊥EF(已知)，∴AB∥CD(垂直于同一条直线的两直线平行)．∵AB⊥EF（已知），∴∠EGB=∠2=90︒（垂直定义）．．∵GP平分∠EGB(已知)，∴∠1=12∠EGB=45︒（角平分线定义）∴∠PGH=∠1+∠2=135︒．同理∠GHQ=135︒，∴∠PGH=∠GHQ，∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．【方法总结】这种题型的结论让我们自己找，属于一种结论开放题型，在今后的学习中我们会不断遇到这类题型．图1图23．如图1所示，已知∠B=∠C，AE平分∠DAC．那么AE∥BC吗？为什么？【解析】AE∥BC因为∠CAD=∠B+∠C,再由已知条件，可得出∠B=∠C=∠DAE=∠CAE，即可进行证明．4．如图2所示，已知∠ABC=50︒，P是∠ABC内部一定点，作图并计算：(1)过P点作PD∥AB，交BC于点D，再过P点作PE∥BD．求∠EPD的度数．(2)当点P在∠ABC外部时（P点不在直线AB、BC上）．仍按(1)的要求作图，你能求出∠EPD的度数吗？【解析】作图可知四边形BDPE为平行四边形，(1)∠EPD＝∠ABC=50︒；(2)∠EPD＝180°－∠ABC=130︒5．工人在铺铁轨时．怎样利用枕木与铁轨构成的角来判定两条铁轨平行的？为什么？【解析】提示：枕木与铁轨构成的角度相等（平行线的判定定理）【课堂总结】【课后作业】基础复习巩固：一、选择题1．如图，下列所给条件中，能使AD∥BC的条件是()A．∠1＝∠2B．∠3=∠4C．∠B＋∠BCD＝180°D．∠B=∠D2．如图，下列所给条件中，不能说明AB∥DF的是()A．∠A+∠2=180︒B．∠A=∠3C．∠1=∠4D．∠1=∠A3．如图，过点C有直线MN，AB∥MN的条件是()A．∠B=∠ACM B．∠B=∠ACBC．∠B=∠BCN D．∠B+∠BCA=180︒4．如图，在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°，现A、B丽地要同时开工，若干天后公路准确对接，则B地所修公路的走向应是()A．南偏东52°B．北偏西52°C．西偏北52°D．北偏西38°5．如图，下列四个图形，图中若∠1=∠2，能够判定AB∥CD的是()二、完成下列各题的说理过程6．如图，∠ABC=∠ADC，BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC，∠1=∠2，请完成DE∥BF的说理过程，【解】因为BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC()所以∠1=12∠ABC，1∠3=∠ADC()2又∠ABC=∠ADE()，所以∠＝∠()．因为∠l＝∠2()，所以∠＝∠()．所以DE∥BF()．7．如图，CD⊥DA,DA⊥AB,∠1=∠2，问直线DF与AE平行吗？为什么？【解】DF∥AE．理由如下：因为C D⊥DA,DA⊥AB()，所以∠CDA=∠DAB＝°()．（完成以下说理过程）．综合提高训练8．如图， A E 、CE 分别是 ∠ BAC 和 ∠ DCA 的角平分线，且∠ l 是它的余角的两∠ 1＝2 ∠ 2，试说明 AB ∥ CD 的理由．倍 ，9．如图，∠1 = ∠2 ． BD 平分 ∠ABC ．可推出哪两条线段平行？写出推理过程．如果要推出另外两条线段平行，则 应将上述两条件之一作如何改变？10．如图，小明和小强分别在一条小河的两岸，他们想知道河的两岸 EF 、 MN 是否平行，于是每人拿来一个测角 仪和两根标杆．在现有条件下，两人能否判断河的两岸 E F 和 MN 是否平行呢？说说你的方案．【答案】1．A 2．D 3．C 4．B 5．C6．已知；角平分线的意义；已知；∠1 = ∠3 ，等量代换；已知；∠2 = ∠3 ，等量代换；；同位角相等，两直线相等．7．已知；90°，垂直的定义；因为∠1 = ∠2 （已知）；所以 ∠CDA -∠ 2 = ∠DAB -∠ 1（等式性质）；即 ∠3 = ∠4 ； 所以 DF ∥ AE （内错角相等，两直线平行）．8．由 ∠ l 是它的余角的两倍（已知），得 ∠ l ＝60°；由 ∠ 1＝2 ∠ 2（已知）得 ∠ 2＝30°；又因为 AE 、 CE 分别是 ∠ BAC 和 ∠ DCA 的角平分线（已知） ，得 ∠DCA = 120︒ ， ∠BAC = 60︒ ，所以有 ∠DCA +∠ BAC = 180︒ ；所以 AB ∥ CD （同旁内角互补，两直线平行） 9． AD ∥ BC .因为 BD 平分 ∠ABC （已知），所以 ∠1 = ∠DBC ，又 ∠1 = ∠2 （已知），所以 ∠DBC = ∠2 （等量代换）；所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．将∠1=∠2改为∠CBD=∠CDB或将BD平分∠ABC改为平分∠ADC．10．通过目测使四个标杆A、B、C、D在一条直线上，如图所示再用测角仪分别测出∠ABF和∠DCN的大小，若∠ABF+∠DCN=180︒，则EF∥MN；若∠ABF+∠DCN≠180︒，则EF与MN不平行．。

学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：朱兴 课程主题： 平行线性质 授课时间： 2018年学习目标平行线性质教学内容知识点一（平行线性质）一、知识预备回顾：平行线有哪些判定方法？性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简单地说，两直线平行，同位角相等． 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简单地说，两直线平行，内错角相等．性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简单地说，两直线平行，同旁内角互补． 【注意】①若两直线平行，我们应联想到同位角相等，内错角相等，同旁内角互补等性质，为解决有关角的问题提供依据．②平行线的性质与判定的区别和联系在于两者的条件和结论是互逆的，解题时要注意恰当运用． 二、知识研究 平行性质1：两直线平行，同位角如图，可表述为：∵ ( ) ∴ ( )平行性质2：两直线平行，内错角如图，可表述为：∵ ( ) ∴ （ )平行性质3：两直线平行，同旁内角如图，可表述为：∵ ( )∴ （ )知识精讲F EDC BA 21 12B DC A 2BDC A 1三、知识运用 （一）基础达标例1、（1）如图，已知直线a//b ，c//d ，∠1=70 º，求∠2、∠3的度数。

∵a//b （ ）∴∠2= = （ ） ∵c //d （ ）∴∠3= = （ ）（2）如图，已知BE 是AB 的延长线，并且AB ∥DC ，AD ∥BC, 若，则 度， 度。

∵ // （ ）∴∠CBE=∠C= （ ） ∵ // （ ）∴∠A=∠CBE= （ ）（二）能力提升例2、(1)如图，∠ADE ＝60º，∠B ＝60º，∠C ＝80º.问：∠AED 等于多少度？解：∵∠ADE ＝∠B ＝60º（已知）∴DE//BC （_____________________________） ∴∠AED ＝∠C ＝80º(_______________________)（2）如图，一束平行光线AB 与DE 射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4，①∠1、∠3的大小有什么关系？ ∠2与∠4呢？ 请说明理由. ②反射光线BC 与EF 也平行吗？请说明理由.A C D F BE1234（三）知识拓展0130C ∠=CBE ∠=A ∠=BEDCA例3、如图，已知AD ∥BE ，AC ∥DE ，，可推出（1）；（2）AB ∥CD 。

平行线动点问题模块一 课前检测【题1】将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为 ．【题2】如图，AB ∥DE ，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD 的度数．【题3】如图AM ∥BN ，C 是BN 上一点，O 是射线CP 上的点，∠MAO 的平分线与∠OBN 的平分线交于点D ．（1）当点O 在AM 与BN 之间时，如图1所示，求证：∠D ＝12∠AOB ； （2）当点O 在AM 上方时，如图2所示，试判断（1）中的结论是否依然成立，给出结论，并对你给出的结论加以证明．模块二 动点与角度21E D C B A 21图1NM O A B C D P图2M N AB C ODP知识点睛变相考察平行线四大模型，依然遵循“逢拐作平行”原则．典型例题【例1】已知AB ∥CD ，线段EF 分别与AB 、CD 相交于E 、F ． （1）如图1，当∠A ＝20°，∠APC ＝70°时，求∠C 的度数； （1）如图2，当点P 在线段EF 上运动时（不包括E 、F 两点），∠A 、∠APC 与∠C 之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；（3）如图3，当点P 在线段EF 的延长线上时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明．【巩固】直线AB ∥CD ，直线a 分别交AB 、CD 于E 、F ，点M 在直线EF 上，点P 是直线CD 上的一个动点（点P 不与点F 重合）．（1）如图，当点P 在射线FC 上移动时，∠FMP +∠FPM 与∠AEF 有什么数量关系，请说明理由；（2）当点P 在射线FD 上移动时，请画出图形并探究∠BEM 、∠DPM 、∠EMP 有什么数量关系，请说明图3图1图2A E B C F D P A E B C F D P A B C D P E F理由．【变式】如图，已知直线EF ∥MN ，点A 、B 分别为EF 、MN 上的动点，且∠ACB ＝90°，BD 平分∠CBN 交EF 于D ．（1）若∠FDB ＝120°，如图1，求∠MBC 的度数； （2）在（1）的条件下，如图1，求∠EAC 的度数；（3）延长AC 交直线MN 于G ，如图2，GH 平分∠AGB 交DB 于H ，问∠GHB 是否为定值，若是，请求其值；若不是，请说明理由．能力提升【例2】已知：如图，直线a ∥b ，直线c 与直线a 、b 分别相交于C 、D 两点，直线d 与直线a 、b 分别相交于A 、B 两点．（1）如图1，当点P 在线段AB 上（不与A 、B 重合）运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？请说明理由；（2）如图2，当点P 在线段AB 的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？ （2）如图3，当点P 在线段BA 的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？图1图2GH E MNF D A C BE FA B C D MN巅峰冲刺【巩固】如图1，CE 平分∠ACD ，AE 平分∠BAC ，∠EAC +∠ACE ＝90°. （1）请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；（2）如图2，当∠E ＝90°且AB 与CD 的位置关系保持不变，移动直角顶点E ，使∠MCE ＝∠ECD ，当直角顶点E 点移动时，问∠BAE 与∠MCD（3）如图3，P 为线段AC 上一定点，点Q 为直线CD Q 在射线CD 上运动时（点C 除外）∠CPQ +∠CQP 与∠BAC132132321Cc dAaP D图3B bCc d AaPD图2B b P d c baA B CD图1A B B A【变式】如图，已知AB ∥CD ，直线l 分别截AB 、CD 于E 、C 两点，M 是线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），过M 点作MN ⊥CD 于N ，连结EN ．（1）如图1，当∠ECD ＝40°时，填空：∠FEB ＝ ；∠MEN +∠MNE ＝ ；（2）如图2，当∠ECD ＝α°时，猜想∠MEN +∠MNE 的度数与α的关系，并证明你的结论．A B E C ND 图2A B C D 图1E MN M模块三平行线与三角板知识点睛三角板有特殊的直角与直角顶点，通常该顶点与平行线结合会组成我们熟悉的平行线四大模型，同样采取“逢拐作平行”的思路，将结论合理运用．典型例题【例3】将一副三角板如图所示位置摆放．（1）直接写出∠AOC与∠BOD的大小关系，不需证明；（2）图1中的三角板AOB不动，将三角板COD绕点O旋转至CO∥AB（如图2），判断DO与AB的位置关系，并证明；（3）在（2）的条件下，三角板COD绕点O旋转过程中，能否使CD⊥AB？若能，求此进∠AOC的度数；若不能，请说明理由．能力提升【巩固】小明将一直角三角板（∠A＝30°）放在如图所示的位置．（1）经测量知∠GEA＝∠A，求∠BDF；（2）将三角板进行适当的转动，直角顶点始终在两直线间，M在线段CD上，且∠CEM＝∠CEH，给出下列结论：①MEGBDF∠∠的值不变；②∠MEG－∠BDF的值不变．其中只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求值．模块四动线段（动直线）与平行线知识点睛图形通常与平行线四大模型相结合，同样采取“逢拐作平行”的思路，将结论合理运用．典型例题【例4】如图，已知直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在BC上，满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，则OBCOFC∠∠的值是否发生变化？若变化找出变化规律；若不变求其值．E FACOB能力提升【巩固】AB ∥CD ，点C 在点D 的右侧，∠ABC 、∠ADC 的平分线交于E （不与B 、D 重合）．∠ABC ＝n °，∠ADC ＝80°.（1）若点B 在点A 的左侧，求∠BED 的度数（用含n 的代数式表示）；（2）将（1）中的线段BC 沿DC 方向平移，当点B 移动到点A 右侧时，请画出图形并判断∠BED 的度数是否改变．若改变，请求出∠BED 的度数（用含n 的代数式表示）；若不变，请说明理由．模块五 真题链接【2014－2015洪山区期末】如图，长方形ABCD 在平面直角坐标系中，点A （1，8），B （1，6），C （7，6）．（1）请直接写出D 点的坐标 ；（2）连接线段OB 、OD ，OD 交BC 于E ，∠BOy 的平分线和∠BEO 的平分线交于F ，若∠BOE ＝n ，求∠OFE 的度数；（3）若长方形ABCD 以每秒32个单位的速度向下运动，设运动时间为t 秒，问在第一象限内是否存在某一时刻t ，使△OBD 的面积等于长方形ABCD 的面积？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．A B C DE课后作业【题1】如图，已知直线1l ∥2l ，直线3l 和直线1l 、2l 交于C 、D ，在C 、D 之间有一点P ．（1）如果P 点在C 、D 之间运动时，问∠P AC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系是否发生变化？ （2）若点P 在C 、D 两点的外侧运动时（不与C 、D 重合），试判断∠P AC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系又是如何？【题2】如图，AB ∥CD ，P 为定点，E 、F 分别是AB 、CD 上的动点． （1）求证：∠P ＝∠BEP +∠PFD ；l 3l 2l 1P A B C D（2）若M 为CD 上一点，MN 交PF 于N ．证明：∠PNM ＝∠NMF +∠NFM ；（不能用三角形内角和定理） （3）在（2）的基础上，若∠FMN ＝∠BEP ，试说明∠EPF 与∠PNM 的关系，并证明你的结论．平行线中三角形四边形模块一 课前检测【题1】如图1，CE 平分∠ACD ，AE 平分∠BAC ，∠EAC +∠ACE ＝90°. （1）请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；（2）如图2，当∠E ＝90°且AB 与CD 的位置关系保持不变，移动直角顶点E ，使∠MCE ＝∠ECD ，当直角顶点E 点移动时，问∠BAE 与∠MCD 是否存在确定的数量关系？并说明理由；（3）如图3，P 为线段AC 上一定点，点Q 为直线CD 上一动点且AB 与CD 的位置关系保持不变，当点Q 在射线CD 上运动时（点C 除外）∠CPQ +∠CQP 与∠BAC 有何数量关系？猜想结论并说明理由．A B C D MED C B A P D Q C BE A 图2图1图3图1图2NM B A E P F D C E F A B C D P模块二 利用三角形中的平行线求角知识点睛解题思路：利用平行线的相关性质（同位角、内错角相等、同旁内角互补），必要时结合三角形内角和为180°，但需旁证．典型例题【例1】如图，AE ∥BD ，∠CBD ＝57°，∠AEF ＝125°，求∠C 的度数．【巩固】如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ∥AC ，∠B ＝70°，∠EDC ＝30°，求∠ADC 的度数．A B D C E F A C B DE能力提升【变式】如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B ，试判断∠AED 与∠C 的大小关系．321F G A B C D E。

初一数学寒假培优训练一（余角，补角以及三线八角，平行线的判定）一、考点讲解：1余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.2. 补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角.3•对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.4. 互为余角的有关性质：①/ 1 + Z 2=90 °，则/ 1. / 2互余.反过来，若/ 1，/ 2互余.则/ 1+Z 2=90②同角或等角的余角相等，如果/ I十/ 2=90°，/ 1 + Z 3= 90 °，则/ 2= Z 3 .5. 互为补角的有关性质：①若/ A + / B=180°则/ A. / B互补，反过来，若/ A. / B互补，则/ A+Z B= 180°.②同角或等角的补角相等•如果/ A + Z C=18 0°,Z A+Z B=18 0 °，则Z B=Z C.6. 对顶角的性质：对顶角相等.例1.如图所示，AOB是一条直线，AOC 90 , DOE 90，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？（例1）练习: 1.如图所示，AOE 是一条直线， AOB COD90，贝U（1） 如果 1 30 ,那么 2 _____________ , 3= ___________ 。

（2） _____________________________________ 和 1互为余角的角有 _ 和 1相等的角有 ___________________________________ 例2. / 1和/2互余，/ 2和/ 3互补，/ 仁63°,/ 3=___ 练习： 1. 如果一个角的补角是 150°，那么这个角的余角是 _____________ 2./ 1 和/ 2 互余，/ 2 和/3 互补，/ 3=153°，/ 1=_ ________例 3.若/ 1=2 / 2，且/ 1 + / 2=90°则/ 1=___, / 2=___. 练习： 1.一个角等于它的余角的 2倍，那么这个角等于它补角的（）1A.2 倍B. 倍C.5倍2 52.已知一个角的余角比它的补角的还少4，求这个角。

七年级数学平行线的判定、性质人教四年制【本讲教育信息】一. 教学内容：平行线的判定、性质二. 重点、难点：掌握平行线的判定、性质，会添加辅助线解决一些简单的问题，理解平行线可以大小不[例1] 如图，分析：DF与AE是证明∠E解：∵AB∥又∵∠∴∠∴∠F=[例2] 如图：分析：证明：过E 作EF ∥AB ∴︒=∠+∠180BEF B （两直线平行，同旁内角互补） ∵ AB ∥CD （已知） ∴ EF ∥CD （平行公理的推论） ∴∠∴∠B [例3] 过E 又 ∴ ∠3+∠[例4] 如图，已知C 是线段AB 上的一点，AD ∥BE ，∠ADC=∠ACD ，∠BCE=∠BEC ，求证：DC ⊥CE 。

∠图。

过又又 ∵∠ADC=∠ACD ，∠BCE=∠BEC （已知） ∴∠1=∠ACD ，∠2=∠BCE （等量代换）又 ∵∠ACD+∠1+∠2+∠BCE=︒180∴︒=∠+∠180)21(2 ∥AF又 ∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=︒=︒+︒1306565 ∴∠C=︒=︒-︒=∠-︒50130180180ABC∵∠3=∠4（已知） ∴ DF ∥BC （内错角相等，两直线平行） ∴∠6+∠DCB=︒180（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠6+∠2+∠3=︒180∵∠1=∠2 ∠5=∠6（已知） ∴∠5+∠1+∠3=︒180∴∠FBC+∠3=180° ∴ EC ∥FB （同旁内角互补，两直线平行）说明：∠6+∠DCB=︒180，︒=∠+∠1803FBC 这些步骤是有必要的，因为互补是两个角之间的关系，不能由DF ∥BC 直接推出∠6+∠2+∠3=︒180，这三个角不是互补的关系。

证明：连结BF ∵ AB ∥EF （已知）∴∠ABF+∠BFE=︒180（两直线平行，同旁内角互补） ∠ABC=∠EHC （两直线平行，同位角相等）又 ∵ BC ∥FG （已知） ∴∠EHC=∠EFG （两直线平行，同位角相等） ∴∠ABC=∠EFG （等量代换） 又 BM 、FN 分别三等分∠ABC 、∠EFG ∴ABC ∠=∠311EFG ∠=∠312∴∠1=∠2 又 ∠1+∠MBF+∠BFE=︒180∴∠2+∠MBF+∠BFE=︒180∴∠一. 填空：1. 如图（12. 如图（23. 如图（3∠二. 选择：1. 下列条件中，能得到“互相垂直”结论的是（ ） A. 对顶角的角平分线 B. 平行线内错角的角平分线 C. 邻补角的角平分线D. 平行线同位角的角平分线2. 下列说法中错误的是（ ） A. 直线AB 与直线BA 是同一条直线 B. 一个角的补角与这个角的余角的差是90o C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3. 下列说法中正确的是（ ）A. 线段AB 与线段CD 垂直，则∠AOC=90oB. 从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离C. 两条相交线所成的四个角中，如果对顶角互补，那么这两条直线垂直5. 同一平面内的四条直线1l ，2l ，3l ，4l ，21l l ⊥，32l l ⊥，43l l ⊥，则下列成立的式子是（ ）A.41//l lB.42l l ⊥C.41l l ⊥D.31l l ⊥10. 已知，如图（13），BE 、CD 交于点A ，DE ∥BC ，∠DEB 与∠BCD 的平分线交于点F ，则∠F 为（ ）A.)(180D B ∠+∠-︒B.B D ∠+∠21C.D B ∠+∠21 D.2DB ∠+∠（13）三. 已知：如图（求证： 1. CO ⊥DO 2. AC ∥DB四.试题答案一.1. 115 2. 80；100 3. 35 4. 6 5. ∠2、∠3 6. 4:2:37. 20 8. 12 9. 75°或105°二.1. C 2. C 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. B 9. C 10. D三.1. 证：∵∠C=∠DOB ∠D=∠COA 而∠D+∠C=90°∴∠DOB+∠COA=90°而A、O、B三点共线∴∠DOB+∠COD+∠COA=180°∴∠COD=90°∴CO⊥DO2. 证：过O作OE∥AC ∠EOC=∠C∠EOC+∠EOD=90°∠D+∠C=90°∴∠EOD=∠D ∴EO∥BO而EO∥AC ∴AC∥BD四. 证明：∵∠2=∠6 ∴AB∥EC ∴∠EAB+∠4=180°即∠2+∠5+∠4=180°而∠1=∠5 ∠3=∠4∴∠1+∠3+∠2=180°即∠2+∠ABC=180°即AD∥BC。