第十四章 第11课时 公式法(1)

第11课时 利用二次函数求最大利润【学习目标】1．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，体会数学“建模”思想，并感受数学的应用价值；2．并能运用公式当x=－ab2时，y最大（小）值=ab ac 442 解决实际问题。

【学习重点】用“数形结合”的思想理解公式，并能运用公式解决实际问题。

【学习难点】分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系。

【学习过程】 一、学习准备1．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像是一条____________，它的对称轴是直线x=－ab2，顶点是______________。

2．二次函数y=-2x 2+3x-1的图象开口______，所以函数有最_______值，即当x= 时，y max =_________。

3.利润= ，利润率= . 二、解读教材3．例1 某商经营T 恤衫，已知成批购买时的单价是5元。

根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是15元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售200件。

问销售价是多少时，可以获利最多？分析：若设销售单价为x(x ≤15)元，所获利润为y 元，则：(1)销售量可以表示为______________________________；(2)销售额可以表示为____________________________； (3)销售成本可以表示为____________________________；(4)所获利润可表示为y=_________________________。

解：设＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿根据题意得关系式：y=____________________，即y= 。

∵a= <0，∴y 有最 值。

即当x=_______________=______________时，y max =_________________=__________________。

(a+b)2 =__a_2+__2_a_b_+__b_2 ___
五、因式分解
1.因式分解的定定义 把一个多项式化为几个__整__式____的__乘__积____的形式,像
这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做
把这个多项式分解因式. 2.因式分解的方法
(1)提公因式法
步骤： 1.提公因式； 2.套用公式；
的一个因式；
注：单项式乘单项式，积为_单__项__式___.
2.单项式乘多项式： (1)单项式分别_乘__以___多项式的每一项；
(2)将所得的积_相__加_____. 注：单项式乘多项式，积为多项式，项 数与原多项式的项数__相__同____. 3.多项式乘多项式： 先用一个多项式的每一项分别乘另一个多 项式的每__一__项__，再把所得的积__相__加____.
（2）已知an-3·a2n+1=a10,求n的值; 解：n-3+2n+1=10,
n=4; （3） 3×27×9 = 32x-4,求x的值;
解：3×27×9 =3×33×32=32x-4,
2x-4=6;
x=5.
考点二 整式的运算
例2 计算：
(1)(-4x)·(2x2+3x-1)；
（2）
2 3
ab2
ab a b 得的幂_相__乘__. (
= n
)Hale Waihona Puke nn ____________
二、整式的乘法 1.单项式乘单项式：
(1)将_单__项__式__的__系__数__相乘作为积的系数； (2)相同字母的因式，利用_同__底__数__幂__的乘法，
作为积的一个因式； (3)单独出现的字母，连同它的_指__数___，作为积

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23.请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和 (只需表示，不必化简)； (2)由(1)，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
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(3)如果图中的 a，b(a＞b)满足 a2＋b2＝53，ab＝14，求：
①a＋b 的值；②a2－b2 的值．
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17.若 xm＝3，xn＝5，则 x2m＋n 的值为 45 .
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9.【例 4】已知 a2＋a－4＝0，则代数式 a(a＋1)的值是( A )
A．4
B.8
C.12
D.16
小结：用整体思想解决问题，a2＋a＝4.
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18.已知 a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是( D )
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解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2 ＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2＝－4xy＋3y2. (1)当 x＝1，y＝－3 时， 原式＝－4×1×(－3)＋3×(－3)2＝39. (2)当 4x－3y＝0 时，原式＝－y(4x－3y)＝0. 小结：(1)先化简后直接代入求值；(2)对多项式进行变形后运 用整体思想代入求值.
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解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为 a2＋b2，(a＋b)2－2ab. (2)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab (3)①∵a2＋b2＝53，ab＝14， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝53＋2×14＝81，∴a＋b＝±9. 又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9. ②∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝53－2×14＝25，∴a－b＝±5. 又∵a＞b＞0，∴a－b＝5， ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝9×5＝45.

当堂练习
当堂反馈
即学即用
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mnC．－x2－y2 D．－x2＋9
D
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（ ）A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
＝6.82－3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2)
＝10×3.6
＝36 (cm2)
答：剩余部分的面积为36 cm2.
5. (1)992-1能否被100整除吗？
解：(1)因为 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
所以，(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2)解:原式＝ab(a2－4)
＝ab(a＋2)(a－2)
有公因式的先提公因式再用平方差公式
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
【例3】 计算下列各题：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4(53.52－46.52)
=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
【例4】已知x+y =7, x-y=5,求代数式x2-y2-2y+2x的值.