高中数学第1章1.2第2课时导数公式表及数学软件的应用课件新人教B选修22

1．2.1 常数函数与幂函数的导数1．2.2 导数公式表及数学软件的应用明目标、知重点 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．几个常用函数的导数原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x2.原函数导函数y ＝c y ′＝0 y ＝x n (n ∈N ＋)y ′＝nx n －1 y ＝x μ(x >0，μ≠0且μ∈Q )y ′＝μx μ－1 y ＝sin x y ′＝cos_x y ＝cos x y ′＝－sin_x y ＝a x (a >0，a ≠1)y ′＝a x ln_a y ＝e xy ′＝e x y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)y ′＝1x ln ay ＝ln xy ′＝1x[情境导学]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题． 探究点一 几个常用函数的导数思考1 类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义法求函数y ＝f (x )的导函数？利用定义求下列常用函数的导数： ①y ＝c ，②y ＝x ，③y ＝x 2，④y ＝1x，⑤y ＝x .答 (1)计算ΔyΔx，并化简； (2)观察当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值； (3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导函数． ①y ′＝0，②y ′＝1，③y ′＝2x ，④y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝ lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x x ＋Δx ＝－1x2(其它类同)，⑤y ′＝12x.思考2 在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数．(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3)函数y ＝kx (k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？答 函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象如图所示，导数分别为y ′＝2，y ′＝3，y ′＝4.(1)从图象上看，函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的导数分别表示这三条直线的斜率． (2)在这三个函数中，y ＝4x 增加得最快，y ＝2x 增加得最慢．(3)函数y ＝kx (k >0)增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加得越快，k 越小，函数增加得越慢．函数y ＝kx (k <0)减少的快慢与|k |有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k |越大，函数减少得越快，|k |越小，函数减少得越慢．思考3 画出函数y ＝1x的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程．答 函数y ＝1x 的图象如图所示，结合函数图象及其导数y ′＝－1x2发现，当x <0时，随着x 的增加，函数y ＝1x减少得越来越快；当x >0时，随着x 的增加，函数减少得越来越慢．点(1,1)处切线的斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y ＝－x ＋2. 探究点二 基本初等函数的导数公式思考 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度． 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x)′＝5xln 5；(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝(4x 3)′＝(34x )′＝1434x -＝344x；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 反思与感悟 对于教材中出现的基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin π3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，然后利用公式求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝(12)x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝(12)x ln 12＝－(12)xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝1232x ；(4)y ′＝1x ln13＝－1x ln 3. 例2 判断下列计算是否正确．求y ＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：y ′|x ＝π3＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π3′＝－sin π3＝－32. 解 错误．应为y ′＝－sin x ， ∴y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.反思与感悟 函数f (x )在点x 0处的导数等于f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x 0代入导函数求解，不能先代入后求导．跟踪训练2 求函数f (x )＝ln x 在x ＝1处的导数． 解 f ′(x )＝(ln x )′＝1x，∴f ′(1)＝1，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为1. 探究点三 导数公式的综合应用例3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧¼AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大． 解 设P (x 0，y 0)为切点，过点P 与AB 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2， ∴x 0＝1，y 0 ＝1. 故可得P (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧¼AOB上的点，使△ABP的面积最大．反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程．解由题意知：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时，y′取最小值为3，即最小的斜率为3.此时切点坐标为(－1，－14)．∴斜率最小的切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.1．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若y＝1x2，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3. 其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；②y＝3x＝13x，则y′＝13·23x ≠133x；③y＝1x2＝x－2，则y′＝－2x－3；④由f(x)＝3x，知f′(x)＝3，∴f′(1)＝3.∴①③④正确．2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ， ∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴αl ∈[0，π4]∪[3π4，π)． 4．曲线y ＝e x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.[呈重点、现规律]1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．。

高中数学 第一章 导数及其应用本章整合 新人教B 版选修2-2知识网络专题探究专题一 导数的几何意义的应用1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝tan α＝f ′(x 0)．2．利用导数求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程时要注意首先判断点P 是否在曲线上，若点P 在曲线上，则切线斜率即为f ′(x 0)，切线方程易得；若点P 不是曲线上的点，则应首先设出切点Q (x 1，y 1)，则切线斜率为f ′(x 1)，再结合k PQ ＝f ′(x 1)以及y 1＝f (x 1)进行求解．【例1】 已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4解析：由题意可知f ′(x )＝1212x-，g ′(x )＝a x ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14，得12×1214-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝a14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．答案：A【例2】 已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x －a )相切，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2C ．－1D ．－2解析：设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x －a )相切的切点为(x 0，y 0)， 则y 0＝x 0＋1且y 0＝ln(x 0－a )． 又∵y ′＝1x －a， ∴y ′|x ＝x 0＝1x 0－a＝1，即x 0－a ＝1，故x 0＝a ＋1， 所以a ＋1＋1＝ln(a ＋1－a )， 解得a ＝－2. 答案：D专题二 利用导数研究函数的单调性 1．求函数单调区间的步骤如下： (1)确定f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应区间上是增函数；当f ′(x )＜0时f (x )在相应区间上是减函数．2．已知f (x )在区间I 上单调递增(递减)，等价于f ′(x )≥0(≤0)在区间I 上恒成立，由此可根据不等式恒成立求得函数解析式中所含参数的取值范围．3．在利用导数的符号判断函数的单调性的解题过程中，只能在函数的定义域内通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间．解单调性的题目时要注意判断端点能否取到．【例3】 已知函数f (x )＝x 2－4x ＋(2－a )ln x ，a ∈R . (1)当a ＝8时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在[2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围； (3)若f (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝8时，f (x )＝x 2－4x －6ln x ， f ′(x )＝2x －4－6x ＝2x 2－4x －6x，令f ′(x )＞0得x ＞3；令f ′(x )＜0得0＜x ＜3，所以f (x )的增区间是(3，＋∞)，减区间是(0,3)．(2)由题意知f ′(x )＝2x －4＋2－a x≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2－4x ＋2.令g (x )＝2x 2－4x ＋2＝2(x －1)2，则g (x )在[2，＋∞)上的最小值为g (2)＝2.所以a ≤2. (3)依题意f ′(x )＝2x －4＋2－ax＜0在(0，＋∞)上有解，即2x 2－4x ＋2－a ＜0在(0，＋∞)上有解， 因此必有Δ＝16－8(2－a )＞0，即a ＞0. 专题三 利用导数研究函数的极值与最值 1．求可导函数f (x )极值的步骤 (1)求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝f (x )在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数f (x )在这个根处取得极小值．2．函数的最大值与最小值设y ＝f (x )是定义在区间[a ，b ]上的函数，y ＝f (x )在(a ，b )内有导数，求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值，可分两步进行：(1)求y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将y ＝f (x )在各极值点的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．3．利用函数的导数求极值和最值主要有两类题型：一类是给出具体的函数，直接利用求极值或最值的步骤进行求解．另一类是告诉极值或最值，求参数的值．【例4】 已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求f (x )的单调区间和极大值；(2)求证：对任意x 1，x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|＜4恒成立． (1)解：由奇函数的定义有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ， 即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ， ∴d ＝0.因此f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c .由条件f (1)＝－2为f (x )的极值可知，必有f ′(1)＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.因此f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，－1)上是增函数； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(－1,1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在x ＝－1处取得极大值，极大值为f (－1)＝2. (2)证明：由(1)知f (x )＝x 3－3x (x ∈[－1,1])是减函数， 且f (x )在[－1,1]上的最大值M ＝f (－1)＝2， 最小值m ＝f (1)＝－2， ∴对任意的x 1，x 2∈(－1,1)，恒有|f (x 1)－f (x 2)|＜M －m ＝2－(－2)＝4. 专题四 利用导数研究方程、不等式综合问题用导数解决不等式问题主要是指运用导数求解不等式、比较大小、证明不等式等；用导数研究方程问题，主要是指根据方程构造函数，然后利用导数，研究得到函数的单调性、极值、最值，从而结合函数图象来研究方程的根的个数、大小等问题．这是导数的重要应用之一，也是高考的重点和热点内容．【例5】 已知函数g (x )＝x －1x－2ln x .(1)求证：当x ≥1时，g (x )≥0恒成立；(2)讨论方程x －1x－g (x )＝2x 3－4e x 2＋tx 根的个数．(1)证明：因为g (x )＝x －1x－2ln x ，所以g ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x2＝x －12x 2≥0，所以g (x )在[1，＋∞)是单调增函数， 所以g (x )≥g (1)＝1－1－2ln 1＝0， 即g (x )≥0对于x ∈[1，＋∞)恒成立．(2)解：由已知得，方程可化为2ln x ＝2x 3－4e x 2＋tx .因为x ＞0，所以方程为2ln x x＝2x 2－4e x ＋t .令L (x )＝2ln x x，H (x )＝2x 2－4e x ＋t .因为L ′(x )＝2·1－ln x x2，当x ∈(0，e]时，L ′(x )≥0，所以L ′(x )在(0，e]上为增函数；x ∈[e ，＋∞)时，L ′(x )≤0，所以L ′(x )在[e ，＋∞)上为减函数，所以当x ＝e 时，L (x )max ＝L (e)＝2e.又H (x )＝2x 2－4e x ＋t ＝2(x －e)2＋t －2e 2，所以函数L (x )，H (x )在同一直角坐标系的大致图象如图所示．当t －2e 2＞2e ，即t ＞2e 2＋2e 时，方程无解；当t －2e 2＝2e ，即t ＝2e 2＋2e 时，方程有一个根．当t －2e 2＜2e ，即t ＜2e 2＋2e 时，方程有两个根．。

1.2 导数的运算1.2.2 导数公式表及数学软件的应用【提出问题】我们证明了幂函数的求导公式。

即1()'()x x R αααα-=∈那么，其它的基本初等函数的导数是怎样的呢？ 【获得新知】（1）设y =f (x )=sinx ，000000()()(sin )'limsin()sin lim22cos()sin22 limsin22 lim cos()22sin22 lim cos()lim22x x x x x x f x x f x x xx x xxx x x xx x x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆+∆∆=∆∆+∆=∆∆+∆=∆=cos x即(sinx )’=cosx在证明过程中，用到了微积分中的重要极限：0sin lim1x xx→=证明中还用到了和差化积公式：sin sin 2cossin 22x y x yx y +--= （2）函数y =cosx 的导数 设y =f (x )= cosx000000()()(cos )'limcos()cos lim22sin()sin22 limsin22 lim sin()22sin22 lim[sin()]lim 22x x x x x x f x x f x x xx x xxx x x xx x x x xx xx ∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆+∆∆-=∆∆+∆=-∆∆+∆=-∆ sin x=-即(cosx )’=-sinx在证明过程中，用到了微积分中的重要极限：0sin lim1x xx→=证明中还用到了和差化积公式：cos cos 2sinsin 22x y x yx y +--=- 【解决问题】为了方便并减少重复的劳动，数学工作者制作出常用函数的求导公式表，供大家使用。

这里仅列出基本初等函数的求导公式表。

现在，有些函数的导数我们要证明它还有困难，只要求会使用它求函数的导数就可以了。