数形结合法解决问题

浅谈“数形结合”在计算教学中的运用一、数形结合的意义数形结合的意义还在于激发学生的创造力和想象力。

通过将数学概念通过图形的方式进行呈现，可以让学生更加感受到数学的美感，从而激发他们的创造力和想象力，使得数学变得更加有趣和吸引人。

数形结合的意义在于帮助学生更好地理解数学概念，培养解决问题的能力，激发学生的创造力和想象力，从而提高数学教学的效果。

二、数形结合的运用方法数形结合的方法其实并不难，只要教师能够灵活运用和巧妙设计，就可以在日常的数学教学中进行运用。

以下是一些常见的数形结合的运用方法：1. 利用图形进行数学概念的呈现：在教学中，可以通过画图的方式将抽象的数学概念进行呈现，如利用圆、三角形、矩形等形状来呈现面积、周长等概念。

通过图形的方式呈现，可以帮助学生更加直观地理解概念，从而加深他们对数学知识的理解。

2. 利用图形进行问题的解析：在解决数学问题的过程中，可以通过画图的方式进行问题的解析，如解决几何问题时，可以通过画图的方式帮助学生更直观地理解问题，从而更容易解决问题。

3. 利用图形进行数学定理的证明：在学习数学定理时，可以通过图形的方式对定理进行呈现和证明，这可以帮助学生更加直观地理解定理，并且可以激发学生的创造力，从而更好地掌握数学知识。

三、数形结合在计算教学中的实际效果数形结合的方法运用在计算教学中，可以取得很好的实际效果。

数形结合可以帮助学生更加直观地理解计算概念，如加减乘除等，通过图形的方式呈现，可以让学生更加直观地理解这些概念，从而更容易掌握计算的方法和技巧。

数形结合还可以激发学生对计算的兴趣，由于计算问题通常都很枯燥，而通过数形结合的方法可以让学生更感受到计算的美感，从而提高他们对计算的兴趣，使得学习变得更有趣。

数形结合将数学与形结合起来解决问题数学和几何形状是两个看似截然不同的领域，但事实上它们之间存在着紧密的联系。

通过将数学与形状相结合，我们能够更好地解决一些实际问题。

本文将讨论数形结合的概念，并通过一些实例来说明它的应用。

一、数形结合的概念数形结合是指将数学和几何形状相结合，通过应用数学原理来解决与形状相关的问题。

数学是一门抽象的学科，通过符号和符号间的关系进行推导和计算；而几何形状则是具体的、可视化的，通过形状和空间的关系得出结论。

数形结合的理念是将抽象的数学概念和具体的图形形状相连接，通过建立模型、抽象问题和利用具体形状的特性来解决实际问题。

这种方法的优势在于能够借助图形的直观性来帮助我们理解和解决问题，同时也能够利用数学原理进行精确的计算和推导。

二、数形结合的应用1. 面积计算通过数形结合，我们可以利用几何形状的特性来计算各种形状的面积。

以正方形为例，我们可以通过数学公式A = a^2来计算一个正方形的面积，其中a代表正方形的边长。

同样地，通过数学公式A = πr^2，我们可以计算出一个圆的面积，其中r代表圆的半径。

通过数学公式的运用，我们可以更快、更准确地计算出各种形状的面积。

2. 图形构建数形结合还可以应用于图形的构建。

通过数学公式和几何原理，我们可以精确地画出各种形状的图形。

以角度为例，通过运用三角函数的概念，我们可以计算出任意角度的正弦、余弦和正切值，并通过这些数值来绘制各种角度的图形。

数学的准确性和形状的可视化相结合，使得图形的构建更加便捷和精确。

3. 几何推理数形结合还可以应用于几何推理。

通过将几何形状和数学原理相结合，我们可以进行严密的几何论证。

以平行四边形为例，我们可以通过运用数学原理证明其性质：对边平行、对角线相等。

通过这种推理，我们能够更好地理解几何形状的性质，并应用于解决更复杂的问题。

三、数形结合的意义数形结合的意义在于将抽象的数学概念与具体的形状相结合，帮助我们更好地理解和解决问题。

数形结合在实际问题中的应用案例数形结合在实际问题中的应用案例1. 引言数学和几何学是我们日常生活中不可或缺的一部分。

数形结合作为数学和几何学的交叉点，将抽象的数学概念和形状、图形相结合，可以帮助我们解决实际问题并深入理解数学的应用。

本文将通过几个应用案例，展示数形结合在实际问题中的重要性和价值。

2. 案例一：房屋设计假设你是一名建筑设计师，你的任务是设计一个舒适、实用的房子。

在设计过程中，数形结合起到了重要的作用。

你需要根据房屋的布局和尺寸计算出每个房间的面积和体积。

通过数学计算，你可以确定每个房间的大小和容量，以确保房屋满足居住者的需求。

在设计外观时，你可以使用数学原理和几何形状来确定房屋的外部结构和造型，例如使用三角形的石墙或圆形的阳台。

在室内设计中，你可以运用数学的比例和比例关系来布置家具和装饰品，以提高空间的利用率和美观度。

3. 案例二：汽车设计想象一下你是一名汽车设计师，你的目标是设计一辆外观时尚、性能出色的汽车。

在汽车设计中，数形结合同样发挥着重要作用。

你需要考虑汽车的整体比例和尺寸，以确保汽车在外观上比例协调。

通过使用几何图形和数学原理，你可以设计出具有良好比例的车身，使其在视觉上更加吸引人。

利用数学模型和几何原理，你可以优化汽车的空气动力学性能，使其在行驶过程中减少阻力和能耗。

在车内设计中，你可以运用数学和几何概念来确定座椅的角度、仪表盘的位置以及按钮的布局，以提高乘坐舒适性和人机交互体验。

4. 案例三：城市规划城市规划是一个涉及复杂的多维问题，数形结合在其中扮演着重要的角色。

城市规划师需要考虑人口数量、土地利用、交通流量等诸多因素。

数学和几何概念可以帮助城市规划师评估和优化城市的布局和形状。

在确定城市区域的大小和规模时，可以使用数学模型和几何原理来计算和优化土地的使用效率。

在交通规划中，数形结合可以帮助规划师设计合理的道路网络和交通流动，以提高城市的通行效率和交通安全性。

数学和几何概念还可以应用于建筑物的设计和风景区的规划，以创造出美观、宜居的城市环境。

数形结合具体用法
1. 你知道吗，数形结合可以用来解决几何问题呀！比如说计算图形的面积，就像我们要求一个不规则四边形的面积，把它放到坐标系里，通过坐标来计算，多神奇啊！
2. 哎呀呀，在函数问题里数形结合超好用的呢！比如研究函数的单调性和极值，画个图出来不就一目了然了嘛，这可比干瞪着眼看式子清楚多啦！
3. 嘿，你想想看，当你面对一堆数字不知道该怎么分析的时候，数形结合不就派上用场啦！像分析统计数据，把它变成图表，一下子就好理解了，是不是很厉害？
4. 哇塞，在解方程组的时候，数形结合也能大显身手呀！好比直线和曲线的交点，这不就是方程组的解嘛，这种感觉是不是超棒？
5. 哈哈，遇到行程问题的时候可别忘了数形结合哦！把路程和时间用图形表示出来，那进展情况不就清清楚楚啦，多直观呀！
6. 哎哟喂，在研究概率问题的时候，数形结合也是个好家伙呢！用图形来表示各种概率情况，一下子就抓住重点啦，妙不妙？
7. 哇，当要比较大小的时候，数形结合也能来帮忙呀！把数字转化成图形上的位置，谁大谁小一眼便知，太有意思了吧！
8. 嘿嘿，在解决复杂的数学问题时，数形结合就像是一把钥匙呀！比如一个让人头疼的不等式，通过图形来理解，瞬间就打开思路了，牛不牛？
9. 总之呢，数形结合的用处简直太多啦！它就像我们数学学习中的得力助手，能帮我们轻松解决各种难题，让我们的学习变得更加有趣和高效，一定要好好利用它呀！。

巧用数形结合，助力问题解决
数形结合是一种将数学问题和图形问题相结合的方法，通过将数学问题转化成图形问题，可以更好地理解和解决问题。

下面将通过几个例子来说明如何巧用数形结合来解决问题。

例1：矩形面积
问题：一个矩形的长度是5厘米，宽度是3厘米，求矩形的面积。

解法：我们可以将矩形的长度和宽度都用线段表示，在纸上画出一个5厘米长的线段
和一个3厘米长的线段，并将它们相连，就可以得到一个矩形。

然后使用尺子或直尺测量
该矩形的长度和宽度，即可得到面积为15平方厘米。

例2：圆的周长和面积
问题：一个半径为4厘米的圆，求圆的周长和面积。

解法：我们可以使用一个图钉和一根绳子来画圆。

首先将图钉固定在纸上，然后将绳
子绕在图钉上，再将绳子的另一端拉直，并用铅笔固定住。

然后用尺子或直尺测量绳子的
长度，这个长度就是圆的周长。

将测量的周长值记为L=8π厘米。

然后使用公式C=2πr，将半径的数值代入公式，即C=2π×4=8π厘米。

同样，我们可以使用尺子或直尺测量绳子的宽度，这个长度就是圆的直径，将直径的数值代入公式A=πr²，即A=π×2²=4π平方
厘米。

通过巧用数形结合的方法，我们可以更好地理解和解决问题。

无论是几何问题还是代
数问题，数形结合都能提供一种可视化的方法，将抽象的数学问题转化成具体的图形问题，使问题更加直观，更容易解决。

通过数形结合，我们还可以培养对图形的观察和分析能力，提升数学思维的综合性和创造性。

所以，巧用数形结合，可以助力问题的解决。

巧用数形结合，助力问题解决数形结合，是指通过数学与几何的结合，将问题转化为图形形式来进行解决的方法。

巧用数形结合能够帮助我们更好地理解问题，并找到解决问题的有效路径。

下面将介绍一些常见的数形结合的应用。

一、几何平均数与代数平均数的关系几何平均数与代数平均数是两个重要的数学概念，在实际问题中经常会用到。

考虑如下问题：甲乙两人分别以每小时50公里的速度和每小时70公里的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行。

问他们相遇的位置距离出发地A多远？我们可以将问题转化为几何形式：假设他们相遇的位置距离出发地A为x公里，则相遇的时间为x/(50+70)小时。

甲乙两人移动的距离分别是50(x/(50+70))和70(x/(50+70))。

根据几何平均数与代数平均数的关系，可得到如下等式：√[50(x/(50+70)) * 70(x/(50+70))] = x通过求解该方程可以得到相遇的位置距离出发地A的距离。

二、利用相似三角形解决问题相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。

相似三角形有几个重要的性质，如对应角相等，对应边成比例等。

利用相似三角形可以解决很多几何问题。

求解下列问题：甲乙两杆分别高5米和2米，两杆的投影重合在地面上，甲杆与地面的倾角为30°，乙杆与地面的倾角为60°。

求甲乙两杆的距离。

我们可以建立一个图形如下：甲乙两杆的顶点P和地面的交点为O，连接PO。

根据正弦定理可得到：sin30°/5 = sin60°/d通过求解上述等式可以得到甲乙两杆的距离。

三、面积与比例的关系面积与比例的关系在几何问题中经常被应用。

用面积比例来求解如下问题：一个正方形和一个矩形，它们的边长分别是a和b，以及一个等周长的长方形，其周长与正方形相等，求这三个图形的面积之和。

我们可以将问题转化为数学形式：正方形的面积是a²，矩形的面积是ab，等周长的长方形的周长是2(a+b)，设其长和宽分别是n和m，则可得到如下等式：n + m = 2(a+b)通过求解该方程组可以求得n和m的值，进而计算出三个图形的面积之和。

数形结合作用
数形结合是一种重要的数学思想方法，它将数学问题的数量关系和几何图形结合起来，通过相互转化和利用，使问题得以简化和解决。

数形结合的作用主要体现在以下几个方面：
简化问题：通过将数量关系和几何图形结合起来，可以将一些复杂的数学问题转化为直观的图形问题，从而简化问题的求解过程。

加深理解：数形结合有助于深入理解数学概念和原理，通过直观的图形展示，可以更加清晰地理解数学问题的本质和内涵。

拓展思维：数形结合能够拓展思维，激发创新灵感。

通过将数量关系和几何图形相互转化，可以开拓解题思路，发现新的解题方法。

提高解题效率：数形结合能够提高解题效率，减少计算量。

通过直观的图形展示，可以迅速找到问题的关键所在，从而快速求解。

总之，数形结合在数学学习和研究中具有重要的作用，它能够将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，简化问题求解过程，加深理解，拓展思维，提高解题效率。

因此，在数学学习和研究中，应该注重数形结合的思想方法的应用。

数形结合方法在小学数学教学中的应用
数形结合方法是一种通过将数学问题与几何图形相结合来解决问题的方法。

它能够帮助学生更好地理解和掌握数学概念，培养学生的数学思维能力和几何直观能力。

在小学数学教学中，数形结合方法有以下几个方面的应用：
1. 平面图形的面积和周长计算：通过将平面图形分解为几个简单的几何图形，然后计算每个图形的面积或周长，最后将它们相加，可以求得整个图形的面积或周长。

这种方法能够帮助学生直观地理解面积和周长的概念，并培养学生的计算能力。

对于一个由长方形和三角形组成的图形，可以先计算长方形和三角形的面积，然后将它们相加得到整个图形的面积。

2. 分数与几何图形的关系：通过将分数与几何图形相结合，可以帮助学生更好地理解分数的概念和运算。

可以让学生将一个圆形分成若干部分，每一部分表示一个分数，然后通过比较不同分数所占的部分的大小来比较分数的大小。

这种方法能够帮助学生从几何的角度理解分数的大小关系和运算规律。

3. 长度、容量和质量单位的换算：通过将单位和几何图形相结合，可以帮助学生直观地理解不同单位之间的换算关系。

可以通过一个正方形来表示1平方米，然后将这个正方形分成若干小正方形，每个小正方形表示1平方分米，这样就可以帮助学生理解1平方米等于100平方分米。

类似地，可以用一个立方体来表示1立方米，然后将这个立方体分成若干小立方体，每个小立方体表示1立方分米，这样可以帮助学生理解1立方米等于1000立方分米。

通过这种数形结合的方法，学生可以更好地理解不同单位之间的转换关系。

数形结合方法在高中数学教学中的应用数形结合方法是指通过将数学问题转化为几何图形的方式来解决问题的方法。

在高中数学教学中，数形结合方法被广泛应用于解决各类数学问题，不仅能够帮助学生理解抽象的数学概念，还可以培养学生的几何思维和直观感性思维能力。

下面就是数形结合方法在高中数学教学中的一些典型应用：1. 几何图形的面积和体积计算：数形结合方法可以帮助学生将抽象的计算问题转化为具体的几何图形问题，从而更加直观地计算图形的面积和体积。

通过将一个复杂的图形分解为多个简单的几何图形，可以使用面积的叠加或减法来计算整个图形的面积，同时通过将一个立体体积分解为多个简单的几何体积，可以使用体积的叠加或减法来计算整个立体体积。

2. 几何图形的相似比例关系：数形结合方法可以帮助学生直观地理解几何图形的相似比例关系。

在相似三角形的问题中，学生可以通过构造相似三角形，并比较它们的边长和角度来确定它们的相似比例关系。

通过数形结合方法，学生可以更好地理解抽象的相似比例关系，并能够应用这些比例关系解决相关的问题。

3. 解决变量问题：数形结合方法可以帮助学生解决含有变量的数学问题。

在解决二次函数的最值问题时，可以通过将函数图像与坐标系中的几何图形相结合，找到函数图像与几何图形的最值点的位置关系，从而解决问题。

通过数形结合方法，学生能够更直观地理解变量的含义，并能够将变量与几何图形进行关联。

4. 证明几何问题：数形结合方法可以帮助学生进行几何问题的证明。

在证明平行线定理时，可以通过将平行线与直线上的任意两点相连，构成一组相似三角形，并利用相似三角形的相似比例关系来证明平行线定理。

通过数形结合方法，学生能够建立几何图形与数学公式之间的联系，并能够进行推理和证明。

『数形结合』在解决问题中的应用
『数形结合』是一种解决问题的方法，它将数学和几何相结合，通过使用图形和图像来解决数学问题。

数形结合在解决问题中的应用非常广泛。

它可以用于解决各种几何和代数问题，包括面积、体积、周长、相似、合并等。

在解决面积问题中，数形结合方法可以通过绘制图形来计算图形的面积。

例如，可以通过绘制一个矩形来计算一个矩形的面积，通过绘制一个圆形来计算一个圆的面积。

在解决体积问题中，数形结合方法可以通过绘制图形来计算物体的体积。

例如，可以通过绘制一个长方体来计算长方体的体积，通过绘制一个球体来计算球体的体积。

在解决周长问题中，数形结合方法可以通过绘制图形来计算图形的周长。

例如，可以通过绘制一个正方形来计算正方形的周长，通过绘制一个圆形来计算圆形的周长。

在解决相似问题中，数形结合方法可以通过绘制图形来判断图形之间是否相似。

例如，可以通过绘制两个三角形并测量其边长和角度来判断它们是否相似。

在解决合并问题中，数形结合方法可以通过绘制图形来合并几何图形。

例如，可以通过绘制两个矩形并计算它们的面积来合并它们。

总之，数形结合方法在解决问题中非常有用，尤其是在解决几何和代数问题时。

它可以通过利用图形和图像来帮助我们更好地理解和解决数学问题。

利用“数形结合”有效解决生活化数学问题
“数形结合”是指将数学与几何形状、图像相结合，通过观察和分析几何形状、图像
中的数学特征，找到解决问题的方法。

这种方法在解决实际生活中的数学问题中很有效，
可以帮助我们更直观地理解和解决问题。

通过“数形结合”，我们可以更好地理解和解决一些几何形状或图像相关的数学问题。

在解决面积和周长问题时，我们可以通过观察图形的形状，找到与之相关的数学特征，从
而解决问题。

求一个不规则图形的面积和周长，我们可以将其分解为几个简单的几何形状，然后分别计算它们的面积和周长，最后将结果相加或相减，得到整个图形的面积和周长。

“数形结合”还可以帮助我们更好地理解和解决一些概率和统计相关的问题。

在解决
概率问题时，我们可以通过观察和分析几何形状或图像中的数学特征，确定事件发生的可
能性，从而解决问题。

求一枚硬币抛掷朝上的可能性，我们可以将硬币用正反两种颜色的
球体表示出来，然后观察和分析球体的颜色比例，得出可能性。

数学篇通过观察图形来探究数量关系，或利用数量关系来描述图形特征，从而使复杂的问题简单化，这种思想方法称为数形结合思想.用数形结合的思想解题可分为两类：①利用几何图形的直观性表示数的问题，它常常借用数轴、直角坐标系、函数图象等；②运用数量关系来研究几何图形问题，常常要建立方程（组）或建立函数关系等.下面简单介绍“数形结合”巧解初中数学题的几种情形.一、数形结合巧解图形变化规律问题初中阶段的图形变化规律题中往往涉及数字的变化，图形关系在发生规律性的变化时，数量关系也会随之出现规律性的变化.解题时我们应从分析图形结构的形成过程入手，从简单到复杂进行归纳猜想，从而获得隐含的数字规律，并用代数式描述出来，进而解答相关问题.例1图1是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴_________根.图1分析：本题虽然是图形问题，但依然可以采用数形结合思想来解.可以将火柴棒摆成的金鱼“形”转化为火柴棒的“数”量.解：1条金鱼，有8根火柴；2条金鱼，有14根火柴，比1条金鱼多6根；3条金鱼，有20根火柴，比2条金鱼多6根，比1条金鱼多2×6根；……n 条金鱼，有（）根火柴，比（n -1）条金鱼多6根，比（n -2）条金鱼多2×6根，……，比1条金鱼多（n -1）×6根；这样，利用递推的方法就可以推算出第n 条金鱼需要8+6×（n -1）=6n +2根.点评：本题主要考查图形的变化规律.解答此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点.二、数形结合巧解二元一次方程组问题二元一次方程组和一次函数的结合很好地诠释了“数”与“形”的结合，我们可以利用两直线的交点坐标确定方程组的解，也可以利用方程组的解确定两直线的交点坐标.在利用一次函数图象解二元一次方程组时，两函数图象的交点的横坐标是x 的值，纵坐标是y 的值，正确找出交点坐标是解题的关键．例2用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图2所示），则所解的二元一次方程组是（）图2A.{x +y -2=03x -2y -1=0 B.{2x -y -1=03x -2y -1=0C.{2x -y -1=03x +2y -5=0D.{x +y -2=02x -y -1=0数形结合巧解题江苏省启东市南阳中学黄烨华学思导引27数学篇分析：题目已经给出方程组的图象，我们根据图象可以明确两条直线的斜率，进而直接将图象中两直线的交点坐标P带入方程即可以验证准确与否.解：由图可知，两直线都过P（1，1）点，其中一条直线斜率为k=-1，另一条直线斜率为k=2.对比选项，只有选项D满足条件，其中直线x+y-2=0的斜率为k=-1，直线2x-y-1=0的斜率为k=2，而且都满足过P（1，1）.答案为D项.评注：通过图象求解二元一次方程组问题，除了关注交点坐标外，还要看图象能提供哪些其他信息，同时要关注选项，对比出选项的异同点.三、数形结合巧解二次函数问题二次函数蕴含了丰富的数形结合思想，在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.因此，在解答二次函数问题时，要把图形的性质特征与数量关系相互转化，通过观察图象分析图形与数量之间的关系，通过分析数量关系的变化判断函数图象的运动轨迹，从而求解.例3图3为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤2a-b=0；⑥b2=4ac＞0.结论一定成立的是（）.图3A．①②④⑥B．①②③⑤C．②③④⑤⑥D．①②③④⑤⑥分析：此题考查了二次函数的图象.我们可以借助于二次函数的图象和性质特征完成解题.解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴ac＜0，∴①正确；∵图象与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的根是x1=-1，x2=3，∴②正确；把x=1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c＜0，∴③错误；根据图象可知：当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；∵-b2a=1，∴2a=-b，∴2a+b=0，不是2a-b=0，∴⑤错误；∵图象和x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴⑥正确；故选A项．评注：“数形结合”要牢牢地抓住“数”的性质和“形”的特征，本题考查了同学们对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了观察图象的能力.同学们一定要重视对定义、概念以及原理的学习，这些都是数形结合的根源.四、数形结合巧解统计问题解答统计问题的重点在于收集数据、分析数据、将数据用图形的方式表达出来，这充分显示了数形结合思想方法的灵活运用.条形统计图、扇形统计图和折线统计图是初中数学统计学中的重点.如果是关于比重的问题，可以使用扇形统计图.如果是关于数据集中分析的问题，可以使用条形统计图.如果是关于数据变化规律问题，可以使用折线统计学思导引28数学篇图.利用统计图简洁明了的特点展示数据，可以让我们对结果或者规律一目了然.例4某自行车公司调查阳光中学的学生对其产品的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷，结果分“非常了解”“比较了解”“一般了解”“不了解”四种类型，分别记为A 、B 、C 、D.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.图4（1）本次问卷共随机调查了名学生，扇形统计图中m =．（2）请根据数据信息补全条形统计图．（3）若该校有1000名学生，估计选择“非常了解”“比较了解”共约有多少人？分析：（1）由A 的数据即可得出调查的人数，得出m =1650×100%=32；（2）求出C 的人数即可；（3）由1000×（16%+40%），计算即可．解：（1）8÷16%=50（人），m =1650×100%=32故答案为：50，32；（2）50×40%=20（人），补全条形统计图如图5所示：图5（3）1000×（16%+40%）=560（人）；答：估计选择“非常了解”“比较了解”共约有560人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.总之，数形结合思想在解答各类数学问题时都有用武之地.同学们要注意结合题目信息以及知识点之间的联系，把握“数”的性质与“形”的特征，充分挖掘隐含条件，灵活实现“以形助数”或“以数解形”，进而准确、快捷、高效地解题.上期《<二次根式>拓展精练》参考答案1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.0；7.30；8.4；9.-1；10.解：（1）当d ＝20m ，f ＝1.2时，v ＝1620×1.2=326（km/h ），答：肇事汽车的速度是326km/h ；（2）v ＝326≈78＞70，∴肇事汽车已经超速．11.解：（1）13；75（2）①3153×151515；②1125-3=11×(25+3)(25-3)×(25+3)=25+3；（3⋯+22023+2021=3-1+5-3+7-5+⋯+2023-2021=2023-1．学思导引29。

（尖子生培优） “数形结合”解决队列问题三年级数学思维拓展在排队问题中，指定的这一个人既不能遗漏，也不能重复数，有些情况要加1，有些情况要减1。

“数形结合”方法可以直观表示出队列及方阵问题的关系，有助于问题的解决。

1．全班35名学生排成一行，从左边数，小红是第20位，从右边数，小刚是第2l 位．问小红与小刚中间隔着多少名同学?2．在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？3．一队战士排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这方阵共有多少人？ 4．学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?5．12个小朋友站成一排，从左往右数，强强排在第8个，从右往左数，航航也排在第8个，强强和航航两人之间有多少人？6．为了准备学校的集体舞比赛，四年级的学生在排队形。

如果排成3层空心的方阵则多10人，如果在中间空心的部分接着增加一层又少6人。

问一共有多少个学生参加排练呢？7．用棋子摆成方阵，恰为每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应放多少粒？ 8．大庆路小学启智楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？这个方阵花坛共有多少盆花？9．同学们排成一个三层的空心方阵．已知最内层每边有6人，这个方阵共有多少人？10．在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共多少人？11．同学们排成一个方阵做早操，每行9人，这个方阵一共有多少人？12．同学们排练团体操，排成一个方阵，中间的实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最外圈两层又是女同学．已知方阵中男同学是108人，问女同学是多少人？13．有一群学生排成三层空心方阵，多9人，如空心部分增加两层，又少15人，问有学生多少人？ 14．学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排，请问：（1）小悦和同班女生站成一排，她发现自己的左侧有7人，右侧有8人，女生一共有多少人？能力巩固提升（2）冬冬和同班男生站成一排，他发现自己是左起第7个，右起第9个，男生一共有多少人？（3）阿奇也在男生队伍里，他发现自己是左起第4个，他的右侧应该有几人？他应该是右起第几人？15．小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了40个棋子，求最外层每边有多少棋子？如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子？16．育英小学四年级的同学排成一个实心方阵队列，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大的实心方阵，则缺少26人．育英小学四年级有多少人？17．一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？18．有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵?19．学校进行课间操比赛，高年级同学恰好可以排成一个实心方阵，可学校操场较小，只好横竖各减少一排，这样就减少了23个人，问这个学校高年级有多少个学生？20．解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？综合拔高拓展21．某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共17人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现共有多少战士？22．晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，外层每边有14个棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？23．校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为36人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？24．小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计队伍中人数大概在30至50人之间，你能告诉他到底有多少人吗？25．节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外层的一层每边摆了12盆花，一共3层，一共用去多少盆花？26．三年级学生排成一个方阵进行体操表演，最外一层的人数为32人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？27．将一个每边16枚棋子的实心方阵变成一个四层的空心方阵，此空心方阵的最外层每边有多少棋子？28．二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？29．正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米。

巧用数形结合，助力问题解决数形结合指的是在解决数学问题时，利用几何图形的形状、位置、大小等特征与数学公式进行结合和利用。

这种方法很大程度上可以使问题解决变得更加简单，同时也可以提高我们的数学思维能力和创新能力。

接下来就让我们看几个例子来理解一下数形结合的具体应用。

例1、圆的面积和周长问题描述：一个圆的半径为r，求它的面积和周长。

解题思路：我们可以利用数学公式直接求解。

圆的面积公式为：S = πr² ，圆的周长公式为：C = 2πr 。

但是如果我们将圆形的面积和周长与具体图形相结合，就会更容易理解和记住这些公式。

比如，我们可以将一个圆分成许多小的扇形，然后利用这些扇形构成一个圆柱体。

这时圆柱体的表面积就是圆形的周长乘以高度，也就是2πrh（h表示圆柱体高度）。

同时，圆柱体的底面积就是圆形的面积πr²。

这种结合几何图形的方法，可以使我们更加深刻地理解圆形的面积和周长的概念。

例2、三角形的面积和角度问题描述：已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。

求三角形的面积和角度。

解题思路：我们可以首先根据三角形的顶点坐标求出三条边的长度，然后再根据海伦公式求出三角形的面积。

但如果我们将具体的三角形形状与数学公式进行结合，就可以运用更加深层次的数学知识来解决问题。

比如，我们可以将三角形ABC分别作为直角三角形和锐角三角形看待，然后再利用三角函数（正弦、余弦和正切）来求解三角形的边长和角度。

这可以更加直观地理解三角函数的概念，并且可以使我们更加快速地求解三角形的面积和角度。

总之，数形结合是一种相当有效的求解数学问题的方法。

在实际运用中，我们可以根据具体情况灵活地运用这种方法，使问题解决变得更加简单，同时也更能够理解数学知识的内涵和意义。

一、利用数形结合思想解决集合的问题．1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．如：例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n 表示集合的元素，则有：即：∴，即同时参加数理化小组的有1人．2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题．例2、已知集合⑴若，求的范围.⑵若，求的范围．分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有：，这时的值不可能存在．要使，当a >0时集合A应该覆盖集合B，应有成立．.当时，，显然成立.故时的取值范围为：二.利用数形结合思想解决方程和不等式问题．1.利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题．通过的相互转化，利用函数y=f(x)的图象直观解决问题．如：例3、如果方程的两个实根在方程的两实根之间，试求与应满足的关系式．分析：我们可联想对应的二次函数，的草图．这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图)．要使方程的两实根在方程的两实根之间，则对应的函数图像与轴的交点应在函数图像与轴的交点之内，它等价于抛物线的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线的顶点纵坐标．由配方方法可知与的顶点分别为：．故可求出与应满足的关系式为：．2.利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集．求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集．如例4、解不等式．分析：我们可先联想对应的二次函数的图像．从解得知该抛物线与轴交点横坐标为-2，3，当取交点两侧的值时，即时，．即．故可得不等式的解集为：．三、利用数形结合思想解决比较大小问题．1.构造函数利用函数图像比较大小一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较．如：例5、试判断三个数间的大小．分析：这三个数我们可以看成三个函数：在时，所对应的函数值．在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当时，所对应的三个点的位置，从而可得出结论：．2．利用两点间距离公式或斜率公式模型构造辅助图形，找出代数问题的几何背景，简便解答某些代数综合题．求证：（a与c、b与d不同时相等）分析：考察不等号两边特点为，其形式类同平面上两点间距离公式．在平面直角坐标系中设A（a，b），B(c，d)，O(0，0).如图｜AB｜＝，｜AO｜＝，｜BO｜＝，当A、B、O三点不共线时，｜AB｜＜｜AO｜+｜BO｜.当A、B、O三点共线，且A、B在O点同侧时，｜AB｜＜｜AO｜+｜BO｜.当A、B、O三点共线，且A、B在O点异侧时，或A、B之一与原点O重合时，｜AB｜＝｜AO｜+｜BO｜．综上可证.数形结合是中学数学中重要基本思想方法之一，华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞. 数缺形时少直观，形少数时难入微.”在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化．。

数形结合:就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。

数"和"形"是数学中两个最基本的概念,它们既是对立的,又是统一的,每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状,大小,位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的性质,解决几何的问题.实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.作为最基本的数学思想之一的数形结合思想在新课程中又是怎样体现的呢？下面我结合它在以下几方面的运用浅谈一下。

一、数与代数中的数形结合这部分内容与原教学大纲比，数形结合的内容有很大改变和加强。

它重视渗透和揭示基本的数学思想方法，加强数学内部的联系及其相关学科的联系，如提前安排平面直角坐标系，用坐标的方法处理更多的内容包括二元一次方程组，平移变换，对称变换，函数等。

又如，它改变了“先集中出方程，后集中出函数”的做法，而是按照一次和二次的数量关系，使方程和函数交替出现，分层递进，螺旋上升。

在数与代数的教学里，我认为，应该抓住实数与树轴上的点一一对应的关系，有序实数对与坐标平面上的点的一一对应关系，从数形结合的角度出发，借助数轴处理好相反数和绝对值的意义，有理数大小的比较，有理数的分类，有理数的加法运算，不等式的解集在数轴上的表示等。

教师要赋予这些系统内容新的活力，采用符合课标理念的教法，在吃透新课程标准和教材的基础上，让学生经历试验、探索的过程，体验如何用数形结合思想分析和解决，培养学生学习和应用的能力，从而激发其学习数学的原动力。

运用数形结合思想巧解高中数学题例析例题1：已知直角三角形ABC中，\angle B=90^\circ, AB=3, BC=4.过点B画高BD交AC于点D，求\bigtriangleup ABD的面积。

解析：在解决这个问题时，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。

我们可以通过勾股定理知道AC=5。

然后我们可以通过计算直角三角形ABC的面积，S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6。

接着，我们可以通过计算直角三角形ABC在AC上的高BD，可以用\frac{1}{2}AB\times BC=6可以得到BD=1.5。

接下来，我们可以计算\bigtriangleup ABD的面积，S_{\bigtriangleup ABD}=\frac{1}{2}\times 3\times 1.5=2.25。

\bigtriangleup ABD的面积为2.25。

通过这个例题我们可以看到，通过数形结合的思想，我们可以用较为简洁的步骤来解决这个问题，使得我们更清晰地理解题目，找到更加直观的解法。

例题2：已知f(x)=x^2+bx+c是一个以x为自变量的二次函数，且f(2)+f(3)=26,f(4)=19，求b,c的值。

解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。

我们可以通过函数值的计算得到f(2)=4+2b+c，f(3)=9+3b+c，f(4)=16+4b+c。

由f(2)+f(3)=26可得13+5b+2c=26，所以5b+2c=13。

由f(4)=19可得16+4b+c=19，所以4b+c=3。

通过解这个方程组可以得到b=5,c=3。

例题3：已知椭圆的离心率为\frac{1}{2}，长轴的长为8，求其短轴的长。

解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。

椭圆的离心率定义为e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}，其中a为长轴的长，b为短轴的长。