2018年高考数学 黄金100题系列 第10题 函数的最值与值域 文

函数的值域与最值【考纲说明】1．理解值域和最值的区别与联系，掌握求函数值域和最值的基本方法； 2．通过函数最值求参数的范围，同时解决恒成立问题；【知识梳理】2.函数的值域1、函数值域的概念在函数y=f （x ）中，与自变量x 的值对应的y 值叫做函数值。

函数值的集合叫做函数的值域。

2、确定函数值域的原则（1）当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；（2）当函数y=f （x ）用图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； （3）当函数y=f （x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其解析式唯一确定； （4）当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定； 3、常见函数的值域（1）一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；（2）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），当a>0时值域为]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 （3）反比例函数y=xk（x ≠0）的值域为{}R y y y ∈≠且,0| （4）指数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为),0(+∞。

（5）对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ；（6）正弦函数x y sin =,余弦函数x y cos =的值域都是]1,1[-。

（7）正切函数),2(tan Z k k x x y ∈≠=∏+∏其中,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

3.函数的最值1、函数的最值一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

记作()max 0y f x =一、①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

第19题 函数与方程问题的分析I ．题源探究·黄金母题 【例1】已知()3x f x =，求证： （1）()()()f x f y f x y ⋅=+； （2）()()()f x f y f x y ÷=-． 【证明】 （1）()()()()3,333x x y x y f x f x f y f x y +=∴⋅=⋅==+．（2）()()()()3,333x x y x y f x f x f y f x y -=∴÷=÷==-．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第82页复习参考题A 组第7题．【母题评析】本题考查了指数幂运算的性质．【思路方法】逆用指数幂运算的性质解题．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考江苏卷】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ． 【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况 在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质．若lg x Q ∈，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10nmq p =，则10()nm q p=，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处()11lg 1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．【命题意图】本题属于能力题，中等难度．在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．【难点中心】解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论．对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．【例3】【2014高考辽宁卷】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-． 若对所有,[0,1]x y ∈，|())|f x f y k -<，则k 的最小值为（A ．12 B ．14 C ．12π D ．18【答案】B【解析】不妨令01x y ≤<≤，则()()12f x f y x y -<-． 解法一：()()()()()()()()201f x f y f x f f x f y f y f -=-+---⎡⎣()()()()()()01f x f f x f y f y f ≤-+-+-()()11111110112222222x x y y x y x y <-+-+-=+-+-=，即得()()14f x f y -<，另一方面，当10,2u ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1,0211,12ux x f x u x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩，符合题意，当12u →时，()110224u f f ⎛⎫-=→ ⎪⎝⎭，故14k ≤． 解法二：当12x y -≤时， ()()1124f x f y x y -<-≤， 当12x y ->时，()()()()()()01f x f y f x f f y f -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()11100122f x f f y f x y ≤-+-<-+- ()()11111122224x y y x =-+=+-<，故14k ≤． III ．理论基础·解题原理1．函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：()()()(),11f x f x f x f x =---=+都可称为函数方程．在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型：（1）表示函数()f x 的某种性质：例如()()f x f x =-体现()f x 是偶函数；()()1f x f x +=体现()f x 是周期为1的周期函数（可详见“函数对称性与周期性”一节）．（2）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：()123f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，可用1x 代替x 得()132f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()()()1232132f x f x x f x x xff x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⇒=-⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩． （3）函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值． 2．双变量函数方程的赋值方法：（1）对,x y 均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如()()()0,1,1f f f -，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域．（2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，考查对基本初等函数及超越函数性质的理解，一般难度较大． 【技能方法】常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程．抽 象 函 数具 体 模 型()()()f x y f x f y +=+ 比例函数：正()f x kx =()()()f x y f x f y +=⋅ 指数函数：()()0,1x f x a a a =>≠ ()()()f x y f x f y ⋅=+ 当()0,x ∈+∞时，()log a f x x = 当{}|0x x x ∈≠时，()log a f x x = ()()()f x y f x f y ⋅=⋅幂函数：()f x x α=()()()()()2,00f x y f x y f x f y f ++-=⋅≠三角函数：()cos f x x = 【易错指导】由于抽象函数没有具体的函数解析式，构造时容易顾此失彼，忽略性质的背后可能还蕴涵着其他性质，结论背后可能还推论出其他结论．所以，在解题时一定要反复推敲，不断假设验证，或者索性先构造一个具体函数，然后隐去解析式来叙述这个函数的性质，那么出现错题的可能性就小了许多． V ．举一反三·触类旁通考向1 求抽象函数的解析式（值）【例1】【2017东北三省三校第二次联合模拟考试】已知偶函数()f x 的定义域为R ，若()1f x -为奇函数，且()23f =，则()()56f f +的值为（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3 【答案】D【例2】已知函数()f x 满足：()112f =，对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，则()()()()1232014f f f f ++++= （ ）A ． 1B ． 12-C ． 12D ． 1- 【答案】B ．【解析】由所求出发可考虑判断()f x 是否具备周期性，令1y =，可得()()()()1121f x f x f x f ++-=，即()()()11f x f x f x ++-=，∴()()()21f x f x f x ++=+，两式相加可得()()21f x f x +=--，则可判定()f x 的周期为6，由()()()11f x f x f x ++-=可得：()()()12012f f f +==，即()()1262f f +=，由()()21f x f x +=--可得()()1412f f =-=-，则()()()13542f f f +==-，从而()()()()()()1234560f f f f f f +++++=，∴()()()()()()()()12320133351620132013f f f f f f f f ++++=+++=⎡⎤⎣⎦，且()()1201442f f ==-．【例3】设角α的终边在第一象限，函数)(x f 的定义域为[]1,0，且1)1(,0)0(==f f ，当y x ≥时，有()()()sin 1sin 2x y f f x f y αα+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则使等式1144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭成立的α的集合为 ． 【答案】|2,6k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．【例4】设函数()f x 的定义域为R ，()01f =，且对,x y R ∀∈，都有()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，则()f x 的解析式为________．【答案】()1f x x =+．【解析】观察到右边的结构并非()(),f x f y 的轮换对称式，考虑其中一个变量不变，另一个变量赋值为1，则1x =时， ()()()()1112f y f f y f y +=--+ ①，1y =时，()()()()1112f x f x f f x +=--+ ②，则求()1f 是关键，结合()01f =，可令0x y ==，则()()()()21000212f f f f =--+⇒=，代入到①②可得：()()()()1112f y f y f x f x x +=+⎧⎪⎨+=-⎪⎩，即()()()()1112f x f x f x f x x +=+⎧⎪⎨+=-⎪⎩，消去()1f x +解得：()1f x x =+． 【跟踪练习】1．已知函数y=f(x)是偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】D【解析】偶函数图像关于y 轴对称，所以与x 轴四个交点横坐标，两两关于y 轴对称，即两两之和为零，所有实根之和为零，选D ．2．【2017重庆第一次调研抽测】奇函数的定义域为．若为偶函数，且，则（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1 【答案】 B3．已知()f x 是定义在R 上的函数，04f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且对任意的,x y R ∈，都有()()222x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么3520154444f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________． 【答案】0．【解析】函数方程为“和→积”的特点，抓住04f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可发现令2y x π=-，则()22222022244x x x f x f x f f f x fπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎪+-==-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴可得：自变量间隔2π，，其函数值的和为0，∴将求和的式子两两一组，即：357201320150444444S f f f f f f ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 4．【2017西省实验中学高三下学期模拟热身】已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()4f x f x +=-，且函数()2y f x =+是偶函数，当(]0,2x ∈时，()ln f x x ax =-（12a >），当[)2,0x ∈-时，()f x 的最小值为3，则a 的值等于 （ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】A【解析】因为函数()2y f x =+是偶函数，所以()()22f x f x +=-+，即()()4f x f x +=-． 当[)2,0x ∈-时，(]()()()()0,2,?4ln x f x f x f x x ax -∈=-+=--=---．()11x 0ax f a x x +=--=-='，有()12,0x a =-∈-，函数()y f x =在12,?a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭函数单减，在(1,0)a -单调递增．()11113min f x f ln lna a a ⎛⎫=-=-+=+= ⎪⎝⎭，解得2a e =，故选A ． 点睛：本题的难点是对于函数()2y f x =+是偶函数的正确转化，应该得到()()22f x f x +=-+．如果说是()y f x =是偶函数，则应得到()()22x f x +=--．考向2 抽象函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值等） 【例5】定义在()1,1-的函数满足关系()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭，当()1,0x ∈-时，()0f x <，若()111,,0452P f f Q f R f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,P Q R 的大小关系为 （ ）A ． R P Q >>B ． R Q P >>C ． P Q R >>D ． Q P R >> 【答案】D ．虑121,0,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，12x x <，则()()1212121x x f x f x f x x ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，因为12102x x ≤<≤，∴121211130,112224x x x x -≤-<->-⋅=，从而1212101x x x x --<<-，即()()12121201x x f x f x f x x ⎛⎫--=< ⎪-⎝⎭，得到()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，∴Q P R >>．【评注】本题在证明单调性时，因为考虑了,,P Q R 中自变量的取值，所以只需考虑10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性，缩小12,x x 的范围使得判断12121x x x x --的范围较容易．但也可将12,x x 在()1,1-中任取，但是在判断12121x x x x --的范围会比较复杂，可利用不等式的等价变形来证：假设1212101x x x x --<<-，因为1210x x ->，121201x x x x -∴<-且12121212111x x x x x x x x ->-⇔->--()()11221210110x x x x x x ⇔-+->⇔+->，由()12,1,1x x ∈-可得()()12110x x +->成立，从而121211x x x x ->--．【例6】【2017山东聊城模拟】已知定义域为R 的函数()f x ，若函数()f x y x='的图象如图所示，给出下列命题：①()()110f f '-'==；②函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递增； ③当1x =时，函数()f x 取得极小值；④方程()0xf x '=与()0f x =均有三个实数根．其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C所以方程'00xf x f x ==（）与（） 均有三个实数根．不正确；故选：C ． 【例7】【2018河北衡水模拟】定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1，0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是 （ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】D ．【例8】【2018陕西西安长安区高三上学期质量检测】已知定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足()()()1212f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时， ()0f x >．（1）求()1f 的值；（2）证明： ()f x 为单调增函数； （3）若115f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求()f x 在1,12525⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．【答案】（1）f （1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3．【解析】试题分析：（1）利用赋值法进行求1f （） 的值；（2）根据函数的单调性的定义判断f x （）在0+∞（，）上的单调性，并证明．（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．试题解析：（1）∵函数f （x ）满足f （x1•x2）=f （x1）+f （x2），令x1=x2=1，则f （1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0．（2）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f （）＞0，∴f （x1）﹣f （x2）=f （x2⋅）﹣f （x2）=f （x2）+f （）﹣f （x2）=f （）＞0，即f （x1）＞f （x2），∴f （x ）在（0，+∞）上的是增函数． （3）∵f （x ）在（0，+∞）上的是增函数． 若，则f （）+f （）=f （）=﹣2，即f （•5）=f （1）=f （）+f （5）=0，即f （5）=1，则f （5）+f （5）=f （25）=2，f （5）+f （25）=f （125）=3， 即f （x ）在上的最小值为﹣2，最大值为3．【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，而利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键． 【跟踪练习】1．定义在[]2013,2013-上的函数()f x 满足：对于任意的[],2013,2013a b ∈-，有()()()2012f a b f a f b +=+-，且0x >时，有()2012f x >，设()f x 的最大值和最小值分别为,M N ，则M N +的值为（ ）A ． 2011B ． 2012C ． 4022D ． 4024 【答案】D ．【分析】由最值联想到函数的单调性，从而先考虑证明()f x 单调，令211,a x x b x =-=（其中12x x <），则可证明()f x 为增函数，从而()()2013,2013M f N f ==-，再利用函数方程求出()()20132013f f +-的值即可2．已知函数()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，且对于任意的实数,a b 满足(2)2f =，()()()f ab af b bf a =+，(2)(2),(),,()2n n n n nf f a n N b n N n**=∈=∈，考察下列结论： ①(0)(1)f f =；②()f x 为奇函数；③数列{}n a 为等差数列；④数列{}n b 为等比数列． 其中正确的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4 【答案】D ．【解析】考虑按照选项对函数方程中的,x y 进行赋值．①计算()()0,1f f ，令0a b ==，可得()00f =；令1x y ==，则()()()12110f f f =⇒=，∴(0)(1)f f =，①正确；② 使等式中出现()(),f x f x -，令,1a x b ==-，则()()()1f x xf f x -=--，需要计算出()1f -，结合方程可令1,1x y =-=-，则有()()121f f =--，即()10f -=，∴()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，②正确；③从等差数列定义出发，考虑递推公式()()1112222n n n n n n f f a a +++-=-，因为()()()()12222222n nnnf f f f +=⋅=+，所以可得：()()()()1111122222212222n n n n n n n n nn nf f f f a a ++++++-=-=-=，从而判定{}n a 为等差数列，③正确；④若按照等比数列定义，考虑()()11212n n n n f b n b n f ++=⋅+，则不易于进行化简．可由③出发得到()2nf 的表达式：()1212f a ==，∴()11n a a n d n =+-=，即()22nnf n =⋅，∴()22n n n f b n==，从而可判定{}n b 是一个等比数列，④正确．3．【2017上海闵行二模】设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： (1) 若()y f x =是奇函数，则()()y ff x =也是奇函数； (2) 若()y f x =是周期函数，则()()y ff x =也是周期函数；(3) 若()y f x =是单调递减函数，则()()y f f x =也是单调递减函数；(4) 若函数()y f x =存在反函数()1y f x -=，且函数()()1y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点． 其中正确的命题共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C4．已知函数()f x 对任意的,m n R ∈均有()()()f m n f m f n +=+，且当0x >时，()0f x > （1）求证：()f x 为奇函数； （2）求证：()f x 为R 上的增函数． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【分析】试题分析：（1）要证明奇函数，则需要()(),f x f x -出现在同一等式中，所以考虑令,m x n x ==-，则有()()()0f f x f x =+-，再通过代入特殊值计算出()00f =即可；（2）思路：要证明单调递增，则需任取12,x x R ∈，且12x x <，去证明()1f x 与()2f x 的大小，结合等式，则需要让()1f x 与()2f x 分居等号的两侧，才能进行作差．所以考虑()2211x x x x =-+，进而21,m n x n x +==．只需判断()21f x x -的符号即可．试题解析：（1）令,m x n x ==-，则 ()()()0f f x f x =+-．令0,0m n ==，则()()()000f f f =+解得()00f =，()()f x f x ∴=--，()f x ∴为奇函数．（2）任取12,x x R ∈，且12x x <，令211,m x x n x =-=，代入方程可得：()()()211211f x x x f x x f x -+=-+⎡⎤⎣⎦，()()()2121f x f x f x x ∴-=-，21x x >，210x x ∴->，依题意可得：()210f x x ->，()()210f x f x ∴->即()()21f x f x >，()f x ∴为增函数． 【评注】第（2）问将2x 拆分为()211x x x -+是本题证明的亮点，达到了让()1f x 与()2f x 分居等号的两侧的目的．5．设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意121,[0,]2x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=．（1）设()12f =，求11(),()24f f ； （2）证明()f x 是周期函数． 【答案】（1）4112,224f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）答案见解析．（2）证明：依题设()y f x =关于直线1x =对称，()()2,f x f x x R ∴=-∈．又()f x 是偶函数，()()()(),2,.f x f x f x f x x R ∴-=∴-=-∈将上式中x -以x 代换，得()()2,f x f x x R =+∈．这表明()f x 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．考向3 解不等式【例9】【2017广西教育质量诊断性联合考试】已知定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上递减，若()()321f x x a f x -+<+对[]1,2x ∈-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．()3,-+∞B ．(),3-∞-C ．()3,+∞D ．(),3-∞ 【答案】C【点睛】本题关键步骤有：1．利用奇函数的性质可得()f x 在R 上是减函数；2．将原命题等价转化为3a x >- 31x ++在[]1,2- 上恒成立；3．利用导数工具求得()max f x ，从而求得正解．【例10】【2017四川南充高级中学4月检测】已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()'f x ，若方程()'0f x =无解，且()20172017xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，当()sin cosg x x x kx =--在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞- B ．(,2⎤-∞⎦ C ．1,2⎡⎤-⎣⎦ D ．)2,⎡+∞⎣【答案】 A【解析】因为方程()'0f x =无解，所以函数()f x 为单调函数，因此由()20172017xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，得()2017x f x -=m(m 为常数)， 即()2017x f x m =+ 为单调增函数，因此()cos sin 0g x x x k =+-≥'在在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立．πππ,cos sin 2sin 1,2224x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-∴+=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，因此1k ≤-，选A ．点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题．【例11】【2017陕西西安铁一中学高三上学期第五次模拟考试】已知偶函数在上为增函数，在不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由偶函数可知，可知不等式恒成立，即恒成立，则可得恒成立．即且恒成立．由根的判别式可得．故本题选C ．点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性．对于抽象函数不等式，一般根据函数的奇偶性将它转化为的形式，然后利用函数的单调性将抽象函数不等式转化成具体的不等式，但不能改变变量的定义域．对于奇函数，其图像关于原点中心对称，由图知其在关于原点对称的区间单调性相同；偶函数的图像关于 轴对称，偶函数在关于原点对称的区间单调性相反．【例12】【2017江西南昌三模】定义域为R 的函数()f x 满足(+3)=2()f x f x ，当[)1,2x ∈-时，2|1|,[1,0)()={1,[0,2)2x x x x f x x -+∈-⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．若存在[4,1)x ∈--，使得不等式234()t t f x -≥成立，则实数t 的取值范围是_______．【答案】][(),12,-∞⋃+∞【点睛】本题考查函数的解析式、抽象函数、函数与不等式，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．先利用已知条件求1()=(+3)2f x f x 2|1|11,[4,-3)22={11,[-3,1)22x x x x x -+∈-⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，再利用数形结合思想观察图像求解不等式． 【跟踪练习】1．【2017重庆一中5月考】已知函数()()222x x f x x -=-，则不等式()()2110f x f ++<的解集是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．(),1-∞- C ．12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞ 【答案】B【解析】()()f x f x -=- ，所以函数是奇函数， ()()()22222ln22ln20x x x x f x x x --='-++> ，所以函数是单调递增函数，那么不等式等价于()()2112111f x f x x +<-⇔+<-⇒<- ，故选B ． 【点睛】本题考查了利用函数性质，包括奇偶性，单调性，解抽象不等式，本题的出题意图比较明显，重点是分析函数的性质，如果不用导数分析函数的单调性，也可以利用奇函数的性质，奇函数在对称区间的单调性一致，很明显，函数在[)0,+∞为增函数，那在定义域内也是增函数，这样判断起来会更快，简便．2．函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，满足()()()f xy f x f y =+，()f x 在区间()0,+∞上单调递增，若m 满足()()313log log 21f m f m f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围是 （ ）A ． []1,3B ． 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ． (]10,1,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ． (]1,11,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D ．3．【2017衡水金卷】定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意的x R ∈，有()()()21,f x f x f +=+且当[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在R 上恰有六个零点，则实数a的取值范围是（ ） A ．50,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．5,15⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．53,53⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．3,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】令1x =-，则()()()()11121f f f f =-+=，所以()10f =，所以()()2f x f x +=，即函数的周期为2，由此可画出函数()f x 和()log 1a y x =+的图像如下图所示．由图可知()322log 3,3a f a =-==，()542log 5,5a f a =-==，故53,53a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．4．【2017云南昆明下学期第二次统测】定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数(),D y f x x =∈，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的周期．若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周期函数，且1T =，当[)1,2x ∈时， ()()221x f x x =+，且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)2,+∞ C ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)10,+∞ 【答案】C5．已知定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数,a b 都满足()()()f a b f a f b +=，且()10f ≠，当0x >时，()1f x >．（1）求()0f 的值；（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上是增函数； （3）求不等式：()()2124f x x f x +<-的解集．【分析】（1）采用赋值法；（2）考虑证明()f x 单调递增，则需构造出()()12f x f x -，即可设21x x >且令211,a x x b x =-=，则有()()()2211f x f x x f x =-，从而()()()()212111f x f x f x x f x -=--⎡⎤⎣⎦，由210x x ->和已知条件可得：()2110f x x -->，所以需要证明()10f x >，即(),0x ∀∈-∞，()0f x >，可考虑结合题目条件和()01f =，令11,a x b x ==-，则有()()()()()1111100f f x f x f x f x =-⇒=>-，从而单调性可证；（3）本题并没有()f x 的解析式，所以考虑利用函数的单调性求解．由（1）（2）问可得()0f x >，从而()()()()22124024f x x f x x x f f x +<⇒++-<-，再根据单调性即可得到关于x 的不等式，解出不等式即可．由已知可得当10x >时()110f x >>，所以只需证明()1,0x ∈-∞时，()10f x >．令11,0a x b x ==->，()()()()()111110,f f x f x f x f x ∴=-=-．10x <，10x ∴->，()10f x ∴->，()()1110f x f x ∴=>-，()()()()2121110f x f x f x x f x ∴-=-->⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <，()f x ∴在R 上单调递增．（3）解：()0f x >，()()()()22124124f x x f x x f x f x +<⇒+⋅-<-．()()()()222242434f x x f x f x x x f x x +-=++-=+-，且()01f =，()()2340f x x f ∴+-<．由（2）可得()f x 单调递增，2340x x ∴+-<，解得()4,1x ∈-．。

I ．题源探究·黄金母题 【例1】已知集合{}{}|37,|210,A x x B x x =≤<=<<求()RCA B ，()R C A B ,()R C A B ，()R A C B .【解析】甴已知利用数轴易得()[)210,37A B A B ==，，, (][)(),210,R C A B ∴=-∞+∞， ()[)(),37,R C A B ∴=-∞+∞，()[)(][),37,,,210,R R C A C B =-∞+∞=-∞+∞，()[)()2,37,10R C A B ∴=，(][)[)(),23,710,R A C B =-∞+∞。

精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第14页A 组第10题【母题评析】本题以不等式为载体,考查集合的运算问题。

本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的.【思路方法】借助数轴为工具，利用集合各类运算的方法直接求解，但需要注意区间方向以及区间端点值的验证,确保准确无误！II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考天津,理1】设集合{}1,2,6,A ={}{}2,4,15B C x x ==∈-≤≤R ，则()A B C =A ．{2}B ．{1,2,4}【命题意图】本类题通常主要考查集合的交、并、补运算.【考试方向】这类试题在考C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B 【解析】(){1246}[15]{124}A B C =-=，，，，，，，选B 。

【例3】【2017高考山东，理1】设函数y =的定义域A ，函数()ln 1y x =-的定义域为B ，则A B =A ．()1,2B ．(]1,2C ．()2,1-D ．[)2,1- 【答案】D 【解析】由240x-≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<,选D 。

函数最值练习题函数最值练习题函数是数学中的重要概念，它描述了一种输入与输出之间的关系。

在函数的应用中，我们经常需要求函数的最值，即函数在特定区间或整个定义域内的最大值或最小值。

本文将通过一些练习题来探讨函数最值的求解方法。

题目一：求解函数的最大值和最小值考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求解该函数在定义域内的最大值和最小值。

解析：首先，我们需要找到函数f(x)的驻点，即导数为零的点。

对f(x)求导得到f'(x) = 2x - 4，令其等于零，得到x = 2。

因此，x = 2是函数f(x)的驻点。

接下来，我们需要确定函数f(x)的凹凸性。

对f'(x)再次求导得到f''(x) = 2，由于f''(x)恒大于零，所以函数f(x)是上凹函数。

由于x = 2是函数f(x)的驻点，且函数f(x)是上凹函数，所以x = 2处的函数值f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1是函数f(x)的最小值。

接下来，我们需要考虑函数f(x)的端点情况。

由于函数f(x)没有定义域的限制，我们只需要关注其在实数范围内的情况。

由于函数f(x)是上凹函数，所以当x趋向于无穷大时，函数f(x)的值趋向于正无穷大；当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的值趋向于正无穷大。

因此，函数f(x)在整个定义域内没有最大值。

综上所述，函数f(x)在定义域内的最小值为-1，而没有最大值。

题目二：求解函数在闭区间上的最大值和最小值考虑函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求解该函数在闭区间[0, 3]上的最大值和最小值。

解析：首先，我们需要找到函数g(x)的驻点和端点。

对g(x)求导得到g'(x) =3x^2 - 12x + 9，令其等于零，得到x = 1，x = 3。

因此，x = 1和x = 3是函数g(x)的驻点。

接下来，我们需要确定函数g(x)的凹凸性。

I •题源探究•黄金母题第11题函数的奇性精彩解读x +1【例1】判断下列函数的奇偶性： f X 1X【解析】；f -x - - f X f X为奇函数.【例2】已知函数f X是定义在R上的奇函数，当x_0时, f x =X 1 X •画出函数f X的图象，并求出函数的解析式.【答案】f(x)=«x(1 +x),x 兰0 、—x(x—1), xc0【解析】函数f X是定义在R上的奇函数，则对-x・R都有：f (—X)- - f (x)，当x 0 时，一x • 0,则f ( X)= — f ( —X)= -[ —X(1 - X)] = —X (x-1),那么r X(1 +x),x 启0f(x) =」；函数图象如下：j-x(x-1), xc0【试题来源】例1:人教A版必修一第36 页练习第1 (3)题；例2:人教A版必修一第39页A 组第6题【母题评析】本题借助函数的奇性，利用函数的奇性的定义，求函数的解析式，并利用奇函数、函数图象的性质，画出函数的图象•借助函数的奇性以及函数图象特征解题是高考函数部分重点考察内容.【思路方法】借助函数的奇、性的定义既可以求值，也可以求函数的解析式，而画函数图像是，只需画出y轴右侧的图象，按照函数图象的对称要求，再画出y轴左侧的图象•另外画图时取几个特殊点，以数助形，确保准确无误！II •考场精彩•真题回放【例1】【2017高考新课标I卷】函数f (X)在单调递减，且为奇函数.若f⑴=-1，则满足-仁f(X -2)乞1的x的取值范围是A. [ -2,2] B[-1,1] C • [0,4] D • [1,3]【命题意图】周期性求值.本类题常利用函数的奇性、【考试方向】这类试题在考查题型上，通【答案】D【解析】因为f(X)为奇函数且在(亠，址)单调递减，要使—1兰f(X)兰1成立，则X满足—1兰XE1，从而由一1兰x—2兰1得1兰x兰3，即满足一1兰f(x—2)兰1成立的X的取值范围为［1,3］，选D.【考点】函数的奇性、单调性【名师点睛】奇性与单调性的综合问题，要重视利用奇、函数与单调性解决不等式和比较大小问题，若 f (X)在R上为单调递增的奇函数，且f (xj + f (x2) A 0，贝U论+x2> 0 , 反之亦成立.1【例2】【2017高考北京卷】已知函数f(x)=3X_(—)X,3则f (x)A.是奇函数，且在R上是增函数B.是函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】f(—乂戶彳」」1］=［丄3X = -f(x )，所以13丿13丿'函数是奇函数，并且3X是增函数，'-1是减函数，根据增0丿函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选 A.sin2 x【例3】【2017高考新课标I】函数y- 的部分图1 —cosx像大致为() 常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往借助函数的奇性、单调性、周期性等解题，常考查求值、比较大小、解不等式等.【难点中心】本题是考查利用函数周期性和奇性求函数值，是基础题•利用函数的周期性、奇性求函数值，需要先借助周期性调整自变量的值，再利用奇性调整自变量的符号，最终利用已知函数的解析式求值•而借助周期性、奇性、单调性进行比较大小或解不等式时，还要利用函数的单调性.【解析】由题意知，函数y二Sin2X为奇函数，故排除B;1 —COSX当XY 时，y=o,排除D;当X =1时，Sin2. 0 ,1 -cos2排除A故选C.【例4】【2017高考新课标II卷】已知函数f (X)是定义在R上的奇函数，当X，(-：：,0)时，f (X^2X3 X2，贝Uf⑵‘ ________________【答案】12【解析】f ⑵-一f ( —2) - -[2 ( -8) 4] =12【例5】【2017高考山东卷】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2).若当x [-3,0]时，f(x) = 6」，则f(919)= .【答案】6【解析】由f(x+4)=f(x-2) 可知，f X是周期函数，且T =6，所以f(919)=f(6 653 1) = f(1)=f (-1) =6 .Ill .理论基础•解题原理3考点一函数的奇性的基本概念1如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有f(-x)二f(x)，那么，函数f(x)是函数，函数的图象关于y轴对称.2•如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)二-f(x)，那么，函数f(x)是奇函数，奇函数的图象关于原点对称.考点二对函数的奇性的理解(1)判断函数的奇性，易忽视函数定义域是否关于原点对称•定义域关于原点对称是函数具有奇性的一个必要条件(2) 判断函数f ( x)是奇函数，必须对定义域内的每一个X,均有f ( —x) = —f (x)，而不能说存在X o使f ( —x o) =—f (x o)，对于函数的判断以此类推.考点三函数的奇性的有关结论(1)在奇、函数的定义中，f(「x) = - f (x), f( —X)= f ( x)是定义域上的恒等式，要注意利用反向使用，如：f (X)- - f ( -X), f(X)= f ( -X).(2)奇函数图象关于原点对称，奇函数f (x)若在X = 0处有意义，贝y f (0) = 0 ;奇函数在关于原点对称的两个单调区间上单调性相同，奇函数在关于原点对称的两个单调区间上若取得最大值和最小值，则其和为零；(3)函数图象关于y轴对称，函数在关于原点对称的两个单调区间上单调性相反.IV .题型攻略•深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数求值、比较大小、解不等式有联系.【技能方法】1•判断函数奇偶性的方法(1)定义法：一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断•利用定义判断函数奇偶性的步骤:(2)图象法：奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称•因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y轴对称，只需证明此函数是偶函数即可•反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.2•已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法，利用f(x) ± f( —x) = 0得到关于x的恒等式，由对应项系数相等可得字母的值.【易错指导】函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f(x)和f( —x)必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提.如果某一个函数的定义域不关于原点对称，它一定是非奇非偶函数.V.举一反三•触类旁通考向1函数的奇性的判断【例1】【2018辽宁沈阳模拟】下列函数的图像关于y轴对称的是( )A. y=x2 x B . 丫 = 一丄C . y=2x-2^ D . y = 2x 2»x【答案】D【解折】验证只有D选项，= 足是偶的数定义，故图象关于卩轴对称，选D・【例2】若函数f X R是奇函数，函数g x R是偶函数，则一定成立的是()A.函数f勺(X )1是奇函数 B .函数g ■ f(X )1是奇函数C.函数f f X 是奇函数 D .函数g ||_g X 是奇函数【答案】C5【解析】由题得，函数f x ,g x 满足f -x - -f x,g -x 二gx ，则有 f g —x 二 f g x , g || f -x 二 g ||-f x 二 g || f x , f ||/-x 二 f || -f x —f || f x ，g g -x 「=：g g x ，所以根据奇偶函数的判断可得只有选项C 是正确的，故选 C【例3】【2018江西新余一中第二模拟】数 y = fx 与y = gx 有相同的定义域，且都不是常值函数,对于定义域内的任何 x ，有f x i 亠f ：；：-x i ； = 0 , g x g ：；：-x =1，且当x = 0时，g x =1，则F x =彳f x . f x 的奇偶性为【答案】偶函数 【解析】由条件，得2f (—x ) —2f (x )F -xf_x 一 qf xg (-x )-1 1 1g (x )^-2fx gx -f x fx gx1 -g xi-g x-f X g x - f x f X g x f x 2f x1 -g xg x -1 g x -1为偶函数，故答案为偶函数. 【跟踪练习】1 .在函数 y = xcosx , y =e x x -, y = lg x -2 , y=xsinx 中，偶函数的个数是（ ）A . 3B. 2C. 1D. 0【参考答案】B【试题解析】叉抒国数/（x ）=xco&x,可知/（-兀）=-葢《＞££ = -/（兀），故国数y = XQO3x 是奇函数' 对于函数『（力=弍+£』（一刃二r +/ （力H 「才（刃『所以函数严弍+工是非奇非偶因数;对于函数/（兀）=1昌Jx'-2，/（-%） = lg-2 =■ f （x ） 7所叹函数F = 1吕J/-2是偶函数；函数/（JC ） = J CS ]DX = /（-X ）『所以函数^=xsinx 罡偶函数一 故选B.【点评】先利用定义判断函数的奇性，排除不符合题意的选择支，在借助函数的单调性选取.f x = F x ，故 F xf xg (x )—12•下列函数为奇函数的是（）7x1 32 xA. 2x B. x sin xC. 2cosx 1D. x 22x【答案】A【解析】对于A 选项中的函数/(x) = 2I -^r = 2I -2-i 屈数走义域为R J(—力U3 = 2—2’£= -/W ，故A 选项中的函数为奇ISI 数』对于B 选项中的幽数^(x) = ^siDx ?由于函数网二空与函数 乃= siz 均为奇函数，则函数£(兀)二为偶函数；对于C 选项中的函数/J (^)=2COSJC +1,定义域 为左』＞r(-x) = 2cos(-x)+l =2cosx + l = Z J (X ),故函数/r(x) = 2cosx+l 为偶函数亍对于D 选项中的 函数卩(刃= ＜十2爲^(1) = 3,=则炉(-1)工切⑴，因此函数列兀)"'十2*为非奇非偶国 数，故选乩【点评】判断函数的奇性，先看定义域是否关于原点对称，之后再利用定义去衡量，或直接观察，本题 中C D 两个选择支为函数，再利用单调性去衡量；这类题为高考常见题，属于基础题. 4 •下列函数中既是奇函数，又在区间内是增函数的为( )A . y = s in x, x w RB . y = l n x, R,且 x 式 0C . y = e x -e^, x^RD . y = x 3+1,x€R【答案】C.【解析】首先判断奇性： B 为函数，A , C 为奇函数，D 既不是奇函数也不 是函数， 所以排除B 、D y =Sinx 在(0 , 2)先增后减，排除 A ,故选C. 考向2函数的奇性与求函数值f 4 +f ^4的值为()A .B . 0C . 2 5D .不确定【答案】B3 •下列函数中，既是偶函数又在区间0,1上单调递减的函数为()1A. y =—x【答案】CB . y = lg xC . y = cos x Dy = x 2【解析】T y = cosx 是偶函数，且在0,二上单减，而 0,1 j 二〔0,二,y = cosx 满足条件，故选 C.【例4】【2018河北邢台高一上学期第一次联考】已知y 二f x 是奇函数，且f 4 ―一 5，那么【解析】y二f x是奇函数，且f 4 5，所以f -4 = - • 5，那么f 4 f -4 = ,5 - ,5 = 0,故选B.【例5】【2018河北武邑中学上学期第二次调研】已知f X是定义在R上的奇函数，当X_0时，f x ]=5X- m( m为常数)，则f -log5 7的值为( )A. 4 B . -4 C . 6 D . -6【答案】D【解析IZl数为奇函数，则：/(O) = 5° + ^ = m = -1 x>Q时,函数的解析式为：=-4og s7<0,结合奇函数的性质可得：/(-log7) = -/(l^7) = -(5l^7"1) = _(7"L)= ^6 -故选D 点睛：若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0) = 0.【例6】【2018辽宁鞍山一中上学期第一次模拟】已知函数f x为奇函数，且当x 0时，2 1 ’f (x ) = x +-，贝U f (-2 )= _________ .x9【答案】--；22 1 9【解析】因为x 0时，f x =x2，所以f 2 ，又f x为奇函数，所以x 29 9f -2 二-f 2 ，故填-？.【例7】【2018山西省45校联考】若函数f (x )=10ax(10x+1 )是偶函数，贝V a= _____________ .【答案】-12【解析】函数f x i〕=10ax10x1是偶函数，所以f -1二f 1 ,即1010, n-10a 10 1 .11 1故10°10a 11，解得a 二10 2“ 1 1 11 ——x -X ——x当a 时，f x =10 210x1 =10210 2，满足f -x 二f x .21综上可知，若函数f x =10ax 10x 1是偶函数，则a =2【例8】【2016年高考四川卷】已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0v x v 1时，f(x)=4x,95则f( ) f(1)= __________ 211【答案】-2【解析】因为函数 f(X )是定义在R 上周期为2的奇函数，所以f(-1) - - f (1),f (-1) = f (-1 2) = f (1),所以-f(1)= f(1)，即 f(1) = 0 ,5111丄5f (『2)= f (~2 -2)= f (匕)=_f (2)=" = -2，所以 f(-2)f (1)- -2-【例9】【2018全国18名校大联考第二次联考】已知函数 f (x )=』X ( m,a 为常数，a>0且a 式1) a x ' 的图象过点A 2,4 , B i d,1 •I 2丿(1)求实数m,a 的值;2^-1 2 x 2 2x 2x _1所以函数g x 的定义域为R .又g -x 二討计=；x ； x ；x =一討片=-g x ，所以函数g x为奇函数.【跟踪练习】 1.【2018山西晋豫名校联考】若对 —x, y • R ，有f x • y 二f x • f y -3,则函数(2)若函数g x =f (X )十1f x _1，试判断函数g x 的奇偶性，并说明理由.1【答案】(1) m =1, a ； (2 )奇函数.2【解析】试题分析：(1)由函数心)£ 的團象过点A(2A)f B造关于用卫的方程组，解方程组可得实数刑工的值;(2)由(1)求出函数 g x =f x -1二f (x )+12x +1 ，并根据指数的运算性质进行化简，进而根据函数奇偶性的定义，可得答案. 试题解析：(1)把A 2,4, B i 1,丄的坐标代入 .'2m"T = 4,f x 二马，得｛ a ，解得m = 1,a m 1(2) g x 是奇函数.理由如下：由(1)知 f X i ； = 2x ，所以 g x 二f X -1 2x -1f x 1 一 2x 1,分别代入函数解折式，枸【答案】Cf x 在[-2017,2017 ]上的最大值与最小值的和为（）【答案】B【解析】对0兀有于= 兀）一3： ^x-y-Q f 有 /(0) = /(0)+/(0)-3./(0)-3,^y = -x ?有/(0) = /(x )4-/(-x)-3j 则/(x)+/(-x)=6 j令A （JC ） = /（X ）-3 ,则应（工）+匪〔一號）=6则应（力为奇函数：又设1S1数＞列兀）为奇函数，则g （x ）=巩兀）+h （兀）十3 ,而卩（力十方（兀）为奇函数』宙于 奇函数在关于原点对称的单调区间內的最大值与最小值互为相反数，则g （x ）的最大值与最小值之和为启.选 E,2 .【2018辽宁庄河高级中学、沈阳二十中上学期第一次联考】设 f x 是定义在R 上的奇函数，且其图象关于x =1对称，当x ：= [0,2时，f X =2x-x 2，则f 0 • f 1 • f 2017的值为（）A . -1，B . 0C . 1D .不能确定 【答案】C【解析】定义在 R 上的奇函数f x 的图象是关于直线 x=1对称，.f 2-x 二f x ,.f||2 -：i x• 2= f x2，即 f x • 2 二-f x ,• f x 4 = f x ，故函数fx 的周期为4 .7f—1i=-f 1[=—1, f 1 =1, f 2 二 f 0 =0, f 3 二 f 一1=一1, f 4 = f0 =0,则 f1f 2f 3 I”f 2017= 504 f 0f 1 f 2f 3f 2016f 2017 =504 0 f 0 f 1 =1，故选 C .]2x ,0 vx 兰 1 3 .【2017河北定州中学】函数 f x 是定义在R 上的奇函数，当x 0时，f x =4 , 右 f （x-1）,x A11则方程f x 二—在〔-3,51上的所有实根之和为（） xA . 0B. 2C. 4D. 6【解析】由趣意可知，当讥［-却］时，由施数性质可知，/(x)=l 的所有实根之和为S 当*34］x2xgX」A . 4B . 6C . 9D . 12时，畑 = 2",由/\对=2"=丄得牙=斗■当当葢Eg习时，八力= 2",方程于(刘=2"=丄无解，X X所以在区间［3*方程/(x)=l的所有实根之和为4 .x4.【2018辽宁凌源三校联考】已知函数f x为R内的奇函数，且当x_0时，f X - -e x• 1 • mcosx ,记a - -2f -2 , b - - f -1 , c = 3f 3，则a, b, c 间的大小关系是( )A . b :: a :: cB . a ：：c ■. bC . c :: a ： bD . c b ：： a【答案】C【解析】利用奇函数的性质可得：f 0二-e° • 1「m cos0 = 0, m = 0,即当x_0时，函数的解析式为：f x - -e x V，令g x二xf x x丄0，由函数的奇偶性的定义可得函数g(x)是定义域内的偶函数，且：g' x = x 1 e x，: x，1 _1,e x一1,. x 1 e x-1, g' x =1 - x 1 e x乞0，即函数g x在区间［0,=上单调递减，且：a二f -2二f 2 ,b二f -1二f 1 ,c二f 3，结合函数的单调性可得：c ::: a ：：： b .故选C.5.【2018江西新余模拟】已知y二f 2x-1为奇函数，y二fx与y二gx图像关于y=x对称，右x1 x2 =0，则g X1 g x2 -( )A . 2B . -2C . 1D . -1【答案】B【解析】T y n f 2x -1为奇函数，故y = f 2x-1的图象关于原点0,0对称，而函数y = f x的1图象可由y = f 2x-1图象向左平移 -个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到，故2y = f x的图象关于点；'-1,0对称，又y = f x与y = g x图象关于y = x对称，故函数y = g x的图象关于点0, -1对称，•X2 = 0，即禺- -X2，故点x-i, g x1, x2 ,g x2，关于点0,T 对称，故g x-! g x^ _ _2，故选B.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性，属于难题题.函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是利用函数的平移13【答案】B变换、放缩变换后根据对称性解答的. 6.【2016高考山东卷】已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f(x)=X 3-1 ；当-1乞X 乞1时,1 1 1f ( -X )二 - f (X ); 当 X 2 时，f (X "2)= f (X - 2)•则 f (6)=()(A ) -2 (B ) -1(C ) 0(D ) 2【答案】D【解析】当其j 时，所臥当兀J 时，函数/⑴是周期为1的周期函数，所以Xjfa£ 盒/(6) = /(1),又函数才匕)是奇函数，所/(I) = -/(-D = -11 = 2.故选 D +【点评】本题主要考查分段函数的概念、函数的 奇性与周期性，是高考常考知识内容•本题具备一定难 度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较 好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7 .【2016高考江苏卷】设f (X)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间［-1,1)上，【答案】因此 f (5a)二 f (3) = f(1) = f(—1) = -1【点评】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么•函数 周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上•解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及 其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 考向3函数的奇性与解不等式【例10】【2018广东佛山模拟】设函数 f(x) =丫十“(凶+1 ),则使得f(x)>f(2x — 1)成立的x 的取 值范围是 £十①X a, -1 _ x： 0,2 ——x ,0 Ex c1, 5其中"R .若f(_2)弋)，则 f (5a)的值是【解析】f (£)"(-1)汀(2) 1 = f (-)-A .15【解析】函数的定义域为乩很明显函数是偶函数，且莎 >。

求函数最值常用的方法及经典例题讲解知识点：一、函数最大（小）值定义最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，称M 是函数()y f x =的最大值．思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义．注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥．二、求函数最大（小）值常用的方法．案例分析：例1、画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①()3f x x =-+ ②()3[1,2]f x x x =-+∈-③2()21f x x x =++ ④2()21[2,2]f x x x x =++∈-类型一、直接观察法对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

例 1、求函数1,[1,2]y xx=∈的值域A、单调递减，无最小值B、单调递减，有最小值B、单调递增，无最大值 D、单调递增，有最大值小试牛刀：1、求函数21yx=-在区间[2，6] 上的最大值和最小值．2()5522++=x x x f类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)例： 求函数3456x y x +=+值域。

实战训练场：1) 求函数213-+=x x y 的值域；2) 函数.11的值域是x x y +-=类型三、倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例1、求函数y =的值域。

例2、求函数的值域。

类型四、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一(二次函数）（02≠++=a c bx ax y ]44(0);44[022a b ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时)。

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第8题 函数的解析式I ．题源探究·黄金母题【例1】如图,OAB ∆是边长为2的正三角形，记OAB ∆位于直线(0)x t t =>左侧的图形的面积为()f x ,试求()f x 的解析式,并画出函数()y f t =的图象.【解析】当01t <≤时,213()tan 6022f t t t t =︒=;当12t <≤时，11()23(2)(2)tan 6022f t t t =⨯⨯---︒=23(2)32t --+;当2t >时,1()232f t =⨯⨯=3.综上知，223,0123()(2)3,1223,2t t f t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=--+<≤⎨⎪⎪⎪>⎩精彩解读【试题来源】人教版Ａ版必修一第13页复习参考题B 组第2题 【母题评析】本题以平面几何图形为载体,考查函数解析式的求法，以及根据函数解析画函数的图象．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式,达到对学生能力的考查.【思路方法】此类试题是平面几何图中由于动点的运动引起了某些几何量的变化,由此也与函数有了紧密联系,也就产生了此类试题．解答此类试题通常要利用分类讨论的思想,同时要注意结合平面几何及三角知识进行求解．II.考场精彩·真题回放【例2】【2017高考新课标ＩI 】已知函数()2ln f x ax ax x x =--,且()0f x ≥．求a (节选). 【解析】()f x 的定义域为()0，+∞.设()g x =ax -a -lnx ,则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x ，【命题意图】本类题通常主要考查函数解析式的求法与图象识别..【考试方向】这类试题在考查题型上,通常基本以选择题的形式出现,中等偏上难度,往往与平面几何知识、三角函数等知识有联系()()g g x ≥1=0,0,故()g'1=0，而()()g'x a g'a x=--1,1=1,得a =1． 若a =1，则()11-g'x =x.当０<ｘ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减;当x >１时,()g'x >０，()g x 单调递增．所以ｘ=1是()g x 的极小值点,故()()g x g ≥1=0综上，a =1．【例3】【２０15高考新课标Ⅱ】如图,长方形ABCD 的边2AB =,1BC =,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动,记BOP x ∠=．将动P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为（ )DP CBOAx【答案】Ｂ【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时,即04x π≤≤时,2tan 4tan PA PB x x +=+；当点P 在CD 边上运动时,即3,442x x πππ≤≤≠时，2211(1)1(1)1tan tan PA PB x x+=-+++,当2x π=时,22PA PB +=当点P 在AD 边上运动时,即34x ππ≤≤时,2tan 4tan PA PB x x +=+,综上可知【难点中心】此类试题的解答通常结合图形的具体特点,首先明确哪个是自变量x ？哪个是因变量y ，它们对应于几何图形中哪些线段或角,然后结合分类讨论的思想进行求解.tan ,042()322tan ,4x x x f x x x x x ππππππ≤≤≤<==⎨<≤<≤由此可知函数()f x 的图象是非直线型的,排除A ，C.又()()42f f ππ>,排除D,故选B.II Ｉ.理论基础·解题原理 考点一 函数解析式概念(1)函数解析式定义:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式．（2)解析式优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 考点二 基本初等函数的解析式(1）一次函数：,(0)y kx b k =+≠; (2）反比例函数:,(0)ky k x=≠; （3)二次函数:2,(0)y ax bx c a =++≠; (4)指数函数：,(0,1)x y a a a =>≠且; (5)对数函数:log ,(0,1)a y x a a =>≠且; (7)幂函数：,()y x αα=∈R ;（８)三角函数:sin ,cos ,tan ,()2y x y x y x x k π===≠π+. Ⅳ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上,通常在选择题、填空题中均可能出现考查,在解答题常常伴随函数在实际问题的应用、涉及函数的导数问题应用．【技能方法】求函数解析式常用方法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、消元法(方程法）、图象法、性质法等,这些方程的选择都要根据所给有关函数的具体信息进行分析,如已知函数模型时,常用待定系数法.【易错指导】（1)因为解析具有定义域、对应法则、值域,而定义域是函数的灵魂，因此一定要注意在求得解析后要注意函数的定义域;(2）利用换元法（或凑配法）求函数解析式时,确定函数的定义域是一个难点,同时也是一个易错点,因为这类题主要涉及到复合函数问题;(３)利用性质法求函数解析式时，常常在自变量的转换上或函数名称变换上犯糊涂,因为这类题实质上是涉及到分段函数问题.（4)求实际应用问题的函数模型问题，确定函数定义域时,除函数解析式本身要求有意义外,自变量的取值还必须符合实际意义. Ⅴ．举一反三·触类旁通 考向1 利用待定系数法求解析式【例1】已知二次函数()f x 满足条件(0)1f =,及(1)()2f x f x x +-=,则求()f x =＿____＿__＿__．【例2】【改编题】已知函数2n (1)l a x x x bx f =+++在点(1,)(1)f 处的切线方程为4120x y --=,则函数()f x =_____＿__＿＿_. 【解析】因为b x x ax f ++=2)(',则由题意8)1(,4)1('-==f f ，则⎩⎨⎧=++=-=+=42)1('82)1(b a f b f ，解得⎩⎨⎧-==1012b a ，所以110ln 12)(2+-+=x x x x f .【点评】待定系数法是求函数解析式常用的方法之一,适用于已知或能确定函数的解析式的构成形式(如一次函数、二次函数、反比例函数、函数图象等),求函数解析式．其解法是根据条件写出它的一般表达式，然后由已知条件，主要通过系数的比较,列出等式，确定待定系数. 【跟踪练习】1.【２017河南安阳一模】已知()'f x 是定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数,若方程()'0f x =无解,且()0,x ∀∈+∞， ()2016log 2017f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，设()0.52a f =, ()log 3b f π=, ()4log 3c f =,则a ， b ， c 的大小关系是( )A.b c a >> B ．a c b >> Ｃ．c b a >> D ．a b c >> 【答案】D点睛：此题意主要考查了函数的导数、单调性在函数值大小的比较中的应用,以及真数相同底数不同的对数值的比较等方面的知识，属于中高档题型，亦是高频考点.有三个关键点： （１)由方程()0f x '=无解，可知函数()f x 在()0,+∞上为单调函数；(２）由()2016log 2017f f x x ⎡⎤-=⎣⎦（常数）,可知()2016log f x x -是定值; （3）对于对数函数log (1)a y x x =>，在真数相同底数不同的函数值中,当01a <<时，底数a 越小,函数值越大；当1a >时,底数a 越大,函数值越小．2.【20１8山西运城康杰中学高一上学期第一次月考】已知()23g x x =--, ()f x 是二次函数,且()()f x g x +为奇函数,当[]1,2x ∈-时, ()f x 最小值为１,求()f x 的解析式． 【答案】()233f x x x =++或()2223f x x x =-+【解析】试题分析:令()2f x ax bx c =++，而()()()213f x g x a x bx c +=-++-为奇函数,故10,30a c -=-=,解得1,3a b ==, ()23f x x bx =++.其对称轴为2bx =-，根据对称轴和区间[)1,2-的位置关系,分成3类讨论当x 为何值时取得最小值,由此求得函数的解析式.【试题解析】设()()20f x ax bx c a =++≠ ()()()F x f x g x =+ 则()()222313F x ax bx c x a x bx c =++--=-++-为奇函数∴ ()()F x F x -=-对任意x 恒成立,即()()()221313a x bx c a x bx c --+-=-----∴()2130a x c -+-=对任意x 恒成立 1,3a c ∴== ()23f x x bx ∴=++()f x ∴的图象的对称轴为直线2b x =-当[)1,2x ∈-时, ()f x 的最小值为1∴ ()1{ 211b f -<--=或122{ 12b b f -≤-≤⎛⎫-= ⎪⎝⎭或()2{ 221bf ->= ∴ 2{131b b >-+=或42{2222b b b -≤≤-==-或4{ 4231b b <-++= 即3b =或22b =-3b =-(舍）综上可知： ()233f x x x =++或()2223f x x x =-+点睛：本题主要考查待定系数法求函数的解析式,考查了二次函数的图象与性质,考查了函数的奇偶性与单调性.由于已知函数为二次函数，故可设出二次函数的一般式，然后利用函数的奇偶性可求得,a c 的值，在利用对称轴和定义域，结合最小值可求得b 的值． 考向2 利用换元法(或配凑法)求解析式【例3】【改编题】(１)若2211()f x x xx-=+,则()f x =（ ） Ａ．2()2f x x =+ B.2()2f x x =- C ．2()(1)f x x =+ D ．2()(1)f x x =- （２)已知x xf lg )12(=+,则()f x =___＿_______．【点评】已知复合函数[()]f g x 的表达式,要求()f x 的解析式时,可考虑令()g x t =，反解出()x h t =,将其代入[()]f g x 的表达式中，再用x 替换t 便可得到函数()f x 的表达式;（２)已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时,若[()]f g x 的表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时要注意定义域的变化. 【跟踪练习】1．【四川省双流中学２017—２0１8学年高一上学期期中考试】已知111f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭,则()2f 的值为( )A ．13Ｂ．23C ．3 Ｄ.32【答案】B 【解析】令12x =,则12x =,所以()1221312f ==+，故选B.2.【山西省实验中学201７-２０１８学年高一上学期10月月考】若()11f x x +=+,则()f x 的解析式为（ ）A.()()222,1f x x x x =-+≥ Ｂ．()()22,1f x x x x =-≥ Ｃ.()()222,0f x x x x =-+≥ D.()()22,0f x x x x =-≥ 【答案】A考向3 利用函数性质求解析式【例4】已知)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)1(log 2)()(2x x g x f -=+，则函数()f x =_＿＿____＿＿_＿,()g x =____＿＿_＿___.【解析】∵)(x f 为奇函数,)(x g 为偶函数,∴)()(),()(x g x g x f x f =--=-.又)1(log 2)()(2x x g x f -=+ ①,故)1(log 2)()(2x x g x f +=-+-，即)1(log 2)()(2x x g x f +=+- ②.由①②得：)1,1(,11log )1(log )1(log )(222-∈+-=+--=x xxx x x f ，22()log (1)log (1)g x x x =++-=22log (1)x =-，(1,1)x ∈-．【例5】 函数)(x f y =是R 上的奇函数，满足)3()3(x f x f -=+,当()3,0∈x 时,x x f 2)(=,则当()3,6--∈x 时,=)(x f ＿_______＿__．【解析】因为)3()3(x f x f -=+，所以函数)(x f 的图象关于直线3=x 对称，即)6()(x f x f -=成立．又)(x f 为奇函数,所以()()(6)f x f x f x =--=-+.设()3,6--∈x ，则()60,3x +∈，则6(6)2x f x ++=，所以6()(6)2x f x f x +=-+=-,即当()3,6--∈x 时，62)(+-=x x f ．【点评】已知函数的某些性质（奇偶性、周期性、对称性等),可利用这些性质求解．常常涉及到两个转换过程:(1)自变量的转换，即将所求解析式的定义域范围转移到已知函数的定义域内；（2）函数名称的转换，如将()f x -转换为()f x 、()f x m +（m 为常数)转化为()f x 等. 【跟踪练习】1．【201８江西六校第五次联考】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()f x =()()1,{,0log x x x g x x +≥<，则()8g f ⎡⎤-=⎣⎦( ）A.﹣1B.﹣2C.1D.2 【答案】A2．【20１7河南南阳、信阳等六市第一次联考】已知是定义在上的偶函数,且恒成立,当时，,则当时，( ）A ．Ｂ．Ｃ． D ．【答案】B【解析】试题分析：,,,即是最小正周期为的函数，令，则,当时，,，,是定义在上的偶函数,,令,则，,,，当时,函数的解析式为:．所以B 选项是正确的．考点：利用函数的性质求解析式. 【思路点睛】根据将换为,再将换为,得到函数的最小正周期为,由当时,,求出的解析式，再由是定义在上的偶函数，求出的解析式,再将的图象向左平移个单位即得的图象，合并并用绝对值表示的解析式．考向４ 利用方程法(消元法)求函数解析式【例6】【改编2０16届湖北龙泉中学等校９月联考】定义在(1,0)(0,)-+∞上的函数()f x 满足:211()2()ln xf x f x x+-=,则()f x =____＿__＿___．【例7】【改编题】定义在R 上的函数()g x 及二次函数()h x 满足:2()2()9x x g x g x e e+-=+-,则()g x =＿__＿＿__＿___.【解析】（1）∵2()2()9x xg x g x e e +-=+- ①,2()2()9x xg x g x e e ---+=+-,即1()2()29x x g x g x e e-+=+- ②．由①②联立解得()3xg x e =-． 【点评】消元法适用的范围是:题设条件有若干复合函数与原函数()f x 混合运算，则充分利用变量代换,然后联立方程消去其余部分可求得函数()f x 的表达式．【跟踪练习】1.【2０１8江西樟树中学高一上学期第一次月考】若函数()f x 对于任意实数x 恒有()()231f x f x x --=-,则()f x 等于A.1x +B.1x -C.21x +D.33x + 【答案】A【解析】∵()f x 对任意实数x 恒有()()231f x f x x --=-，∴用x -代替式中的x 可得()()231f x f x x --=--，联立可解得()1f x x =+,故选A ．点睛：本题主要考查了函数解析式的求法,属基础题；常见的函数解析式方法:①待定系数法，已知函数类型（如一次函数、二次函数）；②换元法:已知复合函数()()f g x 的解析式，可用换元法,此时要注意新元的取值范围;③配凑法：由已知条件()()()f g x F x =,可将()F x 改写成关于()g x 的表达式;④消去法:已知()f x 与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭或()f x -之间的关系，通过构造方程组得解.２.【20１7河南新乡三模】若()()2f x f x +-= 33x x ++对R x ∈恒成立,则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为___＿＿_____.【答案】1315y x =-(或13150x y --=）考向5 根据图象确定解析式【例8】【2018山东枣庄模拟】函数()f x 的部分图象如图所示,则()f x 的解析式可以是( )A ．()sin f x x x =+B ．cos ()x f x x =C ．()cos f x x x =D ．3()()()22f x x x x ππ=-- 【解析】根据已知条件可知，函数()f x 为奇函数，所以应排除D ;函数的图象过原点,所以应排除B ；图象过(,0)2π,所以排除A ;故选C ．【点评】根据给出函数的图象确定函数的解析式,主要有两种题型:（１)根据函数图象求函数的解析式,解答时常常根据图象特征及图象上的特殊点,求出具体的相关的量的值；(2)根据函数图象,同时给出了多个函数解析式,从中进行选择,解答时通常结合函数的性质,结合排除法进行解决.【例９】【20１7安徽江南十校高三3月联考】若函数的图象如图所示,则的解析式可能是( ）A ． Ｂ. C. D.【答案】Ｂ点睛:本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图象信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征,独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解. 【跟踪练习】【２017四川成都七中6月１日高考热身考试】如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,动点P 在其表面上运动，且PA x =，把点的轨迹长度()L f x =称为“喇叭花”函数,给出下列结论：①13216f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()312f π=;③()322fπ=;④21333f π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭其中正确的结论是:____＿____＿．(填上你认为所有正确的结论序号)【答案】②③④考向６ 建立解析式识别图象【例１0】如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为( ）Ａ B C D【解析】如图所示，作MD OP ⊥，垂足为D ,当02x π≤≤时,在Rt OPM ∆中，cos cos OM OP x x ==.在Rt OMD ∆中，1sin cos sin sin 22MD OM x x x x ===;当2x ππ<≤时，在Rt OPM∆中,cos()cos OM OP x x π=-=-，在Rt OPM ∆中，sin()cos sin MD OM x x x π=-=-=1sin 22x -.综上可知1sin 2,022()1sin 2,22x x f x x x πππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，所以当0x π≤≤时，()y f x =的图象大致为C.【例１1】【2017福建厦门双十中学下期热身】如图,半径为2的圆O 与直线MN 切于点P ,射线PK 从PN 出发，绕P 点逆时针旋转到PM ,旋转过程中与圆O 交于Q ,设(02)POQ x x π∠=≤≤,旋转扫过的弓形PmQ 的面积为()S f x =，那么()f x 的图象大致为( )【点评】此类试题比较灵活,是近几年考查的热点之一.解答时从已知条件出发，根据图形结构，结合三角函数知识、勾股定理、正弦定理、余弦定理、距离公式等知识建立函数的解析式,然后作出选择,有时也要根据函数的性质(奇偶性、单调性、定义域与值域)，利用动态过程中涉及的界点情况作出判断. 【跟踪练习】1．【201７广西5月份考前模拟】函数()()2244log x x f x x -=-的图象大致为( )A ． B. C. D ．【答案】A点睛:本题旨在考查函数的图象的识读和分析推断能力的综合运用.解答本题的关键是借助函数的图象和基本性质,综合运用所学知识分析判断答案的正确与错误,求解时先运用函数的奇偶性的定义判断函数是奇函数,进而通过函数的取值推断该函数的零点所在和单调变化，进而获得正确答案.２.【2018贵州遵义航天中学一模】已知P 是圆()2211x y -+=上异于坐标原点O 的任意一点，直线ＯP 的倾斜角为θ,若OP d =，则函数()d f θ=的大致图象是（ ）Ａ． B.Ｃ．Ｄ．【答案】D【解析】π2cos ,0,,2π2cos ,,π2d θθθθ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以对应图象是D点睛:(１)运用函数性质研究函数图象时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向．（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时,要注意用好其与条件的相互关系,结合特征进行等价转化研究．如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化,单调性可实现去“”f ，即将函数值的大小转化自变量大小关系. 考向７ 建立解析式解决实际问题【例1２】【2０1８湖北宜昌一中、龙泉中学联考】如图所示,桶１中的水按一定规律流入桶２中，已知开始时桶1中有a 升水,桶2是空的，t 分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线1nt y ae -=(其中n 是常数，e 是自然对数的底数）.假设在经过５分钟时，桶１和桶2中的水恰好相等.求：（１)桶２中的水2y （升)与时间t (分钟)的函数关系式; （2)再过多少分钟，桶１中的水是8a 升?【点评】在函数应用题中,建立函数的解析式常常设置在解答题的第(１）题的位置上,只有进行正确的建模,才能解答第(１）题后面的其它小题.而建立函数解析时,一定要注意结合实际应用的要求与题设条件确定函数的定义域.【例1３】【２018福建三明一中高一上学期第一次月考】楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车,当月该型号汽车的进价为30万元/辆,若当月销售量超过５辆时，每多售出1辆,所有售出的汽车进价均降低０．１万元/辆.根据市场调查,月销售辆不会突破30台.(１)设当月该型号汽车的销售量为x 辆(30x ,且x 为正整数)，实际进价为y 万元／辆，求y 与x 的函数关系式；(2)已知该型号汽车的销售价为３2万元/辆,公司计划当月销售利润25万元,那么月需售出多少辆汽车？（注:销售利润=销售价-进价)【答案】（1)30(05,){0.130.5(530,)x x y x x x <≤=-+<≤为整数为整数（２）该月需售出10辆汽车.试题解析:解：（１)由题意, 当05x <≤时， 30y =.当530x <≤时, ()300.150.130.5y x x =--=-+． ∴30(05,){0.130.5(530,)x x y x x x <≤=-+<≤为整数为整数;当05x <≤时,()323051025-⨯=<,不符合题意，当530x <≤时，()320.130.525x x ⎡⎤--+=⎣⎦，解得: 125x =-(舍去），210x =. 答:该月需售出１0辆汽车.【例1４】【2０18江苏南京上学期期初学情调研】某工厂有１0０名工人接受了生产10０0台某产品的总任务,每台产品由9个甲型装置和３个乙型装置配套组成,每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人,他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时.设f （ｘ)＝ｔ1+t 2.(Ⅰ)求f （ｘ)的解析式,并写出其定义域； （Ⅱ）当x 等于多少时，f （x )取得最小值？【答案】（1)()90001000100f x x x=+- 定义域为｛x |1≤x ≤99,x ∈N ＊｝(2）当ｘ=７５时,f （x ）取得最小值．试题解析：解:（1)因为19000t x = ()2300010003100100t x x==--所以()1290001000100f x t t x x=+=+- 定义域为{x ｜１≤ｘ≤99，x ∈N ＊}．（2）f (x )＝90001000100x x +-=()()910091101001010100100x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎡⎤+-+=++⎢⎥ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎣⎦， 因为１≤x ≤９9，ｘ∈N *,所以()9100x x->0,100xx->0,所以()9100100x xxx -+-≥2()9100100x x x x--＝6， 当且仅当()9100x x-=100xx-，即当ｘ=7５时取等号．答:当x ＝７5时,f （ｘ)取得最小值.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑"等技巧,使其满足基本不等式中“正"(即条件要求中字母为正数）、“定”(不等式的另一边必须为定值）、“等"(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误. 【跟踪练习】1．【2017湖南株洲一模】某市家庭煤气的使用量和煤气费（元)满足关系()(),0{,C x A f x C B x A x A<≤=+->已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了320m的煤气,则其煤气费为____元．【答案】１1．5;点睛：解答本题的难点在于不知道函数的解析式的对应关系，需要进行分析和推断，然后运用题设条件建立方程组从而求出函数解析式中的参数,确定函数的解析式，求出了问题320m燃气的燃气费中而获解．２.【2０1８江苏高邮一中高一上学期第一次学情调研】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图（１);投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图(２)．（注：收益与投资额单位:万元)（1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系;(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元?【答案】（1)()()108f x x x =≥； ()()102g x x x =≥ (2），max 3y =万元 【解析】试题分析：(１)根据图象写出函数()()12,f x k x g x k x == ，分别将点()10.125,1,0.5（，） 代入对应函数即可求得12,k k 的值,得到函数关系式（２)根据已知条件写出总投资收益的方程()()1202082x y f x g x x =+-=+- ,将其转化为方程()21238y t =--+,通过x 的取值范围求出t 的取值范围,进而可求出y 的最大值.（2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为()20x -万元,依题意得: ()()20y f x g x =+- 12082x x =+-()020x ≤≤, 令20t x =-(025t ≤≤,则22082t t y -=+ ()21238t =--+， 所以当2t =,即16x =万元时,收益最大， max 3y =万元．【点睛】本题(1）采用的的“待定系数法”求函数的解析式．要使用这种方法需要知道函数的类型,根据类型写出()f x 的解析式,再结合其它已知条件确定函数的系数即可.以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

第32 题 三角函数的值域与最值问题I ．题源探究·黄金母题例1．已知()22sin cos 2cos y x x x =++．①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值． 【解析】()22sin cos 2cos 12sin cos 1cos22sin 2cos2224y x x x x x xx x x π=++=+++⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭①令πππππk x k 2234222+≤+≤+，解得ππππk x k +≤≤+858，即函数的单调区间为)(85,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ． ②由题意得22max +=y ，22min +-=y ． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第147页第9题．【母题评析】本题综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质，是历年来高考的一个常考点．【思路方法】灵活选择三角公式化为形式()sin y A x B ωϕ=++或()cos y A x B ωϕ=++，再讨论相关性质．II ．考场精彩·真题回放例2．（2017课标II ）函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【答案】1 【解析】试题分析：化简三角函数的解析式：()22231cos 41cos cos 142f x x x x x x =-+-⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭， 由自变量的范围：0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1．【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性、对称性、单调性、零点等性质．【考试方向】这类试题可以是以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等．【难点中心】注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期；②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 例3．（2017山东理16）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<．已知()06f π=．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值．【答案】（Ⅰ）2ω=．（Ⅱ）得最小值32-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x=)3x πω=-由题设知()06f π=及03ω<<可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-从而()))4312g x x x πππ=+-=-．根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值．试题解析：（Ⅰ）∵()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，∴1()cos cos 2f x x x x ωωω=-- 的图象关于直线0x x = 对称，则()0f x A= 或()0f x A =-．3cos 2x x ωω=-1sin )2x x ωω=-)3x πω=-由题设知()06f π=，∴63k ωπππ-=，k Z ∈．故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，∴2ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-∴()))4312g x x x πππ=+-=-． ∵3[,]44x ππ∈-，∴2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-． 例4．（2017江苏16）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b（1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取得最大值，为3； 5π6x =时，()f x 取得最小值，为-．【解析】（1）∵co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，∴3sin x x =，又cos 0x ≠，∴tan 3x =-，∵，∴5π6x =． （2）π(cos ,sin )(3,3cos cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ．∵，∴ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤．于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-．例5．（2016高考新课标1）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 ( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B 【解析】4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()f x 图象的对称轴，()444TkT ππ∴--=+，即41412244k k T ππω++==⋅， 41(*)k k N ω∴=+∈，又()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，5236181222T ππππω∴-=≤=，即12ω≤，由此ω的最大值为9．故选B ．III ．理论基础·解题原理考点 三角函数的最值与值域 有如下几种类型：（1）一次型：()()sin cos ,sin ,cos y a x b x y A x B y A x B ωϕωϕ=+=++=++，值域分别为,,,,A B A B A B A B ⎡-++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣；（2）二次型：222s i n s i n ,cy a x b x c y a =++=++等；（3）分式型：sin cos sin cos ,,,sin cos cos sin a x b a x b a x b a x by y y y c x d c x d c x d c x d++++====++++等． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解．若为新定义题，则难度加大．【技能方法】（1）二次型22sin sin ,cos cos y a x b x c y a x b x c =++=++可化为区间上的二次函数来求值域；二次型22sin sin cos cos y a x b x x c x =++可先用倍角公式、降幂扩角公式及辅助角公式化为一次型来求解；（2）分式型sin cos ,sin cos a x b a x by y c x d c x d++==++可以用sin x 或cos x 的有界性求值域，或利用分离常数法求解；分式型sin cos ,cos sin a x b a x by y c x d c x d++==++可以用数形结合法求值域． 【易错指导】求解三角函数的最值（值域）时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚，不然极易出错误． V ．举一反三·触类旁通考向1 三角函数的值域与最值例6．（2018河北武邑调研）设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（ ）A ． D ．- 【答案】C例7．已知函数()sin f x a x x =关于直线6x π=-对称 ，且()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．6π B ．3π C ．56π C ．23π 【答案】D【解析】()()sin tan f x a x x x ϕϕ⎛==-= ⎝⎭ ()()()12,463f x x k f x f x ππϕπ=-∴=+⋅=-对称轴为112212min 522,2,663x k x k x x πππππ∴=-+=+∴+=，故选D ． 例8．（2017陕西西安）已知()sin 2017cos 201763f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数12,x x ，使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ）A ．2017πB ．22017π C ．42017π D ．4034π【答案】B【解析】()sin 2017cos 201763f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11πcos2017cos20172sin 2017226x x x x x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭ ∴12122π2π2,2220172017T A x x A x x =-≥=∴-≥⨯ ，选B ．例9．（2016湖南湘西二模）若5,412xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()sin4sin2x xf xxπ⎛⎫+⎪⎝⎭=的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A例10．（2016河北沧州）函数sin(cos)(0)2y x x x xπ=-≤≤的值域为（）A．2+ B．[]22-- C．[0,1] D．[2-【答案】D【解析】因2111cos2sin2sin23sin(2)2223xy x x x xπ-==-=+，且由02xπ≤≤，得42333xπππ≤+≤，sin(2)13xπ≤+≤，1y≤≤-，故应选D．例11．（2016安徽安庆三模）已知()()sin,,,22f x x x x Rππϕϕ⎛⎫=++∈∈-⎪⎝⎭的图像过,42π⎛⎫⎪⎝⎭点，则()f x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A．[]5,5- B．[]3,5 C．[]3,4 D．[]2,5【答案】B【解析】由42fπ⎛⎫=⎪⎝⎭，有c o s s i n422ππϕ⎛⎫++=⎪⎝⎭，得s i n2ϕ=-，而,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴()(),sin 3cos 4sin 5sin 44f x x x x x x ππϕθ⎛⎫=-=-+=+=+ ⎪⎝⎭，其中34sin ,cos 55θθ==，故64ππθ<<，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知，02x πθθ≤+≤+，故()35s i n 5s i n 5x θθ=≤+≤，即()f x 的值域为[]3,5，故选B ．【方法点晴】本题考查两角和与差的正弦公式、三角函数的图象及三角函数的最值，属于难题．求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式利用三角函数有界性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值．本题是利用方法③的思路解答的．例12．（2018广州）已知函数，当时，有最大值，则=__________． 【答案】-5/12例13．（2018海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学等八校联考）函数()sin cos 2sin cos ,44f x x x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=++∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最小值是__________．【答案】1-【解析】解：f （x ）=sinx+cosx+2sinxcosx ，x ∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，化简f （x ）=（sinx+cosx ）2+sinx+cosx ﹣1设sinx+cosx=t ，则（x ）x+4π，那么函数化简为：g （t ）=t 2+t ﹣1．∵x ∈,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∴x+4π∈[0， π２]，∴： 0t 1≤≤．∵函数g （t ）=t 2+t ﹣1． 开口向上，对称轴t=－１２，∴0t 1≤≤是单调递增．当t=0时，g （t ）取得最小值为-1．例14．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为___________．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．【答案】1例15．函数cos 2sin y θθ=+(R θ∈)的值域为 ．【答案】]33,33[-【解析】由函数cos 2sin y θθ=+可得θθcos sin 2=+y y ，即θθsin cos 2y y -=，令1sin ,11cos 22+=+=y y y αα，则y y 2)cos(12=++θα，∴1|12|2≤+y y ，解之得33||≤y ．故其值域为]33,33[-．应填]33,33[-． 【易错点晴】本题考查的是三角函数的有关知识及综合运用．解答时先依据题设条件借助辅助角α的引入将其转化为y y 2)cos(12=++θα，然后在借助三角函数中余弦函数的值域为]1,1[-建立不等式1|12|2≤+y y ，通过解不等式1|12|2≤+y y 求出函数cos 2sin y θθ=+的值域为]33,33[-．体现数学中的转化与化归的数学思想和方法，整个解答过程充满了化归与转化的数学思想的交替使用．例16．（2018河南洛阳）已知()51ax by ++（a ， b 为常数*a N ∈， *b N ∈）的展开式中不含字母x 的项的系数和为243，则函数()sin24x b f x x π+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为__________．【答案】2例17．（2018江苏南通如皋联考）已知函数()()()sin 00πf x x ωϕωϕ=+><<，的周期为4，将函数f (x )的图象向右平移13个单位后，所得图象关于原点轴对称，则函数y ＝f (x )在[]01，上的值域为________．【答案】112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】∵函数()()()sin 00πf x x ωϕωϕ=+><<，的周期为4，∴2πω=，即()sin 2f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数f (x )的图象向右平移13个单位后得：sin 26y x ππϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由其为图象关于原点轴对称，故sin 06πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0πϕ<<，∴6πϕ=，故()sin 26f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∵[]0,1x ∈，∴2,2663x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()1,12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例18．（2018江西）已知函数的一条对称轴为，且最高点的纵坐标是．（1）求的最小值及此时函数的最小正周期、初相；（2）在（1）的情况下，设，求函数在上的最大值和最小值．【答案】（1）取得最小正值，，初相为．（2）最大值为，最小值为．试题解析：解：（1），∵函数的一条对称轴为， ∴，解得． 又，∴当时，取得最小正值．∵最高点的纵坐标是，∴，解得， 故此时．此时，函数的最小正周期为，初相为．（2），∵函数在上单调递增，在上单调递减，∴在上的最大值为，最小值为．点睛：已知函数的图象求解析式(1)．(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求．例19．（2018浙江名校协作体）已知函数()2sin cos cos f x x x x ωωω=+ (0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值． 【答案】(Ⅰ) 1ω=；(Ⅱ)1．试题解析：(Ⅰ) ()12242f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22T ππω==，∴1ω=(Ⅱ) ()()12sin 4242g x f x x π⎛⎫==++ ⎪⎝⎭ 当,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 34,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦∴()min 31162g x g π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； ()()max 01g x g == 例20．（2018安徽合肥调研）已知函数()sin cos f x x x =+．（Ⅰ）当()f x =sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭； （Ⅱ）若()()2g x f x =，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．【答案】（Ⅰ）1sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （Ⅱ）值域为⎡-⎣解：（Ⅰ）依题意， ()2sin cos sin cos 2sin21x x x x x +=⇒+=⇒=∴cos20x =， ∴1sin 2cos 332x ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭（Ⅱ）()sin2cos224g x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．∴函数()f x 的值域为⎡-⎣．例21．（2018山东平阴）已知函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域． 【答案】（1）()3x k k Z ππ=+∈（2）函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：先化简求得f （x ）sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭求出最小正周期和对称轴方程．（2）先确定()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，分析图像找出最值． 试题解析：（1）()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭221cos2sin2sin cos 22x x x x =++-1cos2cos22x x x =+- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22T ππ∴==周期，对称轴方程为（2）5,,2,122636x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴ 当3x π=时， ()f x 取最大值 1．又112222f f ππ⎛⎫⎛⎫-=-<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当12x π=-时， ()f x 取最小值，∴ 函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦例22．（2016黑龙江哈尔滨二模）已知函数()()R x x x x x f ∈--=21cos cos sin 232． （Ⅰ）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值； （Ⅱ）设锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别是,,a b c ，且*1,a c N =∈，若向量()11,sin A =n 与向量()22,sin B =n 平行，求c 的值．【答案】（Ⅰ）3x π=，()f x 取得最大值0；12x π=-，()f x 取得最小值1；（Ⅱ）2．试题解析：（Ⅰ）()1cos 21122cos 21sin 212226x f x x x x x π+⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭，∵5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴22363x πππ-≤-≤，∴sin 216x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，∴当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，即262x ππ-=，得3x π=，()f x 取得最大值0；当sin 262x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，即263x ππ-=-，得12x π=-，()f x 取得最小值12--； （Ⅱ）∵向量()1,sin A =n 与向量()2,sin B =n 平行，∴sin 2sin B A =，根据正弦定理的推论，得2b a =，∴1,2a b ==，由余弦定理214212cos 54cos c C C =+-⨯⨯=-，∵02C π<<，∴0cos 1C <<，∴215c <<，∴1c <<*c N ∈，∴2c =，经检验符合三角形要求，∴c 的值为2．例23．（2016天津和平区四模）已知3sin tan 2αα=，且0απ<<． （Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）求函数()()4cos cos f x x x α=-在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域． 【答案】（1）3πα=（2）[]2,3（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()()4cos cos 4cos cos cos sin sin f x x x x x x ααα=-=+14cos cos 22x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭22cos cos 1cos 22x x x x x=+=++12sin 26x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得22663x πππ≤+≤，当0x =时，()()m i n 02f x f ==；当6x π=时，()max 36f x f π⎛⎫==⎪⎝⎭．∴，函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3．考向2 已知三角函数的值域或最值求参数的值或范围 例24．（2017辽宁锦州）若函数()22sinsin21f x x x ωω=+-（x R ∈）满足()f α= ()0f β=，且αβ-的最小值为34π，则正数ω的值为（ ） A ．13 B ．23 C ．43 D ．83【答案】A例25．（2018“超级全能生”26省9月联考）已知向量()()sin ,cos ,1,1a x x b ωω==-，函数()f x a b =⋅，且1,2x R ω>∈，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间()3,4ππ，则ω的取值范围是（ ）A ．][7151319,,12161216⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦ B ．][7111115,,12161216⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C ．][171119,,2121216⎛⎤⋃⎥⎝⎦ D ．][1111115,,2161216⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】()sin cos f x x x ωω=-，()4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由12ω>，得24T ππω=<，,2T π> 112ω<<，由对称轴13,424x k x k ππωπππω⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭,k z ∈，假设对称轴在区间()3,4ππ内，可知31,16443k kω+<<+当k=1，2，3时， 771111155,,16121612164ωωω<<<<<<，现不属于区间()3,4ππ，∴上面的并集在全集112ω<<中做补集，得ω∈ ][7111115,,12161216⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦，选B ．【名师点睛】对于否定性，或完全肯定性的命题，经常用补集思想来做，要注意全集的选择．例26．（2018百校联盟开学摸底联考）若()()2cos 2(0)f x x ϕϕ=+>的图像关于直线3x π=对称，且当ϕ取最小值时， 00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2-B ．[)2,1--C ．()1,1-D ．[)2,1- 【答案】D例27．（2016湖北七市教研协作体4月联考）已知函数()sin cos f x a x b x =-（,a b 为常数，0a ≠，x R ∈）在4x π=处取得最大值，则函数()4y f x π=+是（ ）A ．奇函数且它的图象关于点(,0)π对称B ．偶函数且它的图象关于点3(,0)2π对称 C ．奇函数且它的图象关于点3(,0)2π对称D ．偶函数且它的图象关于点(,0)π对称 【答案】B【解析】∵()sin cos )f x a x b x x φ=-=+在4x π=处取得最大值，∴2()4k k Z πφπ=+∈，即()2))44f x x k x πππ=++=+，∴函数())42y f x x x ππ=+=+=，故函数()4y f x π=+是偶函数，且关于点3(,0)2π对称，故选B ．例28．设函数()x f x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是 ．【答案】2m <-或2m >【解析】试题分析：()'cos f x x m π=，令()'0f x =，则(),2x k k Z m πππ=+∈，解得(),2m x km k Z =+∈．即()0,2mx km k Z =+∈． ()222222003sin 3cos 222m m x f x km k km k πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭22132m k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，0k ∴=时()2200x f x +⎡⎤⎣⎦取得最小值为234m +，存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦只需2234m m +<，即24m >，解得2m <-或2m >．。

2018年高考复习专题-函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。

（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。

（3）确定函数定义域的常见方法：①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数xy 111+=的定义域。

③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数 ()2143432-+--=x x xy 的定义域。

例2． 求函数()02112++-=x x y 的定义域。

④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域3、值域 :（1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法： 1、配方法（二次函数） 2、分离常数法（分式函数） 3、反函数法（分式函数） 4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法（耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值） 8、数形结合法 【典型例题】例1：求下列函数的值域。

（1）2121x y x -=+； （2）()lg 12cos y x =-；（3）2y x =（4）2211x x y x -+=+；（5）()2lg 612y x x x x =-+≤≤； （6）3sin 2cos xy x-=-。

解：（1）[解一]分离常数法：()()21212211,11,212121x x y y x x x -+-===-≠⇒∈-∞+∞+++ [解二]反函数法：()21122112122x y y y x y x y x y -+=⇒-=--⇒=-⇒≠+-（2）基本函数性质法：[][]cos 1,112cos 1,3x x ∈-⇒-∈-又12cos 0x -> (](]12cos 0,3,lg3x y ⇒-∈⇒∈-∞（3）换元法：令0t =≥，则221x t =+[)22132101,24y x t t t t y ⎛⎫=++=++≥⇒∈+∞ ⎪⎝⎭又（4）基本不等式法：令10t x =+≠，则()()21211414t t x t y t tt---+=-⇒==+-当0t >时，40y ≥=，当且仅当2t =即1x =时取等号当0t <时，48y ≤-=-，当且仅当2t =-即3x =-时取等号 ∴(][),80,y ∈-∞-+∞（5）单调性法：1lg y x =在[]1,2上单调增且226y x x =-+在[]1,2上单调增 12y y y ⇒=+在[]1,2上单调增[]5,8lg 2y ⇒∈+（6）数形结合法：设()cos ,sin P θθ、()2,3Q ，则3sin 2cos PQ xk y x-==-设()3212y k x k ⎡-=-⇒≤⇒∈-+⎢⎣⎦即2y ⎡∈+⎢⎣⎦例2：函数()21f x ax a =++在区间()1,1-上的值有正有负，求实数a 的取值范围。

高考求函数值域及最值得方法及例题-训练题参考word函数专题之值域与最值问题一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为 .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

2018年高考数学热点复习函数最值与值域的巧解考纲要求:1、考查求函数单调性和最值的基本方法；求函数值域或最值．常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法．2、会求一些简单函数的定义域和值域. 基础知识回顾: 函数的最值存在应用举例:招数一：换元法与配方法【例1】【2017山东省枣庄八中高三月考】函数f (x )＝log 2x ·)x 的最小值为______． 【答案】－14【例2】【2017浙江省宁波市高三入学考试】求函数y ＝x －1－2x 的值域。

【答案】{y |y ≤12}．【解析】令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是{y |y ≤12}．【例3】函数2sin 4sin 5y x x =-+的值域为()A .[]1,+∞B .()1,+∞C .[]2,10D .[]1,10【答案】C招数二：图像法【例4】.【2017届山西省实验中学高三3月联考】0x ，使得()()(){}min ,h x f x g x =的最小值为()0h x ，则实数a 的取值范围为（）A .2a <-B .2a ≤-C .1a <-D .1a ≤-【答案】A可得()f x 的最小值为0，最大值为2当且仅当1x =取得最小值2a +，由存在唯一的0x ，使得()()(){}min ,h x f x g x =的值 为()0h x ，可得20a +<，解得2a <-，故选A ．【例5】【2017福建省福州市高三模拟考试】设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，⎩⎨⎧≥-<++=)(,)()(,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则f (x )的值域是( ) A .]0,49[-∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C .),49[+∞-D .]0,49[-∪(2，＋∞) 【答案】C【解析】由x ＜g (x )可得x ＜－1或x ＞2，由x ≥g (x )，即－1≤x ≤2时，∴⎪⎩⎪⎨⎧-∈--+∞--∞∈++=]2,1[,2),2()1,(,2)(22x x x x x x x f ，如图，由f (x )得图像可得：当x ＜－1或x＞2时，f (x )＞2；当－1≤x ≤2时，)21(f ＜f (x )≤f (2)⇔49-≤f (x )≤0，所以f (x )的域为]0,49[-∪(2，＋∞)，故选D .招数三：基本不等式法【例6】【2017浙江省金华、丽水、衢州市十二校联考】设{},min ,,y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，若定义域为R 的函数()f x ，()g x 满足22()()8xf xg x x +=+，则()(){}min ,f x g x 的最大值为__________．. 【解析】设()(){}min ,f x g x m =，∴2()2()()()8m f x xm f x g x m m g x x ≤⎧⇒≤+⇒≤⎨≤+⎩，显然，当m 取到最大值时，0x >，∴21888x x x x =≤=++，∴8m ≤，当且仅当()()80f xg x x x x =⎧⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩时等号成立，即m.【名师点睛】一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘. 【例7】【2017河北省武安一中高三月考】求函数13log log 3-+=x x y 的值域. 【答案】(－∞，－3]∪[1，＋∞)．招数四：单调性法【例8】设2x ≥，则函数______．【解析】令1,xt +=该函数是[)3,+∞上的增函数,则f (x )＝lnx －x 在区间(0，e ]上的最大值为( )A ．1－eB ．－1C ．－eD ．0【答案B【解析】因为f ′(x )＝1x －1＝1－xx，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，e ]时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e ]，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值ln 1－1＝－1.【例10】【2017山东烟台市高三摸底考试】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 【答案】－2.【解析】任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.【例11】【2017贵州省贵阳市一中高三月考】已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．【答案】（1）略；（2）a ＝25.招数五：导数法【例12】函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0【答案】A【解析】因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.【例13】【三湘名校教育联盟.2017届高三第三次大联考】已知函数()()33f x ax a x =+-在[]1,1-上的最大值为3，则实数a 的取值范围是（）A .[]3,3-D .[]3,12-【答案】B【解析】()()33f x ax a x =+-在[]1,1-上的最大值为3()3f x ⇔≤对[]1,1x ∈-恒成立且取到等号，因为()13f =，所以只需考虑()3f x ≤对[]1,1x ∈-恒成立，()()()()()333333113f x ax a x a x x x ax x ≤⇔+-≤⇔-≤-⇔+≥-,()()110x x +=即0,1x =-时，()3f x ≤恒成立; ()()210x x +>即01x <<时在01x <<时单调递增，点晴：本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题.本题的关键是()13f =，所以()()33f x ax a x =+-在[]1,1-上的最大值为3()3f x ⇔≤对[]1,1x ∈-恒成立，利用变量分离，分()10x x +=，()10x x +>,()10x x +<三种情况讨论，然后根据不同情况下对应的值域求得a 的取值范围,最后取交集即可. 方法、规律归纳:1、函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．2、函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的．常用的求解方法有： (1)基本不等式法，此时要注意其应用的条件；(2)配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；(3)图象法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出； (4)换元法，用换元法时一定要注意新变元的范围；(5)单调性法，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；(6)导数法求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值3步骤①求函数在(a ，b )内的极值；②求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；③将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 实战演练:1．【2017届安徽省池州市东至县高三12月联考】在锐角中，，则的最小值为__________．【答案】8【点睛】本题的综合性比较强，三角函数的恒等变形和函数求最值的问题相结合，是解三角形的问题中用的比较多的一个公式，这样帮助我们消元，同时还要根据公式变形为正切关系，这样统一了角，统一了三角函数名称，才能转化为函数关系求最值.2．【重庆市2017届高三4月调研测试】设函数()22log ,12{142,1333x x f x x x x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭=-++>-，若()f x 在区间[],4m 的值域为[]1,2-，则实数m 的取值范围为__________． 【答案】[]8,1--【解析】由题意，可以考虑采用数形结合法，作出函数()f x 的图象，当1x ≤-时，函数()2log 2x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，且最小值为()11f -=-，则令2log 22x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得8x =-，当1x >-时，函数()2142333f x x x =-++在()12-，上单调递增，在[)2+∞，上单调递减，则最大值为2，且()2423f =<，()113f -=，综上得所求实数m 的取值为[]81--，.点睛：此题主要考查对数函数、二次函数、分段函数的值域，以及函数单调性、最值、数形结合法等有关方面的知识，属于中高档题型，也是高频考点.用数形结合的方法解决解析几何问题时，一方面要发挥图形的直观、形象的作用；另一方面则要注意画图的准确性，完整性和对图形观察的细致，并注意结合数学运算来完成.3．【河南省息县第一高级中学2017届高三下学期第一次适应性测试】（40x -≤≤），则()f x的最大值为__________．4．【四川省遂宁市2017____【答案】[)2,+∞【在区间[)1,+∞上都是单调递增函数，所以函数区间[)1,+∞上也是单调递增函数，()()12f x f ≥=，即函数的值域是[)2,+∞，应填答案[)2,+∞。

专题02 常见函数值域或最值的经典求法【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法. 【方法点评】方法一 观察法解题模板：第一步 观察函数中的特殊函数；第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 例1 函数=)(x f ()111x x -- 的最大值是（ ）A.45 B. 54 C. 34 D. 43【变式演练1】求函数x x f 28)(-=的值域.【解析】∵2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤x 28-＜2．故函数x x f 28)(-=的值域是)22,0[.方法二 分离常数法解题模板：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d +=+； 第二步 对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式；第三步 求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域.例2 求函数253)(-+=x x x f 的值域.【解析】函数35361111()3222x x f x x x x +-+===+---，根据反比例函数的性质可知：1102x ≠-，所以3y ≠，所以函数的值域为}3|{≠y y .【变式演练2】求函数5143x y x -=-的值域.方法三 配方法解题模板：第一步 将二次函数配方成2()y a x b c =-+；第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3 定义在R 上的函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是__________． 【解析】由()()()()()()()()()12341423f x x x x x x x x x =++++=++++()()225456x x x x =++++()225x x =++10()25x x ++24()2255x x =++-1因为2255555244x x x ⎛⎫++=+-≥- ⎪⎝⎭,()22550x x ⇒++≥所以()2255x x ++-11≥-即函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是[)1-+∞， 【变式演练3】已知函数432--=x x y 的定义域是],0[m ，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是（ ） A ．]4,0( B ．]4,23[ C ．]3,23[ D ．),23[+∞【答案】C 【解析】试题分析：因二次函数432--=x x y 的对称轴为23=x ,且0=x 时,函数值4-=y ,当23=x 时,425-=y ,因此当3=x 时, 4-=y .故当323≤≤m ,故应选C.考点：二次函数的图象和性质.方法四 反函数法解题模板：第一步 求已知函数的反函数； 第二步 求反函数的定义域；第三步 利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域 例4 设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】4【变式演练4】求函数34()56x f x x +=+的值域.方法五 换元法解题模板：第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 例5 已知函数2329+⋅-=xxy ，]2,1[∈x ,求该函数的值域. 【解析】因为[]1,2x ∈,所以[]33,9x∈ ，令[]3,3,9xt t =∈()222211y t t t =-+=-+ ，二次函数在[]3,9上为增函数，3t =时， 5y =； 9t =时， 65y =.函数的值域为{y|5≤y ≤65}.【变式演练5】 若02,x ≤≤求函数12()4325x x y f x -==-+的值域.例6 求函数y x =.【解析】令210,2t t x -==，原函数化为()211022y t t t =-++≥，其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为1，没有最小值，故值域为(,1]-∞.【变式演练6】 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域.方法六 判别式法解题模板：第一步 观察函数解析式的形式，型如22dx ex fy ax bx c++=++的函数； 第二步 将函数式化成关于x 的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域.例7 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【变式演练7】求函数12+=x xy 的值域. 【解析】2201x y yx x y x =∴-+=+，当0y =时方程有解，当0y ≠时由0∆≥可得2140y -≥1122y ∴-≤≤，综上可知值域为]21,21[-.方法七 基本不等式法解题模板：第一步 观察函数解析式的形式，型如2ex f y ax bx c +=++或2ax bx cy ex f++=+的函数；第二步 对函数进行配凑成by ax x=+形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.例8 已知52x ≥，求函数245()24x x f x x -+=- 的最小值.例9 已知函数9()(03)1f x x x x =+≤≤+，求()f x 的值域. 【解析】99()11,03,114,11f x x x x x x x =+=++-≤≤∴≤+≤∴++5)(,31min ==+x f x ，9)(,11max ==+x f x ，所以()f x 的值域为[5,9].【变式演练8 】 求函数2()f x =.【变式演练9】 若函数()y f x =的值域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由题意得，因为()y f x =的值域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()()()12F x f x f x =+≥=，当且仅当()1f x =等号是成立的.当()3f x =时，函数()F x 取得最大值，此时最大值为()max 103F x =，所以函数()F x 的值域为102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选B. 考点：函数的性质；基本不等式.方法八 单调性法解题模板：第一步 确定函数的定义域； 第二步 求出函数的单调区间； 第三步 确定函数的值域或最值. 例10 求函数212()log (35)(02)f x x x x =-+≤≤的值域.2212111222min 11122235(02),2]()log (35),2]11()log (0)log 5(2)log 3411()log 5log 5,log ].4u x x x u f x x x f f f f x =-+≤≤∴=-+∴====∴=∴12max 33在[0,]是减函数，在[上是增函数。

【考纲解读】【知识清单】1 函数最值的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围.(3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. (4)利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx e y cx d++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其最值可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其最值.(6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值【考点深度剖析】函数的最值是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，求函数最值的方法较多，需结合函数解析式进行选用．【重点难点突破】考点1 函数的最值【2-1】求函数y ＝x ＋4x(x <0)的最大值． 【答案】－4【解析】∵x <0，∴x ＋4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －4x ≤－4， 当且仅当x ＝－2时等号成立．∴y ∈(－∞，－4]．∴函数的值域为(－∞，－4]．【2-2】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的最值．【答案】最大值为15，最小值为0.【2-3】 求函数y ＝1－x 21＋x 2的最大值． 【答案】1【解析】y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x 2－1， ∵1＋x 2≥1，∴0<21＋x 2≤2. ∴－1<21＋x 2－1≤1.即y ∈(－1,1]． ∴ 函数的值域为(－1,1]．【2-4】 求函数f (x )＝x －1－2x .的最大值． 【答案】12. 【解析】法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1， 由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是1(,]2-∞. 法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以11()22y f ≤= 即函数的值域是1(,]2-∞. 【2-5】 求函数y ＝x 2－x x 2－x ＋1的最小值． 【答案】最小值为13-.【思想方法】求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．【温馨提醒】求函数最值的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法；在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．【易错试题常警惕】求函数的值域或最值时，忽视函数的定义域导致错误． 设()()()log 1log 3a a f x x x =++-（0a >且1a ≠），且()12f =，则()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ．【答案】。

2018高中数学黄金100题—分段函数（有解析）
5 c
I．题探究黄金母题
【例1】已知函数求，，的值．
【解析】因为，
所以，，
II．考场精彩真题回放
【例2】【2018高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，．其中，若，则的值是_____．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，即，
因此．
【例3】【2018高考北京理】设函数
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________
【答案】，
【解析】如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，，，由，知是函数的极大值点，
①当时，，因此的最大值是；
②由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，得无最大值，∴所求的范围是
精彩解读
【试题】人教版A版必修一第45页B组第
4题
【母题评析】本题以分段函数为载体，考查函数的求值问题．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到既考查运算。