2015年秋季新版苏科版九年级数学上学期1.1、一元二次方程学案4

第05课时 一元二次方程的解法（4）学习目标1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b 2－4ac ≥0 2、会用公式法解一元二次方程 学习过程：一、情境创设1、用配方解一元二次方程的步骤是什么？2、用配方法结合直接开平方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？3、如何解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）？ 二、探索活动能否用配方法把一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）转化为2224()4b bac x aa -+=呢？ 回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识： 因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 20bc x x aa++=移项，得 2b c x x aa+=-配方，得 222)2()2(22ab ac ab x ab x +-=+••+即 2224()24b b ac x a a-+=当240b ac -≥，且0a ≠时，2244b ac a -大于等于零吗？让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当240b ac -≥时，因为0a ≠，所以240a >，从而22404b ac a -≥到此，你能得出什么结论？让学生讨论、交流，从中得出结论，当240b ac -≥时，一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根为2b x a +=x 。

由以上研究的结果，得到了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式：x （240b ac -≥）这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

思考：当240b ac -≥时，方程有实数根吗？三、例题教学例 1 解下列方程：⑴ x 2＋3x ＋2 = 0 ⑵ 2 x 2－7x = 4分析：第2小题要先将方程化为一般形式再用求根公式求解。

新苏科版九年级数学上册1.1 一元二次方程导学案学习目标1、经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型2、了解一元二次方程的概念和它的一般形式，会根据实际问题列一元二次方程学习重、难点重点：一元二次方程的概念和一般形式难点：正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”学习过程：一、学前准备:1、回顾方程、一元一次方程的概念：2、一个正方形的周长为12，这个正方形的边长是多少？3、一个正方形的面积等于2，这个正方形的边长是多少？二、自主探索（请仔细阅读课本，完成下列问题）：1、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？若设宽为x米，则可列方程：2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率？若设这两年的平均增长率为x，则可列方程：3、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？若设这个正方形的边长为x，则可列方程：4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。

若设设较小的一个数为x，则可列方程：议一议：观察上面列出的4个方程，它们有哪些相同点？（从方程的概念看）归纳：一元二次方程的概念:一元二次方程必须同时满足的三个条件: (1) (2) (3)一元二次方程的一般形式: ，其中二次项、一次项和常数项分别是 ，二次项系数和一次项系数分别是 。

三、例题教学:例 1 根据题意，列出方程：一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。

求这个正方形的边长？例 2 把2（x 2－1）= 3 x 方程化成一般形式，并写出它的二次项、一次项和常数项；二次项系数、一次项系数。

四、随堂练习:（1）判断下列方程是否为一元二次方程：⑴ 5x 2＋3x = 2 ⑵3212=-x x⑶2（x 2－1）= 3y ⑷（ x －3）2= （x ＋5）2(2) 练习 1、2五、拓展延伸：1、K为何值时，关于x的方程（K2-1）x2+2(k+1)x+3(k-1)=0 (1)是一元一次方程？(2)是一元二次方程？2、如果X2+X-1=0,求代数式（1）2X2+2X-4的值（2）X3+2X2-7的值六、课堂小结：引导学生总结：1、一元二次方程定义的三要素。

新苏科版九年级数学上册：1.1 一元二次方程学案【学习目标】基本目标1、通过观察，归纳一元二次方程的概念。

2、理解一元二次方程一般形式，说出二次项、一次项、常数项、二次项的系数、一次项的系数。

提高目标1 .能熟练的把一元二次方程转化成一般形式，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项。

2 .经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，感受方程是刻画现实世界有效的数学模型。

3 .培养学生观察、猜想、探究、归纳的习惯和能力，体验数学学习的乐趣。

【教学重难点】重点：一元二次方程的概念和一般形式。

难点：正确理解和掌握一般形式中的a≠0 ，“项”和“系数”。

【预习导航】1、你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?【新知导学】活动一：设未知数，列出方程（1）正方形桌面的面积是2m2，求它的边长？(2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。

如果花圃的面积是24m2，求花圃的长和宽？（3）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米。

如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。

归纳：1、像以上这些只含有______________ ，且__________________________的方程叫一元二次方程。

注：符合一元二次方程即符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程 2、一元二次方程的一般形式是 ；其中：二次项是 ，一次项是 ，常数项是 ；二次项系数是 ，一次项系数是 。

例题例1、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？ ①12=+x x ②12=x ③x1=x ④0322=+-y x x⑤)4)(1(32--=-x x x ⑥02=++c bx ax ⑦02=mx （ｍ是不为零常数）例2、把下列关于x 的一元二次方程化为一般式，写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

新苏科版九年级数学上册《一元二次方程》学案学习目标：1、理解并掌握一元二次方程的有关概念。

2、能根据一元二次方程的特点，选用合适的方法解方程。

3、不解方程，会判定一元二次方程根的情况。

4、能熟练一元二次方程根与系数的关系定理解有关的问题。

学习重点：熟练解一元二次方程。

学习难点：配方法的灵活应用及一元二次方程根与系数关系定理的应用。

易错点：一元二次方程根与系数关系定理的应用。

学习过程：请同学们迅速翻阅课本，复习前面学习的一元二次方程有关内容。

对应训练一1．判断下列方程中是一元二次方程的有（ ）A. 3(x+1) 2=2(x+1)B. ax 2+bx+c=0C. x 2+3x= -1 D. x 2+2xy-y 2=1 2.已知关于x 的方程()()221120k x k x -++-=（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程？ （2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程？写出这个方程的二次项系数，一次项系数和常数项．知识点一：1.一元二次方程的定义：只含有_____个未知数，并且_______后未知数的最高次数是______的______方程叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式是_______________________,其中a 、b 、c 都是常数，且a____0。

对应训练二：1.（2013•宁夏）一元二次方程x （x-2）=2-x 的根是（ ）A ．-1B ．2C ．1和2D ．-1和22.（2012•柳州）你认为方程x 2+2x-3=0的解应该是（ ）A ．1B ．-3C ．3D ．1或-33.（2013•兰州）用配方法解方程x 2-2x-1=0时，配方后得的方程为（ ）A ．（x+1）2=0B ．（x-1）2=0C ．（x+1）2=2D ．（x-1）2=2 知识点二:一元二次方程的解法有__________________________________________；形如()()20x m n n +=≥的方程用___________方法解较简单；因式分解法一般要通过提公因式、平方差公式或者十字相乘法等途径转化为两个因式的积为零的形式；公式法在应用时首先要将一元二次方程转化为____________,只有当满足____________时，才可应用这种方法。

苏科课标版初中数学九年级上册第一章一元二次方程11教学内容与学情本节课的教学内容是苏科版«义务教育教科书·数学»九年级上册第一章第1节〝一元二次方程〔第1课时〕〞．在七、八年级先后学习了一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式〔组〕和分式方程，先生对〝元〞、〝次〞、〝方程〞、〝解〔根〕〞、〝解方程〞等概念已比拟明晰，并且知道方程是描写理想生活中数量关系的有效模型；一元二次方程是提醒理想世界数量关系的又一个重要的数学模型，它既是方程自身内容进一步丰实的需求，也是后续学习二次函数以及高中数学的基础．2教学目的〔1〕了解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的解和解一元二次方程的意义；〔2〕能依据的一元二次方程编写相应的生活情境，也能依据实践效果中的数量关系列方程，从中感受一元二次方程是提醒理想世界数量关系的一个有效的数学模型；〔3〕阅历一元二次方程概念的生成与逻辑建构进程，体会由特殊到普通、分类和化归等数学思想方法，感受概念学习的基本方式，逐渐构成数学阅历体系．3教学重点、难点重点：了解一元二次方程的概念，感受一元二次方程是提醒理想世界数量关系的一个重要的数学模型；难点：阅历具表达实原型与笼统数学模型之间的数学化进程，用一元二次方程描画复杂效果中数量之间的相等关系．4教学进程设计4．1 概念构成〔是什么？〕概念构成普通阅历4个阶段：〝感知看法阶段〞、〝分化实质属性阶段〞、〝概括构成定义阶段〞和〝运用与强化阶段〞．4．1．1 感知看法本节课我们末尾学习〝一元二次方程〞，你能写出1个一元二次方程吗？你能再写出类型不同的一元二次方程吗？【有效性剖析】先生对〝元〞、〝次〞、〝方程〞的概念已比拟明晰，类比地写出几个一元二次方程，让先生构成直观感受；概念笼统需求典型实例，经过〝类型不同〞引发先生深度参与，逐渐向数学对象的实质属性迫近.4．1．2 分化实质以下方程是不是一元二次方程？为什么？①y 2=－3；② x 2+1x +2=0； ③ x 〔x －1〕=x 2；④ax 2+3x+1=0.【有效性剖析】应用正例和反例变换非实质属性特征，笼统特性特征，概括实质特征．〝群众化〞的方程没有争议，以无实根型、分式方程、化简后不含x 2型以及二次项系数不确定型等有〝特性〞的方程引发认知抵触，从而促进一种共同的认知愿望：必需明白〝一元二次方程〞的定义，这既是一个思想实质性参与进程，又是一个孕育概念生长点的进程．4．1．3 概括定义效果1：你以为什么叫做一元二次方程？⑴文字定义：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程． ⑵符号定义：形如ax 2+bx+c=0〔a 、b 、c 是常数，a ≠0〕的方程叫做一元二次方程． 我们把ax 2+bx+c=0〔a 、b 、c 是常数，a ≠0〕叫做一元二次方程的普通方式，其中ax 2叫做二次项、bx 叫做一次项、c 叫做常数项，a 、b 区分叫做二次项系数、一次项系数．思索：①如何了解〝未知数的最高次数是2〞这个条件？②在普通方式中，假设b=0或c=0，那么一元二次方程具有怎样的方式？【有效性剖析】有以前学习方程的阅历和看法基础，先生具有由详细思想向方式化思想转变、归结一元二次方程定义的才干．数学思想方法孕育于知识的发作开展进程中，思索的两个效果是等价的，凸出了概念的外延和外延，一方面看法到一元二次方程方式的多样性，另一方面也加深了对概念实质的了解．4．1．4 运用强化例1 关于x 的方程〔m 2－4〕x 2+〔m ＋2〕x －m+2=0．⑴当m______时，该方程为一元二次方程；⑵假定该方程为一元一次方程，那么m=______．【有效性剖析】引导先生育成从基本概念动身思索效果、处置效果的习气，突出一元二次方程基本概念所包括的思想方法，在感受数学分类的必要性的同时，训练思想的缜密性． 4．2 建构活动〔学什么？〕效果2〔先留空〕：你以为，这个效果应该是什么？ 或许说，此刻我们应该提出什么效果？【有效性剖析】先生自动提出效果也是需求引导的．这个留空效果的出现，激起先生思索，我们曾经知道了一元二次方程的定义〔从哪里来〕，接上去当然应该研讨一元二次方程的其它内容〔到哪里去〕，这是认知的自然趋向；先生应该有这种自主建构学习内容体系的学习倾向和自动提出效果的看法，这种把自动权还给先生的做法有益于促进学习方式的改动．经过回想与重构，〝我们应该如何学习一元二次方程？〞或许〝接上去我们应该学习一元二次方程的哪些内容？〞这类效果呼之欲出，〝⒈定义；2.解；3.解方程；4.列方程处置效果.〞的认知框架水到渠成．为了强化自动提出效果的看法，积聚提出效果的阅历，教员可以追问：〝你是怎样想到这样提出效果的？〞〝提这样的效果合理吗？〞．4．3 数学探求〔怎样学？〕4．3．1自主探求结合我们自己写出来的方程，同窗们先独立思索：刚才我们所提出的几个效果中，哪些你能处置？哪些你可以尝试处置？【有效性剖析】一元二次方程的方式多样、系数复杂，招致解方程的方法多样性与复杂性共存，这些需求先生自主看法与感受；这里不在于能否处置了效果，而在于思想的层次与实质——发现了悬而未决的效果，这既是突出中心概念的进程，也是打破难点的进程．4．3．2协作交流⑴一元二次方程的解的意义各组代表陈说〔可以结合已写出的方程，也可以重新写〕，突出以下几个效果：①什么叫〝一元二次方程的解〞？②如何验证一个值能否为一元二次方程的解？你发现一元二次方程的解与我们以前学过的方程的解有何异同？⑵解一元二次方程的感受如何确定〔或找到〕一元二次方程解？先生对照自己写出的方程说明．例如对9x2=4型的可以经过开平方，对〔x－1〕〔x+2〕=0或x2－5x=0型的可以经过因式分解，而x2=－5型的没有实数根；当然，像2x2－5x=1等型的方程目前尚难处置，这正是我们本章要学习的内容，前面将有十分巧妙的解法等候着我们！反过去，假设解，你能编写出一元二次方程吗？能编出不同的一元二次方程吗？①你能写出一个以1和－2为根的一元二次方程吗？许多先生会写出〔x－1〕〔x+2〕=0型的方程，教员可以用〝你是怎样想到这样编写的？〞初步构成编写的阅历．②你能写出一个只以3为根的一元二次方程吗？③你能写出一个没有实数根的一元二次方程吗？④你能写出一个有3个实数根的一元二次方程吗？【有效性剖析】先生阅历编写进程〔逆向思想〕，或容许以翻开解方程〔找方程的解〕的渠道，让数学活动由方程的〝解〞向〝解方程〞自然过渡；在尝试解方程的进程中感受化归求简的思想方法．⑶列一元二次方程处置效果的尝试在我们所写的一元二次方程中选择1个你喜欢的方程，举1个相应的生活效果，使得该方程可以描画其中数量之间的相等关系〔能处置其中的效果〕．先生能够会选择以下方程编写生活效果：①〔x －1〕2=2，应用正方形面积来编；一个正方形的边长减小1，失掉的新正方形的面积为2，那么这个一元二次方程就可以描画原正方形的边长与新正方形面积之间的数量关系；②x 〔x+1〕= 6，应用长方形面积来编；长方形的长比宽多1cm ，面积为6cm 2，假设设宽为xcm ，那么这个一元二次方程就可以描画长方形的宽与面积之间的数量关系．③x 2+〔x －1〕2=25，应用勾股定理来编；一个直角三角形两条直角边的差为1cm ，斜边长为5cm ，那么这个一元二次方程就可以描画直角边的长与斜边长之间的数量关系．教学时，还可以补充一些典型效果，例如：例2 某种品牌电脑延续两次降价〔降价率相反〕，单价由原来的6400元降到4900元，求每次降价率．独立作答，然后由1名同窗讲述．设每次降价率为x ，那么〔1—x 〕2=4964，这是一元二次方程，同窗们可以尝试去解它．【有效性剖析】这些效果源于生活，回归教材；例2经过一个相对完整的处置效果的进程，表达一元二次方程的适用价值，领悟到〝为什么要学？〞4．4 教学小结效果3：阅历了一元二次方程的〝第1节课〞，我们取得了哪些学习阅历？【有效性剖析】反思自己的学习进程，积聚学习阅历，用阅历了解数学，在了解中学会，在学会中会学．阅历提升：学习一个数学对象，我们往往先对它有一个结构性的看法，以以下方式展开，逐渐提醒它的实质．4．5 目的检测〔5分钟训练〕见«目的检测»．5 教学设计说明与教后反思5．1 〝第1节课〞的义务作为本章〝第1节课〞，这节课的教学性质是以效果趋动的概念教学课，不是章头导学课，更不是单元教学课．〝第1节课〞的义务主要有三点：〔1〕胸中有〝森林〞，就是感知本章〔或单元〕的逻辑结构和学习蓝图，让学习一直坚持在〝抬头看路〞的微观形状；〔2〕眼前有〝树木〞，就是了解一些自然生成的数学对象和基本概念；〔3〕脑海有〝套路〞，就是阅历本章〔或单元〕框架的生成与构建进程，全体掌握知识间的逻辑关系，体会概念学习的基本套路．5．2 效果情境的价值效果情境的价值不外乎为教学活动提供三个方面的效劳：取得研讨的对象、提出研讨的效果、找到研讨的方法．数学对象有时是内隐的，人们对它的看法需求由具象〔生活原型〕到表象〔过渡雏形〕，再到笼统〔数学模型〕；数学对象不一定来自生活原型，有时来自先生实践，来自先生的阅历．下面回答两个疑问：⑴本节课的效果情境是什么？一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的学习都表达了〝从效果到方程〞的看法观，本节课跳过生活实例〔预设的〝相关〞情境〕，直入课题，对〝元〞、〝次〞、〝方程〞、〝解〔根〕〞、〝解方程〞等概念停止回想与迁移，在罗列和区分一元二次方程的进程中构成认知抵触，一元二次方程的定义成为迫切的需求．数学概念来源于两方面：一是对生活效果的直接笼统；二是在已有知识和阅历上的逻辑建构．本节课的效果情境就是先生已有的知识与认知阅历，以及在自主建构中所构成的认知抵触．这种情境迎合先生的学习内趋，更能表达数学的实质，更能将留意力集结到主题下去．一个徒具方式的〝把先生塞进汽车〞的情境并不比开门见山值得一定．⑵对一元二次方程认知的笼统逻辑建构以及从效果情境动身突出方程模型思想的功用，哪个更有价值？对一个新的数学对象，我们普通阅历从外表到实质、从笼统到详细、从孤立到系统的看法进程．教学活动要特别关注知识的〝生长点〞和〝归结点〞，先生以往学习方程的阅历有利于一元二次方程新认知的异化，但一元二次方程对方程的认知既有量的添加，又有质的变化，先生会发生新的疑问：为什么一元二次方程有多种解法？为什么要研讨一元二次方程根的判别式？等等，这些新的疑问促使先生对原有认知结构停止改造〔新认知的顺应〕．让先生在自主建构进程中开掘数学概念包括的价值观资源，提高解读概念所反映的数学思想方法的才干，这是数学教育的价值所在．无须置疑，用方程描写效果成为先生的一种自觉的需求〔方程模型思想〕，是方程教学的中心价值．为了力图完成这一价值，本节课设计了两个不同思想层次的〝编写〞，先是编写方程，但先生所编写的方程未必从生活效果中来，不乏x2+x=0这些〝裸方程〞，后是依据方程编写效果情境，这时先生必需回到生活效果中去，经过逆笼统体会效果情境的价值．5．3 坚持为了解而教〔1〕了解数学开展的规律．数学概念、数学方法和数学思想的来源与开展都是自然的，一是知识的逻辑顺序自然，二是先生的心思认知自然．数学概念教学要让先生了解概念的背景和引入它的理由，知道它在树立、开展实际或处置效果中的作用，甚至要让先生体验数学家们发现数学规律的心路历程，这一历程闪耀着人类智慧的光芒，它对人类的贡献不只仅在于数学结论，更重要的是孕育了一种肉体质量和这种肉体质量的教育功用．〔2〕了解数学思想的方式．数学教学是对特定数学对象构成序列概念性看法的思想活动，数学学习是数学思想方式的学习．数学思想方式孕育于知识的发作开展进程中，在教学活动中，教员要引导先生从数学角度看效果，擅长自动提出效果，有条理地停止理性思想、严密求证、逻辑推理和明晰准确地表达，不时反思〝这么想对吗？〞、〝为什么应该这么想？〞，逐渐构成合理的数学思想方式．〔3〕了解数学教育的价值．数学教育的中心价值是经过数学教育人思想．教员要引导先生经过对数学迷信与人类社会开展之间的相互作用的了解，体会数学的迷信价值、运用价值和人文价值，培育严谨态度和探求肉体，以及能引发发明动力的价值观念，这种观念在以后仔细学习数学与运用数学处置效果的进程中将逐渐生成并强固起来，受益终身．。

课题：1.2 一元二次方程的解法（4）
教学目标: 教学时间：
1. 会用公式法解一元二次方程；
2. 体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b 2－4ac ≥0； 3．在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，体会转化的思想方法． 教学重点：会用公式法解一元二次方程．
教学难点：体验推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b 2－4ac ≥0 教学方法：
教学过程：
一.【情景创设】
用配方法解方程：02
122=--y y
二.【问题探究】
问题1：你会解关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax a 、b 、c 是常数，a ≠0)吗？
归纳：一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax
（1） 当_____________时，它的根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根公式，
利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。

（2） 当_____________时，方程没有实数根。

问题2：用公式法解下列方程
（1）0432=--x x （2）322
=-x x
练一练：用公式法解下列方程
（1）01222=-+-x x
（2）0121322=++-x x
（3）055.02.12.02=+-x x
（4）0122=-+x x
（5）6)6(=-x x
（6）04322=-+-x x
三.【变式拓展】
问题3：用公式法解关于x 的方程：0)2(3222=--+-n mn m mx x 。

四.【总结提升】
通过这节课的学习，你有什么收获呢？。

苏科版数学九年级上册《1.1 一元二次方程》教学设计一. 教材分析《苏科版数学九年级上册》第一章第一节“1.1 一元二次方程”是整个九年级上册数学学习的重要内容，也是整个初中数学学习的关键部分。

本节课的主要内容是一元二次方程的定义、解法及其应用。

通过本节课的学习，学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能够应用一元二次方程解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对公式、方程等概念有一定的了解。

但一元二次方程相对于其他方程来说，较为复杂，需要学生有较强的逻辑思维能力和转化能力。

同时，由于九年级的学生学习压力较大，对于新知识的接受能力有一定的影响。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，能够应用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的意志。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解法。

2.教学难点：一元二次方程的解法，应用一元二次方程解决实际问题。

五. 教学方法采用自主学习、合作交流的教学方法。

教师引导学生通过观察、思考、讨论等方式，发现一元二次方程的解法，并能够应用到实际问题中。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解一元二次方程的概念和解法。

2.练习题：准备一定数量的一元二次方程练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决这些问题。

通过问题的引入，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解，呈现一元二次方程的概念和解法。

引导学生观察、思考，发现一元二次方程的解法。

3.操练（10分钟）学生分组合作，解决一些简单的一元二次方程。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

1.1一元二次方程教案教学目标：1．了解一元二次方程的一般形式，会写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；2．通过探索实际问题中的数量关系及其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，感受方程是刻画现实世界的有效的数学模型；3．通过观察，归纳一元二次方程的概念；4．通过对问题的分析，培养学生对数学的兴趣，增进应用数学的信心．教学重点：一元二次方程的概念．教学难点：从具体问题抽象出一元二次方程的过程．教学过程（教师）问题情境正方形桌面的面积是2m2，问：正方形的边长与面积之间有何数量关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？设正方形桌面的边长是x m，可得：x2＝2．通过一个简单的实际问题，引导学生用一元二次方程来解决问题，让学生自己提出问题，可激发学生的学习积极性，自觉地去分析题意，并体会方程是解决问题的一种有效的数学模型．数学活动问题1：如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2．问：矩形花圃的宽与面积之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？设花圃的宽是x m，则花圃的长是（19－2x）m，可得：x（19－2x）＝24．给出一个稍难的实际问题，让学生体会方程模型的有效性．问题2：某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册．问：图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？先独立思考，后小组交流．设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，图书馆的藏书一年后为5（1＋x）万册，两年后为5（1＋x）2万册，可得：5（1＋x）2＝9.8．“求平均每年增长的百分率是多少？”是较难的一个问题，学生不易理解，教学中要让学生有充分的交流和理解的时间．思考与探索如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m．设梯子的底端到墙面的距离是x m，怎样用方程来描述其中的数量关系？先独立思考，后小组交流．x 2＋（x－1）2＝25．通过对前面问题的思考，学生用方程的意识不断增强，本题让学生思考完成，进一步感受方程思想．尝试与交流方程x2＝2、x(19－2x)＝24、5（1＋x）2＝9.8、x2＋（x－1）2 ＝25有哪些共同的特征？它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2．概念形成①观察所得到的方程（化简后），通过比较，找到它们的异同点．归纳得出一元二次方程的概念，注意文字语言的表述与符号语言的表达，并明确每一项及每一项的系数．②你还能写一些与它们类似的方程吗？它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程．任何一个关于x的一元二次方程都可以化成ax2＋bx＋c＝0 （a、b、c是常数，a≠0）的一般形式．其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数和一次项系数．它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程．概念的形成要有归纳的过程，要会判断一个方程是否是一元二次方程，还要知道任何一个关于x的方程都可化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是常数，a≠0）．练习课本练习．学生课内完成．通过练习，明晰概念，巩固方程思想的应用．总结①实际问题一元二次方程．②一元二次方程的概念．对本节内容进行归纳、总结，明确所学到的知识和数学思想方法．通过总结和课后作业，巩固所学知识、技能、方法，感受数学在生活中的应用，增强应用数学的意识．课后作业①课本习题1.1．②适当补充针对性练习．完成作业，及时反馈．。

新苏科版九年级数学上册1.2 一元二次方程的解法（4）导学案学习目标1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥02、会用公式法解一元二次方程学习重、难点重点：掌握一元二次方程求根公式的探究，并熟练地应用公式法解一元二次方程难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误学习过程：一、学前准备：1、回顾用配方法解一元二次方程的一般步骤？2、用配方法解一元二次方程： 2 x2－7x＋3 = 03、用配方法结合直接开平方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一般形式的一般步骤一元二次方程ax2＋bx ＋c = 0（a≠0）的实数根呢？二、探索新知：（请仔细阅读课本，完成下列问题）：用配方法探究一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的求根公式：因为0a ，方程两边都除以a，得移项，得配方，得即思考1：当240b ac-≥时，又已知0a≠，2244b aca-大于等于零吗？答：当240b ac-≥时，一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠的根为，即。

由以上研究的结果，得到了一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠的求根公式：（240b ac-≥）归纳公式法的概念：。

思考2：当b2－4ac＜0时，一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠有实数根吗？为什么？答：三、例题教学例用公式法解下列方程：⑴x2＋3x＋2 = 0⑵ 2 x2－7x = 4归纳：用公式法解一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠的一般步骤：1、2、3、4、四、课堂练习1、用公式法解下列方程：（1）、2x 2＋7x = 4 （2）、21x 2＋21x ＋81 = 0 （3）、x 2＋3 = 222、已知一直角三角形的两直角边的长恰为2x 2－8x = -7的两实根，求这个直角三角形的斜边长？五、课堂小结1、用公式法解一元二次方程的一般步骤？2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？3、若解一个一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当b 2－4ac ＜0时，请说明这个方程实数根的情况。

一元二次方程的解法班级姓名学号学习目标1、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程学习重点：一元二次方程的根的情况与系数的关系学习难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值教学过程一、情境引入：1.一元二次方程的求根公式时什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2－4ac≥0时，它的根是a acbbx24 2-±-=用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，进而确定a、b、c的值，再求出b2－4ac 的值，当b2－4ac≥0的前提下，再代入公式求解；当b2－4ac＜0时，方程无实数解(根)2.用公式法解下列方程：⑴x2＋x－1 = 0 ⑵x2－23x＋3 = 0 ⑶2x2－2x＋1 = 03．观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？二、探究学习：1．尝试：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x2＋2x－8 = 0 ⑵x2 = 4x－4 ⑶x2－3x = －3（答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根）问题：你能得出什么结论？可以发现b2－4ac它的符号决定着方程的解。

2．概括总结．由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定：当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根当b2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根当b2－4ac ＜0时，方程没有实数根我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式。

若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2－4ac = 0当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜03.概念巩固：（1）方程3x2+2=4x的判别式b2－4ac= ，所以方程的根的情况是 . （2）下列方程中，没有实数根的方程是（）A.x2=9B.4x2=3(4x－1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=0（3）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b2－4ac＞0B. b2－4ac＜0C. b2－4ac≤0D. b2－4ac≥04.典型例题：例1不解方程，判断下列方程根的情况：1、06622=-+-x x ； 2、242x x +=；3、x x 3142-=+4、x 2－2mx +4（m －1）=0 解：1.∵b 2－4ac =24－4×（－1）×（－6）=0∴该方程有两个相等的实数根2. 移项，得x 2+4x －2=0∵b 2－4ac =16－4×1×（－2）=16－（－8）=16+8=24＞0∴该方程有两个不相等的实数根3. 移项，得4x 2+3x +1=0∵b 2－4ac =9－4×4×1=9－16=－7＜0∴该方程没有实数根4. ∵b 2－4ac =（2m ）2－4×1×4（m －1）=4m 2－16（m －1）=4m 2－16m +16=（2m －4）2≥0∴该方程有两个实数根例2 ：m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2－（m －1）x －3（m +3）=0恒有两个不相等的实数根。

1.2 一元二次方程的解法（4）班级___________姓名___________学号___________建议用时：30分钟【课堂回顾】一般地，关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，它的实数根是 _____________________________________, 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做________________.【基础演练】1．用公式法解方程5232=+x x ：将它化为一般形式_______________, 其中_____,=a __________,==c b ,_______,42=-ac b 方程的根是._____________,21==x x2．用公式法解方程01322=-+x x ，下列代入正确的是 （ ） A.2124332⨯⨯-±=x B.22124332⨯⨯⨯+±-=x C.22124332⨯⨯⨯-±=x D.2212332⨯⨯+±-=x 3．已知1=x 是方程022=-+bx x 的一个根，则方程的另一个根是 （ ）A.1B.2C.-2D.-14．用公式法解下列方程：（1）2320x x --=（2）25x -=（3）03522=--y y（4）13212=+t t（5）2210x -++=（6）22(2)75x x -=-5.三角形两边长分别是6和8，第三边长是方程060162=+-x x 的一个实数根，求该三角形的面积.【能力提升】6.当x = 时，代数式2x-1与x+3的积为4.*7.已知关于x 的方程02=++a bx x 有一个根是)0(≠-a a ，则b a -的值为（ ）A ．－１B ．0C ．1D ．2*8.若18)3)((2222=+++n m n m ，则=+22n m . *9.(2019盐都期中)仔细阅读下面的例题，并解决问题：解方程：x 2–|x|–2=0解：当x≥0时，原方程化为x 2–x –2=0，解得x 1=2，x 2= –1（＜0，舍去）当x<0时，原方程化为x 2+x –2=0，解得x 1= –2，x 2=1（＞0，舍去）∴原方程的根是x 1=2，x 2= –2.请参照例题解方程：x 2–|x –1|–1=0 .。

1.2一元二次方程的解法（4）教学目标：1、 经历探索求根公式的过程，培养抽象思维能力；2、 熟练地应用求根公式解一元二次方程；3、 在探索和应用求根公式中，进一步认识特殊与一般的关系。

教学重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误教学难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程教学过程：一、自学复习： 1、用配方法解下列方程：（1）x x 10152=+ （2）0311232=+-x x2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？二、互助探究：问题1：用配方法解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 。

问题2：在研究问题1中，你能得出什么结论？一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax （1） 当_____________时，它的根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。

（2） 当_____________时，方程没有实数根。

三、例题精讲：例1、用公式法解下列方程（1）0432=--x x （2）322=-x x （3）055.02.12.02=+-x x板演练习：（1）0122=-+x x （2）6)6(=-x x （3）04322=-+-x x例2、用公式法解关于x 的方程：0)2(3222=--+-n mn m mx x 。

四、拓展延伸：用公式法解关于x 的方程：)04(022≥-=++ac p q px x 。

设此方程的两根为1x 、2x ，试求：（1）1x +2x ；（2）21x x ⋅。

你有什么发现？五、小结思考：六、教学反思：。

苏科版数学九年级上册《1.1 一元二次方程》教学设计4一. 教材分析苏科版数学九年级上册《1.1 一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，是学生从代数到几何的过渡，也是学生对数学逻辑思维的培养。

本节课的内容主要包括一元二次方程的定义、解法以及应用。

通过本节课的学习，学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能够应用一元二次方程解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对数学概念和运算规则有一定的了解。

但是，对于一元二次方程这一概念的理解，以及解一元二次方程方法的掌握，对学生来说还是一个新的挑战。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解新知识，掌握新技能。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能够应用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生探究问题和解决问题的能力。

3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解法。

2.难点：一元二次方程的解法，应用一元二次方程解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生自主探究，发现知识，掌握技能。

2.互动法：教师与学生互动，学生与学生互动，促进知识的传播和技能的掌握。

3.案例分析法：通过实际案例，让学生理解一元二次方程的应用。

六. 教学准备1.教材：苏科版数学九年级上册。

2.课件：一元二次方程的相关概念、解法、应用的PPT。

3.案例：选取一些实际问题，让学生进行分析。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习一元一次方程的知识，引导学生进入一元二次方程的学习。

2.呈现（15分钟）教师通过PPT呈现一元二次方程的相关概念、解法，让学生初步了解一元二次方程。

3.操练（20分钟）教师给出一些一元二次方程，让学生独立解答，通过解答过程中发现问题，引导学生掌握一元二次方程的解法。

用一元二次方程解决问题（2）课 型：新授课学习目标：1、进一步体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法。

2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力。

学习重点：列一元二次方程解“数字问题”和“平均增长率”学习过程：1、情境创设：某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？分析：如果设平均每月增长的百分率是x ，那么7月份的利润是 元，8月份的利润是 元。

解：2、【思考与探索】某企业成立3年来，累计向国家上缴利税208万元，其中第一年上缴40万元，求后两年上缴利税的年平均增长的百分率。

3、练习（1）、某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是( ) A 、9% B 、10％ C 、11％ D 、12％（2）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，下面所列方程正确的是 （ ）A ．23000(1)5000x +=B ．230005000x =C ．23000(1)5000x +=％D ．23000(1)3000(1)5000x x +++=（3）某工厂的年产量两年翻一番，求平均年增长率x 的方程为__________________。

（4）、某蔬菜交易市场2月份的蔬菜交易量是5000t ，4月份达到7200t,平均每月增长的百分率是多少？（5）某种服装原价为每件80元，经两次降价，现售价为每件51.2元，求平均每次降价的百分率。

（6）、某厂生产电视机，每台成本3000元，连续两次降低成本后，每台成本仅为1920元，问平均每次降低成本百分之几？（7）两个连续偶数的积是288，求这两个偶数。

（8）某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台，平均每年的增长率是多少？（9）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.2008年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元.①求A市投资“改水工程”的年平均增长率；②从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？。

九（上）§1.2 一元二次方程的解法（4）课型：新授课 时间 学习目标: 1经历探索求根公式的过程，培养抽象思维能力；2熟练地应用求根公式解一元二次方程；3 在探索和应用求根公式中，进一步认识特殊与一般的关系。

学习重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误学习难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程.一、学●查：1、用配方法解下列方程：（1）x x 10152=+ （2）0311232=+-x x2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？3、阅读p14“思考与探索”，回答（1）你有哪些收获：（2）你存在的问题： 二、展●点：问题1：用配方法解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 。

问题2：在研究问题1中，你能得出什么结论？一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax（1） 当_____________时，它的根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。

（2） 当_____________时，方程没有实数根。

例1、用公式法解下列方程（仿照课本p16例题解法，完成下列题目）（1）0432=--x x （2）322=-x x （3）02122=--y y板演练习：（1）0122=-+x x （2）6)6(=-x x （3）04322=-+-x x（4）055.02.12.02=+-x x （5）2x 2-7x+5＝0 （6） 2x 2-7x-18＝0三、悟●导：1、把关于x 的方程1)3)(12(2+=+-x x x 化成02=++c bx ax 的形式， =-ac b 42___ __ __， 方程的根是_________________。

2、关于x 的方程042=-+m x x 的一个根是25-，则=m _____________，方程的另一个根是___________。

苏科初中数学九年级上册《1.0第1章一元二次方程》教案(4)[推荐].doc苏科初中数学九年级上册《1.0第1章一元二次方程》教案(4)[推荐].doc一元二次方程综述课堂教学教案教材第一章第1-4节第1-2课时总16-17课时课题第一章一元二次方程复习课备课人【知识与技能】用概念的意义判断一个方程是否为一元二次方程。

理解一元二次方程的概教学念及一般形式目标【过程与方法】能确定未知数取值范围，能够列出简单的方程解决实际问题，从而体现建立方程模型刻画实际生活的这一思想。

【情感态度与价值观】培养学生观察、猜想、探究、归纳的习惯和能力，体验数学发现的乐趣教学重点一元二次方程的有关概念。

教学难点对一元二次方程的理解及实际生活中的应用。

.学前准你能画出本章知识结构框架吗？多媒体与展示台备板第一章一元二次方程复习课书一、本章知识结构框图二、本章知识点概括设三、典型例题辨析四、课堂小结计教学互助过程思考研讨环节学前准备1、相关概念小组（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），讨论并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2（2）一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)，2其中ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

2、降次――解一元二次方程（1）直接开平方法（2）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．（3）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．22其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax+bx+c=0，当s＝b－4ac≥0时，??b?b2?4ac2将a、b、c代入求根公式x=（b-4ac≥0）就得到方2a程的根．（4）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的44这种解决方案称为因式分解法。

这些步骤是：① 通过移动该项，将等式的右侧变为0；② 方程的左侧通过因子分解转化为两个主因子的乘积；③ 使每个因子等于0，得到两个一元线性方程组；④ 求解这两个一元二次方程，得到一元二次方程的解。

九年级数学上册第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法4教案新版苏科版一元二次方程的解法（4）教学目标【知识与能力】理解一元二次方程求根公式的推导过程.会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.【过程与方法】经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac ≥0.【情感态度价值观】感受数学的严谨性和数学结论的确定性.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心.教学重难点【教学重点】掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程.【教学难点】求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误. 教学过程活动一、知识回顾1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？2、用配方法解下例方程（1）02722=--x x （2）05422=+-x x活动二、自学自悟请尝试用配方法解一元二次方程：ax2＋bx ＋c = 0（a ≠0）示范： ax2＋bx ＋c ＝ 0x2＋a b x ＋a c＝ 0x2＋a b x ＝ －a cx2＋a bx ＋（a b 2 ）2 ＝－a c ＋（a b 2 ）2（ x ＋a b2 ）2 ＝ a ac b 442-x ＋a b2 ＝ ±a ac b 242-∴ x ＝a acb b 24 2-±-小结：一般地，对于一元二次方程ax2＋bx ＋c = 0（a ≠0）， 当________时，它的根是________。

这个公式叫做一元二次方程的_______，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做_________。

活动三、例题学习例、请你利用求根公式解下列方程：⑴ x2＋3x ＋2 = 0 ⑵ 2 x2－7x = 4解：（2）移项，得2 x2－7x － 4 ＝ 0∵ a ＝ 2，b ＝ -7 ，c ＝ -4ac b 42-＝（－7）2－4×2×（-4）＝81∴ x ＝2281 )7(⨯±--＝497±∴x 1＝4 x 2＝21活动四、知识梳理与小结1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。