从Hlog ∞到混合范数空间的Volterra复合算子

一类卷积型Volterra积分方程解的存在性和吸引性张艳艳;简伟刚【摘要】根据非紧性测度和吸引性的定义,利用经典的Shauder不动点原理,对如下一类带有卷积型的Volterra积分方程:u(t)=p(t)+g(t,u(t))∫t0 a(t-s)f(t,s,u(s))ds,t∈R+(1)进行了研究,其中a∈L1loc(R+)是标量核,函数p,g和f满足定理2.1中的某些条件,得出了方程式(1)存在具有一致局部吸引性的解.【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2017(035)006【总页数】4页(P848-851)【关键词】Volterra积分方程;非紧性测度;Shauder不动点原理;一致局部吸引性【作者】张艳艳;简伟刚【作者单位】江西师范大学数学与信息科学学院,330022,南昌;豫章师范学院自然科学系,330103,南昌【正文语种】中文u(t)=p(t)+g(t,u(t))a(t-s)f(t,s,u(s))ds,t∈R+进行了研究，其中是标量核，函数p,g和f满足定理2.1中的某些条件，得出了方程式(1)存在具有一致局部吸引性的解。

早在1985年，Deimling在文献[1]中研究了二次积分方程形如:x(t)=f(t,x(t))u(t,s,x(s))ds,t∈[0,1]的解的存在性和渐近稳定性。

2003年，Banas在文献[2]中将方程(2)中的t∈[0.1]的推广到了t≥0。

x(t)=f(t,x(t))u(t,s,x(s))ds,t≥0并研究了其解的存在性和渐近稳定性。

同年，Banas和Rzepka在文献[3]中给出了一致局部吸引性和渐近稳定性的概念一致。

在2008年，Banas和O′Regan在文献[4]中研究了包含式(3)在内的二次Volterra积分方程:x(t)=p(t)+ds,t≥0的解的存在性和吸引性。

在式(4)的基础上，本文将主要研究a(t)=·且0<α<1的情况。

复合算子在很多应用中都有着重要的作用。

在球上不同Privalov空间之间的复合算子就起着这样的作用。

这里，Privalov空间指的是一种特殊的运动学模型，它由一个最大的半圆和三个小的半圆（称为半圆数）组成。

这三个小的半圆与最大的半圆的调和函数有关，其中，最大的半圆的调和函数取决于半径的大小。

复合算子的作用是将这三个小的半圆数与最大的半圆数融合成一个整体。

它可以将每一个点在调和函数上联系起来，并将其映射到最大的半圆上。

这样可以使球上不同Privalov空间之间的运动更加有利。

此外，复合算子还可以用来计算球上不同空间之间的半径差。

这是因为在求解这些问题的过程中都要进行拉格朗日变换，这个变换十分有效。

另外，复合算子还可以用来测定抛物线和匀旋曲线（hyperbola）上不同半径处的角度。

复合算子还可以用来构建全球定义的曲线。

这是因为它可以将每一个点在调和函数上映射到一个连续的曲线上。

这些曲线可以用来分析不同表面上的层状结构，例如椭圆和环形。

总之，复合算子在球上不同Privalov空间之间发挥着重要作用。

它可以将每一个点在调和函数上映射到最大的半圆上，这样可以使球上不同Privalov空间之间的运动更加有利。

此外，它还可以用来测量不同半径处的角度，以及用来构造全局定义的曲线。

课程论文课程现代分析基础学生姓名学号院系专业指导教师二Ｏ一五年十二月四日目录1 绪论 (1)2 Banach空间基本概念 (1)2.1拟范数定义及例子 (1)2.2 Banach空间 (2)2.3 Banach空间中线性变换及其性质 (3)3 一致有界定理及其推论 (4)3.1问题 (4)3.2基本概念 (4)3.3一致有界定理及其推论 (5)3.4一致有界性定理及其推论的应用 (6)4 Hahn-Banach定理与凸集分离定理 (7)4.1实线性空间上的Hahn-Banach定理 (7)4.2复线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.3赋范线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.4有关Hahn-Banach定理的一些推论 (9)4.5 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理 (9)5 Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理 (9)5.1开映射定理 (10)5.2逆算子定理 (11)5.3闭图像定理 (12)6 总结 (14)参考文献 (16)Banach空间及其相关定理南京理工大学自动化学院，江苏南京摘要：本文的主要是介绍了Banach空间以及其相关定理。

首先，本文讲了Banach空间产生的背景以及应用领域。

然后本文介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质。

最后本文开始从一致有界定理开始，将Banach空间中Hahn-Banach定理、开映射、闭图像以及逆算子定理这几个重要定理逐一做出介绍并给出相应定理的证明。

关键词：Banach空间；一致有界定理；Hahn-Banach定理；开映射、闭图像、逆算子定理1 绪论巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。

数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。

从魏尔斯特拉斯，K.(T.W.)以来，人们久已十分关心闭区间[a，b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。

(0,2) 插值||(0,2) interpolation0#||zero-sharp; 读作零井或零开。

0+||zero-dagger; 读作零正。

1-因子||1-factor3-流形||3-manifold; 又称“三维流形”。

AIC准则||AIC criterion, Akaike information criterionAp 权||Ap-weightA稳定性||A-stability, absolute stabilityA最优设计||A-optimal designBCH 码||BCH code, Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codeBIC准则||BIC criterion, Bayesian modification of the AICBMOA函数||analytic function of bounded mean oscillation; 全称“有界平均振动解析函数”。

BMO鞅||BMO martingaleBSD猜想||Birch and Swinnerton-Dyer conjecture; 全称“伯奇与斯温纳顿－戴尔猜想”。

B样条||B-splineC*代数||C*-algebra; 读作“C星代数”。

C0 类函数||function of class C0; 又称“连续函数类”。

CA T准则||CAT criterion, criterion for autoregressiveCM域||CM fieldCN 群||CN-groupCW 复形的同调||homology of CW complexCW复形||CW complexCW复形的同伦群||homotopy group of CW complexesCW剖分||CW decompositionCn 类函数||function of class Cn; 又称“n次连续可微函数类”。

Cp统计量||Cp-statisticC。

收稿日期：２０２０－０２－１７ 修回日期：２０２０－０６－２２基金项目：海南省自然科学基金资助项目（６１９ＭＳ０７６）作者简介：李社蕾（１９７９－），女，副教授，研究方向为智能算法、人工智能。

谱图傅里叶变换与谱图小波变换基分析研究李社蕾１，２，杨博雄１，２，陆娇娇１，２（１．三亚学院信息与智能工程学院，海南三亚５７２０２２；２．三亚学院陈国良院士工作站，海南三亚５７２０２２）摘　要：卷积神经网络在欧氏数据上取得巨大成功之后，开始在图结构、几何流行等非欧数据上泛化。

当前图卷积神经已成为研究热点。

在数字图像去噪、压缩、增强、融合以及加密方面傅里叶变换与小波变换是不可或缺的处理手段，在图卷积神经中有卷积定理将傅里叶变换用于实现图上的卷积运算，谱图小波变换也只是实现了卷积的快速算法，都是围绕如何在图结构上做卷积而展开的研究，没有真正发挥其作用，大大限制了图卷积神经网络性能的发挥。

该文对谱图傅里叶变换与谱图小波变换基进行分析研究，同时研究基与图结构之间的关系。

实验表明通过谱图傅里叶变换和谱图小波变换可以获取图结构的特征信息，为谱图小波变换和谱图傅里叶变换更深入地与图卷积神经网络结合提供了参考。

关键词：谱图；小波变换；图卷积神经网络；傅里叶变换；卷积定理；本征函数；拉普拉斯算子中图分类号：ＴＮ９１１．３０－３９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３－６２９Ｘ（２０２１）０５－００８５－０５ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３－６２９Ｘ．２０２１．０５．０１５ＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＳｔｕｄｙｏｆＳｐｅｃｔｒａｌＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄＳｐｅｃｔｒａｌＷａｖｅｌｅｔＴｒａｎｓｆｏｒｍＢａｓｉｓＬＩＳｈｅ－ｌｅｉ１，２，ＹＡＮＧＢｏ－ｘｉｏｎｇ１，２，ＬＵＪｉａｏ－ｊｉａｏ１，２（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ＆ＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳａｎｙａ，Ｓａｎｙａ５７２０２２，Ｃｈｉｎａ；２．ＣｈｅｎＧｕｏｌｉａｎｇＡｃａｄｅｍｉｃｉａｎＷｏｒｋｓｔａｔｉｏｎ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳａｎｙａ，Ｈａｉｎａｎ５７２０２２，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＡｆｔｅｒａｃｈｉｅｖｉｎｇｇｒｅａｔｓｕｃｃｅｓｓｉｎＥｕｃｌｉｄｅａｎｄａｔａ，ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｂｅｇａｎｔｏｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｏｎｎｏｎ－Ｅｕｃｌｉｄｅａｎｄａｔａｓｕｃｈａｓｇｒａｐｈｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｇｅｏｍｅｔｒｉｃｐｏｐｕｌａｒｉｔｙ．Ａｔｐｒｅｓｅｎｔ，ｔｈｅｇｒａｐｈｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｒｖｅｈａｓｂｅｃｏｍｅａｒｅｓｅａｒｃｈｈｏｔｓｐｏｔ．Ｉｎｔｈｅｄｉｇｉｔａｌｉｍａｇｅｄｅｎｏｉｓｉｎｇ，ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ，ｅｎｈａｎｃｅｍｅｎｔ，ｆｕｓｉｏｎａｎｄｅｎｃｒｙｐｔｅｄ，Ｆｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｒｅｉｎｄｉｓｐｅｎｓａｂｌｅｍｅａｎｓｏｆｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．ＴｈｅｒｅｉｓａｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍｉｎｔｈｅｇｒａｐｈｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｒｖｅｔｏｒｅａｌｉｚｅｔｈｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｉｏｎｏｎｔｈｅｇｒａｐｈｂｙｓｐｅｃｔｒａｌＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｆａｓｔｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｂｙｓｐｅｃｔｒａｌｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ．Ｔｈｅｓｔｕｄｙｉｓｏｖｅｒｈｏｗｔｏｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｓｏｎｔｈｅｇｒａｐｈｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｗｈｉｃｈｄｏｅｓｎｏｔｒｅａｌｌｙｐｌａｙｉｔｓｒｏｌｅａｎｄｇｒｅａｔｌｙｌｉｍｉｔｓｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｈｅｇｒａｐｈｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｗｅａｎａｌｙｚｅａｎｄｓｔｕｄｙｔｈｅＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｂａｓｉｓｏｆｓｐｅｃｔｒｏｇｒａｍａｎｄａｌｓｏｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｂａｓｉｓａｎｄｇｒａｐｈｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．ＴｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｇｒａｐｈｓｔｒｕｃｔｕｒｅｃａｎｂｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｔｈｅＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｏｆｔｈｅｓｐｅｃｔｒｕｍ，ｗｈｉｃｈｐｒｏｖｉｄｅｓａｒｅｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒｔｈｅｄｅｅｐｅｒｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍｏｆｔｈｅｓｐｅｃｔｒｕｍｗｉｔｈｔｈｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｏｆｔｈｅｇｒａｐｈ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｐｅｃｔｒａｌ；ｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｇｒａｐｈｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋ；Ｆｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍ；ｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｌａｐｌａｃｅｏｐｅｒａｔｏｒ０　引　言在现实世界中，大量数据是以图或者网络的形式存在的，比如社交网络、知识图谱、蛋白质相互作用网、世界贸易网等等。

Hermite配置法求解第一类Volterra积分方程方春华;李明亮;田维【摘要】针对瞬态声学散射问题中的第一类带Bessel核的Volterra积分方程,通过将变形方程与原方程联立求解,给出了Hermite配置方法.该格式的特点是振荡性越强,计算越精确.数值实验验证了格式的高效性.【期刊名称】《湖南理工学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(031)004【总页数】4页(P7-10)【关键词】瞬态声学散射;第一类Volterra积分方程;Bessel核;Hermite配置法;高效率【作者】方春华;李明亮;田维【作者单位】湖南理工学院数学学院,湖南岳阳 414006;湖南理工学院数学学院,湖南岳阳 414006;湖南理工学院数学学院,湖南岳阳 414006【正文语种】中文【中图分类】O241.820 引言科学与工程计算中的许多问题最后都转化为带高振荡Bessel 核的积分方程的求解,如：雷达、声呐、电磁散射问题,等等．针对二维平面区域中的瞬态声学散射问题中的单层势能积分方程当t≤0,u≡0,a≡0时,Davies 和Duncan[1]通过连续Fourier 变换可将其转化为带Bessel 核的第一类Volterra 积分方程(VIEs)：其中 J0(x)表示第一类0 阶Bessel 函数.Davies 和Duncan 利用配置法求解方程(1)时,积分采用梯形求积公式近似,误差阶为O (h 2ω 2).当频率ω 很大时,步长h 要很小才可能获得较高精度的数值结果,这就使得进行数值逼近的成本增加.对于高振荡情况不是很高效.Brunner[2]等介绍了一种高阶精度时间步长方法来逼近方程(1)的解,但同样有步长对频率的高依赖性这个特点.究其原因,求解带高振荡Bessel 核的VIEs 时,需进行格式离散,其中涉及到高振荡积分的计算,上述方法采用的是传统的求积公式.而传统的数值求积公式(Newton-Cotes 公式、Gauss 求积公式、Clenshaw-Curtis 求积公式,等等)对于带高振荡核的积分不是高效的,如图1所示.图1中横轴表示节点数,纵轴表示绝对误差.图1 Gauss-Legendre 求积公式求解(x )J0(ωx )dx结果想要得到一定精度的结果,振荡性越强,所需选取的节点就越多.所以高振荡积分的运算是数值求解这类问题的关键.最近几十年,高振荡积分计算发展得十分迅速,如前面已提及的：Filon 方法、Filon 型方法、Levin 方法、Levin 型方法、渐近法、最速下降法、广义积分法则等等,这些研究都为高振荡积分方程的求解提供了一定的思路.针对带高振荡Bessel 核的VIEs,王海永[3]、向淑晃[4]利用直接法进行了研究,构造了频率越高精度越高的格式,但其局限为若Bessel 核为非0 阶的函数,解析解的形式不好给出.对于带高振荡Bessel 核的第二类Volterra 积分方程,文[5]进行了讨论,给出了一个高效的Filon 算法.对于带高振荡Bessel 核的第二类Volterra 积分方程,马俊杰[6]等给出了频率越高精度越高的Filon 方法,并分析了其误差.Filon 配置法只用到起始点的函数值的信息,而在函数逼近时,Hermite 插值除了用到节点处的函数值,还用到了节点处的导数值,信息量大.基于此,我们考虑高振荡Volterra 积分方程的Hermite 配置法.本文给出的算法将与文[6]中的算法进行比较.1 格式构造令IN ：={xi|0=x 0 ＜ x1 ＜…＜xN≤1}为区间[0,1]上的一组网格节点.接下来计算在节点xi(i=1,2,…,N)上的函数值 u (xi)的近似值利用Filon 型方法计算高振荡积分时,关于ω 的收敛阶只与积分端点的匹配情况相关,与中间点无关,所以我们利用配置法求Volterra 积分时,配置点就选取节点.对方程(2)两边分别求导可得又于是直接Hermite 配置法：在节点 x0 与xj 上构造函数u( x) 的3 次Hermite 插值多项式,并记为其中表示节点 x0 与 xj的插值基函数,将 f (xj)记为表示函数值 u (xj)的近似值,u′jD 表示导数值u ′(xj)的近似值,将配置函数代入方程(2)与方程(3)中,得到求解配置点xj 上的配置解的方程组：解之得其中现在推导矩 I(0,j ,m)的计算公式,其它的类似处理.记可利用第二类Lommel 函数有效计算(Gradshteyn &Ryzhik1994,P.707,Watson,1952,P.351)矩的计算公式为2 算法第一步,利用式(5)和(6)计算出第二步,利用式(7)计算出第三步,利用式(4)计算出节点 x0 与xi(i=1,2,…,N)处的函数值的近似值与导数值的近似值 .3 数值实例考虑方程利用文[6]中的直接 Filon 方法与本文的直接Hermite 配置方法计算其近似解,其准确解为其中从图2中可以看出,随着参数ω 的增大,两种方法的误差都越来越小,但本文算法的误差比文[6]算法的误差更小.本文算法还有一个优点,即在计算函数的近似值的同时,也可将函数导数的近似值算出．图2 直接 Filon 方法(DF)、直接Hermite 配置方法(DH)的绝对误差乘以参考文献【相关文献】[1]P.J.Davies and D.B.Duncan.Stability and convergence of collocation schemes for retarded potential integral equations[J].SIAM J.Numer.Anal.,2004,42：1167～1188[2]Brunner H,Davies P J,Duncan D B.Discontinuous Galerkin approximations for Volterra integral equations of the first kind [J].IMA Journal of Numerical Analysis,2009,29(4)：856～881[3]Wang,H.&Xiang,S.Asymptotic expansion and Filon-type methods for a Volterra integral equation with a highly oscillatory kernel [J].IMA J.Numer.Anal,2011,31：469～490[4]Xiang,S.,Li,B.&Liu,G.On efficient computation of highly oscillatory retarded potential integral equations [J].Int put.Math.,2018,95(11)：2240～2245[5]Fang,C.,Ma,J.&Xiang,M.On Filon methods for a class of Volterra integral equations with highly oscillatory Bessel kernels [J]put.2015,268：783～792[6]Ma,J.,Xiang,S.&Kang,H.On the convergence rates of Filon methods for the solution of a Volterra integral equation with a highly oscillatory Bessel kernel [J].Appl.Math.Lett,2013,26：699～705。

一种应用精英混沌搜索的函数优化算法井福荣;郭肇禄;罗会兰【摘要】针对基本FPA算法在求解复杂工程优化问题时存在收敛速度慢的缺点,提出应用精英混沌搜索的花粉授粉算法(CSFPA). CSFPA算法在搜索过程中从当前种群中随机选择出一个个体,对其执行精英混沌搜索操作,从而加快算法的收敛速度. 将提出的CSFPA算法与基本FPA 算法在几个国际上常用的基准测试问题上进行了比较实验,实验结果表明CSFPA算法能够在大多数测试问题上比基本FPA算法获得更优的结果.%Flower pollination algorithm (FPA) is an emerging function optimization algorithm. However, the traditional FPA tends to suffer from slow convergence when solving complex engineering optimization problems. Aiming at this weakness of the basic FPA, an enhanced flower pollination algorithm based on elite chaotic search (CSFPA) is proposed in this paper. In the evolution process, CSFPA randomly selects an individual to execute the elite chaotic search strategy, which can accelerate the convergence speed. In the experiments, the proposed CSFPA is compared with the basic FPA on several benchmark test problems. The experimental results validate the effectiveness of the proposed CSFPA.【期刊名称】《江西理工大学学报》【年(卷),期】2015(036)005【总页数】6页(P74-79)【关键词】优化算法;演化算法;混沌搜索;花粉授粉算法【作者】井福荣;郭肇禄;罗会兰【作者单位】江西理工大学,信息工程学院,江西赣州 341000;江西理工大学,理学院, 江西赣州 341000;江西理工大学,信息工程学院,江西赣州 341000【正文语种】中文【中图分类】TP181函数优化问题的优劣直接影响科学研究的成败，因此在现代科学研究中有着十分重要的地位.花粉授粉算法［1］（Flower pollination algorithm，FPA）是2012年由剑桥大学学者Yang提出的一种新的系统优化算法，该算法基于模拟现实世界中植物花朵授粉过程而提出.一般而言，花粉授粉有异花授粉（cross-pollination）和自花授粉（self-pollination）两种形式，异花授粉是通过昆虫采粉作为传播方式，实现雌性花朵和雄性花朵之间相对远距离的授粉，也即交叉授粉.由于昆虫飞行距离相对较远，因此异花授粉可以在较远距离发生，这种方式也称之为全局授粉.自花授粉是植物成熟的花粉粒传到自身的柱头上或同一种植物的不同花朵上进行授粉的过程.相对而言自花授粉也称之为局部授粉.基于上述思想，FPA算法对以上两种授粉方式分别设计了交叉授粉算子和自花授粉算子来求解优化问题，同时得到广大学者、研究人员的关注.由于花粉授粉算法在求解优化问题过程中，也存在一些收敛速度慢等缺点，研究人员提出了许多改进的FPA算法，并在相关研究领域的应用中取得了很好的效果.Yang等应用FPA算法（MOFPA）［2］进行多目标问题的求解，其做法是通过随机权数把多个优化问题变换成单一问题来进行求解，在4组及以上优化问题基准测试的实验结果表明提出的MOFPA算法能够很好解决多目标优化问题.Wang等［3］为了提高FPA的运算效率及性能提出了一种优化FPA算法（DDIFPA）.DDIFPA结合逐维搜索策略和邻域搜索策略，提高了算法在搜索最优解的速度和解的质量.标准测试函数的实验表明DDIFPA具有明显的搜索性能优势.Prathiba等［4］成功将FPA算法应用于求解经济负荷分配问题中，取得了良好的效果.Abdel-Raouf等［5］将FPA融合到粒子群优化算法（PSO）中，提出了一种混合FPA算法（FPPSO），并应用于求解约束优化问题中；Chakraborty 等［6］将FPA融合到差分进化算法中，提出了一种花粉授粉混合算法（DE-FPA）；Rodrigues等［7］提出了二进制FPA算法（BFPA），并有效地解决了求解特征选择问题；Dubey等［8］为了求解经济调度问题，提出了一种生物学启发的改进FPA算法（MFPA），在MFPA算法中，通过使用一个参数进行搜索步长的调节，该参数可大可小以便提高搜索效率和精确度.同时引入了一个可在全局范围内进行最优解局部搜索的搜索参数.肖辉辉等［9］为了减少FPA算法陷入局部最优值的概念，将模拟退火的思考融合到FPA算法.接着，肖辉辉等［10］为了提高FPA算法的局部搜索能力，将复合形法引入到花粉授粉算法中.井福荣等［11］将反向学习策略融合到FPA算法，以此提FPA算法的搜索性能.综上所述，FPA是一种性能优越的智能优化算法，在工程优化问题的求解中具有一定优势.但国内外对FPA的研究还刚刚兴起，FPA算法的性能提高还有很大的空间，本文针对基本FPA算法在解决复杂优化工程实践问题时存在着收敛速度慢的缺点［8］，将精英混沌搜索策略引入到FPA算法中，提出了一种应用精英混沌搜索的花粉授粉算法（CSFPA）.在CSFPA算法的搜索过程中，从当前种群中随机选择出一个个体，对其执行精英混沌搜索操作，从而加快算法的收敛速度.在数值实验中，利用一些演化计算领域中广泛使用的基准测试函数做了比较实验，实验结果验证了CSFPA算法的有效性.由于现实世界中的花粉授粉过程是一个极其复杂的生理过程.使用计算机完全实现花粉授粉过程将导致非常高的时间复杂度，因此FPA算法只是对花粉授粉过程的核心思想进行模拟.首先花粉授粉算法随机产生一个含有NP个个体的种群P（t）=｛Xti｝用于算法的初始化，其中Xti=［xti，1，xti，2，…，xti，j，…，xti，D］，j=1，2，…，D；i=1，2，…，NP，NP为种群大小，D表示求解问题的维数，t代表当前进化代数［1］.其次，该算法一直循环执行交叉授粉和自花授粉两个过程直到达退出条件为止.在算法的执行过程中，FPA以初始值Pc大小计算异花授粉过程，之后以1-Pc的大小计算自花授粉过程［1］.其中异花授粉按照如下公式计算［2］：其中γ为缩放参数，一般建议设定其值为0.1［2］；L是一个随机值，它服从指数为λ的Levy分布，一般建议设定其值为1.5［2］，XtBest代表局部最优解. 自花授粉按照如下公式计算［2］：其中ε∈［0，1］，并服从均匀分布，随机整数j，k∈［1，NP］，并且满足i≠j≠k.FPA算法流程描述如图1所示.在该算法中，首先随机产生初始种群，评价每个个体的适应值，然后循环执行演化操作直到满足终止条件.在演化操作循环中，首先定义随机实数rp∈［0，1］并服从均匀分布，当rp＜Pc时，则按公式（1）执行交叉授粉操作算子，否则按公式（2）执行自花授粉操作算子，然后再执行选择算子选择出优胜个体进入下一代种群.FPA已经成功应用到了一系列复杂工程优化问题的求解中，并且获得了满足实际工程需求的优化结果.然而在工程实践中，研究人员发现基本FPA在求解高维、非线性等特性的复杂工程优化问题时往往容易出现收敛速度慢的缺点，其主要原因是复杂工程优化问题的搜索空间随着问题维数的增长呈指数规模增长，面对着这种情形，基本FPA算法的局部搜索能力往往表现不足，从而导致算法很难有效地朝着全局最优解的方向进行搜索，无法逼近全局最优解［10］.为了进一步提高基本FPA算法的局部搜索能力，加快求解高维、非线性等特性的复杂工程优化问题的收敛速度，将精英混沌局部搜索策略融合到基本FPA算法中，形成一种应用精英混沌搜索的花粉授粉算法（CSFPA），在搜索过程中从当前种群中随机选择出一个个体，对其执行精英混沌局部搜索操作，从而有效地增强算法的开采能力，加快收敛速度.2.1 CSFPA的精英混沌搜索混沌现象是自然界中广泛存在的一种非线性系统，它具有遍历性和初始值敏感性的特点［12］.利用混沌系统的这些特点，给定一个随机初始值，设定足够长的时间，混沌系统可以按照自身的运动规律，随机遍历系统内的所有状态［13］.许多研究人员将混沌系统的这种特性融合到智能优化算法中，利用混沌运动规律来进行局部搜索，从而加快算法的收敛速度，其中文献［14］提出了一种带有收缩机制的混沌搜索算子，该混沌搜索策略一方面利用混沌系统的遍历性和初始值敏感性的特点，在当前种群的搜索区域内混沌采样产生新个体，然后再将新个体与最优个体进行线性组合生成一个试验个体，然后将试验个体与最优个体进行竞争，淘汰两者中的较差个体，保留优胜个体.在传统混沌搜索算子［14］的基础上，进一步提高其局部搜索能力，提出精英混沌搜索策略，利用种群中的优质个体所含的经验信息来引导搜索方向，进而加快算法的收敛效果及速度.就具体精英混沌搜索算法的操作过程而言，通过随机选择确定一个个体Xr，再根据巴特莱法则［15］从当前种群中选择出前20%的精英个体，并计算出所选择的精英个体的搜索区域的上界CA和CB下界:在计算出当种群中的精英个体的搜索上下界后，随机产生一个混沌初始值K1，如果混沌初始值等于0.25，0.5或0.75，则重新产生直到它不等于0.25，0.5或0.75［14］：在以后的每一次混沌搜索迭代中，混沌因子按Logsig混沌映射计算［14］：其中n为本次混沌搜索的当前迭代次数，在得到混沌因子后Kn，则按以下公式产生一个新个体：其中a为［0，1］之间的随机数，它决定着Xr个体与精英混沌搜索个体之间的权值；在计算出个体Un后，如果Un比Xr更优，则用Un替换Xr，并停止执行精英混沌搜索操作，否则保持Xr不变成，并一直执行精英混沌搜索操作直至迭代次数达到预先设定的最大次数.2.2 CSFPA的总体流程为了提高基本FPA算法在求解复杂工程优化问题时的收敛速度，将精英混沌局部搜索策略融合到基本FPA算法中，增强基本FPA的局部搜索能力.在CSFPA的搜索过程中，首先随机选择出一个个体，再找出当前种群中的精英个体，并计算所找到的精英个体的搜索上下界，然后利用精英个体的有益信息以及混沌系统的遍历性和初始值敏感性的特点在搜索空间中不断产生新个体，从而在一定程度上提高算法的收敛速度.下面给出CSFPA算法具体实现过程，如下面算法所示.算法：应用精英混沌搜索的FPA算法（CSFPA）.Step1:设置D，NP，Pc；Step2:当前迭代初始值t=0，评判初始值FEs=0；Step3:对种群进行初始化，对个体的适应值进行评判，设FEs=NP；Step4:是否满足终止条件？Step16：Step5；Step5:执行基本FPA的计算步骤；Step6:随机选择出一个个体Xr；Step7:从当前种群中选择出前20%的精英个体，并按公式（3）计算选择的精英个体的搜索区域的上界和下界；Step8:n=1；Step9:按公式（4）产生混沌因子初始值；Step10:按公式（6）对Xr执行精英混沌搜索得到个体Un，并计算Un的适应值；Step11:如果Un比Xr更优，则用Un替换Xr，并转到Step15；否则转到Step12；Step12:n=n+1；Step13:按公式（5）计算新的混沌因子；Step14:如果n小于D/5，则转到Step 10；否则转到Step 15；Step15:t=t+1，转到Step4；Step16:输出最优解，CSFPA算法结束.3.1 实验设置为了检验CSFPA算法是否有效，本文选择了10个Benchmark测试函数对算法CSFPA进行性能分析.10个Benchmark测试函数的特性在表1中给出了详细描述［16，17］.其中f1-f4为单峰函数，f5-f10为多峰函数，10个测试函数的维数D都为30维.在实验中，将CSFPA与FPA［1］进行性能比较，在CSFPA中设置了与文献［2］关于FPA算法相同的参数.此外，对上述两种算法的每次测试中，关于测试函数的结束条件设置上以400000作为评价次数，同时独立进行30次的实验验证，并把各算法所求解的实际最优值与理论最优值之间误差进行平均计算，将其结果和标准差作为评判算法优劣的指标.3.2 实验结果FPA和CSFPA两种算法之间的对比实验结果图2所示，其中FPA的实验结果来自文献［11］，并对实验结果按照文献［18］的方法进行统计分析，设显著性双尾t的水平值为0.05，其中在统计意义上，“+”代表CSFPA算法优于FPA，“-”表示FPA算法优于CSFPA算尖，“≈”表示两种算法无显著性差别.根据表2中的结果可以得出，在大部分测试函数上CSFPA算法比FPA算法更优.具体而言，CSFPA在4个单峰测试函数f1-f4上都获得了比FPA更优的解；在6个多峰测试函数上，CSFPA在测试函数上f5，f6，f7，f8，f10获得了比FPA更优的解.实验结果表明精英混沌局部搜索操作加快了算法的收敛速度，从而有限的计算开销下获得更优的解.为了进一步比较FPA和CSFPA的收敛效率，图2给出了FPA和CSFPA在几个典型测试函数上的收敛曲线.从图2中可知，CSFPA比FPA具有更快的收敛速度，这是由于精英混沌局部搜索操作加快了算法的收敛速度.FPA是一种新近提出的函数优化算法，它在求解许多复杂工程优化问题中获得了满足实际工程需求的优化结果，但许多研究人员发现基本FPA容易出现收敛速度慢的缺点，为了进一步提高基本FPA的收敛速度，本文提出应用精英混沌搜索的函数优化算法（CSFPA）.在CSFPA的搜索过程中，随机选择出一个个体并对其执行精英混沌搜索操作增强算法的局部搜索能力，从而加快收敛速度.通过10个基准测试函数对CSFPA与基本FPA进行对比测试实验，结果表明CSFPA算法能够有效地改善FPA算法的收敛效率，同时CSFPA在大部分测试函数上解精度高于基本FPA的精度.【相关文献】［1］Yang X S.Flower pollination algorithm for global optimization［M］.Unconventional Computation and Natural Computation，Lecture Notes in Computer Science，2012:240-249.［2］Yang X S，Karamanoglu M，He X.Flower pollination algorithm:a novel approach for multiobjective optimization［J］.Engineering Optimization，2014，46（9）:1222-1237. ［3］Wang R，Zhou Y.Flower Pollination Algorithm with Dimension by Dimension Improvement［J］.Mathematical Problems in Engineering，2014:481791.［4］Prathiba R，Moses M B，Sakthivel S.Flower pollination algorithm applied for different economic load dispatch problems［J］. International Journal of Engineering and Technology，2014，6（2）: 1009-1016.［5］Abdel-Raouf O，Abdel-Baset M，El-henawy I.A new hybrid flower pollination algorithm for solving constrained global optimization problems［J］.International Journal of Applied Operational Research，2014，4（2）:1-13.［6］Chakraborty D，Saha S，Dutta O.DE-FPA:A hybrid differential evolution-flower pollination algorithm for function minimization［C］//International Conference on High Performance Computing and Applications，Bhubaneswar，India，2014.［7］Rodrigues D，Yang X S，de Souza A N，et al.Binary flower pollination algorithmand its application to feature selection［M］. Recent Advances in Swarm Intelligence and Evolutionary Computation.Springer，2015:85-100.［8］Dubey H M，Pandit M，Panigrahi B K.A biologically inspired modified flower pollination algorithm for solving economic dispatch problems in modern power systems ［J］.Cognitive Computation，2015，7（5）：594-608.［9］肖辉辉，万常选，段艳明，等.基于模拟退火的花朵授粉优化算法［J］.计算机应用，2015，35（4）:1062-1066.［10］肖辉辉，万常选，段艳明.一种基于复合形法的花朵授粉算法［J］.小型微型计算机系统，2015，36（6）:1373-1378.［11］井福荣，郭肇禄，罗会兰.一种使用反向学习策略的改进花粉授粉算法［J］.江西理工大学学报，2015，36（3）:101-106.［12］徐丈星，耿志强，朱群雄，等.基于SQP局部搜索的混沌粒子群优化算法［J］.控制与决策，2012，27（4）:557-561.［13］龚安，吕倩，胡长军，等.基于混沌万有引力搜索算法的SVM参数优化及应用［J］.计算机科学，2015，42（4）:240-243.［14］Jia D，Zheng G，Khan M K.An effective memetic differential evolution algorithm based on chaotic local search［J］.Information Sciences，2011，181（15）:3175-3187. ［15］田也壮.巴特莱法则二八定律与管理思想［J］.中国软科学，1995，7:80-81.［16］郭肇禄，吴志健，汪靖，等.一种基于精英云变异的差分演化算法［J］.武汉大学学报（理学版），2013，59（2）:117-122.［17］Yao X，Liu Y，Lin G.Evolutionary programmingmade faster［J］. IEEE Transactions on Evolutionary Computation，1999，3（2）:82-102.［18］Guo Z，Yue X，Zhang K，Deng C，Liu S.Enhanced social emotional optimisation algorithm with generalised oppositionbased learning ［J］.International Journal of Computing Science and Mathematics，2015，6（1）:59-68.。

LB上Volterra型与复合算子积的有界性与紧性关系刘慧琴【期刊名称】《《闽江学院学报》》【年(卷),期】2019(040)005【总页数】3页(P6-8)【关键词】LB空间; LB0空间; Volterra型算子; 复合算子; 有界性; 紧性【作者】刘慧琴【作者单位】闽南理工学院信息管理学院福建石狮362700【正文语种】中文【中图分类】O177.21 预备知识定义1 设D={z:|z|<1}表示复平面上的单位圆盘。

定义2 由文[1]有以下定义:令其中，‖f‖B=|f(0)|+supz∈D(1-|z|2)|f′(z)|,f∈B。

定义3 现在定义LB是对数Bloch空间。

如果则f∈LB。

‖f‖LB是一个半范数(‖f‖L=|f(0)|+‖f‖LB),所以LB是一个Banach空间。

令它叫做小对数Bloch空间。

定义4 设φ是D上的解析自映射,即φ∈S(D),那么将H(D)上的复合算子定义为Cφ(f)=f(φ(z)),f∈H(D),z∈D。

显然Cφ是线性算子。

定义5 令g∈H(D),对每个H(D)中的函数f,将Volterra型算子Jg,Ig分别定义为Jgf(z)=f(ξ)g′(ξ)dξ,z∈D。

Igf(z)=f'(ξ)g(ξ)dξ,z∈D。

定义6 定义Volterra型算子和复合算子的积如下:(CφJgf)(z)=f(ξ)g′(ξ)dξ,(JgCφf)(z)=(f∘φ)(ξ)g′(ξ)dξ,f∈H(D),(CφIgf)(z)=f′(ξ)g(ξ)dξ,(IgCφf)(z)=(f∘φ)′(ξ)g(ξ)dξ,f∈H(D)。

在文[2]中研究了从H和Bloch空间到Zygmund空间上的Volterra型算子和复合算子的积。

本文将在LB和LB0上讨论这些算子的有界性之间的关系，以及在LB和LB0上它们的有界性和紧性这两者之间的关系。

2 主要结论引理1 (Motel定理) 若解析函数序列{fn(z)}(n=1,2,3…)在区域D内闭一致有界,则必有{fn(z)}的一个子序列{fnk(z)}(k=1,2,3…)在D内闭一致收敛。

第35卷第1期Vol.35 No.l 2020年02月Feb.2020汕头大学学报(自然科学版)Journal of Shantou University (Natural Science)文章编号：1001 - 4217(2020)01 - 0041 - 05Volterra 型算子在Hardy 空间和Bergman空间上的严格奇异性林庆泽（广东工业大学应用数学学院，广东广州510520）摘 要 本文首先给出Volterra 型算子在Hardy 空间和Bergman 空间上的有界性和紧性的 充要条件.接着给出了 Volterra 型算子在这些空间上的严格奇异性的刻画，从而证明了该算 子的紧性与其严格奇异性的等价关系.关键词 Volterra 型算子；Hardy 空间；Bergman 空间；严格奇异性中图分类号0177.2 文献标识码A0引言用//（△）表示复平面单位圆盘A 上所有解析函数/■组成的函数空间，则Hardy 空间 H 2的定义如下：H 2= |/eH （A ）:||/||2= （°袈」头 j 6B ］广< 8用A?表示△上满足ll/&= |/（z ） |2dA （z ） < oo的所有解析函数/组成的Bergman 空间，其中dA （z ） = -^-dxdy 是A 上的Lebesgue 面积 测度.对于任一 g e △）,定义Volterra 型算子Sg 如下：（V ）（z ） =⑷百，zeA, /eH （A ）.与£相伴而生的另一个算子是:（7；/）（z ）= J 百，zeA, fwHg.收稿日期：2019-03-01通信作者：林庆泽（1994一），男（汉族），广东省揭阳市人，硕士研究生，研究方向：复分析与函数空间.E-mail : gdlqz@基金项目：国家自然科学基金资助项目（11801094）42汕头大学学报(自然科学版)第35卷PommerenkeE首次研究T g算子在Hardy空间上的有界性并刻画了其与BMOA函数的指数之间的联系.而关于T s算子在一般的Hardy空间H\Bergman空间(0 <p<8)以及其它一些空间(包括加权Dirichlet空间和加权Banach空间等)上的有界性和紧性的刻画可参考文献［2_9］.近年来,Miihkinen等人叫切证明了T g算子在Hardy空间上的紧性与其严格奇异性的等价关系，其证明思路来源于文献［12］.本文首先给出£算子在Hardy 空间H2以及Bergman空间A2上的有界性和紧性的充要条件，接着给出了S g算子在这些空间上的严格奇异性的刻画，从而证明了该算子的紧性与其严格奇异性的等价关系•1Sg算子在Hardy空间H2和Bergman空间A2上的有界性和紧性我们首先给出Sg算子在Hardy空间H2上的有界性和紧性的充要条件的完整刻画.记片为△上所有有界解析函数/■组成的函数空间•根据Littlewood-Paley不等式问, Hardy空间H2有一个等价范数：ll/lla«1/(0)|2+」|f(z)F(l-|z『)dA(z),其中dA(z)=-^-dxdy是A上的标椎化Lebesgue面积测度.定理1若g e77(△),则£算子在Hardy空间H2上是有界的当且仅当gwH".证明若gwfT,则由£算子的定义可知，Sg算子在Hardy空间R2上是有界的.反过来，假设S g算子在Hardy空间H2上是有界的.由上面的Hardy空间H2的等价范数可知,S g算子在Hardy空间H2上是有界的当且仅当存在00使得下面的不等式成立：L lf(z)g(z)r(l-|z|2)dA(z)WC||/||；而根据文献［14］中的定理3.1,这个不等式成立当且仅当测度妝(z)=|g(z)|2(l-|z|2)dA(z)是一个3-Carleson测度，根据文献［⑸中关于Carleson测度的等价条件的刻画，有下面的不等式成立：惡LI茫隊〔如z)=^L(茫隊)lg(z)r(l-b「)dA(z)<8.然而，令z=a a M：=^~w,可以得到1-awSU^)|g(z)|2(l-|z|2)dA(z)=su^Jjg(S(w))「(l-|w|')dA(w)峯¥£|g(a)|.因此，geZT.证毕.定理2若ge//(△),则比算子在Hardy空间田上是紧的当且仅当g三0.证明若g三0,则很明显，Sg算子在Hardy空间刃上是紧的.反过来，假设£算子在Hardy空间R2上是紧的.同样根据文献［14］可知，S&算子在Hardy空间R2上是紧的当且仅当测度妆&)=|g(z)|2(1-|z|2)dA(z)是一个紧的3-Carleson测度，也就是等于下面的极限网成立：第1期林庆泽：Volterra型算子在Hardy空间和Bergman空间上的严格奇异性43lim』|g（z）r（l-|z|'）dA（z）=O.同样令z=oj：w):=,可以得到1讪|g(a)|=0,也就是，g三0.证毕.1-aw l«Hi_现在考虑S g算子在Bergman空间A2上的有界性和紧性条件.定理3若geH(A),则Sg算子在Bergman空间A2上是有界的当且仅当g e H°°.证明由于A?在范数意义上等价于加权Dirichlet空间Dl(参看文献[8]),因此£算子在Bergman空间上是有界的当且仅当乘法算子((Mg/)(z)=g(z)f(z))在加权Bergman 空间A孑上是有界的闪纫，而这又等价于g e H\证毕.定理4若gw//(△),则£算子在Bergman空间上是紧的当且仅当gi.证明由与定理3的证明思路一样.证毕.2Sg算子在Hardy空间H2和Bergman空间A2上的严格奇异性如果一个有界线性算子S：XT玖其中X和y是Banach空间)限制在X的任何一个无穷维闭子空间E上所诱导出的线性算子S e:E~^S(E)都不可能是同构映射，则称算子S.XfY为严格奇异的.类似地，如果一个有界线性算子S:X—Y(其中X和y是Banach 空间)限制在X的任何一个同构于P空间的无穷维闭子空间E上所诱导出的线性算子S e：E~S(E)都不可能是同构映射，则称算子S-.X^Y为Z2-奇异的叫巩一个有界线性算子是紧的则必为严格奇异的，亦必为几奇异的；反之不然问.定理5若有界算子S g在Hardy空间H2上不是紧的，则£在Hardy空间H2上不是几奇异的且S g在Hardy空间H2上不是严格奇异的.换言之，定理5是说，有界算子S&在Hardy空间呼上的紧性与其严格奇异性是等价的.在证明定理5之前，我们需要证明一个引理.由定理2的证明可知，若£在Hardy 空间刃上不是紧的，则存在△内趋向于边界(不妨假定为1)的序列｛a”｝：“，使得；；'j|g(z)「(l-|z门dA(z)>0,inf L|J也就是，存在£>0使得对于所有的a”，都有IIS/Ah其中£(z)=疔.容(11-0”z|尸易验证，对于所有的n,||/.||2«1.引理1若gwIT,对于△内趋向于1的序列｛a”｝：“以及给定的£>0,定义集合A b=｛e16:|-11<e｝.记zn为△的边界。

数学与统计学院硕士研究生课程内容简介学科基础课-------------------- 泛函分析--------------------课程编号：1 课程类别：学科基础课课程名称：泛函分析英文译名：Functional Analysis学时：60学时学分：3学分开课学期：1 开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：基础数学、应用数学、运筹与控制论、课程与教学论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，基础数学系教师。

内容简介：本课程介绍紧算子与Fredholm算子、抽象函数简介、Banach代数的基本知识、C*代数、Hilbert 空间上的正常算子、无界正常算子的谱分解、自伴扩张、无界算子序列的收敛性、算子半群、抽象空间常微分方程。

主要教材：张恭庆、郭懋正：《泛函分析讲义》(下册)，北京大学出版社，1990年版。

参考书目（文献）：1．定光桂：《巴拿赫空间引论》，科学出版社，1984年版。

2．M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I, Functional Analysis, 1972.3．K. Yosida, Functional Analysis, Sixth Edition, 1980.4．张恭庆、林源渠：《泛函分析讲义》(上册)，北京大学出版社，1987。

5．V. Barbu, Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, 1976.6．A. Pazy, Semigroup of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, 1983.-------------------- 非线性泛函分析--------------------课程编号：2 课程类别：学科基础课课程名称：非线性泛函分析英文译名：Nonlinear Functional Analysis学时：60学时学分：3学分开课学期：2 开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：应用数学、基础数学、运筹学与控制论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，应用数学系教师。

第3章 连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。

他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。

3.1 连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭对n E 中的向量起作用来达到的。

同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。

把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。

撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。

本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。

[定义3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射T 称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为()D T ，为称像集(){},y y Tx x D T =∈为算子的值域，记作()T D 或TD 。

若算子T 满足： （1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+∀∈ （2）()()(),T x TxF x D T ααα=∀∈∈称T 为线性算子。

对线性算子，我们自然要求()T D 是X 的子空间。

特别地，如果T 是由X 到实数（复数）域F 的映射时，那么称算子T 为泛函。

例 3.1 设X 是赋范线性空间，α是一给定的数，映射:T x x α→是X 上的线性算子，称为相似算子；当1α=时，称T 为单位算子或者恒等算子，记作I 。

例3.2 [],x C a b ∀∈，定义()()ta Tx t x d ττ=⎰由积分的线性知，T 是[],C a b 到[],C a b 空间中的线性算子。

泛函分析笔记作者：邝雪冰 笔记题目：纲与开映像定理纲与开映像定理报告人：邝雪冰作者简介：邝雪冰 性别：女，硕士研究生 学号：14110011020 导师：李应求教授 研究方向：概率论与数理统计摘要：本节对有界线性算子的逆算子的有界性问题是在本节中做了初步的讨论，首先从引入疏集的概念，开映射，空间的完备性开始．其次，讲述三个重要的定理：开映像定理，闭图像定理，共鸣定理．有界线性算子是开映射的充分条件[1]．闭图像定理主要是研究算子的连续性与闭性的关系．共鸣定理又称算子族的一致有界原理，其含义是在一定条件下由算子族的点点有界可得出范数有界[2]． 一、知识背景对于解方程的问题从泛函分析的角度来看，就是对给定算子:T X Y →，求x X ∈，使得Tx y = （3.1）解的存在性表达成算子T 有右逆1r T -：1r TT I -= （I 表示恒同算子）若令1r x T y -=，则有1r Tx TT y y -==；而解的唯一性表达成算子T 有左逆1l T -：1l T T I -=由Tx y =及1l T -存在，得11l l x T Tx T y --==，所以解x 唯一地被y 决定．也就是说解存在且唯一，当且仅当线性算子T 即既有左逆又有右逆．如果算子T 左右逆同时存在，则它们一定相等，即()()11111111l l l r l r r r T T I T TT T T T IT T --------=====所以这时称算子T 有逆，并记此逆为1T -．设f 是由集合A 到集合B 的映射，如果,x y A ∈，且x y ≠等价于()()f x f y ≠，则称f 为由A 到B 的单射．设f 是从集合A 到集合B 的映射，若()f A B =,即B 中任一元素b 都是A 中某元素的像，则称f 为A 到B 上的满射．换句话来说就是，设,X Y 都是B 空间，(),T L X Y ∈，算子T 称为是单射，是指T 是1-1的，算子T 称为是满射，是指()T x y =．若映射f 既是单射，又是满射，则称映射f 为A 到B 的双射． 注 （i ）设,X Y 是线性空间，线性算子:A X Y →，如果1A -存在，则1A -也是线性算子；（ii ）设,X Y 是*B 空间，(),A L X Y ∈，如果1A -存在，()R A Y =且1A -是有界线性算子，那么称A 是正则算子；（iii ）设,X Y 是*B 空间，(),A L X Y ∈有界，A 是双射，那么1A -是Y 在X 上的线性算子．一般来说，1A -未必是有界算子．一、 主要内容 3.1纲与纲推理定义 3.1.1 设(),X ρ是一个度量空间，集E X ⊂，则称E 是疏的，如果E 的内点是空．命题 3.1.2 设(),X ρ是一个度量空间，为了E X ⊂是疏集必须且仅须：∀球()()()001100,,,,B x r B x r B x r ∃⊂，使得()11,E B x r φ= ． 证明：必要性因为E 无内点，所以E 不能包含任一球()00,B x r ．从而()100,x B x r ∈，使得1x E ∉．又由E 是闭，所以10ε∃>，使得()11,B x E εφ= ．取()()110010min ,,r r x x ερ<<-便有()()()110011,,,,B x r B x r E B x r φ⊂= 充分性若E 不疏，既E 有内点，则()00,B x r E ∃⊂．但由假设()()1100,,B x r B x r ∃⊂，使得()11,B x r E φ= ．一方面有()()1111,,B x r E B x r = ；另一方面()11,B x r E φ= 即得矛盾．定义3.1.3 在距离空间(),X ρ上，集合E 称为第一纲的，如果1n n E E ∞== ，其中nE 是疏集．不是第一纲的集合是第二纲集．定理3.1.4 （Baire ）完备度量空间(),X ρ是第二纲集． 证： 反证法倘若X 是第一纲集，即存在疏集{}n E ，使得1n n X E ∞== （3.2）对任意球()()()()0011001,,,,1B x r B x r B x r r ∃⊂<，使得()111,B x r E φ= ；对()()()11221121,,,,2B x r B x r B x r r ⎛⎫∃⊂< ⎪⎝⎭，使得()()2212,B x r E E φ= ；如此继续下去，对()()()11111,,,,n n n n n n n B x r B x r B x r r n ----⎛⎫∃⊂< ⎪⎝⎭，使得(),n n n B x r E φ= ，从而()1,n n n i i B x r E φ=⎛⎫= ⎪⎝⎭()n ∀∈ （3.3）于是我们得到()()()1122,,,n n B x r B x r B x r ⊃⊃⊃而()1,n p n n x x r nρ+≤< ()n ∀∈ （3.4）由此可见{}n x 是基本列，从而x X ∃∈，使得lim n n x x →∞=．另一方面在（3.4）式中令p →∞得(),n n x x r ρ≤，从而(),n n x B x r ∈ ()n ∀∈ （3.5）联合（3.3）和（3.5）式，有1n n x E ∞=∉ ，这与（3.2）式矛盾．3.2开映像定理如果T 是一个单射，则定义1T -，它是线性的．但它的定义域不一定是全空间Y ，当且它是一个满射时，1T -才是Y 到X 的一个线性算子，此时，我们讨论1T -是不是连续的．定义3.2.1 设,X Y 为两个Banach 空间，T 为X 到Y 的映射，若对于X 中的任意开集G ，G 的像()T G 为Y 中的开集，则称T 为开映射[3]（把开集映射为开集）． 定理3.2.2 （Banach ）设,X Y 是B 空间，若(),T L X Y ∈，它既是单射又是满射，那么()1,T L X Y -∈．证明 根据定理3.2.3证明中的第（3）段，已知()1,1,U TB θθδ⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭即()11,1,T U B θθδ-⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭或11T y δ-< (),1y Y y ∀∈<．特别地由模的齐次性，y Y ∀∈，0ε∀>，有()11T y y εδ-+<．令0ε→得11T y y δ-<()y Y ∀∈．从而()1,TL X Y -∈．这一定理有一个更一般的形式，也就是定理3.2.3．定理 3.2.3 设,X Y 是B 空间，若(),T L X Y ∈是一个满射，则T 是开映像 证明 用()0,B x a ，()0,U y b 分别表示,X Y 中的开球．（1） 证明是T 开映射，即∀开集W ，()T W 是开集，必须且仅须证明：0δ∃>使得()(),1,TB U θθδ⊃ （3.6）必然性是显然的． 充分性由于T 是线性，条件（3.6）等价于()()00,,TB x r U Tx r δ⊃ ()0,0x X r ∀∈∀>()0y T W ∀∈，按定义0x W ∃∈，使得00y Tx =。